Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка.
Д(12) = {1,2,3,4,6,12}
Д(36) = {1,2,3,4,6,12,18,36}
Общий делитель двух данных чисел — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа.
Рассмотрим на примере чисел 12 и 36. Общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 4, 6 и 12, то есть на все эти числа оба наших числа делятся без остатка. Но математику из всех этих общих делителей интересует только наибольший - 12. Это число так и называют: наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель нескольких чисел (НОД) – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка.
И как вы заметили, если одно число делится без остатка на другое, то меньшее число и будет наибольшим общим делителем.
Если НОД чисел равен 1, такие числа называют взаимно простыми.
НОД (7; 9) = 1,
7 и 9 - взаимно простые числа.
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1.
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел, нужно сначала разложить их на простые множители. Это удобно делать в столбик.
Пример 1. Найдем НОД чисел 28 и 10. Разложим их на простые множители.
28|2 10|2
14|2 5|5
7|7 1|
1|
28 = 2 · 2 · 7
10 = 2 · 5
Затем найдем общие множители. Мы видим, что число 2 - одинаковый простой множитель в обоих числах. Подчеркнем его. А поскольку больше повторяющихся чисел нет, это и будет наибольший общий делитель.
НОД(28;10) = 2
Пример 2. Найдем НОД чисел 28 и 36.
28|2 36|2
14|2 18|2
7|7 9|3
1| 3|3
1|
28 = 2 · 2 · 7
36 = 2 · 2 · 3 · 3
Общих множителей два: это 2 · 2. Чтобы найти НОД, нужно их перемножить.
НОД(28;36) = 2 · 2 = 4
То же самое при нахождении НОД трех и более чисел. Общий множитель находим во всех числах, а не только в паре.
Пример 3. Найдем НОД чисел 28, 36 и 48.
28|2 36|2 48|2
14|2 18|2 24|2
7|7 9|3 12|2
1| 3|3 6|2
1| 3|3
1|
28 = 2 · 2 · 7
36 = 2 · 2 · 3 · 3
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
НОД(28;36;48) = 2 · 2 = 4
Чтобы не путаться, можно подчеркивать общие множители только в одной строке (у одного числа), их и будем перемножать.
Таким образом у вас в голове должен сложиться алгоритм нахождения НОД:
1 - раскладываем числа на простые множители
2 - подчеркиваем одинаковые множители
3 - перемножаем их, не дублируя.
Потренируемся нахождению НОД на примерах
1. Найдите НОД(а;b), если а = 2 · 3 · 7 · 13; b = 3 · 3 · 3 · 13
У нас уже имеется разложение на простые множители, осталось лишь подчеркнуть общие и найти НОД.
а = 2 · 3 · 7 · 13
b = 3 · 3 · 3 · 13
НОД(а;b) = 3 · 13 = 39
2. Найдите НОД(96;72)
1) Разложим числа на простые множители:
96 = 2·2·2·2·2·3
72 = 2·2·2·3·3
2) Найдём общие множители введённых чисел: 2, 2, 2, 3
Наибольший общий делитель равен произведению найденных множителей:
НОД(96;72) = 2·2·2·3 = 24
3. Найдите НОД(840;1008;256)
1) Разложим числа на простые множители:
840 = 2·2·2·3·5·7
1008 = 2·2·2·2·3·3·7
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2
2) Найдём общие множители введённых чисел: 2, 2, 2
Наибольший общий делитель равен произведению найденных множителей:
НОД(28;36;48) = 2·2·2 = 8
4. Найдите НОД(104;121). Являются ли эти числа взаимно простыми?
1) Разложим числа на простые множители:
104 = 2·2·2·13
121 = 11·11
2) Найдём общие множители введённых чисел: 1
НОД(104;121) = 1, значит это взаимно простые числа.
5. Докажите, что числа 102 и 119 не взаимно простые.
1) Разложим числа на простые множители:
102 = 2·3·17
119 = 7·17
2) Найдём общие множители введённых чисел: 17
НОД(102, 119) = 17 , значит числа не взаимно простые.
6. Чему будет равен НОД чисел а и b, если а кратно b?
а кратно b, значит а делится на b без остатка. Это означает, что число b и есть наибольший общий делитель.
Ответ: b.
7. Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325.
1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители.
50= 2 ∙ 5 ∙ 5
75= 3 ∙ 5 ∙ 5
325= 5 ∙ 5 ∙ 13
2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других.
50= 2 ∙ 5 ∙ 5
75= 3 ∙ 5 ∙ 5
325= 5 ∙ 5 ∙13
3) Найдём произведение оставшихся множителей
5 ∙ 5 = 25
Ответ: НОД (50, 75 и 325) = 25
Задачи на нахождение НОД
Нахождение НОД используют при решении некоторых задач. Рассмотрим примеры задач.
Для учащихся 1 класса приготовили одинаковые подарки. Во всех подарках было 120 апельсинов, 280 шоколадок и 320 конфет. Сколько учащихся в 1 классе, если известно, что их больше 30?
