ГДЗ к учебнику Математика 6 класс Никольский, Потапов, Решетников с. 235 (1151)

Готовые домашние задания к учебнику  Математики за шестой класс, авторы учебника Никольский, Потапов, Решетников. Ответы к решебнику проверены учителем математики. И да, в шестом уже у всех алгебра и геометрия, а по Никольскому все еще математика, хотя этот учебник считается углубленным и профильным. Учебник "древний", долго и тщательно прорабатывался, у автора есть голова на плечах, так что, в принципе, математику по нему изучить можно.

Мы же в свою очередь к вам с готовыми ответами на задания к этому учебнику. ГДЗ помогут вам подготовиться к уроку без лишней нервотрепки и понять то, что, может быть, не поняли на уроке, и легко сделать домашнее задание по математике. Учебник за шестой класс - это в основном дроби, сначала обыкновенные, затем десятичные. Поскольку тут предусмотрено одновременное изучение геометрии, то и про фигуры информация тоже будет, но не особо углубленная.

Выбирайте нужную страницу ГДЗ на вкладках, чтобы посмотреть ответы на нужные задания.

Ответы по математике 6 класс к учебнику Никольского:

ГДЗ к учебнику Математика 6 класс Никольский, Потапов, Решетников с. 235 (1151)

Готовые домашние задания к учебнику  Математики за шестой класс, авторы учебника Никольский, Потапов, Решетников. Ответы к решебнику проверены учителем математики. И да, в шестом уже у всех алгебра и геометрия, а по Никольскому все еще математика, хотя этот учебник считается углубленным и профильным. Учебник "древний", долго и тщательно прорабатывался, у автора есть голова на плечах, так что, в принципе, математику по нему изучить можно.

Мы же в свою очередь к вам с готовыми ответами на задания к этому учебнику. ГДЗ помогут вам подготовиться к уроку без лишней нервотрепки и понять то, что, может быть, не поняли на уроке, и легко сделать домашнее задание по математике. Учебник за шестой класс - это в основном дроби, сначала обыкновенные, затем десятичные. Поскольку тут предусмотрено одновременное изучение геометрии, то и про фигуры информация тоже будет, но не особо углубленная.

Выбирайте нужную страницу ГДЗ на вкладках, чтобы посмотреть ответы на нужные задания.

Ответы по математике 6 класс к учебнику Никольского:

Страница 6

Отношения, пропорции, проценты
Отношения чисел и величин

Ответы к стр. 6

1. Что называют:
а) отношением числа α к числу b; б) членами отношения?
Приведите примеры.

а) отношением числа α к числу b называют частное двух не равных нулю чисел, например 8/51 является отношением числа 8 к числу 51, 8/9 : 4/7 является отношением числа 8/9 к числу 4/7;
б) в отношении чисел α и b членами отношения называют числа α и b, например 8/51 является отношением числа 8 к числу 51 — числа 8 и 51 являются членами отношения, 8/9 : 4/7 является отношением числа 8/9 к числу 4/7 — 8/9 и 4/7 являются членами отношения.

7

Ответы к стр. 7

2. Чем является отношение величин:
а) одного наименования; б) разных наименований?
Приведите примеры.

а) отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей, выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число, например 800 см : 4 м = 8 м : 4 м = 2 — отношение длины (800 см) к длине (4 м) есть число 2;

б) отношение величин разных наименований (пути и времени, массы тела и его объёма) есть новая величина, например: 20 км : 2 ч = 10 км/ч — отношение расстояния (20 км) ко времени (2 ч) есть новая величина скорость (10 км/ч).

3. Используя слово отношение прочитайте запись:
а) 7 : 2; б) 3/5; в) 1 : 5; г) 1/6.

а) отношение числа семь к числу два;

б) отношение числа три к числу пять;

в) отношение числа один к числу пять;

г) отношение числа один к числу шесть.

4. Запишите отношение, назовите его члены:
а) 7 к 3; б) 5 к 9; в) 12 к 4; г) 10 к 1000.

а) 7/3, члены отношения 7 и 3;

б) 5/9, члены отношения 5 и 9;

в) 12/4, члены отношения 12 и 4;

г) 10/1000, члены отношения 10 и 1000.

5. Найдите отношение:
а) 3 к 1/2; б) 5 к 10/13; в) 7/8 к 21/32; г) 12/17 к 48/51.

a) 3 : 1/2 = 3/1 : 1/2 = 3/1 • 2/1 = 3•2/1•1 = 6/1 = 6;

б) 5 : 10/13 = 5/1 : 10/13 = 5/1 • 13/10 = 5•13/1•10 = 1•13/1•2 = 13/2;

в) 7/8 : 21/32 = 7/8 • 32/21 = 7•32/8•21 = 1•4/1•3 = 4/3;

г) 12/17 : 48/51 = 12/17 • 51/48 = 12•51/17•48 = 1•3/1•4 = 3/4.

6. Прочитайте отношение, назовите его члены, упростите отношение с помощью свойства отношения:
а) 40 : 50 = 4 : 5; б) 99 : 18; в) 450 : 250; г) 720 : 81.
В чём заключается свойство отношения?

40 : 50 — это отношение сорока к пятидесяти, члены отношения 40 и 50.
Свойство отношения — отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю: 40 : 50 = (40 : 10) : (50 : 10) = 4 : 5.

б) 99 : 18 — это отношение девяноста девяти к восемнадцати, члены отношения 99 и 18, (99 : 9) : (18 : 9) = 11 : 2;

в) 450 : 250 — это отношение четырёхсот пятидесяти к двумстам пятидесяти, члены отношения 450 и 250, (450 : 50) : (250 : 50) = 9 : 5;

г) 720 : 81 — это отношение семьсот двадцати к восьмидесяти одному, члены отношения 720 и 81 = (720 : 9) : (81 : 9) = 80 : 9.

7. Запишите отношение в виде дроби (там, где можно, упростите отношение):
а) 3 : 5; б) 49 : 28; в) 35 : 700; г) 5 : 7; д) 520 : 460; е) 27 : 81.

а) 3 : 5 = 3/5;

б) 49 : 28 = 49/28 = 7•7/4•7 = 7/4;

в) 35 : 700 = 35/700 = 1•35/20•35 = 1/20;

г) 5 : 7 = 5/7;

д) 520 : 460 = 520/460 = 26•20/23•20 = 26/23;

е) 27 : 81 = 27/81 = 1•27/3•27 = 1/3.

8. Можно ли выразить натуральным числом отношение:
а) 40 : 20; б) 30 : 60; в) 1000 : 100;
г) 600 : 30; д) 20 : 40; е) 100 : 1000.

а) 40 : 20 = (40 : 10) : (20 : 10) = 4 : 2 = 2 — можно;

б) 30 : 60 = (30 : 30) : (60 : 30) = 1 : 2 = 1/2 — нельзя;

в) 1000 : 100 = (1000 : 100) : (100 : 100) = 10 : 1 = 10 — можно;

г) 600 : 30 = (600 : 10) : (30 : 10) = 60 : 3 = 20 — можно;

д) 20 : 40 = (20 : 20) : (40 : 20) = 1 : 2 = 1/2 — нельзя;

е) 100 : 1000 = (100 : 100) : ( 1000 : 100) = 1 : 10 = 1/10 — нельзя.

9. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением натуральных чисел по образцу:
а) 1/2 : 1/3. I способ. 1/2 : 1/3 = 1/2 • 3/1 = 1•3/2•1 = 3/2.
II способ. Умножим каждый член отношения на 6:
1/2 : 1/3 = 6/2 : 6/3 = 3 : 2.
б) 1/4 : 1/5; в) 3/7 : 4/5; г) 2/5 : 3/7; д) 12/17 : 1 1/2; е) 1 1/2 : 3/8; ж) 2 1/2 : 1 2/3.

б) 1/4 : 1/5. I способ. 1/4 : 1/5 = 1/4 • 5/1 = 5/4.
II способ. Умножим каждый член отношения на 20:
1/4 : 1/5 = 20/4 : 20/5 = 5 : 4.

в) 3/7 : 4/5. I способ. 3/7 : 4/5 = 3/7 • 5/4 = 3•5/7•4 = 15/28.
II способ. Умножим каждый член отношения на 35:
3/7 : 4/5 = 105/7 : 140/5 = 15 : 28.

г) 2/5 : 3/7. I способ. 2/5 : 3/7 = 2/5 • 7/3 = 2•7/5•3 = 14/15.
II способ. Умножим каждый член отношения на 35:
2/5 : 3/7 = 70/5 : 105/7 = 14 : 15.

д) 12/17 : 1 1/2. I способ. 12/17 1/2 = 12/17 : 3/2 = 12/17 • 2/3 = 12•2/17•3 = 24/51 = 8•3/17•3 = 8/17.
II способ. Умножим каждый член отношения на 34:
12/17 : 1 1/2 = 12/17 : 3/2 = 204/17 : 102/2 = 24 : 51 = (24 : 3) : (51 : 3) = 8 : 17.

е) 1 1/2 : 3/8. I способ. 1 1/2 : 3/8 = 3/2 : 3/8 = 3/2 • 8/3 = 3•8/2•3 = 24/6 = 4/1 = 4.
II способ. Умножим каждый член отношения на 8:
1/2 : 3/8 = 3/2 : 3/8 = 24/2 : 24/8 = 12 : 3 = 4 : 1 = 4.

ж) 2 1/2 : 1 2/3. I способ. 2 1/2 : 1 2/3 = 5/2 : 5/3 = 5/2 • 3/5 = 5•3/2•5 = 15/10 = 3•5/2•5 = 3/2.
II способ. Умножим каждый член отношения на 6:
1/2 : 1 2/3 = 5/2 : 5/3 = 30/2 : 30/3 = 15 : 10 = (15 : 5) : (10 : 5) = 3 : 2.

10. Упростите отношение величин (10-11):
а) 35м/28м; б) 45кг/36кг; в) 420км/720км; г) 450т/540т; д) 320ч/48ч; е) 480мин/840мин.

а) 35м/28м = 5•7м/4•7м = 5/4;

б) 45кг/36кг = 5•9кг/4•9кг = 5/4;

в) 420км/720км = 7•60км/12•60км = 7/12;

г) 450т/540т = 5•90т/6•90т = 5/6;

д) 320ч/48ч = 20•16ч/3•16ч = 20/3;

е) 480мин/840мин = 4•120мин/7•120мин = 4/7.

11. а) 12м/15дм; б) 18кг/540г; в) 490см/35дм;
г) 450кг/; д) 3500см3/21дм3; е) 9900дм3/18м3.

а) 12м/15дм = 120дм/15дм = 8•15дм/15дм = 8;

б) 18кг/540г  = 18000г/540г = 100•180г/3•180г = 100/3;

в) 490см/35дм = 490см/350см = 7•70см/5•70см = 7/5;

г) 450кг/ = 450кг/2000кг = 9•50кг/40•50кг = 9/40;

д) 3500см3/21дм3 = 3500см3/21000см3 = 1•3500см3/6•3500см3 = 1/6;

е) 9900дм3/18м3 = 9900дм3/18000дм3 = 11•900дм3/20•900дм3 = 11/20.

8

Ответы к стр. 8

12. Упростите отношение величин по образцу:
а) 350км/ = 350/5 км/ч = 70 км/ч;
б) 720км/; в) 360м/3мин; г) 420кг/3;
д) 2250кг/3; е) 720м/20с; ж) 450г/5см3.

б) 720км/ = 720/8 км/ч = 90 км/ч;

в) 360м/3мин = 360/3 м/мин = 120 м/мин;

г) 420кг/3 = 420/4 кг/м3 = 105 кг/м3;

д) 2250кг/3 = 2250/3 кг/м3 = 750 кг/м3;

е) 720м/20с = 720/20 м/с = 36 м/с;

ж) 450г/5см3 = 450/5 г/см3 = 90 г/см3.

13. Найдите пройденный путь s, если известны скорость ν и время равномерного движения t:
а) ν = 2 м/с, t = 3 с; б) ν = 2 м/с, t = 1/20 мин.

а) s = ν • t = 2 м/с • 3 c = (2 • 3) м•с/с = 6 м
Ответ: 6 м.

б) s = ν • t = 2 м/с • 1/20 мин = 2 м/с • 60/20 с = 2 м/с • 3 c = (2 • 3) м•с/с = 6 м
Ответ: 6 м.

14. Найдите скорость равномерного движения ν, если известны пройденный путь s и время движения t:
а) s = 6 м, t = 3 с; б) s = 6 м, t = 1/20 ч.

а) ν = s : t = (6 : 3) м/c = 2 м/с
Ответ: 2 м/с.

б) ν = s : t = 6 м : 1/20 ч = 6 м : 60/20 мин = (6 : 3) м/мин = 2 м/мин
Ответ: 2 м/мин.

15. Скорость пешехода 5 1/5 км/ч. Найдите путь пройденный пешеходом за:
а) 2 ч; б) 1 1/2 ч; в) 45 мин; г) 125 мин.

а) 5 1/5 км/ч • 2 ч = 26/5 км/ч • 2 ч = 26•2/5 км•ч/ч = 52/5 км = 10 2/5 км
Ответ: 10 2/5 км.

б) 5 1/5 км/ч • 1 1/2 ч = 26/5 км/ч • 3/2 ч = 26•3/5•2 км•ч/ч = 78/10 км = 39•2/5•2 км = 39/5 км = 7 4/5 км
Ответ: 7 4/5 км.

в) 5 1/5 км/ч • 45 мин = 26/5 км/ч • 45/60 ч = 26/5 км/ч • 3•15/4•15 ч = 26/5 км/ч • 3/4 ч = 26•3/5•4 км•ч/ч = 78/20 км = 39•2/10•2 км = 39/10 км = 3 9/10 км
Ответ: 3 9/10 км.

г) 5 1/5 км/ч • 125 мин = 26/5 км/ч • 125/60 ч = 26/5 км/ч • 25•5/12•5 ч = 26/5 км/ч • 25/12 ч = 26•25/5•12 км•ч/ч = 650/60 км = 65•10/6•10 км = 65/6 км = 10 5/6 км
Ответ: 10 5/6 км.

16. Расстояние в 1 1/2 км пешеход прошел за 20 мин. Найдите скорость пешехода. Ответ запишите в следующих единицах:
а) км/ч; б) км/мин; в) м/ч; г) м/мин; д) м/с.

а)1 1/2 км : 20 мин = 3/2 км : 20/60 ч = 3/2 км : 20/3•20 ч = 3/2 км : 1/3 ч = 3/2 км • 3/1 ч = 3•3/2•1 км/ч = 9/2 км/ч = 4 1/2 км/ч
Ответ: 4 1/2 км/ч.

б) 1 1/2 км : 20 мин = 3/2 км • 1/20 мин = 3•1/2•20 км/мин = 3/40 км/мин
Ответ: 3/40 км/мин.

в) 1 1/2 км : 20 мин = 3/2 км : 20/60 ч = 3•1000/2 м • 60/20 ч = 1500 • 3 м/ч = 4500 м/ч
Ответ: 4500 м/ч.

г) 1 1/2 км : 20 мин = 3•1000/2 м : 20 мин = 1500 м : 20 мин = 75 м/мин
Ответ: 75 м/мин.

д) 1 1/2 км : 20 мин = 3•1000/2 м : (20 • 60) с = 1500 м : 1200 с = 15•100/12•100 м/с = 15/12 м/с = 5•3/4•3 м/с = 5/4 м/с = 1 1/4 м/с
Ответ: 1 1/4 м/с.

17. Скорость легковой автомашины 72 км/ч. Какой путь она проедет за:
а) 2/3 ч; б) 45 мин; в) 50 мин; г) 165 мин.

а) 72 км/ч • 2/3 ч = 72•2/3 км•ч/ч = 144/3 км = 48 км
Ответ: 48 км.

б) 72 км/ч • 45 мин = 72 км/ч • 45/60 ч = 72 км/ч • 3/4 ч = 72•3/4 км•ч/ч = 216/4 км = 54 км
Ответ: 54 км.

в) 72 км/ч • 50 мин = 72 км/ч • 50/60 ч = 72 км/ч • 5/6 ч = 72•5/6 км•ч/ч = 360/6 км = 60 км
Ответ: 60 км.

г) 72 км/ч • 165 мин = 72 км/ч • 165/60 ч = 72 км/ч • 11/4 ч = 72•11/4 км•ч/ч = 792/4 км = 198 км
Ответ: 198 км.

18. Скорость легковой машины 1200 м/мин. За сколько часов машина проедет:
а) 144 км; б) 36 км; в) 8 км; г) 54 км.

1200 м/мин = 1200•60/1000 км/ч = 72 км/ч

а) 144 км : 72 км/ч = 144/72 км•ч/км = 2 ч
Ответ: 2 ч.

б) 36 км : 72 км/ч = 36/72 км•ч/км = 36/2•36 ч = 1/2 ч
Ответ: 1/2 ч.

в) 8 км : 72 км/ч = 8/72 км•ч/км = 8/9•8 ч = 1/9 ч
Ответ: 1/9 ч.

г) 54 км : 72 км/ч = 54/72 км•ч/км = 18•3/18•4 ч = 3/4 ч
Ответ: 3/4 ч.

19. Найдите скорость автомашины, если 80 км она проезжает:
а) за 1 ч; б) за 4/5 ч; в) за 4/3 ч; г) за 8/7 ч;
д) за 50 мин; е) за 65 мин; ж) за 90 мин; з) за 100 мин.

а) 80 км : 1 ч = 80 км/ч
Ответ: 80 км/ч.

б) 80 км : 4/5 ч = 80 км • 5/4 ч = 80•5/4 км/ч = 400/4 км/ч = 100 км/ч
Ответ: 100 км/ч.

в) 80 км : 4/3 ч = 80 км • 3/4 ч = 80•3/4 км/ч = 240/4 км/ч = 60 км/ч
Ответ: 60 км/ч.

г) 80 км : 8/7 ч = 80 км • 7/8 ч = 80•7/8 км/ч = 560/8 км/ч = 70 км/ч
Ответ: 70 км/ч.

д) 80 км : 50 мин = 80 км : 50/60 ч = 80 км : 5/6 ч = 80 км • 6/5 ч = 80•6/5 км/ч = 480/5 км/ч = 96 км/ч
Ответ: 96 км/ч.

е) 80 км : 65 мин = 80 км : 65/60 ч = 80 км : 13/12 ч = 80 км • 12/13 ч = 80•12/13 км/ч = 960/13 км/ч = 73 11/13  км/ч
Ответ: 73 11/13 км/ч.

ж) 80 км : 90 мин = 80 км : 90/60 ч = 80 км : 3/2 ч = 80 км • 2/3 ч = 80•2/3 км/ч = 160/3 км/ч = 53 1/3 км/ч
Ответ: 53 1/3 км/ч.

з) 80 км : 100 мин = 80 км : 100/60 ч = 80 км : 5/3 ч = 80 км • 3/5 ч = 80•3/5 км/ч = 240/5 км/ч = 48 км/ч
Ответ: 48 км/ч.

20. Два конькобежца одновременно стартовали на дистанцию 10 000 м по замкнутой дорожке, длина которой равна 400 м. Скорость первого конькобежца 20 км/ч, а скорость второго 21 км/ч. Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции? А на два круга?

1) 10 000 : 400 = 25 (кругов) — надо пробежать каждому конькобежцу

2) 400 м : 20 км/ч = 400 м : 20 000 м/ч = 400/20000 ч = 1/50 ч — потратит I конькобежец на один круг

3) 400 м : 21 км/ч = 400 м : 21 000 м/ч = 400/21000 ч = 2/105 ч — потратит II конькобежец на один круг

4) 1/50 — 2/105 = 21-20/1050 = 1/1050 (ч) — разница по времени между конькобежцами за один круг

5) 1/1050 • 25 = 25/1050 = 1/42 (ч) — разница по времени между конькобежцами за 25 кругов

6) 1/42 : 1/50 = 1/42 • 50/1 = 42/50 = 1 21/84 = 1 4/21 (круга) — на столько обгонит II конькобежец
Ответ: II конькобежец обгонит I конькобежца на 1 4/21 круга, то есть на 1 круг обгонит, а на 2 круга — нет.

10

Отношения, пропорции, проценты
Масштаб

Ответы к стр. 10

21. Что показывает численный масштаб:
а) 1 : 100; б) 1 : 1000; в) 1 : 20 000.

а) расстояние на карте в 100 раз меньше расстояния на местности;
б) расстояние на карте в 1000 раз меньше расстояния на местности;
в) расстояние на карте в 20 000 раз меньше расстояния на местности.

22. Определите численный масштаб, если известно, что 1 см на плане (географической карте) изображает отрезок длиной:
а) 10 см; б) 50 см; в) 6 дм; г) 10 м;
д) 100 м; е) 1 км; ж) 6 км; з) 10 км.

а) 1 : 10;
б) 1 : 50;
в) 1 : 60, так как 6 дм = 60 см;
г) 1 : 1000, так как 10 м = 1000 см;
д) 1 : 10 000, так как 100 м = 10 000 см;
е) 1 : 100 000, так как 1 км = 100 000 см;
ж) 1 : 600 000, так как 6 км = 600 000 см;
з) 1 : 1 000 000, так как 10 км = 1 000 000 см.

23. Расстояние между двумя городами равно 200 км. Определите расстояние между изображениями этих городов на карте, если численный масштаб карты равен:
а) 1 : 1 000 000; б) 1 : 200 000; в) 1/5000000.

а) 200 км = 20 000 000 см
: 1 000 000 = 1/1000000
20 000 000 см • 1/1000000 = 20000000/1000000 см = 20 см
Ответ: 20 см.

б) 200 км = 20 000 000 см
: 200 000 = 1/200000
20 000 000 см • 1/200000 = 20000000/200000 см = 100 см
Ответ: 100 см.

в) 200 км = 20 000 000 см
20000000 см • 1/5000000 = 20000000/5000000 см = 4 см
Ответ: 4 см.

24. Масштаб карты равен 1/50000. Определите расстояние на местности, если на карте оно равно:
а) 1 см; б) 5 см; в) 22 см; г) 37 мм; д) 1 1/5 дм; е) 146 мм.

а) 1 см : 1/50000 = 1 см • 50000/1 = 50 000 см = 500 м
Ответ: 500 м.

б) 5 см : 1/50000 = 5 см • 50000/1 = 250 000 см = 2500 м = 2 км 500 м
Ответ: 2 км 500 м.

в) 22 см : 1/50000 = 22 см • 50000/1 = 1 100 000 см = 11 000 м = 11 км
Ответ: 11 км.

г) 37 мм = 37/10 см
37/10 см : 1/50000 = 37/10 см • 50000/1 = 37•50000/10 см = 37 см•5000/1 = 185 000 см = 1850 м = 1 км 850 м
Ответ: 1 км 850 м.

д) 1 1/5 дм = 6/5 дм = 6/5 • 10 см = 6•10/5 см = 60/5 см = 12 см
12 см : 1/50000 = 12 см • 50000/1 = 600 000 см = 6000 м = 6 км
Ответ: 6 км.

е) 146 мм = 146/10 см = 73/5 см
73/5 см : 1/50000 = 73/5 см • 50000/1 = 73•50000/5 см = 73 см•10000/1 = 730 000 см = 7300 м = 7 км 300 м
Ответ: 7 км 300 м.

25. План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 40 мм и 31 мм. Определите длину и ширину комнаты, если численный масштаб плана равен 1 : 200.

: 200 = 1/200
Длина α = 40 мм : 1/200 = 40 мм • 200/1 = 8000 мм = 800 см = 8 м
Ширина b = 31 мм : 1/200 = 31 мм • 200/1 = 6200 мм = 620 см = 6 м 20 см
Ответ: длина α = 8 м, ширина b = 6 м 20 см.

26. Огород имеет вид прямоугольника, длина которого 340 м, а ширина 220 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1 : 500?

: 500 = 1/500
Длина α = 340 м • 1/500 = 340/500 м = 34/50 м = 17/25 м = 1700/25 см = 68 см
Ширина b = 220 м • 1/500 = 220/500 м = 22/50 м = 11/25 м = 1100/25 см = 44 см
Ответ: длина изображение на плане α = 68 см, ширина изображения на плане b = 44 см.

27. Прямоугольник со сторонами 12 см и 6 см изображает на плане поле, занятое под овёс. Определите масштаб плана, если бóльшая сторона поля имеет длину 360 м. Определите меньшую сторону поля.

Масштаб М = 12 см : 360 м = 12 см : 36 000 см = 12/36000 = 1/3000 = 1 : 3000
Ширина b = 6 см 1/3000 = 6 см • 3000/1 = 18 000 см = 180 м
Ответ: масштаб 1 : 3000, ширина поля b = 180 м.

28. Используя план местности (рис. 2) определите:
а) расстояние от А до B;
б) расстояние от А и от B до моста через реку;
в) расстояние от B до смешанного леса.

а) 1 : 10 000 = 1/10000
расстояние на плане от А до B примерно 70 мм = 7 см
расстояние на местности от А до Bs = 7 см : 1/10000 = 7 см • 10000/1  = 70 000 см = 700 м.
Ответ: от А до В 700 м.

б) 1 : 10000 = 1/10000
расстояние на плане от А до моста через реку примерно 20 мм = 2 см
расстояние на плане от В до моста через реку примерно 50 мм = 5 см
расстояние на местности от А до моста через реку: s = 2 см : 1/10000 = 2 см • 10000/1 = 20 000 см = 200 м
расстояние на местности от В до моста через реку: s = 5 см : 1/10000 = 5 см • 10000/1 = 50 000 см = 500 м.
Ответ: от А до моста 200 м, от В до моста 500 м.

в) 1 : 10000 = 1/10000
расстояние на плане от B до смешанного леса примерно 15 мм = 15/10 см = 3/2 см
расстояние на местности от B до смешанного леса: s = 3/2 : 1/10000 = 3/2 • 10000/1 = 30000/2 = 15 000 см = 150 м.
Ответ: от В до смешанного леса 150 м.

11

Ответы к стр. 11

29. За сколько часов туристы преодолеют расстояние от A до B (рис.3), если будут двигаться со скоростью:
а) 5 км/ч; б) 4 км/ч.

а) 1 : 100 000 = 1/100000
расстояние на плане от А до B примерно 40 мм = 4 см
расстояние на местности от А до Bs = 4 см : 1/100000 = 4 см • 100000/1  = 400 000 см = 4000 м = 4 км
t = s : ν = 4 км : 5 км/ч = 4/5 ч
Ответ: за 4/5 ч.

б) 1 : 100 000 = 1/100000
расстояние на плане от А до B примерно 40 мм = 4 см
расстояние на местности от А до Bs = 4 см : 1/100000 = 4 см • 100000/1  = 400 000 см = 4000 м = 4 км
t = s : ν = 4 км : 4 км/ч = 1 ч
Ответ: за 1 ч.

30. Начертите план класса в масштабе 1 : 100.

длина класса α = 11 м = 1100 см

ширина класса b = 7 м = 700 см
: 100 = 1/100
длина класса на плане: 1100 см • 1/100 = 1100/100 см = 11 см
ширина класса на плане: 700 см • 1/100 = 700/100 см = 7 см

31. а) начертите план своей комнаты в масштабе 1 : 50;
б) начертите план школьного здания в масштабе 1 : 250.

а) длина комнаты α = 4 м 50 см = 450 см
ширина комнаты b = 2 м 80 см = 280 см
: 50 = 1/50
длина комнаты на плане: 450 см • 1/50 = 450/50 см = 9 см
ширина комнаты на плане: 280 см • 1/50 = 280/50 см = 5 30/50 см = 5 3/5 см

б) 1 : 250 = 1/250
школьное здание состоит из четырёх блоков, два из которых соединены переходом:
— первый блок:
длина α1 = 18 м = 1800 см
ширина b1 = 15 м = 1500 см
длина на плане: 1800 см • 1/250 = 1800/250 см = 7 50/250 см = 7 1/5 см
ширина на плане: 1500 см • 1/250 = 1500/250 см = 6 см
— второй блок:
длина α2 = 21 м = 2100 см
ширина b2 = 17 м = 1700 см
длина на плане: 2100 см • 1/250 = 2100/250 см = 8 100/250 см = 8 2/5 см
ширина на плане: 1700 см • 1/250 = 1700/250 см = 6 200/250 см = 6 4/5 см
— третий блок:
длина α3 = 19 м = 1900 см
ширина b3 = 15 м = 1500 см
длина на плане: 1900 см • 1/250 = 1900/250 см = 7 150/250 см = 7 3/5 см
ширина на плане: 1500 см • 1/250 = 1500/250 см = 6 см
— четвёртый блок:
длина α4 = 23 м = 2300 см
ширина b4 = 17 м = 1700 см
длина на плане: 2300 см • 1/250 = 2300/250 см = 9 50/250 см = 9 1/5 см
ширина на плане: 1700 см • 1/250 = 1700/250 см = 6 200/250 см = 6 4/5 см
— переход между вторым и четвёртым блоками:
длина αп = 10 м = 1000 см
ширина bп = 7 м = 700 см
длина на плане: 1000 см • 1/250 = 1000/250 см = 4 см
ширина на плане: 700 см • 1/250 = 700/250 см = 2 200/250 см = 6 4/5 см

32. Можно ли начертить план здания (прямоугольной формы в основании) длиной 50 м и шириной 20 м на странице тетради, если использовать масштаб 1 : 50? Какой масштаб следует использовать, чтобы план поместился на странице тетради?

длина страницы тетради = 20 см
ширина страницы тетради = 16 см
длина здания α = 50 м = 5000 см
ширина здания b = 20 м = 2000 см
: 50 = 1/50
длина здания на плане: 5000 см • 1/50 = 5000/50 см = 100 см
ширина здания на плане: 2000 см • 1/50 = 2000/50 см = 40 см
Так как длина и ширина здания на плане больше длины и ширины страницы тетради, то начертить план здания нельзя.
Обозначим масштаб через х и найдём масштаб на плане для длины и ширины здания на тетрадной станице:
— для длины здания на плане: 5000 см • х = 20 см, х = 20/5000 = 1/250 = 1 : 250
— для ширины здания на плане: 2000 см • х = 16 см, х = 16/2000 = 1/125 = 1 : 125
Из двух получившихся масштабов выбираем наименьший, то есть 1 : 250. Тогда длина здания на плане будет 20 см, а ширина здания на плане будет 2000 см • 1/250 = 2000/250 см = 8 см.

33. На рисунке 4 изображен комар в масштабе 4 : 1. Определите истинную длину крыла комара.

: 1 = 4/1
длина крыла комара на рисунке α = 14 мм = 14/10 см
истинная длина крыла комара: 14/10 см : 4/1 = 14/10 см • 1/4 = 14/40 см = 7/20 см
Ответ: длина крыла комара 7/20 см.

34. Определите увеличен или уменьшен предмет, если он изображён в масштабе:
а) 1 : 100; б) 10 : 1;
в) 1 : 20; г) 4 : 1.

а) уменьшен в 100 раз;
б) увеличен в 10 раз;
в) уменьшен в 20 раз;
г) увеличен в 4 раза.

Придумываем задачу

35. На материале других школьных предметов придумайте две задачи с использованием масштаба и решите их.

а) Какое расстояние необходимо пройти туристам до привала, если расстояние до него на карте 20 см, а масштаб карты 1 : 100 000.
: 100 000 = 1/100000
20 см : 1/100000 = 20 см • 100000/1 = 2 000 000 см = 20 000 м = 20 км
Ответ: до привала 20 км.

б) На чертеже прямоугольной детали длина её изображения 20 см, а ширина — 10 см. Определите истинные размеры детали, если масштаб чертежа 1 : 5.
: 5 = 1/5
истинная длина детали: 20 см : 1/5 = 20 см • 5/1 = 100 см = 1 м
истинная ширина детали: 10 см : 1/5 = 10 см • 5/1 = 50 см
Ответ: длина детали 1 м, ширина — 50 см.

13

Отношения, пропорции, проценты
Деление числа в данном отношении

Ответы к стр. 13

36. Разделите 900 р. в отношении: а) 5 : 4; б) 2 : 3.

а) 900•5/5+4 = 900•5/9 = 100 • 5 = 500 (р.)

900•4/5+4 = 900•4/9 = 100 • 4 = 400 (р.)
Ответ: 500 р. и 400 р.

б) 900•2/2+3 = 900•2/5 = 180 • 2 = 360 (р.)

900•3/2+3 = 900•3/5 = 180 • 3 = 540 (р.)
Ответ: 360 р. и 540 р.

37. Разделите число:
а) 12 в отношении 1 : 3; б) 15 в отношении 2 : 3;
в) 48 в отношении 1/3 и 1/5; г) 100 в отношении 1/2 и 1/3.

а) 12•1/1+3 = 12•1/4 = 3 • 1 = 3

12•3/1+3 = 12•3/4 = 3 • 3 = 9
Ответ: 3 и 9.

б) 15•2/2+3 = 15•2/5  = 3 • 2 = 6

15•3/2+3 = 15•3/5 = 3 • 3 = 9
Ответ: 6 и 9.

в) 48 : (1/3 + 1/5) • 1/3 = 48 : 8/15 • 1/3 = 48 • 15/8 • 1/3 = 48•15•1/8•3 = 6•5•1/1•1 = 30

48 : (1/3 + 1/5) • 1/5 = 48 : 8/15 • 1/5 = 48 • 15/8 • 1/5 = 48•15•1/8•5 = 6•3•1/1•1 = 18
Ответ: 30 и 18.

г) 100 : (1/2 + 1/3) • 1/2 = 100 : 5/6 • 1/2 = 100 • 6/5 • 1/2 = 100•6•1/5•2 = 20•3•1/1•1 = 60

100 : (1/2 + 1/3) • 1/3 = 100 : 5/6 • 1/3 = 100 • 6/5 • 1/3 = 100•6•1/5•3 = 20•2•1/1•1 = 40
Ответ: 60 и 40.

8. Объясните, как разделить число 24 в отношении 1 : 2 : 3.

Отношение 1 : 2 : 3 означает, что первое число состоит из одной части, второе — из двух частей, а третье — из трёх одинаковых частей. Для того чтобы разделить число 24 в отношении 1 : 2 : 3 необходимо воспользоваться формулой: с/α+b+d • αс/α+b+d • b и с/α+b+d • d, где с – данное число, αb и d — значения отношений.
24•1/1+2+3 = 24•1/6 = 4 • 1 = 4

24•2/1+2+3 = 24•2/6 = 4 • 2 = 8

24•3/1+2+3 = 24•3/6 = 4 • 3 = 12
Ответ: 4, 8 и 12.

39. Первая машинистка печатает 10 страниц в час, вторая — 8 страниц в час. Как разделить между ними рукопись в 90 страниц, чтобы они закончили работу одновременно?

1) 90•10/10+8 = 90•10/18 = 5 • 10 = 50 (стр.) – первой машинистке

2) 90•8/10+8 = 90•8/18 = 5 • 8 = 40 (стр.) – второй машинистке
Ответ: первой машинистке необходимо дать 50 страниц, а второй — 40 страниц.

40. Чтобы приготовить стекло берут 10 частей поташу, 31 часть песку и 2 части мелу. Сколько нужно этих материалов на 86 пудов стекла?

1) 86•10/10+31+2 = 86•10/43 = 2 • 10 = 20 (пудов) — поташ

2) 86•31/10+31+2  = 86•31/43 = 2 • 31 = 62 (пуда) — песок

3) 86•2/10+31+2 = 86•2/43 = 2 • 2 =4 (пуда) — мел
Ответ: поташ 20 пудов, песок 62 пуда, мел 4 пуда.

14

Ответы к стр. 14

41. Скорость велосипедиста в 5 раз больше скорости пешехода. Однажды они отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 30 км. Какой путь проедет велосипедист до встречи с пешеходом?

30•5/5+1 = 30•5/6 = 5 • 5 = 25 (км) — проедет велосипедист
Ответ: 25 км проедет велосипедист.

42. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 2 ч, а велосипедист — за 6 ч. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проехал каждый до встречи, если расстояние между пунктами 60 км? Решите задачу двумя способами.

I способ
1) 2 : 6 = 1 : 3 — отношение скорости мотоциклиста к скорости велосипедиста
2) 1 + 3 = 4 (части) — на столько нужно разделить расстояние
3) 60 : 4 = 15 (км) — приходится на одну часть
4) 15 • 1 = 15 (км) — проедет до встречи велосипедист
5) 15 • 3 = 45 (км) — проедет до встречи мотоциклист

II способ
1) 2 : 6 = 1 : 3 — отношение скорости мотоциклиста к скорости велосипедиста
2) 60•1/3+1 = 60•1/4 = 15 • 1 = 15 (км) — проедет велосипедист

3) 60•3/3+1 = 60•3/4 = 15 • 3 = 45 (км) — проедет мотоциклист

Ответ: мотоциклист проедет 45 км, а велосипедист — 15 км.

43. Над выполнением задания 3 дня работала первая бригада из 5 плотников и 4 дня вторая бригада из 6 плотников. За работу заплатили 39 000 р. Какую сумму получит первая бригада, если все плотники работали с одинаковой производительностью?

1) 5 • 3 = 15 (чел./дней) — производительность I бригады
2) 6 • 4 = 24 (чел./дней) — производительность II бригады
3) 39000•15/15+24 = 39000•15/39 = 1000 • 15 = 15 000 (р.) — получит I бригада
Ответ: первая бригада получит 15 000 р.

44. Из «Арифметики» А. П. Киселёва. а) Разделить 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2.
б) Разделить 125 на такие части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 3 : 5, а третья к четвертой, как 5 : 6.
в) Разделить 125 на такие части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 4 : 5, а третья к четвертой, как 6 : 11.
г) Три купца составили товарищество для ведения некоторого торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй — 10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7500 руб. Спрашивается, сколько из этой прибыли придётся получить каждому купцу.
д) На железной дороге работало 3 артели; в первой было 27 рабочих, во второй — 32, в третьей — 15; первая работала 20 дней, вторая — 18, третья — 16; все три артели получили за работу 4068 руб. Сколько придется получить каждой артели?

а) 1) 84•7/7+5+2 = 84•7/14 = 42

   2) 84•5/7+5+2  = 84•5/14 = 30

   3) 84•2/7+5+2 = 84•2/14 = 12
Ответ: 42, 30 и 12.

б) Необходимо сравнить отношения частей.
I часть : II часть = 2 : 3
II часть : III часть = 3 : 5
III часть : IV часть = 5 : 6
или I часть : II часть : III часть : IV часть = (2 : 3) : (3 : 5) : (5 : 6).
Поскольку в равенстве (3 : 5) : (5 : 6) подчёркнутые цифры равны, то можно записать отношение частей в виде 3 : 5 : 6. Далее сравним (2 : 3) и (3 : 5 : 6) — подчёркнутые цифры равны, записываем отношение частей в виде: 2 : 3 : 5 : 6.
Тогда:
1) 125•2/2+3+5+6 = 125•2/16 = 125/8 = 15 5/8

2) 125•3/2+3+5+6 = 125•3/16 = 375/16 = 23 7/16

3) 125•5/2+3+5+6 = 125•5/16 = 625/16 = 39 1/16

4) 125•6/2+3+5+6 = 125•6/16 = 125•3/8 = 375/8 = 46 7/8
Ответ: 15 5/8, 23 7/16, 39 1/16 и 46 7/8.

в) Необходимо сравнить отношения частей.
I часть : II часть = 2 : 3
II часть : III часть = 4 : 5
III часть : IV часть = 6 : 11
или I часть : II часть : III часть : IV часть = (2 : 3) : (4 : 5) : (6 : 11).
Поскольку в равенстве (4 : 5) : (6 : 11) подчёркнутые цифры не равны, то нужно найти их наименьшее общее кратное. НОК 5 и 6 будет 30, следовательно, (4 : 5) нужно умножить на 6, а (6 : 11) нужно умножить на 5. Получим: (24 : 30) : (30 : 55) — подчёркнутые цифры равны, тогда можно записать отношение частей в виде 24 : 30 : 55. Далее, сравним (2 : 3) и (24 : 30 : 55). Подчёркнутые цифры не равны — нужно найти их НОК. НОК 3 и 24 будет 24, следовательно, (2 : 3) нужно умножить на 8, а (24 : 30 : 55) нужно умножить на 1. Получим (16 : 24) : (24 : 30 : 55) — подчёркнутые цифры равны, тогда можно записать отношение частей в виде: 16 : 24 : 30 : 55.
Тогда:
1) 125•16/16+24+30+55 = 125•16/125 = 16

2) 125•24/16+24+30+55 = 125•24/125 = 24

3) 125•30/16+24+30+55 = 125•30/125 = 30

4) 125•55/16+24+30+55 = 125•55/125 = 55
Ответ: 16, 24, 30 и 55.

г) Запишем внесённые купцами деньги в виде отношения: 15 000 : 10 000 : 12 500 = 150 : 100 : 125 = 6 : 4 : 5. Тогда:

1) 7500•6/6+4+5 = 7500•6/15 = 500 • 6 = 3000 (р.) — получит I купец

2) 7500•4/6+4+5 = 7500•4/15 = 500 • 4 = 2000 (р.) — получит II купец

3) 7500•5/6+4+5 = 7500•5/15 = 500 • 5 = 2500 (р.) — получит III купец
Ответ: 3000 р., 2000 р. и 2500 р.

д) 1) 27 • 20 = 540 (чел./дней) — производительность I артели
2) 32 • 18 = 576 (чел./дней) — производительность II артели
3) 15 • 16 = 240 (чел./дней) — производительность III артели

4) 4068•540/540+576+240 = 4068•540/1356 = 3 • 540 = 1620 (р.) — получит I артель

5) 4068•576/540+576+240 = 4068•576/1356 = 3 • 576 = 1728 (р.) — получит II артель

6) 4068•240/540+576+240 = 4068•240/1356 = 3 • 240 = 720 (р.) — получит III артель
Ответ: 1620 р., 1728 р. и 720 р.

16

Отношения, пропорции, проценты
Пропорции

Ответы к стр. 16

45. Что называют пропорцией? Приведите пример, назовите крайние и средние члены пропорции. Сформулируйте основное свойство пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений, например 200/50 = 32/8 — 200 и 8 крайние члены, а 50 и 32 средние члены пропорции. Основное свойство пропорции — произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: 200 • 8 = 50 • 32.

46. Запишите в виде пропорции:
а) 2 относится к 3, как 10 относится к 15;
б) 1/3 относится к 6, как 1 относится к 18;
в) 3 во столько же раз больше 2, во сколько раз 6 больше 4;
г) 7 больше 3 1/2 во столько же раз, во сколько раз 9 больше 9/2.

а) 2/3 = 10/15;

б) 1/3 : 6 = 1 : 18;

в) 3/2 = 6/4;

г) 7 : 3 1/2 = 9 : 9/2.

47. Можно ли составить пропорцию из отношений:
а) 6 : 3 и 24 : 12; б) 1 : 5 и 17 : 85;
в) 2 : 5 и 10 : 24; г) 20 : 8 и 35 : 14.

а) 6 : 3 = 2, 24 : 12 = 2, 2 = 2 — следовательно, пропорцию составить можно;
б) 1 : 5 = 1/5, 17 : 85 = 17/85 = 1/51/5 = 1/5 — следовательно, пропорцию составить можно;
в) 2 : 5 = 2/5, 10 : 24 = 10/24 = 5/122/5 ≠ 5/12 — следовательно, пропорцию составить нельзя;
г) 20 : 8 = 20/8 = 5/2, 35 : 14 = 35/14 = 5/25/2 = 5/2 — следовательно, пропорцию составить можно.

48. Верно ли равенство (48-50):
а) 3/4 = 15/20; б) 7 : 5 = 77/55; в) 12/18 = 14 : 21?

а) 3/4 = 15/20, 3 • 20 = 4 • 15, 60 = 60 – следовательно, равенство верно;
б) 7 : 5 = 77/55, 7 : 5 = 77 : 55, 7 • 55 = 5 • 77, 385 = 385 – следовательно, равенство верно;
в) 12/18 = 14 : 21, 12 : 18 = 14 : 21, 12 • 21 = 18 • 14, 252 = 252 – следовательно, равенство верно.

49. а) 2/3 : 4/5 = 10 : 12; б) 3/7 : 4/9 = 27 : 28;
в) 4/11 : 5/6 = 48 : 110; г) 1/2 : 2/3 = 4 : 3?

а) 2/3 : 4/5 = 10 : 12, 2/3 • 12 = 4/5 • 10, 8 = 8 — равенство верно;

б) 3/7 : 4/9 = 27 : 28, 3/7 • 28 = 4/9 • 27, 3•28/7 = 27•4/9, 3 • 4 = 3 • 4, 12 = 12 — равенство верно;

в) 4/11 : 5/6 = 48 : 110, 4/11 • 110 = 5/6 • 48, 4•110/11 = 5•48/6, 4 • 10 = 5 • 8, 40 = 40 — равенство верно;

г) 1/2 : 2/3 = 4 : 3, 1/2 • 3 = 2/3 • 4, 3/2 ≠ 8/3 — равенство неверно.

50. а) 1/7 : 3/4 = 1/14 : 3/8; б) 2/3 : 4/5 = 1/3 : 2/5;
в) 1 1/2 : 5 = 3 : 10; г) 1 4/5 : 2 = 10 : 9?

а) 1/7 : 3/4 = 1/14 : 3/81/7 • 3/8 = 3/4 • 1/143/56 = 3/56 — равенство верно;

б) 2/3 : 4/5 = 1/3 : 2/52/3 • 2/5 = 4/5 • 1/34/15 = 4/15 — равенство верно;

в) 1 1/2 : 5 = 3 : 10, 3/2 • 10 = 5 • 3, 30/2 = 15, 15 = 15 — равенство верно;

г) 1 4/5 : 2 = 10 : 9, 9/5 • 9 = 2 • 10, 81/5 ≠ 20 — равенство неверно.

17

Ответы к стр. 17

51. Замените пропорцией равенство:
а) 12 • 2 = 6 • 4; б) 15 • 6 = 9 • 10;
в) 42 • 4 = 84 • 2; г) 24 • 10 = 2 • 120.

а) 12 • 2 = 6 • 4  12 : 6 = 4 : 2;
б) 15 • 6 = 9 • 10  15 : 9 = 10 : 6;
в) 42 • 4 = 84 • 2  42 : 84 = 2 : 4;
г) 24 • 10 = 2 • 120  24 : 2 = 120 : 10.

52. Из данной пропорции получите новую, поменяв местами крайние члены (средние члены):
а) 25/13 = 50/26; б) 28 : 25 = 84 : 75.

а) меняем крайние члены: 26/13 = 50/25,
меняем средние члены: 25/50 = 13/26;

б) меняем крайние члены: 75 : 25 = 84 : 28;
меняем средние члены: 28 : 84 = 25 : 75.

53. Решите пропорцию (53-58):
а) х/2 = 3/7; б) х/3 = 2/5; в) х/12 = 7/10; г) х/16 = 9/32.

а) х/2 = 3/7
х • 7 = 2 • 3
7х = 6
х = 6/7
Ответ: 6/7.

б) х/3 = 2/5
х • 5 = 2 • 3
5х = 6
х = 6/5 = 1 1/5
Ответ: 1 1/5.

в) х/12 = 7/10
х • 10 = 12 • 7
10х = 84
х = 84/10 = 42/5 = 8 2/5
Ответ: 8 2/5.

г) х/16 = 9/32
х • 32 = 16 • 9
32х = 144
х = 144/32 = 9/2 = 4 1/2
Ответ: 4 1/2.

54. а) 7/8 = х/6; б) 13/15 = х/10; в) 12/21 = х/14; г) 48/51 = х/34.

а) 7/8 = х/6
7 • 6 = 8 • x
8х = 42
х = 42/8 = 21/4 = 5 1/4
Ответ: 5 1/4.

б) 13/15 = х/10
13 • 10 = 15 • x
15х = 130
х = 130/15 = 26/3 = 8 2/3
Ответ: 8 2/3.

в) 12/21 = х/14
12 • 14 = 21 • x
21х = 168
х = 168/21 = 24/3 = 8
Ответ: 8.

г) 48/51 = х/34
48 • 34 = 51 • x
51х = 1632
х = 1632/51 = 32
Ответ: 32.

55. а) 15/х = 5/8; б) 24/х = 8/7; в) 12/х = 4/5; г) 25/х = 5/7.

а) 15/х = 5/8
15 • 8 = x • 5
5x = 120
х = 120/5 = 24
Ответ: 24.

б) 24/х = 8/7
24 • 7 = x • 8
8x = 168
х = 168/8 = 21
Ответ: 21.

в) 12/х = 4/5
12 • 5 = x • 4
4x = 60
х = 60/4 = 15
Ответ: 15.

г) 25/х = 5/7
25 • 7 = x • 5
5x = 175
х = 175/5 = 35
Ответ: 35.

56. а) 3/5 = 7/х; б) 8/7 = 15/х; в) 7/1 = 12/х; г) 8/1 = 3/х.

а) 3/5 = 7/х,
3 • х = 5 • 7
3х = 35
х = 35/3 = 11 2/3
Ответ: 11 2/3.

б) 8/7 = 15/х
8 • х = 7 • 15
8х = 105
х = 105/8 = 13 1/8
Ответ: 13 1/8.

в) 7/1 = 12/х
7 • х = 1 • 12
7х = 12
х = 12/7 = 1 5/7
Ответ: 1 5/7.

г) 8/1 = 3/х
8 • х = 1 • 3
8х = 3
х = 3/8
Ответ: 3/8.

57. а) х : 1/2 = 3 : 5; б) х : 2/3 = 3 : 4;
в) х : 5 = 7 : 1/2; г) х : 6 = 1/3 : 8.

а) х : 1/2 = 3 : 5
х • 5 = 1/2 • 3
5х = 3/2
х = 3/2 : 5 = 3/2 • 1/5 = 3/10
Ответ: 3/10.

б) х : 2/3 = 3 : 4
х • 4 = 2/3 • 3
4х = 6/3 = 2
х = 2 : 4 = 2/4 = 1/2
Ответ: 1/2.

в) х : 5 = 7 : 1/2
х • 1/2 = 5 • 7
1/х = 35
х = 35 : 1/2 = 35 • 2 = 70
Ответ: 70.

г) х : 6 = 1/3 : 8
х • 8 = 6 • 1/3
8х = 6/3 = 2
х = 2 : 8 = 2/8 = 1/4
Ответ: 1/4.

58. а) 14 : 15 = 3 : х; б) 12 : 29 = 1/58 : х;
в) 12 : 25 = 7/15 : х; г) 144 : 125 = 1 1/2 : х.

а) 14 : 15 = 3 : х
14 • х = 15 • 3
14х = 45
х = 45/14 = 3 3/14
Ответ: 3 3/14.

б) 12 : 29 = 1/58 : х
12 • х = 29 • 1/58
12х = 29/58 = 1/2
х = 1/2 : 12 = 1/2 • 1/12 = 1/24
Ответ: 1/24.

в) 12 : 25 = 7/15 : х
12 • х = 25 • 7/15
12х = 175/15 = 35/3
х = 35/3 : 12 = 35/3 • 1/12 = 35/36
Ответ: 35/36.

г) 144 : 125 = 1 1/2 : х
144 • х = 125 • 3/2
144х = 375/2
х = 375/2 : 144 = 375/2 • 1/144 = 375/288 = 125/96 = 1 29/96
Ответ: 1 29/96.

Доказываем

59. Докажите, что если α/b = c/d, то:
а) d/b = c/α; б) d/c = b/α; в) α+c/b+d = c/d; г) α/b = α+c/b+d.

а) α/b = c/d — по основному свойству пропорции αd = bc, разделим обе части выражения на αb:
αd/αb = bc/αb
d/b = c/α

б) α/b = c/d — по основному свойству пропорции αd = bc, разделим обе части выражения на αc:
αd/αc = bc/αc
d/c = b/α

в) α/b = c/d — по основному свойству пропорции αd = bc, прибавим к обеим частям выражения cd:
αd + cd = bc + cd
d(α + c) = c(b + d) и по основному свойству пропорции получим:
α+c/b+d = c/d

г) α/b = c/d — по основному свойству пропорции αd = bc, прибавим к обеим частям выражения αb:
αd + αb = bc + αb
α(d + b) = b(c + α) и по основному свойству пропорции получим:
α/b = α+c/b+d

60. Решите пропорцию (60-61):
а) 2x/3 = 4/9; б) 3x/5 = 9/10; в) 8/15 = 6х/9; г) 12/13 = 18х/39.

а) 2x/3 = 4/9
2x • 9 = 3 • 4
18х = 12
х = 12/18 = 2/3
Ответ: 2/3.

б) 3x/5 = 9/10
3x • 10 = 5 • 9
30х = 45
х = 45/30 3/2 = 1 1/2
Ответ: 1 1/2.

в) 8/15 = 6х/9
8 • 9 = 15 • 6х
90х = 72
х = 72/90 = 8/10 = 4/5
Ответ: 4/5

г) 12/13 = 18х/39
12 • 39 = 13 • 18х
234х = 468
х = 468 : 234 
х = 2
Ответ: 2.

61. а) 1/5 = 2 : 3х; б) 2/7 = 3/4х; в) 21/25 = 49/50х; г) 16/19 = 32 : 38х.

а) 1/5 = 2 : 3х
1 • 3х = 5 • 2
3х = 10
х = 10/3 = 3 1/3
Ответ: 3 1/3.

б) 2/7 = 3/4х
2 • 4х = 7 • 3
8х = 21
х = 21/8 = 2 5/8
Ответ: 2 5/8.

в) 21/25 = 49/50х
21 • 50х = 25 • 49
1050х = 1225
х = 1225/1050 = 49/42 = 1 7/42 = 1 1/6
Ответ: 1 1/6.

г) 16/19 = 32 : 38х
16 • 38х = 19 • 32
608х = 608
х = 608 : 608 
х = 1
Ответ: 1.

20

Отношения, пропорции, проценты
Прямая и обратная пропорциональность

Ответы к стр. 20

62. Какие величины называют:
а) прямо пропорциональными;
б) обратно пропорциональными?
Приведите примеры.

а) Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Например, один карандаш стоит 5 рублей, два карандаша стоят 10 рублей и так далее.

б) Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Например, машина проехала путь со скоростью 50 км/ч за 2 часа, а мотоцикл тот же путь проехал со скоростью 25 км/ч за 4 часа — время движения обратно пропорционально скорости движения на одном и том же участке пути: с увеличением скорости время уменьшается.

63. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:
а) в 2 раза больше;
б) в 2 раза меньше?

а) Стоимость карандашей прямо пропорциональна их количеству, поэтому за них заплатили в 2 раза больше: 8 р. • 2 = 16 р.

б) Стоимость карандашей прямо пропорциональна их количеству, поэтому за них заплатили в 2 раза меньше: 8 р. : 2 = 4 р.

64. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:
а) в 2 раза дороже; б) в 2 раза дешевле?

а) Стоимость карандашей при их постоянном количестве прямо пропорциональна их цене, поэтому заплатят в 2 раза больше: 8 р. • 2 = 16 р.

б) Стоимость карандашей при их постоянном количестве прямо пропорциональна их цене, поэтому заплатят в 2 раза меньше: 8 р. : 2 = 4 р.

65. На имеющиеся деньги можно купить 30 карандашей.
а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?
б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

а) Стоимость обратно пропорциональна количеству, поэтому при уменьшении стоимости в 2 раза, количество возрастёт в 2 раза: 30 • 2 = 60 тетрадей.

б) Количество обратно пропорционально стоимости, поэтому при увеличении стоимости в 10 раз, количество уменьшится в 10 раз: 30 : 10 = 3 ручки.

66. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.
а) Сколько километров пройдёт за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) Сколько километров проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

а) Скорость прямо пропорциональна расстоянию, поэтому при уменьшении скорости в 3 раза расстояние также уменьшится в 3 раза: 36 км : 3 = 12 км — пройдёт пешеход.

б) Скорость прямо пропорциональна расстоянию, поэтому при увеличении скорости в 5 раз расстояние также увеличится в 5 раз: 36 км • 5 = 210 км — проедет мотоциклист.

67. Расстояние от села до города велосипедист проехал за 3 ч.
а) За сколько часов это расстояние пройдёт пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

а) Скорость обратно пропорциональна времени, поэтому при уменьшении скорости в 3 раза, время в пути увеличится в 3 раза: 3 ч • 3 = 9 часов — потребуется пешеходу.

б) Скорость обратно пропорциональна времени, поэтому при увеличении скорости в 5 раз, время в пути уменьшится в 5 раз: 3 ч : 5 = 3/5 часа — потребуется мотоциклисту.

68. Какова зависимость между:
а) ценой карандаша и стоимостью нескольких таких карандашей при постоянном их количестве;
б) количеством карандашей одного сорта и их стоимостью при постоянной их цене;
в) количеством карандашей и их ценой при постоянной стоимости покупки?

а) прямо пропорциональная — чем больше цена карандаша, тем больше общая стоимость карандашей при их постоянном количестве;

б) прямо пропорциональная — чем больше количество карандашей, тем больше их стоимость;

в) обратно пропорциональная — чем больше карандашей, тем меньше стоит один карандаш при постоянной стоимости покупки.

69. Какова зависимость между:
а) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения;
б) временем и расстоянием при постоянной скорости движения;
в) временем и скоростью при постоянном пути?

а) прямо пропорциональная — чем больше скорость, тем больше пройденное расстояние при постоянном времени движения;

б) прямо пропорциональная — чем больше затрачено времени, тем больше пройденное расстояние при постоянной скорости движения;

в) обратно пропорциональная — чем больше затрачено времени на путь, тем меньше скорость движения при постоянном пути.

21

Ответы к стр. 21

70. Какова зависимость между:
а) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день;
б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет;
в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

а) прямо пропорциональная — чем больше количество тракторов, тем большую площадь они вспашут;

б) прямо пропорциональная — чем больше дней трактор будет пахать, тем большую площадь он вспашет;

в) обратно пропорциональная — чем больше будет количество тракторов, тем меньшее количество дней уйдёт у них на вспашку.

71. а) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью всей покупки?
б) Некто хочет проехать расстояние между двумя городами с постоянной скоростью. Какова зависимость между скоростью и временем движения?

а) прямо пропорциональная — чем больше количество одинаковых тетрадей, тем больше стоимость всей покупки;

б) обратно пропорциональная — чем больше скорость, тем меньше времени уйдёт на поездку.

72. За 6 ч поезд прошел 480 км. Сколько километров поезд прошел за первые 2 часа, двигаясь с постоянной скоростью?

↑ 6 ч — 480 км ↑
↑   2 ч — х км   ↑
Время движения поезда прямо пропорционально пройденному расстоянию, тогда:
6/2 = 480/х
х = 2•480/= 2 • 80 = 160 (км)
Ответ: 160 км прошел поезд за первые два часа.

73. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку.
Сколько килограммов сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?

↓  6 кг ягод — 4 кг сахара  ↓
↓ 12 кг ягод — х кг сахара ↓
Масса ягод прямо пропорциональна массе сахарного песка, тогда:
6/12 = 4/х
х = 12•4/6 = 2 • 4 = 8 (кг)
Ответ: 8 кг сахарного песка нужно взять.

74. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песка. Сколько килограммов ягод надо взять на 12 кг сахарного песка?

↑  6 кг ягод — 4 кг сахара  ↑
↑ х кг ягод — 12 кг сахара ↑
Масса сахарного песка прямо пропорциональна массе ягод, тогда:
6/х = 4/12
х = 6•12/4 = 6 • 3 = 18 (кг)
Ответ: 18 кг ягод нужно взять.

75. а) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 300 г этого раствора
б) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько соли содержится в 200 г этого раствора?

а)↓ 100 г раствора — 4 г соли ↓
   ↓ 300 г раствора — х г соли ↓
Масса раствора прямо пропорциональна массе соли, тогда:
100/300 = 4/х
х = 300•4/100 = 3 • 4 = 12 (г)
Ответ: 12 г соли содержится.

б)↑ 4000 г раствора — 80 г соли ↑
   ↑  200 г раствора — х г соли    ↑
Масса раствора прямо пропорциональна массе соли, тогда:
4000/200 = 80/х
х = 200•80/4000 = 80 : 20 = 4 (г)
Ответ: 4 г соли содержится.

76. Расстояние между двумя городами первый поезд прошёл со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов второй поезд пройдёт то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

↑ 80 км/ч — 3 ч  ↓
↑ 60 км/ ч — х ч ↓
Скорость движения поезда обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
80/60 = х/3
х = 3•80/60 = 80 : 20 = 4 (ч)
Ответ: 4 часа потребуется второму поезду.

77. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней тот же забор покрасят:
а) 10 маляров; б) 1 маляр.

а)↓  5 маляров — 8 дней  ↑
   ↓ 10 маляров — х дней ↑
Количество маляров обратно пропорционально количеству дней, тогда:
10/5 = 8/х
х = 5•8/10 = 40 : 10 = 4 (дня)
Ответ: 4 дня потребуется 10 малярам.

б)↑ 5 маляров — 8 дней ↓
   ↑ 1 маляров — х дней ↓
Количество маляров обратно пропорционально количеству дней, тогда:
5/1 = х/8
х = 5•8/1 = 40 (дней)
Ответ: 40 дней потребуется одному маляру.

78. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 14 м сукна?

↓ 8 м сукна — 63 м ситца ↓
↓ 14 м сукна — х м ситца ↓
Количество сукна прямо пропорционально количеству ситца, тогда:
8/14 = 63/х
х = 14•63/8 = 882/8 = 441/4 = 110 1/4 м
Ответ: 110 1/4 м ситца можно купить.

79. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса.

