То, каким образом мы будем складывать или вычитать дроби, напрямую зависит от знаменателей этих дробей. Самое простое: сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. С него и начнем.
Cложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вспоминаем законы сложения дробей из четвертого класса.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Чтобы вычесть друг из друга дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Убедимся в справедливости этого высказывания на примере. Разделим круг на 5 равных частей. Возьмем из этих пяти 1-у часть и 2 части. Сложим. Вместе они составят 3 части. А поскольку изначально круг был разделен на 5 таких частей, то это 3/5 круга.
1/5 + 2/5 = 3/5
Уберем из целого круга 2 зеленые части (2/5). Останется 3 части (3/5).
5/5 - 2/5 = 3/5
Но если знаменатели разные, то ни сложить, ни вычесть такие дроби сразу нельзя.
Можно складывать и вычитать дроби только с одинаковыми знаменателями.
При сложении смешанных дробей отдельно складываются/вычитаются целые части, отдельно дробные, и опять же только при условии одинаковых знаменателей у дробных частей.
$5\frac27+3\frac17=(5+3)+(\frac27+\frac17)=8+\frac37=8\frac37$
$5\frac27-3\frac17=(5-3)+(\frac27-\frac17)=2+\frac17=2\frac17$
Если при вычитании смешанных дробей складывается такая ситуация, что числитель первой дробной части (уменьшаемое) меньше числителя второй (вычитаемого), то нужно взять единичку от целой части первого числа, представить ее в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части, и прибавить эту дробь к дробной части. Целая часть станет на единицу меньше, а дробная будет теперь представлять собой неправильную дробь (числитель больше знаменателя). Зато легко можно будет провести вычитание.
$5\frac17-3\frac27=\mathit4\mathit+\mathit1\mathit+\frac{\mathit1}{\mathit7}\mathit-\mathit3\frac{\mathit2}{\mathit7}\mathit=\mathit4\mathit+\frac{\mathit7}{\mathit7}\mathit+\frac{\mathit1}{\mathit7}\mathit-\mathit3\frac{\mathit2}{\mathit7}=4\frac87-3\frac27=(4-3)+(\frac87-\frac27)=1+\frac67=1\frac67$
Что же делать, если знаменатели разные? Разберемся.
Cложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Как мы с вам выяснили, складывать и вычитать дроби с разными знаменателями так сразу нельзя. Значит нужно сделать так, чтобы знаменатели у них стали одинаковыми. Как это сделать? Вспоминаем основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, значение дроби не изменится. С помощью этого закона мы и приведем дроби к одинаковому знаменателю, а дальше их можем складывать или вычитать.
Итак, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правила сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример:
$\frac23-\frac16=\frac{2\ast2}{3\ast2}-\frac16=\frac46-\frac16=\frac{\cancel3^1}{\cancel6_2}=\frac12$
Чтобы привести дроби к одинаковому знаменателю, принято находить наименьший общий знаменатель, а это то же самое, что наименьшее общее кратное (НОК) этих знаменателей. Вспомним, как находить НОК, статья по ссылке >>
$\frac59+\frac16=?$
9 | 3 6 | 2
3 | 3 3 | 3
1 | 1
НОК(6;9) = 3 * 3 * 2 = 18
$\frac59+\frac16=\frac{5\ast2}{9\ast2}+\frac{1\ast3}{6\ast3}=\frac{10}{18}+\frac3{18}=\frac{13}{18}$
Еще примеры:
Если в результате сложения или вычитания получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанную. Если получается сократимая дробь, результат необходимо сократить.
Вспоминаем: чтобы сократить дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число - наибольший общий делитель (НОД). Статья о том, как найти НОД по ссылке >>
Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения:
$\frac ab+\frac cd=\frac cd+\frac ab$
$(\frac ab+\frac cd)+\frac pq=\frac ab+(\frac cd+\frac pq)$
Их нужно применять в заданиях на нахождение наиболее простого способа сложения нескольких дробей.
Пример. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
Если все равно что-то в теме не поняли, задавайте вопросы в комментариях.