Решение:
Так как для учащихся приготовили одинаковые подарки, то в них должно быть поровну апельсинов, шоколадок и конфет. Следовательно, количество учащихся равно общему делителю количества апельсинов, шоколадок и конфет.
Разложим числа 120, 280 и 320 на множители и найдем их наибольший общий делитель.
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5;
280 = 2 * 2 * 2 * 5 * 7;
320 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5.
НОД(120;280;320) = 2 * 2 * 2 * 5 = 40.
Поскольку все делители чисел 120, 280 и 320 кроме 40, меньше 30 (а по условию задачи в классе больше 30 учащихся), то число учащихся 40.
Ответ: в первом классе 40 учащихся.
Между учащимися 6 класс поровну разделили 84 мандарина и 56 апельсинов. Сколько учащихся в классе, если известно, что их более 25?
Разложим числа на простые множители:
84 = 2·2·3·7
56 = 2·2·2·7
НОД(84;56) = 2 · 2 · 7 = 28 (уч.)
Ответ: 28 учащихся в классе.
В гостиницу завезли 108 кроватей и 72 шкафа, которые поровну распределили по номерам. Сколько номеров в гостинице, если известно, что их больше 30?
108 = 2·2·3·3·3
72 = 2·2·2·3·3
НОД = 2·2·3·3 = 36 (н.)
Ответ: 36 номеров в гостинице.
Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?
Решение:
1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника.
S= 48 ∙ 40 = 1960 см² – площадь картона.
2) a – сторона квадрата
48 : a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона.
40 : а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона.
3) НОД (40 и 48) = 8 (см) – сторона квадрата.
4) S = a² – площадь одного квадрата.
S = 8² = 64 (см²) – площадь одного квадрата.
5) 1960 : 64 = 30 (к.)
Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый.
Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки?
Решение:
1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина.
2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки.
3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки.
4) 30420 : = 20 (штук).
Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см).
Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы?
Решение:
1) P = 2( a + b) – периметр участка.
P = 2(54 + 48) = 204 м.
2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами.
3) 204 : 6 = 34 (с.)
Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м.
Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете?
Решение:
1) НОД ( 210, 126 и 294) = 42 (б.)
2) 210 : 42 = 5 (р.) - бордовых
3) 126 : 42 = 3 (р.) - белых
4) 294 : 42 = 7 (р.) - красных.
Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете.
Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая?
Решение:
1) 90 + 5 = 95 (р.) - заплатила Маша.
2) НОД ( 90 и 95) = 5 (р.) – цена 1 набора.
3) 980 : 5 = 18 (н.) – купила Таня.
4) 95 : 5 = 19 (н.) – купила Маша.
Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов.
Заместитель директора Вера Александровна организует проведение дня здоровья. 424 человека повезут на стадион “Спартак” для проведения эстафет, а 477 человек – в плавательный бассейн с морской водой. Для перевозки нужно заказать автобусы. Перевозчик имеет автобусы с одинаковым количеством мест, все места должны быть заняты. Сколько автобусов надо заказать и сколько пассажиров будет в каждом автобусе?
1) НОД(424,477) = 53 (ч.) - в каждом автобусе,
2) 424 : 53 = 8 (ав.) - едут на стадион
3) 477 : 53 = 9 (ав.) - едут в бассейн
4) 8 + 9 = 17 (ав.) - всего
Ответ: 17 автобусов, 53 пассажира в каждом автобусе.
На празднике “Последнего звонка” выступающим первоклассникам принято дарить подарки. Ученики 11 “а” класса купили 58 конфет, ученики 11 “б” класс – 116 “чупа-чупсов”, а ученики 11 “в” класса – по одной мягкой игрушке. Сколько куплено мягких игрушек?
НОД (58;116) = 29
Ответ: куплено 29 мягких игрушек.
Друзья Алексей Николаевич и Борис Петрович решили заняться гостиничным бизнесом. Для своей гостиницы Алексей Николаевич завез 108 кроватей и 72 шкафа, а Борис Петрович – 128 кроватей и 64 шкафа. Кровати и шкафы распределяются по комнатам поровну. Сколько комнат в гостиницах каждого из друзей? У кого из них остановиться третьему другу Александру Ивановичу, если он отдыхает с семьей, состоящей вместе с ним из 8 человек?
1) НОД(108;72) = 36 (комн.) - у Алексея Николаевича;
2) 108:36=3 (кровати) - в номере;
3) НОД(128;64) = 32 (комн.) - у Бориса Петровича.
4) 128:32=4 (кровати) - в номере.
Ответ: Александру Ивановичу лучше остановиться у Бориса Петровича - 2 номера по 4 человека.
Калькулятор определения НОД и НОК
Для тех, кто уже отчаялся понять тему, НОД - калькулятор:
Если что-либо осталось для вас непонятным, задавайте вопросы в комментариях.