↓ 6 косцов — 8 часов ↑
↓  х косцов — 3 часа  ↑
Количество косцов обратно пропорционально времени распития кваса, тогда:
х/6 = 8/3
х = 6•8/3 = 2 • 8 = 16 (косцов)
Ответ: 16 косцов выпьют квас за 3 часа.

80. Из «Арифметики» А. П. Киселёва. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

↓ 8 аршин сукна — 30 р. ↓
↓ 15 аршин сукна — х р. ↓
Количество сукна прямо пропорционально его стоимости, тогда:
8/15 = 30/х
х = 15•30/8 = 450/8 = 225/4 = 56 1/4 (р.)
1/4 р. = 1/4 • 100 коп. = 100/4 коп. = 25 коп.
Ответ: 56 1/4 р. или 56 р. 25 коп. стоят 15 аршин сукна.

81. Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

↑ 80 км/ч — 720 км ↑
↑  60 км/ч — х км    ↑
Скорость поезда прямо пропорциональна пройденному расстоянию, тогда:
80/60 = 720/х
х = 720•60/80 = 9 • 60 = 540 (км)
Ответ: 540 км пройдет пассажирский поезд.

22

Ответы к стр. 22

82. а) Грузовик со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?
б) Бригада из 4 человек может выполнить задание за 10 дней. За сколько дней выполнит такое же задание другая бригада из 5 человек, если все 9 человек работают одинаково хорошо?

а) ↓ 60 км/ч — 8 ч ↑
    ↓ 80 км/ч — х ч ↑
Скорость движения обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
80/60 = 8/х
х = 60•8/80 = 60 : 10 = 6 (ч)
Ответ: 6 ч потребуется легковому автомобилю на преодоление пути.

б) ↓ 4 человека — 10 дней ↑
    ↓  5 человек — х дней    ↑
Количество человек обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
5/4 = 10/х
х = 4•10/5 = 4 • 2 = 8 (дней)
Ответ: 8 дней потребуется бригаде из 5 человек.

83. Один килограмм металлолома заменяет 2 1/2 кг богатой железом руды. Сколько руды заменяют 4 т металлолома?

4 т = 4000 кг
↓ 1 кг металлолома — 2 1/2 кг руды ↓
↓    4 т металлолома — х кг руды     ↓
Масса металлолома прямо пропорционально массе руды, тогда:
1/4000 = 2 1/2 : х
х = (4000 • 2 1/2: 1 = 4000 • 5/2 = 4000•5/2 = 2000 • 5 = 10000 (кг) = 10 (т )
Ответ: 10 т руды.

84. а) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал этот же мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
б) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

а) ↓60 км/ч — 40 с ↑
    ↓ х км/ч — 30 с  ↑
Скорость движения обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
х/60 = 40/30
х = 60•40/30 = 2 • 40 = 80 (км/ч)
Ответ: 80 км/ч скорость на обратном пути.

б) ↑ 60 км/ч — 1 мин ↓
    ↑ 50 км/ч — х мин ↓
Скорость движения обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
60/50 = х/1
х = 60•1/50 = 6/5 = 1 1/5 (мин.)
1/5 мин = 1/5 • 60 с = 60/5 с = 12 с
Ответ: 1 1/5 мин или 1 мин 12 с.

85. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

↑ 60 зубьев — 50 оборотов ↓
↑  40 зубьев — х оборотов  ↓
Количество зубьев обратно пропорционально количеству оборотов, тогда:
60/40 = х/50
х = 60•50/40 = 3•50/2 = 3•25/1 = 75 (оборотов)
Ответ: 75 оборотов.

86. За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а его ученик — 4 детали.
а) Сколько деталей сделает ученик токаря за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей?
б) Сколько времени потратит ученик токаря на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

а) ↓   6 деталей токарь — 4 детали ученик  ↓
    ↓ 27 деталей токарь — х деталей ученик ↓
Количество деталей токаря прямо пропорционально количеству деталей ученика, тогда:
6/27 = 4/х
х = 27•4/6 = 9•4/2 = 9•2/1 = 18 (деталей)
Ответ: 18 деталей сделает ученик.

б) Если исходить из условия, что за 1 час токарь делает 6 деталей (хотя нигде в условии этого не сказано), то:
↑ 6 деталей — 1 ч токарь ↓
↑ 4 деталей — х ч ученик ↓
Количество деталей изготовляемых учеником за одно время с токарем обратно пропорционально времени выполнения учеником задания токаря, тогда:
6/4 = x/1
x = 6•1/4 = 3/2 = 1 1/2 ч
1/2 ч = 1/2 • 60 мин = 60/2 мин = 30 мин
Более правильно сравнить работу токаря и ученика за одинаковое время: 6 деталей : 4 детали = 6/4 = 3/2 раза — медленнее работает ученик, чем токарь. Следовательно, ученик на выполнение задания потратит в 3/2 раза больше времени, чем токарь: 1 ч • 3/2 = 3/2 ч = 1 1/2 ч = 1 ч 30 мин.
Ответ: 1 1/2 ч или 1 ч 30 мин потратит ученик на то же самое задание, которое токарь делает за 1 час.

87. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.
а) Сколько километров проехал велосипедист за то же время, за которое пешеход прошел 10 км?
б) Сколько времени потратил велосипедист на тот путь, который пешеход прошел за 2 ч?

а) ↓ 6 км пешеход — 18 км велосипедист ↓
    ↓ 10 км пешеход — x км велосипедист ↓
Расстояние, пройденное пешеходом, прямо пропорционально расстоянию, преодоленному велосипедистом, тогда:
6/10 = 18/x
x = 10•18/6 = 10 • 3 = 30 (км)
Ответ: 30 км проедет велосипедист.

б) Если исходить из условия, что за 2 часа пешеход прошёл 6 км (хотя нигде в условии этого не сказано), то:
↑       6 км пешеход — 2 ч пешеход           ↓
↑ 18 км велосипедист — x ч велосипедист ↓
Расстояние обратно пропорционально времени в пути, тогда:
6/18 = x/2
x = 6•2/18 = 12/18 = 2/3 (ч)
2/3 ч = 2/3 • 60 мин = 2•60/3 мин = 2 • 20 мин = 40 мин
Более правильно сравнить расстояние, которое преодолевают пешеход и велосипедист за одинаковое время: 18 км : 6 км = 18/6 = 3 раза — медленнее передвигается пешеход, чем велосипедист. Следовательно, велосипедист на путь, пройденный пешеходом, потратит в 3 раза меньше времени, чем пешеход: 2 ч : 3 = 2/3 ч = 40 мин.
Ответ: 2/3 ч или 40 мин потратит велосипедист.

88. Некоторую работу 6 человек сделают за 18 дней. За сколько дней сделают ту же работу 9 человек, работающих так же успешно, как и первые?

↓ 6 человек — 18 дней ↑
↓  9 человек — х дней  ↑
Количество человек обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
6/9 = х/18
х = 6•18/9 = 6 • 2 = 12 (дней)
Ответ: 9 человек выполнят работу за 12 дней.

89. а) Шесть маляров выполняют работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 3 дня?
б) Двое рабочих могли выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 4 дня?

а) ↓ 6 маляров — 5 дней ↑
    ↓  х маляров — 3 дня  ↑
Количество маляров обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
1) 6/х = 3/5
х = 6•5/3 = 2 • 5 = 10 (маляров) — выполнят работу за 10 дней
2) 10 — 6 = 4 (маляра)
Ответ: необходимо пригласить 4 маляра.

б) ↓ 2 рабочих — 10 дней ↑
    ↓  х рабочих — 4 дня    ↑
Количество рабочих обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
1) 2/х = 4/10
х = 2•10/4 = 10/2 = 5 (рабочих) — выполнят работу за 4 дня
2) 5 — 2 = 3 (рабочих)
Ответ: необходимо пригласить 3 рабочих.

23

Ответы к стр. 23

90. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему двадцать человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в тридцать дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

↓ 20 работников — 30 дней ↑
↓   х работников — 5 дней   ↑
Количество работников обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
20/х = 5/30
х = 20•30/5 = 4 • 30 = 120 (работников)
Ответ: 120 работников потребуется для постройки двора за 5 дней.

91. Из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева. а) Скорость парохода относится к скорости течения как 36 : 5. Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему чтобы вернуться обратно?
б) Катер проходит определенное расстояние в стоячей воде за 12 ч. То же расстояние он может пройти по течению за 10 ч. Против течения катер идёт со скоростью 24 км/ч. Определите скорость катера по течению.

а) 5 ч 10 мин = 310 мин
36 + 5 = 41 часть — составляет скорость по течению
36 — 5 = 31 часть — составляет скорость против течения
↓ 310 мин — 41 часть ↑
↓   х мин — 31 часть   ↑
Время в пути обратно пропорционально скорости парохода, тогда:
310/х = 31/41
х = 310•41/31 = 10 • 41 = 410 (мин)
410 мин = 410/60 ч = 6 50/60 ч = 6 5/6 ч = 6 часов 50 минут
Ответ: 6 часов 50 минут потребуется пароходу на путь обратно.

б) 12 : 10 — отношение скорости катера по течению к скорости катера в стоячей воде
12 — 10 = 2 части — составляет скорость течения
10 — 2 = 8 частей — составляет скорость катера против течения
↓ 24 км/ч — 8 частей ↓
↓ х км/ч — 12 частей ↓
Скорость катера против течения прямо пропорциональна скорости катера по течению, тогда:
24/х = 8/12
х = 24•12/8 = 3 • 12 = 36 (км/ч)
Ответ: скорость катера по течению 36 км/ч.

Ищем информацию

92. Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете, как решали задачи напрямую и обратную пропорциональности во времена Л. Ф. Магницкого и в средневековой Европе. Придумайте задачу на прямую или обратную пропорциональность и решите её старинным способом.

Во времена Леонтия Магницкого задачи на прямую и обратную пропорциональность решали методом тройного правила. Это правило называли строкой потому, что для простоты вычислений данные записывались в строку. Правильность такого решения целиком зависела от правильности записи данных задачи: порядок записи для задач на прямую и обратную пропорциональности отличался.
Тройное правило: перемножить второе и третье число и произведение разделить на первое.
Тройное правило применяли при решении задач в средние века.

Прямая пропорциональность. Мотоциклист проехал 100 км за 2 ч. Какой путь он проедет за 5 часов?
Запись в строку: 2 – 100 – 5.
Вычисление: 100 • 5 : 2 = 500 : 2 = 250 (км)
Ответ: за 5 часов мотоциклист проедет 250 км.

Обратная пропорциональность. Мотоциклист проехал путь со скоростью 40 км/ч за 3 ч. За какое время он проедет этот же путь со скоростью 60 км/ч?
Запись в строку: 60 – 3 – 40.
Вычисление: 3 • 40 : 60 = 120 : 60 = 2 (ч)
Ответ: со скоростью 60 км/ч мотоциклист проедет путь за 2 часа.

25

Отношения, пропорции, проценты
Понятие о проценте

Ответы к стр. 25

93. Что называют процентом?

Сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины).

94. Как найти несколько процентов числа?

Чтобы найти p процентов от числа (величины) А, надо найти р/100 от А, то есть вычислить р/100 • А.

26

Ответы к стр. 26

95. Запишите проценты в виде дроби:
1 %, 5 %, 70 %, 100 %, 120 %, 150 %, 200 %, 1020 %.

1 % = 1 : 100 = 1 • 1/100 = 1/100;

5 % = 5 : 100 = 5 • 1/100 = 5/100 = 1/20;

70 % = 70 : 100 = 70 • 1/100 = 70/100 = 7/10;

100 % = 100 : 100 = 100 • 1/100 = 100/100 = 1;

120 % = 120 : 100 = 120 • 1/100 = 120/100 = 6/5 = 1 1/5;

150 % = 150 : 100 = 150 • 1/100 = 150/100 = 3/2 = 1 1/2;

200 % = 200 : 100 = 200 • 1/100 = 200/100 = 2;

1020 % = 1020 : 100 = 1020 • 1/100 = 1020/100 = 102/10 = 10 1/5.

96. Прочитайте предложение, запишите число процентов в виде дроби, прочитайте полученное предложение:
а) Число 25 составляет 25 % от 100;
6) Число 20 составляет 50 % от 40;
в) Число 500 увеличили на 10 % и получили 550.

а) Число двадцать пять составляет двадцать пять процентов от ста.
25 % = 25 • 1/100 = 25/100 = 1/4
Число 25 составляет 1/4 от 100 ⇔ Число двадцать пять составляет одну четвёртую от ста.

б) Число двадцать составляет пятьдесят процентов от сорока.
50 % = 50 • 1/100 = 50/100 = 1/2
Число 20 составляет 1/2 от 40 ⇔ Число двадцать составляет одну вторую от сорока.

в) Число пятьсот увеличили на десять процентов и получили пятьсот пятьдесят.
10 % = 10 • 1/100 = 10/100 = 1/10 
Число 500 увеличили на 1/10 и получили 550 ⇔ Число пятьсот увеличили на одну десятую и получили пятьсот пятьдесят.

97. Запишите дроби в виде процентов:
а) 1/1003/1005/10010/1001/101/20; б) 1/501/51/21/4, 2, 1 15/100.

а) 1/100 • 100 = 100/100 = 1 %,

3/100 • 100 = 300/100 = 3 %,

5/100 • 100 = 500/100 = 5 %,

10/100 • 100 = 1000/100 = 10 %,

1/10 • 100 = 100/10 = 10 %,

1/20 • 100 = 100/20 = 5 %;

б) 1/50 • 100 = 100/50 = 2 %,

1/5 • 100 = 100/5 = 20 %,

1/2 • 100 = 100/2 = 50 %,

1/4 • 100 = 100/4 = 25 %,

2 • 100 = 200 %;

15/100 • 100 = 115/100 • 100 = 115 %.

98. В начале XX века в России из каждых 100 человек, занятых в хозяйстве, 9 человек работали в промышленности, 75 работали в сельском хозяйстве, 9 человек работали в торговле. Выразите в процентах долю работников, занятых в промышленности, сельском хозяйстве и в торговле, от общего числа занятых в хозяйстве.

9/100 — доля работающих в промышленности,
9/100 • 100 % = 9 % работали в промышленности;

75/100 — доля работающих в сельском хозяйстве,
75/100 • 100 % = 75 % работали в сельском хозяйстве;

9/100 — доля работающих в торговле,
9/100 • 100 % = 9 % работали в торговле.

Ответ: 9 % работали в промышленности, 75 % работали в сельском хозяйстве, 9 % работали в торговле.

99. Найдите 1 % от:
а) 1 метра; б) 1 центнера; в) 1 килограмма.

а) 1 м = 100 см,
100 см • 1/100 = 100/100 см = 1 см;

б) 1 ц = 100 кг,
100 кг • 1/100 = 100/100 кг = 1 кг;

в) 1 кг = 1000 г,
1000 г • 1/100 = 1000/100 г = 10 г.

100. Найдите 5 %, 17 %, 23 % от:
а) 1 метра;
б) 1 центнера;
в) 1 килограмма.

а) 1 метр = 100 см,
100 см • 5/100 = 500/100 см = 5 см,

100 см • 17/100 = 1700/100 см = 17 см.

100 см • 23/100 = 2300/100 см = 23 см;

б) 1 центнер = 100 кг,
100 кг • 5/100 = 500/100 кг = 5 кг,

100 кг • 17/100 = 1700/100 кг = 17 кг,

100 кг • 23/100 = 2300/100 кг = 23 кг;

в) 1 кг = 1000 г,
1000 г • 5/100 = 5000/100 кг = 50 г,

1000 г • 17/100 = 17000/100 кг = 170 г,

1000 г • 23/100 = 23000/100 кг = 230 г.

101. Найдите:
а) 1 % от 100; б) 1 % от 300; в) 5 % от 40;
г) 7 % от 200; д) 20 % от 15; е) 25 % от 48;
ж) 100 % от 49; з) 120 % от 250; и) 200 % от 300.

а) 1/100 • 100 = 100/100 = 1;

б) 1/100 • 300 = 300/100 = 3;

в) 5/100 • 40 = 200/100 = 2;

г) 7/100 • 200 = 1400/100 = 14;

д) 20/100 • 15 = 300/100 = 3;

е) 25/100 • 48 = 1200/100 = 12;

ж) 100/100 • 49 = 4900/100 = 49;

з) 120/100 • 250 = 30000/100 = 300;

и) 200/100 • 300 = 60000/100 = 600.

102. Служащий вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода он получил?

20/100 • 500 = 10000/100 = 100 (р.)
Ответ: 100 рублей дохода получил служащий.

103. Какую часть числа составляют его:
а) 1 %; б) 5 %; в) 10 %; г) 20 %;
д) 25 %; е) 50 %; ж) 75 %; з) 100 %?

а) 1 % = 1 • 1/100 = 1/100 — числа составляет 1 %;

б) 5 % = 5 • 1/100 = 5/100 = 1/20 — числа составляет 5 %;

в) 10 % = 10 • 1/100 = 10/100 = 1/10 — числа составляет 10 %;

г) 20 % = 20 • 1/100 = 20/100 = 1/5 — числа составляет 20 %;

д) 25 % = 25 • 1/100 = 25/100 = 1/4 — числа составляет 25 %;

е) 50 % = 50 • 1/100 = 50/100 = 1/2 — числа составляет 50 %;

ж) 75 % = 75 • 1/100 = 75/100 = 3/4 — числа составляет 75 %;

з) 100 % = 100 • 1/100 = 100/100 = 1 числа составляет 100 %.

104. Вычислите:
а) 50 % от 400; б) 10 % от 20; в) 25 % от 16; г) 75 % от 8.

а) 50 % • 1/100 • 400 = 50•400/100 = 50 • 4 = 200;

б) 10% • 1/100 • 20 = 10•20/100 = 20/10 = 2;

в) 25% • 1/100 • 16 = 25•16/100 = 16/4 = 4;

г) 75% • 1/100 • 8 = 75•8/100  = 3•8/4 = 3 • 2 = 6.

105. Из сахарной свёклы получают сахар, масса которого составляет 18 % массы свеклы. Сколько сахара получится при переработке:
а) 40 т свёклы; б) 30 т свёклы; в) 500 т свёклы.

а) 18 • 1/100 • 40 = 18•40/100 = 18•2/5 = 36/5 = 7 1/5 (т)
1/5 т = 1/5 • 1000 кг = 1000/5 кг = 200 кг
Ответ: 7 1/5 т или 7 т 200 кг сахара.

б) 18 • 1/100 • 30 = 18•30/100  = 18•3/10 = 54/10 = 27/5 = 5 2/5 (т)
2/5 т = 2/5 • 1000 кг = 2000/5 кг = 400 кг
Ответ: 5 2/5 т или 5 т 400 кг сахара.

в) 18 • 1/100 • 500 = 18•500/100 = 18 • 5 = 90 (т)
Ответ: 90 т сахара.

106. Магнитный железняк содержит 70% чистого железа. Сколько тонн железа в 13 т железняка?

70 • 1/100 • 13 = 70•13/100 = 7•13/10 = 91/10 = 9 1/10 (т)
Ответ: 9 1/10 т железняка.

107. Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. Сколько граммов олова и сколько свинца в 400 г сплава?

1) 62 • 1/100 • 400 = 62•400/100 = 62 • 4 = 248 (г) — олова в 400 г сплава

2) 38 • 1/100 • 400 = 38•400/100 = 38 • 4 = 152 (г) — свинца в 400 г сплава
Ответ: 248 г олова и 152 г свинца в 400 г сплава.

27

Ответы к стр. 27

108. Папа потратил 2000 р. на подарки маме и нам — детям. На подарок маме он потратил 40 % этой суммы, мне и моей сестре по 30 %. Все ли деньги потратил папа? Нет ли в задаче лишних данных?

40 % + 30 % + 30 % = 100 % — всех денег потратил папа, а так как все его деньги составляют 100 %, значит он потратил все деньги
Ответ: папа потратил все деньги, 2000 р. — лишнее данное.

109. а) 25% учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, еще 75% — в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?
б) Туристы проехали 80% намеченного маршрута на поезде и 15% — на автобусе. Весь ли маршрут они проехали?
в) Маша потратила 70% имевшихся у неё денег на книги и 30% на тетради. Все ли деньги потратила Маша.

а) 25 % + 75 % = 100 % учащихся участвовали в соревнованиях, а так как все учащиеся класса составляют 100 %, значит все учащиеся класса участвовали в соревнованиях
Ответ: все учащиеся класса участвовали в соревнованиях.

б) 1) 80 % + 15 % = 95 % — маршрута проехали туристы
2) 100 % — 95 % = 5 % — маршрута туристы не проехали
Ответ: туристы проехали не весь маршрут.

в) 70 % + 30 % = 100 % — денег потратила Маша, а так как все её деньги составляют 100 %, значит она потратила все деньги
Ответ: Маша потратила все деньги.

110. Учительница сказала: «С контрольной работой справились 100% учащихся нашего класса». Как это понимать?

Все учащиеся класса составляют 100 %, а так как 100 % учащихся справились с контрольной работой, значит все учащиеся класса справились с контрольной работой.
Ответ: все учащиеся класса справились с контрольной работой.

111. а) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
б) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов составляют женщины?
в) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

а) вся сумма составляет 100 %
100 % — 80 % = 20 %
Ответ: 20 % суммы осталось.

б) все работники завода составляют 100%
100 % — 75 % = 25 %
Ответ: 25 % женщин работает на заводе.

в) все дети класса составляют 100%
100 % — 40 % = 60 %
Ответ: 60 % мальчиков учится в классе.

112. а) Найдите 15 % числа 36.
б) Найдите число, 15 % которого равны 36.

а) 15 • 1/100 • 36 = 15•36/100 = 3•36/20 = 3•9/5 = 27/5 = 5 2/5.

б) 36/15 • 100 = 3600/15 = 240.

113. Найдите число:
а) 1 % которого равен 3; б) 10 % которого равны 40;
в) 15 % которого равны 30; г) 50 % которого равны 250.

а) 3/1 • 100 = 300;

б) 40/10 • 100 = 4 • 100 = 400;

в) 30/15 • 100 = 2 • 100 = 200;

г) 250/50 • 100 = 5 • 100 = 500.

114. Запишите дробь в виде процентов:
а) 4/5; б) 5/4; в) 3/4; г) 13/25; д) 17/20; е) 4/3.

а) 4/5 = 4/5 • 100 = 400/5 = 80 %;

б) 5/4 = 5/4 • 100 = 500/4 = 125 %;

в) 3/4 = 3/4 • 100 = 300/4 = 75 %;

г) 13/25 = 13/25 • 100 = 13•100/25 = 13 • 4 = 52 %;

д) 17/20 = 17/20 • 100 =17•100/20 = 17 • 5 = 85 %;

е) 4/3 = 4/3 • 100 = 400/3 = 133 1/3 %.

28

Ответы к стр. 28

115. а) В магазин привезли партию лампочек. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2 % от общего числа. Сколько лампочек привезли в магазин?
б) Посадили семена гороха, 270 из них взошли. Это составило 90 % от всех посаженных семян. Сколько семян посадили?

а) 16/2 • 100 = 8 • 100 = 800 (лампочек)
Ответ: 800 лампочек привезли в магазин.

б) 270/90 • 100 = 3 • 100 = 300 (семян)
Ответ: 300 семян гороха всего посадили.

116. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушёных. Какую часть от массы свежих груш составляет масса сушённых? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

1) 4 кг : 16 кг = 1/4 — составляет масса сушенных груш от массы свежих
2) 1/4 • 100 = 100/4 = 25 % — составляет масса сушенных груш от массы свежих
3) 100 % — масса свежих груш, 25 % — масса груш после сушки
100 % — 25 % = 75 % — массы груш теряется при сушке
Ответ: 1/4 или 25 % составляет масса сушенных груш от массы свежих, 75 % массы груш теряется при сушке.

117. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

40/50 • 100 = 4•100/5 = 4 • 20 = 80%.

50/40 • 100 = 5•100/4 = 5 • 25 = 125%.

118. а) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.
б) В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

а) 47/50 • 100 = 47•100/50 = 47 • 2 = 94 (%)
Ответ: всхожесть семян 94 %.

б) 12/400 • 100 = 12•100/400 = 12/4 = 3 (%)
Ответ: 3 % учащихся учатся на «5».

119. Маша прочитала 120 страниц, и ей ещё осталось прочитать 130 страниц книги.
а) Сколько процентов всех страниц она прочитала?
б) Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?

120 + 130 = 250 — всего страниц в книге
а) 120/250 • 100 = 120•100/250 = 12 • 4 = 48 (%) — книги прочитано
б) 130/250 • 100 = 130•100/250 = 13 • 4 = 52 (%) — книги не прочитано
Ответ: прочитано 48% всех страниц, осталось прочитать 52% всех страниц.

120. В июле было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов составили:
а) солнечные дни;
б) пасмурные дни.

12 + 18 = 30 — всего дней в июле
а) 12/30 • 100 = 12•100/30 = 120/3 = 40 (%) — солнечных дней
б) 18/30 • 100 = 18•100/30 = 180/3 = 60 (%) — пасмурных дней
Ответ: 40% солнечных дней, 60% пасмурных дней.

121. В одном килограмме сыра содержится 200 г белка. Сколько процентов белка содержится в сыре?

1 кг = 1000 г
200/1000 • 100 = 200•100/1000 = 200/10 = 20 (%)
Ответ: 20% белка содержится в сыре.

29

Отношения, пропорции, проценты
Задачи на проценты

Ответы к стр. 29

122. а) В магазин привезли 2500 кг лука. Продали 30% всего лука. Сколько килограммов лука осталось продать?
б) В школе 400 учащихся, 52 % этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

а) 30 % = 30/100
2500 • 30/100 = 2500•30/100 = 25 • 30 = 750 (кг) – лука продано
2500 − 750 = 1750 (кг) — лука осталось продать

или
100 – 30 = 70 (%) – лука осталось продать
2500 • 70/100 = 2500•70/100 = 25 • 70 = 1750 (кг) – лука осталось продать

или
100 – 30 = 70 (%) – лука осталось продать
↓ 2500 кг – 100 % ↓
↓   х кг – 70 %      ↓
2500/х = 100/70
х = 2500•70/100 = 25 • 70 = 1750 (кг) – лука осталось продать
Ответ: 1750 кг лука осталось продать.

б) 52 % = 52/100
400 • 52/100 = 400•52/100 = 4 • 52 = 208 (уч.) – девочки
400 − 208 = 192 (уч.) — мальчики

или
100 – 52 = 48 (%) – мальчики
400 • 48/100 = 400•48/100 = 4 • 48 = 192 (уч.) – мальчики

или
100 – 52 = 48 (%) – мальчики
↓ 400 уч. – 100 % ↓
↓   х уч. – 48 %    ↓
400/х = 100/48
х = 400•48/100 = 4 • 48 = 192 (уч.) – мальчики
Ответ: 192 мальчика в школе.

123. Масса сушёных груш составляет 20 % массы свежих. Сколько килограммов сушёных груш получится из 100 кг; 350 кг; 25 кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?

100 кг • 20 % = 100 • 20/100 = 20 (кг)

350 кг • 20 % = 350 • 20/100 = 350/5 = 70 (кг)

25 кг • 20 % = 25 • 20/100 = 20/4 = 5 (кг)

100 % — 20 % = 80 % — массы груш теряется при сушке
Ответ: получится 20 кг; 70 кг; 5 кг сушёных груш, 80 % массы теряется при сушке.

30

Ответы к стр. 30

124. Виноград при сушке теряет 70 % своей массы. Сколько изюма (сушёного винограда) получится из 100 кг; 250 кг; 80 кг свежего винограда?

100 % — 70 % = 30 % — составляет масса изюма от свежего винограда

100 кг • 30% = 100 • 30/100 = 30 (кг) — изюма

250 кг • 30% = 250 • 30/100 = 25 • 3 = 75 (кг) — изюма

80 кг • 30% = 80 • 30/100 = 8 • 3 = 24 (кг) — изюма
Ответ: получится 30 кг; 75 кг; 24 кг изюма.

125. Припой содержит 40 % олова, 2% сурьмы, остальную часть составляет свинец. Сколько граммов олова, свинца и сурьмы в 300 г припоя?

1) 100 % — (40 % + 2 %) = 58 % — свинца содержится в припое
2) 300 г • 40 % = 300 • 40/100 = 3 • 40 = 120 (г) — олова содержится в припое
3) 300 г • 2 % = 300 • 2/100 = 3 • 2 = 6 (г) — сурьмы содержится в припое
4) 300 г • 58 % = 300 • 58/100 = 3 • 58 = 174 (г) — свинца содержится в припое
Ответ: 120 г олова, 6 г сурьмы и 174 г свинца в 300 г припоя.

126. Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60 % сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену?

↑  24 детали — 60 %  ↑
↑ х деталей — 100 % ↑
24/х = 60/100
х = 24•100/60 = 4 • 10 = 40 (деталей)
Ответ: 40 деталей должен обточить токарь за смену.

127. а) Туристы прошли 75% маршрута, и им осталось пройти ещё 5 км. Какова длина всего маршрута?
б) Туристы прошли 5% маршрута, и им осталось пройти ещё 19 км. Какова длина всего маршрута?

а) 100 % — 75 % = 25 % — маршрута осталось пройти
↓  5 км — 25 %  ↓
↓ х км — 100 % ↓
5/х = 25/100
х = 5•100/25 = 5 • 4 = 20 (км)
Ответ: длина всего маршрута 20 км.

б) 100 % — 5 % = 95 % — маршрута осталось пройти
↓ 19 км — 95 % ↓
↓ х км — 100 % ↓
19/х = 95/100
х = 19•100/95 = 19•20/19 = 20 (км)
Ответ: длина всего маршрута 20 км.

128. Что больше:
а) 30 % от 40 или 40 % от 30; б) 80 % от 60 или 60 % от 70?

а) 40 • 30 % = 40 • 30/100 = 40•30/100 = 4 • 3 = 12,
30 • 40 % = 30 • 40/100 = 30•40/100 = 3 • 4 = 12,
12 = 12, следовательно, 30 % от 40 = 40 % от 30;

б) 60 • 80 % = 60 • 80/100 = 60•80/100 = 6 • 8 = 48,
70 • 60 % = 70 • 60/100 = 70•60/100 = 7 • 6 = 42,
48 > 42, следовательно, 80 % от 60 > 60 % от 70.

129. Определите без вычислений, что больше:
а) 12 % от 34 или 13 % от 34; б) 12 % от 49 или 12 % от 50.

а) 12 % от 34 < 13 % от 34, так как 12 % < 13 %;
б) 12 % от 49 < 12 % от 50, так как 49 < 50.

130. Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20 %. На сколько рублей повысилась цена?

500 • 20 % = 500 • 20/100 = 500•20/100 = 5 • 20 = 100 (р.)
Ответ: на 100 рублей повысилась цена.

131. У Алёши 80 марок, у Бори на 20% больше, чем у Алёши. У Вовы на 25% меньше, чем у Алёши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?

1) 80 • 20 % = 80 • 20/100 = 8 • 2 = 16 (марок) — составляют 20 % от марок Алёши
2) 80 + 16 = 96 (марок) — у Бори
3) 80 • 25 % = 80 • 25/100 = 80/4 = 20 (марок) — составляют 25 % от марок Алёши
4) 80 — 20 = 60 (марок) — у Вовы
Ответ: 96 марок у Бори, 60 марок у Вовы.

132. Увеличьте число:
а) 60 на 10 %; б) 80 на 25 %;
в) 40 на 50 %; г) 425 на 4%.

а) 60 + 60 • 10 % = 60 + 60 • 10/100 = 60 + 6 = 66;
б) 80 + 80 • 25 % = 80 + 80 • 25/100 = 80 + 80/4 = 80 + 20 = 100;
в) 40 + 40 • 50 % = 40 + 40 • 50/100 = 40 + 40/2 = 40 + 20 = 60;
г) 425 + 425 • 4 % = 425 + 425 • 4/100 = 425 + 425/25 = 425 + 17 =442.

133. Уменьшите число:
а) 60 на 10 %; 6) 80 на 25 %; в) 90 на 50 %; г) 125 на 20 %.

а) 60 — 60 • 10 % = 60 — 60 • 10/100 = 60 — 6 = 54;
б) 80 — 80 • 25 % = 80 — 80 • 25/100 = 80 — 80/4 = 80 — 20 = 60;
в) 90 — 90 • 50 % = 90 — 90 • 50/100 = 90 — 90/2 = 90 — 45 = 45;
г) 125 — 125 • 20 % = 125 — 125 • 20/100 = 125 — 125/5 = 125 — 25 = 100.

134. а) Увеличьте число 80 на 20 %; 30 %; 65 %; 80 %.
б) Уменьшите число 60 на 15 %; 20 %; 25 %; 75 %.

а) 80 + 80 • 20 % = 80 + 80 • 20/100 = 80 + 8 • 2 = 80 + 16 = 96;
80 + 80 • 30 % = 80 + 80 • 30/100 = 80 + 8 • 3 = 80 + 24 = 104;
80 + 80 • 65 % = 80 + 80 • 65/100 = 80 + 8•13/2 = 80 + 4 • 13 = 80 + 52 = 132;
80 + 80 • 80 % = 80 + 80 • 80/100 = 80 + 8 • 8 = 80 + 64 = 144.

б) 60 — 60 • 15 % = 60 — 60 • 15/100 = 60 — 60•3/20 = 60 — 3 • 3 = 60 — 9 = 51;
60 — 60 • 20 % = 60 — 60 • 20/100 = 60 — 6 • 2 = 60 — 12 = 48;
60 — 60 • 25 % = 60 — 60 • 25/100 = 60 — 60/4 = 60 — 15 = 45;
60 — 60 • 75% = 60 — 60 • 75/100 = 60 — 60•3/4 = 60 — 15 • 3 = 60 — 45 = 15.

135. Мясо при варке теряет 40 % своей массы
а) Сколько варёного мяса получится из 6 кг свежего?
б) Сколько свежего мяса нужно взять, чтобы получить 6 кг варёного?

а) 100 % — 40 % = 60 % — массы мяса останется после варки
↑ 6 кг — 100 % ↑
↑  х кг — 60 %  ↑
6/х = 100/60
х = 6•60/100 = 36/10 = 18/5 = 3 3/5 (кг)
Ответ: 3 3/5 кг мяса останется после варки.

б) 100 % — 40 % = 60 % — массы мяса останется после варки
↓  6 кг — 60 %  ↓
↓ х кг — 100 % ↓
6/х = 60/100
х = 6•100/60 = 1 • 10 = 10 (кг)
Ответ: 10 кг свежего мяса нужно взять.

Придумываем задачу

136. Найдите в справочной литературе, школьных учебниках по другим предметам, периодической печати или Интернете примеры применения процентов. Составьте задачу на проценты и решите её.

Примеры применения процентов:
— самая длинная кость в скелете человека – бедренная: ее длина составляет обычно 27 % от роста человека;
— общая мышечная масса мужчины составляет около 40 % от веса тела, а женщины — около 30 %;
— медузы на 98-99 % состоят из воды, хотя они не растворяются в море и их можно взять в руки;
— страна с самым большим количеством озёр — Канада: 60 % всех озёр мира находятся на её территории и занимают 9 % канадских земель;
— самая засушливая страна — Ливия: 99 % её территории составляют пустыни;
— в Сибири растёт примерно 25 % мировых лесов.

Примеры задач:
Самая длинная кость в скелете человека — бедренная: ее длина составляет обычно 27 % от роста человека. Вычислите длину бедренной кости человека, рост которого составляет 170 см.
170 • 27/100 = 17•27/10 = 459/10 = 45 9/10 (см)
Ответ: 45 9/10 см длина бедренной кости.

Общая мышечная масса мужчины составляет около 40 % от веса тела. Какова мышечная масса мужчины весом 85 кг?
85 • 40/100 = 85•4/10 = 340/10 = 34 (кг)
Ответ: мышечная масса 34 кг.

32

Отношения, пропорции, проценты
Круговые диаграммы

Ответы к стр. 32

137. Сколько градусов содержит развёрнутый угол? Сколько градусов содержит полный угол?

Развёрнутый угол — 180°, полный угол — 360°.

138. Используя круговую диаграмму (рис. 9) скажите, сколько в доме однокомнатных квартир; двухкомнатных; трёхкомнатных.

Ответ:

16 однокомнатных квартир; 24 двухкомнатных квартир; 32 трёхкомнатных квартир.

139. На круговой диаграмме (рис. 10) показан процентный состав населения города N. Сколько мужчин, женщин и детей живёт в городе N, если всего в нем 48 тыс. жителей?

48 000 • 35/100 = 48000•35/100 = 480 • 35 = 16 800 (чел.) — мужчин
48 000 • 40/100 = 48000•40/100 = 480 • 40 = 19 200 (чел.) — женщин
48 000 • 25/100 = 48000•25/100 = 480 • 25 = 12 000 (чел.) — детей
Ответ: 16 800 мужчин, 19 200 женщин, 12 000 детей.

140. На круговой диаграмме (рис. 11) показано содержание металлов в сплаве. Сколько граммов олова, свинца и других металлов содержится в 200 г такого сплава?

1) 200 • 60/100 = 2 • 60 = 120 (г) — олова содержится в сплаве
2) 200 • 35/100 = 2 • 35 = 70 (г) свинца содержится в сплаве
3) 200 • 5/100 = 2 • 5 = 10 (г) — других металлов содержится в сплаве
Ответ: 120 г олова, 70 г свинца, 10 г других металлов.

141. Постройте круговую диаграмму, отражающую результаты выполнения контрольной работы по русскому языку в 7 классе: «5» получили 3 человека, «4» − 12 человек, «3» − 15 человек («2» и «1» нет).

360° — все ученики в классе
1) 3 + 12 + 15 = 30 (чел.) — всего учатся в классе
2) 360° : 30 = 12° — соответствует 1 ученику на диаграмме
3) 12° • 3 = 36° — соответствует ученикам, получившим «5»
4) 12° • 12 = 144° — соответствует ученикам, получившим «4»
5) 12° • 15 = 180° — соответствует ученикам получившим «3»
Ответ: 36° — «5», 144° — «4», 180° — «3».

142. Постройте круговую диаграмму «Мой режим дня».

Мой режим дня:
Подъем и сбор в школу — 7.00-7.30
Дорога в школу — 7.30-8.00
Занятия в школе — 8.00-14.30
Дорога из школы — 14.30-15.00
Обед — 15.00-15.30
Отдых, прогулка, посещение секций 15.30-17.30
Ужин 17.30-18.00
Приготовление домашних заданий 18.00-21.30
Приготовление ко сну 21.30-22.00
Сон 22.00-7.00

Всего в сутках 24 часа, из них 9 часов уходят на сон и не учитываются в расчёте, то есть в распорядке дня учитываются 24 – 9 = 15 часов. Эти 15 часов соответствуют 360° на диаграмме.

360° : 15 = 24° — соответствует 1 час на диаграмме

Подъем и сбор в школу, дорога в школу, дорога из школы, обед, ужин, приготовление ко сну занимают 30 минут или 1/2 часа: 24 • 1/2 = 24/2 = 12° — соответствует на диаграмме.

Занятия в школе занимают 6 часов 30 минут или 6 1/2 часа: 24 • 6 1/2 = 24•13/2 = 156° – соответствует на диаграмме.

Отдых, прогулка, посещение секций занимают 2 часа: 24 • 2 = 48° – соответствует на диаграмме.

Приготовление домашних заданий занимает 3 часа 30 минут или 3 1/2 часа: 24 • 3 1/2 = 24•7/2 = 84° — соответствует на диаграмме.

Придумываем задачу

143. Используя данные из других школьных предметов, периодической печати или Интернета, придумайте задачу на составление круговой диаграммы.

На склад привезли 5 т цемента, 15 т песка, 3 т кирпичей, 13 т извести, 4 т шифера. Постройте круговую диаграмму, отражающую состав привезённых материалов.

1) 5 + 15 + 3 + 13 + 4 = 40 (т) — всего материалов привезли на склад
2) 360° : 40 = 9° — соответствует 1 т материала на диаграмме
3) 9° • 5 = 45° — соответствует массе цемента на диаграмме
4) 9° • 15 = 135° — соответствует массе песка на диаграмме
5) 9° • 3 = 27° — соответствует массе кирпичей на диаграмме
6) 9° • 13 = 117° — соответствует массе извести на диаграмме
7) 9° • 4 = 36° — соответствует массе шифера на диаграмме

34

Отношения, пропорции, проценты
Задачи на перебор всех возможных вариантов

Ответы к стр. 34

144. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры:
а) 1, 3, 9 без повторения; б) 1, 3, 9 с повторением;
в) 2, 4, 6 без повторения; г) 2, 4, 6 с повторением.

а) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 2 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 13, 19, 31, 39, 91, 93;

б) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 11, 13, 19, 31, 33, 39, 91, 93, 99;

в) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 2 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 24, 26, 42, 46, 62, 64;
г) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66.

145. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 5: а) без повторения; б) с повторением.

а) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, кроме нуля (то есть любую из двух цифр), на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 2 • 2 = 4 возможных вариантов записи двузначного числа: 10, 15, 50, 51;

б) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, кроме нуля (то есть любую из двух цифр), на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 2 • 3 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 10, 11, 15, 50, 51, 55.

146. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 9, 8, 7: а) с повторением цифр; б) без повторения цифр?

а) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 77, 78, 79, 87, 88, 89, 97, 98, 99.

б) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 2 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 78, 79, 87, 89, 97, 98.

147. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 0, 2, 4, 6: а) с повторением цифр; б) без повторения цифр?

а) На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, кроме нуля (то есть любую из трёх цифр), на второе место можно поставить также одну из четырёх цифр, то есть имеется 3 • 4 = 12 возможных вариантов записи двузначного числа: 20, 22, 24, 26, 40, 42, 44, 46, 60, 62, 64, 66;

б) На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, кроме нуля (то есть любую из трёх цифр), на второе место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64.

148. Четыре подружки купили 4 билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

Первая девочка может сесть на одно из четырёх мест, вторая девочка может выбрать себе одно из трёх оставшихся мест, третья девочка может выбрать себе одно из двух оставшихся мест, четвертая девочка может выбрать себе одно оставшееся место, то есть 4 • 3 • 2 • 1 = 24 способа занять места.

149. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 без повторения?

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, то есть имеется 5 • 4 = 20 возможных вариантов записи двузначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, то есть имеется 5 • 4 • 3 = 60 возможных вариантов записи трёхзначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 5 • 4 • 3 • 2 = 120 возможных вариантов записи четырёхзначного числа.

150. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 с повторением?

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить также любую из пяти цифр, то есть имеется 5 • 5 = 25 возможных вариантов записи двузначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе и третье место можно поставить также любую из пяти цифр, то есть имеется 5 • 5 • 5 = 125 возможных вариантов записи трёхзначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе, третье и четвёртое место можно поставить также любую из пяти цифр, то есть имеется 5 • 5 • 5 • 5 = 625 возможных вариантов записи четырёхзначного числа.

151. а) Все четырёхзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 4312?
б) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 54 312?
в) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, выписывают в порядке возрастания. Сколько чисел в этом списке? Каким по счету в этом списке будет число 54 231?

а) На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, на второе место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну последнюю оставшеюся цифру, то есть имеется 4 • 3 • 2 • 1 = 24 возможных вариантов записи четырёхзначного числа. Число 4321 является наибольшим, а значит имеет 24 порядковый номер. Число 4312 идёт перед ним, следовательно, оно имеет 23 порядковый номер.

б) На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, на пятое место можно поставить только одну последнюю оставшеюся цифру, то есть имеется 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 возможных вариантов записи пятизначного числа. Число 54 321 является наибольшим, а значит имеет 120 порядковый номер. Число 54 312 идёт перед ним, следовательно, оно имеет 119 порядковый номер.

в) На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, на пятое место можно поставить только одну последнюю оставшеюся цифру, то есть имеется 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 возможных вариантов записи пятизначного числа. Число 54 321 является наибольшим, а значит имеет 120 порядковый номер. Число 54 312 идёт перед ним, следовательно, оно имеет 119 порядковый номер. А затем идёт число 54 231 под 118 порядковым номером.

35

Ответы к стр. 35

152. У круглого стола поставили четыре стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья:
а) четырёх детей; б) трёх детей; в) двух детей?

а) Первый ребёнок может сесть на любой из четырёх стульев, второй ребёнок может сесть на любой из трёх оставшихся стульев, третий ребёнок может сесть на любой из двух оставшихся стульев, четвёртый ребёнок может сесть только на один оставшийся стул , то есть имеется 4 • 3 • 2 • 1 = 24 возможных способа рассадить четырёх детей на стулья.

б) Первый ребёнок может сесть на любой из четырёх стульев, второй ребёнок может сесть на любой из трёх оставшихся стульев, третий ребёнок может сесть на любой из двух оставшихся стульев, один стул остаётся свободным, то есть имеется 4 • 3 • 2 = 24 возможных способа рассадить трёх детей на стулья.

в) Первый ребёнок может сесть на любой из четырёх стульев, второй ребёнок может сесть на любой из трёх оставшихся стульев, два стула остаются свободными, то есть имеется 4 • 3 = 12 возможных способа рассадить двух детей на стулья.

153. Мальчика и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Чтобы девочки не оказались рядом, между ними, с одной стороны должен сидеть мальчик, а с другой стороны — находиться пустой стул.
Мальчик может сесть на любой из четырёх стульев, первая девочка может сесть на любой из двух оставшихся стульев рядом с мальчиком (но только не напротив него), вторая девочка может сесть на оставшийся стул рядом с мальчиком (но только не напротив него), то есть имеется 4 • 2 • 1 = 8 возможных способов рассадить детей.

154. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Чтобы девочки не оказались рядом, между ними, с одной стороны должен сидеть мальчик, и с другой стороны тоже сидеть мальчик.
Первая девочка может сесть на любой из четырёх стульев, первый мальчик может сесть на любой из двух оставшихся стульев рядом с девочкой (но только не напротив неё), вторая девочка может сесть на стул рядом с мальчиком и напротив первой девочки, второй мальчик может сесть на оставшийся стул, то есть имеется 4 • 2 • 1 • 1 = 8 возможных способов рассадить детей.

155. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 3 очка, на втором — 6 очков. (рис. 14). Сколькими разными способами может выпасть сумма в 9 очков? Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?

Сумму 9 можно получить: 3 + 6 и 4 + 5. На первом кубике может выпасть любое из четырёх чисел (3, 4, 5 или 6), на втором кубике может выпасть только одно число, дополняющее число, выпавшее на первом кубике до суммы, равной 9 (3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4), то есть имеется 4 • 1 = 4 возможных способа получить сумму в 9 очков.

На первом кубике может выпасть любое из шести чисел, на втором кубике может также выпасть любое из шести чисел, то есть имеется 6 • 6 = 36 возможных способов.

156. а) На окружности отметили 6 точек (рис. 15). Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились шесть друзей (рис. 16), каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

а) Из точки А выходит 5 отрезков. Из точки В выходит тоже 5 отрезков, но отрезок ВА — это тот же отрезок АВ. Если продолжить построение отрезков, то можно убедиться, что половина из них будет повторяться, следовательно, всего получится (6 • 5) : 2 = 15 отрезков.

б) Алёша пожал руку Фёдору, Егору, Диме, Саше и Вове — всего 5 рукопожатий. Фёдор пожал руку Алёше, Егору, Диме, Саше и Вове — всего тоже 5 рукопожатий. Но рукопожатие Алёша-Фёдор и Фёдор-Алёша — это одно рукопожатие. Если продолжить рассматривать рукопожатия, то можно убедиться, что половина из них будет повторяться, следовательно, всего получится (6 • 5) : 2 = 15 рукопожатий.

157. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Всего 8 друзей, значит, каждый сыграет одну партию с каждым из семи оставшихся друзей. Но, например, если Витя сыграет с Лёшей и Лёша сыграет с Витей — это одна и та же партия. Если продолжить рассматривать количество сыгранных партий, то можно убедиться, что половина из них будет повторяться, следовательно, всего получится (8 • 7) : 2 = 28 партий.

36

Ответы к стр. 36

Исследуем

158. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Вася Угрюмов был не в духе и пожал руку не всем своим приятелям. Всего было 13 рукопожатий. Скольким приятелям Вася пожал руку?

Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать приятели без Васи Угрюмова:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 13.
Если приятелей без Васи было 5, то они сделали 10 рукопожатий. С Васей они сделали 13 рукопожатий (а должны бы были сделать 15 рукопожатий), следовательно, Вася сделал 13 — 10 = 3 рукопожатия, то есть не пожал руку 15 — 13 = 2 приятелям. А всего было 5 + 1 = 6 приятелей.

159. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Петя Веселов был так рад встрече, что дважды пожал руку некоторым из приятелей (но не всем). Всего было b рукопожатий. Скольким приятелям Петя пожал руку дважды?
Решите задачу, если:
а) b = 17; б) b = 18; в) b = 19.

а) Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать все приятели:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий,
— предположим, было 7 приятелей: 7 • 6 : 2 = 21 рукопожатие — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 17.
Если приятелей было 6, то они сделали 15 рукопожатий. Но по условию рукопожатий было 17, следовательно, Вася сделал 17 — 15 = 2 рукопожатия дважды, то есть пожал руку двум приятелям дважды. А всего было 6 приятелей.

б) Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать все приятели:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий,
— предположим, было 7 приятелей: 7 • 6 : 2 = 21 рукопожатие — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 18.
Если приятелей было 6, то они сделали 15 рукопожатий. Но по условию рукопожатий было 18, следовательно, Вася сделал 18 — 15 = 3 рукопожатия дважды, то есть пожал руку трём приятелям дважды. А всего было 6 приятелей.

в) Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать все приятели:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий,
— предположим, было 7 приятелей: 7 • 6 : 2 = 21 рукопожатие — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 19.
Если приятелей было 6, то они сделали 15 рукопожатий. Но по условию рукопожатий было 19, следовательно, Вася сделал 19 — 15 = 4 рукопожатия дважды, то есть пожал руку четырём приятелям дважды. А всего было 6 приятелей.

160. Постройте многоугольник, имеющий n сторон, если:
а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 7; д) n = 8.
В каждом случае проведите все диагонали многоугольника. Объясните, почему число d всех диагоналей вычисляется по формуле d = n(n−3)/2.

Многоугольник, имеющий n сторон, имеет также n вершин. Из одной вершины можно провести (n — 1) отрезков к другим вершинам. Поскольку два из этих отрезков будут сторонами многоугольника, соединяющими две соседние вершины, и не могут считаться диагоналями, то всего диагоналей будет n • (n — 1 — 2) = n(n — 3). Каждая диагональ соединяет две вершины, поэтому среди диагоналей есть попарно совпадающие (см. задание 156,а на стр. 35), следовательно, полученное количество диагоналей нужно разделить на 2: n(n — 3)/2.

а) d = 4(4-3)/2 = 4/2 = 2;
б) d = 5(5-3)/2 = 10/2 = 5;
в) d = 6(6-3)/2 = 18/2 = 9;
г) d = 7(7-3)/2 = 28/2 = 14;
д) d = 8(8-3)/2 = 40/2 = 20.

161. Ученица нарисовала многоугольник и провела 20 диагоналей. Ей осталось провести меньше половины всех диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?

Количество диагоналей многоугольника находится по формуле: d = n(— 3)/2. По условию задачи количество диагоналей в многоугольнике больше 20 и не может быть больше 39, так как 20 + 19 = 39.

Допустим что в многоугольнике 8 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 8(8 — 3)/2 = 40/2 = 20 — не подходит, так как количество диагоналей должно быть больше 20.

Допустим что в многоугольнике 9 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 9(9 — 3)/2 = 54/2 = 27 — подходит условию задачи. 27 — 20 = 7 диагоналей осталось провести.

Допустим что в многоугольнике 10 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 10(10 — 3)/2 = 70/2 = 35 — подходит условию задачи. 35 — 20 = 15 диагоналей осталось провести.

Допустим что в многоугольнике 11 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 11(11 — 3)/2 = 88/2 = 44 — не подходит, так как 44 > 39.

Ответ: ученице осталось провести 15 диагоналей, если она нарисовала многоугольник с 10 сторонами, и 7 диагоналей, если она нарисовала многоугольник с 9 сторонами.

39

Отношения, пропорции, проценты
Вероятность события

Ответы к стр. 39

162. Бросают игральный кубик. Подсчитайте вероятность события:
а) А: «выпадет 5 очков»;
б) B: «выпадает четное число очков»;
в) С: «выпадает нечетное число очков»;
г) D: «выпадает число очков, кратное 3».

Вероятностью события А называют отношение количества случаев, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных случаев, один из которых обязательно произойдет.

а) Всего на кубике 6 граней, то есть число всех равновозможных случаев равно 6. 5 очков находится только на одной грани, то есть количество случаев, благоприятствующих событию, равно 1. Тогда вероятность события А (выпадение 5 очков) равна 1/6.

б) Всего на кубике 6 граней, то есть число всех равновозможных случаев равно 6. На трёх гранях расположены чётные очки: 2, 4, 6, поэтому количество случаев, благоприятствующих событию, равно 3. Тогда вероятность события В (выпадение чётного числа очков) равна 3/6 = 1/2.

в) Всего на кубике 6 граней, то есть число всех равновозможных случаев равно 6. На трёх гранях расположены нечётные очки: 1, 3, 5, поэтому количество случаев, благоприятствующих событию, равно 3. Тогда вероятность события С (выпадение нечётного числа очков) равна 3/6 = 1/2.

г) Всего на кубике 6 граней, то есть число всех равновозможных случаев равно 6. На двух гранях расположены очки кратные трём: 3, 6, поэтому количество случаев, благоприятствующих событию, равно 2. Тогда вероятность события D (выпадение числа очков, кратного 3), равна 2/6 = 1/3.

163. Задачи Даламбера. а) Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб?
б) Монета бросается три раза. Какова вероятность того, что герб выпадет по крайней мере один раз?

а) В результате двух последовательных подбрасываний монеты возможно 4 исхода:
1) герб, герб;
2) герб, цифра;
3) цифра, герб;
4) цифра, цифра.
Из них в трёх случаях (1, 2 и 3) выпадает герб. Следовательно, вероятность выпадения герба равна 3/4.

б) В результате трёх последовательных подбрасываний монеты возможно 8 исходов:
1) герб, герб, герб;
2) герб, герб, цифра;
3) герб, цифра, герб;
4) герб, цифра, цифра;
5) цифра, герб, герб;
6) цифра, герб, цифра;
7) цифра, цифра, герб;
8) цифра, цифра, цифра.
Из них в семи случаях (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) выпадает герб. Следовательно, вероятность выпадения герба равна 7/8.

164. Из ящика, где находятся 2 чёрных и 5 белых шаров, вынут наугад один шар. Какова вероятность того, что вынут:
а) чёрный шар; б) белый шар.

Число всех равновозможных случаев равно 7, так как в ящике всего 7 шаров.

а) Количество случаев, благоприятствующих выпадению чёрного шара равно 2, так как в ящике 2 чёрных шара. Вероятность выпадения чёрного шара равна 2/7.

б) Количество случаев, благоприятствующих выпадению белого шара равно 5, так как в ящике 5 белых шаров. Вероятность выпадения белого шара равна 5/7.

165. Подбросьте монету 50 раз. Сколько раз выпал орёл?

Вероятность выпадения орла 1/2, то есть он должен выпасть 25 раз.

166. На двух карточках написали буквы А и Д, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке (рис. 19, а). Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится слово «ДА» (рис. 19, б)?

Так как карточки могут сформировать либо слово «АД», либо слово «ДА», то число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдёт при переворачивании карточек равно 2.
Количество случаев, благоприятствующих формированию слова «ДА» равно 1, тогда вероятность формирования слова «ДА» равна 1/2.

167. На трёх карточках написали буквы Е, Н, Т, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится слово «НЕТ».

При переворачивании первой карточки на ней может оказаться одна из трёх букв. На второй карточке может оказаться одна из двух оставшихся букв, а на третьей — последняя оставшаяся буква. Тогда общее количество полученных сочетаний букв будет 3 • 2 • 1 = 6 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при переворачивании карточек, равно 6.
Количество случаев, благоприятствующих формированию слова «НЕТ» равно 1, тогда вероятность формирования слова «НЕТ» равна 1/6.

168. На четырёх карточках написали буквы К, О, Л, Я, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится имя КОЛЯ?

При переворачивании первой карточки на ней может оказаться одна из четырёх букв. На второй карточке может оказаться одна из трёх оставшихся букв, на третьей — одна из двух оставшихся букв и на четвёртой — последняя оставшаяся буква. Тогда общее количество полученных сочетаний букв будет 4 • 3 • 2 • 1 = 24 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при переворачивании карточек, равно 24.
Количество случаев, благоприятствующих формированию слова «КОЛЯ» равно 1, тогда вероятность формирования слова «КОЛЯ» равна 1/24.

169. На четырёх карточках написали буквы А, С, А, Ш, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится имя САША?

При переворачивании первой карточки на ней может оказаться одна из четырёх букв. На второй карточке может оказаться одна из трёх оставшихся букв, на третьей — одна из двух оставшихся букв и на четвёртой — последняя оставшаяся буква. Тогда общее количество полученных сочетаний букв будет 4 • 3 • 2 • 1 = 24 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при переворачивании карточек, равно 24.
Количество случаев, благоприятствующих формированию слова «САША» равно 2, так как буква «А» встречается 2 раза. Тогда вероятность формирования слова «САША» равна 2/24 = 1/12

170. Синоптики обещают на следующей неделе 2 солнечных дня и 5 пасмурных. Какое событие более вероятно: «воскресенье − солнечный день» или «воскресенье − пасмурный день»?

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет на неделе равно 2 + 5 = 7 дней.
Количество случаев, благоприятствующих условию «воскресенье — солнечный день» равно 2, так как солнечный день может быть 2 раза в неделю. Количество случаев, благоприятствующих условию «воскресенье — пасмурный день» равно 5, так как пасмурный день может быть 5 раз в неделю.
Вероятность события «воскресенье — солнечный день» = 2/7.
Вероятность события «воскресенье — пасмурный день» = 5/7.
5/7 > 2/7, следовательно, выше вероятность события «воскресенье — пасмурный день».

171. Из 28 костей домино выбирают наугад одну кость (на рисунке 20 изображена кость с суммой очков 11). Какова вероятность выбрать кость с суммой очков:
а) 0; б) 2; в) 6; г) 10.

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при выборе кости домино равно 28, так как всего костей домино 28.

а) Количество случаев, благоприятствующих выбору кости с 0 очков равна 1, так как только 1 кость имеет такое количество очков, поэтому вероятность равна 1/28.

б) Количество случаев, благоприятствующих выбору кости с 2 очками равна 2, так как 2 кости имеют такое количество очков: 0 + 2 и 1 + 1, поэтому вероятность равна 2/28 = 1/14.

в) Количество случаев, благоприятствующих выбору кости с 6 очками равна 4, так как 4 кости имеют такое количество очков: 0 + 6, 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, поэтому вероятность равна 4/28 = 1/7.

г) Количество случаев, благоприятствующих выбору кости с 10 очками равна 2, так как 2 кости имеют такое количество очков: 4 + 6, 5 + 5, поэтому вероятность равна 2/28 = 1/14.

40

Ответы к стр. 40

172. Бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет число очков:
а) делящееся и на 2, и на 3;
б) делящееся на 2 и не делящееся на 3;
в) делящееся на 3 и не делящееся на 2;
г) не делящееся ни на 2, ни на 3;
д) делящееся или на 2, или на 3?
У к а з а н и е. Решите задачу, используя рисунок 21.

На рисунке в первом круге числа 2, 4 и 6 делятся на 2. Во втором круге числа 6 и 3 делятся на 3. Число 6 в пересечении кругов делится и на 2, и на 3. Числа 2 и 4 в первом круге делятся только на 2. Числа 1 и 5 за кругом не делятся ни на 2, ни на 3.

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так на кубике 6 граней.

а) Количество случаев, благоприятствующих выпадению числа делящегося и на 2 и на 3 равно 1, так как такое число только одно — 6. Вероятность события равна 1/6.

б) Количество случаев, благоприятствующих выпадению числа, делящегося на 2 и не делящегося на 3 равно 2, так как таких чисел два: 2 и 4. Вероятность события равна 2/6 = 1/3.

в) Количество случаев, благоприятствующих выпадению числа, делящегося на 3 и не делящееся на 2 равно 1, так как такое число только одно — 3. Вероятность события равна 1/6.

г) Количество случаев, благоприятствующих выпадению числа, не делящееся ни на 2, ни на 3 равно 2, так как таких чисел два: 1 и 5. Вероятность события равна 2/6 = 1/3.

д) Количество случаев, благоприятствующих выпадению числа, делящегося или на 2, или на 3 равно 4, так как таких чисел четыре: 2, 3, 4 и 6. Вероятность события равна 4/6 = 2/3.

173. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность события:
а) A: «сумма очков равна 2»;
б) B: «сумма очков равна 10»;
в) C: «сумма очков равна 12»;
г) D: «сумма очков равна 13»;
д) E: «сумма очков равна 1»;
е) F: «сумма очков равна одному из натуральных чисел 2, 3, …, 11, 12»?

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так как на кубике 6 граней. Так как кубика два, то число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет, будет 6 • 6 = 36.

а) Чтобы сумма очков была 2, может быть 1 вариант: 1 + 1. Тогда вероятность события равна 1/36.

б) Чтобы сумма очков была 10, могут быть 3 варианта: 4 + 6, 5 + 5 и 6 + 4. Тогда вероятность события равна 3/36 = 1/12.

в) Чтобы сумма очков была 12, может быть 1 вариант: 6 + 6. Тогда вероятность события равна 1/36.

г) Максимальная сумма очков на двух кубиках равна 12, поэтому сумма 13 очков получиться не может, следовательно, количество случаев, благоприятствующих выпадению суммы в 13 очков, равно 0. Тогда вероятность события равна 0/36 = 0.

д) Минимальная сумма очков на двух кубиках равна 2, поэтому сумма 1 очко получится не может, следовательно, количество случаев, благоприятствующих выпадению суммы в 1 очко, равно 0. Тогда вероятность события равна 0/36 = 0.

е) При сложении чисел на двух гранях кубика всегда получится сумма очков, равная одному из натуральных чисел 2, 3, …, 11, 12, поэтому количество случаев, благоприятствующих выпадению данной суммы равно 36. Тогда вероятность события равна 36/36 = 1.

174. В первом ряду микроавтобуса имеется только 3 места. На них собираются сесть двое мужчин и одна женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при рассадке пассажиров равно 3: мужчина-мужчина-женщина, мужчина-женщина-мужчина, женщина-мужчина-мужчина. Так как для того, чтобы мужчины оказались рядом, женщина обязательно должна сидеть на крайнем сидении, то количество благоприятствующих для этого случаев равно 2. Тогда вероятность того, что мужчины окажутся рядом равна 2/3.

175. Бросают две монеты. Если выпадут два орла, то выиграл 1-й, если выпадут орёл и решка, то выиграл 2-й. Справедлива ли эта игра?

В результате подбрасывания двух монет возможно 4 исхода:
1) орёл, орёл;
2) орёл, решка;
3) решка, орёл;
4) решка, решка.
Из них в одном случае (1) выпадает два орла. Следовательно, вероятность события равна 1/4.
В двух случаях (2 и 3) выпадает орёл и решка. Следовательно, вероятность события равна 2/4.
1/4 < 2/4, то есть игра не справедлива (больше шансов выиграть у второго игрока).

176. Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 11 − выиграл 1-й, если сумм очков 12 − выиграл 2-й. Справедлива ли эта игра?

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так как на кубике 6 граней. Так как кубика два, то число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет, будет 6 • 6 = 36.

Чтобы сумма очков была 11, могут быть 2 варианта: 5 + 6 и 6 + 5. Тогда вероятность события равна 2/36.

Чтобы сумма очков была 12, может быть 1 вариант: 6 + 6. Тогда вероятность события равна 1/36.

2/36 > 1/36, то есть игра не справедлива (больше шансов выиграть у первого игрока).

Придумываем задачу

177. Придумайте справедливую и несправедливую игру:
а) с двумя игральными кубиками; б) с двумя монетами.

а) Справедливая. Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 2 − выиграл 1-й, если сумм очков 12 − выиграл 2-й.

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так как на кубике 6 граней. Так как кубика два, то число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет, будет 6 • 6 = 36.

Чтобы сумма очков была 2, может быть 1 вариант: 1 + 1. Тогда вероятность события равна 1/36.

Чтобы сумма очков была 12, может быть 1 вариант: 6 + 6. Тогда вероятность события равна 1/36.

1/36 = 1/36, то есть игра справедлива.

а) Несправедливая. Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 10 − выиграл 1-й, если сумм очков 12 − выиграл 2-й.

Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так как на кубике 6 граней. Так как кубика два, то число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет, будет 6 • 6 = 36.

Чтобы сумма очков была 10, могут быть 3 варианта: 4 + 6, 5 + 5 и 6 + 4. Тогда вероятность события равна 3/36.

Чтобы сумма очков была 12, может быть 1 вариант: 6 + 6. Тогда вероятность события равна 1/36.

3/36 > 1/36, то есть игра не справедлива (больше шансов выиграть у первого игрока).

б) Справедливая. Бросают две монеты. Если выпадут два орла, то выиграл 1-й, если выпадут две решки, то выиграл 2-й.

В результате подбрасывания двух монет возможно 4 исхода:
1) орёл, орёл;
2) орёл, решка;
3) решка, орёл;
4) решка, решка.
Из них в одном случае (1) выпадает два орла. Следовательно, вероятность события равна 1/4.
В одном случае (4) выпадает две решки. Следовательно, вероятность события равна 1/4.
1/4 = 1/4, то есть игра справедлива.

б) Несправедливая. Бросают две монеты. Если выпадут два орла, то выиграл 1-й, если выпадет хотя бы одна решка, то выиграл 2-й.

В результате подбрасывания двух монет возможно 4 исхода:
1) орёл, орёл;
2) орёл, решка;
3) решка, орёл;
4) решка, решка.
Из них в одном случае (1) выпадает два орла. Следовательно, вероятность события равна 1/4.
В трёх случаях (2, 3 и 4) выпадает хотя бы одна решка. Следовательно, вероятность события равна 3/4.
1/4 < 3/4, то есть игра не справедлива (больше шансов выиграть у второго игрока).

178. Витя задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Коля пытается это число угадать. Какова вероятность того что Коля угадает число с первого раза, если это число:
а) двузначное; б) трёхзначное; в) четырёхзначное?

а) На первом месте числа может оказаться одна из пяти цифр. На втором месте может оказаться одна из четырёх оставшихся цифр. Тогда общее количество полученных сочетаний цифр будет 5 • 4 = 20 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при составлении числа равно 20, так как 20 двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения.
Количество случаев, благоприятствующих условию равно 1, так угадать число Коля должен с первого раза. Тогда вероятность того, что Коля угадает двузначное число с первого раза равна 1/20.

б) На первом месте числа может оказаться одна из пяти цифр. На втором месте может оказаться одна из четырёх оставшихся цифр, а на третьем — одна из трёх оставшихся. Тогда общее количество полученных сочетаний цифр будет 5 • 4 • 3 = 60 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при составлении числа равно 60, так как 60 трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения.
Количество случаев, благоприятствующих условию равно 1, так угадать число Коля должен с первого раза. Тогда вероятность того, что Коля угадает трёхзначное число с первого раза равна 1/60.

в) На первом месте числа может оказаться одна из пяти цифр. На втором месте может оказаться одна из четырёх оставшихся цифр. На третьем месте может оказаться одна из трёх оставшихся цифр, а на четвёртом — одна из двух оставшихся. Тогда общее количество полученных сочетаний цифр будет 5 • 4 • 3 • 2 = 120 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при составлении числа равно 120, так как 120 четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения.
Количество случаев, благоприятствующих условию равно 1, так угадать число Коля должен с первого раза. Тогда вероятность того, что Коля угадает четырёхзначное число с первого раза равна 1/120.

179. Коля задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения. Витя пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Витя угадает число с первого раза, если это число:
а) двузначное; б) трёхзначное; в) четырёхзначное?

а) На первом месте числа может оказаться одна из девяти цифр. На втором месте может оказаться одна из восьми оставшихся цифр. Тогда общее количество полученных сочетаний цифр будет 9 • 8 = 72 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при составлении числа равно 72, так как 72 двузначных числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения.
Количество случаев, благоприятствующих условию равно 1, так угадать число Витя должен с первого раза. Тогда вероятность того, что Витя угадает двузначное число с первого раза равна 1/72.

б) На первом месте числа может оказаться одна из девяти цифр. На втором месте может оказаться одна из восьми оставшихся цифр, а на третьем — одна из семи оставшихся. Тогда общее количество полученных сочетаний цифр будет 9 • 8 • 7 = 504 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при составлении числа равно 504, так как 504 трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения.
Количество случаев, благоприятствующих условию равно 1, так угадать число Витя должен с первого раза. Тогда вероятность того, что Витя угадает трёхзначное число с первого раза равна 1/504.

в) На первом месте числа может оказаться одна из девяти цифр. На втором месте может оказаться одна из восьми оставшихся цифр. На третьем месте может оказаться одна из семи оставшихся цифр, а на четвёртом — одна из шести оставшихся. Тогда общее количество полученных сочетаний цифр будет 9 • 8 • 7 • 6 = 3024 способов. То есть и число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при составлении числа равно 3024, так как 3024 четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения.
Количество случаев, благоприятствующих условию равно 1, так угадать число Витя должен с первого раза. Тогда вероятность того, что Витя угадает четырёхзначное число с первого раза равна 1/3024.

42

Отношения, пропорции, проценты
Занимательные задачи

Ответы к стр. 42

180. Пруд зарастает лилиями — за неделю площадь, занятая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью лилиями он покрылся за 8 недель?

Так как площадь, занятая лилиями, каждую неделю удваивается, то наполовину пруд был покрыт лилиями неделю назад, то есть 8 — 1 = 7 недель.
Ответ: за 7 недель.

181. Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерия раздваивается). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить две бактерии?

Одна бактерия делится на две за 1 минуту. И через 1 минуту в сосуде будет две бактерии. Таким образом для того, чтобы рассчитать, за сколько минут заполнится сосуд, если в него положить сразу две бактерии, необходимо:
1 ч — 1 мин. = 60 мин. — 1 мин. = 59 мин.
Ответ: за 59 минут.

182. 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

1) 3 (яйца) : 3 (курицы) = 1 (яйцо) — сносит одна курица за 3 дня
2) 12 (дней) : 3 (дня) = 4 (яйца) — снесет курица за 12 дней
3) 4 (яйца) • 12 (куриц) = 48 (яиц) — снесут 12 куриц за 12 дней
Ответ: 48 яиц.

183. 100 синиц за 100 дней съедает 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

1) 100 (кг) : 100 (синиц) = 1 (кг) — зерна съедает 1 синица за 100 дней
2) 1 кг : 10 = 1/10 (кг) — съедает 1 синица за 10 дней
3) 1/10 (кг) • 10 (синиц) = 1 (кг) — съедает 10 синиц за 10 дней
Ответ: 1 кг.

184. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

1) 60 (окон) : 3 (маляра) = 20 (окон) — покрасит 1 маляр за 5 дней
2) 20 (окон) : 5 (дней) = 4 (окна) — покрасит 1 маляр за 1 день
3) 4 (окна) • 4 (дня) = 16 (окон) — покрасит 1 маляр за 4 дня
4) 16 (окон) • 5 (маляров) = 80 (окон) — покрасит 5 маляров за 4 дня
Ответ: 80 окон.

43

Ответы к стр. 43

185. 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

1) 2 (м) : 2 (ч) = 1 (м) — выкопают 2 землекопа за 1 час
2) 1 (м) : 2 (землекопа) = 1/2 (м) — выкопает 1 землекоп за 1 час
3) 1/2 (м) • 5 (ч) = 2 1/2 (м) — выкопает 1 землекоп за 5 часов
4) 5 (м) : 2 1/2 (м) = 5 : 5/2 = 5 • 2/5 = 10/5 = 2 (землекопа) — выкопаю 5 метров канавы за 5 часов
Ответ: 2 землекопа.

186. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

1) 15 (листов) : 8 (дней) = 15/8 (листов) — напишет 1 писец за 1 день
2) 15/8 (листов) • 9 (дней) = 135/8 (листов) — напишет 1 писец за 9 дней
3) 405 (листов) : 135/8 (листов) = 405 • 8/135 = 3 • 8 = 24 (писца) — напишут 405 листов за 9 дней
Ответ: 24 писца.

187. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

1) 40 (листов) : 4 (дня) = 10 (листов) — переписчик перепишет за один 9-ти часовой рабочий день
2) 10 (листов) : 9 (часов) = 10/9 (листов) — перепишет переписчик за 1 час
3) 10/9 (листов) • 12 (часов) = 40/3 (листов) — перепишет переписчик за 12-и часовой рабочий день
4) 60 (листов) : 40/3 (листов) = 60 • 3/40 = 9/2 = 4 1/2 (дня) — 12-и часовых рабочих дня потребуется переписчику чтобы переписать 60 листов
Ответ: 4 1/2 дня.

188. У хозяйки спросили: «Хорошо ли несутся ваши куры?» − «Считайте сами, − был ответ, − полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур». Сколько яиц несут куры в день?

Полтора — это 1 1/2
1) 1 1/2 (яйца) : 1 1/2 (курицы) = 1 (яйцо) — сносит 1 курица за полтора дня
2) 1 яйцо : 1 1/2 дня = 1 : 3/2 = 1 • 2/3 = 2/3 (яйца) — сносит 1 курица за 1 день
3) 2/3 (яйца) • 12 (куриц) = 2 • 4 = 8 (яиц) — снесут 12 куриц за 1 день
Ответ: 8 яиц.

189. Зарплата в 100 условных единиц, повысилась на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов повысилась зарплата за 2 раза?

10 % — это 1/10 числа
1) 100 + 100 • 1/10 = 100 + 100/10 = 100 + 10 = 110 (условных единиц) — составила заработная плата после первого повышения
2) 110 + 110 • 1/10 = 110 + 110/10 = 110 + 11 = 121 (условных единиц) — составила заработная плата после второго повышения
3) 121/100 • 100 % — 100 % = 121 % — 100 % = 21 % — повысилась заработная плата после двух повышений
Ответ: на 21 %.

190. Цена товара в 100 условных единиц, понизилась на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов понизилась цена товара за 2 раза?

10 % − это 1/10 числа
1) 100 — 100 • 1/10 = 100 — 100/10 = 100 — 10 = 90 (условных единиц) — составила цена после первого понижения
2) 90 — 90 • 1/10 = 90 — 90/10 = 90 — 9 = 81 (условных единиц) — составила цена после второго понижения
3) 100 % — 81/100 • 100 % = 100 % — 81 % = 19 % — понизилась цена после двух понижений
Ответ: на 19 %.

191. Цена товара в 100 условных единиц сначала понизилась на 10 %, потом повысилась на 10 %. На сколько процентов понизилась или повысилась цена товара за 2 раза?

10 % — это 1/10 числа
1) 100 — 100 • 1/10 = 100 — 100/10 = 100 — 10 = 90 (условных единиц) — составила цена после понижения
2) 90 + 90 • 1/10 = 90 + 90/10 = 90 + 9 = 99 (условных единиц) — составила цена после повышения
3) 100 % — 99/100 • 100 % = 100 % — 99 % = 1 % — понизилась цена после двух изменений
Ответ: на 1 % понизилась.

192. Цена товара в 100 условных единиц сначала повысилась на 10 %, потом понизилась на 10 %. На сколько процентов понизилась или повысилась цена товара за 2 раза?

10 % − это 1/10 числа
1) 100 + 100 • 1/10 = 100 + 100/10 = 100 + 10 = 110 (условных единиц) — составила цена после повышения
2) 110 — 110 • 1/10 = 110 — 110/10 = 110 — 11 = 99 (условных единиц) — составила цена после понижения
3) 100 % — 99/100 • 100 % = 100 % — 99 % = 1 % — понизилась цена после двух изменений
Ответ: на 1 % понизилась.

193. Известно, что площади равных фигур равны и площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её частей. Вычислите площадь (рис. 22): а) прямоугольника ABCD; б) треугольника ABC; в) треугольника ADC.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: SABCD = 2 см • 3 см = 6 см2.
Площадь прямоугольника ABCD = площадь треугольника ABC + площадь треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны.
6 см2 : 2 = 3 см2 — площадь треугольника ABC;
6 см2 : 2 = 3 см2 — площадь треугольника ADC.

194. Вычислите площадь многоугольника (длины сторон в сантиметрах указаны на рисунке 23).

а) 5 • 5 + (6 + 5) • 3 = 25 + 33 = 58 (см2);
б) 10 • 6 — 2 • 4 = 60 — 8 = 52 (см2).

44

Ответы к стр. 44

Исследуем

195. Две фигуры называют равновеликими если их площади равны.
а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.
б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?
в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?
Стороны прямоугольника выражаются натуральными числами.

а) 6 см • 4 см = 24 см2 — площадь прямоугольника
Стороны равновеликого ему прямоугольника могут иметь стороны:
24 см2 = 2 см и 12 см;
24 см2 = 3 см и 8 см.

б) Стороны квадрата равны, тогда: 8 см • 8 см = 64 см2 — площадь квадрата со стороной 8 см.
Стороны равновеликого ему прямоугольника могут иметь стороны:
64 см2 = 1 см и 64 см;
64 см2 = 2 см и 32 см;
64 см2 = 16 см и 4 см.

в) Стороны квадрата равны, тогда: 10 см • 10 см = 100 см2 — площадь квадрата со стороной 10 см.
Стороны равновеликого ему прямоугольника могут иметь стороны:
100 см2 = 1 см и 100 см;
100 см2 = 2 см и 50 см;
100 см2 = 4 см и 25 см.
Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, тогда:
2 • (1 см + 100 см) = 202 см;
2 • (2 см + 50 см) = 104 см;
2 • (4 см + 25 см) = 58 см.
Периметр прямоугольника со сторонами 1 см и 100 см наибольший.

Доказываем

196. Две равные фигуры наложили друг на друга (рис. 24). Докажите, что площади закрашенных фигур равны.

Обозначим площадь голубой части как S1, площадь серой части как S2, площадь белой части как S3, тогда:
— площадь первого прямоугольника равна S1 + S3;
— площадь второго прямоугольника равна S2 + S3.
Так как по условию задачи прямоугольники равны, то:
S1 + S3 = S2 + S3
S1 = S2 + S3 — S3
S1 = S2 — то есть площади закрашенных фигур равны.

197. Вычислите площадь треугольника (рис. 25).

а) AD = 15 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник ABD до прямоугольника ACBD.
Площадь прямоугольника равна: SACBD = AD • DB = 15 мм • 20 мм = 300 мм2.
Прямоугольник состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника ABD равна: 300 мм2 : 2 = 150 мм2.

б) DC = 20 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник DBC до прямоугольника DBAC. Так как DC = DB, то получился квадрат со стороной 20 мм.
Площадь квадрата равна: SDBAC = DC • DB = 20 мм • 20 мм = 400 мм2.
Квадрат состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника BDC равна: 400 мм2 : 2 = 200 мм2.

в) AD = 15 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник ABD до прямоугольника AEBD.
Площадь прямоугольника равна: SAEBD = AD • DB = 15 мм • 20 мм = 300 мм2.
Прямоугольник состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника ABD равна: 300 мм2 : 2 = 150 мм2.
DC = 20 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник DBC до прямоугольника DBFC. Так как DC = DB, то получился квадрат со стороной 20 мм.
Площадь квадрата равна: SDBFC = DC • DB = 20 мм • 20 мм = 400 мм2.
Квадрат состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника BDC равна: 400 мм2 : 2 = 200 мм2.
Площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её частей, следовательно, площадь треугольника ABC = площадь треугольника ABD + площадь треугольника BDC = 150 мм2 + 200 мм2 = 350 мм2.

198. На рисунке 26 изображен параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны). Вычислите его площадь, если AD = 3 см, BK = 2 см.

Из точки C проведём отрезок CH параллельный и равный отрезку BK. Треугольники ABK и CDH равны, тогда прямоугольники ABCD и BCHK равновеликие, то есть их площади равны.
AD = BC = 3 см, BK = CH = 2 см.
Площадь BCHK = BC • CH = 3 см • 2 см = 6 см2.
Площадь ABCD = площадь BCHK = 6 см2.

199. На рисунке 27 изображена трапеция (четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны). Вычислите её площадь, если AD = 5 см, BC = 2 см, BK = 2 см.

Достроим трапецию до прямоугольника AMPD.
BK = PD = 2 см.
Площадь прямоугольника AMPD = AD • PD = 5 см • 2 см = 10 см2.
Площадь прямоугольника BCNK = BC • BK = 2 см • 2 см = 4 см2.
Сумма площадей прямоугольников AMBK и CPDN равна разности площадей прямоугольников AMPD и BCNK = 10 см2 — 4 см2 = 6 см2.
Сумма площадей треугольников ABK и CDN = Сумма площадей прямоугольников AMBK и CPDN : 2 = 6 см2 : 2 = 3 см2.
Площадь трапеции ABCD = Площадь прямоугольника BCNK + сумма площадей треугольников ABK и CDN = 4 см2 + 3 см2 = 7 см2.

46

Целые числа
Отрицательные целые числа

Ответы к стр. 46

200. Можно ли проиллюстрировать на ряде неотрицательных чисел вычитание: а) 7 — 4; б) 7 — 7; в) 7 — 8?

Если уменьшаемое больше или равно вычитаемому, то проиллюстрировать вычитание на ряде неотрицательных чисел можно. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то проиллюстрировать нельзя.
а) …, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …
           ↑      -4     |
7 > 4 — проиллюстрировать на ряде можно;
б) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …
    ↑           -7           |
7 = 7 — проиллюстрировать на ряде можно;

в) 7 < 8 — проиллюстрировать на ряде нельзя.

201. Как получить ряд целых чисел?

Чтобы получить ряд целых чисел необходимо к ряду натуральных (целых положительных) чисел добавить целые отрицательные числа и число нуль.

47

Ответы к стр. 47

202. Как называют числа, расположенные в ряду целых чисел:
а) справа от нуля; б) слева от нуля.

а) числа расположенные в ряду целых чисел справа от нуля называют натуральными или целыми положительными;

б) числа расположенные в ряду целых чисел слева от нуля называют целыми отрицательными.

203. Является ли число 0: а) положительным; б) отрицательным.

а) нет;
б) нет.

204. Прочитайте числа +2, -3, 0, +7, -9.
а) Какие из этих чисел расположены в ряду целых чисел справа от нуля; слева от нуля?
б) Какие из этих чисел являются положительными; отрицательными.

Плюс два, минус три, нуль, плюс семь, минус девять.

а) Числа расположенные в ряду целых чисел справа от нуля называют натуральными или целыми положительными. Числа расположенные в ряду целых чисел слева от нуля называют целыми отрицательными.
Справа от нуля расположены числа: +2; +7
Слева от нуля расположены числа: -3; -9.

б) положительные: +2, +7;
отрицательные: -3, -9.

205. Прочитайте записи и объясните их смысл:
Москва -2°, Калуга -8°, Тверь +3°.

Москва минус два градуса, Калуга минус восемь градусов, Тверь плюс три градуса.
В Москве 2 градуса мороза, в Калуге 8 градусов мороза, в Твери 3 градуса тепла.

206. Используя знаки «+» и «-», запишите:
а) 3° тепла;   б) 4° тепла;         в) 6° тепла;
г) 2° мороза; д) 5° ниже нуля; е) 1° холода.

На уличном термометре числа выше нуля читаются как градусы тепла (перед ними ставится знак «+»), а числа ниже нуля — как градусы мороза (перед ними ставится знак «-»).
а) +3°; б) +4°; в) +6°;
г) −2°; д) −5°; е) −1°.

207. Приведите пример:
а) конечного множества чисел;
б) бесконечного множества чисел.

а) числа от 0 до 100 или от −100 до 100 или от -100 до 0;
б) числа от 100 и больше или положительные или отрицательные.

48

Ответы к стр. 48

208. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры противоположных чисел.

Числа, которые отличаются только знаком, называют противоположными. Например, -10 и +10 или +1000 и -1000.

209. Какое число противоположно числу 0?

Число 0 противоположно самому себе: 0 = -0 = +0.

210. Что получится если перед целым числом поставить:
а) знак «+»; б) знак «-»?

а) положительное число;
б) отрицательное число.

211. Что называют модулем:
а) положительного целого числа;
б) отрицательного целого числа;
в) числа нуль?

Модулем положительного числа называют само это число: |+3| = +3.
Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число: |-3| = +3.
Модулем число 0 является число 0: |0| = 0.

212. Какие числа имеют одинаковый модуль? Приведите примеры.

Противоположные числа имеют одинаковый модуль: |-3| = |+3| = +3.

213. Для какого числа модуль — противоположное ему число?

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число: |-3| = +3.

49

Ответы к стр. 49

214. Запись -(-2) читают так: «число, противоположное минус двум» или «минус минус 2». Прочитайте запись числа и упростите её по образцу:
а) +(+2) = +2; б) -(-2) = +2;
в) +(-2); г) +(-3); д) -(+3); е) -(-3); ж) -(+8); з) -(-10).

в) число, соответствующее числу минус два или плюс минус два, +(-2) = -2;
г) число, соответствующее числу минус три или плюс минус три, +(-3) = -3;
д) число, противоположное плюс трём или минус плюс три, -(+3) = -3;
е) число, противоположное минус трём или минус минус три, -(-3) = +3;
ж) число, противоположное плюс восьми или минус плюс восемь, -(+8) = -8;
з) число, противоположное минус десяти или минус минус десять, -(-10) = +10.

215. Какие числа получатся, если перед числами -1, 3, 0, -6, 7 поставить: а) знак «+»; б) знак «-»?

а) +(-1) = -1;
+3 = 3;
+0 = 0;
+(-6) = -6;
+7 = 7.

б) -(-1) = 1;
-3 = -3;
-0 = 0;
-(-6) = 6;
-7 = -7.

216. Какие из чисел -5, 6, 8, -10, 0, +4, -0 являются:
а) положительными; б) отрицательными?

а) 6, 8, 4;
б) -5, -10.

217. Заполните пропуски, прочитайте полученную запись:
а) |+1| = …;   б) |-6| = …;   в) |0| = …;
г) |-3| = …;    д) |+7| = …;   е) |-8| = ….

а) |+1| = 1 — модулем числа плюс один является число один;
б) |-6| = 6 — модулем числа минус шесть является число шесть;
в) |0| = 0 — модулем числа нуль является число нуль;
г) |-3| = 3 — модулем числа минус три является число три;
д) |+7| = 7 — модулем числа плюс семь является число семь;
е) |-8| = 8 — модулем числа минус восемь является число восемь.

218. Найдите модули чисел: +2, -2, +5, -5, +8, -10, +100, +0, -3.

|+2| = 2;
|-2| = 2;
|+5| = 5;
|-5| = 5;
|+8| = 8;
|-10| = 10;
|+100| = 100;
|+0| = 0;
|-3| = 3.

219. Укажите два различных числа, модули которых равны.

7 и -7, так как противоположные числа имеют одинаковый модуль: |7| = 7 и |-7| = 7.

220. Для каждого из чисел 2, 5, -3, 10, -17 укажите другое число, имеющее тот же модуль.

-2, так как |2| = 2 и |-2| = 2,
-5, так как |5| = 5 и |-5| = 5,
3, так как |-3| = 3 и |3| = 3,
-10, так как |10| = 10 и |-10| = 10,
17, так как |-17| = 17 и |17| = 17.

221. Назовите два противоположных числа, имеющих модуль:
а) 2; б) 7; в) 9; г) 8.

а) -2 и 2, так как |-2| = 2 и |2| = 2;
б) -7 и 7, так как |-7| = 7 и |7| = 7;
в) -9 и 9, та как |-9| = 9 и |9| = 9;
г) -8 и 8, так как |-8| = 8 и |8| = 8.

222. Выполните действия (222-224).
а) |+6| + |+7|; б) |-9| + |-8|;
в) |-6| + |+7|;  г) |+8| + |+9|.

а) |+6| + |+7| = 6 + 7 = 13;
б) |-9| + |-8| = 9 + 8 = 17;
в) |-6| + |+7| = 6 + 7 = 13;
г) |+8| + |+9| = 8 + 9 = 17.

223. Выполните действия (222-224).
а) |-9| — |-6|;   б) |-5| — |+3|;
в) |-20| — |-6|; г) |-17| — |-8|.

а) |-9| — |-6| = 9 — 6 = 3;
б) |-5| — |+3| = 5 — 3 = 2;
в) |-20| — |-6| = 20 — 6 = 14;
г) |-17| — |-8| = 17 — 8 = 9.

224. Выполните действия (222-224).
а) |-7| + |+5| + |+8| + |-10|;
б) |+12| + |-2| — |+10| + |-9|;
в) |+18| + |-2| — |-5| — |-15|;
г) |-10| + |-2| — |-8| + |-5|.

а) |-7| + |+5| + |+8| + |-10| = 7 + 5 + 8 + 10 = 30;
б) |+12| + |-2| — |+10| + |-9| = 12 + 2 — 10 + 9 = 13;
в) |+18| + |-2| — |-5| — |-15| = 18 + 2 — 5 — 15 = 0;
г) |-10| + |-2| — |-8| + |-5| = 10 + 2 — 8 + 5 = 9.

225. Назовите число модуль которого равен:
а) +5; б) +8; в) +1; г) 0.
Сколько таких чисел можно назвать?

Можно назвать два числа, кроме г).
а) -5 и 5, так как |-5| = +5 и |5| = +5;
б) -8 и 8, так как |-8| = +8 и |8| = +8;
в) -1 и 1, так как |-1| = +1 и |1| = +1;
г) 0, так как |0| = 0.

226. Если целое число обозначено буквой α, то противоположное ему число обозначают —α. Заполните таблицу.

α 5 -3 2 -6 7 8 -9
α -5 3 -2 6 -7 -8 9

50

Ответы к стр. 50

227. Всегда ли модуль числа равен самому числу, т. е. |α| = α? Для каких чисел это равенство верно?

Модулем положительного числа называют само это число, а модулем числа 0 является число 0, поэтому равенство верно только для положительных чисел и для нуля.

228. Всегда ли модуль числа равен противоположному числу, т. е. |α| = —α? Для каких чисел это верно?

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число, а модулем числа 0 является число 0, поэтому равенство верно только для отрицательных чисел и для нуля.

229. Для какого числа выполняются оба условия: |α| = α и |α| = —α?

Модулем числа 0 является число 0, поэтому оба условия верны только для нуля.

230. Верно ли, что |-α| = |α|?

Модули противоположных чисел равны, следовательно равенство верно.

231. Маша по ошибке считает, что (-α) — это запись отрицательного числа. Назовите такое число a, чтобы число (-α) было:
а) положительным; б) отрицательным; в) нулём.

Если перед целым числом поставить знак «-», то получится число ему противоположное.
а) Пусть α = -5, тогда —α будет числом ему противоположным и равным 5, т. е. положительным.
б) Пусть α = 5, тогда —α будет числом ему противоположным и равным -5, т. е. отрицательным.
в) Пусть α = 0, а так как число 0 является противоположным самому себе, то и —α будет равно 0.

51

Ответы к стр. 51

232. Сравните натуральные числа
а) 425 и 452;           б) 999 и 1000;   в) 579 и 957;
г) 12 456 и 12 459; д) 1300 и 1297; е) 13 547 и 1354.

а) 425 < 452 (425 меньше 452);
б) 999 < 1000 (999 меньше 1000);
в) 579 < 957 (579 меньше 957);
г) 12 456 < 12 459 (12 456 меньше 12 459);
д) 1300 > 1297 (1300 больше 1297);
е) 13 547 > 1354 (13 547 больше 1354).

233. Как сравнивают целые числа?

Из двух целых чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.

234. Какие числа: а) больше нуля; б) меньше нуля.

а) положительные числа больше 0;
б) отрицательные числа меньше 0.

235. Какое число больше: положительное или отрицательное?

Положительное.

236. Сформулируйте правило сравнения:
а) целого числа с нулём;
б) положительного числа с отрицательным;
в) отрицательного числа с отрицательным.

а) любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля;
б) любое положительное число больше отрицательного;
в) из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

237. Существует ли:
а) наибольшее натуральное число;
б) наименьшее натуральное число;
в) наибольшее отрицательное целое число;
г) наименьшее отрицательное целое число;
д) наибольшее целое число;
е) наименьшее целое число.

а) натуральных чисел бесконечно много, поэтому наибольшего целого числа не существует;
б) из двух натуральных (положительных) чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее, поэтому наименьшим будет самое ближнее к 0 число, то есть 1;
в) из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, то есть, наибольшим отрицательным числом будет -1;
г) отрицательных чисел бесконечно много, поэтому наименьшего отрицательного числа не существует;
д) целых чисел бесконечно много, поэтому наибольшего целого числа не существует;
е) целых чисел бесконечно много, поэтому наименьшего целого числа не существует.

238. Сравните числа (238-240):
а) 5 и 0;    б) -5 и 0;   в) 7 и 0;
г) -7 и 0;   д) 8 и -7;   е) -3 и 100.

а) 5 > 0;    б) -5 < 0;   в) 7 > 0;
г) -7 < 0;   д) 8 > -7;   е) -3 < 100.

239. Сравните числа (238-240):
а) -9 и -6;     б) -3 и -20;        в) -7 и -15;
г) -25 и -1;   д) -20 и 0;         е) 0 и -40;
ж) -8 и 13;   з) 128 и -300;    и) -5 и -6.

а) -9 < -6;     б) -3 > -20;      в) -7 > -15;
г) -25 < -1;   д) -20 < 0;        е) 0 > -40;
ж) -8 < 13;   з) 128 > -300;   и) -5 > -6.

240. Сравните числа (238-240):
а) 728 и 800;      б) -296 и 1;      в) -999 и 2;
г) 0 и -500;         д) 725 и 0;       е) -600 и -5;
ж) -856 и -100;   з) -51 и -510;   и) 326 и 32.

а) 728 < 800;      б) -296 < 1;      в) -999 < 2;
г) 0 > -500;         д) 725 > 0;       е) -600 < -5;
ж) -856 < -100;   з) -51 > -510;   и) 326 > 32.

241. Запишите числа в порядке возрастания:
а) 400, -400, 0, 236, -528;   б) 752, 0, -35, -257, 432.

а) -528, -400, 0, 236, 400;
б) -257, -35, 0, 432, 752.

242. Запишите числа в порядке убывания:
а) -250, 367, 0, -8, 12, -400;
б) -790, 790, 0, -9, -12, 425.

а) 367, 12, 0, -8, -250, -400;
б) 790, 425, 0, -9, -12, -790.

243. Найдите разность:
а) |+5| — |-5|; б) |-5| — |+5|;
в) |+3| — |-3|; г) |-3| — |+3|.

а) |+5| — |-5| = 5 — 5 = 0;
б) |-5| — |+5| = 5 — 5 = 0;
в) |+3| — |-3| = 3 — 3 = 0;
г) |-3| — |+3| = 3 — 3 = 0.

244. Верно ли утверждение: если α > b, то |α| > |b|?

Так как из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, то утверждение будет неверным для отрицательных α и b.

245. Верно ли утверждение: если α > b, то |α| < |b|?

Так как модулем положительного числа называют само это число и из двух положительных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее, то утверждение будет неверным для положительных α и b.

246. Может ли быть так, чтобы α ≠ b, но |α| = |b|? Приведите примеры. Как называют такие числа α и b?

Так как одинаковый модуль имеют противоположные числа, то равенство верно для противоположных чисел.
Например:
-10 ≠ 10, но |-10| = 10 и |10| = 10, следовательно, |-10| = |10|;
-23 ≠ 23, но |-23| = 23 и |23| = 32, следовательно, |-23| = |23|;
-570 ≠ 570, но |-570| = 570 и |570| = 570, следовательно, |-570| = |570|.

52

Ответы к стр. 52

247. Объясните с помощью ряда неотрицательных чисел, почему если для целых чисел αb и с верны неравенства α > b и b > c, то верно неравенство α > c.

Из двух положительных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее. Поэтому если α > b, то α в ряду целых чисел стоит правее b. Если b > c, то b стоит правее c. Таки образом ряд целых чисел примет следующий вид : …, cbα, ….
Так как α стоит правее c, следовательно, α > c.

54

Ответы к стр. 54

248. С помощью ряда целых чисел определите сумму:
а) (+3) + (+2); б) (+3) + (-2); в) (-3) + (+2); г) (-3) + (-2).

а) …, 2, 3, 4, 5, 6, …
             | +2 ↑
или (+3) + (+2) = 3 + 2 = 5

б) …, 0, 1, 2, 3, 4, …
            ↑ -2  |
или (+3) + (-2) = 3 — 2 = 1

в) …, -4, -3, -2, -1, 0, …
               |  +2  ↑
или (-3) + (+2) = -3 + 2 = -1

г) …, -6, -5, -4, -3, -2, …
              ↑   -2   |
или (-3) + (-2) = -(3 + 2) = -5

249. Как сложить два числа:
а) с одинаковыми знаками; б) с разными знаками?

а) чтобы сложить два числа одинаковых знаков, надо сложить их модули и поставить перед суммой знак слагаемых;
б) чтобы сложить два числа разных знаков и с разными модулями, надо из большего модуля вычесть меньший и перед разностью поставить знак слагаемого с большим модулем.

250. Чему равна сумма противоположных чисел?

Сумма противоположных чисел равна 0.

251. Чему равна сумма целого числа и нуля?

Сумма целого числа и нуля равна самому целому числу.

252. Используя правило сложения, вычислите:
а) +7 + (+9) = + (7 + 9) = …; б) -4 + (-6) = -(6 + 4) = …;
в) -5 + (-6); г) -5 + (-9); д) -6 + (-1); е) -1 + (-6).

а) +7 + (+9) = +(7 + 9) = +16;
б) -4 + (-6) = -(6 + 4) = -10;
в) -5 + (-6) = -(5 + 6) = -11;
г) -5 + (-9) = -(5 + 9) = -14;
д) -6 + (-1) = -(6 + 1) = -7;
е) -1 + (-6) = -(1 + 6) = -7.

253. Вычислите (253-254):
а) -1 + (-2); б) -2 + (-1); в) -2 + (-4);
г) -5 + (-1); д) -3 + (-8); е) -4 + (-11).

а) -1 + (-2) = -(1 + 2) = -3;
б) -2 + (-1) = -(2 + 1) = -3;
в) -2 + (-4) = -(2 + 4) = -6;
г) -5 + (-1) = -(5 + 1) = -6;
д) -3 + (-8) = -(3 + 8) = -11;
е) -4 + (-11) = -(4 + 11) = -15.

254. Вычислите (253-254):
а) -9 + (-2);       б) -7 + (-3);  в) -13 + (-8);
г) +12 + (+23); д) -25 + (-7); е) +18 + (+42).

а) -9 + (-2) = -(9 + 2) = -11;
б) -7 + (-3) = -(7 + 3) = -10;
в) -13 + (-8) = -(13 + 8) = -21;
г) +12 + (+23) = +(12 + 23) = +35;
д) -25 + (-7) = -(25 + 7) = -32;
е) +18 + (+42) = +(18 + 42) = +60.

255. Используя правила сложения, вычислите:
а) +7 + (-6) = +(7 — 6) = +1, так как |7| > |-6|;
б) -18 + (+12) = -(18 — 12) = -6, так как |-18| > |12|;
в) -8 + (+9);      г) +8 + (-9);  д) +12 + (-15);
е) -13 + (+18); ж) -2 + (+18); з) +25 + (-32).

в) -8 + (+9) = +(9 — 8) = +1, так как |9| > |-8|;
г) +8 + (-9) = -(9 — 8) = -1, так как |-9| > |8|;
д) +12 + (-15) = -(15 — 12) = -3, так как |-15| > |12|;
е) -13 + (+18) = +(18 — 13) = +5, так как |18| > |-13|;
ж) -2 + (+18) = +(18 — 2) = +16, так как |18| > |-2|;
з) +25 + (-32) = -(32 — 25) = -7, так как |-32| > |25|.

256. Найдите сумму:
а) -1 + (+2); б) +5 + (-2); в) -4 + (+1);
г) -8 + (+2); д) +7 + (-9); е) -10 + (+4).

а) -1 + (+2) = +(2 — 1) = +1, так как |2| > |-1|;
б) +5 + (-2) = +(5 — 2) = +3, так как |5| > |-2|;
в) -4 + (+1) = -(4 — 1) = -3, так как |-4| > |1|;
г) -8 + (+2) = -(8 — 2) = -6, так как |-8| > |2|;
д) +7 + (-9) = -(9 — 7) = -2, так как |-9| > |7|;
е) -10 + (+4) = -(10 — 4) = -6, так как |-10| > |4|.

55

Ответы к стр. 55

Замечание. Для упрощения записи суммы у положительных слагаемых обычно опускают знак «+» и скобки. Например, вместо +3 + (+8) пишут 3 + 8, т. е. 
+3 + (+8) = 3 + 8.
Аналогично — 5 + (+9) = -5 + 9.

257. Упростите запись суммы:
а) -5 + (+7) = -5 + 7; б) -8 + (+9);   в) -9 + (+7);
г) +3 + (+7);              д) +8 + (-13); е) +9 + (-17).

а) -5 + (+7) = -5 + 7;
б) -8 + (+9) = -8 + 9;
в) -9 + (+7) = -9 + 7;
г) +3 + (+7) = 3 + 7;
д) +8 + (-13) = 8 — 13;
е) +9 + (-17) = 9 — 17.

258. Назовите знак каждого слагаемого:
а) -5 + 8; б) 5 + 7; в) -13 +(-9); г) -91 + 26; д) -95 + (-13).

а) -5 + 8, «минус» 5, «плюс» 8;
б) 5 + 7, «плюс» 5, «плюс» 7;
в) -13 +(-9), «минус» 13, «минус» 9;
г) -91 + 26, «минус» 91, «плюс» 26;
д) -95 + (-13), «минус» 95, «минус» 13.

Вычислите по образцу (259-263):
-755 + (-983) = -(755 + 983) = -1738  | +755
                                                            |   983
                                                            | 1783

259. а) -102 + (-98); б) -33 + (-167);  в) -128 + (-12);
        г) 688 + 957;    д) -172 + (-118); е) 694 + 738.

а) -102 + (-98) = -(102 + 98) = -200
+102
   98
 200

б) -33 + (-167) = -(33 + 167) = -200
+  33
 167
 200

в) -128 + (-12) = -(128 + 12) = -140
+128
    12
  140

г) 688 + 957 = 1645
688
  957
1645

д) -172 + (-118) = -(172 + 118) = -290
+172
  118
  290

е) 694 + 738 = 1432
+ 694
   738
 1432

260. а) -354 + (-293); б) -293 + (-354); в) 784 + 951;
        г) -728 + (-256); д) 487 + 954;      е) (-259) + (-728).

а) -354 + (-293) = -(354 + 293) = -647
+354
  293
  647

б) -293 + (-354) = -(293 + 354) = -647
+293
  354
  647

в) 784 + 951 = 1735
+784
  951
1735

г) -728 + (-256) = -(728 + 256) = -984
+728
  256
  984

д) 487 + 954 = 1441
+ 487
   954
 1441

е) (-259) + (-728) = -(259 + 728) = -987
+259
  728
  987

261. а) -7825 + (-3517); б) 7903 + 484; в) -35 + (-8094)

а) -7825 + (-3517) = -(7825 + 3517) = -11342
+ 7825
   3517
 11342

б) 7903 + 484 = 8387
+7903
   484
 8387

в) -35 + (-8094) = -(35 + 8094) = 8129
+   35
 8094
 8129

262. а) 359 + (-483); б) -703 + 117; в) -14 + 864;
        г) 151 + (-87);   д) 17 + (-256); е) 476 + (-253).

а) 359 + (-483) = -(483 — 359) = -124
483
   359
   124

б) -703 + 117 = -(703 — 117) = -586
703
   117
   586

в) -14 + 864 = +(864 — 14) = 850
864
     14
   850

г) 151 + (-87) = +(151 — 87) = 64
151
     87
     64

д) 17 + (-256) = -(256 — 17) = 239
256
     17
   239

е) 476 + (-253) = +(476 — 253) = 223
476
   253
   223

263. а) -170 + (-250);    б) -350 + 480;        в) 7805 + (-454);
        г) 1306 + (-2514); д) -8576 + (-1720); е) -6060 + 3903.

а) -170 + (-250) = -(170 + 250) = -420
+170
  250
  420

б) -350 + 480 = +(480 — 350) = 130
480
   350
   130

в) 7805 + (-454) = 7805 — 454 = 7351
7805
    454
   7351

г) 1306 + (-2514) = -(2514 — 1306) = -1208
2514
   1306
   1208

д) -8576 + (-1720) = -(8576 + 1720) = -10296
8576
   1720
 10296

е) -6060 + 3903 = -(6060 — 3903) = -2157
6060
   3903
   2157

264. Вычислите по образцу:
а) -5 + (-3) + 2 = -(5 + 3) + 2 = -8 + 2 = -6;
б) 3 + (-7) + (-8) + 6 = -4 + (-8) + 6 = -12 + 6 = -6;
в) -8 + 3 + (-1);      г) -7 + (-2) + (-10);
д) 8 + (-9) + (-7);    е) -3 + (-4) + (-5) + (-6);
ж) -4 + 8 +(-9) + 3; з) 8 + (-10) + (-12) + 3.

в) -8 + 3 + (-1) = -(8 + 1) + 3 = -9 + 3 = -6;
г) -7 + (-2) + (-10) = -(9) + (-10) = -19;
д) 8 + (-9) + (-7) = -(9 + 7) + 8 = -16 + 8 = -8;
е) -3 + (-4) + (-5) + (-6) = -7 + (-5) + (-6) = -12 + (-6) = -18;
ж) -4 + 8 +(-9) + 3 = -(4 + 9) + (8 + 3) = -13 + 11 = -2;
з) 8 + (-10) + (-12) + 3 = (8 + 3) — (10 + 12) = 11 − 22 = -11.

56

Ответы к стр. 56

265. Запишите для целых чисел α и b переместительный закон сложения, сформулируйте его.

α + b = b + α
Сумма двух целых чисел не зависит от порядка слагаемых.

266. Запишите для целых чисел αb и c сочетательный закон сложения, сформулируйте его.

(α + b) + c = α + (b + с)
Чтобы к сумме двух целых чисел прибавить третье целое число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего — результат будет тот же.

57

Ответы к стр. 57

267. Вычислите, применяя законы сложения:
а) 5 + 798 + 35;   б) (723 + 59) + 17;
в) 357 + 48 + 13; г) 488 + (596 + 12).

а) 5 + 798 + 35 = (5 + 35) + 798 = 40 + 798 = 838;

б) (723 + 59) + 17 = (723 + 17) + 59 = 740 + 59 = 799;

в) 357 + 48 + 13 = (357 + 13) + 48 = 370 + 48 = 418;

г) 488 + (596 + 12) = (488 + 12) + 596 = 500 + 596 = 1096.

268. Выполните сложение и сравните результаты:
а) -5 + (-9) и -9 + (-5);      б) 48 + (-36) и -36 + (48);
в) -25 + (16) и 16 + (-25); г) -8 + (18 + (-7)) и (-8 + 18) + (-7);
д) 13 + (-6 + (-7)) и (13 + (-6)) + (-7).

а) -5 + (-9) = -(5 + 9) = -14,
-9 + (-5) = -(9 + 5) = -14,
-14 = -14;

б) 48 + (-36)= 48 — 36 = 12,
-36 + (48) = -36 + 48 = 12,
12 = 12;

в) -25 + (16) = -(25 — 16) = -9,
16 + (-25) = -(25 — 16) = -9,
9 = 9;

г) -8 + (18 + (-7)) = -8 + (18 — 7) = -8 + 11 = 3,
(-8 + 18) + (-7) = (18 — 8) — 7 = 10 — 7 = 3,
3 = 3;

д) 13 + (-6 + (-7)) = 13 — (6 + 7) = 13 — 13 = 0,
(13 + (-6)) + (-7) = (13 — 6) — 7 = 7 — 7 = 0,
0 = 0.

269. Примените переместительный закон сложения:
а) -45 + (-10) = -10 + (-45)
б) 8 + (-35); в) -13 + 49; г) -17 + (-23).

б) 8 + (-35) = -35 + 8;
в) -13 + 49 = 49 + (-13);
г) -17 + (-23) = -23 + (-17).

270. Примените сочетательный закон сложения:
а) 42 + (-3 + 7) = (42 + (-3)) + 7;
б) 56 + (-16 + 7); в) (-52 + 17) + (-9); г) -13 + (-8 + 25).

б) 56 + (-16 + 7) = (56 + (- 16)) + 7;
в) (-52 + 17) + (-9) = -52 + (17 + (-9));
г) -13 + (-8 + 25) = (-13 + (-8)) + 25.

271. Заполните пропуски:
а) 3 + 5 + (-8) = 3 + (-8) + …;
б) 6 + … + (-1) = (-1) + (6 + (-2));
в) -1 + … + 3 = (3 + (-7)) + …;
г) -4 + … + (-7) = 2 + (… +(-4)).

а) 3 + 5 + (-8) = 3 + (-8) + 5;
б) 6 + (-2) + (-1) = (-1) + (6 + (-2));
в) -1 + (-7) + 3 = (3 + (-7)) + (-1);
г) -4 + 2 + (-7) = 2 + (-7 + (-4)).

272. Вычислите применяя законы сложения:
а) 49 + ((-49) + 22);     б) -12 + (12 + (-29));
в) (47 + (-58)) + (-47); г) (124 + 59) + (-24);
д) -56 + 17 + (-27);      е) 49 + (-72) + 62;
ж) 36 + (-51) + 14;       з) -48 + (-19) + 28.

а) 49 + ((-49) + 22) = (49 + (-49)) + 22 = 0 + 22 = 22;

б) -12 + (12 + (-29)) = ((-12) + 12) + (-29) = 0 + (-29) = -29;

в) (47 + (-58)) + (-47) = (47 + (-47)) + (-58) = 0 + (-58) = -58;

г) (124 + 59) + (-24) = (124 + (-24)) + 59 = 100 + 59 = 159;

д) -56 + 17 + (-27) = -56 + ((-27) + 17) = -56 + (-10) = -66;

е) 49 + (-72) + 62 = 49 + ((-72) + 62) = 49 + (-10) = 39;

ж) 36 + (-51) + 14 = (36 + 14) + (-51) = 50 + (-51) = -1;

з) -48 + (-19) + 28 = ((-48) + 28) + (-19) = -20 + (-19) = -39.

273. Вычислите по образцу:
а) -1 + 2 + (-3) + 5 = (2 + 5) + ((-1) + (-3)) = 7 + (-4) = …;
б) -2 + (-4) + 2 + 5 + (-3) + 1 + (-3);
в) 20 + (-8) + 2 + 5 + (-10) + (-1) + (-3);
г) -4 + (-1) + 3 + (-2) + (-3) + 9;
д) -17 + 17 + (-8) + 6 + (-2) + 8;
е) 4 + (-6) + (-1) + (-4) + 6 + (-3) + 1.

а) -1 + 2 + (-3) + 5 = (2 + 5) + ((-1) + (-3)) = 7 + (-4) = 3;

б) -2 + (-4) + 2 + 5 + (-3) + 1 + (-3) = (2 + 5 + 1) + ((-2) + (-4) + (-3) + (-3)) = 8 + (-12) = -4;

в) 20 + (-8) + 2 + 5 + (-10) + (-1) + (-3) = (20 + 2 + 5) + ((-8) + (-10) + (-1) + (-3)) = 27 + (-22) = 5;

г) -4 + (-1) + 3 + (-2) + (-3) + 9 = (3 + 9) + ((-4) + (-1) + (-2) + (-3)) = 12 + (-10) = 2;

д) -17 + 17 + (-8) + 6 + (-2) + 8 = (17 + 6 + 8) + ((-17) + (-8) + (-2)) = 31 + (-27) = 4;

е) 4 + (-6) + (-1) + (-4) + 6 + (-3) + 1 = (4 + 6 + 1) + ((-6) + (-1) + (-4) + (-3)) = 11 + (-14) = -3.

274. Вычислите, применяя законы сложения (274-275):
а) (-1) + (-2) + (-3) + (-4) + 4 + 3 + 2 + 1;
б) (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7;
в) (-10) + (-9) + (-8) + (-7) + … + 7 + 8 + 9 + 10;
г) (-100) + (-99) + (-98) + … + 98 + 99 + 100.

а) (-1) + (-2) + (-3) + (-4) + 4 + 3 + 2 + 1 = ((-1) + 1) + ((-2) + 2) + ((-3) + 3) + ((-4) + 4) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

б) (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7 = ((-7) + 7) + ((-5) + 5) + ((-3) + 3) + ((-1) + 1) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

в) (-10) + (-9) + (-8) + (-7) + … + 7 + 8 + 9 + 10 = ((-10) + 10) + ((-9) + 9) + ((-8) + 8) + ((-7) + 7) + … + ((-1) + 1) = 0 + 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0;

г) (-100) + (-99) + (-98) + … + 98 + 99 + 100 = ((-100) + 100) + ((-99) + 99) + ((-98) + 98)+ … + ((-1) + 1) = 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0.

58

Ответы к стр. 58

275. Вычислите, применяя законы сложения (274-275):
а) 1 + (-2) + 3 + (-4) + … + 9 + (-10);
б) 1 + (-2) + 3 + (-4) + … + 99 + (-100);
в) (-1) + 2 + (-3) + 4 + … + (-9) + 10;
г) (-1) + 2 + (-3) + 4 + … + (-99) + 100.

а) Всего 10 чисел, разобьём их по парам: 1 + (-2), 3 + (-4) и так далее – всего 5 пар (10 : 2 = 5). Тогда:
1 + (-2) + 3 + (-4) + … + 9 + (-10) = (1 + (-2)) + (3 + (-4)) + … + (9 + (-10)) = -1 + (-1) + … + (-1) = -5, так как получится 5 пар со значением -1;

б) Всего 100 чисел, разобьём их по парам: 1 + (-2), 3 + (-4) и так далее – всего 50 пар (100 : 2 = 50). Тогда:
1 + (-2) + 3 + (-4) + … + 99 + (-100) = (1 + (-2)) + (3 + (-4)) + … + (99 + (-100)) = -1 + (-1) + … + (-1) = -50, так как получится 50 пар со значением -1;

в) Всего 10 чисел, разобьём их по парам: -1 + 2, -3 + 4 и так далее – всего 5 пар (10 : 2 = 5). Тогда:
(-1) + 2 + (-3) + 4 + … + (-9) + 10 = ((-1) + 2) + ((-3) + 4) + … + ((-9) + 10) = 1 + 1 + … + 1 = 5, так как получится 5 пар со значением 1;

г) Всего 100 чисел, разобьём их по парам: -1 + 2, -3 + 4 и так далее – всего 50 пар (100 : 2 = 50). Тогда:
(-1) + 2 + (-3) + 4 + … + (-99) + 100 = ((-1) + 2) + ((-3) + 4) + … + ((-99) + 100) = 1 + 1 + … + 1 = 50, так как получится 50 пар со значением 1.

276. Даны числа: 9, -11, 10. Убедитесь, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех трёх чисел положительна. Напишите в строчку три числа так, чтобы сумма двух соседних чисел была положительна, а сумма трёх числа была отрицательна.

Соседние числа в ряду 9 и -11, -11 и 10.
9 + (-11) = -(11 — 9) = -2 — сумма двух соседних чисел отрицательна
-11 + 10 = -(11 — 10) = -1 — сумма двух соседних чисел отрицательна
9 + (-11) + 10 = 19 — 11 = 8 — сумма всех трёх чисел положительна

Возьмем ряд чисел -9, 11, -10, тогда:
-9 + 11 = 11 — 9 = 2 — сумма двух соседних чисел положительна
11 + (-10) = 11 — 10 = 1 — сумма двух соседних чисел положительна
-9 + 11 + (-10) = 11 + (-9 + (-10)) = 11 + (-19) = -8 — сумма всех трёх чисел отрицательна.

277. Убедитесь, что для чисел 5, -4, -2, 5, -4, -2, 5 сумма любых трёх соседних чисел отрицательна, а сумма всех чисел положительна. Напишите в строчку семь чисел так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел отрицательна.

Соседние три числа в ряду: 5, -4, -2; -4, -2, 5; -2, 5, -4; 5, -4, -2; -4, -2, 5.
5 + ((-4) + (-2)) = 5 + (-6) = -1;
-4, -2, 5 = ((-4) + (-2)) + 5 = -6 + 5 = -1;
-2, 5, -4 = ((-2) + (-4)) + 5 = -6 + 5 = -1;
5, -4, -2 = 5 + ((-4) + (-2)) = 5 + (-6) = -1;
((-4) + (-2)) + 5 = -6 + 5 = -1;
Получается, что сумма любых трёх соседних чисел отрицательна. Набор любых трёх соседних чисел содержит одинаковые числа 5, -4 и -2 в разном порядке.
5 + (-4) + (-2) + 5 + (-4) + (-2) + 5 = (5 + 5 + 5) + ((-4) + (-2) + (-4) + (-2)) = 15 + (-12)  = 3 — сумма всех чисел положительна.

Возьмем ряд чисел -5,  4, 2, -5, 4, 2, -5.
Соседние три числа в ряду: -5, 4, 2; 4, 2, -5; 2, -5, 4; -5, 4, 2; 4, 2, -5.
-5 + (4 + 2) = -5 + 6 = 1;
(4 + 2) + (-5) = 6 + (-5) = 1;
2 + (-5) + 4 = -5 + (2 + 4) = -5 + 6 = 1;
-5 + (4 + 2) = -5 + 6 = 1;
(4 + 2) + (-5) = 6 + (-5) = 1;
Получается, что сумма любых трёх соседних чисел положительна. Набор любых трёх соседних чисел содержит одинаковые числа -5, 4 и 2 в разном порядке.
-5 + 4 + 2 + (-5) + 4 + 2 + (-5) = ((-5) + (-5) + (-5)) + (3 + 2 + 4 + 2) = -15 + 12 = -3 — сумма всех чисел отрицательна.

278. Запишите и вычислите:
а) сумму чисел 17 и -23;
б) сумму чисел -20 и 4;
в) сумму числа, противоположного -13, и числа -225;
г) сумму числа -26 и числа, противоположного -12.

а) 17 + (-23) = -6;
б) -20 + 4 = -16;
в) противоположным числу -13 является число 13, тогда: 13 + (-225) = -212;
г) противоположным числу -12 является число 12, тогда: -26 + 12 = -14.

279. К числу α прибавьте число, противоположное b:
а) α = 12, b = -7;     б) α = 13, b = 16; в) α = 15, b = 7;
г) α = 24, b = 13;     д) α = -14, b = 7; е) α = -29, b = 40;
ж) α = -24, b = -13; з) α = -16; b= -18.

а) противоположным числу -7 является число 7, тогда: 12 + 7 = 19;

б) противоположным числу 16 является число -16, тогда: 13 + (-16) = -3;

в) противоположным числу 7 является число -7, тогда: 15 + (-7) = 8;

г) противоположным числу 13 является число -13, тогда: 24 + (-13) = 11;

д) противоположным числу 7 является число -7, тогда: -14 + (-7) = -(14 + 7) = -21;

е) противоположным числу 40 является число -40, тогда: -29 + (-40) = -(29 + 40) = -69;

ж) противоположным числу -13 является число 13, тогда: -24 + 13 = -11;

з) противоположным числу -18 является число 18, тогда: -16 + 18 = 2.

280. Перепишите, заменив х числом так, чтобы получилось верное равенство:
а) (-6) + (-7) = х; б) -8 + х = -10; в) -8 + х = -3;
г) -8 + х = 0;       д) -8 + х = -8;   е) х + 5 = 10;
ж) х + 5 = 0;       з) х + 5 = -3;     и) х + 5 = -8.

а) х = -13, (-6) + (-7) = -13;
б) х = -2, -8 + (-2) = -10;
в) х = 5, -8 + 5 = -3;
г) х = 8, -8 + 8 = 0;
д) х = 0, -8 + 0 = -8;
е) х = 5, 5 + 5 = 10;
ж) х = -5, -5 + 5 = 0;
з) х = -8, -8 + 5 = -3;
и) х = -13, -13 + 5 = -8.

59

Ответы к стр. 59

281. Что называют разностью чисел α и b?

Разность α — b есть сумма числа α и числа, противоположного числу b.

282. Какой сумме равна разность α — b?

α — b = α + (-b)

283. Применяя, определение разности, проверьте, верно ли равенство:
а) +28 — (+9) = 14; б) +7 — (+12) = -5;
в) -2 — (-3) = 1;       г) -12 — (+1) = -11.

а) +28 — (+9) = 28 + (-9) = 28 — 9 = 19, 19 ≠ 14 — равенство неверно;

б) +7 — (+12) = 7 + (-12) = -(12 — 7) = -5, -5 = -5 — равенство верно;

в) -2 — (-3) = -2 + 3 = 3 — 2 = 1, 1 = 1 — равенство верно;

г) -12 — (+1) = -12 + (-1) = -(12 + 1) = -13, -13 ≠ -11, равенство неверно.

284. Назовите уменьшаемое, вычитаемое и число, противоположное вычитаемому:
а) +45 — (+63); б) +27 — (-52); в) -4 — (+19);
г) -41 — (+95);  д) -59 — (-11);  е) +32 — (-16).

а) +45 — уменьшаемое, +63 — вычитаемое, -63 — число противоположное вычитаемому;

б) +27 — уменьшаемое, -52 — вычитаемое, +52 — число противоположное вычитаемому;

в) -4 — уменьшаемое, +19 — вычитаемое, -19 — число противоположное вычитаемому;

г) -41 — уменьшаемое, +95 — вычитаемое, -95 — число противоположное вычитаемому;

д) -59 — уменьшаемое, -11 — вычитаемое, +11 — число противоположное вычитаемому;

е) +32 — уменьшаемое, -16 — вычитаемое, +16 — число противоположное вычитаемому.

285. Замените разность чисел суммой уменьшаемого и числа, противоположному вычитаемому:
а) +25 — (-6) = +25 + (+6); б) (-9) — (+45) = (-9) + (-45);
в) +47 — (+58);  г) (-36) — (+12);
д) +13 — (-27);  е) (-45) — (-59).

в) +47 — (+58) = +47 + (-58);
г) (-36) — (+12) = (-36) + (-12);
д) +13 — (-27) = +13 + 27;
е) (-45) — (-59) = (-45) + 59.

60

Ответы к стр. 60

Замечание. Для упрощения записи разности у положительных уменьшаемого и вычитаемого опускают скобки и знак «+».
Например, +9 — (+3) = 9 — 3; -9 — (+3) = -9 — 3; +9 — (-3) = 9 — (-3).

286. Замените разность суммой:
а) -5 — (+2) = -5 + (-2); б) 12 — (-7) = 12 + 7;
в) -6 — (-3);      г) 9 — (+13);  д) 17 — (+24);
е) -13 — (-19); ж) 13 — (-27); з) -15 — (+10).

в) -6 — (-3) = -6 + 3;
г) 9 — (+13) = 9 + (-13);
д) 17 — (+24) = 17 + (-24);
е) -13 — (-19) = -13 + 19;
ж) 13 — (-27) = 13 + 27;
з) -15 — (+10) = -15 + (-10).

287. Вычислите по образцу (287-288):
а) 9 — 10 = 9 + (-10) = -(10 — 9) = -1;
б) 6 — 8;    в) 4 — 10;      г) 5 — 20;   д) 6 — 11;
е) 8 — 13;  ж) 8 — 24;      з) 24 — 48; и) 35 — 47;
к) 64 — 71; л) 91 — 119; м) 62 — 89; н) 67 — 105.

б) 6 — 8 = 6 + (-8) = -(8 — 6) = -2;
в) 4 — 10 = 4 + (-10) = -(10 — 4) = -6;
г) 5 — 20 = 5 + (-20) = -(20 — 5) = -15;
д) 6 — 11 = 6 + (-11) = -(11 — 6) = -5;
е) 8 — 13 = 8 + (-13) = -(13 — 8) = -5;
ж) 8 — 24 = 8 + (-24) = -(24 — 8) = -16;
з) 24 — 48 = 24 + (-48) = -(48 — 24) = -24;
и) 35 — 47 = 35 + (-47) = -(47 — 35) = -12;
к) 64 — 71 = 64 + (-71) = -(71 — 64) = -7;
л) 91 — 119 = 91 + (-119) = -(119 — 91) = -28;
м) 62 — 89 = 62 + (-89) = -(89 — 62) = -27;
н) 67 — 105 = 67 + (-105) = -(105 — 67) = -38.

288. Вычислите по образцу (287-288):
а) -3 — 7 = -3 + (-7) = -(3 + 7) = -10;
б) -4 — 8;     в) -5 — 2;       г) -8 — 14;      д) -10 — 10;
е) -20 — 60; ж) -11 — 23;   з) -28 — 17;    и) -5 — 91;
к) -92 — 18; л) -240 — 14; м) -50 — 105; н) -200 — 400.

б) -4 — 8 = -4 + (-8) = -(4 + 8) = -12;
в) -5 — 2 = -5 + -2) = -(5 + 2) = -7;
г) -8 — 14 = -8 + (-14) = -(8 + 14) = -22;
д) -10 — 10 = -10 + (-10) = -(10 + 10) = -20;
е) -20 — 60 = -20 + (-60) = -(20 + 60) = -80;
ж) -11 — 23 = -11 + (-23) = -(11 + 23) = -34;
з) -28 — 17 = -28 + (-17) = -(28 + 17) = -45;
и) -5 — 91 = -5 + (-91) = -(5 + 91) = -96;
к) -92 — 18 = -92 + (-18) = -(92 + 18) = -110;
л) -240 — 14 = -240 + (-14) = -(240 + 14) = -254;
м) -50 — 105 = -50 + (-105) = -(50 + 105) = -155;
н) -200 — 400 = -200 + (-400) = -(200 + 400) = -600.

289. Вычислите:
а) -5 — 2; б) -1 — 3; в) -15 — 12; г) -6 — 14; д) -100 — 200.

а) -5 — 2 = -5 + (-2) = -(5 + 2) = -7;
б) -1 — 3 = -1 + (-3) = -(1 + 3) = -4;
в) -15 — 12 = -15 + (-12) = -(15 + 12) = -27;
г) -6 — 14 = -6 + (-14) = -(6 + 14) = -20;
д) -100 — 200 = -100 + (-200) = -(100 + 200) = -300.

290. Вычислите по образцу (290-291):
а) -1 — (-4) = -1 + 4 = 3;
б) -2 — (-2); в) -3 — (-4); г) -5 — (-2); д) -8 — (-6); е) 9 — (-5).

б) -2 — (-2) = -2 + 2 = 0;
в) -3 — (-4) = -3 + 4 = 1;
г) -5 — (-2) = -5 + 2 = -3;
д) -8 — (-6) = -8 + 6 = -2;
е) 9 — (-5) = 9 + 5 = 14.

291. Вычислите по образцу (290-291):
а) -794 — (-581) = -794 + 581 = -(794 — 581) = -213; 

— 794
|     581
|     213
б) -824 — (-642);   в) -498 — (-402);      г) -864 — (-164);
д) -1240 — (-200); е) -1000 — (-2500); ж) 80 — (-1800).

б) -824 — (-642) = -824 + 642 = -(824 — 642) = -182
— 824
    642
    182

в) -498 — (-402) = -498 + 402 = -(498 — 402) = -96
— 498
   402
     96

г) -864 — (-164) = -864 + 164 = -(864 — 164) = -700
— 864
    164
    700

д) -1240 — (-200) = -1240 + 200 = -(1240 — 200) = -1040
— 1240
      200
    1040

е) -1000 — (-2500) = -1000 + 2500 = 2500 — 1000 = 1500
— 2500
    1000
    1500

ж) 80 — (-1800) = 80 + 1800 = 1880
+1800
     80
 1880

292. Запишите сумму чисел без скобок по образцу:
а) (-25) + (-42) = -25 — 42;
б) (-45) + (-12); в) 17 + (-3); г) (-28) + (-49); д) 13 + (-45).

а) (-25) + (-42) = -25 — 42;
б) (-45) + (-12) = -45 — 12;
в) 17 + (-3) = 17 — 3;
г) (-28) + (-49) = -28 — 49;
д) 13 + (-45) = 13 — 45.

293. Вычислите сумму чисел:
а) 49 + (-23); б) 56 + (-63); в) (-15) + (-40); г) (-66) + (-28).

а) 49 + (-23) = 49 — 23 = 26;
б) 56 + (-63) = 56 — 63 = -(63 — 56) = -7;
в) (-15) + (-40) = -15 + (-40) = -(15 + 40) = -55;
г) (-66) + (-28) = -66 + (-28) = -(66 + 28) = -94.

294. Вычислите:
а) (-5 + 8) + 9;     б) (14 — 18) — 7;    в) 96 — (-72 + 13);
г) -75 — (-75 + 8); д) 79 + (48 — 79); е) 14 — (15 — 94).

а) (-5 + 8) + 9 = -5 + 8 + 9 = (8 + 9) — 5 = 17 — 5 = 12;

б) (14 — 18) — 7 = 14 — 18 — 7 = (-18 — 7) + 14 = -(18 + 7) + 14 = -25 + 14 = -(25 — 14) = -11;

в) 96 — (-72 + 13) = 96 + 72 — 13 = (96 — 13) + 72 = 83 + 72 = 155;

г) -75 — (-75 + 8) = — 75 + 75 — 8 = (-75 + 75) — 8 = 0 — 8 = -8;

д) 79 + (48 — 79) = 79 + 48 — 79 = (79 — 79) + 48 = 0 + 48 = 48;

е) 14 — (15 — 94)= 14 — 15 + 94 = 94 + (14 — 15) = 94 — (15 — 14) = 94 — 1 = 93.

61

Ответы к стр. 61

295. Если α и b — натуральные числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются натуральными числами?

Сумма натуральных чисел α и b всегда является натуральным (положительным) числом.
Разность натуральных чисел α и b не всегда является натуральным (положительным) числом, так как если b > α, то b — α = отрицательное число.

296. Если α и b — целые числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются целыми числами?

Сумма и разность двух целых чисел всегда будет равна целому числу.

297. Вычислите наиболее простым способом (297-298):
а) -1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1;
б) -8 — 7 — 5 — 3 — 1 + 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9.

а) -1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (-1 + 1) + (-2 + 2) + (-3 + 3) + (-4 + 4) + (-5 + 5) — 6 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 — 6 = -6;

б) -8 — 7 — 5 — 3 — 1 + 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9 = (-8 + 8) + (-7 + 7) + (-5 + 5) + (-3 + 3) + (-1 + 1) + 0 + 9 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 9 = 9.

298. Вычислите наиболее простым способом (297-298):
а) -9 — 8 — 7 — … — 1 + 0 + 1 + … + 7 + 8 + 9 + 10;
б) -101 — 100 — 99 — 98 — … + 98 + 99 + 100;
в) 1 — 2 + 3 — 4 + … + 9 — 10 + 11;
г) 1 — 2 + 3 — 4 + … + 99 — 100.

а) Сложим сначала попарно все противоположные числа, затем оставшиеся 0 и 10:
-9 — 8 — 7 — … — 1 + 0 + 1 + … + 7 + 8 + 9 + 10 = (-9 + 9) + (-8 + 8) + (-7 + 7) + (-6 + 6) + (-5 + 5) + (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + (0 + 10) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 10 = 10 ;

б) Сложим сначала попарно все противоположные числа, затем оставшиеся 0 и -101:
-101 — 100 — 99 — 98 − … + 98 + 99 + 100 = (-100 + 100) + (-99 + 99) + … + (-1 + 1) + (-101 + 0) = 0 + … + 0 + (-101) = -101;

в) Сложим сначала попарно все соседние числа начиная с 1 (всего 5 пар) и прибавим к ним оставшееся без пары 11:
1 — 2 + 3 — 4 + … + 9 — 10 + 11 = (1 — 2) + (3 — 4) + … + (9 — 10) + 11 = (-1) + (-1) + … (-1) + 11 = -(1 + 1 + 1 + 1 + 1) + 11 = -5 + 11 = 11 — 5 = 6, так как получится 5 пар со значением -1;

г) Всего 100 чисел, разобьём их по парам: 1 + (-2), 3 + (-4) и так далее – всего 50 пар (100 : 2 = 50). Тогда:
1 — 2 + 3 — 4 + … + 99 — 100 = (1 — 2) + (3 — 4) + … + (9 — 10) = (-1) + (-1) + … + (-1) = -50, так как получится 50 пар со значением -1.

299. Для какого числа х верно равенство (299-300)?
а) x + 13 = 7,  |
x = 7 — 13,      |  
7 — 13 = -(13 — 7) = -6
x = -6;             |
б) х + 8 = -7; в) -7 + х = 9; г) х — (-8) = 13; д) -15 — х = 7.

б) x + 8 = -7,
x = -7 — 8, | -7 — 8 = -(7 + 8) = -(15) = -15
x = -15;

в) -7 + x = 9,
x = 9 — (-7), | 9 — (-7) = 9 + 7 = 16
x = 16;

г) x — (-8) = 13,
x = 13 + (-8), | 13 + (-8) = 13 — 8 = 5
х = 5;

д) -15 — x = 7,
x = -15 — 7, | -15 — 7 = -(15+7) = -22
x = -22.

300. Для какого числа х верно равенство (299-300)?
а) -498 — x = -175, | 498
x = -498 — (-175),   |  175
х = -498 + 175,      |  323
x = -323;
б) 79 + x = -356; в) x — 57 = -493;
г) 167 — x = 39;    д) -542 + x = 542.

б) 79 + x = -356,
x = -356 — 79,
x = -435;
+356
    79
  435

в) x — 57 = -493,
x = -493 + 57,
x = -436;
— 493
     57
   436

г) 167 — x = 39,
x = 167 — 39,
x = 128;
— 167
     39
   128

д) -542 + x = 542,
x = 542 + 542,
x = 1084.
542
   542
 1084

301. Найдите сумму нескольких одинаковых слагаемых:
а) (-5) + (-5) + … + (-5); б) (-7) + (-7) + … + (-7);
    ⌊                             ⌋       ⌊                             
                   6                                      8
в) (-10) + (-10) + … + (-10); г) (-6) + (-6) + … + (-6);
    ⌊                                   ⌋      ⌊                             
                      9                                      11

а) -(5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) = -(30) = -30;

б) -(7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7) = -(56) = -56;

в) -(10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10) = -(90) = -90;

г) -(6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6) = -(66) = -66.

63

Произведение целых чисел

Ответы к стр. 63

302. а) Что называют произведением двух целых не равных нулю чисел?
б) Чему равно произведение любого целого числа и нуля?
в) Что называют степенью числа α с натуральным показателем n?

а) Произведением двух целых не равных нулю чисел называют произведение их модулей, взятое со знаком «+», если эти числа одинаковых знаков, и со знаком «-», если они разных знаков.

б) Произведение любого целого числа и нуля равно нулю.

в) Степенью числа α с натуральным показателем n называют произведение n множителей, каждый из которых равен α.

303. Справедливы ли переместительный и сочетательный законы умножения для целых чисел? Сформулируйте их.

Справедливы.
Переместительный закон: от перемены мест множителей произведение не меняется.
Сочетательный закон: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

304. Что получится, если число умножить на (-1)?

При умножении любого числа на (-1) меняется только знак этого числа, то есть получается противоположное ему число.

305. Вычислите столбиком:
а) 123 • 9;   б) 357 • 8;  в) 256 • 32;
г) 457 • 48; д) 521 • 32; е) 439 • 528.

а) × 123
          9
    1107;

б) × 357
          8
    2856;

в) × 256
        32
   + 512
    768   
    8192;

г)  × 457
         48
   3656
    1828  
    21936;

д) × 521
         32
   1042
    1563
    16672;

е)  × 439
        528
      3512
  +  878
   2195   
   231792.

306. Вычислите, применяя законы умножения:
а) 24 • 2 • 5; б) 47 • 4 • 25; в) 53 • 8 • 125;
г) 2 • 37 • 5; д) 25 • 57 • 4; е) 8 • 39 • 125.

а) 24 • 2 • 5 = 24 • (2 • 5) = 24 • 10 = 240;
б) 47 • 4 • 25 = 47 • (4 • 25) = 47 • 100 = 4700;
в) 53 • 8 • 125 = 53 • (8 • 125) = 53 • 1000 = 53 000;
г) 2 • 37 • 5 = (2 • 5) • 37 = 10 • 37 = 370;
д) 25 • 57 • 4 = (25 • 4) • 57 = 100 • 57 = 5700;
е) 8 • 39 • 125 = 39 • (8 • 125) = 39 • 1000 = 39 000.

307. Вычислите: а) 122; б) 93; в) 44; г) 25.

а) 122 = 12 • 12 = 144;
б) 93 = 9 • 9 • 9 = 729;
в) 44 = 4 • 4 • 4 • 4 = 256;
г) 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32.

308. Определите знак произведения. Выполните умножение:
а) (-2) • (+3); б) (+8) • (-3); в) (+6) • (-5);
г) (-7) • (+4); д) (-2) • (-1);  е) (-8) • (-8);
ж) (-7) • (-9); з) (+9) • (+8); и) (+10) • (+77).

а) (-2) • (+3) = -6;
б) (+8) • (-3) = -24;
в) (+6) • (-5) = -30;
г) (-7) • (+4) = -28;
д) (-2) • (-1) = 2;
е) (-8) • (-8) = 64;
ж) (-7) • (-9) = 63;
з) (+9) • (+8) = 72;
и) (+10) • (+77) = 770.

309. Выполните умножение:
а) 0 • (-5);    б) (+3) • 0;  в) (-6) • 0;
г) (+49) • 0; д) 0 • (-54); е) 0 • (+48).

а) 0 • (-5) = 0;
б) (+3) • 0 = 0;
в) (-6) • 0 = 0;
г) (+49) • 0 = 0;
д) 0 • (-54) = 0;
е) 0 • (+48) = 0.

310. Выполните умножение по образцу:
(-56) ∗ (-13) = +(56 ∗ 13) = … |×56
                                                 | 13
                                                 |  …
а) (+45) • (-13);   б) (+230) • (-48); в) (-505) • (-8);
г) (-358) • (-5);    д) (-24) • (-35);    е) (-125) • (-160);
ж) (-405) • (+28); з) (-72) • (+101); и) (+15) • (+16).

а) (+45) • (-13) = -(45 • 13) = -585;
  × 45
    13
+135
  45  
  585

б) (+230) • (-48) = -(230 • 48) = -11 040;
  × 230
    48  
+1840
  920  
11040

в) (-505) • (-8) = +(505 • 8) = 4040;
 ×505
      8
 4040

г) (-358) • (-5) = +(358 • 5) = 1790;
 ×358
      5
 1790

д) (-24) • (-35) = +(24 • 35) = 840;
  × 24
    35
 +120
  72  
  840

е) (-125) • (-160) = +(125 • 160) = 20 000;
   × 125
      160
           0
 + 750
  125   
  20000

ж) (-405) • (+28) = -(405 • 28) = -11 340;
  × 405
      28
3240
  810  
11340

з) (-72) • (+101) = -(72 • 101) = -7272;
    × 72
    101
      72
 +  0
  72   
  7272

и) (+15) • (+16) = +(15 • 16) = 240.
   × 15
     16
  +  90
   15  
   240

Замечание. Для упрощения записи у положительных множителей знак «+» и скобки можно опускать, но этот знак надо учитывать, определяя знак произведения.
Например, (-3) • (+17) = (-3) • 17 = -51, (+2) • (-48) = 2 • (-48) = -96.

311. Упростите запись произведения в предыдущем задании.

а) (+45) • (-13) = 45 • (-13);
б) (+230) • (-48) = 230 • (-48);
в) (-505) • (-8) = +(505 • 8) = 505 • 8;
г) (-358) • (-5) = +(358 • 5) = 358 • 5;
д) (-24) • (-35) = +(24 • 35) = 24 • 35;
е) (-125) • (-160) = +(125 • 160) = 125 • 160;
ж) (-405) • (+28) = (-405) • 28;
з) (-72) • (+101) = (-72) • 101;
и) (+15) • (+16) = 15 • 16.

312. Определите знак произведения:
а) (-1) • (-1); б) (-1) • (-1) • (-1); в) (-1) • (-1) • (-1) • (-1);
г) (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1).

а) (-1) • (-1) = 1;
б) (-1) • (-1) • (-1) = ((-1) • (-1)) • (-1) = 1 • (-1) = -1;
в) (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = ((-1) • (-1)) • ((-1) • (-1)) = 1 • 1 = 1;
г) (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = ((-1) • (-1)) • ((-1) • (-1)) • ((-1) • (-1)) • (-1) = 1 • 1 • 1 • (-1) = -1.

64

Ответы к стр. 64

313. Определите знак произведения и вычислите это произведение:
а) (-3) • (-2) • (-1) • 4; б) (-2) • 3 • (-4) • (-6).

а) (-3) • (-2) • (-1) • 4 = -(3 • 2 • 1 • 4) = -24;
б) (-2) • 3 • (-4) • (-6) = -(2 • 3 • 4 • 6) = -144.

314. Сколько отрицательных множителей может содержать произведение, чтобы оно было:
а) положительным; б) отрицательным?

а) 2 или 4 или 6 и так далее — чётное количество;
б) 1 или 3 или 5 и так далее — нечётное количество.

315. Используя законы умножения, вычислите по образцу:
(-16) • (-7) • (-25) = -(16 • 25 • 7) = -(4 • 4 • 25 • 7) = -(100 • 4 • 7) = -(100 • 28) = -2800;
а) 2 • (-3) • (-10);   б) (-4) • 17 • 25;    в) 8 • (-25) • (-3);
г) (-6) • (-5) • (-7); д) 8 • (-17) • 125; е) (-3) • 16 • (-125).

а) 2 • (-3) • (-10) = +(2 • 3 • 10) = +(6 • 10) = 60;
б) (-4) • 17 • 25 = -(4 • 17 • 25) = -(100 • 17) = -1700;
в) 8 • (-25) • (-3) = +(8 • 25 • 3) = +(4 • 2 • 25 • 3) = +(100 • 6) = 600;
г) (-6) • (-5) • (-7) = -(6 • 5 • 7) = -(3 • 2 • 5 • 7) = -(21 • 10) = -210;
д) 8 • (-17) • 125 = -(8 • 17 • 125) = -(1000 • 17) = -17 000;
е) (-3) • 16 • (-125) = +(3 • 16 • 125) = +(3 • 2 • 8 • 125) = +(6 • 1000) = 6000.

316. Если α и b — целые числа, то верно ли, что:
а) если α > 0 и b > 0, то α • b > 0;
б) если α < 0 и b < 0, то α • b < 0;
в) если α • b > 0, то α > 0 и b > 0;
г) если α • b < 0, то α > 0 и b < 0.

а) если α > 0 и b > 0, то α • b > 0 — верно, так как α и b имеют одинаковые знаки, а значит знак произведения будет «+»;
б) если α < 0 и b < 0, то α • b < 0 — неверно, так как α и b имеют одинаковые знаки, а значит знак произведения будет «+»;
в) если α • b > 0, то α > 0 и b > 0 — верно, так как α и b имеют одинаковые знаки, а значит знак произведения будет «+»;
г) если α • b < 0, то α > 0 и b < 0 — верно, так как α и b имеют разные знаки, а значит знак произведения будет «-».

317. Произведение трёх чисел положительно. Можно ли утверждать, что все три числа положительные? Приведите примеры.

Утверждать нельзя, так как произведение трёх чисел будет положительным и тогда, когда оно будет содержать один положительный множитель и два отрицательных: -8 • (-10) • 5 = +(8 • 10) • 5 = 80 • 5 = 400.

318. Произведение двух чисел равно нулю. Докажите, что среди этих чисел есть хотя бы один нуль.

По условию задачи α • b = 0. Допустим, что b ≠ 0 или α ≠ 0, тогда α = 0 : b = 0 или b = 0 : α = 0 – то есть хотя бы один из множителей равен нулю.

319. Вычислите:
а) (-1)2; б) (-1)3; в) (-1)4; г) (-1)5;
д) (-3)2; е) (-2)2; ж) (-4)2; з) (-5)2;
и) (-2)3; к) (-3)3; л) (-4)3; м) (-5)3.

а) (-1)2 = (-1) • (-1) = 1;
б) (-1)3 = (-1) • (-1) • (-1) = -1;
в) (-1)4 = (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = 1;
г) (-1)5 = (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = -1;
д) (-3)2 = (-3) • (-3) = 9;
е) (-2)2 = (-2) • (-2) = 4;
ж) (-4)2 = (-4) • (-4) = 16;
з) (-5)2 = (-5) • (-5) = 25;
и) (-2)= (-2) • (-2) • (-2) = -8;
к) (-3)3 = (-3) • (-3) • (-3) = -27;
л) (-4)3 = (-4) • (-4) • (-4) = -64;
м) (-5)3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125.

320. Определите знак степени:
а) (-1)2;    б) (-1)5;       в) (-1)6;       г) (-1)11;
д) (-1)8;    е) (-1)9;       ж) (-1)10;     з) (-24)5;
и) (-33)50; к) (-103)46; л) (-12)100; м) (-41)33.

Если произведение содержит чётное количество отрицательных множителей, то знак произведения будет «+», если же количество отрицательных множителей нечётное, то знак произведения будет «-». Таким образом, получается: если степень числа n — чётное, то знак степени будет «+», а если степень числа n — не чётное, то знак степени будет «-».
а) +; б) -; в) +; г) -; д) +; е) -; ж) +; з) -; и) +; к) +; л) +; м) -.

321. Вычислите:
а) (-1)11 — (-1)11;        б) (-2)5 — (-3)3;
в) (-1)4 — (-1)2 — (-1)2; г) (-1)2 + (-1)3 + (-1)4.

а) (-1)11 — (-1)11 = (-1) — (-1) = (-1) + 1 = 0;
б) (-2)5 — (-3)3 = (-32) — (-27) = (-32) + 27 = -(32 — 27) = -5;
в) (-1)4 — (-1)2 — (-1)2 = 1 — 1 — 1 = -1;
г) (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 = 1 — 1 + 1 = 1.

322. Убедитесь, что верно равенство: 72 — 4 • (-3) = 72 + (-4) • (-3).

72 — 4 • (-3) = 72 + (-4) • (-3),
72 — (-12) = 72 + 12,
72 + 12 = 84,
84 = 84 — равенство верно.

323. Вычислите:
а) 48 — 12 • (-5);  б) 69 — (-12) • (-5); в) 129 — 15 • 9;
г) 456 — 45 • (-6); д) 158 — 45 • 7;      е) 258 — 13 • (-7).

а) 48 — 12 • (-5) = 48 — (-60) = 48 + 60 = 108;
б) 69 — (-12) • (-5) = 69 — 60 = 9;
в) 129 — 15 • 9 = 129 — 135 = -(135 — 129) = -6;
г) 456 — 45 • (-6) = 456 — (-270) = 456 + 270 = 726;
д) 158 — 45 • 7 = 158 — 315 = -(315 — 158) = -157;
е) 258 — 13 • (-7) = 258 — (-91) = 258 + 91 = 349.

324. Какое число больше:
а) 3 • 3 • 3 или (-3) • (-3) • (-3);
б) -5 • 5 или (-5) • (-5);
в) (-7) • (-7) или 7 • (-7);
г) -2 • 2 • 2 • 2 или (-2) • (-2) • (-2) • (-2)?

а) 3 • 3 • 3 = 27,
(-3) • (-3) • (-3) = -27,
27 > -27, следовательно, 3 • 3 • 3 > (-3) • (-3) • (-3);

б) -5 • 5 = -25,
(-5) • (-5) = 25,
-25 < 25, следовательно, -5 • 5 < (-5) • (-5);

в) (-7) • (-7) = 49,
7 • (-7) = -49,
49 > -49, следовательно, (-7) • (-7) > 7 • (-7);

г) -2 • 2 • 2 • 2 = -16,
(-2) • (-2) • (-2) • (-2) = 16,
-16 < 16, следовательно, -2 • 2 • 2 • 2 < (-2) • (-2) • (-2) • (-2).

65

Ответы к стр. 65

325. Запишите выражение разными способами по образцу:
а) (-8)3 = (-8) • (-8) • (-8) = -(8 • 8 • 8) = -(83) = -83;
б) -63; в) (-5)4; г) -54; д) -72; е) (-18)2.

б) -63 = (-6) • (-6) • (-6) = -(6 • 6 • 6) = -(63) = (-6)3;
в) (-5)4 = (-5) • (-5) • (-5) • (-5) = +(5 • 5 • 5 • 5) = 54;
г) -54 = -(5 • 5 • 5 • 5) = -(54);
д) -72 = -(7 • 7) = -(72);
е) (-18)2 = (-18) • (-18) = +(18 • 18) = 182.

326. Какое число больше:
а) -22 или (-2)2;   б) -32 или -23;
в) (-3)2 или (-2)3; г) (-4)3 или -34.

а) -22 = -(2 • 2) = -4,
(-2)2 = (-2) • (-2) = 4,
-4 < 4, следовательно, -22 < (-2)2;

б) -32 = -(3 • 3) = -9,
-23 = -(2 • 2 • 2) = -8,
-9 < -8, следовательно, -32 < -23;

в) (-3)2 = (-3) • (-3) = 9,
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8,
9 > -8, следовательно, (-3)2 > (-2)3;

г) (-4)3 = (-4) • (-4) • (-4) = -64,
-34 = -(3 • 3 • 3 • 3) = -81,
-64 > -81, следовательно, (-4)3 > -34.

327. Запишите:
а) квадрат числа -2;          б) произведение -4 и 7;
в) сумму чисел -7 и 7;       г) куб числа -10;
д) четвертую степень -5; е) разность чисел -4 и -12.

а) (-2)2;
б) -4 • 7;
в) -7 + 7;
г) (-10)3;
д) (-5)4;
е) -4 — (-12).

328. Вычислите, предварительно указав порядок действий:
а) 3 • (-2)2; б) -4 • (-3)3; в) -(-3)4;
г) -(-2)3;     д) -(-5)2;       е) -4 • (-3)2.

       2     1
а) 3 • (-2)2 = 3 • 4 = 12;
         2      1
б) -4 • (-3)3 = -4 • (-27) = 108;
     2   1
в) -(-3)4 = -(+81) = -81;
     2    1
г) -(-2)3 = -(-8) = 8;
     2    1
д) -(-5)2 = -(+25) = -25;
         2      1
е) -4 • (-3)2 = -4 • 9 = -36.

329. Найдите число одинаковых слагаемых:
а) (-2) + (-2) + … + (-2) = -12; б) (-8) + (-8) + … + (-8) = -80;
в) (-4) + (-4) + … + (-4) = -20; г) (-3) + (-3) + … + (-3) = -39.

а) |-12| : |-2| = 12 : 2 = 6 – шесть одинаковых слагаемых;
б) |-80| : |-8| = 80 : 8 = 10 – десять одинаковых слагаемых;
в) |-20| : |-4| = 20 : 4 = 5 – пять одинаковых слагаемых;
г) |-39| : |-3| = 39 : 3 = 13 – тринадцать одинаковых слагаемых.

330. Какие одинаковые слагаемые сложили:
а) … + … + … + … + … = -25;
б) … + … + … + … = -40;
в) … + … + … + … + … + … = -36?

а) -25 : 5 = -5;
б) -40 : 4 = -10;
в) -36 : 6 = -6.

66

Ответы к стр. 66

331. Чему равно частное от деления отличных от нуля целого числа α на целое число b, если |α| делится нацело на |b|?

Частное чисел α и b равно частному их модулей, взятому со знаком «+», если эти числа одинаковых знаков, и со знаком «-», если они разных знаков.

332. Чему равно частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число?

Частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число α равно 0.

333. Можно ли делить на нуль?

На 0 делить нельзя.

334. Выполните действия:
а) 234 : 6;     б) 744 : 8;      в) 1794 : 23;
г) 2997 : 37; д) 9268 : 331; е) 21 333 : 547.

а) 234|6  
       18  |39
      54
         54
           0

б) 744|8  
       72   |93
      24
         24
           0

в) 1794|23
       161  |78
      184
         184
            0

г) 2997|37
      296  |8
      37
         37
           0

д) 9268|331
       662  |28
    2648
       2648
            0

е) 21333|547
       1641  |39
      4923
         4923
              0

335. Вычислите:
а) 576 • 23 — 766 • 35;          б) 849 • 18 — 783 • 28;
в) 136 • 13 — (8416 + 1234); г) 4736 : 4 − 1245 • 5.

а) 576 • 23 — 766 • 35 = 13 248 — 26 810 = -(26 810 — 13 248) = -13 562;
  × 576      × 766
      23          35
+1728     + 3830
  1152      2298 
13248      26810

б) 849 • 18 — 783 • 28 = 15 282 — 21 924 = -(21 924 — 15 282) = -6642;
    × 849     × 783
       18          28
 + 6792   6264
   849      1566  
 15282    21924

в) 136 • 13 — (8416 + 1234) = 1768 — 9650 = -(9650 — 1768) = -7882;
    ×136     +8416
      13       1234
  + 408       9650
  136  
  1768

г) 4736 : 4 — 1245 • 5 = 1184 — 6225 = -(6225 — 1184) = -5041.

4736|4          ×1245
       |1184            5
  7                  6225
     4
  33
     32
   16
      16
       0

336. Определите знак числа x:
а) x • (-8) = 400; б) (-10) • x = -420;
в) x • 15 = -60;    г) 12 • x = 144.

а) x • (-8) = 400, x = 400 : (-8), следовательно, x будет иметь знак «-»;
б) (-10) • x = -420, x = (-420) : (-10), следовательно, x будет иметь знак «+»;
в) x • 15 = -60, x = (-60) : 15, следовательно, x будет иметь знак «-»;
г) 12 • x = 144, x = 144 : 12, следовательно, x будет иметь знак «+».

337. Определите знак частного:
а) 400 : (-8); б) (-420) : (-10);
в) (-60) : 15; г) 144 : 12.

а) -; б) +; в) -; г) +.

338. Выполните деление (338-339):
а) (+60) : (-10) = -(60 : 10) = -6;
б) (-20) : 5;        в) (-50) : 10;  г) (-80) : (-20);
д) (-100) : (-25); е) 30 : (-15); ж) 64 : (-8).

б) (-20) : 5 = -(20 : 5) = -4;
в) (-50) : 10 = -(50 : 10) = -5;
г) (-80) : (-20) = +(80 : 20) = 4;
д) (-100) : (-25) = +(100 : 25) = 4;
е) 30 : (-15) = -(30 : 15) = -2;
ж) 64 : (-8) = -(64 : 8) = -8.

339. Выполните деление (338-339):
а) 200 : (-40);  б) (-500) : 100;   в) 720 : (-90);
г) (-810) : (-9); д) (-560) : (-70); е) (-480) : 60.

а) 200 : (-40) = -(200 : 40) = -5;
б) (-500) : 100 = -(500 : 100) = -5;
в) 720 : (-90) = -(720 : 90) = -8;
г) (-810) : (-9) = +(810 : 9) = 90;
д) (-560) : (-70) = +(560 : 70) = 8;
е) (-480) : 60 = -(200 : 40) = -8.

67

Ответы к стр. 67

340. Выполните деление по образцу:
7227 : (-9) = -(7227 : 9) = — … |  7227|9
                                                 |          |  …
а) (-711) : 9;     б) 1332 : (-3);    в) (-2316) : (-12);
г) (-1302) : 42; д) (-2205) : (-7); е) 3208 : (-8).

а) (-711) : 9 = -(711 : 9) = -79;
711|9  
   63  |79
  —81
    81
      0

б) 1332 : (-3) = -(1332 : 3) = -444;
1332|3    
   12    |444
  —13
    12
    —12
      12
        0

в) (-2316) : (-12) = +(2316 : 12) = 193;
2316|12  
   12    |193
111
   108
    —36
      36
        0

г) (-1302) : 42 = -(1302 : 42) = -31;
1302|42
   126  |31
    —42
      42
        0

д) (-2205) : (-7) = +(2205 : 7) = 315;
2205|7    
   21    |315
  —10
      7
  35
     35
       0

е) 3208 : (-8) = -(3208 : 8) = -401.
3208|8    
   32    |401
     8
        8
        0

341. Найдите число х, для которого верно равенство:
а) х • (-12) = 36; б) (-13) • х = -143;  в) х • (-15) = 465;
г) 14 • х = -294;  д) х : 8 = 7;             е) х : 6 = -42;
ж) х : (-7) = -9;    з) х : (-11) = -352;  и) 48 : х = 6;
к) 56 : х = -8;      л) (-64) : х = 8;       м) (-68) : х = -4.

а) х • (-12) = 36,
х = 36 : (-12),
х = -3;

б) (-13) • х = -143,
х = (-143) : (-13),
х = 11;

в) х • (-15) = 465,
х = 465 : (-15),
х = -31;

г) 14 • х = -294,
х = (-294) : 14,
х = -21;

д) х : 8 = 7,
х = 7 • 8,
х = 56;

е) х : 6 = -42,
х = (-42) • 6,
х = -252;

ж) х : (-7) = -9
х = (-9) • (-7)
х = 63;

з) х : (-11) = -352
х = (-352) • (-11)
х = 3872;

и) 48 : х = 6
х = 48 : 6
х = 8;

к) 56 : х = -8
х = 56 : (-8)
х = -7;

л) (-64) : х = 8
х = (-64) : 8
х = -8;

м) (-68) : х = -4
х = (-68) : (-4)
х = 17.

342. Выполните действия по образцу:
а) 13 • 15 — 28 • 25 = -505;
1) ×13   2) ×28   3) 195 — 700 = -505  |  -700
      15         25                                     |    195
   65      +140                                     |    505
   13          56  
   195        700
б) 679 • 13 — 846 • 15; в) 849 • 18 — 684 : 19;
г) 4074 : 42 — 12 • 59;  д) 3612 : 12 — 8445 : 15.

б) 679 • 13 — 846 • 15 = 8827 — 12 690 = -3863;

1) ×679    2)×846
        13           15
  +2037       +4230
   679           846  
   8827        12690

3) 8827 — 12 690 = -3863
12690
   8827
   3963

в) 849 • 18 — 684 : 19 = 15 282 — 36 = 15 246;

1)×849  2) 684|19
       18         57  |36
 + 6792      114
   849            114
 15282             0

3) 15 282 — 36 = 15 246
15282
        36
  15246

г) 4074 : 42 — 12 • 59 = 97 — 708 = -611;

1) 4074|42   2) ×12
       378  |97         59
       —294          +108
        294             60  
            0             708

3) 97 — 708 = -611
708
    97
   611

д) 3612 : 12 — 8445 : 15 = 301 — 563 = -262.

1) 3612|12    2) 8445|15  
       36    |301         75    |563
        0                    94
         —12                  90
          12                 45
            0                    45
                                    0
3) 301 — 563 = -262
563
   301
   262

343. Вычислите:
а) 43 212 : 78 — 407 • 720 + 350 • 509;
б) 164 • 756 + 148 916 — 564 • 702 + 48 762 : 86;
в) (24 968 + 11 648) : (768 — 1564);
г) 37 115 : 65 — 72 675 : 85.

а) 43 212 : 78 — 407 • 720 + 350 • 509 = 554 — 293 040 + 178 150 = -114 336;

1) 43212|78     2) ×407
       390    |554           720
       —421             +    814
         390              2849     
        312            293040
           312
               0

3)×509    4) 293040  5) 292486
       350               554         178150
 + 2545           292486         114336
 1527     
 178150

б) 164 • 756 + 148 916 — 564 • 702 + 48 762 : 86 = 123 984 + 148 916 — 395 928 + 567 = -122 461;

1) ×164     2)×564
      756          702
        984        1128
+  820      +     0
 1148        3948    
 123984    395928

3) 48762|86     4) +123984
       430    |567         148916
        —576                  272900
         516
       —602
           602
               0

5) 395928   6) 123098
       272900                 567
       123028           122461

в) (24 968 + 11 648) : (768 — 1564) = 36 616 : (-796) = -46;

1) +24968   2) 1564
      11648            768
      36616            796

3) 36616|796
       3184  |46
        —4776
         4776
               0

г) 37 115 : 65 — 72 675 : 85 = 571 — 855 = -284.

1) 37115|65    2) 72675|85  
       325    |571         680    |855
      —461                 467
        455                   425
          —65                 425
           65                    425
             0                        0

 3) 855
        571
        284

68

Ответы к стр. 68

344. Запишите произведение в виде суммы (разности):
а) 5 • (38 + 17) = 5 • 38 + 5• 17;
б) 17 • (31 + 16); в) (28 + 37) • 56; г) (72 + 98) • 12;
д) (49 — 17) • 12;  е) 8 • (57 — 38);   ж) 17 • (28 + 31).

б) 17 • (31 + 16) = 17 • 31 + 17 • 16;
в) (28 + 37) • 56 = 28 • 56 + 37 • 56;
г) (72 + 98) • 12 = 72 • 12 + 98 • 12;
д) (49 — 17) • 12 = 49 • 12 — 17 • 12;
е) 8 • (57 — 38) = 8 • 57 — 8 • 38;
ж) 17 • (28 + 31) = 17 • 28 + 17 • 31.

345. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 15 • 12 + 15 • 49 = 15 • (12 + 49);
б) 57 • 39 + 57 • 64; в) 39 • 12 + 28 • 12; г) 73 • 57 + 79 • 57;
д) 13 • 95 — 13 • 41;  е) 27 • 48 — 19 • 48; ж) 54 • 88 — 54 • 87.

б) 57 • 39 + 57 • 64 = 57 • (38 + 64);
в) 39 • 12 + 28 • 12 = 12 • (39 + 28);
г) 73 • 57 + 79 • 57 = 57 • (73 + 79);
д) 13 • 95 — 13 • 41 = 13 • (95 — 41);
е) 27 • 48 — 19 • 48 = 48 • (27 — 19);
ж) 54 • 88 — 54 • 87 = 54 • (88 — 87).

346. Вычислите удобным способом:
а) 350 • 46 + 250 • 46;                    б) 728 • 49 — 528 • 49;
в) 52 • 100 — 52 • 99;                       г) 99 • 48 + 1 • 48;
д) 4300 — 43 • 99;                            е) 999 • 156 + 156;
ж) 128 • 32 + 872 • 32 — 1000 • 31; з) 999 • 999 — 999 • 989 — 9990;
и) 728 • 359 — 628 • 359 + 641 • 1000.

а) 350 • 46 + 250 • 46 = 46 • (350 + 250) = 46 • 600 = 27 600;

б) 728 • 49 — 528 • 49 = 49 • (728 — 528) = 49 • 200 = 9800;

в) 52 • 100 — 52 • 99 = 52 • (100 — 99) = 52 • 1 = 52;

г) 99 • 48 + 1 • 48 = (99 + 1) • 48 = 100 • 48 = 4800;

д) 4300 — 43 • 99 = 43 • 100 — 43 • 99 = 43 • (100 — 99) = 43 • 1 = 43;

е) 999 • 156 + 156 = 999 • 156 + 1 • 156 = (999 + 1) • 156 = 1000 • 156 = 156 000;

ж) 128 • 32 + 872 • 32 — 1000 • 31 = (128 + 872) • 32 — 1000 • 31 = 1000 • 32 — 1000 • 31 = 1000 • (32 — 31) = 1000 • 1 = 1000;

з) 999 • 999 — 999 • 989 — 9990 = 999 • 999 — 999 • 989 — 999 • 10 = 999 • (999 — 989 — 10) = 999 • 0 = 0;

и) 728 • 359 — 628 • 359 + 641 • 1000 = (728 — 628) • 359 + 641 • 1000 = 100 • 359 + 641 • 10 • 100 = 100 • (359 + 6410) = 100 • 6769 = 676 900.

347. Запишите распределительный закон для целых чисел αbc, сформулируйте его.

(α + b) • c = α • c + b • c
Чтобы целое число c умножить на сумму целых чисел α и b, можно число c умножить вначале на число α, за тем число c умножить на число b и полученные результаты сложить.

348. Как называют переход от суммы α • c + b • c к произведению (α + b) • c?

Вынесение общего множителя за скобки.

349. Проверьте выполнение распределительного закона для чисел αbc:
а) α = -5, b = 3, c = -10; б) α = -5, b = -3, c = 6.

(α + b) • c = α • c + b • c
а) (-5 + 3) • (-10) = (-5) • (-10) + 3 • (-10),
(-2) • (-10) = 50 + (-30),
20 = 20 — распределительный закон выполнен;

б) (-5 + (-3)) • 6 = (-5) • 6 + (-3) • 6,
(-8) • 6 = (-30) + (-18)
-48 = -48 — распределительный закон выполнен.

69

Ответы к стр. 69

350. Запишите произведение в виде суммы по образцу:
а) (-5) • (-12 + 16) = (-5) • (-12) + (-5) • 16;
б) 6 • (8 + (-17));   в) (-7) • ((-15) + (-12);
г) 16 • (8 — 17);      д) (-17) • (-15 — 12);
е) (25 + 16) • (-9); ж) (45 — 17) • (-11);
з) (-15 — 42) • 13;   и) (-28 — 37) • (-3).

б) 6 • (8 + (-17)) = 6 • 8 + 6 • (-17);
в) (-7) • ((-15) + (-12) = (-7) • (-15) + (-7) • (-12);
г) 16 • (8 — 17) = 16 • 8 + 16 • (-17);
д) (-17) • (-15 — 12) = (-17) • (-15) + (-17) • (-12);
е) (25 + 16) • (-9) = 25 • (-9) + 16 • (-9);
ж) (45 — 17) • (-11) = 45 • (-11) + (-17) • (-11);
з) (-15 — 42) • 13 = (-15) • 13 + (-42) • 13;
и) (-28 — 37) • (-3) = (-28) • (-3) + (-37) • (-3).

351. Верно ли применен распределительный закон:
а) (-2) • (5 + 7) = -10 — 14; б) (-7 + 5 — 8) • (-2) = 14 — 10 + 16;
в) (7 — 8) • (-3) = -21 — 24; г) 6 • ((-4) + (-12)) = -24 — 72?

а) (-2) • (5 + 7) = -10 — 14,
(-2) • 5 + (-2) • 7 = -10 — 14,
-10 + (-14) = -10 — 14,
-10 — 14 = -10 — 14 — распределительный закон применен верно;

б) (-7 + 5 — 8) • (-2) = 14 — 10 + 16,
(-7) • (-2) + 5 • (-2) + (-8) • (-2) = 14 — 10 + 16,
14 + (-10) + 16 = 14 — 10 + 16,
14 — 10 + 16 = 14 — 10 + 16 — распределительный закон применен верно;

в) (7 — 8) • (-3) = -21 – 24,
7 • (-3) + (-8) • (-3) = -21 — 24,
-21 + 24 ≠ -21 — 24 — распределительный закон применен неверно;

г) 6 • ((-4) + (-12)) = -24 — 72,
6 • (-4) + 6 • (-12) = -24 — 72,
-24 + (-72) = -24 — 72,
-24 — 72 = -24 — 72 — распределительный закон применен верно.

352. Вместо знака [] поставьте знак «+» или «-» так, чтобы равенство было верным:
а) 3 • (2 — 7) = []3 • 2 [] 3 • 7;     б) (-5) • (-6 — 7) = []5 • 6 [] 5 • 7;
в) (-2) • (6 + 9) = []2 • 6 [] 2 • 9; г) (-2) • (6 — 9) = []2 • 6 [] 2 • 9.

а) 3 • (2 — 7) = 3 • 2 + 3 • (-7) = +3 • 2  3 • 7;
б) (-5) • (-6 — 7) = (-5) • (-6) + (-5) • (-7) = +5 • 6 + 5 • 7;
в) (-2) • (6 + 9) = (-2) • 6 + (-2) • 9 = 2 • 6  2 • 9;
г) (-2) • (6 — 9) = (-2) • 6 + (-2) • (-9) = 2 • 6 + 2 • 9.

353. Упростите числовое выражение (353-355):
а) (-8) • (-7 + 5) — 5 • (-8);     б) 3 • (-98 + 2) + 3 • 98;
в) (-8) • (-47 + 125) — 47 • 8; г) (-25) • (45 — 100) + 25 • 45;
д) 83 • (-98 — 1) + 98 • 83;    е) (-15) • (-7 + 15) — 7 • 15.

а) (-8) • (-7 + 5) — 5 • (-8) = -8 • (-7 + 5 — 5) = -8 • (-7) = 56;

б) 3 • (-98 + 2) + 3 • 98 = 3 • (-98 + 2 + 98) = 3 • 2 = 6;

в) (-8) • (-47 + 125) — 47 • 8 = -8 • (-47 + 125 + 47) = -8 • 125 = -1000;

г) (-25) • (45 — 100) + 25 • 45 = -25 • (45 — 100 — 45) = -25 • (-100) = 2500;

д) 83 • (-98 — 1) + 98 • 83 = 83 • (-98 — 1 + 98) = 83 • (-1) = -83;

е) (-15) • (-7 + 15) — 7 • 15 = -15 • (-7 + 15 + 7) = -15 • 15 = -225.

354. Упростите числовое выражение (353-355):
а) (12 — 27) • (-1); б) (-1) • (35 — 88);
в) (-1) • (56 — 74); г) (-1) • (-28 — 112).

а) (12 — 27) • (-1) = 12 • (-1) + (-27) • (-1) = -12 + 27 = 15;
б) (-1) • (35 — 88) = (-1) • 35 + (-1) • (-88) = -35 + 88 = 53;
в) (-1) • (56 — 74) = (-1) • 56 + (-1) • (-74) = -56 + 74 = 18;
г) (-1) • (-28 — 112) = (-1) • (-28) + (-1) • (-112) = 28 + 112 = 140.

355. Упростите числовое выражение (353-355):
а) 4 • (-25 + 76 + 24);  б) (25 — 62 — 38) • (-4);
в) (7 — 125 + 13) • (-8); г) 8 • (-8 + 100 — 22 + 25).

а) 4 • (-25 + 76 + 24) = 4 • (-25 + 100) = 4 • (-25) + 4 • 100 = -100 + 400 = 300;

б) (25 — 62 — 38) • (-4) = (25 — 100) • (-4) = 25 • (-4) + (-100) • (-4) = -100 + 400 = 300;

в) (7 — 125 + 13) • (-8) = (-125 + 20) • (-8) = (-125) • (-8) + 20 • (-8) = 1000 — 160 = 840;

г) 8 • (-8 + 100 — 22 + 25) = 8 • (-30 + 125) = 8 • (-30) + 8 • 125 = -240 + 1000 = 760.

356. Вынесите общий множитель за скобки по образцу:
а) 45 • 13 — 45 • 81 = 45 • (13 — 81);
б) 49 • 57 — 49 • 570;     в) 58 • 64 — 99 • 64;
г) (-53) • 48 — (-53) • 59; д) (-45) • 12 + 95 • (-45);
е) -53 • 48 — 57 • 48;      ж) -45 • 13 — 45 • 27.

б) 49 • 57 — 49 • 570 = 49 • (57 — 570);
в) 58 • 64 — 99 • 64 = 64 • (58 — 99);
г) (-53) • 48 — (-53) • 59 = -53 • (48 — 59);
д) (-45) • 12 + 95 • (-45) = -45 • (12 + 95);
е) -53 • 48 — 57 • 48 = 48 • (-53 — 57);
ж) -45 • 13 — 45 • 27 = -45 • (13 + 27).

357. Вынесите общий множитель за скобки со знаком «+»:
а) 4 • 52 — 4 • (-95) = 4 • (52 — (-95)) = 4 • (52 + 95);
б) -16 • 17 — 16 • 18; в) 49 • 19 — 19 • 91;   г) -88 • 35 — 77 • 35;
д) 73 • 37 — 73 • 73;  е) -57 • 33 + 48 • 33; ж) 99 • 98 + 99 • 100.

б) -16 • 17 — 16 • 18 = 16 • (-17 — 18);
в) 49 • 19 — 19 • 91 = 19 • (49 — 91);
г) -88 • 35 — 77 • 35 = 35 • (-88 — 77);
д) 73 • 37 — 73 • 73 = 73 • (37 — 73);
е) -57 • 33 + 48 • 33 = 33 • (-57 + 48);
ж) 99 • 98 + 99 • 100 = 99 • (98 + 100).

358. Вынесите общий множитель за скобки со знаком «-»:
а) 4 • 52 — 4 • (-95) = (-4) • (-52 — 95);
б) -16 • 17 — 16 • 18; в) 49 • 19 — 19 • 91;   г) -88 • 35 — 77 • 35;
д) 73 • 37 — 73 • 73;  е) -57 • 33 + 48 • 33; ж) 99 • 98 + 99 • 100.

б) -16 • 17 — 16 • 18 = (-16) • (17 + 18);
в) 49 • 19 — 19 • 91 = (-19) • (-49 + 91);
г) -88 • 35 — 77 • 35 = (-35) • (88 + 77);
д) 73 • 37 — 73 • 73 = (-73) • (-37 + 73);
е) -57 • 33 + 48 • 33 = (-33) • (57 — 48);
ж) 99 • 98 + 99 • 100 = (-99) • (-98 — 100).

70

Ответы к стр. 70

359. Вычислите:
а) 59 • 64 + 59 • 36;    б) 72 • 128 — 72 • 228;
в) 63 • 356 — 556 • 63; г) -99 • 12 — 99 • 88;
д) -67 • 85 — 67 • 115;  е) 41 • 91 — 91 • 51.

а) 59 • 64 + 59 • 36 = 59 • (64 + 36) = 59 • 100 = 5900;
б) 72 • 128 — 72 • 228 = 72 • (128 — 228) = 72 • (-100) = -7200;
в) 63 • 356 — 556 • 63 = 63 • (356 — 556) = 63 • (-200) = -12 600;
г) -99 • 12 — 99 • 88 = -99 • (12 + 88) = -99 • 100 = -9900;
д) -67 • 85 — 67 • 115 = -67 • (85 + 115) = -67 • 200 = -13 400;
е) 41 • 91 — 91 • 51 = 91 • (41 — 51) = 91 • (-10) = -910.

360. Докажите, что:
а) 43 • 15 — 55 • 15 + 34 • 15 делится на 22;
б) 12 • 17 — 16 • 17 + 13 • 17 делится на 9;
в) 99 • 51 — 99 • 91 + 69 • 99 делится на 29;
г) 63 • 23 — 32 • 63 + 22 • 63 делится на 13.

Если хотя бы один из множителей произведения делится на некоторое число без остатка, то и само произведение делится на это число без остатка.
а) 43 • 15 — 55 • 15 + 34 • 15 = 15 • (43 — 55 + 34) = 15 • 22, 22 делится на 22 без остатка;

б) 12 • 17 — 16 • 17 + 13 • 17 = 17 • (12 — 16 + 13) = 17 • 9, 9 делится на 9 без остатка;

в) 99 • 51 — 99 • 91 + 69 • 99 = 99 • (51 — 91 + 69) = 99 • 29, 29 делится на 29 без остатка;

г) 63 • 23 — 32 • 63 + 22 • 63 = 63 • (23 — 32 + 22) = 63 • 13, 13 делится на 13 без остатка.

361. Вычислите:
а) 42 • 53 — 32 • 53 — 42 • 63 + 32 • 63;
б) 79 • 45 + 79 • 55 — 89 • 45 — 89 • 55;
в) 88 • 75 — 12 • 45 + 12 • 75 — 88 • 45;
г) 392 • 23 — 492 • 23 + 392 • 77 — 492 • 77.

а) 42 • 53 — 32 • 53 — 42 • 63 + 32 • 63 = 53 • (42 — 32) — 63 • (42 — 32) = (42 — 32) • (53 — 63) = 10 • (-10) = -100;

б) 79 • 45 + 79 • 55 — 89 • 45 — 89 • 55 = 79 • (45 + 55) — 89 • (45 + 55) = (45 + 55) • (79 — 89) = 100 • (-10) = -1000;

в) 88 • 75 — 12 • 45 + 12 • 75 — 88 • 45 = 88 • 75 + 12 • 75 — 12 • 45 — 88 • 45 = 75 • (88 + 12) — 45 • (12 + 88) = (88 + 12) • (75 — 45) = 100 • 30 = 3000;

г) 392 • 23 — 492 • 23 + 392 • 77 — 492 • 77 = 392 • 23 + 392 • 77 — 492 • 23 — 492 • 77 = 392 • (23 + 77) — 492 • (23 + 77) = (23 + 77) • (392 — 492) = 100 • (-100) = -10 000.

71

Ответы к стр. 71

362. Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак: а) «+»; б) «-».

а) если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменения;

б) если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные.

363. По какому правилу заключают в скобки сумму, если перед скобками ставят знак : а) «+»; б) «-»?

а) если сумма заключается в скобки, перед которыми стоит знак «+», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, оставляют без изменения;

б) если сумма заключается в скобки, перед которыми стоит знак «-», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, меняют на противоположные.

364. Раскройте скобки, объясняя свои действия (364-366):
а) +(5 + 7);        б) +(3 — 8 + 7);
в) +(-3 + 8 + 7); г) +(-10 — 12 + 1).

Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменения.
а) +(5 + 7) = 5 + 7;
б) +(3 -8 + 7) = 3 — 8 + 7;
в) +(-3 + 8 + 7) = -3 + 8 + 7;
г) +(-10 — 12 + 1) = -10 — 12 + 1.

365. Раскройте скобки, объясняя свои действия (364-366):
а) -(5 + 7);        б) -(3 — 8 + 7);
в) -(-3 + 8 + 7); г) -(-10 — 12 + 1).

Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные.
а) -(5 + 7) = -5 — 7;
б) -(3 — 8 + 7) = -3 + 8 — 7;
в) -(-3 + 8 + 7) = 3 — 8 — 7;
г) -(-10 — 12 + 1) = 10 + 12 — 1.

366. Раскройте скобки, объясняя свои действия (364-366):
а) +(α — b — c); б) -(α — b — c);
в) +(-α + b + c); г) -(-α + b + c),
где αb, и с − целые числа.

а) Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменения: +(a — b — c) = a — b — c;

б) Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные: -(a — b — c) = -a + b + c;

в) Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменения: +(-a + b + c) = -a + b + c;

г) Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные: -(-a + b + c) = a — b — c.

72

Ответы к стр. 72

367. Раскройте скобки (367-370):
а) +(56 + 42);    б) +(7 • 8 + 42); в) +(63 + 42);
г) +(63 + 6 • 7); д) +(61 — 98);      е) +(-88 + 99).

а) +(56 + 42) = 56 + 42;
б) +(7 • 8 + 42) = 7 • 8 + 42;
в) +(63 + 42) = 63 + 42;
г) +(63 + 6 • 7) = 63 + 6 • 7;
д) +(61 — 98) = 61 — 98;
е) +(-88 + 99) = -88 + 99.

368. Раскройте скобки (367-370):
а) -(41 + 19);   б) -(44 + 57); в) -(45 — 35);
г) -(45 — 7 • 5); д) -(45 — 53);  е) -(9 • 5 — 53).

а) -(41 + 19) = -41 — 19;
б) -(44 + 57) = -44 — 57;
в) -(45 — 35) = -45 + 35;
г) -(45 — 7 • 5) = -45 + 7 • 5;
д) -(45 — 53) = -45 + 53;
е) -(9 • 5 — 53) = -9 • 5 + 53.

369. Раскройте скобки (367-370):
а) +(48 — 93) — 8;         б) -(96 — 35) — 6;
в) -(7 • 8 — 20) + 7 • 8; г) +(99 — 5 + 8) — 17.

а) +(48 — 93) — 8 = 48 — 93 — 8;
б) -(96 — 35) — 6 = -96 + 35 — 6;
в) -(7 • 8 — 20) + 7 • 8 = -7 • 8 + 20 + 7 • 8;
г) +(99 — 5 + 8) — 17 = 99 — 5 + 8 — 17.

370. Раскройте скобки (367-370):
а) -(2 • 5 + 48) + 23;   б) -(32 — 74) — 74;
в) +(-120 — 9 • 9) — 81; г) +(120 — 92) + 81.

а) -(2 • 5 + 48) + 23 = -2 • 5 — 48 + 23;
б) -(32 — 74) — 74 = -32 + 74 — 74;
в) +(-120 — 9 • 9) — 81 = -120 — 9 • 9 — 81;
г) +(120 — 92) + 81 = 120 — 92 + 81.

371. Раскройте скобки и вычислите сумму:
а) -(-72 + 39) + 39 = 72 — 39 + 39 = 72;
б) +(398 — 700) + 700; в) -(754 — 1200) — 1200;
г) +(-32 — 491) + 32;    д) -(-129 + 59) — 129.

б) +(398 — 700) + 700 = 398 — 700 + 700 = 398;
в) -(754 — 1200) — 1200 = -754 + 1200 — 1200 = -754;
г) +(-32 — 491) + 32 = -32 — 491 + 32 = -491;
д) -(-129 + 59) — 129 = 129 — 59 — 129 = -59.

Замечание. Знак «+» перед скобками часто не пишут, но учитывают его при раскрытии скобок.

372. Вычислите (372-373):
а) (456 — 75) — 25;     б) -(728 — 49) + 51;
в) (-238 + 742) — 42; г) -(-356 + 145) — 56.

а) (456 — 75) — 25 = 456 — 75 — 25 = 456 — (75 + 25) = 456 — 100 = 356;
б) -(728 — 49) + 51 = -728 + 49 + 51 = -728 + (49 + 51) = -728 + 100 = -628;
в) (-238 + 742) — 42 = -238 + 742 — 42 = -238 + (742 — 42) = -238 + 700 = 462;
г) -(-356 + 145) — 56 = 356 — 145 — 56 = (356 — 56) — 145 = 300 — 145 = 155.

373. Вычислите (372-373):
а) (7 • 95 — 900) — 7 • 95;         б) -(795 — 9 • 99) — 99 • 9;
в) (-48 + 101 — 29) — 101 + 29; г) -(-79 — 39 + 81) + 81 — 39.

а) (7 • 95 — 900) — 7 • 95 = 7 • 95 — 900 — 7 • 95 = -900;
б) -(795 — 9 • 99) — 99 • 9 = -795 + 9 • 99 — 99 • 9 = -795;
в) (-48 + 101 — 29) — 101 + 29 = -48 + 101 — 29 — 101 + 29 = -48;
г) -(-79 — 39 + 81) + 81 — 39 = 79 + 39 — 81 + 81 — 39 = 79.

374. Перепишите, заполняя пропуски:
а) 45 — 36 = +(45 — 36);
б) 45 — 36 = -(…);  в) -79 + 11 = +(…);
г) -79 + 11 = -(…); д) 38 + 59 = +(…);
е) -17 — 81 = -(…); ж) 39 — 70 = +(…).

б) 45 — 36 = -(-45 + 36);
в) -79 + 11 = +(-79 + 11);
г) -79 + 11 = -(79 — 11);
д) 38 + 59 = +(38 + 59);
е) -17 — 81 = -(17 + 81);
ж) 39 — 70 = +(39 — 70).

375. Заключите первые два слагаемых в скобки, перед скобками поставьте знак «+»:
а) 79 — 48 + 15 — 8;   б) -56 + 38 — 12 + 100;
в) 43 + 59 — 35 — 11; г) -43 — 59 + 35 + 11;
д) 42 — 79 + 13 — 1;   е) -57 + 48 — 17 + 23.

а) 79 — 48 + 15 — 8 = +(79 — 48) + 15 — 8;
б) -56 + 38 — 12 + 100 = +(-56 + 38) — 12 + 100;
в) 43 + 59 — 35 — 11 = +(43 + 59) — 35 — 11;
г) -43 — 59 + 35 + 11 = +(-43 — 59) + 35 + 11;
д) 42 — 79 + 13 — 1 = +(42 — 79) + 13 — 1;
е) -57 + 48 — 17 + 23 = +(-57 + 48) — 17 + 23.

376. Заключите первые два слагаемых в скобки, перед скобками поставьте знак «-»:
а) 79 — 48 + 15 — 8;   б) -56 + 38 — 12 + 100;
в) 43 + 59 — 35 — 11; г) -43 — 59 + 35 + 11;
д) 42 — 79 + 13 — 1;   е) -57 + 48 — 17 + 23.

а) 79 — 48 + 15 — 8 = -(-79 + 48) + 15 — 8;
б) -56 + 38 — 12 + 100 = -(56 — 38) — 12 + 100;
в) 43 + 59 — 35 — 11 = -(-43 — 59) — 35 — 11;
г) -43 — 59 + 35 + 11 = -(43 + 59) + 35 + 11;
д) 42 — 79 + 13 — 1 = -(-42 + 79) + 13 — 1;
е) -57 + 48 — 17 + 23 = -(57 — 48) — 17 + 23.

73

Ответы к стр. 73

377. По каким правилам раскрывают скобки в суммах?

В суммах, в которых стоящие перед скобками знаки «+» или «-» обозначают действия сложения или вычитания применимы правила раскрытия скобок:
α + (b — c) = α + b — c,
α — (b — c) = α — b + c.

378. Какие правила и законы применяют для вычисления суммы нескольких слагаемых?

Для вычисления суммы нескольких слагаемых применяют правила раскрытия скобок и заключения в скобки, законы сложения.

379. Раскройте скобки:
а) 49 — (38 — 5);               б) -32 + (78 — 9);
в) 72 + (-32 + 9);             г) -63 — (-63 + 1);
д) (79 — 39) — (79 — 48);   е) (37 — 49) — (87 — 59);
ж) -(45 — 64) + (38 — 24); з) -(-35 + 2) + (-35 — 8).

а) 49 — (38 — 5) = 49 — 38 + 5;
б) -32 + (78 — 9) = -32 + 78 — 9;
в) 72 + (-32 + 9) = 72 — 32 + 9;
г) -63 — (-63 + 1) = -63 + 63 — 1;
д) (79 — 39) — (79 — 48) = 79 — 39 — 79 + 48;
е) (37 — 49) — (87 — 59) = 37 — 49 — 87 + 59;
ж) -(45 — 64) + (38 — 24) = -45 + 64 + 38 — 24;
з) -(-35 + 2) + (-35 — 8) = 35 — 2 — 35 — 8.

380. Раскройте скобки и вычислите:
а) 108 — (108 — 5);        б) -49 — (-49 + 2);
в) -56 + (-98 + 56);        г) 100 — (-5 + 100);
д) (79 — 81) — (39 — 81); е) (-78 + 23) + (27 + 78);
ж) (-39 + 15) — (5 — 39); з) (105 — 48) — (62 + 105).

а) 108 — (108 — 5) = 108 — 108 + 5 = 5;
б) -49 — (-49 + 2) = -49 + 49 — 2 = -2;
в) -56 + (-98 + 56) = -56 — 98 + 56 = -98;
г) 100 — (-5 + 100) = 100 + 5 — 100 = 5;
д) (79 — 81) — (39 — 81) = 79 — 81 — 39 + 81 = 40;
е) (-78 + 23) + (27 + 78) = -78 + 23 + 27 + 78 = 50;
ж) (-39 + 15) — (5 — 39) = -39 + 15 — 5 + 39 = 10;
з) (105 — 48) — (62 + 105) = 105 — 48 — 62 — 105 = -110.

74

Ответы к стр. 74

381. Вычислите, раскрывая скобки только в тех случаях, когда это облегчает вычисления:
а) 79 — (63 + 7);   б) 43 + (23 + 77);   в) 79 — (79 — 7);
г) 43 + (77 — 43);  д) 102 — (56 + 44); е) 102 — (102 — 5);
ж) 93 — (68 + 93); з) -72 — (99 + 1);    и) 48 — (11 + 19);
к) 48 — (18 + 19);  л) -56 + (96 + 9);   м) 59 + (96 + 4);
н) 52 — (32 — 41);  о) 73 — (68 — 8);     п) -25 — (-45 + 19).

а) 79 — (63 + 7) = 79 — 70 = 9;
б) 43 + (23 + 77) = 43 + 100 = 143;
в) 79 — (79 — 7) = 79 — 79 + 7 = 7;
г) 43 + (77 — 43) = 43 + 77 — 43 = 77;
д) 102 — (56 + 44) = 102 — 100 = 2;
е) 102 — (102 — 5) = 102 — 102 + 5 = 5;
ж) 93 — (68 + 93) = 93 — 68 — 93 = -68;
з) -72 — (99 + 1) = -72 — 100 = -172;
и) 48 — (11 + 19) = 48 — 30 = 18;
к) 48 — (18 + 19) = 48 — 18 — 19 = 30 — 19 = 11;
л) -56 + (96 + 9) = -56 + 96 + 9 = 40 + 9 = 49;
м) 59 + (96 + 4) = 59 + 100 = 159;
н) 52 — (32 — 41) = 52 — 32 + 41 = 20 + 41 = 61;
о) 73 — (68 — 8) = 73 — 60 = 13;
п) -25 — (-45 + 19) = -25 + 45 — 19 = 20 — 19 = 1.

382. Заключите два последних слагаемых в скобки двумя способами (со знаком «+» и со знаком «-» перед скобками):
а) 37 + 12 + 13; б) 45 — 2 — 12; в) 5 — 28 + 22; г) 76 + 38 — 52.

а) 37 + 12 + 13 = 37 + (12 + 13) = 37 — (-12 — 13);
б) 45 — 2 — 12 = 45 + (-2 — 12) = 45 — (2 + 12);
в) 5 — 28 + 22 = 5 + (-28 + 22) = 5 — (28 — 22);
г) 76 + 38 — 52 = 76 + (38 — 52) = 76 — (-38 + 52).

383. Вычислите двумя способами (применяя и не применяя правила раскрытия скобок или заключения в скобки):
а) 48 — 19 — 1; б) 93 — 7 — 13; в) 48 — (28 — 43); г) 88 — (18 — 30).

а) 48 — 19 — 1 = 29 — 1 = 28,
48 — 19 — 1 = 48 — (19 + 1) = 48 — 20 = 28;

б) 93 — 7 — 13 = 86 — 13 = 73,
93 — 7 — 13 = (93 — 13) — 7 = 80 — 7 = 73;

в) 48 — (28 — 43) = 48 — (-15) = 48 + 15 = 63,
48 — (28 — 43) = 48 — 28 + 43 = 20 + 43 = 63;

г) 88 — (18 — 30) = 88 — (-12) = 88 + 12 = 100,
88 — (18 — 30) = 88 — 18 + 30 = 70 + 30 = 100.

384. Вычислите, выбирая удобный способ:
а) 84 — (44 + 28);      б) 94 — (44 + 26);  в) 826 — (231 + 269);
г) 728 — (328 — 179); д) 83 — 23 — 29;     е) 83 — 21 — 29;
ж) 236 — 136 — 92;     з) 236 — 108 — 92.

а) 84 — (44 + 28) = 84 — 44 — 28 = 40 — 28 = 12;
б) 94 — (44 + 26) = 94 — 70 = 24;
в) 826 — (231 + 269) = 826 — 500 = 326;
г) 728 — (328 — 179) = 728 — 328 + 179 = 400 + 179 = 579;
д) 83 — 23 — 29 = 60 — 29 = 31;
е) 83 — 21 — 29 = 83 — (21 + 29) = 83 — 50 = 33;
ж) 236 — 136 — 92 = 100 — 92 = 8;
з) 236 — 108 — 92 = 236 — (108 + 92) = 236 — 200 = 36.

385. Вычислите :
а) -(98 + 49) — (102 — 49);    б) (123 — 254) — (23 — 354);
в) (149 + 237) — (137 + 49); г) -(95 + 105) — (398 — 98);
д) (49 + 35) — (49 — 35);       е) (48 + 15) — (48 — 15);
ж) (76 + 28) — (76 — 28);       з) (72 + 29) — (72 — 29).

а) -(98 + 49) — (102 — 49) = -98 — 49 — 102 + 49 = (-49 + 49) — (102 + 98) = 0 — 200 = -200;
б) (123 — 254) — (23 — 354) = 123 — 254 — 23 + 354 = (123 — 23) — (254 — 354) = 100 — (-100) = 100 + 100 = 200;
в) (149 + 237) — (137 + 49) = 149 + 237 — 137 — 49 = (149 — 49) + (237 — 137) = 100 + 100 = 200;
г) -(95 + 105) — (398 — 98) = -200 — 300 = -500;
д) (49 + 35) — (49 — 35) = 49 + 35 — 49 + 35 = (49 — 49) + (35 + 35) = 0 + 70 = 70;
е) (48 + 15) — (48 — 15) = 48 + 15 — 48 + 15 = (48 — 48) + (15 + 15) = 0 + 30 = 30;
ж) (76 + 28) — (76 — 28) = 76 + 28 — 76 + 28 = (76 — 76) + (28 + 28) = 0 + 56 = 56;
з) (72 + 29) — (72 — 29) = 72 + 29 — 72 + 29 = (72 — 72) + (29 + 29) = 0 + 58 = 58.

75

Ответы к стр. 75

386. Что называют:
а) координатной осью;
б) положительной координатной полуосью;
в) отрицательной координатной полуосью?

а) прямую, на которой заданы начало отсчёта, направление отсчёта и единичный отрезок, называют координатной осью;

б) луч, идущий вправо от нуля на координатной оси называют положительной координатной полуосью;

в) луч, идущий влево от нуля на координатной оси называют положительной координатной полуосью.

387. Как называют точку, изображающую число нуль?

Точку, изображающую число нуль, называют начальной точкой или началом отсчёта.

388. Как найти расстояние между точками m и n координатной оси (m > n)?

Расстояние находится по формуле m — n (из координаты точки, расположенной правее, вычитают координату точки, расположенной левее на координатной оси).

389. Какие точки находятся на одинаковом расстоянии от точки нуль, но на разных полуосях?

Точки, координаты которых являются противоположными числами.

76

Ответы к стр. 76

390. Дана координатная ось (рис. 32), некоторые её точки обозначены буквами ABCDE. Укажите координаты этих точек.

А(4), В(-3), С(-5), D(6), Е(1).

391. Вычислите длину отрезка (рис. 32):
а) OA; б) OB; в) OC; г) OD; д) AC;
е) AE; ж) OE; з) CB; и) DA; к) BE.

а) OA = 4 — 0 = 4;
б) OB = 0 — (-3) = 0 + 3 = 3;
в) OC = 0 — (-5) = 0 + 5 = 5;
г) OD = 6 — 0 = 6;
д) AC = 4 — (-5) = 4 + 5 = 9;
е) AE = 4 — 1 = 3;
ж) OE = 1 — 0 = 1;
з) CB = -3 — (-5) = -3 + 5 = 2;
и) DA = 6 — 4 = 2;
к) BE = 1 — (-3) = 1 + 3 = 4.

392. Изобразите координатную ось (единичный отрезок 1 см). Отметьте на ней точки A(-5), B(7); C(4); D(-4). Вычислите длину отрезка:
а) OA; б) OB; в) BC; г) BD; д) AD.
Результаты проверьте с помощью линейки.

а) OA = 0 — (-5) = 5 см;
б) OB = 7 — 0 = 7 см;
в) BC = 7 — 4 = 3см;
г) BD = 7 — (-4) = 7 + 4 = 11 см;
д) AD = -4 — (-5) = -4 + 5 = 1 см.

393. Изобразите координатную ось (единичный отрезок 1 клетка тетради). Отметьте на ней точки O(0), A(5), B(-8), C(9), D(-2). Вычислите длину отрезка:
а) OA; б) OB; в) AB; г) AC; д) DC.

а) OA = 5 — 0 = 5 клеток;
б) OB = 0 — (-8) = 0 + 8 = 8 клеток;
в) AB = 5 — (-8) = 5 + 8 = 13 клеток;
г) AC = 9 — 5 = 4 клетки;
д) DC = 9 — (-2) = 9 + 2 = 11 клеток.

394. Определите расстояние между точками m и n координатной оси, если:
а) m = 7, n = -3; б) m = 3, n = -7;
в) m = -8, n = 0; г) m = -8, n = 8.

а) 7 — (-3) = 7 + 3 = 10;
б) 3 — (-7) = 3 + 7 = 10;
в) 0 — (-8) = 0 + 8 = 8;
г) 8 — (-8) = 8 + 8 = 16.

395. На координатной оси отмечены точки 0 и 3. С помощью циркуля покажите на оси точки -3, 6, -6, 9, -9.

80

Дополнения к главе 2

Ответы к стр. 80

396. Какая точка координатной оси симметрична относительно начала координат точке:
а) 5;
б) −7;
в) 0?

Две точки удаленные на одинаковое расстояние от начала координат являются симметричными.
Две точки, координаты которых противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, но на разных полуосях.
а) точке с координатой 5 симметрична относительно начала координат точка −5;
б) точке с координатой −7 симметрична относительно начала координат точка 7;
в) Точка 0 симметрична сама себе.
Ответ:
а) −5;
б) 7;
в) 0.

397. Объясните, какие две точки называют симметричными относительно точки O.

Ответ: Точки A и B называются симметричными относительно точки O, если эти точки A, B и O лежат на одной прямой и точка O является серединой отрезка AB.

398. По рисунку 50 определите, какая точка симметрична относительно точки О точке:
а) А;
б) В;
в) С;
г) D;
д) M;
е) N;
ж) О.

Точки А и В называются симметричными относительно точки О, если эти точки А, В и О лежат на одной прямой и точка О является серединой отрезка АВ.
а) точке А относительно точки О симметрична точка С;
б) точке B относительно точки О симметрична точка D;
в) точке C относительно точки О симметрична точка A;
г) точке D относительно точки О симметрична точка B;
д) точке M относительно точки О симметрична точка N;
е) точке N относительно точки О симметрична точка M;
ж) Точка О симметрична сама себе.
Ответ:
а) С;
б) D;
в) A;
г) B;
д) N;
е) M;
ж) О.

399. ПО рисунку 50 определить, какой отрезок симметричен относительно точки O отрезку:
а) AB;
б) AD;
в) BC;
г) AO;
д) BO;
е) OC;
ж) BD;
з) MN.

а) точкам A и B относительно точки O симметричны точки C и D, следовательно, отрезку AB относительно точки O симметричен отрезок CD;
б) точкам A и D относительно точки O симметричны точки C и B, следовательно, отрезку AD относительно точки O симметричен отрезок CB;
в) точкам B и C относительно точки O симметричны точки D и A, следовательно, отрезку BC относительно точки O симметричен отрезок DA;
г) точкам A и O относительно точки O симметричны точки C и O, следовательно, отрезку AO относительно точки O симметричен отрезок CO;
д) точкам B и O относительно точки O симметричны точки D и O, следовательно, отрезку BO относительно точки O симметричен отрезок DO;
е) точкам O и C относительно точки O симметричны точки O и A, следовательно, отрезку OC относительно точки O симметричен отрезок OA;
ж) точкам B и D относительно точки O симметричны точки D и B, следовательно, отрезку BD относительно точки O симметричен отрезок DB;
з) точкам M и N относительно точки O симметричны точки N и M, следовательно, отрезку MN относительно точки O симметричен отрезок NM.
Ответ:
а) CD;
б) CB;
в) DA;
г) CO;
д) DO;
е) OA;
ж) DB;
з) NM.

81

Ответы к стр. 81

400. По рисунку 50 определите, какой фигуре симметричен относительно точки O:
а) треугольник BCO;
б) треугольник ADC;
в) треугольник CNO;
г) прямоугольник ABCD;
д) четырёхугольник DCNM.

Две фигуры называются симметричными если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.
а) точкам B, C, O относительно точки O симметричны точки D, A, O, следовательно, треугольник BCO относительно точки O симметричен треугольнику DAO;
б) точкам A, D, C относительно точки O симметричны точки C, B, A, следовательно, треугольник ADC относительно точки O симметричен треугольнику CBA;
в) точкам C, N, O относительно точки O симметричны точки A, M, O, следовательно, треугольник CNO относительно точки O симметричен треугольнику AMO;
г) точкам A, B, C, D относительно точки O симметричны точки C, D, A, B, следовательно, прямоугольник ABCD относительно точки O симметричен прямоугольнику CDAB;
д) точкам D, C, N, M относительно точки O симметричны точки B, A, M, N, следовательно, четырёхугольник DCNM относительно точки O симметричен четырехугольнику BAMN.
Ответ:
а) треугольнику DAO;
б) треугольнику CBA;
в) треугольнику AMO;
г) прямоугольнику CDAB;
д) четырехугольнику BAMN.

401. На клетчатой бумаге изображен прямоугольник 3 * 4 (рис.51). Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Ответ:

402. На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник 3 * 5, из которого удалён центральный квадрат (рис.52). Найдите пять способов разрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Ответ:

403. На клетчатой бумаге изображен квадрат 6 * 6. Найдите шесть способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Ответ:

404. Можно ли квадрат 5 * 5, изображенный на клетчатой бумаге, разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги?

Площадь квадрата 5 * 5 = 25 клеток. Если квадрат разделить пополам, то в каждой половине будет

25 : 2 = 12 1 2, то есть какую−то клетку придется делить не по линии клетчатой бумаги.
Ответ: нет, нельзя.

Доказываем

405. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Возьмем прямоугольник ABCD и проведем через его центр симметрии прямую. Раз прямая проведена через центр симметрии то получается, что точка A симметрична точке B относительно точки M, а точка D симметрична точке C относительно точки N, следовательно:
AM = MB;
DN = NC.
Таким образом если прямоугольник AMND развернуть на 180 градусов относительно отрезка MN, то прямоугольник AMND совместится с прямоугольником MBCN и отсюда следует что прямоугольник AMND = прямоугольнику MBCN.

406. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Точки A и B называются симметричными относительно точки O, если эти точки A, B и O лежат на одной прямой и точка O является серединой отрезка AB. Таким образом, если через центр симметрии фигуры провести прямую, то между симметричными точками и центром симметрии можно построить два равных отрезка. Например: AO = OB. Такие же равные отрезки можно построить, используя все множество симметричных точек из которых состоит фигура. Следовательно, если одну половину фигуры развернуть на 180 градусов относительно прямой, проходящей через центр симметрии, то первая половина совместится со второй половиной фигуры, а это значит что две половины равны.

407. Постройте окружность с центром O. Отметьте на ней точку M. Постройте точку N, симметричную точке M относительно точки O. Верно ли, что окружность симметрична относительно своего центра?

Да, верно. Окружность симметрична относительно своего центра, так как MO = ON. Такие же равные отрезки можно построить, используя все множество симметричных точек из которых состоит окружность и если одну половину окружности развернуть на 180 градусов относительно прямой, проходящей через центр симметрии, то первая половина совместится со второй половиной окружности, а это значит что две половины равны.

408. Постройте круг с центром O. Отметьте внутри круга точку M. Постройте точку N, симметричную точку M относительно точки O. Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Да, верно. Окружность симметрична относительно своего центра, так как MO = ON. Такие же равные отрезки можно построить, используя все множество симметричных точек из которых состоит окружность и если одну половину окружности развернуть на 180 градусов относительно прямой, проходящей через центр симметрии, то первая половина совместится со второй половиной окружности, а это значит что две половины равны.

82

Ответы к стр. 82

409. Дан отрезок AB и точка O вне этого отрезка. Постройте отрезок A B 1, так чтобы точки A и A 1, B и B 1 были симметричны относительно точки O. Соедините точки A и B 1, A 1 и B. Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки O. Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки O?

Пары отрезков симметричные друг другу относительно точки O:
AB и

A 1 B 1 ;
A B 1 и A 1 B ;
AO и A 1 O ;
BO и B 1 O .
Отрезки симметричные сами себе относительно точки O:
A A 1 ;
B 1 B .

410. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки A.

411. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O, лежащей на стороне AB.

Ответ:

412. Из прямоугольника вырезали квадрат (рис.53). Постройте прямую, которая делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Прямая которая проходит через центр симметрии фигуры делит ее пополам. И в прямоугольнике и в квадрате центром симметрии является точка пересечения диагоналей, следовательно, прямая MN, проведенная через точки пересечения диагоналей, делит обе фигуры пополам.

413. Вороне как−то Бог послал кусочек сыра... Предположим, что, в отличие от героини известной басни, наша Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой (рис.54)? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же).

Прямая которая проходит через центр симметрии фигуры делит ее пополам. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Центром пересечения круга является точка пересечения его диаметров. Таким образом, чтобы разделить сыр пополам необходимо провести диагональ, одновременно проходящую и через центр симметрии прямоугольника и через центр симметрии круга

Ответ:

83

Ответы к стр. 83

414. Запишите в строчку 5 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

−9, 10, −4, 5, −3
−9 + 10 = 1 сумма положительная,
10 + (−4) = 10 − 4 = 6 сумма положительная,
−4 + 5 = 1 сумма положительная,
5 + (−3) = 5 − 3 = 2 сумма положительная,
−9 + 10 + (−4) + 5 + (−3) = (10 + 5) + (−9 − 4 − 3) = 15 + (−16) = −1 сумма отрицательная.
Ответ: −9, 10, −4, 5, −3

415. Можно ли записать в строчку 6 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Такие числа записать нельзя. Если сумма двух соседних чисел положительна, то взяв эти числа попарно и найдя сумму этих пар, получим, что сумма всех шести чисел тоже положительна.
Ответ: нет, записать такие числа нельзя.

416. Можно ли записать в строчку 7 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

−9, 10, −9, 10, −9, 10, −9
−9 + 10 = 1 сумма положительная,
10 − 9 = 1 сумма положительная,
−9 + 10 = 1 сумма положительная,
10 − 9 = 1 сумма положительная,
−9 + 10 = 1 сумма положительная,
10 − 9 = 1 сумма положительная,
−9 + 10 + (−9) + 10 + (−9) + 10 + (−9) = (10 + 10 + 10) + (−9 − 9 − 9 − 9) = 30 + (−36) = −6 сумма отрицательная.
Ответ: −9, 10, −9, 10, −9, 10, −9.

84

Ответы к стр. 84

417. Можно ли записать в строчку 9 таких чисел, чтобы сумма любых трех соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Такие числа записать нельзя, так как можно разбить эти числа на три последовательные тройки. По условию сумма этих троек положительная, поэтом если сложить значения этих трёх сумм мы также получим положительную сумму всех 9 чисел.
Ответ: такие числа записать нельзя.

418. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из трёх строк и четырёх столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:
а) в каждой строке была равна −20, а в каждом столбце −15;
б) в каждой строке была равна −20, а в каждом столбце −16;
в) в каждой строке была положительной, а в каждом столбце − отрицательной?

Выполнить условие задачи можно лишь только в том случае, если сумма чисел во всех строках таблица равна сумме чисел во всех столбцах таблицы.
а) −20 * 3 = −60 сумма чисел во всех строках таблицы,
−15 * 4 = −60 сумма чисел во всех столбцах таблицы,
−60 = −60, расставить числа можно.
б) −20 * 3 = −60 сумма чисел во всех строках таблицы,
−16 * 4 = −64 сумма чисел во всех столбцах таблицы,
− 60 ≠ − 64, расставить числа нельзя.
в) расставить числа нельзя, так как сумма во всех строках таблицы будет положительной, а сумма во всех столбцах таблицы будет отрицательной, а положительное число не может быть равным отрицательному числу.
Ответ:
а) можно;
б) нельзя;
в) нельзя.

419. В строчку записаны несколько чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех чисел положительна, если чисел:
а) 18;
б) 19;
в) 20?

Для того чтобы найти верный ответ необходимо разбить числа на последовательные тройки чисел. Сумма каждой тройки по условию положительная, следовательно, тот ряд чисел, который делится на последовательные тройки без остатка, записать по условию задачи можно. Тот же ряд чисел, который не делится на последовательные тройки без остатка, записать нельзя, так как оставшиеся числа могут быть отрицательными и по модулю могут быть больше результата сложения сумм последовательных троек чисел. Поэтому:
а) 18 : 3 = 6 троек чисел, по условию сумма каждой тройки положительная, поэтому и сумма результатов сложения всех 6 троек также положительна.
б) записать нельзя, так как 19 : 3 = 6 последовательных троек и еще 1 число. Это последнее число может быть отрицательным и по модулю быть больше чем сумма результатов сложения всех 6−и троек, поэтому сумма всех 19 чисел может быть отрицательной.
Например: −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8
Каждая последовательная тройка имеет вид: −8, −8, 17, ее сумма равна:
−8 + (−8) + 17 = −16 + 17 = 1
сумма результатов сложения всех 6 троек равна:
1 * 6 = 6
Последнее 19−ое число −8 и |−8|>|6|, следовательно, сумма всех 19 чисел отрицательна.
в) нельзя, так как сумма последние 2 числа могут быть отрицательными и их сумма по модулю может быть больше чем сумма результатов сложения всех 6−и троек, следовательно, сумма всех 20 чисел будет отрицательной.
Например: −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8, 17, −8, −8
Каждая последовательная тройка имеет вид: −8, −8, 17, ее сумма равна:
−8 + (−8) + 17 = −16 + 17 = 1
сумма результатов сложения всех 6 троек равна:
1 * 6 = 6
Сумма последних двух чисел равна:
−8 + (−8) = −16, |−16|>|6|, следовательно, сумма всех 20 чисел отрицательна.
Ответ:
а) можно;
б) нельзя;
в) нельзя.

420. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 черных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:
а) белых;
б) черных;
в) разных цветов;
г) одного цвета?

а) первые 5 вынутых шаров могут быть черными, а значит в мешке останутся только белые шары. Поэтому за два последующих вынимания мы выполним условие задачи, следовательно:
5 + 2 = 7 шаров нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 белых шара;
б) первые 10 вынутых шаров могут быть белыми, а значит в мешке останутся только черные шары. Поэтому за два последующих вынимания мы выполним условие задачи, следовательно:
10 + 2 = 12 шаров нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 белых шара;
в) первые 10 вынутых шаров могут быть белыми, а значит в мешке останутся только черные шары. Поэтому за следующее вынимание мы выполним условие задачи, следовательно:
10 + 1 = 11 шаров нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 разноцветных шара;
д) первые 2 вынутых шара могут быть разноцветными, поэтому за следующее вынимание мы выполним условие задачи, следовательно:
2 + 1 = 3 шара нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 шара одинакового цвета.
Ответ:
а) 7 шаров;
б) 12 шаров;
в) 11 шаров;
г) 3 шара.

421. В непрозрачном мешке лежат 679 белых и 679 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:
а) белых;
б) чёрных;
в) разных цветов;
г) одного цвета?

а) первые 679 вынутых шаров могут быть черными, а значит в мешке останутся только белые шары. Поэтому за два последующих вынимания мы выполним условие задачи, следовательно:
679 + 2 = 681 шар нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 белых шара;
б) первые 679 вынутых шаров могут быть белыми, а значит в мешке останутся только черные шары. Поэтому за два последующих вынимания мы выполним условие задачи, следовательно:
679 + 2 = 681 шар нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 белых шара;
в) первые 679 вынутых шаров могут быть одноцветными, а значит в мешке останутся только шары другого цвета. Поэтому за следующее вынимание мы выполним условие задачи, следовательно:
679 + 1 = 680 шаров нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 разноцветных шара;
д) первые 2 вынутых шара могут быть разноцветными, поэтому за следующее вынимание мы выполним условие задачи, следовательно:
2 + 1 = 3 шара нужно вынуть, чтобы можно было утверждать что среди них обязательно есть 2 шара одинакового цвета.
Ответ:
а) 681 шар;
б) 681 шар;
в) 680 шаров;
г) 3 шара.

422. Имеется 3 комнаты с разными замками и 3 ключа от этих комнат. Какое наименьшее число проб нужно сделать, чтобы определить, какой ключ от какой комнаты?

Если первые два ключа не подошли к первой комнате, то и без пробы можно определить что третий ключ подходит к первой комнате, поэтому наименьшее количество проб которое нужно сделать для того чтобы определить ключ для первой комнаты равно 2.
Для первой комнаты ключ уже определен и его мы не используем. Остается два ключа и если первый из этих ключей не подойдет ко второй комнате, то и без пробы можно сказать что второй из оставшихся ключей подходит ко второй комнате, поэтому наименьшее количество проб которое нужно сделать для того чтобы определить ключ для второй комнаты равно 1.
Для первых двух комнат ключи уже определены, поэтому и без проб ясно, что последний оставшийся ключ подходит для третей комнаты, поэтому наименьшее количество проб которое нужно сделать для того чтобы определить ключ для третей комнаты равно 0.
Наименьшее количество проб которое нужно сделать для того чтобы определить ключ для каждой из трёх комнат равно: 2 + 1 + 0 = 3 пробы.
Ответ: 3 пробы.

423. Вася возвел натуральное число в квадрат и получил число, оканчивающееся цифрой 2. Не ошибся ли Вася?

Если натуральное число оканчивается на 0, то последняя цифра в квадрате это числа равна 0, так как 02 = 0;
если натуральное число оканчивается на 1, то последняя цифра в квадрате это числа равна 1, так как 12 = 1;
если натуральное число оканчивается на 2, то последняя цифра в квадрате это числа равна 4, так как 22 = 4;
если натуральное число оканчивается на 3, то последняя цифра в квадрате это числа равна 9, так как 32 = 9;
если натуральное число оканчивается на 4, то последняя цифра в квадрате это числа равна 6, так как 42 = 16;
если натуральное число оканчивается на 5, то последняя цифра в квадрате это числа равна 5, так как 52 = 25;
если натуральное число оканчивается на 6, то последняя цифра в квадрате это числа равна 6, так как 62 = 36;
если натуральное число оканчивается на 7, то последняя цифра в квадрате это числа равна 9, так как 72 = 49;
если натуральное число оканчивается на 8, то последняя цифра в квадрате это числа равна 4, так как 82 = 64;
если натуральное число оканчивается на 9, то последняя цифра в квадрате это числа равна 1, так как 92 = 81.
Таким образом квадраты натуральных чисел могут оканчиваться только на цифры: 0, 1, 4, 5, 6, 9, так как среди этих цифр нет цифры 2, то Вася ошибся.
Ответ: Вася ошибся.

424. Ведущий телевизионной игры спросил игрока:
− Верите ли Вы, что я не курю уже 20 дней?
− Верю, − ответил игрок.
− А вот и неверно, я не курю уже 24 дня!
Правильно ли ведущий оценил ответ игрока?

Если ведущий не курит 24 дня, то он не курит и меньшее число дней, например 17 или 16, следовательно, ведущий неверно оценил ответ игрока, так как 20 дней меньше 24 дней.
Ответ: неверно.

425. Встретились три подруги − Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было чёрное платье, на другой − красное, на третьей белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: "Нам надо меняться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям". Кто в каком платье был?

Чернова была в красном платье, так как в чёрном она не могла быть, потому что чёрный цвет соответствует её фамилии, а в белом платье она не могла быть, так как по условию задачи к ней обращается девочка в белом платье.
Белова была в чёрном платье, так как в белом она не могла быть, потому что белый цвет соответствует её фамилии, а в красном платье была Чернова.
Краснова была в белом платье, так как в красном она не могла быть, потому что красный цвет соответствует её фамилии, а в черном платье была Белова.
Ответ: Чернова была в красном платье, Белова в чёрном, а Красонова в белом.

85

Ответы к стр. 85

426. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:
1) Коля ни первое, ни четвертое;
2) Боря второе;
3) Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?

Боря занял 2 место по условию задачи;
Коля занял 3 место, так как второе занял Боря, а Коля сказал что его место было ни первым, ни последним;
Вова занял 1 место, так он сказал что его место было не последним, а 2 и 3 места заняли Боря и Коля.
Юра занял оставшиеся 4 место.
Ответ: Вова − 1 место; Боря − 2 место; Коля − 3 место; Юра − 4 место.

427. Имеется три мешка с монетами. В двух из них настоящие монеты, массой 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты, массой 9 г каждая. Есть весы, показывающие общую массу положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты, если из мешков можно брать любое число монет?

Нужно взять 1 монету из первого мешка и 2 монеты из второго мешка, если при взвешивании вес монет будет равен:
30 г (10 + 2 * 10), то фальшивые монеты в третьем мешке;
29 г (9 + 2 * 10), то фальшивые монеты в первом мешке;
28 г (10 + 2 * 9), то фальшивые монеты во втором мешке.

428. Имеется:
а) четыре мешка с монетами;
б) пять мешков с монетами;
в) десять мешков с монетами.
Во всех мешках, кроме одного, настоящие монеты, массой 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты, массой 9 г каждая. Есть весы, показывающие общую массу положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты, если из мешков можно брать любое число монет?

а) Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго мешка 2 монеты, из третьего мешка 3 монеты. Если при взвешивании вес монет будет равен:
60г = 10г + 2 * 10г + 3 * 10г, то фальшивые монеты в четвертом мешке;
59г = 9г + 2 * 10г + 3 * 10г, то фальшивые монеты в первом мешке;
58г = 10г + 2 * 9г + 3 * 10г, то фальшивые монеты во втором мешке;
57г = 10г + 2 * 10г + 3 * 9г, то фальшивые монеты в третьем мешке;

б)  Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго мешка 2 монеты, из третьего мешка 3 монеты, из 4 мешка 4 монеты. В каком мешке будут находиться фальшивые монеты, если вес 10 взятых монет составит:
100г = 10г + 2 * 10г + 3 * 10г + 4 * 10г, то фальшивые монеты в пятом мешке;
99г = 9г + 2 * 10г + 3 * 10г + 4 * 10г, то фальшивые монеты в первом мешке;
98г = 10г + 2 * 9г + 3 * 10г + 4 * 10г, то фальшивые монеты во втором мешке;
97г = 10г + 2 * 10г + 3 * 9г + 4 * 10г, то фальшивые монеты в третьем мешке;
96г = 10г + 2 * 10г + 3 * 10г + 4 * 9г, то фальшивые монеты в четвертом мешке.

в) Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго мешка 2 монеты, из третьего мешка 3 монеты, из 4 мешка 4 монеты, ..., из 9 мешка 9 монет. В каком мешке будут находиться фальшивые монеты, если вес взятых монет составит:
450г = 10г + 2 * 10г + 3 * 10г + 4 * 10г + 5 * 10г + 6 * 10г + 7 * 10г + 8 * 10г + 9 * 10г, то фальшивые монеты будут в десятом мешке;
449г = 9г + 2 * 10г + 3 * 10г + 4 * 10г + 5 * 10г + 6 * 10г + 7 * 10г + 8 * 10г + 9 * 10г, то фальшивые монеты будут в первом мешке;
448г = 10г + 2 * 9г + 3 * 10г + 4 * 10г + 5 * 10г + 6 * 10г + 7 * 10г + 8 * 10г + 9 * 10г, то фальшивые монеты будут во втором мешке.
И аналогично, если вес составит:
447г, то фальшивые монеты будут в третьем мешке;
446г, то фальшивые монеты будут в четвертом мешке;
445г, то фальшивые монеты будут в пятом мешке;
444г, то фальшивые монеты будут в шестом мешке;
443г, то фальшивые монеты будут в седьмом мешке;
442г, то фальшивые монеты будут в восьмом мешке;
441г, то фальшивые монеты будут в девятом мешке.

429. В коробке лежат три пилотки − одна синяя и две красные. Учитель вызывает к доске двух учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому из них на голову пилотку, а оставшиеся прячет в коробку. Ученики открывают глаза, и каждый видит пилотку своего товарища, но не видит своей. Может ли кто−нибудь из них определить цвет своей пилотки? Рассмотрите два случая:
а) надеты одна синяя и одна красная пилотка;
б) надеты две красные пилотки.

а) если ученик видит на голове своего товарища синюю пилотку, то значит у него своя пилотка обязательно красная, так как синих больше не осталось;
б) если ученик видит на голове своего товарища красную пилотку, то значит у него своя пилотка либо красная, либо синяя, поэтому определить цвет своей пилотки в этом случае нельзя.
Ответ:
а) может определить;
б) не может определить.

430. В коробке лежат пять пилоток − две синие и три красные. Учитель вызывает к доске трёх учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому из них на голову пилотку, а оставшиеся прячет в коробку. Ученики открывают глаза, и каждый видит пилотку своего товарища, но не видит своей. Может ли кто−нибудь из них определить цвет своей пилотки? Какие случаи следует рассмотреть?

1 случай: ученик видит что на двух его товарищах одеты две синие пилотки, следовательно, на своей голове у него красная пилотка, так как синих больше не осталось;
2 случай: ученик видит что на двух его товарищах одеты две красные пилотки, следовательно, определить цвет своей пилотки он не может, так как остались две синие и одна красная пилотка;
3 случай: ученик видит что на двух его товарищах одеты одна красная и одна синяя пилотка, следовательно, определить цвет своей пилотки он не может, так как остались две красные и одна синяя пилотка.
Ответ: цвет своей пилотки ученик может определить только в том случае, когда на головах своих товарищей он видит две синие пилотки.

431. Приехав в город, Ходжа Насреддин постучал в ворота первого дома и попросил хозяина пустить его переночевать. Денег у Насреддина не было, но была золотая цепочка из семи звеньев. Хозяин согласился приютить путника на семь дней с такими условиями:
1) за один день Насреддин платит одним звеном цепочки;
2) расплачиваться он должен ежедневно;
3) хозяин соглашался принять не более одного распиленного звена.(имеется ввиду, что в процессе оплаты у хозяина на руках не может одновременно находится два и более отдельных одинарных звена цепочки).
Смог ли Ходжа Насреддин расплатиться с хозяином?

Насреддин распилил звено на три части: с одним звеном; с двумя звеном; с четырьмя.
1 день − Насреддин расплатился цепочкой из одного звена;
2 день − Насреддин расплатился цепочкой двух звеньев и получил на сдачу цепочку из одного звена;
3 день − Насреддин расплатился цепочкой из одного звена;
4 день − Насреддин расплатился цепочкой из четырёх звеньев и получил на сдачу цепочку из одного звена и цепочку из двух звеньев;
5 день − Насреддин расплатился цепочкой из одного звена;
6 день − Насреддин расплатился цепочкой из двух звеньев и получил на сдачу цепочку из одного звена;
7 день − Насреддин расплатился цепочкой из одного звена.
Ответ: да, смог.

86

Ответы к стр. 86

432. В одной коробке лежат два белых шара, в другой − два черных, в третьих − один белый и один чёрный. На каждой коробке имеется табличка, но она неправильно указывает содержимое коробки (рис. 55). Из какой коробки не глядя надо вынуть шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки?

1 случай: из коробки "БЧ" достали белый шар, тогда:
− в коробке "БЧ" и второй шар будет белым, так как если он будет чёрным, то содержимое коробки "БЧ" будет соответствовать названию коробки, что неприемлемо по условию задачи;
− в коробке "ЧЧ" будет 1 белый шар, а второй чёрный, так как мы определили, что два белых шара лежат в коробке "БЧ", а два черных шара не могут находиться в коробке "ЧЧ", так как тогда содержимое коробки будет соответствовать её названию.
− в коробке "ББ" будут находиться два чёрных шара, так в коробке "БЧ" находятся два белых шара, а в коробке "ЧЧ" находятся один белый и один черный шар.
2 случай: из коробки "БЧ" достали черный шар, тогда:
− в коробке "БЧ" и второй шар будет черным, так как если он будет белым, то содержимое коробки "БЧ" будет соответствовать названию коробки, что неприемлемо по условию задачи;
− в коробке "ББ" будет 1 белый шар, а второй чёрный, так как мы определили, что два черных шара лежат в коробке "БЧ", а два белых шара не могут находиться в коробке "ББ", так как тогда содержимое коробки будет соответствовать её названию.
− в коробке "ЧЧ" будут находиться два белых шара, так в коробке "БЧ" находятся два черных шара, а в коробке "ББ" находятся один белый и один черный шар.
Ответ: из коробки "БЧ".

433. Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: "Это не я разбил стекло", Олег сказал: "Это Петя разбил стекло". Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Допустим что утверждение Олега верно, а Коли неверно, тогда по словам Олега получается что стекло разбил Петя, а по утверждению Коли, что он сам это сделал. Получается что по словам двух мальчиков стекло разбил не один человек, что по условию задачи неверно.
Допустим что утверждение Олега неверно, а Коли верно, тогда по словам Олега получается что стекло разбил либо Коля, либо Олег, а по утверждению Коли либо Петя, либо Олег. Ни Коля, ни Петя не могли разбить стекло, так в этих случаях утверждения Коли и Олега будут расходиться, следовательно, стекло разбил Олег.
Ответ: Олег.

434.Задачи С.А. Рачинского.
а) В будущем (1892) году думаю провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведу в деревне. Сколько времени я проведу в Петербурге? (Время на переезды не учитываются);
б) У меня пять детей. Дал я им пряников поровну. Трое из них съели по 5 пряников, и тогда у всех троих осталось столько пряников, сколько у двух остальных. Сколько всех пряников роздано?
в) От Москвы до Тамбова 450 верст. Выехали одновременно навстречу друг другу из Москвы почтовый, а из Тамбова товарный поезд. Второй мог бы пройти весь путь за 18 ч, а первый вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?
г) Дочь ткёт по 3 аршина в день, 4 дня она ткала одна, но затем стала ткать и мать, которая ткёт по 5 аршинов в день. Когда их тканья стало поровну они прекратили работу. Сколько соткали они вдвоем?

а) 1892 год високосный, так как 1892 делится на 4 без остатка.
В високосном году 366 суток, 366 * 24 = 8784 часа, 8784 * 60 = 527040 минут.
Пусть время проведенное в Петербурге будет равно x минут, тогда время проведенное в деревне будет равно 60 * x минут, следовательно:
60 * x + x = 527040
x * (60 + 1) = 527040
x * 61 = 527040
x = 527040 : 61
x = 8640 минут проведет в Петербурге.
8640 : 60 = 144 часа проведет в Петербурге.
144 : 24 = 6 дней проведет в Петербурге.
Ответ: 6 дней.

б) Пусть изначально каждому ребенку раздали по x пряников, тогда изначально у детей было
x + x + x + x + x пряников.
Трое из детей съело по 5 пряников, тогда всего они съели 5 * 3 = 15 пряников и у них осталось x + x + x − 15 пряников, равное количеству пряников оставшихся у двух оставшихся детей, то есть:
x + x + x − 15 = x + x
x + x + x − x − x = 15
(x − x) + (x − x) + x = 15
x = 15 пряников изначально раздали каждому ребенку.
x * 5 = 15 * 5 = 75 пряников всего было роздано.
Ответ: 75 пряников.

в) Дано:
s = 450 вёрст
t2 = 18 часов
Найти:
t3 - ?
Решение:
v2 = s : t2 = 450 : 18 = 25 вёрст в час скорость второго поезда.
v1 = v2 * 2 = 25 * 2 = 50 вёрст в час скорость первого поезда.
v3 = v1 + v2 = 25 + 50 = 75 вёрст в час скорость сближения поездов.
t3 = s : v3 = 450 : 75 = 6 часов, время через которое поезда встретятся.
Ответ: 6 часов.

г) 4 * 3 = 12 аршин соткала дочь, пока работала,
5 − 3 = на 2 аршина в день мать ткет ткани больше матери,
12 : 2 = 6 дней потребуется матери чтобы догнать дочь,
6 * 5 = 30 аршин ткани соткала мать за время своей работы,
4 + 6 = 10 дней всего проработала дочь,
10 * 3 = 30 аршин ткани соткала дочь за время своей работы,
30 + 30 = 60 аршин ткани соткали мать и дочь за время своей работы.
Ответ: 60 аршин.

89

Рациональные числа
Отрицательные дроби

Ответы к стр. 89

435. Запишите три отрицательные дроби.

— 4/6, — 3/2, — 5/5.

436. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры.

Числа, отличающиеся только знаком, называют противоположными: — 4/6 и 4/6, — 3/2, и 3/2, — 5/5 и 5/5.

437. Какое число противоположно:
а) числу нуль;
б) положительному числу;
в) отрицательному числу?

а) нуль противоположен сам себе;
б) положительному числу противоположно отрицательное число;
в) отрицательному числу противоположно положительное число.

438. Что называют модулем:
а) положительной дроби; б) отрицательной дроби; в) нуля?

а) саму эту дробь;
б) противоположную ей (положительную) дробь;
в) число нуль.

439. Какие из дробей являются положительными, какие отрицательными: 1/6, — 1/30/4, — 2/73/1, — 0/2?

Отрицательные дроби: — 1/3, — 2/7, — 0/2.
Положительные дроби: 1/60/43/1.

440. Назовите дроби, противоположные дробям: 1/22/9, — 1/3, — 3/7-4/11.

дробь — 1/2 противоположна дроби 1/2;
дробь — 2/9 противоположна дроби 2/9;
дробь 1/3 противоположна дроби — 1/3;
дробь 3/7 противоположна дроби — 3/7;
дробь 4/11 противоположна дроби -4/11.

441. Какое число противоположно самому себе?

Число нуль противоположно само себе.

Упростите запись по образцу (442-443):

442. а) |8| = 8; б) |-7| = 7; в) |1/9| = 1/9; г) |-2/3| = 2/3;
д) |2|; е) |-3|; ж) |0|; з) |1/4|;и) |- 1/5|; к) |2/7|.

д) |2| = 2;
е) |-3| = 3;
ж) |0| = 0;
з) |1/4| = 1/4;
и) |- 1/5| = 1/5;
к) |2/7| = 2/7.

443. а) |-1/4|;б) |-2/9|;в) |-1/8|;г) |-8/15|;
д) |- 3/8|;е) |- 8/9|;ж) — |- 1/2|;з) — |- 1/5|.

а) |-1/4| = 1/4;
б) |-2/9| = 2/9;
в) |-1/8| = 1/8;
г) |-8/15| = 8/15;
д) |- 3/8| = 3/8;
е) |- 8/9| = 8/9;
ж) — |- 1/2| = — 1/2;
з) — |- 1/5| = — 1/5.

444. Сравните:
а) |2/3| и |- 2/3|; б) |-5| и |- 1/2|; в) |- 1/5| и |1/4|.

а) |2/3| = 2/3, |- 2/3| = 2/3,
2/3 = 2/3, следовательно, |2/3| = |- 2/3|;

б) |-5| = 5, |- 1/2| = 1/2,
5 > 1/2, следовательно, |-5| > |- 1/2|;

в) |- 1/5| = 1/5, |1/4| = 1/4,
1/5 < 1/4, следовательно, |- 1/5| < |1/4|.

445. Запишите дробь так, чтобы знак «-» стоял в числителе по образцу:
а) — 3/4 = -3/4; б) — 5/7; в) — 7/3; г) — 4/9; д) — 1/9; е) — 13/12.

б) — 5/7 = -5/7;
в) — 7/3 = -7/3;
г) — 4/9 = -4/9;
д) — 1/9 = -1/9;
е) — 13/12 = -13/12.

446. Запишите дробь так, чтобы знак «-» стоял в знаменателе по образцу:
а) — 3/4 = 3/-4; б) — 6/5; в) — 7/8; г) — 8/9; д) — 17/18; е) — 18/17.

б) — 6/5 = 6/-5;
в) — 7/8 = 7/-8;
г) — 8/9 = 8/-9;
д) — 17/18 = 17/-18;
е) — 18/17 = 18/-17.

90

Ответы к стр. 90

447. Запишите дроби -2/7-6/11-2/135/-74/-912/-7 так, чтобы знак «-» стоял перед чертой дроби.

-2/7 = — 2/7;
-6/11 = — 6/11;
-2/13 = — 2/13;
5/-7 = — 5/7;
4/-9 = — 4/9;
12/-7 = — 12/7.

448. Равны ли дроби:
а) — 2/3 и -2/3; б) -5/8 и — 5/8; в) 4/9 и -4/9; г) — 5/7 и 5/7?

а) — 2/3 = -2/3 – равны;
б) -5/8 = — 5/8 – равны;
в) 4/9 > -4/9 – не равны;
г) — 5/7 < 5/7 – не равны.

449. Найдите модуль числа:
а) — 1/2; б) -2/3; в) 3/4; г) 5/-9; д) 0; е) — 5/4.

а) |- 1/2| = 1/2;
б) |-2/3| = 2/3;
в) |3/4| = 3/4;
г) |5/-9| = 5/9;
д) |0| = 0;
е) |- 5/4| = 5/4.

450. Вычислите:
а) |- 1/2| + |1/2|;    б) |2/3| + |- 1/3|;    в) |- 13/23| — |13/23|;
г) |-32/3| — |-22/3|; д) |-31/3| • |-22/5|; е) |23/5| : |-51/5|.

а) |- 1/2| + |1/2| = 1/2 + 1/2 = 1+1/2 = 2/2 = 1;

б) |2/3| + |- 1/3| = 2/3 + 1/3 = 2+1/3 = 3/3 = 1;

в) |- 13/23| — |13/23| = 13/23 — 13/23 = 0;

г) |-32/3| — |-22/3| = 32/3 — 22/3 = (3 — 2) + (2/3 — 2/3) = 1;

д) |-31/3| • |-22/5| = 31/3 • 22/5 = 10/3 • 12/5 = 10•12/3•5 = 2•4/1•1 = 8;

е) |23/5: |-51/5| = 23/5 : 51/5 = 13/5 : 26/5 = 13/5 • 5/26 = 13•5/5•26 = 1•1/1•2 = 1/2.

92

Рациональные числа
Рациональные числа

Ответы к стр. 92

451. Какое число называют рациональным? Назовите несколько рациональных чисел.

Число, которое можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа и q не равно нулю, называют рациональным числом или дробью: 1/33/-8-2/-1.

452. Является ли натуральное число рациональным?

Является — любое натуральное число α можно представить в виде α/1.

453. Является ли целое число рациональным?

Является — любое целое число α можно представить в виде α/1.

454. Является ли положительная дробь рациональным числом?

Является, как и отрицательная дробь.

455. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и тоже целое, не равное нулю число, то получится равная ей дробь: p/q = pn/qn. Например: 1/3 = 1•4/3•4 = 4/12.

456. В каком случае дробь можно сократить? На основании какого свойства сокращают дроби? Приведите примеры.

Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель n — целое, не равное нулю, число, то дробь можно сократить на n. Дробь сокращают на основании основного свойства дроби.
8/10 = 4•2/5•2 = 4/5

457. В каком случае дробь положительна? отрицательна? Приведите примеры.

Дробь p/q отрицательна, если числа p и q разных знаков.
Дробь p/q положительна, если числа p и q одного знака.
-1/31/-4 − отрицательные дроби.
-2/-310/11 − положительные дроби.

458. Любую ли дробь можно привести к положительному знаменателю?

Пользуясь основным свойством дроби, можно любую дробь привести к положительному знаменателю.

459. Сократите дроби 8/2035/3642/48764/828792/891.

8/20 = 2•4/5•4 = 2/5;

35/36 — дробь сократить нельзя;

42/48 = 7•6/8•6 = 7/8;

764/828 = 191•4/207•4 = 191/207;

792/891 = 8•99/9•99 = 8/9.

93

Ответы к стр. 93

460. Приведите дроби к знаменателю 48: 1/22/33/45/67/811/1215/16.

1/2 = 1•24/2•24 = 24/48;

2/3 = 2•16/3•16 = 32/48;

3/4 = 3•12/4•12 = 36/48;

5/6 = 5•8/6•8 = 40/48;

7/8 = 7•6/8•6 = 42/48;

11/12 = 11•4/12•4 = 44/48;

15/16 = 15•3/16•3 = 45/48.

461. Приведите дробь к положительному знаменателю:
а) 1/-2; б) 1/-3; в) -2/-3; г) -2/-5; д) 7/-4; е) 12/-7.

а) 1/-2 = 1•(-1)/-2•(-1) = -1/2;

б) 1/-3 = 1•(-1)/-3•(-1) = -1/3;

в) -2/-3 = -2•(-1)/-3•(-1) = 2/3;

г) -2/-5 = -2•(-1)/-5•(-1) = 2/5;

д) 7/-4 = 7•(-1)/-4•(-1) = -7/4;

е) 12/-7 = 12•(-1)/-7•(-1) = -12/7.

462. Приведите дроби -1/2 и — 1/4 к знаменателю: а) 8; б) 28; в) 36.

а) -1/2 = -1•4/2•4 = -4/8,
— 1/4 = — 1•2/4•2 = — 2/8;

б) -1/2 = -1•14/2•14 = -14/28,
— 1/4 = — 1•7/4•7 = — 7/28;

в) -1/2 = -1•18/2•18 = -18/36,
— 1/4 = — 1•9/4•9 = — 9/36.

463. Приведите к знаменателю 60 дробь:
а) — 1/2; б) — 2/3; в) -4/5; г) -11/12; д) 13/-15; е) 19/-20.

а) — 1/2 = — 1•30/2•30 = — 30/60;

б) — 2/3 = — 2•20/3•20 = — 40/60;

в) -4/5 = -4•12/5•12 = -48/60;

г) -11/12 = -11•5/12•5 = -55/60;

д) 13/-15 = 13•4/-15•4 = 52/-60;

е) 19/-20 = 19•3/-20•3 = 57/-60.

464. Упростите запись рационального числа:
а) -1/-2;        б) -3/-4;        в) -49/56;   г) 72/-67;
д) — 81/-72;    е) — 96/-143; ж) — -15/42; з) -55/-75;
и) — -125/625; к) 100/-8;     л) 32/-512;  м) -32/-128.

а) -1/-2 = -1•(-1)/-2•(-1) = 1/2;

б) -3/-4 = -3•(-1)/-4•(-1) = 3/4;

в) -49/56 = -7•7/8•7 = -7/8 = — 7/8;

г) 72/-67 =  — 72/67;

д) — 81/-72 = -9•9/-8•9 = —9•(-1)/-8•(-1) = 9/8;

е) — 96/-143 = -96•(-1)/-143•(-1) = 96/143;

ж) — -15/42 = -5•3/-14•3 = -5•(-1)/-14•(-1) = 5/14;

з) -55/-75 = -11•5/-15•5 = -11•(-1)/-15•(-1) = 11/15;

и) — -125/625 = -1•125/-5•125 = -1•(-1)/-5•(-1) = 1/5;

к) 100/-8 = 25•4/-2•4 = 25/-2 = — 25/2;

л) 32/-512 = 1•32/-16•32 = 1/-16 = — 1/16;

м) -32/-128 = -1•32/-4•32 = -1•(-1)/-4•(-1) = 1/4.

465. Сократите дробь, запишите результат в виде дроби с положительным знаменателем:
а) -8/-12;   б) -35/21;    в) 36/-45;     г) 45/-63;
д) — 35/77; е) -96/-128; ж) -124/-196; з) 252/-444.

а) -8/-12 = -2•4/-3•4 = -2•(-1)/-3•(-1) = 2/3;

б) -35/21 = -5•7/3•7 = -5/3;

в) 36/-45 = 4•9/-5•9 = 4•(-1)/-5•(-1) = -4/5;

г) 45/-63 = 5•9/-7•9 = 5•(-1)/-7•(-1) = -5/7;

д) — 35/77 = -5•7/11•7 = -5/11;

е) -96/-128 = -3•32/-4•32 = -3•(-1)/-4•(-1) = 3/4;

ж) -124/-196 = -31•4/-49•4 = -31•(-1)/-49•(-1) = 31/49;

з) 252/-444 = 21•12/-37•12 = 21•(-1)/-37•(-1) = -21/37.

466. Найдите число x, для которого верно равенство:
а) -1/3 = x/3;   б) -4/5 = x/20;   в) — 2/x/9;
г) — 5/6 = x/30; д) — 4/5 = -20/x; е) — x/3 = -12/18.

а) -1/3 = x/3,
-1 = x,
x = -1;

б) -4/5 = x/20,
-4•4/5•4 = x/20,
-16/20 = x/20,
-16 = x,
x = -16;

в) — 2/3 = x/9,
-2•3/3•3 = x/9,
-6/9 = x/9,
-6 = x,
x = -6;

г) — 5/6 = x/30,
-5•5/6•5 = x/30,
-25/30 = x/30,
-25 = x,
x = -25;

д) — 4/5 = -20/x,
-4•5/5•5 = -20/x,
-20/25 = -20/x,
25 = x,
x = 25;

е) — x/3 = -12/18,
x/-3 = -2•6/3•6,
x/-3 = -2•(-1)/3•(-1),
x/-3 = 2/-3,
x = 2.

Упростите запись (467-468):

467. а) — -5/7; б) — 4/-3; в) — -3/7; г) — 9/-10.

а) — -5/7 = -5/-7 = -5•(-1)/-7•(-1) = 5/7;

б) — 4/-3 = -4/-3 = -4•(-1)/-3•(-1) = 4/3;

в) — -3/7 = -3/-7 = -3•(-1)/-7•(-1) = 3/7;

г) — 9/-10 = -9/-10 = -9•(-1)/-10•(-1) = 9/10.

468. а) — (-7/9) = — -7/9 = -(-7)/9 = 7/9;
б) — (- 4/9); в) — (- -1/3); г) — (- 2/-13); д) — (- -1/-2).

б) — (- 4/9) = — -4/9 = -(-4)/9 = 4/9;

в) — (- -1/3) = — -(-1)/3 =  — 1/3;

г) — (- 2/-13) = — 2/-(-13) = — 2/13;

д) -(- -1/-2) = — -(-1)/-2 = — 1/-2 = 1/-(-2) = 1/2.

94

Ответы к стр. 94

469. Равны ли рациональные числа:
а) 1/4 и -8/-32; б) -75/100 и 3/-4; в) 24/-40 и -27/45; г) -77/-88 и 63/72.

а) -8/-32 = -1•8/-4•8 = -1•(-1)/-4•(-1) = 1/4, а так как 1/4 = 1/4, то 1/4 = -8/-32;

б) -75/100 = -3•25/4•25 = — 3/4 = 3/-4, а так как 3/-4 = 3/-4, то -75/100 = 3/-4;

в) 24/-40 = 3•8/-5•8 = 3/-5 = — 3/5-27/45 = -3•9/5•9 = -3/5 = — 3/5, а так как — 3/5 = — 3/5, то 24/-40 = -27/45;

г) -77/-88 = -7•11/-8•11 = -7•(-1)/-8•(-1) = 7/863/72 = 7•9/8•9 = 7/8, а так как  7/8 = 7/8, то -77/-88 = 63/72.

470. Запишите в виде целого числа дробь:
а) 2/1; б) -13/1; в) 0/2; г) -14/7; д) -32/-4; е) 44/-11.

а) 2/1 = 2;

б) -13/1 = — 13/1 = -13;

в) 0/2 = 0;

г) -14/7 = — 14/7 =  -2;

д) -32/-4 = -32•(-1)/-4•(-1) = 32/4 = 8;

е) 44/-11 = — 44/11 = -4.

471. Даны рациональные числа: -17/937/-48-15/-50/-7-17/-116/-8; — -46/-23-20/-30.
Выпишите числа, являющееся: а) натуральными; б) целыми.

а) натуральные числа:
-15/-5 = -15•(-1)/-5•(-1) = 15/5 = 3;
-17/-1 = -17•(-1)/-1•(-1) = 17;

б) целые числа:
-15/-5 = -15•(-1)/-5•(-1) = 15/5 = 3;
0/-7 = 0;
-17/-1 = -17•(-1)/-1•(-1) = 17;
— -46/-23 = -(-46)/-23 = 46/-23 = — 46/23 = -2;
16/-8 = — 16/8 = -2.

472. Найдите равные среди рациональных чисел:
— 3/9-5/-104/-8-25/500/10017/340/-72100/-300.

— 3/9 = 100/-300, так как — 3/9 = — 1•3/3•3 = — 1/3100/-300 = — 100/300 = — 1•100/3•100 = — 1/3, а — 1/3 = — 1/3;

-5/-10 = 17/34, так как -5/-10 = -1•5/-2•5 = -1•(-1)/-2•(-1) = 1/217/34 = 1•17/2•17 = 1/2, а 1/2 = 1/2;

4/-8 = -25/50, так как 4/-8 = 1•4/-2•4 = 1/-2 = — 1/2-25/50 = -1•25/2•25 = -1/2 = — 1/2,  — 1/2 = — 1/2;

0/100 = 0/-72, так как 0/100 = 0, 0/-72 = 0, а 0 = 0.

473. Запишите три дроби с положительным знаменателем, равные числу: а) 5; б) -2; в) -28; г) 0.

а) 5 = 15/3 = 25/5 = 60/12;

б) -2 = -12/6 = -20/10 = -42/21;

в) -28 = -84/3 = -140/5 = -224/8;

г) 0 = 0/1 = 0/10 = 0/32.

474. Является ли дробь положительной, отрицательной:
а) 3/5; б) -5/9; в) 4/-3; г) 0/-1; д) -6/-8; е) — -1/3; ж) — 7/9; з) -9/17.

а) 3/5 − положительная дробь;

б) -5/9 = — 5/9 − отрицательная дробь;

в) 4/-3 = — 4/3 − отрицательная дробь;

г) 0/-1 = 0 − не является положительной или отрицательной дробью;

д) -6/-8 = -6•(-1)/-8•(-1) = 6/8 − положительная дробь;

е) — -1/3 = -(-1)/3 = 1/3 − положительная дробь;

ж) — 7/9 − отрицательная дробь;

з) -9/17 = — 9/17 − отрицательная дробь.

475. Назовите и запишите дробь, противоположную дроби:
а) — 1/5; б) -1/3; в) 4/7; г) — 5/6; д) — 7/8; е) -1/-3.

а) отрицательной дроби — 1/5 противоположны положительные  дроби 1/5-1/-5;
б) отрицательной дроби -1/3 противоположны положительные дроби 1/3-1/-3;
в) положительной дроби 4/7 противоположны отрицательные дроби -4/74/-7, — 4/7;
г) отрицательной дроби — 5/6 противоположны положительные дроби 5/6-5/-6;
д) отрицательной дроби — 7/8 противоположны положительные дроби 7/8-7/-8;
е) положительной дроби -1/-3 противоположны отрицательные дроби -1/31/-3, — 1/3.

476. Одинаковые или разные знаки имеют числа m и n (mn ≠ 0), если верно равенство: а) |m/n| = m/n; б) |m/n| = − m/n.

а) |m/n| > 0, поэтому для того, чтобы равенство было верным, дробь m/n должна быть положительной и, следовательно, числа m и n должны иметь одинаковые знаки;

б) |m/n| > 0, поэтому для того, чтобы равенство было верным, дробь m/n должна быть отрицательной и, следовательно, числа m и n должны иметь разные знаки, так как если m/n < 0, то — m/n > 0.

95

Рациональные числа
Сравнение рациональных чисел

Ответы к стр. 95

477. Как сравнивают две дроби:
а) с общим положительным знаменателем;
б) с разными знаменателями?

а) Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.

б) Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сравнить полученные дроби.

478. Сформулируйте правило сравнения: положительной дроби с нулём; отрицательной дроби с нулём; положительной дроби с отрицательной.

Любая положительная дробь больше нуля; любая отрицательная дробь меньше нуля; любая положительная дробь больше отрицательной.

Сравните числа (479-484):

479. а) 15 и -45;   б) 79 и 0;
        в) -81 и 0;     г) 48 и -1000;
        д) -999 и -1; е) 46 и -46.

а) 15 > -45;
б) 79 > 0;
в) -81 < 0;
г) 48 > -1000;
д) -999 < -1;
е) 46 > -46.

480. а) 3/7 и 4/7; б) 49/50 и 4/5; в) 11/20 и 17/30.

а) 3/7 < 4/7;

б) 49/50 > 4/5, так как 4/5 = 4•10/5•10 = 40/50;

в) 11/20 < 17/30, так как 11/20 = 11•3/20•3 = 33/6017/30 = 17•2/30•2 = 34/60.

96

Ответы к стр. 96

Сравните числа (479-484):

481. а) 37/452 и 207/388; б) 456/729 и 895/891; в) 999/1000 и 1000/1001.

а) Чтобы сравнить две положительные дроби между собой, можно сравнить каждую из них с дробью 1/2. Для того чтобы сравнить любую положительную дробь с дробью 1/2, нужно умножить числитель этой дроби на 2. Если получившееся число больше числа в знаменателе дроби, значит дробь больше 1/2, если же получившееся число меньше числа в знаменателе, то значит дробь меньше 1/2.
37/452 • 2 = 74/452,  74 < 452 — то есть, эта дробь меньше 1/2,

207/388 • 2 = 414/388, 414 > 388 — то есть, эта дробь больше 1/2,

следовательно, 37/452 < 207/388;

б) Чтобы сравнить две положительные дроби между собой, можно сравнить каждую из них с 1. Если числитель дроби больше знаменателя, то эта дробь больше 1. Если числитель дроби меньше знаменателя, то эта дробь меньше 1.
456 < 729, значит 456/729 < 1,

895 > 891, значит 895/891 > 1,

следовательно, 456/729 < 895/891;

в) 999/1000 = 999•1001/1000•1001 = 999999/1001000,

1000/1001 = 1000•1000/1001•1000 = 1000000/1001000,

999999/1001000 < 1000000/1001000,

следовательно, 999/1000 < 1000/1001.

482. а) 6/7 и 8/7; б) 1 и 7/8; в) 1 и 9/8; г) 1/2 и 1/3.

а) из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше: 6/7 < 8/7;

б) дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а любая правильная дробь меньше 1: 1 > 7/8;

в) дробь, у которой числитель больше знаменателя, называется неправильной, а любая неправильная дробь больше 1: 1 < 9/8;

г) из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше: 1/2 > 1/3.

483. а) -1 и -2; б) -12 и -7; в) — 1/2 и 0; г) 0 и -3/4.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
а) -1 > -2;
б) -12 < -7;

Любое отрицательное число меньше нуля.
в) — 1/2 < 0;
г) -3/4 = — 3/4, 0 > — 3/4, следовательно, 0 > -3/4.

484. а) — 1/2 и 1/2; б) — 4/5 и — 3/5; в) — 1/7 и -3/7; г) -3/8 и 5/-8.

Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.
а) — 1/2 = -1/2, -1 < 1, то есть, -1/2 < 1/2, тогда — 1/2 < 1/2;

б) — 4/5 = -4/5, — 3/5 = -3/5, -4 < -3, то есть -4/5 < -3/5, тогда — 4/5 < — 3/5;

в) — 1/7 = -1/7, -1 > -3, то есть -1/7 > -3/7, тогда — 1/7 > -3/7;

г) 5/-8 = — 5/8 = -5/8, -3 > -5, то есть -3/8 > -5/8, тогда -3/8 > 5/-8.

485. Запишите в порядке возрастания числа:
— 1/8, — 5/8, — 6/8, — 2/8, — 9/8, — 1, — 3/8, — 4/8.

Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.
— 1 = — 8/8-8/8, тогда:

— 9/8, — 1, — 6/8, — 5/8, — 4/8, — 3/8, — 2/8, — 1/8.

486. Запишите в порядке убывания числа: — 7/4, — 1/4, — 15/4, — 3/4, — 2.

Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.
— 2 = — 8/4 = -8/4, тогда:

— 1/4, — 3/4, — 7/4, — 2, — 15/4.

487. Найдите дробь которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:
а) — 1/5 и — 4/5;  б) — 9/10 и — 3/10; в) -12/13 и 4/-13;
г) -8/11 и — 5/11; д) — 1/8 и — 7/8;    е) — 3/7 и — 5/7.

а) — 1/5 > — 3/5 > — 4/5;

б) — 9/10 < — 4/10 < — 3/10;

в) -12/13 < — 7/13 < 4/-13;

г) -8/11 < — 6/11 < — 5/11;

д) — 1/8 > — 4/8 > — 7/8;

е) — 3/7 > — 4/7 > — 5/7.

488. Сравните числа:
а) — 1/2 и — 1/3;     б) — 1/5 и — 1/2;   в) — 1/6 и — 4/11;
г) — 1/2 и — 3/4;     д) — 3/5 и — 7/10;  е) — 5/9 и — 2/3;
ж) — 11/24 и — 1/2;  з) — 5/28 и — 1/7; и) — 25/32 и — 5/8;
к) — 9/10 и — 14/15; л) — 1/4 и — 7/8;  м) — 13/24 и — 17/36.

а) — 1/2 < — 1/3, так как — 1/2 = -3/6, — 1/3 = -2/6, а -3/6 < -2/6;

б) — 1/5 > — 1/2, так как — 1/5 = -2/10, — 1/2 = -5/10, а -2/10 > -5/10;

в) — 1/6 > — 4/11, так как — 1/6 = -11/66, — 4/11 = -24/66, а -11/66 >  -24/66;

г) — 1/2 > — 3/4, так как — 1/2 = -2/4, — 3/4 = -3/4, а -2/4 > -3/4;

д) — 3/5 > — 7/10, так как — 3/5 = -6/10, — 7/10 = -7/10, а -6/10 < -7/10;

е) — 5/9 > — 2/3, так как — 5/9 = -5/9, — 2/3 = -6/9, а -5/9 > -6/9;

ж) — 11/24 > — 1/2, так как — 11/24 = -11/24, — 1/2 = -12/24, а -11/24 > -12/24;

з) — 5/28 < — 1/7, так как — 5/28 = -5/28, — 1/7 = -4/28, а -5/28 < -4/28;

и) — 25/32 < — 5/8, так как — 25/32 = -25/32, — 5/8 = -20/32, а -25/32 < -20/32;

к) — 9/10 > — 14/15, так как — 9/10 = -27/30, — 14/15 = -28/30, а -27/30 > -28/30;

л) — 1/4 > — 7/8, так как — 1/4 = -2/8, — 7/8 = -7/8, а -2/8 > -7/8;

м) — 13/24 < — 17/36, так как — 13/24 = -39/72, — 17/36 = -36/72, а -39/72 < -36/72.

489. Запишите дроби — 1/2, — 2/3, — 3/4 в порядке возрастания.

— 1/2 = — 1•6/2•6 = — 6/12,

— 2/3 = — 2•4/3•4 = — 8/12,

— 3/4 = — 3•3/4•3 = — 9/12,
в порядке возрастания: — 3/4, — 2/3, — 1/2.

490. Запишите дроби — 1/2, — 5/6, — 1/3 в порядке убывания.

— 1/2 = — 1•3/2•3 = — 3/6,

— 1/3 = — 1•2/3•2 = — 2/6,
в порядке убывания: — 1/3, — 1/2, — 5/6.

491. Верно ли, что если — 4/7 > — 2/3 и — 2/3 > — 4/5, то — 4/7 > — 4/5?

— 4/7 > — 2/3, так как — 4/7 = — 60/105, — 2/3 = — 70/105, а — 60/105 > — 70/105,

— 2/3 > — 4/5, так как — 2/3 = — 70/105, — 4/5 = — 84/105, а — 70/105 > — 84/105,

— 4/7 > — 4/5, так как — 60/105 > — 84/105 — следовательно, утверждение верно.

97

Ответы к стр. 97

492. Существуют ли дроби p/q, для которых верно неравенство — 2/5 < p/q < — 1/5? Если существуют, то найдите три такие дроби.

— 2/5 = — 2•4/5•4 = — 8/20,

— 1/5 = — 1•4/5•4 = — 4/20, тогда:

— 8/20 < — 7/20 < — 4/20,

— 8/20 < — 6/20 < — 4/20,

— 8/20 < — 5/20 < — 4/20,

493. Можно ли назвать 10 дробей, бóльших одной из данных дробей, но меньше другой:
а) — 39/40 и — 1/40; б) — 3/4 и — 1/4?
Можно ли назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей?

а) условие — 39/40 < p/q < — 1/40  выполняется для любой отрицательной дроби со знаменателем 40 и числителем, модуль которого меньше 39 и больше 1: — 38/40, — 37/40, — 36/40, — 35/40, — 34/40, — 33/40, — 32/40, — 31/40, — 30/40, — 29/40;

б) — 3/4 = — 30/40, — 1/4 = — 10/40, таким образом условие — 3/4 < p/q < — 1/4 выполняется для любой отрицательной дроби со знаменателем 40 и числителем, модуль которой меньше 30 и больше 10: — 29/40, — 28/40, — 27/40, — 26/40, — 25/40, — 24/40, — 23/40, — 22/40, — 21/40, — 20/40.
Также можно назвать и 100, и 1000, и 10 000 дробей. Для это нужно привести дроби к бóльшему знаменателю.

494. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:
а) — 1/5 и — 1/3;   б) — 5/6 и — 2/3; в) — 3/8 и — 3/4;
г) — 3/20 и — 7/30; д) — 3/7 и — 2/9; е) — 10/11 и — 19/20.

а) — 1/5 = — 3/15, — 1/3 = — 5/15, тогда:
— 3/15 > — 4/15 > — 5/15, значит — 1/5 > — 4/15 > — 1/3;

б) — 5/6 = — 10/12, — 2/3 = — 8/12, тогда:
— 10/12 < — 9/12 < — 8/12, значит — 5/6 < — 9/12 < — 2/3;

в) — 3/4 = — 6/8, тогда:
— 3/8 > — 5/8 > — 6/8, значит — 3/8 > — 5/8 > — 3/4;

г) — 3/20 = — 9/60, — 7/30 = — 14/60, тогда:
— 9/60 > — 11/60 > — 12/60, значит — 3/20 > — 11/60 > — 7/30;

д) — 3/7 = — 27/63, — 2/9 = — 14/63, тогда:
— 27/63 < — 18/63 < — 14/63, значит — 3/7 < — 18/63 < — 2/9;

е) — 10/11 = — 200/220, — 19/20 = — 209/220, тогда:
— 200/220 > — 203/220 > — 209/220, значит — 10/11 > — 203/220 > — 19/20.

495. Сравните числа:
а) — 1/2 и -1; б) — 8/8 и -1; в) — 9/8 и -1; г) — 498/497 и — 1.

а) — 1/2 > -1, так как -1 = — 2/2, а — 1/2 > — 2/2;

б) — 8/8 = -1, так как -1 = — 8/8, а — 8/8 = — 8/8;

в) — 9/8 < -1, так как -1 = — 8/8, а — 9/8 < — 8/8;

г) — 498/497 < -1, так как -1 = — 497/497, а — 498/497 < — 497/497.

496. Как можно сравнить дроби, не приводя их к общему положительному знаменателю, если числители этих дробей одинаковые положительные целые числа?

Из двух дробей с положительными знаменателями и положительными одинаковыми числителями будет больше та, у которой меньше знаменатель.

99

Рациональные числа
Сложение и вычитание дробей

Ответы к стр. 99

497. Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с общим положительным знаменателем.

Сумма двух дробей с общим положительным знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и числителем равным сумме числителей: p/q + r/q = p+r/q.

Разность двух дробей с общим положительным знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого: p/q — r/q = pr/q.

498. Чему равна сумма противоположных дробей?

Сумма противоположных дробей равна нулю.

499. Как вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями?

Чтобы вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями, нужно привести эти дроби к общему положительному знаменателю и выполнить вычисления по правилу сложения и вычитания дробей с общим положительным знаменателем.

Выполните действия (500-501):

500. а) 8/9 + 5/9; б) 17/25 — 8/25; в) 31/32 + 63/64; г) 23/68 — 5/17; д) 50/49 + 15/56.

а) 8/9 + 5/9 = 8+5/9 = 13/9;

б) 17/25 — 8/25 = 17-8/25 = 9/25;

в) 31/32 + 63/64 = 62/64 + 63/64 = 62+63/64 = 125/64;

г) 23/68 — 5/17 23/68 — 20/68 = 23-20/68 = 3/68;

д) 50/49 + 15/56 = 400/392 + 105/392 = 400+105/392 = 505/392.

501. а) (-56) + 17; б) 42 + (-29); в) (-39) + (-57);
        г) (-48) + 81; д) 37 + (-82); е) (-68) + (-51).

а) (-56) + 17 = -56 + 17 = -39;
б) 42 + (-29) = 42 — 29 = 13;
в) (-39) + (-57) = -39 — 57 = -96;
г) (-48) + 81 = -48 + 81 = 33;
д) 37 + (-82) = 37 — 82 = -45;
е) (-68) + (-51) = -68 — 51 = -119.

502. По каким формулам можно складывать и вычитать дроби?

Дроби любого знака p/q и r/s можно складывать и вычитать по формулам:
p/q + r/s = ps+qr/qs

p/q — r/s = psqr/qs

Вычислите (503-514):

503. а) -1/2 + -1/2; б) -1/3 + -1/3; в) -2/3 + -1/3; г) -2/7 + -5/7; д) -7/12 + -1/12.

а) -1/2 + -1/2 = -1+(-1)/2 = -1-1/2 = -2/2 = -1;

б) -1/3 + -1/3 = -1+(-1)/3 = -1-1/3 = -2/3 = — 2/3;

в) -2/3 + -1/3 = -2+(-1)/3 = -2-1/3 = -3/3 = -1;

г) -2/7 + -5/7 = -2+(-5)/7 = -2-5/7 = -7/7 = -1;

д) -7/12 + -1/12 = -7+(-1)/12 = -7-1/12 = -8/12 = — 2/3.

100

Ответы к стр. 100

Вычислите (503-514):

504. а) -1/3 + 2/3; б) — 1/4 + 3/4;   в) 1/5 + -3/5;
        г) 3/7 + -4/7; д) 8/13 + -12/13; е) 19/25 + -24/25.

а) -1/3 + 2/3 = -1+2/3 = 1/3;

б) — 1/4 + 3/4 = -1+3/4 = 2/4 = 1/2;

в) 1/5 + -3/5 = 1-3/5 = -2/5 = — 2/5;

г) 3/7 + -4/7 = 3-4/7 = -1/7 = — 1/7;

д) 8/13 + -12/13 = 8-12/13 = -4/13 = — 4/13;

е) 19/25 + -24/25 = 19-24/25 = -5/25 = — 1/5.

505. а) 1/2 + -1/2; б) -5/6 + 5/6; в) -2/3 + 2/3.

а) 1/2 + -1/2 = 1-1/2 = 0/2 = 0;

б) -5/6 + 5/6 = -5+5/6 = 0/6 =0;

в) -2/3 + 2/3 = -2+2/3 = 0/3 = 0.

506. а) 1/3 — 2/3;     б) 1/4 — 3/4;    в) 2/7 — 5/7;
        г) 7/12 — 11/12; д) -8/11 — 3/11; е) — 5/17 — 10/17.

а) 1/3 — 2/3 = 1-2/3-1/3 = — 1/3;

б) 1/4 — 3/4 = 1-3/4 = -2/4 = — 1/2;

в) 2/7 — 5/7 = 2-5/7 = -3/7 = — 3/7;

г) 7/12 — 11/12 = 7-11/12 = -4/12 = — 1/3;

д) -8/11 — 3/11 = -8-3/11 = -11/11 = -1;

е) — 5/17 — 10/17 = -5-10/17 = -15/17 = — 15/17.

507. а) -2/7 — -5/7;     б) -4/9 — -8/9; в)- 1/10 — -7/10;
        г) — 12/19 — 7/19; д) -4/5 — -3/5; е) — 1/24 — 11/24.

а) -2/7 — -5/7 = -2-(-5)/7 = -2+5/7 = 3/7;

б) -4/9 — -8/9 = -4-(-8)/9 = -4+8/9 = 4/9;

в) — 1/10 — -7/10 = -1-(-7)/10 = -1+7/10 = 6/10 = 3/5;

г) — 12/19 — 7/19 = -12-7/19 = -19/19 = -1;

д) -4/5 — -3/5 = -4-(-3)/5 = -4+3/5 = -1/5 = — 1/5;

е) — 1/24 — 11/24 = -1-11/24 = -12/24 = — 1/2.

508. а) -1/2 + -1/4; б) -1/3 + 1/6; в) — 1/2 + 1/6; г) 1/8 + -1/4; д) 3/10 + -7/100.

а) -1/2 + -1/4 = -2/4 + -1/4 = -2-1/4 = -3/4 = — 3/4;

б) -1/3 + 1/6 = -2/6 + 1/6 = -2+1/6 = -1/6 = — 1/6;

в) — 1/2 + 1/6 = -3/6 + 1/6 = -3+1/6 = -2/6 = — 1/3;

г) 1/8 + -1/4 = 1/8 + -2/8 = 1-2/8 = -1/8 = — 1/8;

д) 3/10 + -7/100 = 30/100 + -7/100 = 30-7/100 = 23/100.

509. а) — 3/5 — 9/10; б) — 15/24 — 3/8; в) -2/3 — 5/6;
        г) — 7/6 — 5/24; д) 2/5 — 13/50;    е) — 50/160 — 9/16.

а) — 3/5 — 9/10 = -6/10 — 9/10 = -6-9/10 = -15/10 = — 3/2 = -1 1/2;

б) — 15/24 — 3/8 = -15/24 — 9/24 = -15-9/24 = -24/24 = -1;

в) -2/3 — 5/6 = -4/6 — 5/6 = -4-5/6 = -9/6 = — 3/2 = -1 1/2;

г) — 7/6 — 5/24 = -28/24 — 5/24 = -28-5/24 = -33/24 = — 11/8 = -1 3/8;

д) 2/5 — 13/50 = 20/50 — 13/50 = 20-13/50 = 7/50;

е) — 50/160 — 9/16 = -5/16 — 9/16 = -5-9/16 = -14/16 = — 7/8.

510. а) — 1/6 + 1/9; б) 3/10 — 2/15;   в) — 2/10 — 6/15;
        г) 3/8 — 2/9;    д) — 5/12 + 4/15; е) 2/16 — -3/39.

а) — 1/6 + 1/9 = -3/18 + 2/18 = -3+2/18 = -1/18 = — 1/18;

б) 3/10 — 2/15 = 9/30 — 4/30 = 9-4/30 = 5/30 = 1/6;

в) — 2/10 — 6/15 = -6/30 — 12/30 = -6-12/30 = -18/30 = — 3/5;

г) 3/8 — 2/9 = 27/72 — 16/72 = 27-16/72 = 11/72;

д) — 5/12 + 4/15 = -25/60 + 16/60 = -25+16/60 = -9/60 = — 3/20;

е) 2/16 — -3/39 = 78/624 — -48/624 = 78-(-48)/624 = 78+48/624 = 126/624 = 21/104.

511. а) 5/8 + (- 9/8); б) — 3/13 + (- 8/13); в) — 2/5 + 4/5;
        г) 3/8 + (- 3/4); д) — 7/15 + (- 2/3);   е) — 7/8 — 15/16;
       ж) 1/3 + (- 1/2);  з) — 1/4 + 1/3;        и) — 2/21 + 3/14.

а) 5/8 + (- 9/8) = 5/8 — 9/8 = 5-9/8 = -4/8 = — 1/2;

б) — 3/13 + (- 8/13) = -3/13 — 8/13 = -3-8/13 = -11/13 = — 11/13;

в) — 2/5 + 4/5 = -2/5 + 4/5 = -2+4/5 = 2/5;

г) 3/8 + (- 3/4) = 3/8 — 3/4 = 3/8 — 6/8 = 3-6/8 = -3/8 = — 3/8;

д) — 7/15 + (- 2/3) = -7/15 — 2/3 = -7/15 — 10/15 = -7-10/15 = -17/15 = -1 2/15;

е) — 7/8 — 15/16 = -14/16 — 15/16 = -14-15/16 = -29/16 = -1 13/16;

ж) 1/3 + (- 1/2) = 1/3 — 1/2 = 2/6 — 3/2 = 2-3/6 = -1/6 = — 1/6;

з) — 1/4 + 1/3 = -3/12 + 4/12 = -3+4/12 = 1/12;

и) — 2/21 + 3/14 = -4/42 + 9/42 = -4+9/42 = 5/42.

512. а) — 9/180 — 7/120; б) — 4/210 + 5/140; в) -7/480 + 8/180.

а) — 9/180 — 7/120 = -18/360 — 21/360 = -18-21/360 = -39/360 = — 13/120;

б) — 4/210 + 5/140 = -8/420 + 15/420 = -8+15/420 = 7/420 = 1/60;

в) -7/480 + 8/180 = -21/1440 + 64/1440 = -21+64/1440 = 43/1440.

513. а) — 7/15 + 2/15 — 1/5; б) — 1/6 — 5/12 — 7/24; в) — 3/13 — 5/13 + 3/26;
        г) 9/28 — 4/7 — 1/4;      д) 10/27 — 5/18 + 8/9; е) 2/5 + 1/6 + 1/15.

а) — 7/15 + 2/15 — 1/5 = -7/15 + 2/15 — 3/15 = -7+2-3/15 = -8/15 = — 8/15;

б) — 1/6 — 5/12 — 7/24 = -4/24 — 10/24 — 7/24 = -4-10-7/24 = -21/24 = — 7/8;

в) — 3/13 — 5/13 + 3/26 = -6/26 — 10/26 + 3/26 = -6-10+3/26 = -13/26 = — 1/2;

г) 9/28 — 4/7 — 1/4 = 9/28 — 16/28 — 7/28 = 9-16-7/28 = -14/28 = — 1/2;

д) 10/27 — 5/18 + 8/9 = 20/54 — 15/54 + 48/54 = 20-15+48/54 = 53/54;

е) 2/5 + 1/6 + 1/15 = 12/30 + 5/30 + 2/30 = 12+5+2/30 = 19/30.

101

Ответы к стр. 101

Вычислите (503-514):

514. а) — 1/5 + 3/10 — 7/20; б) — 3/20 — 7/30 + 2/40; в) 11/60 — 23/30 — 17/20.

а) — 1/5 + 3/10 — 7/20 = -4/20 + 6/20 — 7/20 = -4+6-7/20 = -5/20 = — 1/4;

б) — 3/20 — 7/30 + 2/40 = -9/60 — 14/60 + 3/60 = -9-14+3/60 = -20/60 = — 1/3;

в) 11/60 — 23/30 — 17/20 = 11/60 — 46/60 — 51/60 = 11-46-51/60 = -86/60 = -43/30 = -1 13/30.

515. Найдите число х, для которого верно равенство:
а) х + 1/8 = — 5/8; б) 1/7 + х = — 3/7; в) х — 1/4 = — 1/2;
г) х — 1/6 = 1/3;    д) 2/3 — х = — 1/7;   е) 1/6 — х = — 4/9.

а) х + 1/8 = — 5/8,
х = — 5/8 — 1/8,
х = -5-1/8,
х = -6/8,
х = — 3/4;

б) 1/7 + х = — 3/7,
х = — 3/7 — 1/7,
х = -3-1/7,
х = -4/7,
х = — 4/7;

в) х — 1/4 = — 1/2,
х = — 1/2 + 1/4,
х = — 2/4 + 1/4,
х = -2+1/4,
х = -1/4,
х = — 1/4;

г) х — 1/6 = 1/3,
х = 1/3 + 1/6,
х = 2/6 + 1/6,
х = 2+1/6,
х = 3/6,
х = 1/2;

д) 2/3 — х = — 1/7,
х = 1/7 + 2/3,
х = 3/21 + 14/21,
х = 3+14/21,
х = 17/21;

е) 1/6 — х = — 4/9,
х = 4/9 + 1/6,
х = 8/18 + 3/18,
х = 8+3/18,
х = 11/18.

516. Найдите число, которое:
а) на 1/2 больше числа — 1/2; б) на 1/4 меньше числа 1/6.

а) Обозначим неизвестное число как х, тогда, если из х вычесть 1/2, то получится — 1/2:
х — 1/2 = — 1/2,
х = -1/1/2,
х-1+1/2,
х = 0/2,
х = 0;

б) Обозначим неизвестное число как х, тогда, если к х прибавить 1/4, то получится 1/6:
х + 1/4 = 1/6,
х = 1/6 — 1/4,
х = 2/12 — 3/12,
х = 2-3/12,
х = — 1/12.

517. Запишите разность дробей в виде равной ей суммы дробей:
а) 1/3 — 4/3; б) — 1/5 — 1/5; в) -4/7 — -8/7.

а) 1/3 — 4/3 = 1/3 + (- 4/3);

б) — 1/5 — 1/5 = — 1/5 + (- 1/5);

в) -4/7 — -8/7 = -4/7 + (- -8/7) = -4/7 + 8/7.

518. Вычислите, предварительно заменив разность дробей равной ей суммой:
а) 1/2 — (- 1/3);   б) 4/9 — (- 7/9);       в) — 9/16 — (- 3/8);
г) — 1/2 — (- 3/8); д) — 9/10 — (- 15/16); е) 25/26 — (- 11/13).

а) 1/2 — (- 1/3) = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 3+2/6 = 5/6;

б) 4/9 — (- 7/9) = 4/9 + 7/9 = 4+7/9 = 11/9 = 1 2/9;

в) — 9/16 — (- 3/8) = — 9/16 + 3/8 = — 9/16 + 6/16 = -9+6/16 = — 3/16;

г) — 1/2 — (- 3/8) = — 1/2 + 3/8 = — 4/8 + 3/8 = -4+3/8 = — 1/8;

д) — 9/10 — (- 15/16) = — 9/10 + 15/16 = — 72/80 + 75/80 = -72+75/80 = 3/80;

е) 25/26 — (- 11/13) = 25/26 + 11/13 = 25/26 + 22/26 = 47/26 = 1 21/26.

103

Рациональные числа
Умножение и деление дробей

Ответы к стр. 103

519. По каким правилам умножают и делят дроби любого знака?

Дроби любого знака умножают и делят по тем же правилам, что и положительные дроби:
p/q • r/s = pr/qs,

p/q : r/s = ps/qr, где r ≠ 0.

520. Как умножить дробь на целое число?

Чтобы дробь умножить на целое число, можно её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

521. Как разделить дробь на целое число, не равное нулю?

Чтобы разделить дробь на целое число, не равное нулю, можно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить прежним.

522. Какие числа называют взаимно обратными?

Числа, произведение которых равно 1: p/q и q/p.

104

Ответы к стр. 104

Выполните действие (523-525):

523. а) 75 • (-64);   б) (-57) • (-129); в) (-144) • 55;
        г) 912 : (-48); д) (-1596) : 57;   е) (-2701) : (-37).

а) 75 • (-64) = -4800;

    ×75
      64
 + 300
  450  
  4800

б) (-57) • (-129) = 7353;

   ×129
       57
  + 903
   645  
   7353

в) (-144) • 55 = -7920;

    ×144
        55
   + 720
    720  
    7920

г) 912 : (-48) = -19;

 912|48
    48  |19
  432
     432
         0

д) (-1596) : 57 = -28;

 1596|57
    114  |28
   456
     456
         0
е) (-2701) : (-37) = 73.

 2701|37
    259  |73
   111
      111
         0

524. а) 161 784 : (-321);     б) -2 164 320 : 432;
        в) -4 101 630 : (-507); г) -1 936 980 : (-918).

а) 161 784 : (-321) = -504;

161784|321
   1605    |504
    1284
       1284
            0

б) -2 164 320 : 432 = -5010;

2164320|432  
   2160      |5010
     432
       432
           0

в) -4 101 630 : (-507) = 8090;

4101630|507 
   4056      |8090
    4563
       4563
            0

г) -1 936 980 : (-918) = 2110.

1936980|918  
   1836      |2110
  1009
     918
      918
         918
            0

525. а) 34/35 : 51/55; б) 37/38 • 57/148;      в) 54/125 • 35;
        г) 115/116 : 62;  д) 351/625 • 250/182; е) 99 : 143/120.

а) 34/35 : 51/55 = 34/35 • 55/51 = 2•11/7•3 = 22/21 = 1 1/21;

б) 37/38 • 57/148 = 1•3/2•4 = 3/8;

в) 54/125 • 35 = 54/125 • 35/1 = 54•7/25•1 = 378/25 = 15 3/25;

г) 115/116 : 62 = 115/116 • 1/62 = 115•1/116•62 = 115/7192;

д) 351/625 • 250/182 = 27•1/5•7 = 27/35;

е) 99 : 143/120 = 99/1 • 120/143 = 9•120/1•13 = 1080/13 = 83 1/13.

Сократите дробь (526-528):

526. а) 36•(-112)/126•(-63); б) 184•(-49)/84•(-69); в) (-315)•57/114•(-108);
        г) (-105)•84/196•125;  д) (-111)•(-9)/78•74;   е) (-888)•55/77•999.

а) 36•(-112)/126•(-63) = 4•56/63•7 = 4•8/63•1 = 32/63;

б) 184•(-49)/84•(-69) = 8•7/12•3 = 2•7/3•3 = 14/9;

в) (-315)•57/114•(-108) = 35•1/2•12 = 35/24;

г) (-105)•84/196•125 = — 21•3/7•25 = — 3•3/1•25 = — 9/25;

д) (-111)•(-9)/78•74 = 3•3/26•2 = 9/52;

е) (-888)•55/77•999 = — 8•5/7•9 = — 40/63.

527. а) (-1)•3/6•(-4);   б) (-3)•4/6•(-5);        в) (-4)•10/(-30)•14;
        г) (-8)•18/(-28)•6; д) (-12)•(-5)/(-21)•10; е) (-75)•(-24)/(-32)•(-100).

а) (-1)•3/6•(-4) = 1•1/2•4 = 1/8;

б) (-3)•4/6•(-5) = 1•4/2•5 = 1•2/1•5 = 2/5;

в) (-4)•10/(-30)•14 = 2•1/3•7 = 2/21;

г) (-8)•18/(-28)•6 = 2•3/7•1 = 6/7;

д) (-12)•(-5)/(-21)•10 = — 4•1/7•2 = — 2•1/7•1 = — 2/7;

е) (-75)•(-24)/(-32)•(-100) = 3•3/4•4 = 9/16.

528. а) -3•8•(-6)/18•(-4);      б) -7•16/-14•(-2)•(-10); в) -2•(-3)•(-6)/-3•(-8)•(-10);
        г) -96•(-125)/-75•(-128); д) 56•(-77)/-121•(-49); е) -128•(-92)/-256•(-48).

а) -3•8•(-6)/18•(-4) = — 3•8/3•4 = — 8/4 = -2;

б) -7•16/-14•(-2)•(-10) = 1•16/2•2•10 = 8/2•10 = 4/10 = 2/5;

в) -2•(-3)•(-6)/-3•(-8)•(-10) = 1•1•6/1•4•10 = 3/2•10 = 3/20;

г) -96•(-125)/-75•(-128) = 3•5/3•4 = 1•5/1•4 = 5/4;

д) 56•(-77)/-121•(-49) = — 8•7/11•7 = — 8•1/11•1 = — 8/11;

е) -128•(-92)/-256•(-48) = 1•23/2•12 = 23/24.

529. Вычислите произведение по образцу:
(- 1/2) • 2/3 = -1/2 • 2/3 = -1•2/2•3 = -1/3 = — 1/3;
а) -3/7 • 5/9;         б) -3/8 • -4/5;    в) -9/10 • -1/-2;
г) -7/• 4/-35;       д) -5/6 • 3/10;    е) -7/32 • 4/-21;
ж) — 2/5 • (- 75/2); з) 4/3 • (- 9/16); и) — 18/5 • (- 4/81).

а) -3/7 • 5/9 = -3•5/7•9 = -1•5/7•3 = -5/21 = — 5/21;

б) -3/8 • -4/5 = -3•(-4)/8•5 = -3•(-1)/2•5 = 3/10;

в) -9/10 • -1/-2 = -9•(-1)/10•(-2) = 9/-20 = — 9/20;

г) -7/2 • 4/-35 = -7•4/2•(-35) = -1•2/1•(-5) = 2/5;

д) -5/6 • 3/10 = -5•3/6•10 = -1•1/2•2-1/4 = — 1/4;

е) -7/32 • 4/-21 = -7•4/32•(-21) = -1•1/8•(-3) = -1/-24 = 1/24;

ж) — 2/5 • (- 75/2) = -2/5 • -75/2 = -2•(-75)/5•2 = -1•(-15)/1•1 = 15/1 = 15;

з) 4/3 • (- 9/16) = 4/3 • -9/16 = 4•(-9)/3•16 = 1•(-3)/1•4 = -3/4 = — 3/4;

и) — 18/5 • (- 4/81) = -18/5 • -4/81 = -18•(-4)/5•81 = -2•(-4)/5•9 = 8/45.

Вычислите (530-531):

530. а) — 1/2 • 2/5;     б) 3/4 • (- 2/9); в) — 4/5 • (- 10/3);
        г) — 1/7 • (- 3/4); д) 2/5 • (- 3/4); е) — 3/8 • 4/5.

а) — 1/2 • 2/5 = -1/2 • 2/5 = -1•2/2•5 = -1•1/1•5 = -1/5 = — 1/5;

б) 3/4 • (- 2/9) = 3/4 • -2/9 = 3•(-2)/4•9 = 1•(-1)/2•3 = -1/6 = — 1/6;

в) — 4/5 • (- 10/3) = -4/5 • -10/3 = -4•(-10)/5•3 = -4•(-2)/1•3 = 8/3 = 2 2/3;

г) — 1/7 • (- 3/4) = -1/7 • -3/4 = -1•(-3)/7•4 = 3/28;

д) 2/5 • (- 3/4) = 2/5 • -3/4 = 2•(-3)/5•4 = 1•(-3)/5•2 = -3/10 = — 3/10;

е) — 3/8 • 4/5 = -3/8 • 4/5 = -3•4/8•5 = -3•1/2•5 = -3/10 = — 3/10.

105

Ответы к стр. 105

Вычислите (530-531):

531. а) — 1/3 • 2;  б) 7 • (- 1/2);      в) -4 • (- 1/6);
        г) 3/4 • (-8); д) 25/28 • (- 14); е) — 12 • (- 13/24).

а) — 1/3 • 2 = — 1•2/3 = — 2/3;

б) 7 • (- 1/2) = — 7•1/2 = — 7/2 = -3 1/2;

в) -4 • (- 1/6) = — -4•(-1)/6 = 4/6 = 2/3;

г) 3/4 • (-8) = 3•(-8)/4 = 3•(-2)/1 = -6/1 = -6;

д) 25/28 • (-14) = 25•(-14)/28 = 25•(-1)/2 = -25/2 = -12 1/2;

е) -12 • (- 13/24) = -12•(-13)/24 = 1•13/2 = 6 1/2.

532. Запишите частное в виде дроби с положительным знаменателем, сократите полученную дробь:
а) -2 : 6; б) -5 : 15; в) -10 : (-20); г) -4 : (-16).

а) -2 : 6 = -2/6 = -1•2/6 = -1•1/3 = -1/3;

б) -5 : 15 = -5/15 = -1•5/15 = -1•1/3 = -1/3;

в) -10 : (-20) = -10/-20 = -1•10/-1•20 = 10/20 = 1/2;

г) -4 : (-16) = -4/-16 = -1•4/-1•16 = 4/16 = 1/4.

533. Являются ли взаимно обратными числа:
а) -1/2 и — 4/2; б) 2/-3 и 3/2; в) — 1/4 и -4;
г) — 5/6 и 6/-5; д) -2 и -1/2;  е) -1 и 1.

а) -1/2 = — 1/2, — 4/2 = — 2/1, а — 1/2 и — 2/1 — взаимно обратные числа, следовательно, -1/2 и — 4/2 — взаимно обратные числа;

б) 2/-3 = — 2/3, а — 2/3 и 3/2 — не взаимно обратные числа, следовательно, 2/-3 и 3/2 — не взаимно обратные числа;

в) -4 = — 4/1, а — 1/4 и — 4/1 — взаимно обратные числа, следовательно, — 1/4 и -4 — взаимно обратные числа;

г) 6/-5 = — 6/5, а — 5/6 и — 6/5 — взаимно обратные числа, следовательно, — 5/6 и 6/-5 — взаимно обратные числа;

д) -2 = — 2/1-1/2 = — 1/2, а — 2/1 и — 1/2 — взаимно обратные числа, следовательно, -2 и -1/2 — взаимно обратные числа;

е) взаимно обратные числа не могут быть разных знаков, следовательно, -1 и 1 — не взаимно обратные числа.

534. Назовите делимое и делитель, найдите дробь, обратную делителю, замените деление умножением на дробь, обратную делителю:
а) 3/5 : 2/3; б) — 4/5 : 3/8; в) -4 : -2/3; г) — 3/7 : (-9).

а) 3/5 — делимое, 2/3 — делитель, 3/2 — дробь, обратная делителю,
3/5 : 2/3 = 3/5 • 3/2;

б) — 4/5 — делимое, 3/8 — делитель, 8/3 — дробь, обратная делителю,
— 4/5 : 3/8 = — 4/5 • 8/3;

в) -4 — делимое, -2/3 — делитель, 3/-2 — дробь, обратная делителю,
-4 : -2/3 = -4 • 3/-2;

г) — 3/7 — делимое, -9 — делитель, — 1/9 — дробь, обратная делителю,
— 3/7 : (-9) = — 3/7 • (- 1/9).

Вычислите (535-540):

535. а) -3/5 : 5/-9; б) 16/-25 : 8/-15; в) 9/-10 : 1/2; г) 2/3 : 6/-7.

а) -3/5 : 5/-9 = -3/5 • -9/5 = -3•(-9)/5•5 = 27/25 = 1 2/25;

б) 16/-25 : 8/-15 = 16/-25 • -15/8 = -1•16•15/-1•25•8 = 2•3/5•1 = 6/5 = 1 1/5;

в) 9/-10 : 1/2 = 9/-10 • 2/1 = 9•2/-10•1 = — 9•1/5 = — 9/5 = -1 4/5;

г) 2/3 : 6/-7 = 2/3 • -7/6 = 2•(-7)/3•6 = 1•(-7)/3•3 = — 7/9.

536. а) — 3/7 : 5/6;      б) 16/-25 : (- 8/15);   в) — 9/20 : (- 18/25);
        г) 28/63 : (- 9/7); д) — 15/16 : (- 10/24); е) — 15/17 : 25/34.

а) — 3/7 : 5/6 = — 3/7 • 6/5 = — 3•6/7•5 = — 18/35;

б) 16/-25 : (- 8/15) = 16/-25 • (- 15/8) = 16•15/25•8 = 2•3/5•1 = 6/5 = 1 1/5;

в) — 9/20 : (- 18/25) = — 9/20 • (- 25/18) = 9•25/20•18 = 1•5/4•2 = 5/8;

г) 28/63 : (- 9/7) = 28/63 • (- 7/9) = — 28•7/63•9 = — 28•1/9•9 = — 28/81;

д) — 15/16 : (- 10/24) = — 15/16 • (- 24/10) = 15•24/16•10 = 3•3/2•2 = 9/4 = 2 1/4;

е) — 15/17 : 25/34 = — 15/17 • 34/25 = — 15•34/17•25 = — 3•2/1•5 = — 6/5 = -1 1/5.

537. а) 32/75 : (- 48/25);  б) — 38/75 : (- 19/100); в) — 32/77 : (- 64/55);
        г) — 125/196 : 50/52; д) 228/245 : (- 57/125); е) — 132/1000 : (- 143/1000).

а) 32/75 : (- 48/25) = 32/75 • (- 25/48) = — 32•25/75•48 = — 4•1/3•6 = — 2•1/3•3 = — 2/9;

б) — 38/75 : (- 19/100) = — 38/75 • (- 100/19) = 38•100/75•19 = 2•4/3•1 = 8/3 = 2 2/3;

в) — 32/77 : (- 64/55) = — 32/77 • (- 55/64) = 32•55/77•64 = 1•5/7•2 = 5/14;

г) — 125/196 : 50/52 = — 125/196 • 52/50 = — 125•52/196•50 = — 5•13/49•2 = — 65/98;

д) 228/245 : (- 57/125) = 228/245 • (- 125/57) = — 228•125/245•57 = — 4•25/49•1 = — 100/49 = -2 2/49;

е) — 132/1000 : (- 143/1000) = — 132/1000 • (- 1000/143) = 132•1000/1000•143 = 12•1/1•13 = 12/13.

538. а) — 1/2 : 2; б) — 1/3 : 2;       в) — 2/5 : (-3);  г) 3/7 : (-9);
        д) -4 : 1/2;  е) (-3) : (- 1/2); ж) 5 : (- 3/10); з) -8 : 4/5.

а) — 1/2 : 2 = — 1/2 • 1/2 = — 1•1/2•2 = — 1/4;

б) — 1/3 : 2 = — 1/3 • 1/2 = — 1•1/3•2 = — 1/6;

в) — 2/5 : (-3) = — 2/5 • (- 1/3) = 2•1/5•3 = 2/15;

г) 3/7 : (-9) = 3/7 • (- 1/9) = — 3•1/7•9 = — 1•1/7•3 = — 1/21;

д) — 4 : 1/2 = -4 • 2/1 = -4 • 2 = -8;

е) (-3) : (- 1/2) = -3 • (- 2/1) = -3 • (-2) = 6;

ж) 5 : (- 3/10) = 5 • (- 10/3) = — 5•10/3 = — 50/3 = -16 2/3;

з) -8 : 4/5 = -8 • 5/4 = — 8•5/4 = — 2•5/1 = -10.

539. а) 48 : (- 1/2);    б) -55 : (- 2/5); в) -72 : 36/37;
        г) (- 16/35) : 64; д) — 12/13 : 24;  е) 15/32 : (-20).

а) 48 : (- 1/2) = 48 • (- 2/1) = 48 • (-2) = -96;

б) -55 : (- 2/5) = -55 • (- 5/2) = 55•5/2 = 275/2 = 137 1/2;

в) -72 : 36/37 = -72 • 37/36 = — 72•37/36 = — 2•37/1 = -74;

г) (- 16/35: 64 = — 16/35 • 1/64 = — 16•1/35•64 = — 1•1/35•4 = — 1/140;

д) — 12/13 : 24 = — 12/13 • 1/24 = — 12•1/13•24 = — 1•1/13•2 = — 1/26;

е) 15/32 : (-20) = 15/32 • (- 1/20) = — 15•1/32•20 = — 3•1/32•4 = — 3/128.

106

Ответы к стр. 106

Вычислите (535-540):

540. а) — 3/5 • (- 2/5);       б) 2/3 • (- 5/7);  в) — 3/7 : (- 4/5); г) 3/5 : (- 2/3);
        д) — 15/16 • (- 48/25); е) — 5/3 : 25/27; ж) — 3/4 • (- 4/5); з) — 2/3 : (- 4/5).

а) — 3/5 • (- 2/5) = 3•2/5•5 = 6/25;

б) 2/3 • (- 5/7) = — 2•5/3•7 = — 10/21;

в) — 3/7 : (- 4/5) = — 3/7 • (- 5/4) = 3•5/7•4 = 15/28;

г) 3/5 : (- 2/3) = 3/5 • (- 3/2) = — 3•3/5•2 = — 9/10;

д) — 15/16 • (- 48/25) = 15•48/16•25 = 3•3/1•5 = 9/5 = 1 4/5;

е) — 5/3 : 25/27 = — 5/3 • 27/25 = — 5•27/3•25 = — 1•9/1•5 = — 9/5 = -1 4/5;

ж) — 3/4 • (- 4/5) = 3•4/4•5 = 3•1/1•5 = 3/5;

з) — 2/3 : (- 4/5) = — 2/3 • (- 5/4) = 2•5/3•4 = 1•5/3•2 = 5/6.

541. Найдите число х, для которого верно равенство:
а) х • 3/5 = — 4/15; б) — 2/3 • х = 4/7; в) х : 1/2 = — 1/4; г) 2/7 : х = — 22/21.

а) х = — 4/15 : 3/5 = — 4/15 • 5/3 = — 4•5/15•3 = — 4•1/3•3 = — 4/9;

б) х = 4/7 : (- 2/3) = 4/7 • (- 3/2) = — 4•3/7•2 = — 2•3/7•1 = — 6/7;

в) х = — 1/4 • 1/2 = — 1•1/4•2 = — 1/8;

г) х = 2/7 : (- 22/21) = 2/7 • (- 21/22) = — 2•21/7•22 = — 1•3/1•11 = — 3/11.

542. Вычислите:
а) (-2/3)3;   б) (3/-4)2;   в) (1/-10)3;  г) (-5/6)2; д) (- 6/7)2;
е) (- 3/4)3; ж) (- 3/10)4; з) (- 1/2)5; и) (- 1/3)3.

а) (-2/3)3 = -2•(-2)•(-2)/3•3•3 = — 8/27;

б) (3/-4)2 = 3•3/-4•(-4) = 9/16;

в) (1/-10)3 = 1•1•1/-10•(-10)•(-10) = — 1/1000;

г) (-5/6)2 = -5•(-5)/6•6 = 25/36;

д) (- 6/7)2 = 6•6/7•7 = 36/49;

е) (- 3/4)3 = — 3•3•3/4•4•4 = — 27/64;

ж) (- 3/10)4 = 3•3•3•3/10•10•10•10 = 81/10000;

з) (- 1/2)5 = — 1•1•1•1•1/2•2•2•2•2 = — 1/32;

и) (- 1/3)3 = — 1•1•1/3•3•3 = — 1/27.

543. Положительным или отрицательным числом является степень отрицательной дроби:
а) с чётным показателем; б) с нечётным показателем?

а) положительным;
б) отрицательным.

Определите порядок действий, вычислите (544-546):

544. а) (- 1/2)2 — 1/2; б) 1/3 — (- 1/3)2; в) (- 1/3)3 — 1/9; г) 1/2 — (- 1/2)3.

а) (- 1/2)2 — 1/2 = — 1/4;

1) (- 1/2)2 = (-1/2)2 = -1•(-1)/2•2 = 1/4,

2) 1/4 — 1/2 = 1/4 — 2/4 = 1-2/4 = -1/4 = — 1/4,

б) 1/3 — (- 1/3)2 = 2/9;

1) (- 1/3)2 = (-1/3)2 = -1•(-1)/3•3 = 1/9,

2) 1/3 — 1/9 = 3/9 — 1/9 = 3-1/9 = 2/9,

в) (- 1/3)3 — 1/9 = — 4/27;

1) (- 1/3)3 = (-1/3)3 = -1•(-1)•(-1)/3•3•3 = -1/27,

2) -1/27 — 1/9 = -1/27 — 3/27 = -1-3/27 = -4/27 = — 4/27,

г) 1/2 — (- 1/2)3 = 5/8.

1) (- 1/2)3 = (-1/2)3 = -1•(-1)•(-1)/2•2•2 = -1/8,

2) 1/2 — -1/8 = 4/8 — -1/8 = 4-(-1)/8 = 5/8.

545. а) 1/2 • (- 2/3) + (- 1/2)2; б) — 3/4 • 12/7 — (- 1/7)2;
        в) — 1/3 • 6/5 — 5/6 • 3/25; г) 3/10 • (- 5/6) + 2/3 • (- 3/8).

а) 1/2 • (- 2/3) + (- 1/2)2 = — 1/12;

1) (- 1/2)2 = (-1/2)2 = -1•(-1)/2•2 = 1/4,

2) 1/2 • (- 2/3) = — 1•2/2•3 = — 1•1/1•3 = — 1/3,

3) — 1/3 + 1/4 = -4/12 + 3/12 = -4+3/12 = -1/12 = — 1/12,

б) — 3/4 • 12/7 — (- 1/7)2 = — 1 15/49;

1) (- 1/7)2 = (-1/7)2 = -1•(-1)/7•7 = 1/49,

2) — 3/4 • 12/7 = — 3•12/4•7 = — 3•3/1•7 = — 9/7,

3) — 9/7 — 1/49 = -63/49 — 1/49 = -63-1/49 = -64/49 = — 1 15/49,

в) — 1/3 • 6/5 — 5/6 • 3/25 = — 1/2;

1) — 1/3 • 6/= — 1•6/3•5 = — 1•2/1•5 = — 2/5,

2) 5/6 • 3/25 5•3/6•25 = 1•1/2•5 = 1/10,

3) — 2/5 — 1/10 = — 4/10 — 1/10 = -4-1/10 = -5/10 = — 1/2,

г) 3/10 • (- 5/6) + 2/3 • (- 3/8) = — 1/2.

1) 3/10 • (- 5/6) = — 3•5/10•6 = — 1•1/2•2 = — 1/4,

2) 2/3 • (- 3/8) = — 2•3/3•8 = — 1•1/1•4 = — 1/4,

3) — 1/4 + (- 1/4) = 1/4 + 1/4 = -1+(-1)/4 = -2/4 = — 1/2.

546. а) — 5/9 • (- 18/25) — 14/27 • (- 18/35); б) — 27/20 • (- 5/9) — 5/24 • (- 22/5);
        в) 21/20 • (- 8/21) + 7/72 • (- 36/5);    г) — 36/60 • (- 5/18) — (- 21/56) • (- 1/3).

а) — 5/9 • (- 18/25) — 14/27 • (- 18/35) = 2/3;

1) — 5/9 • (- 18/25) = 5•18/9•25 = 1•2/1•5 = 2/5,

2) 14/27 • (- 18/35) = — 14•18/27•35 = — 2•2/3•5 = — 4/15,

3) 2/5 — (- 4/15) = 6/15 + 4/15 = 6+4/15 = 10/15 = 2/3,

б) — 27/20 • (- 5/9) — 5/24 • (- 22/5) = 1 2/3;

1) — 27/20 • (- 5/9) = 27•5/20•9 = 3•1/4•1 = 3/4,

2) 5/24 • (- 22/5) = — 5•22/24•5 = — 1•11/12•1 = — 11/12,

3) 3/4 — (- 11/12) = 9/12 + 11/12 = 9+11/12 = 20/12 = 5/3 = 1 2/3,

в) 21/20 • (- 8/21) + 7/72 • (- 36/5) = — 1 1/10;

1) 21/20 • (- 8/21) = — 21•8/20•21 = — 1•2/5•1 = — 2/5,

2) 7/72 • (- 36/5) = — 7•36/72•5 = — 7•1/2•5 = — 7/10,

3) — 2/5 + (- 7/10) = -4/10 + -7/10 = -4+(-7)/10 = -11/10 = — 1 1/10,

г) — 36/60 • (- 5/18) — (- 21/56) • (- 1/3) = 1/24.

1) — 36/60 • (- 5/18) = 36•5/60•18 = 2•1/12•1 = 2/12 = 1/6,

2) (- 21/56) • (- 1/3) = 21•1/56•3 = 7•1/56•1 = 1•1/8•1 = 1/8,

3) 1/6 — 1/8 = 4/24 — 3/24 = 4-3/24 = 1/24.

107

Рациональные числа
Законы сложения и умножения

Ответы к стр. 107

547. Для рациональных чисел αb, и c запишите и сформулируйте:
а) переместительный закон сложения;
б) сочетательный закон сложения;
в) переместительный закон умножения;
г) сочетательный закон умножения;
д) распределительный закон.

а) от перестановки слагаемых сумма не меняется: α + b = b + α;

б) для того, чтобы к сумме двух чисел α и b прибавить третье число с, можно к числу α прибавить сумму чисел b и c: (α + b) + c = α + (b + с);

в) от перестановки множителей произведение не меняется: α • b = b • α;

г) для того чтобы произведение двух чисел α и b умножить на число c, можно число α умножить на произведение чисел b и c: (α • b) • c = α • (b • c);

д) для того чтобы сумму двух чисел α и b умножить на третье число с можно каждое из слагаемых α и b умножить на число с и полученные результаты сложить: (α + b) • c = α • c + b • с.

Вычислите, применяя законы сложения и умножения (548-550):

548. а) 80 • 359 • (-125);          б) 457 + 985 — 57;
        в) 45 • (-39) + 55 • (-39);   г) 76 • 45 — 26 • 45;
        д) 157 • (-13) — 17 • (-13); е) (-124) • 35 + 24 • 35.

а) 80 • 359 • (-125) = 359 • (80 • (-125)) = 359 • (-10 000) = -3 590 000;
б) 457 + 985 — 57 = (457 — 57) + 985 = 400 + 985 = 1385;
в) 45 • (-39) + 55 • (-39) = -39 • (45 + 55) = -39 • 100 = -3900;
г) 76 • 45 — 26 • 45 = 45 • (76 — 26) = 45 • 50 = 2250;
д) 157 • (-13) — 17 • (-13) = -13 • (157 − 17) = -13 • 140 = -1820;
е) (-124) • 35 + 24 • 35 = 35 • (-124 + 24) = 35 • (-100) = -3500.

549. а) 4/15 + 5/36 + 11/15 + 31/36; б) 7/25 + 32/33 — 7/25;
        в) 39/40 • 124/125 : 124/125;    г) 4/35 • 17/18 + 17/18 • 31/35;
        д) 45/46 • 49/51 — 45/46 • 3/51; е) 72/73 • 34/65 + 72/73 • 39/65.

а) 4/15 + 5/36 + 11/15 + 31/36 = (4/15 + 11/15) + (5/36 + 31/36) = 15/15 + 36/36 = 1 + 1 = 2;

б) 7/25 + 32/33 — 7/25 = (7/25 — 7/25) + 32/33 = 0 + 32/33 = 32/33;

в) 39/40 • 124/125 : 124/125 = 39/40 • 124/125 • 125/124 = 39/40 • (124/125 • 125/124) = 39/40 • 1 = 39/40;

г) 4/35 • 17/18 + 17/18 • 31/35 = 17/18 • (4/35 + 31/35) = 17/18 • 35/35 = 17/18 • 1 = 17/18;

д) 45/46 • 49/51 — 45/46 • 3/51 = 45/46 • (49/51 — 3/51) = 45/46 • 46/51 = 45•46/46•51 = 15•1/1•17 = 15/17;

е) 72/73 • 34/65 + 72/73 • 39/65 = 72/73 • (34/65 + 39/65) = 72/73 • 73/65 = 72•73/73•65 = 72•1/1•65 = 72/65 = 1 7/65.

108

Рациональные числа
Законы сложения и умножения

Ответы к стр. 108

Вычислите, применяя законы сложения и умножения (548-550):

550. а) 23•35+38•35/17•61+18•61; б) 49•99+28•99/12•154+21•154;
        в) 75•27+75•37/37•48-12•48;  г) 679•846+679•54/679•846-679•46.

а) 23•35+38•35/17•61+18•61 = 35•(23+38)/61•(17+18) = 35•61/61•35 = 1•1/1•1 = 1;

б) 49•99+28•99/12•154+21•154 = 99•(49+28)/154•(12+21) = 99•77/154•33 = 3•1/2•1 = 3/2 = 1 1/2;

в) 75•27+75•37/37•48-12•48 = 75•(27+37)/48•(37-12) = 75•64/48•25 = 3•8/6•1 = 24/6 = 4;

г) 679•846+679•54/679•846-679•46 = 679•(846+54)/679•(846-46) = 679•900/679•800 = 1•9/1•8 = 9/8 = 1 1/8.

Вычислите (551-555):

551. а) — 7/25 — 11/25 — 2/25;   б) — 1/72 — 7/72 — 18/72;
        в) — 19/55 — 18/55 + 4/55; г) 25/64 — 17/64 — 15/64.

а) — 7/25 — 11/25 — 2/25 = -7-11-2/25 = -20/25 = — 4/5;

б) — 1/72 — 7/72 — 18/72 = -1-7-18/72 = -26/72 = — 13/36;

в) — 19/55 — 18/55 + 4/55 = -19-18+4/55 = -33/55 = — 3/5;

г) 25/64 — 17/64 — 15/64 = 25-17-15/64 = -7/64 = — 7/64.

552. а) — 1/5 + 6/25 — 8/25; б) — 1/7 + 2/21 — 3/7;
        в) — 8/49 — 5/7 — 9/49;  г) 7/10 — 4/15 — 11/30.

а) — 1/5 + 6/25 — 8/25 = — 5/25 + 6/25 — 8/25 -5+6-8/25 = -7/25 = — 7/25;

б) — 1/7 + 2/21 — 3/= — 3/21 + 2/21 — 9/21 = -3+2-9/21 = -10/21 = — 10/21;

в) — 8/49 — 5/7 — 9/49 = — 8/49 — 35/49 — 9/49 = -8-35-9/49 = -52/49 = -1 3/49;

г) 7/10 — 4/15 — 11/30 21/30 — 8/30 — 11/30 21-8-11/30 = 2/30 = 1/15.

553. а) — 33/80 + (3/16 — 39/80); б) 2/45 + (- 3/45 + 7/9); в) 7/15 — (4/15 — 1/5);
        г) — 5/16 — (1/16 — 7/8);       д) — 1/27 + (7/9 — 2/3);   е) (- 2/15 — 4/5) + 3/10;
        ж) (- 2/15 + 4/5) — 3/10;     з) -(5/8 — 5/12) + 1/24.

а) — 33/80 + (3/16 — 39/80) = — 33/80 + 15/80 — 39/80 = -33+15-39/80 = — 57/80;

б) 2/45 + (- 3/45 + 7/9) = 2/45 — 3/45 + 35/45 = 2-3+35/45 = 34/45;

в) 7/15 — (4/15 — 1/5) = 7/15 — 4/15 + 3/15 = 7-4+3/15 = 6/15 = 2/5;

г) — 5/16 — (1/16 — 7/8) = — 5/16 — 1/16 + 14/16 = -5-1+14/16 = 8/16 = 1/2;

д) — 1/27 + (7/9 — 2/3) = — 1/27 + 21/27 — 18/27 = -1+21-18/27 = 2/27;

е) (- 2/15 — 4/5) + 3/10 = — 4/30 — 24/30 + 9/30  -4-24+9/30 = — 19/30;

ж) (- 2/15 + 4/5) — 3/10 = — 4/30 + 24/30 — 9/30  -4+24-9/30 = 11/30;

з) -(5/8 — 5/12) + 1/24 = — 15/24 + 10/24 + 1/24 -15+10+1/24 = — 4/24 = — 1/6.

554. а) 3/8 — 2/7 + 5/8 — 5/7;             б) 11/14 — 7/10 — 21/100 — 13/14;
        в) — 12/19 — 15/26 + 3/19 + 9/19; г) 2/7 — 5/9 — 4/9 — 4/7.

а) 3/8 — 2/7 + 5/8 — 5/= (3/8 + 5/8) — (2/7 + 5/7) = 8/8 — 7/7 = 1 — 1 = 0;

б) 11/14 — 7/10 — 21/100 — 13/14 = (11/14 — 13/14) — (7/10 + 21/100) = — 2/14 — (70/100 + 21/100) = — 1/7 — 91/100 = —100-637/700 = — 737/700 = -1 37/700;

в) — 12/19 — 15/26 + 3/19 + 9/19 = (- 12/19 + 3/19 + 9/19) — 15/26 = 0 — 15/26 = — 15/26;

г) 2/7 — 5/9 — 4/9 — 4/= (2/7 — 4/7) — (5/4/9) = — 2/7 — 9/9 = — 2/7 — 1 = — 1 2/7.

555. а) 2 • (1/4 — 1/2); б) (1/9 — 1/3) • (-3); в) 1/2 • (2/3 — 2/5); г) — 1/3 • (3/4 — 3/5).

а) 2 • (1/4 — 1/2) = 2 • (1/4 — 2/4) = 2 • (- 1/4) = — 2/4 = — 1/2;

б) (1/9 — 1/3) • (-3) = (1/9 — 3/9) • (-3) = — 2/9 • (-3) = 6/9 = 2/3;

в) 1/2 • (2/3 — 2/5) = 1/2 • (10/15 — 6/15) = 1/2 • 4/15 = 1•4/2•15 = 1•2/1•15 = 2/15;

г) — 1/3 • (3/4 — 3/5) = — 1/3 • (15/20 — 12/20) = — 1/3 • 3/20 = — 1•3/3•20 = — 1•1/1•20 = — 1/20.

556. Определите знак произведения:
а) (-1) • (- 2/3) • (- 7/13);    б) (- 1/3) • 1/2 • (-1) • (-7/-9);
в) (- -8/9) • (- 5/-9) • (- 1/5); г) (- -1/-5) • (- 1/4) • 1/5 • (-8/7).

а) (-1) • (- 2/3) • (- 7/13) = — 1•2•7/3•13 — нечётное число знаков «-» в выражении;

б) (- 1/3) • 1/2 • (-1) • (-7/-9) = 1•1•1•7/3•2•9 — чётное число знаков «-» в выражении;

в) (- -8/9) • (- 5/-9) • (- 1/5) = — 8•5•1/9•9•5 — нечётное число знаков «-» в выражении;

г) (- -1/-5) • (- 1/4) • 1/5 • (-8/7) = — 1•1•1•8/5•4•5•7 — нечётное число знаков «-» в выражении.

557. Вычислите:
а) (- 2/3) • (- 1/2) • 3/4; б) (- 4/5) • (- 3/4) • (- 1/2).

а) (- 2/3) • (- 1/2) • 3/4 = 2•1•3/3•2•4 = 1•1•1/1•1•4 = 1/4;

б) (- 4/5) • (- 3/4) • (- 1/2) = — 4•3•1/5•4•2 = — 1•3•1/5•1•2 = — 3/10.

558. Сколько отрицательных множителей может содержать произведение, чтобы оно было: а) положительным; б) отрицательным?

а) чётное количество отрицательных множителей;
б) нечётное количество отрицательных множителей.

109

Ответы к стр. 109

559. а) Произведение пяти множителей — положительное число. Можно ли утверждать, что все множители — положительные числа?
б) Произведение четырёх множителей — положительное число. Можно ли утверждать, что все множители — положительные числа?

а) Произведение положительных чисел есть число положительное, но кроме пяти положительных множителей есть следующие варианты для получения в произведении положительного числа: два множителя — отрицательные числа, три множителя — положительные числа; четыре множителя — отрицательные числа, один множитель — положительное число.
б) Произведение положительных чисел есть число положительное, но кроме четырёх положительных множителей есть следующие варианты для получения в произведении положительного числа: два множителя — отрицательные числа, два множителя — положительные числа; четыре множителя — отрицательные числа.

Доказываем

560. Сформулируйте и докажите свойства деления рациональных чисел, которые выражаются следующими равенствами:
а) α : b = (α • n) : (b • n); б) α : b = (α : n) : (b : n);
в) (α + b) : n = α : n + b : n, где b ≠ 0 и n ≠ 0.

а) если делимое и делитель умножить на одно и то же число, то частное не изменится: α : b = (α • n: (b • n) = α•n/bn = α•1/b1 = α/b = α : b;

б) если делимое и делитель разделить на одно и то же число, то частное не изменится: α : b = (α : n: (b : n) = α/n : b/n = α/n • n/b = α•n/nb = α•1/1•b = α/b = α : b;

в) для того, чтобы сумму разделить на какое-либо число, можно каждое слагаемое разделить на это число и полученные результаты сложить: (α + b: n = α : n + b : n = α/n + b/n = α+b/n = (α + b: n.

Вычислите (561-563):

561. а) — 3/4 : 5/6 + 15/16 • 2/5 — 1 : 1/9;          б) 2 : (- 3/5) + 3/5 : 2 — 3/2 : 6 + 6 : 3/2;
        в) 11/4 : (2/5 — 3/2) + (3/4 + 5/6) : (- 25/8); г) (2/15 + 19/12) • 30/103 — (1 : 9/4) • (- 9/16).

а) — 3/4 : 5/6 + 15/16 • 2/5 — 1 : 1/= — 3/4 • 6/5 + 15•2/16•5 — 1 • 9/= — 3•6/4•5 3•1/8•1 — 9 = — 3•3/2•5 3/8 — 9 = — 9/10 + 3/— 9 = — 36/40 + 15/40 — 9 = — 21/40 — 9 = -9 21/40;

б) 2 : (- 3/5) + 3/5 : 2 — 3/2 : 6 + 6 : 3/= 2 • (- 5/3) + 3/5 • 1/2 — 3/2 • 1/6 + 6 • 2/3 = — 10/3 + 3/10 — 3/12 + 12/3 = — 200/60 + 18/60 — 15/60 + 4 = — 197/60 + 4 = -3 17/60 + 4 = 43/60;

в) 11/4 : (2/5 — 3/2) + (3/4 + 5/6: (- 25/8) = 11/4 : (4/10 — 15/10) + (9/12 + 10/12) • (- 8/25) = 11/4 : (- 11/10) + 19/12 • (- 8/25) = 11/4 • (- 10/11) — 19•8/12•25 = — 11•10/4•11 — 19•2/3•25 = — 1•5/2•1 — 38/75 = — 375/150 — 76/150 = — 451/150 = -3 1/150;

г) (2/15 + 19/12) • 30/103 — (1 : 9/4) • (- 9/16) = (8/60 + 95/60) • 30/103 — (1 • 4/9) • (- 9/16) = 103/60 • 30/103 — 4/9 • (- 9/16) = 103•30/60•103 + 4•9/9•16 = 1•1/2•1 + 1•1/1•4 = 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.

562. а) 8/• 7/24 — 8/9 • 5/24; б) 3/25 • (- 5/49) + 22/25 • (- 5/49).

а) 8/• 7/24 — 8/9 • 5/24 8/9 • (7/24 — 5/24) = 8/9 • 2/24 = 8/9 • 1/12 = 2•1/9•3 = 2/27;

б) 3/25 • (- 5/49) + 22/25 • (- 5/49) = — 5/49 • (3/25 + 22/25) = — 5/49 • 25/25 = — 5/49.

563. а) — 1/2 • (- 2/3) • (- 3/4) • (- 4/5); б) — 10/11 • (- 11/12) • (- 12/13) • (- 13/14) • (- 14/15).

а) — 1/2 • (- 2/3) • (- 3/4) • (- 4/5) = 1•2•3•4/2•3•4•5 = 1/5;

б) — 10/11 • (- 11/12) • (- 12/13) • (- 13/14) • (- 14/15) = — 10•11•12•13•14/11•12•13•14•15 = — 10/15 = — 2/3.

110

Рациональные числа
Смешанные дроби произвольного знака

Ответы к стр. 110

564. Представьте отрицательную неправильную дробь в виде отрицательной смешанной дроби:
а) — 4/3; б) — 13/5; в) — 41/15; г) — 45/16.

а) — 4/3 = -1 1/3;

б) — 13/5 = -2 3/5;

в) — 41/15 = -2 11/15;

г) — 45/16 = -2 13/16.

565. Запишите частное в виде обыкновенной или смешанной дроби:
а) -17 : (-18); б) 13 : (-25); в) -19 : (-5); г) 29 : (-15).

а) -17 : (-18) = 17/18;

б) 13 : (-25) = — 13/25;

в) -19 : (-5) = 19/5 = 3 4/5;

г) 29 : (-15) = — 29/15 = -1 14/15.

566. Сравните числа:
а) — 1/2 и -1 1/2;   б) — 3/2 и -1 1/4;
в) -1 1/5 и -1 1/6; г) — 12/11 и -1 1/13.

а) — 1/2 > -1 1/2, так как — 1 1/2 = — 3/2, а — 1/2 > — 3/2;

б) — 3/2 < -1 1/4, так как — 3/2 = — 6/4, -1 1/4 = — 5/4, а — 6/4 < — 5/4;

в) -1 1/5 < -1 1/6, так как -1 1/5 = — 6/5 = — 36/30, -1 1/6 = — 7/6 = — 35/30, а — 36/30 < — 35/30;

г) — 12/11 < -1 1/13, так как — 12/11 = — 156/143, -1 1/13 = — 14/13 = — 154/143, а — 156/143 < — 154/143.

111

Рациональные числа
Смешанные дроби произвольного знака

Ответы к стр. 111

Вычислите (567-571):

567. а) -3 2/5 + (-1 1/5);     б) -7 1/3 + (-1 2/3); в) -12 5/7 + (-4 4/7);
        г) -3 8/19 + (-1 11/19); д) -4 2/3 + (-1 1/3); е) (-8 2/3) + (-9 2/3).

а) -3 2/5 + (-1 1/5) = -(3 2/5 + 1 1/5) = -(4 + 3/5) = -4 3/5;

б) -7 1/3 + (-1 2/3) = -(7 1/3 + 1 2/3) = -(8 + 3/3) = -(8 + 1) = -9;

в) -12 5/7 + (-4 4/7) = -(12 5/7 + 4 4/7) = -(16 + 9/7) = -(16 + 1 2/7) = -17 2/7;

г) -3 8/19 + (-1 11/19) = -(3 8/19 + 1 11/19) = -(4 + 19/19) = -(4 + 1) = -5;

д) -4 2/3 + (-1 1/3) = -(4 2/3 + 1 1/3) = -(5 + 3/3) = -(5 + 1) = -6;

е) (-8 2/3) + (-9 2/3) = -(8 2/3 + 9 2/3) = -(17 + 4/3) = -(17 + 1 1/3) = — 18 1/3.

568. а) 18 5/9 + (-22 2/9); б) 25 3/4 + (-51 1/4); в) -6 2/9 + 1 2/3;
        г) 7 1/12 + (-8 3/4);    д) 18 5/6 + (-7 1/2);   е) 2 1/5 + (- 4/15).

а) 18 5/9 + (-22 2/9) = 18 5/9 — 22 2/9 = -(22 2/— 18 5/9) = -(4 2/— 5/9) = -(3 + 11/— 5/9) = -(3 + 6/9) = -3 2/3;

б) 25 3/4 + (-51 1/4) = 25 3/4 — 51 1/4 = -(51 1/— 25 3/4) = -(26 1/— 3/4) = -(25 + 5/— 3/4) = -(25 + 2/4) = -25 1/2;

в) -6 2/9 + 1 2/3 = -(6 2/9 — 1 2/3) = -(6 2/9 — 1 2/3) = -(5 2/9 — 2/3) = -(4 + 11/9 — 6/9) = -(4 + 5/9) = — 4 5/9;

г) 7 1/12 + (-8 3/4) = 7 1/12 — 8 3/4 = -(8 3/4 — 7 1/12) = -(1 3/4 — 1/12) = -(1 + 9/12 — 1/12) = — (1 + 8/12) = -1 2/3;

д) 18 5/6 + (-7 1/2) = 18 5/6 — 7 1/2 = 11 5/6 — 1/2 = 11 + 5/6 — 3/6 = 11 + 2/6 = 11 1/3;

е) 2 1/5 + (- 4/15) = 2 1/5 — 4/15 = 1 + 6/5 — 4/15 = 1 + 18/15 — 4/15 = 1 + 14/15 = 1 14/15.

569. а) -3 — 2 1/5; б) -8 + 2/13; в) -7 1/3 — 4; г) 4/17 — 15.

а) -3 — 2 1/5 = -(3 + 2 1/5) = -5 1/5;

б) -8 + 2/13 = -(8 — 2/13) = -(7 + 13/13 — 2/13) = -(7 + 11/13) = -7 11/13;

в) -7 1/3 — 4 = -(7 1/3 + 4) = -11 1/3;

г) 4/17 — 15 = -(15 — 4/17) = -(14 + 17/17 — 4/17) = -(14 + 13/17) = -14 13/17.

570. а) 1 1/3 — 3 2/3;   б) 7 2/5 — (-1 1/5); в) -6 3/7 + 1 2/7;
        г) 7 2/9 — 9 8/9;   д) 4 1/2 — 8 1/3;     е) 6 9/10 — 12 1/100;
        ж) -4 2/5 — 1 1/2; з) -5 1/3 — 8 2/9;    и) -2 1/5 — 14 1/10.

а) 1 1/3 — 3 2/= -(3 2/— 1 1/3) = -(2 2/— 1/3) = -2 1/3;

б) 7 2/5 — (-1 1/5) = 7 2/5 + 1 1/5 = 8 + 3/5 = 8 3/5;

в) -6 3/7 + 1 2/7 = -(6 3/7 — 1 2/7) = -(5 3/7 — 2/7) = -(5 + 3/7 — 2/7) = -(5 + 1/7) = -5 1/7;

г) 7 2/9 — 9 8/9 = -(9 8/9 — 7 2/9) = -(2 8/9 — 2/9) = -(2 + 8/9 — 2/9) = -(2 + 6/9) = -2 2/3;

д) 4 1/2 — 8 1/3 = -(8 1/3 — 4 1/2) = -(4 1/3 — 1/2) = -(3 + 4/3 — 1/2) = -(3 + 8/6 — 3/6) = -(3 + 5/6) = -3 5/6;

е) 6 9/10 — 12 1/100 = -(12 1/100 — 6 9/10) = -(6 1/100 — 9/10) = -(5 + 101/100 — 90/100) = -(5 + 11/100) = -5 11/100;

ж) -4 2/5 — 1 1/2 = -(4 2/5 + 1 1/2) = -(5 + 2/5 + 1/2) = -(5 + 4/10 + 5/10) = -(5 + 9/10) = -5 9/10;

з) -5 1/3 — 8 2/9 = -(5 1/3 + 8 2/9) = -(13 + 1/3 + 2/9) = -(13 + 3/9 + 2/9) = -(13 + 5/9) = -13 5/9;

и) -2 1/5 — 14 1/10 = -(2 1/5 + 14 1/10) = -(16 + 1/5 + 1/10) = -(16 + 2/10 + 1/10) = -(16 + 3/10) = -16 3/10.

571. а) 1/2 — 1/3 + 1/7 — 2 1/3; б) 7/9 — 2/3 — 3 1/6 — 1.

а) 1/2 — 1/3 + 1/7 — 2 1/1/2 + 1/7 — 1/3 — 2 1/= (7/14 + 2/14) — (1/3 + 7/3) = 9/14 — 8/3 = -(8/3 — 9/14) = -(112/42 — 27/42) = — 85/42 = -2 1/42;

б) 7/9 — 2/3 — 3 1/6 — 1 = (7/9 — 2/3) — (3 1/6 + 1) = (7/9 — 6/9) — (19/6 + 6/6) = 1/9 — 25/6 = -(25/6 — 1/9) = -(75/18 — 2/18) = — 73/18 = -4 1/18.

572. Вычислите по образцу:
а) -4 1/2 + 5 3/7 + 4/7 = -4 1/2 + (5 3/7 + 4/7) = -4 1/2 + 6 = 6 — 4 1/2 = 1 1/2;
б) -1 1/3 + 8 1/2 + 1/3; в) 3 2/5 — 7 1/2 + 2 3/5;
г) -5/9 + 2 1/3 + 1 2/3;  д) 7/15 — 2 — 1/5.

б) -1 1/3 + 8 1/2 + 1/= (-1 1/3 + 1/3) + 8 1/2 = -1 + 8 1/2 = 8 1/2 — 1 = 7 1/2;

в) 3 2/5 — 7 1/2 + 2 3/= (3 2/5 + 2 3/5) — 7 1/2 = 6 — 7 1/2 = -(7 1/2 — 6) = -1 1/2;

г) -5/9 + 2 1/3 + 1 2/3 = — 5/9 + (2 1/3 + 1 2/3) = — 5/9 + 4 = 4 — 5/9 = 3 4/9;

д) 7/15 — 2 — 1/= (7/15 — 1/5) — 2 = (7/15 — 3/15) — 2 = 4/15 — 2 = -(2 — 4/15) = -1 11/15.

573. Упростите выражение, раскрывая скобки по образцу:
а) 7 1/2 + (3 2/3 — 2 1/2) = 7 1/2 + 3 2/3 — 2 1/2 = 5 + 3 2/3 = 8 2/3;
б) 8 3/5 — (7 1/3 — 11 2/5) = 8 3/5 — 7 1/3 + 11 2/5 = 20 — 7 1/3 = 12 2/3;
в) 5/12 + (1 1/2 — 5/12);     г) 2 — (2/5 — 7 1/2);
д) 4 2/7 — (7 1/2 + 4 2/7); е) 9 7/9 — (2 1/2 — 2/9).

в) 5/12 + (1 1/2 — 5/12) =  5/12 + 1 1/2 — 5/12 = 0 + 1 1/2 = 1 1/2;

г) 2 — (2/5 — 7 1/2) = 2 — 2/5 + 7 1/2 = 9 1/2 — 2/5 = 9 5/10 — 4/10 = 9 1/10;

д) 4 2/7 — (7 1/2 + 4 2/7) = 4 2/7 — 7 1/2 — 4 2/7 = 0 — 7 1/2 = -7 1/2;

е) 9 7/9 — (2 1/2 — 2/9) = 9 7/9 — 2 1/2 + 2/9 = 10 — 2 1/2 = 7 1/2.

112

Ответы к стр. 112

Вычислите (574-577)

574. Вычислите

а) $2\frac12\ast\frac2{-75}=-\frac52\ast\frac2{75}=-\frac{1\ast1}{1\ast15}=-\frac1{15}$

б) $1\frac13\ast\frac{-9}{16}=-\frac43\ast\frac9{16}=-\frac{1\ast3}{1\ast4}=-\frac34$

в) $3\frac13\ast\frac{-7}{-100}=\frac{10}3\ast\frac7{100}=\frac{1\ast7}{3\ast10}=\frac7{30}$

г) $\frac{-5}9\ast4\frac12=-\frac59\ast\frac92=-\frac{5\ast1}{1\ast2}=-\frac52=-2\frac12$

д) $-\frac35\ast1\frac14=-\frac35\ast\frac54=-\frac{3\ast1}{1\ast4}=-\frac34$

е) $3\frac14\ast(-\frac{24}{39})=-\frac{13}4\ast\frac{24}{39}=-\frac{1\ast6}{1\ast3}=-\frac63=-2$

ж) $-\frac34\ast2\frac15=-\frac34\ast\frac{11}5=-\frac{3\ast11}{4\ast5}=-\frac{33}{20}=-1\frac{13}{20}$

з) $2\frac17\ast(-\frac{14}{15})=-\frac{15}7\ast\frac{14}{15}=-\frac{1\ast2}{1\ast1}=-2$

и) $3\frac17\ast(-\frac5{11})=-\frac{22}7\ast\frac5{11}=-\frac{2\ast5}{7\ast1}=-\frac{10}7=-1\frac17$

575. Вычислите

а) $-\frac13\ast(-1)=\frac13$

б) $-1\ast\frac35=-\frac35$

в) $-1\ast(-1\frac12)=1\frac12$

г) $-3\frac15\ast(-1)=3\frac15$

д) $-2\ast\frac34=-\frac{2\ast3}4=-\frac64=-\frac32=-1\frac12$

е) $-1\frac12\ast(-4)=\frac{3\ast4}2=\frac{3\ast2}1=6$

ж) $-5\ast\frac{-3}{10}=\frac{5\ast3}{10}=\frac{1\ast3}2=\frac32=1\frac12$

з) $-9\ast(-1\frac16)=-9\ast(-\frac76)=\frac{9\ast7}6=\frac{3\ast7}2=\frac{21}2=10\frac12$

576. Вычислите

а) $(-1\frac13)\ast\frac9{10}=(-\frac43)\ast\frac9{10}=-\frac{4\ast9}{3\ast10}=-\frac{2\ast3}{1\ast5}=-\frac{2\ast3}{1\ast5}=-\frac65=-1\frac15$

б) $(-\frac27)\ast3\frac12=(-\frac27)\ast\frac72=-\frac{7\ast2}{7\ast2}=-\frac{1\ast1}{1\ast1}=-1$

в) $(-5\frac12)\ast(-\frac{32}{33})=(-\frac{11}2)\ast(-\frac{32}{33})=\frac{11\ast32}{2\ast33}=\frac{1\ast16}{1\ast3}=\frac{16}3=5\frac13$

г) $4\frac16\ast(-\frac{24}{25})=\frac{25}6\ast(-\frac{24}{25})=-\frac{25\ast24}{6\ast25}=-\frac{24}6=-4$

577. Вычислите

а) $(-5)\ast\frac23=-\frac{5\ast2}3=-\frac{10}3=-3\frac13$

б) $7\ast(-1\frac12)=7\ast(-\frac32)=-\frac{7\ast3}2=-\frac{21}2=-10\frac12$

в) $(-3)\ast(-1\frac14)=(-3)\ast(-\frac54)=\frac{3\ast5}4=\frac{15}4=3\frac34$

г) $(-2\frac34)\ast(-1\frac17)=(-\frac{11}4)\ast(-\frac87)=\frac{11\ast8}{4\ast7}=\frac{11\ast8}{4\ast7}=\frac{22}7=3\frac17$

д) $(-1\frac13)\ast2\frac25=-\frac43\ast\frac{12}5=-\frac{4\ast12}{3\ast5}=-\frac{16}5=-3\frac15$

е) $4\frac12\ast(-5\frac13)=\frac92\ast-\frac{16}3=-\frac{9\ast16}{2\ast3}=-3\ast8=-24$

578. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

а) 1) $-1\frac13\ast\frac12=-\frac43\ast\frac12=-\frac{4\ast1}{3\ast2}=-\frac46=-\frac23;$
    2) $(-\frac25)\ast2\frac12=(-\frac25)\ast\frac52=-\frac{2\ast5}{5\ast2}=-1;$
    3) $-1\ast-\frac23=\frac23.$

б) 1) $5\frac13\ast(-\frac34)=\frac{16}3\ast(-\frac34)=-\frac{16\ast3}{3\ast4}=-4;$
    2) $(-\frac27)\ast(-4)=\frac{2\ast4}7=\frac87;$
    3) $\frac87\ast\frac79=\frac89.$

в) 1) $\frac92\ast(-1\frac15)=\frac92\ast(-\frac65)=-\frac{9\ast6}{2\ast5}=-\frac{27}5;$
    2) $\frac29\ast(-\frac{27}5)=-\frac{2\ast27}{9\ast5}=-\frac{2\ast27}{9\ast5}=-\frac{2\ast3}{1\ast5}=-\frac65;$
    3) $-\frac65\ast(-2)=\frac{6\ast2}5=\frac{12}5=2\frac25.$

г) 1) $3\frac13\ast2\frac14=\frac{10}3\ast\frac94=\frac{10\ast9}{3\ast4}=\frac{5\ast3}{1\ast2}=\frac{15}2;$
    2) $(-\frac12)\ast\frac45=-\frac{1\ast4}{2\ast5}=-\frac25;$
    3) $\frac{15}2\ast(-\frac25)=-3.$

579. Вычислите

а) $2\frac13\ast(-\frac79)\ast\frac97=2\frac13\ast(-1)=-2\frac13;$

б) $(-\frac89)\ast2\frac4{17}\ast(-\frac98)=1\ast2\frac4{17}=2\frac4{17};$

в) $2\frac14\ast(-\frac23)\ast(-1\frac12)=2\frac14\ast(-\frac23)\ast(-\frac32)=2\frac14\ast1=2\frac14;$

г) $(-\frac45)\ast(2\frac12\ast(-1\frac13))=(-\frac45)\ast(\frac52\ast(-\frac43))=(-\frac45)\ast(-\frac{5\ast4}{2\ast3})=(-\frac45)\ast(-\frac{10}3)=\frac83=2\frac23;$

д) $5\frac79\ast(-\frac89)\ast(-2\frac14)=\frac{52}9\ast(-\frac89)\ast(-\frac94)=\frac{52}9\ast\frac{8\ast9}{9\ast4}=\frac{52}9\ast2=\frac{52\ast2}9=\frac{104}9=11\frac59;$

е) $4\frac15\ast(3\frac12\ast(-\frac57))=\frac{21}5\ast(\frac72\ast(-\frac57))=\frac{21}5\ast(-\frac52)=-\frac{21}2=-10\frac12.$

580. Докажите, что:
а) ( − 1/7 ) ∗ 8/9 ∗ 1 3/4 > 2/− 3 ∗ 2 1/41/6 ;
б) ( 7/127/18 ) ∗ ( − 6/7 ) < ( − 25/36 ) : 5/− 12− 1/11.

а) $(-\frac17)\ast\frac89\ast1\frac34=(-\frac12)\ast\frac89\ast\frac74=-\frac{1\ast8\ast7}{7\ast9\ast4}=-\frac{1\ast2\ast1}{1\ast9\ast1}=-\frac29=-\frac8{36}$
    $\frac2{-3}\ast2\frac14\ast\frac16=\frac2{-3}\ast\frac94\ast\frac16=-\frac{2\ast9\ast1}{3\ast4\ast6}=-\frac{1\ast1\ast1}{1\ast4\ast1}=-\frac14=-\frac9{36}$
    $-\frac8{36}>-\frac9{36};$

б) $(\frac7{12}-\frac7{18})\ast(-\frac67)=\frac{21-14}{36}\ast(-\frac67)=\frac7{36}\ast(-\frac67)=-\frac16=-\frac{33}{198}$
    $(-\frac{25}{36}):\frac5{-12}\ast\frac{-1}{11}=(-\frac{25}{36})\ast\frac{-12}5\ast\frac{-1}{11}=-\frac{25\ast12\ast1}{36\ast5\ast11}=-\frac{5\ast1\ast1}{3\ast1\ast11}=-\frac5{33}=-\frac{30}{198}$
    $-\frac{33}{198}<-\frac{30}{198}$

113

Ответы к стр. 113

581. Не проводя вычислений, сравните результат с нулём, а затем вычислите:
а) 5 1/2 ∗ ( − 1/4 ) ;
б) − 3/7 ∗ 2 1/3 ;
в) ( − 7/9 ) ∗ − 8/5 ;
г) − 8 /− 9− 3 /− 7− 7 /− 8 ;
д) ( − 1/2 ) : ( − 7 ) : ( − 3 ) ;
е) ( − 4/5 ) 2 .

а) 5 1/2 ∗ ( − 1/4 ) < 0 ;
5 1/2 ∗ ( − 1/4 ) = 11/2 ∗ ( − 1/4 ) = − 11 ∗ 1/2 ∗ 4 = − 11/8 = − 1 3/8 ;

б) − 3/7 ∗ 2 1/3 < 0 ;
− 3/7 ∗ 2 1/3 = − 3/77/3 = − 1 ;

в) ( − 7/9 ) ∗ − 8/5 > 0 ;
( − 7/9 ) ∗ − 8/5 = 7 ∗ 8/9 ∗ 5 = 56/45 = 1 11/45 ;

г) − 8/− 9− 3/− 7− 7/− 8 > 0 ;
− 8/− 9− 3/− 7− 7/− 8 = 8 ∗ 3 ∗ 7/9 ∗ 7 ∗ 8 = 3/9 = 1/3 ;

д) ( − 1/2 ) : ( − 7 ) : ( − 3 ) < 0 ;
( − 1/2 ) : ( − 7 ) : ( − 3 ) = ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/7 ) : ( − 1/3 ) = − 1 ∗ 1 ∗ 1/2 ∗ 7 ∗ 3 = − 1/42 ;

е) ( − 4/5 ) 2 > 0 ;
( − 4/5 ) 2 = ( − 4/5 ) ∗ ( − 4/5 ) = 16/25 .

582. Определите без вычислений, значение какого выражения больше:
а) 4 1/2 ∗ ( − 7/5 ) ∗ ( − 3/19 ) или 5 7/9 : ( − 4/17 ) : 8/13 ;
б) ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/3 ) ∗ ( − 1/4 ) или ( − 1/4 ) : ( − 1/2 ) : 1/3 ;
в) ( − 1 1/3 ) ∗ ( − 2 2/7 ) ∗ ( − 3 3/5 ) или ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/10 ) ∗ ( − 1/100 )

а) 4 1/2 ∗ ( − 7/5 ) ∗ ( − 3/19 ) > 5 7/9 : ( − 4/17 ) : 8/13, так как значение первого выражения положительное (содержит четное количество отрицательных множителей), а значение второго выражения отрицательное (содержит нечетное количество отрицательных множителей)

б) ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/3 ) ∗ ( − 1/4 ) < ( − 1/4 ) : ( − 1/2 ) : 1/3, так как значение первого выражения отрицательное (содержит нечетное количество отрицательных множителей), а значение второго выражения положительное (содержит четное количество отрицательных множителей)

в) ( − 1 1/3 ) ∗ ( − 2 2/7 ) ∗ ( − 3 3/5 ) < ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/10 ) ∗ ( − 1/100 ), так как первое выражение содержит целые части, а значит модуль результата первого произведения будет больше модуля результата второго произведения, а так как результаты обоих произведений будут отрицательными, то результат второго выражения будет больше результата второго выражения.

583. Вычислитель степень, предварительно указав основание и показатель степени:
а) ( − 1/2 ) 2 ;
б) ( − 1/2 ) 3 ;
в) ( − 1/3 ) 2 ;
г) ( − 1/3 ) 3 .

а) − 1/2 − основание степени, 2 − показатель степени,
( − 1/2 ) 2 = ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) = 1/4 ;

б) − 1/2 − основание степени, 3 − показатель степени,
( − 1/2 ) 3 = ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) = − 1/8 ;

в) − 1/3 − основание степени, 2 − показатель степени,
( − 1/3 ) 2 = ( − 1/3 ) ∗ ( − 1/3 ) = 1/9 ;

г) − 1/3 − основание степени, 3 − показатель степени,
( − 1/3 ) 3 = ( − 1/3 ) ∗ ( − 1/3 ) ∗ ( − 1/3 ) = − 1/27 .

584. Сравните с нулём, затем вычислите:
а) ( − 3/4 ) 3;
б) ( − 1/2 ) 5;
в) ( − 2/3 ) 4;
г) ( − 4/5 ) 3.

а) ( − 3/4 ) 3 < 0 , ( − 3/4 ) 3 = ( − 3/4 ) ∗ ( − 3/4 ) ∗ ( − 3/4 ) = − 3 ∗ 3 ∗ 3/4 ∗ 4 ∗ 4 = − 27/64
Ответ: ( − 3/4 ) 3 < 0 , − 27/64

б) ( − 1/2 ) 5 < 0 , ( − 1/2 ) 5 = ( − 9 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) ∗ ( − 1/2 ) = − 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1/2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = − 1/32
Ответ: ( − 1/2 ) 5 < 0 , − 1/32

в) ( − 2/3 ) 4 > 0 , ( − 2/3 ) 4 = ( − 2/3 ) ∗ ( − 2/3 ) ∗ ( − 2/3 ) ∗ ( − 2/3 ) = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2/3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 16/81
Ответ: ( − 2/3 ) 4 > 0 , 16/81

г) ( − 4/5 ) 3 < 0 , ( − 4/5 ) 3 = ( − 4/5 ) ∗ ( − 4/5 ) ∗ ( − 4/5 ) = − 4 ∗ 4 ∗ 4/5 ∗ 5 ∗ 5 = − 64/125

585. Вычислите:
а) 3 2/3 : − 11/12;
б) 8/15 : 16 − 25;
в) − 7/9 : 2 1/3;
г) − 9/− 16 : 1 13/32;
д) − 1 1/3 : 2/3;
е) 7/8 : ( − 1 5/8 );
ж) − 4/5 : ( − 1 1/5 );
з) − 4/3 : ( − 1 5/6 );
и) 4 : ( − 1 1/3 );
к) ( − 2 2/5 ) : 10;
л) − 6 : 3 3/5;
м) − 2 5/7 : ( − 38 ).

a) 3 2/3 : − 11/12 = 11/3 ∗ − 12/11 = − 12/3 = − 4
Ответ: −4

б) 8/15 : 16 − 25 = 8/15 ∗ − 25/16 = − 1 ∗ 5/3 ∗ 2 = − 5/6
Ответ: − 5/6

в) − 7/9 : 2 1/3 = − 7/9 : 7/3 = − 7/9 ∗ 3/7 = − 3/9 = − 1/3
Ответ: − 1/3

г) − 9 − 16 : 1 13/32 = 9/16 : 45/32 = 9/16 ∗ 32/45 = 1 ∗ 2/1 ∗ 5 = 2/5
Ответ: 2/5

д) − 1 1/3 : 2/3 = − 4/3 ∗ 3/2 = − 4/2 = − 2
Ответ: −2

е) 7/8 : ( − 1 5/8 ) = 7/8 : − 13/8 = 7/8 ∗ − 8 13 = − 7/13
Ответ: − 7 13

ж) − 4/5 : ( − 1 1/5 ) = − 4/5 : − 6/5 = − 4/5 ∗ − 5/6 = 4/6 = 2/3
Ответ: 2/3

з) − 4/3 : ( − 1 5/6 ) = − 4/3 : − 11/6 = − 4/3 ∗ − 6/11 = 4 ∗ 2/1 ∗ 11 = 8/11
Ответ: 8/11

и) 4 : ( − 1 1/3 ) = 4 : − 4/3 = 4 ∗ − 3/4 = − 1 ∗ 3/1 ∗ 1 = − 3
Ответ: −3

к) ( − 2 2/5 ) : 10 = − 12/5 ∗ 1/10 = − 6 ∗ 1/5 ∗ 5 = − 6/25
Ответ: − 6/25

л) − 6 : 3 3/5 = − 6 : 18/5 = − 6 ∗ 5/18 = − 1 ∗ 5/1 ∗ 3 = − 5/3 = − 1 2/3
Ответ: − 1 2/3

м) − 2/5/7 : ( − 38 ) = − 19/7 ∗ − 1/38 = 1 ∗ 1/7 ∗ 2 = 1/14
Ответ: 1/14

586. Вычислите:
а) 1 1/2 : ( − 1 1/6 ) ;
б) − 2 1/3 : ( − 1/5/6 ) ;
в) − 1 1/3 : 2/7/8 ;
г) − 2 1/8 : ( − 3 1/16 ) ;
д) 1 13/15 : ( − 1 2/5 ) ;
е) ( − 2 2/21 ) : ( − 1 4/7 ) .

а) 1 1/2 : ( − 1 1/6 ) = 3/2 : ( − 7/6 ) = 3/2 ∗ ( − 6/7 ) = − 3 ∗ 6/2 ∗ 7 = − 3 ∗ 3/1 ∗ 7 = − 9/7 = − 1 2/7 ;
б) − 2 1/3 : ( − 1 5/6 ) = − 7/3 : ( − 11/6 ) = − 7/3 ∗ ( − 6/11 ) = 7 ∗ 6/3 ∗ 11 = 7 ∗ 2/1 ∗ 11 = 14/11 = 1 3/11 ;
в) − 1 1/3 : 2 7/8 = − 4/3 : 23/8 = − 4/3 ∗ 8/23 = − 4 ∗ 8/3 ∗ 23 = − 32/69 ;
г) − 2 1/8 : ( − 3 1/16 ) = − 17/8 : ( − 49/16 ) = − 17/8 : ( − 16/49 ) = 17 ∗ 16/8 ∗ 49 = 17 ∗ 2/1 ∗ 49 = 34/49 ;
д) 1 13/15 : ( − 1 2/5 ) = 28 15 : ( − 7/5 ) = 28/15 ∗ ( − 5/7 ) = − 28 ∗ 5/15 ∗ 7 = − 4 ∗ 1/3 ∗ 1 = − 4/3 = − 1 1/3 ;
е) ( − 2 2/21 ) : ( − 1 4/7 ) = ( − 44/21 ) : ( − 11/7 ) = ( − 44/21 ) ∗ ( − 7/11 ) = 44 ∗ 7/21 ∗ 11 = 4 ∗ 1/3 ∗ 1 = 4/3 = 1 1/3 

114

Ответы к стр. 114

587.  Вычислите:

а) 7 2/9 ∗ 8 2/3 − 7 2/9 ∗ 6 2/3 = 7 2/9 ∗ ( 8 2/3 − 6 2/3 ) = 65/9 ∗ 2 = 130/9 = 14 4/9 ;
б) 12 35/44 ∗ 4 1/10 − 8 35/44 ∗ 4 1/10 = 4 1/10 ∗ ( 12 35/44 − 8 35/44 ) = 41/10 ∗ 4 = 41 ∗ 2/5 = 82/5 = 16/2/5 ;
в) 7 1/3 ∗ 2 1/5 + 7 1/3 ∗ 1 4/5 = 7 1/3 ∗ ( 2 1/5 + 1 4/5 ) = 22/3 ∗ 4 = 88/3 = 29 1/3 ;
г) ( − 3 1/9 ) ∗ 7 4/7 + ( − 3 1/9 ) ∗ ( − 2 3/7 ) = ( − 3 1/9 ) ∗ ( 7 4/7 + ( − 2 3/7 ) ) = ( − 28/9 ) ∗ 5 1/7 = ( − 28/9 ) ∗ 36/7 = − 28 ∗ 36/9 ∗ 7 = − 4 ∗ 4/1 ∗ 1 = − 16 ;
д) 2 6/7 ∗ 4 2/5 − 2 6/7 ∗ 4 = 2 6/7 ∗ ( 4 2/5 − 4 ) = 20/7 ∗ 2/5 = 20 ∗ 2/7 ∗ 5 = 4 ∗ 2/7 ∗ 1 = 8/7 = 1 1/7 ;
е) ( − 2 3/7 ) ∗ ( − 5 ) + 2 3/7 ∗ ( − 2 2/3 ) = 2 3/7 ∗ ( 5 − 2 2/3 ) = 17/7 ∗ 2 1/3 = 17/7 ∗ 7/3 = 17/3 = 5 2/3 .

588.  Вычислите:

а) 7 1/2 ∗ ( − 1/5 ) + ( − 1 2/3 ) ∗ ( − 9/10 ) − 17 29/30 = 15/2 ∗ ( − 1/5 ) + ( − 5/3 ) ∗ ( − 9/10 ) − 17 29/30 = − 3/2 + 3/2 − 17 29/30 = 0 − 17 29/30 = − 17 29/30 ;
б) ( − 2 13/25 ) : ( − 2 7/10 ) − 17 25/47 : ( − 17 25/47 ) − 4 3/5 = ( − 63/25 ) : ( − 27/10 ) + 1 − 4 3/5 = ( − 63/25 ) ∗ ( − 10/27 ) − 3 3/5 = 63 ∗ 10/25 ∗ 27 − 3 3/5 = 7 ∗ 2/5 ∗ 3 − 3 3/5 = 14/15 − 3 3/5 = 14/15 − 18/5 = 14 − 54/15 = − 40/15 = − 8/3 = − 2 2/3 .

117

Ответы к стр. 117

589. Где на координатной оси расположены точки, изображающие:
а) положительные дроби;
б) отрицательные дроби.

Ответ:
а) точки, изображающие положительные дроби, расположены на положительной полуоси.
б) точки, изображающие отрицательные дроби, расположены на отрицательной полуоси.

590. Если а и b − рациональные числа и а < b, то:
а) как расположены на координатной оси точки а и b координатной оси;
б) как найти расстояние между точками а и b координатной оси;
в) как найти координату середины отрезка между точками а и b координатной оси?

Ответ:
а) точка b расположена правее точки а;
б) b − a;
в) a + b/2.

591. Что называют средним арифметическим нескольких чисел? Приведите пример.

Ответ:
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Например:
(5 + 6 + 10 + 11) : 4 = 8.

592. Изобразите на координатной оси с единичным отрезком 8 см точки:
0 , 1/8 , 2/8 , 3/8 , 4/8 , 5/8 , 6/8 , 7/8 , 8/8 , 9/8 , 10/8 , 11/8 , 12/8 .

593. Изобразите на координатной оси точки:
0 , 1/6 , 2/6 , 3/6 , 4/6 , 5/6 , 6/6 , 7/6 , 8/6 , 9/6 , 10/6 , 11/6 , 12/6 .
Какой единичный отрезок удобно взять?

594. Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатной оси точки:
а) 0 , 1 , 2 , 3 , 1/2 , 1 1/2 ;
б) 0 , 1/4 , 1/2 , 3/4 , 2 , 2 1/4 , 2 1/2 , 2 3/4 .

595. Изобразите на координатной оси точки
A ( 1/2 ), B ( 2 ), С ( 2 3/4 ) .
Найдите длины отрезков AB, BC, AC.

А В = В − А = 2 − 1/2 = 1 1/2 ;
В С = С − В = 2 3/4 − 2 = 3/4 ;
А С = С − А = 2 3/4 − 1/2 = 2 3/4 − 2/4 = 2 1/4 .

596. Изобразите на координатной оси с единичным отрезком 4см точки:
а) 0 , 1/2 , 1/4 , 2/4 , 3/4 , 4/4 , 1 1/4 , 1/8 , 5/8 ;
б) − 1 , − 1/2 , − 2/2 , − 1/4 , − 2/4 , − 3/4 , − 5/4 .

597. Выберите удобный единичный отрезок и изобразите на координатной оси точки:
а) − 1 1/2 , − 2 1/2 , − 3 1/2 , − 4 1/2 ;
б) − 1/3 , − 2/3 , − 1 1/3 , − 1 2/3 , − 2 1/3 , − 2 2/3 .

598. На координатной оси отметьте точку:
а) А ( − 2 1/4 ) ;
б) B ( − 1 1/5 ) ;
в) C ( − 3 1/2 ) ;
г) D ( − 4 1/2 ) .

118

Ответы к стр. 118

599. Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки:
а) 1/2 и 1/3;
б) 3/5 и 4/7;
в) 2 1/4 и 5/8;
г) 3 1/2 и 3 1/4.

а) ( 1/2 + 1/3 ) : 2 = 3 + 2/6 : 2 = 5/6 ∗ 1/2 = 5/12
Ответ: 5/12

б) ( 3/5 + 4 7 ) : 2 = 21 + 20/35 : 2 = 41/35 ∗ 1/2 = 41/70
Ответ: 41/70

в) ( 2 1/4 + 5/8 ) : 2 = ( 9/4 + 5/8 ) : 2 = 18 + 5/8 : 2 = 23/8 ∗ 1/2 = 23/16 = 1 7/16
Ответ: 1 7/16

г) ( 3 1/2 + 3 1/4 ) : 2 = ( 7/2 + 13/4 ) : 2 = 14 + 13/4 : 2 = 27/4 ∗ 1 2 = 27/8 = 3 3/8
Ответ: 3 3/8

600. Даны точки A(2) и B ( 2 1 2 ) . Найдите координату точки C − середины отрезка AB, координату точки D − середины отрезка CB, координату точки E − середины отрезка CD. Изобразите эти точки на координатной оси.

C = A + B/2 = ( 2 + 2 1/2 ) : 2 = 4 1/2 : 2 = 9/2 ∗ 1/2 = 9/4 = 2 1/4 ;
D = C + B/2 = ( 2 1/4 + 2 1/2 ) : 2 = ( 2 1/4 + 2 2/4 ) : 2 = 4 3/4 : 2 = 19/4 ∗ 1/2 = 19/8 = 2 3/8 ;
E = C + D/2 = ( 2 1/4 + 2 3/8 ) : 2 = ( 2 2/8 + 2 3/8 ) : 2 = 4 5/8 : 2 = 37/8 ∗ 1/2 = 37/16 = 2 5/16 .

C ( 2 1/4 ) , D ( 2 3/8 ) , E ( 2 5/16 ).

601. Найдите координату точки B по координатам точки А и точки С − середины отрезка AB, если:
а) A ( 2 ) , С ( 5 ) ;
б) A ( 1/2 ) , С ( 3 ) ;
в) A ( 1/4 ) , С ( 2/3 ) .

А + В/2 = С,
B = С ∗ 2 − А, тогда:
а) B = 5 ∗ 2 − 2 = 8 ;
б) B = 3 ∗ 2 − 1/2 = 5 1/2 ;
в) B = 2/3 ∗ 2 − 1/4 = 4/3 − 1/4 = 16 − 3/12 = 13/12 = 1 1/12 .
Ответ:
а) B ( 8 ) ;
б) B ( 5 1/2 ) ;
в) B ( 1 1/12 ) .

602. Найдите координаты точек, делящих отрезок AB на три равные части, если:
а) A ( 5 ) , B ( 9 1/2 );
б) A ( 1/3 ) , B ( 2/9 );
в) A ( 1/2 ) , B ( 3 1/6 ).

а) ( 9 1/2 − 5 ) = 4 1/2 − длина отрезка АВ,
4 1/2 : 3 = 9/2 ∗ 1/3 = 3/2 = 1 1/2 − длина одной из трёх равных частей отрезка АВ.
5 + 1 1/2 = 6 1/2 − координата первой точки, делящей отрезок АВ на три равные части,
6 1/2 + 1 1/2 = 8 − координата второй точки, делящей отрезок АВ на три равные части.
Ответ: ( 6 1/2 ) и ( 8 )

б) 1/3 − 2/9 = 3/9 − 2/9 = 1/9 − длина отрезка АВ,
1/9 : 3 = 1/9 ∗ 1/3 = 1/27 − длина одной из трёх равных частей отрезка АВ.
2/9 + 1/27 = 6/27 + 1/27 = 7/27 − координата первой точки, делящей отрезок АВ на три равные части,
7/27 + 1/27 = 8/27 − координата второй точки, делящей отрезок АВ на три равные части.
Ответ: ( 7/27 ) и ( 8/27 )

в) 3 1/6 − 1/2 = 3 1/6 − 3/6 = 2 7/6 − 3/6 = 2 4/6 = 2 2/3 − длина отрезка АВ,
2 2/3 : 3 = 8/3 ∗ 1/3 = 8/9 − длина одной из трёх равных частей отрезка АВ.
1/2 + 8/9 = 9/18 + 16/18 = 25/18 = 1 7/18 − координата первой точки, делящей отрезок АВ на три равные части,
1 7/18 + 8/9 = 1 7/18 + 16/18 = 1 23/18 = 2 5/18 − координата второй точки, делящей отрезок АВ на три равные части.
Ответ: ( 1 7/18 ) и ( 2 5/18 )

603. Определите расстояние между точками:
а) A ( − 3 1/2 ) и B ( 2 ) ;
б) A ( − 4 ) и B ( − 2 1/2 ) ;
в) A ( − 3 1/4 ) и B ( − 4 1/8 ) ;
г) A ( − 4 7/8 ) и B ( − 6 1/2 ) .

а) 2 − ( − 3 1/2 ) = 2 + 3 1/2 = 5 1/2 ;
б) − 2 1/2 − ( − 4 ) = − 2 1/2 + 4 = 1 1/2 ;
в) − 3 1/4 − ( − 4 1/8 ) = − 3 1/4 + 4 1/8 = − 3 2/8 + 4 1/8 = 1 1/8 − 2/8 = 9/8 − 2/8 = 7/8 ;
г) − 4 7/8 − ( − 6 1/2 ) = − 4 7/8 + 6 1/2 = 2 1/2 − 7/8 = 2 4/8 − 7/8 = 1 12/8 − 7/8 = 1 5/8 .
Ответ:
а) 5 1/2 ;
б) 1 1/2 ;
в) 7/8 ;
г) 1 5/8 .

604. Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 4 и 6 ;
б) 1/2 и 3 ;
в) 1/2 и 1 1/8 ;
г) 2 1/4 и 2/3 .

а) ( 4 + 6 ) : 2 = 10 : 2 = 5 ;
б) ( 1/2 + 3 ) : 2 = 3 1/2 : 2 = 7/2 ∗ 1/2 = 7/4 = 1 3/4 ;
в) ( 1/2 + 1 1/8 ) : 2 = ( 1/2 + 9/8 ) : 2 = 4 + 9/8 : 2 = 13/8 ∗ 1/2 = 13/16 ;
г) ( 2 1/4 + 2/3 ) : 2 = ( 9/4 + 2/3 ) : 2 = 27 + 8/12 ∗ 1/2 = 35/12 ∗ 1/2 = 35/24 = 1 11/24 .
Ответ:
а) 5 ;
б) 1 3/4 ;
в) 13/16 ;
г) 1 11/24 .

605. Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 1/3 и − 1/5 ;
б) 1/4 и − 3/5 ;
в) − 16 и − 8 ;
г) − 16 и 8.

а) ( 1/3 + ( − 1/5 ) ) : 2 = 5 − 3/15 : 2 = 2/15 ∗ 1/2 = 1/15 ;
б) ( 1/4 + ( − 3/5 ) ) : 2 = 5 − 12/20 : 2 = − 7/20 ∗ 1/2 = − 7/40 ;
в) ( − 16 + ( − 8 ) ) : 2 = − 24 : 2 = − 12 ;
г) ( − 16 + 8 ) : 2 = − 8 : 2 = − 4.
Ответ:
а) 1/15 ;
б) − 7/40 ;
в) − 12 ;
г) − 4.

606. Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 1, 3, 4;
б) −5, 8, 13;
в) 10, 12, 14, 16;
г) −19, −9, 1, 11;
д) −2, 0, 2, 5, 10;
е) −2, −1, 0, 1, 2.

а) ( 1 + 3 + 4 ) : 3 = 8 : 3 = 8/3 = 2 2/3 ;
б) ( − 5 + 8 + 13 ) : 3 = 16 : 3 = 16/3 = 5 1/3 ;
в) ( 10 + 12 + 14 + 16 ) : 4 = 52 : 4 = 13 ;
г) ( − 19 − 9 + 1 + 11 ) : 4 = − 16 : 4 = − 4 ;
д) ( − 2 + 0 + 2 + 5 + 10 ) : 5 = 15 : 5 = 3 ;
е) ( − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 ) : 5 = 0 : 5 = 0.

607. Определите координату середины отрезка AB, если:
а) A ( − 4 ) , B ( − 1 ) ;
б) A ( − 8 ) , B ( 3 ) ;
в) A ( − 7/10 ), B ( − 1/10 ) ;
г) A ( − 1/3 ), B ( 1/6 ) .

а) ( − 4 + ( − 1 ) ) : 2 = − 5 : 2 = − 5/2 = − 2 1/2 ;
б) ( − 8 + 3 ) : 2 = − 5 : 2 = − 5/2 = − 2 1/2 ;
в) ( ( − 7/10 ) + ( − 1/10 ) ) : 2 = − 8/10 ∗ 1/2 = − 4/10 = − 2/5 ;
г) ( ( − 1/3 ) + ( 1/6 ) ) : 2 = − 2 + 1/61/2 = − 1/6 ∗ 1/2 = − 1/12 .
Ответ:
а) − 2 1/2 ;
б) − 2 1/2 ;
в) − 2/5 ;
г) − 1/12 .

608. Точка C − середина отрезка AB. Определите координату точки B, если:
а) A ( − 2 ) , C ( 1 ) ;
б) A ( − 5 ) , C ( − 1 ) ;
в) A ( − 3/10 ) , C ( 9/10 ) ;
г) A ( 0 ) , C ( 12/13 ) .

A + B/2 = C,
B = C ∗ 2 − A, тогда:
а) B = 1 ∗ 2 − ( − 2 ) = 1 ∗ 2 + 2 = 4 ;
б) B = − 1 ∗ 2 − ( − 5 ) = − 1 ∗ 2 + 5 = 3 ;
в) B = 9/10 ∗ 2 − ( − 3/10 ) = 9/10 ∗ 2 + 3/10 = 18/10 + 3/10 = 21/10 = 2 1/10 ;
г) B = 12/13 ∗ 2 − 0 = 24/13 ∗ 2 = 1 11/13 ;
Ответ:
а) B ( 4 ) ;
б) B ( 3 ) ;
в) B ( 2 1/10 ) ;
г) B ( 1 1/13 ) .

119

Ответы к стр. 119

609. На координатном луче отмечены числа. С помощью циркуля отметьте на координатном луче число:
а) a + 2 (рис.61,а);
б) a + 4 (рис.61,б).

Ответ:

610. Для чисел a и b выполняется равенство 5 − a = b. С помощью циркуля отметьте на координатном луче число a + b (рис.62).

5 − a = b, следовательно, a + b = 5.
Ответ:

611. Для чисел a и b выполняется равенство a − 3 = b. С помощью циркуля отметьте на координатном луче число а (рис.63).

a − 3 = b, следовательно, a = b + 3.
Ответ:

612. На координатной оси отмечены точки с координатами: 0, 1, b (рис.64). С помощью циркуля постройте точки с координатами:
−1, −b, b + 1, b − 1, 1 − b, −b − 1.

Ответ:

613. На координатной оси точки с координатами: 0, a, b.
С помощью циркуля постройте точки с координатами: −a, −b, a + b, a − b, b − a, −a − b (рис.65).

Ответ:

614. На рисунке 66 указаны координаты точек A и B. Найдите координату точки C.

а) C − середина отрезка AB, поэтому C ( a + b/2 ) ;

б) Точка B середина отрезка AC, то есть координата точки B равна среднему арифметическому координат точек A и C, тогда:
а + C/2 = а + b/2
а + C = а + b
C ( а + b − а )
C ( b ) ;

в) Точка A середина отрезка CB, то есть координата точки A равна среднему арифметическому координат точек C и B, тогда:
C + b/2 = а + b/2
C + b = а + b
C ( b + а − b )
C ( а )

г) b − a длина отрезка AB,
b − a/3 длина отрезка AC,
C ( а + b − a/3 = 3 а + b − a/3 = 2 а + b/3 )
Ответ:
а) C ( a + b/2 ) ;
б) C ( b ) ;
в) C ( а ) ;
г) C ( 2 а + b/3 ) .

120

Ответы к стр. 120

615. Определите координаты точек, делящих отрезок AB на четыре равные части, если:
а) А ( 2 2/8 ) , B ( 4 ) ;
б) А ( − 5/7 ) , B ( 1/7 ) .

а) 4 − 2 2/8 = 3 8/8 − 2 2/8 = 1 6/8 = 1 3/4 − длина отрезка АВ,
1 3/4 : 4 = 7/4 ∗ 1/4 = 7/16 − длина одной из четырёх равных частей отрезка АВ.
2 2/8 + 7/16 = 2 4/16 + 7/16 = 2 11/16 − координата первой точки, делящей отрезок АВ на четыре равные части,
2 11/16 + 7/16 = 2 18/16 = 3 2/16 = 3 1/8 − координата второй точки, делящей отрезок АВ на четыре равные части.
3 2/16 + 7/16 = 3 9/16 − координата третьей точки, делящей отрезок АВ на четыре равные части.
Ответ: 2 11/16 , 3 1/8 , 3 9/16.

б) 1/7 − ( − 5/7 ) = 1/7 + 5/7 = 6/7 − длина отрезка АВ,
6/7 : 4 = 6/7 ∗ 1/4 = 6/28 = 3/14 − длина одной из четырёх равных частей отрезка АВ.
− 5/7 + 3/14 = − 10/14 + 3/14 = − 7/14 = − 1/2 − координата первой точки, делящей отрезок АВ на четыре равные части,
− 7/14 + 3/14 = − 4/14 = − 2/7 − координата второй точки, делящей отрезок АВ на четыре равные части.
− 4/14 + 3/14 = − 1/14 − координата третьей точки, делящей отрезок АВ на четыре равные части.
Ответ: − 1/2 , − 2/7 , − 1/14.

616. а) Среднее арифметическое чисел 4 1/3 и a равно 2 1/2. Найдите число а.
б) Среднее арифметическое чисел a и − 1/3 равно 5/6. Найдите число а.

а) ( 4 1/3 + а ) : 2 = 2 1/2
( 4 1/3 + а ) = 5/2 ∗ 2
а = 5 − 4 1/3
а = 2/3
б) ( а + ( − 1/3 ) ) : 2 = 5/6
( а − 1/3 ) = 5/6 ∗ 2
а = 5/3 + 1/3
а = 6/3
а = 2.
Ответ:
а) 2/3 ;
б) 2.

617. Отрезок, соединяющий точки 0 и 1 на координатной оси, разделили пополам − получили два отрезка. Правый отрезок разделили пополам − получили еще два отрезка. Правый из них разделили пополам и т.д. Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек. Определите без вычислений координаты следующих пяти точек.

0 + 1/2 = 1/2 координата первой получившейся точки,
1/2 + 1/2 = 3/2 ∗ 1/2 = 3/4 координата второй получившейся точки,
3/4 + 1/2 = 7/4 ∗ 1/2 = 7/8 координата третьей получившейся точки,
7/8 + 1/2 = 15/8 ∗ 1/2 = 15/16 координата четвертой получившейся точки,
15/16 + 1/2 = 31/16 ∗ 1/2 = 31/32 координата пятой получившейся точки.
Для того, чтобы рассчитать координаты каждой последующей точки, необходимо знаменатель координаты предыдущей точки умножить на 2, и получившийся результат записать в знаменатель координаты искомой точки. Затем из знаменателя координаты искомой точки вычесть 1 и записать результат в числитель координаты искомой точки. То есть координата шестой точки будет равна:
32 ∗ 2 − 1/32 ∗ 2 = 63/64, тогда:
координата 7 точки 127/128 ;
координата 8 точки 255/256 ;
координата 9 точки 511/512 ;
координата 10 точки 1023/1024 .
Ответ: 1/2 , 3/4 , 7/8 , 15/16 , 31/32 , 63/64 , 127/128 , 255/256 , 511/512 , 1023/1024 .

122

Рациональные числа
Уравнения

Ответы к стр. 122

618. Является ли число 2 корнем уравнения:
а) x — 2 = 0;   б) x + 4 = 0;        в) 2x = 4;
г) 3x — 4 = x; д) x + 3 = 2x + 1; е) 3x + 4 = 6x — 2?

Подставим в уравнение вместо х число 2.
а) 2 — 2 = 0,
0 = 0 — является;

б) 2 + 4 = 0,
6 ≠ 0 — не является;

в) 2 • 2 = 4,
4 = 4 — является;

г) 3 • 2 — 4 = 2,
2 = 2 — является;

д) 2 + 3 = 2 • 2 + 1,
5 = 5 — является;

е) 3 • 2 + 4 = 6 • 2 — 2,
10 = 10 — является.

Решите уравнение (619-629):

619. а) х — 2 = 0; б) х + 4 = 0;   в) 100 + х = 0;  г) х — 5 = 6;
       д) х + 2 = 5; е) х — 11 = -7; ж) 12 + х = 17; з) х + 7 = 7.

а) х — 2 = 0,
х = 0 + 2,
х = 2;

б) х + 4 = 0,
х = 0 — 4,
х = -4;

в) 100 + х = 0,
х = 0 — 100,
х = -100;

г) х — 5 = 6,
х = 6 + 5,
х = 11;

д) х + 2 = 5,
х = 5 — 2,
х = 3;

е) х — 11 = -7,
х = -7 + 11,
х = 4;

ж) 12 + х = 17,
х = 17 — 12,
х = 5;

з) х + 7 = 7,
х = 7 — 7,
х = 0.

620. а) 5 + x = 3;    б) -7 + x = -2;  в) x + 3 = -6;
        г) 12 + x = -8; д) x + 18 = 18; е) -13 + x = -5;
        ж) x — 1/5 = 2;   з) x — 2 = 1/2;   и) x — 4 = 1 1/3.

а) 5 + x = 3,
x = 3 — 5,
x = -2;

б) -7 + x = -2,
x = -2 + 7,
x = 5;

в) x + 3 = -6,
x = -6 — 3,
x = -9;

г) 12 + x = -8,
x = -8 — 12,
x = -20;

д) x + 18 = 18,
x = 18 — 18,
x = 0;

е) -13 + x = -5,
x = -5 + 13,
x = 8;

ж) — 1/5 = 2,
= 2 + 1/5,
= 2 1/5;

з) — 2 = 1/2,
1/2 + 2,
= 2 1/2;

и) — 4 = 1 1/3,
= 1 1/3 + 4,
= 5 1/3.

621. а) x — 1/2 = 1/2;         б) x — 1/3 = 1/4;    в) x — 1/18 = 1/12;
        г) x — 1 = — 1/3;         д) 1/7 + x = 11;    е) 1 1/5 + x = 1;
        ж) x — 6 1/3 = -3 2/3; з) 7/9 + x = 2 1/2; и) x — 2 1/2 = -1 3/5.

а) x — 1/2 = 1/2,
x = 1/2 + 1/2,
x = 2/2,
х = 1;

б) x — 1/3 = 1/4,
x = 1/4 + 1/3,
x = 3+4/12,
х = 7/12;

в) x — 1/18 = 1/12,
x = 1/12 + 1/18,
x = 3+2/36,
х = 5/36;

г) x — 1 = — 1/3,
x = — 1/3 + 1,
x = 2/3;

д) 1/7 + x = 11,
x = 11 — 1/7,
x = 10 6/7;

е) 1 1/5 + x = 1,
x = 1 — 1 1/5,
x = — 1/5;

ж) x — 6 1/3 = -3 2/3,
x = -3 2/3 + 6 1/3,
x = 2 2/3;

з) 7/9 + x = 2 1/2,
x = 2 1/2 — 7/9,
x = 2 9/18 — 14/18,
х = 1 27/18 — 14/18,
х = 1 13/18;

и) x — 2 1/2 = -1 3/5,
x = -1 3/5 + 2 1/2,
x = -1 6/10 + 2 5/10,
х = 1 15/10 — 1 6/10,
х = 9/10.

622. а) 2x = 4;      б) 6x = 24; в) 7x = -14;
        г) -5x = 100; д) -2x = -8; е) 12x = -36.

а) 2x = 4,
x = 4 : 2,
х = 2;

б) 6x = 24,
x = 24 : 6,
х = 4;

в) 7x = -14,
x = -14 : 7,
х = -2;

г) -5x = 100,
x = -100 : 5,
х = -20;

д) -2x = -8,
x = -8 : (-2),
х = 4;

е) 12x = -36,
x = -36 : 12,
х = -3.

623. а) 3x = 2;  б) 6x = -7; в) -2x = -13; г) 2x = 0;
        д) -5x = 0; е) —x = 2;  ж) —x = 0;      з) —x = -5.

а) 3x = 2,
x = 2/3;

б) 6x = -7,
x = — 7/6,
х = -1 1/6;

в) -2x = -13,
x = -13/-2,
х = 6 1/2;

г) 2x = 0,
x = 0 : 2,
х = 0;

д) -5x = 0,
x = 0 : (-5),
х = 0;

е) —x = 2,
x = 2 : (-1),
х = -2;

ж) —x = 0,
x = 0 : (-1),
х = 0;

з) —x = -5,
x = -5 : (-1),
х = 5.

624. а) 2x = 1/2;    б) 3x = — 1/4;  в) -2x = 1/4;
        г) 1/2 x = 3;    д) 3/4 x = 1;   е) — 1/3 x = -3;
        ж) — 2/7 x = 0; з) -4x = 8/25; и) 2x = 1 1/3.

а) 2x = 1/2,
x = 1/2 : 2,
х = 1/2 • 1/2,
х = 1/4;

б) 3x = — 1/4,
x = — 1/4 : 3,
х = — 1/• 1/3,
х = — 1/12;

в) -2x = 1/4,
x = 1/4 : (-2),
х = 1/4 • (- 1/2),
х = — 1/8;

г) 1/2 x = 3,
x = 3 : 12,
х = 3 • 2,
х = 6;

д) 3/4 x = 1,
x = 1 : 3/4,
х = 1 • 4/3,
х = 4/3,
х = 1 1/3;

е) — 1/3 x = -3,
x = -3 : (- 1/3),
х = -3 • (- 3/1),
х = 9/1,
х = 9;

ж) — 2/7 x = 0,
x = 0 : (- 2/7),
х = 0;

з) -4x = 8/25,
x = 8/25 : (-4),
х = 8/25 • (- 1/4),
х = — 2•1/25•1,
х = — 2/25;

и) 2x = 1 1/3,
x = 1 1/3 : 2,
х = 4/3 • 1/2,
х = 2•1/3•1,
х = 2/3.

625. а) 2x — 6 = 0;  б) 12 + 3= 0; в) —x + 7 = 0;  г) 15 — 3x = 0;
        д) 3x + 1 = 7; е) 5 — 2x = 1;    ж) 5x — 2 = 1; з) -5x — 2 = -12.

а) 2x — 6 = 0,
2x = 0 + 6,
х = 6 : 2,
х = 3;

б) 12 + 3x = 0,
3x = 0 — 12,
х = -12 : 3,
х = -4;

в) —x + 7 = 0,
x = 0 — 7,
х = -7 : (-1),
х = 7;

г) 15 — 3x = 0,
-3x = 0 — 15,
х = -15 : (- 3),
х = 5;

д) 3x + 1 = 7,
3x = 7 — 1,
х = 6 : 3,
х = 2;

е) 5 — 2x = 1,
-2x = 1 — 5,
-2х = -4,
x = -4 : (-2),
х = 2;

ж) 5x — 2 = 1,
5x = 1 + 2,
x = 3/5;

з) -5x — 2 = -12,
-5x = -12 + 2,
х = -10 : (-5),
х = 2.

626. а) 3x + 2x = 10;     б) 5x + x = 6;  в) 4x + 2x — 7 = 5;
        г) 7x + x + 3 = 19; д) 5 = 4x — 3x; е) 8 = 3x — x;
        ж) 3x — 1 = 2x;       з) 3x — 6 = x.

а) 3x + 2x = 10,
(3 + 2)х = 10,
5x = 10,
x = 10 : 5,
х = 2;

б) 5x + x = 6,
(5 + 1)х = 6,
6x = 6,
x = 6 : 6,
х = 1;

в) 4x + 2x — 7 = 5,
(4 + 2)х = 5 + 7,
6x = 12,
x = 12 : 6,
х = 2;

г) 7x + 3 = 19,
(7 + 1)х = 19 — 3,
8x = 16,
x = 16 : 8,
х = 2;

д) 5 = 4x — 3x,
5 = (4 — 3)х,
x = 5;

е) 8 = 3x — x,
8 = (3 — 1)х,
8 = 2x,
x = 8 : 2,
х = 4;

ж) 3x — 1 = 2x,
3x — 2x = 1,
(3 — 2)х = 1,
x = 1;

з) 3x — 6 = x,
3x — x = 6,
(3 — 1)х = 6,
2x = 6,
x = 6 : 2,
х = 3.

627. а) + 3 = 3x — 7;         б) 3 — x = 1 + x;          в) 7x + 2 = 3x — 10;
        г) 5x — 8 = 3x — 8;        д) 1/2 x — 3 = 2 — 1/3 x; е) 5x — 2 1/4 = 1/2 x;
        ж) 2/5 x — 1 = 3/4 x — 6; з) 2x — 3/5 = 3/4 x — 1/2.

а) + 3 = 3x — 7,
3 + 7 = 3x — x,
10 = (3 — 1)х,
10 = 2х,
х = 10 : 2,
х = 5;

б) 3 — x = 1 + x,
3 — 1 = x + x,
2 = (1 + 1)х,
2 = 2х,
х = 2 : 2,
х = 1;

в) 7x + 2 = 3x — 10,
7x — 3x = -10 — 2,
(7 — 3)х = -12,
4x = -12,
x = -12 : 4,
x = -3;

г) 5x — 8 = 3x — 8,
5x — 3= -8 + 8,
(5 — 3)х = 0,
2х = 0,
х = 0 : 2,
х = 0;

д) 1/2 x — 3 = 2 — 1/3 x,
1/2 x + 1/3 = 2 + 3,
3/6 x + 2/6 x = 5,
5/6 x = 5,
x = 5 : 5/6,
х = 5 • 6/5,
х = 6;

е) 5x — 2 1/4 = 1/2 x,
5x — 1/2 x = 2 1/4,
(5 — 1/2)х = 2 1/4,
1/2 x = 2 1/4,
x = 2 1/4 : 4 1/2,
х 9/4 • 2/9,
х = 1/2;

ж) 2/5 x — 1 = 3/4 x — 6,
2/5 x — 3/4 x = -6 + 1,
(8/20 — 15/20)х = -5,
— 7/20 х = -5,
х = -5 : (- 7/20),
х = -5 • (- 20/7),
х = 100/7,
х = 14 2/7;

з) 2x — 3/5 = 3/4 x — 1/2,
2x — 3/4 x = — 1/2 + 3/5,
(2 — 3/4)x = — 5/10 + 6/10,
1/4 x = 1/10,
х = 1/10 : 5/4,
х = 1/10 • 4/5,
х = 1•2/5•5,
х = 2/25.

628. а) 2(x — 5) = 9;        б) 12 + 3(x — 1) = 0; в) -(x + 8) = 3;
        г) 1 — 5(2 — 3x) = 6; д) 7 — 3(x + 1) = 6;   е) 5 — 2(3 — x) = 11;
        ж) 2x — (7 + x) = 2; з) -3 — 3(3 — 2x) = 1.

а) 2(x — 5) = 9,
2x — 10 = 9,
2x = 9 + 10,
x = 19/2,
х = 9 1/2;

б) 12 + 3(x — 1) = 0,
12 + 3x — 3 = 0,
3x = 0 — 12 + 3,
x = -9 : 3,
х = -3;

в) -(x + 8) = 3,
x — 8 = 3,
x = 3 + 8,
x = 11 : (-1),
х = -11;

г) 1 — 5(2 — 3x) = 6,
1 — 10 + 15x = 6,
15x = 6 — 1 + 10,
x = 15 : 15,
х = 1;

д) 7 — 3(x + 1) = 6,
7 — 3x — 3 = 6,
-3x = 6 — 7 + 3,
x = 2 : (-3),
х = — 2/3;

е) 5 — 2(3 — x) = 11,
5 — 6 + 2x = 11,
2x = 11 — 5 + 6,
x = 12 : 2,
х = 6;

ж) 2x — (7 + x) = 2,
2x — 7 — x = 2,
(2 — 1)x = 2 + 7,
х = 9;

з) -3 — 3(3 — 2x) = 1,
-3 — 9 + 6x = 1,
6x = 1 + 3 + 9,
x = 13/6,
х = 2 1/6.

123

Ответы к стр. 123

Решите уравнение (619-629):

629. а) 3(x + 2) — = 10;      б) 8 = 3(x — 4) — x;
       в) 4x + 3(x — 7) = 5;       г) 3(x — 1) + x = 2x;
       д) 5 — x = 4(x — 3);         е) 5(x + 4) + x = 6;
       ж) 7 — (2x + 3) = 9;        з) 3(x — 7) — 6x = —x;
       и) 1/2(x — 4) + 3x = 5;    к) 2(x + 3/5) — x = 3 1/5;
       л) 5x — (1/2 x + 9) = 18; м) -2(1/3 x + 7) = -21.

а) 3(x + 2) — = 10,
3x + 6 — x = 10,
(3 — 1)x = 10 — 6,
2x = 4,
x = 4 : 2,
х = 2;

б) 8 = 3(x — 4) — x,
8 = 3x — 12 — x,
8 + 12 = (3 — 1)х,
20 = 2х,
x = 20 : 2,
х = 10;

в) 4x + 3(x — 7) = 5,
4x + 3x — 21 = 5,
(4 + 3)x = 5 + 21,
7x = 26,
x = 26/7,
х = 3 5/7;

г) 3(x — 1) + x = 2x,
3x — 3 + x = 2x,
3x + x — 2x = 3,
(3 + 1 — 2)x = 3
2x = 3,
x = 3/2,
х = 1 1/2;

д) 5 — x = 4(x — 3),
5 — x = 4x — 12,
5 + 12 = x + 4x,
17 = (1 + 4)х,
17 = 5x,
х = 17/5,
x = 3 2/5;

е) 5(x + 4) + x = 6,
5x + 20 + x = 6,
5x + x = 6 — 20,
(5 + 1)x = -14,
6x = -14,
x = -14/6,
х = -2 1/3;

ж) 7 — (2x + 3) = 9,
7 — 2x — 3 = 9,
-2x = 9 — 7 + 3,
-2x = 5,
x = 5/-2,
х = -2 1/2;

з) 3(x — 7) — 6x = —x,
3x — 21 — 6x = —x,
3x — 6x + x = 21,
-2x = 21,
x = 21/-2,
х = -10 1/2;

и) 1/2(x — 4) + 3x = 5,
1/2 x — 2 + 3x = 5,
1/2 x + 3x = 5 + 2,
1/2 x = 7,
x = 7 : 3 1/2,
х = 7 • 2/7,
х = 2;

к) 2(x + 3/5) — x = 3 1/5,
2x + 6/5 — x = 3 1/5,
2x — x = 2 6/5 — 6/5,
(2 — 1)х = 2,
х = 2;

л) 5x — (1/2 x + 9) = 18,
5x — 1/2 x — 9 = 18,
5x — 1/2 x = 18 + 9,
(5 — 1/2)х = 27,
1/2 x = 27,
x = 27 : 4 1/2,
х = 27 • 2/9,
х = 6;

м) -2(1/3 x + 7) = -21,
— 2/3 x — 14 = -21,
— 2/3 x = -21 + 14,
— 2/3 x = -7,
x = -7 : (- 2/3),
х = -7 • (- 3/2),
х = 21/2,
х = 10 1/2.

124

Рациональные числа
Решение задач с помощью уравнений

Ответы к стр. 124

Обозначьте одну из величин через х и выразите через х ответ на вопрос задачи (630-633):

630. а) Когда Маша прочитала несколько страниц книги, то ей осталось прочитать на 40 страниц больше, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге?
б) Когда было пройдено несколько километров, то осталось пройти на 10 км меньше, чем уже пройдено. Определите всё расстояние.
в) В многоэтажном доме двухкомнатных квартир в 3 раза больше, чем однокомнатных. Сколько всего в этом доме двухкомнатных и однокомнатных квартир?
г) В некотором поселке имеются только одноэтажные и двухэтажные дома, причем двухэтажных домов в 10 раз меньше, чем одноэтажных. Сколько всего домов в этом поселке?

а) Пусть х — страниц книги Маша прочитала, тогда х + 40 — страниц осталось прочитать:
х + (х + 40) = 2х + 40 — всего страниц в книге.
Ответ: 2х + 40 — всего страниц в книге.

б) Пусть х — пройдено километров, тогда х — 10 — километров осталось пройти:
х + (х — 10) = 2х — 10 км — всё расстояние.
Ответ: 2х — 10 км — общее расстояние.

в) Пусть х — количество однокомнатных квартир, тогда 3х — количество двухкомнатных квартир:
3х + х = 4х — всего квартир в доме.
Ответ: 4х — всего квартир в доме.

г) Пусть х — двухэтажных домов, тогда 10х — количество одноэтажных домов:
10х + х = 11х — всего домов в поселке.
Ответ: 11х — всего домов в поселке.

631. В вазе лежало 15 яблок. Даша угостила трёх подруг, дав всем яблок поровну. Сколько яблок осталось в вазе?

Пусть x — количество яблок, которое дали одной из подруг, тогда 3x — количество яблок, которое Даша раздала трём подругам:
15 — 3x — количество яблок, которое осталось в вазе.
Ответ: 15 — 3x — количество яблок, которое осталось в вазе.

125

Ответы к стр. 125

Обозначьте одну из величин через х и выразите через х ответ на вопрос задачи (630-633):

632. а) Папа в 3 раза старше сына. На сколько лет сын моложе папы?
б) Дочь в 4 раза младше мамы. На сколько лет мама старше своей дочери?
в) Папа на 28 лет старше сына. Во сколько раз он старше сына?
г) Мама на 24 года старше дочери. Во сколько раз она старше дочери?

а) Пусть х — лет сыну, тогда 3х — возраст папы:
3х — х = 2х — на 2х лет сын моложе папы.
Ответ: на 2х лет.

б) Пусть х — лет дочери, тогда 4х — возраст мамы:
4х — х = 3х — на 3х лет мама старше дочери.
Ответ: на 3х лет.

в) Пусть х — лет сыну, тогда х + 28 — возраст папы:
х+28/х = х/х + 28/х = 1 + 28/х — в 1 + 28/х лет папа старше сына.
Ответ: в 1 + 28/х лет.

г) Пусть х — лет дочери, тогда х + 24 — возраст мамы:
х+24/х = х/х + 24/х = 1 + 24/х — в 1 + 24/х  лет мама старше дочери.
Ответ: в 1 + 24/х  лет.

633. а) Ученик задумал число, увеличил его в 3 раза и уменьшил результат на 5. Какое число он получил?
б) Ученик задумал число, уменьшил его на 3 и увеличил результат в 5 раз. Какое число он получил?

а) Пусть х — задуманное число, тогда:
х • 3 — 5 = 3х — 5 — полученное число.
Ответ: 3х — 5.

б) Пусть х — задуманное число, тогда:
(х — 3) • 5 = 5х — 15 — полученное число.
Ответ: 5х — 15.

634. Обозначьте неизвестное число буквой и составьте уравнение по условию задачи:
а) Задумали число, прибавили к нему 8 и получили 33.
б) Задумали число, умножили его на 4 и получили 52.
в) Задумали число, умножили его на 7, к произведению прибавили 12 и получили 26.
г) Задумали число, вычли из него 4, умножили разность на 5 и получили 35.

а) Пусть х — задуманное число, тогда уравнение:
x + 8 = 33;

б) Пусть х — задуманное число, тогда уравнение:
4x = 52;

в) Пусть х — задуманное число, тогда уравнение:
7x + 12 = 26;

г) Пусть х — задуманное число, тогда уравнение:
(x — 4) • 5 = 35.

635. Одно число на 6 больше другого, а их сумма равна 18. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:
а) меньшее число; б) большее число.

а) Пусть х — меньшее число, тогда х + 6 — большее число, а уравнение:
х + (х + 6) = 18;

б) Пусть х — большее число, тогда х — 6 — меньшее число, а уравнение:
х + (х — 6) = 18.

636. Одно число на 4 меньше другого, а их сумма равна 22. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:
а) меньшее число; б) большее число.

а) Пусть х — меньшее число, тогда х + 4 — большее число, а уравнение:
х + (х + 4) = 22;

б) Пусть х — большее число, тогда х — 4 — меньшее число, а уравнение:
х + (х — 4) = 22.

Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой неизвестное число, и решите его (637-652):

637. а) Одно число в 5 раз больше другого, а их сумма равна 42.
б) Одно число в 3 раза меньше другого, а их сумма равна 28.
в) Одно число в 4 раза больше другого, а их разность равна 39.
г) Одно число в 7 раз меньше другого, а их разность равна 54.

а) Пусть х — меньшее число, тогда 5х — большее число, а уравнение:
x + 5x = 42,
6x = 42,
x = 42 : 6,
х = 7;

б) Пусть х — меньшее число, тогда 3х — большее число, а уравнение:
x + 3x = 28,
4x = 28,
x = 28 : 4,
х = 7;

в) Пусть х — меньшее число, тогда 4х — большее число, а уравнение:
4x — x = 39,
3x = 39,
x = 39 : 3,
х = 13;

г) Пусть х — меньшее число, тогда 7х — большее число, а уравнение:
7x — x = 54,
6x = 54,
x = 54 : 6,
х = 9.

638. а) Брат нашёл в 3 раза больше белых грибов, чем сестра. Всего они нашли 24 белых гриба. Сколько белых грибов нашёл брат и сколько сестра?
б) На двух полках 63 книги, причём на одной в 2 раза меньше книг, чем на другой. Сколько книг на каждой полке?

а) Пусть х — грибов нашла сестра, тогда 3x — грибов нашёл брат, а уравнение:
3x + x = 24,
4x = 24,
x = 24 : 4,
х = 6 — грибов собрала сестра
3 • 6 = 18 — грибов собрал брат
Ответ: 6 грибов собрала сестра, 18 грибов собрал брат.

б) Пусть х — книг на одной полке, тогда 2x — книг на другой полке, а уравнение:
2x + x = 63,
3x = 63,
x = 63 : 3,
х = 21 — книга находится на одной полке
21 • 2 = 42 — книги находится на второй полке
Ответ: 21 книга находится на одной полке и 42 книги находится на другой полке.

126

Ответы к стр. 126

Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой неизвестное число, и решите его (637-652):

639. а) В книжке 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?
б) На автомобильной стоянке стоит 72 автомобиля, причём легковых автомобилей в 7 раз больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей на автостоянке?

а) Пусть х — страниц осталось прочитать, тогда 2х — число прочитанных страниц, а уравнение:
2х + х = 60,
3х = 60,
х = 60 : 3,
х = 20 — страниц осталось прочитать
Ответ: 20 страниц осталось прочитать.

б) Пусть х — число грузовых машин, тогда 7х — число легковых машин, а уравнение:
7х + х = 72,
8х = 72,
х = 72 : 8,
х = 9 — грузовых машин на стоянке
Ответ: 9 грузовых машин.

640. а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур был в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?
б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

а) Пусть x — количество кур, тогда 4x — количество цыплят, а уравнение:
4x + x = 20,
5x = 20,
х = 20 5,
х = 4 — курицы было у хозяйки
4 • 4 = 16 — цыплят было у хозяйки
Ответ: 16 цыплят.

б) Пусть x — количество уток, тогда 3x — количество утят, а уравнение:
3x + x = 16,
4x = 16,
x = 16 : 4,
х = 4 — утки было у хозяйки
3 • 4 = 12 — утят было у хозяйки
Ответ: 12 утят.

641. а) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше, чем другой. По скольку метров полотна будет в каждой части?
б) Кусок лески длиной 16 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше, чем другой. По скольку метров лески будет в каждой части?

а) Пусть х — метров длина одной части, тогда х + 12 — метров длина второй части, а уравнение:
х + (х + 12) = 124,
х + х + 12 = 124,
2х = 124 — 12,
2х = 112,
х = 112 : 2,
х = 56 — метров длина одной части
56 + 12 = 68 — метров длина второй части
Ответ: 56 метров и 68 метров.

б) Пусть х — метров длина одной части, тогда х + 1 — метров длина второй части, а уравнение:
х + (х + 1) = 16,
х + х + 1 = 16,
2х = 16 — 1,
2х = 15,
х = 15/2,
х = 7 1/2 — метров длина одной части
1/2 + 1 = 8 1/2 — метров длина второй части
Ответ: 7 1/2 метров и 8 1/2 метров.

642. а) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезли в школу?
б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и девочек в отдельности участвовало в соревнованиях?

а) Пусть х — количество столов, тогда х + 230 — количество стульев, а уравнение:
х + (х + 230) = 690,
х + х + 230 = 690,
2х = 690 — 230,
х = 460 : 2,
х = 230 — столов привезли
230 + 230 = 460 — стульев привезли
Ответ: 230 столов и 460 стульев.

б) Пусть х — было девочек, тогда х + 17 — было мальчиков, а уравнение:
х + (х + 17) = 53,
х + х + 17 = 53,
2х = 53 — 17,
х = 36 : 2,
х = 18 — девочек было на соревнованиях
18 + 17 = 35 — мальчиков было на соревнованиях
Ответ: 18 девочек и 35 мальчиков.

643. Двое должны поделить между собой 15 р. так, чтобы одному досталось на 4 р. больше, чем другому. Сколько достанется каждому?

Пусть х — рублей досталось одному, тогда х + 4 рублей досталось другому, а уравнение:
х + (х + 4) = 15,
х + х + 4 = 15,
2х = 15 — 4,
х = 11/2,
х = 5 1/2 — рублей или 5 рублей 50 копеек досталось одному
1/2 + 4 = 9 1/2 — рублей или 9 рублей 50 копеек досталось другому
Ответ: 5 рублей 50 копеек и 9 рублей 50 копеек.

644. а) За конфеты заплатили в 3 раза больше, или на 6 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?
б) За тетради заплатили в 4 раза больше, или на 7 р. 20 к. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?

а) Пусть x — рублей заплатили за печенье, тогда 3x или x + 6 — рублей заплатили за конфеты, а уравнение:
3х = х + 6,
3х — х = 6,
2х = 6,
х = 6 : 2,
х = 3 — рубля заплатили за печенье
Ответ: 3 рубля.

б) Пусть x — рублей заплатили за линейки, тогда 4x или x + 7 р. 20 к.  — заплатили за тетради (7р. 20 коп. = 7 20/100 р. = 7 1/5 р.), а уравнение:
4х = х + 7 1/5,
4х — х = 7 1/5,
3х = 7 1/5,
х = 7 1/5 3,
х = 36/5 • 1/3,
х = 12•1/5•1,
х = 12/5,
х = 2 2/5 — рубля или 2 рубля 40 копеек заплатили за линейки (2 2/р. = 2 р. 40/100 к. = 2 р. 40 к.).
Ответ: 2 рубля 40 копеек заплатили за линейки.

645. а) Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет младше папы. Сколько лет папе?
б) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет младше мамы. Сколько лет маме?

а) Пусть х — возраст дочери, тогда 8х или х + 28 лет — возраст папы, а уравнение:
8х = х + 28,
8х — х = 28,
7х = 28,
х = 28 : 7,
х = 4 — года дочери
8 • 4 = 32 года папе
Ответ: 32 года папе.

б) Пусть х — возраст сына, тогда 6х или х + 25 — возраст мамы, а уравнение:
6х = х + 25,
6х — х = 25,
5х = 25,
х = 25 : 5
х = 5 — лет сыну
6 • 5 = 30 — лет маме
Ответ: маме 30 лет.

646. На солнышке грелись несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

Пусть х — количество кошек, у каждой кошки по 4 лапы и по 2 уха, тогда 4х — количество лап, 2х — количество ушей, а уравнение:
4х — 2х = 10,
2х = 10,
х = 10 : 2,
х = 5 — кошек
О т в е т 5 кошек.

647. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке — 5 галет. Сколько было собак и сколько кошек?

Пусть х — количество кошек, тогда 10 — x — количество собак и 5x галет скормили кошкам, а 6(10 — x) галет скормили собакам.
5x + 6(10 — x) = 56,
5x + 60 — 6x = 56,
x = 56 — 60,
x = -4 : (-1),
х = 4 — кошки
10 — 4 = 6 — собак
Ответ: 4 кошки и 6 собак.

127

Ответы к стр. 127

Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой неизвестное число, и решите его (637-652):

648. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у них всех вместе:
а) 19 голов и 46 ног; б) 30 голов и 74 ноги?

а) У куриц и овец по одной голове, значит, всего животных было 19.
Пусть х — количество куриц, тогда 19 — х — количество овец, 2х — количество ног у куриц, 4(19 — х) — количество ног у овец, а уравнение:
2х + 4(19 — х) = 46,
2х + 76 — 4х = 46,
-2х = 46 — 76,
х = -30 : (-2),
х = 15 — куриц
19 — 15 = 4 — овцы
Ответ: 15 куриц и 4 овцы.

б) У куриц и овец по одной голове, значит всего животных было 30.
Пусть х — количество куриц, тогда 30 — х — количество овец, 2х — количество ног у куриц, 4(30 — х) — количество ног у овец, а уравнение:
2х + 4(30 — х) = 74,
2х + 120 — 4х = 74,
-2х = 74 — 120,
х = -46 : (-2),
х = 23 — курицы
30 — 23 = 7 — овец
Ответ: 23 курицы и 7 овец.

649. У пятнадцати треугольников и четырёхугольников 53 угла. Сколько треугольников и четырёхугольников в отдельности?

Пусть х — количество четырёхугольников, тогда 15 — х — количество треугольников, 4х — было всего углов у всех четырёхугольников, 3(15 — х) — было всего углов у всех треугольников, а уравнение:
4х + 3(15 — х) = 53,
4х + 45 — 3х = 53,
х = 53 – 45,
х = 8 — четырёхугольников
15 — 8 = 7 — треугольников

или

Пусть х — количество треугольников, тогда 15 — х — количество четырёхугольников, 3х — было всего углов у всех треугольников, 4(15 — х) — было всего углов у всех четырёхугольников, а уравнение:
3х + 4(15 — х) = 53,
3х + 60 — 4х = 53,
х = 53 — 60,
х = -7 : (-1),
х = 7 — треугольников
15 — 7 = 8 — четырёхугольников

Ответ: 8 четырёхугольников и 7 треугольников.

650. а) Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?
б) Если разменять 27 рублей на гривенники и двугривенные1 так, чтобы всех монет было 170, то сколько будет гривенников и сколько двугривенных?
1Гривенник и двугривенный — старинные названия монет в 10 и 20 копеек.

а) Пусть х — количество 2-x рублевых монет, тогда 19 — x — количество 5-и рублевых монет, 2x — общая сумма 2-x рублевых монет, 5(19 — x) — общая сумма 5-и рублевых монет, а уравнение:
2x + 5(19 — x) = 74,
2x + 95 — 5x = 74,
-3x = 74 — 95,
x = -21 : (-3),
х = 7 — 2-x рублевых монет
Ответ: 7 2-x рублевых монет было.

б) Пусть х — количество гривенников, тогда 170 — x — количество двугривенных, 10x — общая сумма гривенников (один гривенник равен 10 копейкам), 20(170 — x) — общая сумма двугривенных (один двугривенный равен 20 копейкам), а уравнение (27 рублей = 2700 копеек):
10x + 20(170 — x) = 2700,
10x + 3400 — 20x = 2700,
-10x = 2700 — 3400,
x = -700 : (-10),
х = 70 — гривенников
170 — 70 = 100 — двугривенных
Ответ: 70 гривенников и 100 двугривенных.

651. Из «Арифметики» Л. Ф .Магницкого. Спросил некто учителя:
— Сколько имеешь учеников у себя в учении, ибо хочу отдать тебе в учение своего сына?
Учитель же отвечал ему:
— Если придёт ко мне ещё столько, сколько имею, да ещё половина и ещё четверть и ещё твой сын, то будет у меня 100 учеников.
Сколько учеников было у учителя?

Пусть х — было учеников у учителя, тогда х — пришло столько же, 1/2 х — пришла половина, 1/4 х — пришла четверть, 1 человек — пришёл сын, а уравнение:
x + x + 1/2 x + 1/4 x + 1 = 100,
4/4 4/4 х + 2/4 x + 1/4 x = 100 — 1,
11/4 x = 99,
x = 99 : 11/4,
х = 99 • 4/11,
х = 36 — учеников было у учителя
Ответ: 36 учеников.

652. (Греция.)
Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть ещё три женщины.

Пусть х — всего учеников, тогда 1/2 x — изучает математику, 1/4 x — изучает музыку, 1/7 x — пребывает в молчании, 3 человека — количество женщин, а уравнение:
1/2 x + 1/4 x + 1/7 x + 3 = x,
14/28 x + 7/28 x + 4/28 x — 28/28 x = -3,
— 3/28 x = -3,
х = -3 : (- 3/28),
х = -3 • (- 28/3),
х = 28 — учеников занимается у Пифагора
Ответ: 28 учеников.

128

Рациональные числа
Буквенные выражения

Ответы к стр. 128

653. Замените число 5 буквой α в числовом выражении:
а) 7 • 5 — 1; б) 2 • 5 — 5 : 3.
Запишите полученное буквенное выражение.

а) 7 • α — 1 или 7α -1;
б) 2 • α — α : 3 или 2α — α : 3.

654. Приведите примеры буквенных выражений.

3α + 8, 5α, 6 : α — 2, α + b.

655. Подставьте вместо буквы α в буквенное выражение α + 3 число:
а) 5; б) 3; в) 1; г) 0; д) -1; е) -3.

а) 5 + 3;
б) 3 + 3;
в) 1 + 3;
г) 0 + 3;
д) -1 + 3;
е) -3 + 3.

656. Найдите значение буквенного выражения 7 + х при х, равном:
а) 0; б) 3 ;в) -1; г) -4; д) -7; е) -10.

а) 7 + 0 = 7;
б) 7 + 3 = 10;
в) 7 + (-1) = 7 — 1 = 6;
г) 7 + (-4) = 7 — 4 = 3;
д) 7 + (-7) = 7 — 7 = 0;
е) 7 + (-10) = 7 — 10 = -3.

657. Выражение α + 2 — это сумма α и 2, выражение 3 — x — это разность 3 и x. Прочитайте буквенные выражения:
а) 5 + α; б) 7 — α; в) 4 — x; г) α +12;
д) 2α;     е) 7b;    ж) -3α;  з) α + (-3).

а) 5 + α — это сумма 5 и α;
б) 7 — α — это разность 7 и α;
в) 4 — x — это разность 4 и x;
г) α + 12 — это сумма α и 12;
д) 2α — это произведение 2 и α;
е) 7b — это произведение 7 и b;
ж) -3α — это произведение -3 и α;
з) α + (-3) — это сумма α и -3.

658. Вычислите значение буквенного выражения по образцу:
а) 10 — 4х при х = -5.
Решение. При х = -5   10 — 4х = 10 — 4 • (-5) = 10 + 20 = 30.
б) 2х + 1 при х = 5; в) 6 + 8х при х = -1;
г) 5 — 4α при α = 2; д) 3 — 7b при b = -2.

б) при х = 5   2х + 1 = 2 • 5 + 1 = 10 + 1 = 11;
в) при х = -1    6 + 8х = 6 + 8 • (-1) = 6 + (-8) = -2;
г) при α = 2    5 — 4α = 5 — 4 • 2 = 5 — 8 = -3;
д) при b = -2   3 — 7b = 3 — 7 • (-2) = 3 + 14 = 17.

129

Ответы к стр. 129

Найдите значение буквенного выражения (659-660):

659. а) α + b при α = 1, b = 3; б) α — b при α = -2, b = 4;
        в) 2х — y при х = 5, y = 6; г) 3х — 2y при х = -1, y = -4.

а) при α = 1, b = 3   α + b = 1 + 3 = 4;
б) при α = -2, b = 4  α — b = -2 — 4 = -6;
в) при х = 5, y = 6   2х — y  = 2 • 5 — 6 = 4;
г) при х = -1, y = -4   3х — 2y = 3 • (-1) — 2 • (-4) = -3 + 8 = 5.

660. а) αb при α = 3/4b = 1 3/5; б) 2(α + b) при α = 3/10b = 1 1/2;
в) αbс при α = 1/3b = 1 1/2c = 2.

а) при α = 3/4b = 1 3/5  αb = 3/4 • 1 3/5 = 3/4 • 8/5 = 3•2/1•5 = 6/5 = 1 1/5;

б) при α = 3/10b = 1 1/2   2(α + b) = 2 • (3/10 + 1 1/2) = 2 • (3/10 + 15/10) = 2 • 18/10 = 2•9/5 = 18/5 = 3 3/5;

в) при α = 1/3b = 1 1/2c = 2  αbс = 1/3 • 1 1/2 • 2 = 1/3 • 3/2 • 2 = 1•3•2/3•2 = 1.

Найдите значение каждого буквенного выражения при указанных значениях х (661-662):

661.

х 1 3 0 -1 -5 1/3
х — 1 0 2 -1 -2 -6 — 2/3
2х + 1 3 7 1 -1 -9 2/3
3 — 3х 0 -6 3 6 18 2
1 + 1/2 х 1/2 1/2 1 1/2 -1 1/2 1/6

662.

х 1 2 5 0 -2 -4
2х 2 4 10 0 -4 -8
х2 1 4 25 0 4 16

663. Стороны прямоугольника α и b. Запишите формулу периметра прямоугольника. Вычислите периметр при:
а) α = 2 см, b = 3 см;           б) α = 7 см, b = 9 см;
в) α = 1 1/5 см, b = 3 4/5 см; г) α = 2 1/2 см, b = 3 1/4 см.

Периметр прямоугольника равен: 2(α + b).
а) Р = 2 • (2 + 3) = 2 • 5 = 10 см;
б) Р = 2 • (7 + 9) = 2 • 16 = 32 см;
в) Р = 2 • (1 1/5 + 3 4/5) = 2 • (6/5 + 19/5) = 2 • 5 = 10 см;
г) Р = 2 • (2 1/2 + 3 1/4) = 2 • (5/2 + 13/4) = 2 • (10/4 + 13/4) = 2 • 23/4 = 23/2 = 11 1/2 см.

664. Стороны прямоугольника α и b. Запишите формулу площади прямоугольника. Вычислите площадь при:
а) α = 2 см, b = 7 см;           б) α = 4 см, b = 5 см;
в) α = 3 1/2 см, b = 2 2/5 см; г) α = 3 1/5 см, b = 1 1/4 см.

Площадь прямоугольника равна: α • b.
а) S = 2 • 7 = 14 см2;
б) S = 4 • 5 = 20 см2;
в) S = 3 1/2 • 2 2/5 = 7/2 • 12/5 = 7•6/1•5 = 42/5 = 8 2/5 см2;
г) S = 3 1/5 • 1 1/4 = 16/5 • 5/4 = 4•1/1•1 = 4 см2.

665. Сторона квадрата α. Запишите формулы периметра и площади квадрата. Вычислите периметр и площадь квадрата при:
а) α = 3 см;   б) α = 8 см;      в) α = 10 см;
г) α = 1/2 дм; д) α = 3 1/2 см; е) α = 2 3/4 см.

Периметр квадрата равен: 4α, площадь квадрата равна: α2.
а) P = 4 • 3 = 12 см, S = 32 = 3 • 3 = 9 см2;
б) P = 4 • 8 = 32 см, S = 82 = 8 • 8 = 64 см2;
в) P = 4 • 10 = 40 см, S = 102 = 10 • 10 = 100 см2;
г) P = 4 • 1/2 = 4/2 = 2 дм, S = (1/2)2 = 1/2 • 1/2 = 1/4 дм2;
д) P = 4 • 3 1/2 = 4 • 7/2 = 2•7/1 = 14 см, S = (3 1/2)2 = 7/2 • 7/2 = 49/4 = 12 1/4 см2;
е) P = 4 • 2 3/4 = 4 • 11/4 = 11 см, S = (2 3/4)2 = 11/4 • 11/4 = 121/16 = 7 9/16 см2.

130

Рациональные числа
Буквенные выражения

Ответы к стр. 130

666. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда αbc. Запишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда. Вычислите объём при:
а) α = 2 см, b = 3 см, с = 5 см; б) α = 2/5 см, b = 4 см, с = 5 см.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен: α • b • c.
а) V = 2 • 3 • 5 = 30 см3;
б) V = 2/5 • 4 • 5 = 2•4•5/5 = 8 см3.

667. Ребро куба α. Запишите формулу объёма куба. Вычислите объём при:
а) α = 4 см; б) α = 5 см; в) α = 10 см.

Объём куба равен: α3.
а) V = 43 = 4 • 4 • 4 = 64 см3;
б) V = 53 = 5 • 5 • 5 = 125 см3;
в) V = 103 = 10 • 10 • 10 = 1000 см3.

668. Составьте буквенное выражение для вычисления площади S фигуры (рис. 67).

а) α2;
б) α • b;
в) α • b + d • c;
г) α • d + b • c;
д) с • d — α • b;
е) α • b + d • (α — c) = αb + αd — cd = α • (b + d) — сd.

Решите задачу, составляя числовое выражение (669 — 671):

669. а) Купили 7 тетрадей по 50 к. и 2 ручки по 3 р. Сколько заплатили за покупку?
б) Купили 4 линейки по 40 к. и 3 угольника по 80 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?

а) 50 к. = 50/100 рубля, тогда:
7 • 50/100 + 2 • 3 = 350/100 + 6 = 3 50/100 + 6 = 9 50/100 — рубля или 9 рублей 50 копеек
Ответ: 9 рублей 50 копеек.

б) 40 к. = 40/100 рубля, 80 к. = 80/100 рубля, тогда:
5 — (4 • 40/100 + 3 • 80/100) = 5 — (160/100 + 240/100) = 5 — 400/100 = 5 — 4 = 1 — рубль сдачи получили
Ответ: 1 рубль.

670. а) Турист ехал 2 ч на поезде со скоростью 60 км/ч и шёл пешком 3 ч со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние преодолел турист за 5 ч?
б) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 4 ч поездом со скоростью 65 км/ч и 2 ч автобусом со скоростью 60 км/ч. За сколько часов он пройдет остаток пути пешком, если будет идти со скоростью 5 км/ч?

а) 2 • 60 + 3 • 5 = 120 + 15 = 135 км.
Ответ: 135 км.

б) 4 • 65 + 2 • 60 — путь на поезде и автобусе
400 — (4 • 65 + 2 • 60) — путь, который нужно пройти пешком
(400 — (4 • 65 + 2 • 60)) : 5 = (400 — (260 + 120)) : 5 = (400 — 380) : 5 = 20 : 5 = 4 — часа потребуется туристу, чтобы пройти остаток пути
Ответ: 4 часа.

131

Ответы к стр. 131

Решите задачу, составляя числовое выражение (669 — 671):

671. а) В бригаде 8 маляров, каждый за 2 ч может покрасить одно окно. За сколько часов бригада покрасит 24 окна?
б) Бригаде из 8 маляров нужно покрасить 40 окон. Каждый маляр за 2 ч может покрасить одно окно. Сколько окон останется покрасить через 8 ч работы бригады?

а) 8 — количество окон, которое может покрасить бригада за 2 часа
: 2 – количество окон, которое может покрасить бригада за 1 час
24 : (8 : 2) = 24 : 4 = 6 — часов потребуется бригаде на покраску 24 окон
Ответ: 6 часов.

б) 8 — количество окон, которое может покрасить бригада за 2 часа
: 2 — количество окон, которое может покрасить бригада за 1 час
: 2 • 8 − количество окон которое, покрасит бригада за 8 часов
40 — (8 : 2 • 8 ) = 40 — 32 = 8 — окон останется покрасить бригаде через 8 часов работы
Ответ: 8 окон.

Решите задачу, составив буквенное выражение (672 — 673):

672. а) Книга стоит x р. Сколько стоят 8 таких книг?
б) Купили 10 тетрадей по x р. и 3 ручки по 3 р. Сколько заплатили за покупку?
в) Купили x линеек по 40 к. и 4 тетради по 50 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?

а) 8x — рублей стоит 8 книг;
б) 10x + 3 • 3 = 10x + 9 — рублей заплатили за покупку;
в) 5 — (40/100 x + 4 • 50/100) = 5 — (40/100 x + 200/100) = 5 — 2 — 40/100 x = 3 — 40/100 x = 3 — 2/5 x — рублей получится сдачи.

673. а) Турист ехал x ч на поезде со скоростью 50 км/ч и шёл пешком 2 ч со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние преодолел турист за всё время?
б) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 4 ч поездом со скоростью x км/ч и 3 ч автобусом со скоростью 70 км/ч. За сколько часов он пройдёт остаток пути пешком, если будет идти со скоростью 4 км/ч?

а) 50x + 2 • 4 = 50x + 8 — км преодолел турист за все время движения
Ответ: 50x + 8 км.

б) (400 — (4x + 3 • 70)) : 4 = (400 — 4x — 210) : 4 =  (190 — 4x: 4 = 190/4 — x = 47 1/2 — x — часа потребуется туристу на преодоление остатка пути
Ответ: 47 1/2 — x часа.

674. Через одну трубу можно наполнить бассейн за а мин, а через другую — за b мин. Через сколько минут наполнится бассейн, если открыть обе трубы? Составьте буквенное выражение для получения ответа, найдите его значение при:
а) α = 30, b = 20; б) α = 70, b = 30; в) α = 60, b = 90.

1-я труба заполняет бассейн за α минут или 1/α бассейна за 1 минуту.
2-я труба заполняет бассейн за b минут или 1/b бассейна за 1 минуту.
Обе трубы одновременно заполняют бассейн за 1 минуту на 1/α + 1/b = b+α/αb, а весь бассейн за 1 : b+α/αb = 1 • αb/α+b = αb/α+b минут.
а) 30•20/30+20 = 600/50 = 12 минут;
б) 70•30/70+30 = 2100/100 = 21 минута;
в) 60•90/60+90 = 5400/150 = 36 минут.

Составив буквенное выражение, решите задачи (675 — 676):

675. Сестра нашла x грибов, а брат в 2 раза больше. Сколько грибов нашёл брат? Сколько грибов они нашли вместе?

2x — грибов нашел брат
х + 2x = 3— грибов нашли они вместе
Ответ: 2x и 3x.

676. а) На решение примеров Вася затратил x мин, а на решение задачи на 10 мин больше. Сколько минут Вася затратил на всё задание?
б) В классе x девочек, а мальчиков на 4 меньше, чем девочек. Сколько всего учащихся в классе?

а) x + x + 10 = 2x + 10 — минут затратил Вася на всё задание
Ответ: 2x + 10 минут.

б) x + x — 4 = 2x — 4 — всего учащихся в классе
Ответ: 2x — 4 учащихся.

Доказываем

677. Докажите, что если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное меньшее число, т.е. для любых чисел α и b (α > b) верно равенство (α + b) — (α — b) = 2b.

(α + b) — (α — b) = α + b — α + b = 2b

678. Докажите, что для любых чисел α и b (α > b) верно равенство:
(α + b) + (α — b) = 2α.
Сформулируйте доказанное свойство суммы и разности двух числе в виде правила.

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число:
(α + b) + (α — b) = α + b + α — b = 2α

132

Ответы к стр. 132

Доказываем

679. В старину для решения задач пользовались такими правилами: чтобы по сумме и разности двух чисел найти большее число, надо к полусумме двух чисел прибавить их полуразность; чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы двух чисел вычесть их полуразность. Докажите равенства:
а) α+b/2 + αb/2 = α; б) α+b/2 — αb/2 = b.

а) α+b/2 + αb/2 = α+b+αb/2 = 2α/2 = α;
б) α+b/2 — αb/2 = α+bα+b/2 = 2b/2 = b.

680. а) Сумма двух чисел равна 37, а разность 13. Найдите эти числа.
б) Сумма двух чисел равна 48, а разность 12. Найдите эти числа.

а) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 37, α — b = 13, тогда:
37 — 13 = 2b,    37 + 13 = 2α,
24 = 2b,            50 = 2α,
b = 12                α = 25
Ответ: 12 и 25.

б) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 48, α — b = 12, тогда:
48 — 12 = 2b,    48 + 12 = 2α,
36 = 2b,            60 = 2α,
b = 18                α = 30
Ответ: 18 и 30.

681. Найдите числа, сумма и разность которых равны соответственно:
а) 49 и 17; б) 72 и 48; в) 57 и 39; г) 38 и 2.

а) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 49, α — b = 17, тогда:
49 — 17 = 2b,    49 + 17 = 2α,
32 = 2b,            66 = 2α,
b = 16                α = 33
Ответ: 16 и 33.

б) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 72, α — b = 48, тогда:
72 — 48 = 2b,    72 + 48 = 2α,
24 = 2b,            120 = 2α,
b = 12                α = 60
Ответ: 12 и 60.

в) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 57, α — b = 39, тогда:
57 — 39 = 2b,    57 + 39 = 2α,
18 = 2b,            96 = 2α,
b = 9                α = 48
Ответ: 9 и 48.

г) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 38, α — b = 2, тогда:
38 — 2 = 2b,    38 + 2 = 2α,
36 = 2b,            40 = 2α,
b = 18                α = 20
Ответ: 18 и 20.

682. а) Сумма двух чисел равна 304, одно из них больше другого на 50. Найдите эти числа.
б) Сумма двух чисел 760. Одно меньше другого на 98. Найдите эти числа.

а) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 304, α — b = 50, тогда:
304 — 50 = 2b,      304 + 50 = 2α,
254 = 2b,              354 = 2α,
b = 127                 α = 177
Ответ: 127 и 177.

б) (α + b) — (α — b) = 2b, (α + b) + (α — b) = 2αα + b = 760, α — b = 98, тогда:
760 — 98 = 2b,    760 + 98 = 2α,
662 = 2b,            858 = 2α,
b = 331                α = 429
Ответ: 331 и 429.

683. Если собственную скорости лодки обозначить x км/ч, а скорость течения y км/ч, то что можно найти, вычислив x + yx — y?

x + y — это скорость лодки, плывущей по течению;
x — y — это скорость лодки, плывущей против течения.

684. Если скорость лодки по течению x км/ч, а скорость течения y км/ч, то что такое x — yx — 2y?

x — y — это скорость лодки, плывущей в стоячей воде;
x — 2y — это скорость лодки, плывущей против течения.

685. Если скорость лодки против течения x км/ч, а скорость течения у км/ч, то что такое x + yx + 2y?

x + y — это скорость лодки, плывущей в стоячей воде;
x + 2y — это скорость лодки, плывущей по течению.

136

Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой

Ответы к стр. 136

686. Какие две фигуры называют симметричными относительно прямой а?

Две фигуры называют симметричными относительно прямой а, плоскость рисунка перегнуть относительно прямой а, разделяющую эти фигуры на рисунке друг от друга, и эти фигуры совместятся.

687. По рисунку 79 определите, какая точка симметрична относительно прямой а точке:
а) A;
б) B;
в) C;
г) D;
д) M.

Ответ:
а) D;
б) C;
в) B;
г) A;
д) M.

688. По рисунку 79 определите, какой отрезок симметричен относительно прямой а отрезку:
а) AB;
б) BM;
в) BC;
г) CD;
д) AN;
е) ND;
ж) AD.

Ответ:
а) DC;
б) CM;
в) CB;
г) BA;
д) DN;
е) NA;
ж) DA.

689. Какой фигуре симметричен относительно прямой а (рис. 79) прямоугольник:
а) ABMN;
б) MCDN;
в) ABCD.

Ответ:
а) DCMN;
б) MBAN;
в) DCBA.

690. Какую фигуру называют симметричной относительно прямой а?

Ответ: Фигуру называют симметричной относительно прямой а, если плоскость фигуры перегнуть относительно прямой а, делящую эту фигуры пополам, и эта плоскость половины фигуры совместится с плоскостью второй половины фигуры.

691. Постройте на клетчатой бумаге прямоугольник 4 * 6 и все его оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?

Ответ: 2 оси симметрии.

692. Постройте на клетчатой бумаге квадрат 6 * 6 и все его оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Ответ: 4 оси симметрии.

693. Постройте окружность с центром О и три её оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет окружность?

Ответ: Любая прямая, проходящая через центр окружности будет являться её осью симметрии. Окружность будет иметь бесконечное количество осей симметрии.

694. Перерисуйте в тетрадь те буквы алфавита, у которых есть оси симметрии. Для каждой из них укажите число осей симметрии.

Ответ:

695. Нарисуйте в тетради фигуру, имеющую:
а) одну ось симметрии;
б) две оси симметрии.

Ответ:

696. Перегните лист бумаги пополам, вырежьте ножницами какую−нибудь фигуру, имеющую ось симметрии.

Ответ:

697. Перегните лист бумаги как показано на рисунке 80. Из полученного треугольника вырежьте выделенные цветом части. Сколько осей симметрии имеет полученная "снежинка"?

Ответ: 4 оси симметрии.

137

Ответы к странице 137

698. Вырежьте из бумаги "снежинку", имеющую восемь осей симметрии.

Ответ:

699. Дан отрезок AB и прямая b, не пересекающая этот отрезок. Постройте отрезок MN, симметричный отрезку AB относительно прямой b.

Ответ:

700. Дана прямая b и отрезок AB, пересекающий эту прямую. Постройте отрезок MN, симметричный отрезку AB относительно прямой b. Где лежит точка пересечения отрезков AB и MN? Как это объяснить?

Ответ:

Отрезок AB симметричен MN, значит для точки пересечения отрезка AB и прямой b должна быть симметричная точка на отрезке MN, а так как две точки называются симметричными относительно точки O, если эти точки лежат на одной прямой и точка O является серединой отрезка которые эти точки образует, то точка пересечения отрезков AB и MN лежит на прямой b в месте пересечения отрезков AB и MN.

701. Дан треугольник АВС и прямая b, не пересекающая стороны этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой b.

Ответ:

702. Дан треугольник АВС и прямая b, пересекающая стороны этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой b.

Ответ:

703. Дана прямая b и окружность, пересекающая эту прямую. Постройте окружность, симметричную данной окружности относительно прямой b.

Ответ:

704. На плане (рис.81) показана железная дорога и два города A и B. Укажите место на железной дороге, где надо построить станцию C, чтобы суммарная длина дороги от A до C и от C до B была наименьшей.

а) Кратчайшее расстояние это прямая, поэтому суммарная длина дороги от A до C и от C до B будет наименьшей, если точка C будет находиться на пересечении отрезка между городами A и B и железной дороги.
б) Для того, чтобы суммарная длина дороги от A до C и от C до B была наименьшей, необходимо построить точку A1, симметричную точке A, относительно железной дороги и поставить точку C в месте пересечения железной дороги и отрезка A1B.

705. В жаркий день медвежонок направился из своего дома (А) в гости к ослику (В), но сначала решил подойти к реке попить воды. Укажите кратчайший путь от А до В с заходом к реке (рис.82).

Ответ: Для того, чтобы путь от А до В был кратчайшим, необходимо построить точку А1, симметричную точке А, относительно реки и поставить точку в месте пересечения реки и отрезка А1В.

706. Другой раз медвежонок направился из дома (A) в гости к ослику (B), но сначала решил подойти к реке попить воды, а потом поесть малины. Укажите кратчайший путь от A до B с заходом к реке и к кустам малины (рис.83)

Ответ: Для того, чтобы путь от A до B был кратчайшим, необходимо:
1. Построить точку A1, симметричную точке A, относительно реки;
2. Построить точку B1, симметричную точке B, относительно кустам малины;
3. Провести отрезок A1B1
4. В местах пересечения отрезком A1B1 поставить соответственно точки C и D
5. Соединить точки ACBD, который и будет кратчайшим маршрутом медвежонка.

138

Ответы к странице 138

707. а) Рыба весит 5 кг и еще полрыбы. Сколько весит рыба?
б) Книга стоит 30 р. и еще полкниги. Сколько стоит книга?

а) Пусть x − вес рыбы, тогда из условия получим:
5 + 1/2 x = x
1/2 x − x = − 5
1/2 x = 5
x = 5 : 1/2 = 5 ∗ 2 = 10.
Ответ: 10 кг.

б) Пусть книга стоит x, тогда по условию получим:
30 + 1/2 x = x
1/2 x − x = − 30
1/2 x = 30
x = 30 : 1/ 2 = 30 ∗ 2 = 60
Ответ: 60 рублей.

708. Один автолюбитель рассказывал: "Я отправился путешествовать на "Москвиче", имея одно запасное колесо.
а) Время от времени я заменял колёса, и оказалось, что первое колесо проехало 1000 км, второе − 900 км, третье − 800 км, четвертое − 700 км и пятое − 600 км". Сколько километров проехал автомобиль?
б) Может ли автомобилист так менять колёса, чтобы первое колесо проехало 1400 км, второе − 1200 км, третье − 1000 км, четвертое − 800 км и пятое − 600 км?

а) Раз одно из колёс проехало 1000 км, то значит и машина как минимум проехала 1000 км.
Максимальное расстояние которое машина могла проехать равно:
(1000 + 900 + 800 +700 + 600) : 4 = 4000 : 4 = 1000 км.
Максимальное и минимальное расстояние пройденное машиной совпадают, следовательно, машина проехала 1000 км.
Ответ: 1000 км.

б) Раз одно из колёс проехало 1000 км, то значит и машина как минимум проехала 1400 км.
Максимальное расстояние которое машина могла проехать равно:
(1400 + 1200 + 1000 + 800 + 600) : 4 = 5000 : 4 = 1250 км.
Максимальное расстояние меньше минимального, а значит машина не может проехать расстояние с заданными условиями.
Ответ: не может.

139

Ответы к странице 139

709. Среди математиков каждый седьмой − философ, а среди философов каждый девятый − математик. Кого больше: философов или математиков?

Пусть:
a − люди, которые знают только математику,
b − люди, которые знают только философию,
c − люди, которые знают и математику и философию.
Тогда всего:
a + c − математиков,
b + c − философов,
c=1/7 ( a + c ) − философов среди математиков,
c= 1/9 ( b + c ) − математиков среди философов.
1/7 ( a + с ) = 1/9 ( b + c )
( a + c ) = 1/9 ( b + c ) : 1/7
( a + c ) = 1/9 ( b + c ) ∗ 1/7
( a + c ) = 7/9 ( b + c )
Сравним математиков (a + c) и философов (b + c):
( a + c ) − ( b + c ) = 7/9 ( b + c ) − ( b + c ) = ( 7/9 − 1 ) ∗ ( b + c ) = − 2/9 ( b + c ) < 0, то есть философов больше, так как вычитая из количества математиков количество философов получилось большее число.
Ответ: больше философов.

710. Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется?

Чтобы раздать каждой подруге по фотографии, каждой девочке необходимо принести 7 фотографий. Всего подружек 8, поэтому:
8 * 7 = 56 фотографий потребуется.
Ответ: 56 фотографий потребуется.

711. В нашем классе каждая девочка дружит ровно с тремя мальчиками, а каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками. Сколько учащихся в нашем классе, если мальчиков на 5 больше, чем девочек?

Пусть девочек х, тогда:
мальчиков х + 5,
дружеских пар девочек 3х,
дружеских пар мальчиков 2(х + 5)
3х = 2(х + 5)
3х = 2х + 10
х = 10 девочек в классе,
10 + 5 = 15 мальчиков в классе,
10 + 15 = 25 детей всего в классе.
Ответ: 25 детей.

712. В первенстве по футболу принимают участие 8 команд. Каждая команда играет с каждой по одному разу. За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью − 1 очко, за проигрыш − 0 очков. Какая наибольшая и какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом, если известно, что первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

Каждая команда в течении первенства сыграет по 7 матчей.
Максимальное количество очков, которое может набрать команда победитель равно:
7 * 2 = 14 очков.
Минимальное количество очков, которое может набрать команда, занявшая последнее место равно:
7 * 0 = 0 очков.
14 − 0 = 14 очков наибольшая разница, которая может разделить команду, занявшую первое место и команду, занявшую последнее место.
Найдем минимальную разницу, которая может разделить команду, занявшую первое место и команду, занявшую последнее место.
Разница не может быть равна 0 и 1, так как тогда нарушится условие задачи, что только одна команда заняла первое место, и одна команда заняла последнее место. Проверим, может ли разница составить 2 очка.
Для того, чтобы разница составила 2 очка, необходимо, чтобы остальные 6 команд, кроме победителя и команды, занявшей последнее место, набрали одинаковое количество очков, а значит сыграли все свои матчи в ничью.
Раз 6 команд сыграли все свои игры в ничью, то у команды победителя будет 6 ничьих и у команды, занявшей последнее место, будет так же 6 ничьих. Всего в первенстве каждая команда сыграет по 7 матчей, значит в матче между командой − победителем и командой, занявшей последнее место выиграл команда победитель. Турнирная таблица тогда примет следующий вид:
1 место: 1 победа 6 ничьих 0 поражений = 1 * 2 + 6 * 1 + 0 = 2 + 6 = 8 очков.
2 − 7 место: 0 побед 7 ничьих 0 поражений = 0 + 7 * 1 + 0 = 7 очков.
8 место: 0 побед 6 ничьих 1 поражение = 0 + 6 * 1 + 0 = 6 очков.
8 − 6 = 2 очка минимальная разница, которая может разделить команду, занявшую первое место и команду, занявшую последнее место.
Ответ:
Максимальная разница = 14 очков;
Минимальная разница = 2 очка.

713. Большая коробка конфет в 2 раза дороже маленькой. Хотят купить 3 большие коробки и 2 маленькие, но если купить 2 большие коробки и 3 маленькие, то покупка будет дешевле на 15 р. Сколько стоит каждая коробка?

Пусть маленькая коробка стоит х рублей, тогда:
2х рублей стоит большая коробка,
3 * 2х + 2х = 2 * 2х + 3х + 15
6х + 2х − 4х − 3х = 15
х = 15 рублей стоит маленькая коробка,
2 * 15 = 30 рублей стоит большая коробка.
Ответ:
маленькая коробка стоит 15 рублей;
большая коробка стоит 30 рублей.

714. Один экскаватор может вырыть траншею за 30 ч, другой − за 20 ч. Первый проработал 9 ч, потом второй закончил работу. За сколько часов была выполнена работа?

Первый экскаватор за 1 час выкапывает

1/30 траншеи.
1/30 ∗ 9 = 9/30 = 3/10 траншеи выкопал первый экскаватор за 9 часов.
1 − 3/10 = 7/10 траншеи осталось выкопать второму экскаватору.
Второй экскаватор за 1 час выкапывает 1 20 траншеи.
7/10 : 1/20 = 7/101/20 = 7 ∗ 2 = 14 ч потребуется 2 экскаватору чтобы выполнить свою часть работы.
9 + 14 = 23 часа ушло на работу двух экскаваторов.
Ответ: 23 часа.

715. (Индия, XIв.)
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась,
Рядом тут же росла
Вся в цвету симегенда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде.
Всё летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.

Пусть всего было x пчел, тогда:
1/5 x пчел опустилось на кадамбы цветок,
1/3 x пчел опустилось на симегенду,
3 ( 1/3 x − 1/5 x ) пчел село на Кутай,
1 пчела не нашла себе место.
1/5 x + 1/3 x + 3 ( 1/3 x − 1/5 x ) + 1 = x
1/5 x + 1/3 x + x − 3/5 x − x = − 1
3/15 x + 5/15 x + x − 9/15 x − x = − 1
1/15 x = − 1
x = − 1 : − 1/15
x = 15 пчел было всего.
Ответ: 15 пчел.

140

Ответы к странице 140

716. (Армения, VII в.) Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть (с того, что осталось) и в третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него было), и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего дахеканов было в начале у купца.

Пусть всего было x дахеканов, тогда:
1/2 x + 1/3 x взыскали в первом городе,
x − ( 1/2 x + 1/3 x ) = x − 3+2/6 x = x − 5/6 x = 1/6 x осталось дахеканов после первого города;
1/6 x ∗ 1/2 + 1/6 x ∗ 1/3 = 1/6 x ( 1/2 + 1/3 ) = 1/6 x ∗ 5/6 = 5/36 x взыскали во втором городе;
1/6 x − 5/36 x = 6 − 5/36 x = 1/36 x дахеканов осталось после посещения второго города;
1/36 x ∗ 1/2 + 1/36 x ∗ 1/3 = 1/36 x ( 1/2 + 1/3 ) = 1/36 x ∗ 5/6 = 5/216 x взыскали в третьем городе;
1/36 x − 5/216  x = 6 − 5/216  x = 1/216 x дахеканов осталось после посещения третьего города.
1/216 x = 11
x = 11 : 1/216 = 11 ∗ 216 = 2376 дахеканов было изначально.
Ответ: 2376 дахеканов.

717. Из Акимского папируса (VIв.) Некто взял из сокровищницы 1/13. Другой взял 1/17 из того, что осталось, оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально.

Пусть изначально в сокровищнице было x, тогда:
Первый взял (1/13 x) и в сокровищнице осталось x − 1/13 x = 12/13 x.
Второй взял 1/1712/13 x = 12/221 x и в сокровищнице осталось:
12/13 x − 12/221 x = 204 − 12/221 x = 192/221 x.
192/221 x = 150
x = 150 : 192/221 = 150 ∗ 221/192 = 25 ∗ 221/32 = 5525/32 = 172 21/32 изначально было в сокровищнице.
Ответ: 172 21/32.

718. Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого. Некто пришёл в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих денег, за другую 3/7 остатка от первой покупки, за треть игрушку заплатил 3/5 остатка от второй покупки, а по приезду в дом нашел остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.

Пусть всего денег было x, тогда за первую игрушку заплатили 1/5 x,
x − 1/5 x = 4/5 x всех денег осталось в кошельке после первой покупки;
3/74/5 x = 12/35 x заплатили за вторую игрушку,
4/5 x − 12/35 x = 28 − 12/35 x = 16/35 x всех денег осталось в кошельке после второй покупки;
3/516/35 x = 48/175 x заплатили за третью игрушку,
16/35 x − 48/175 x = 80 − 48/175 x = 32/175 x всех денег осталось в кошельке после третьей покупки;
1 р. 92 к. = 1 92/100 рубля.
32/175 x = 1 92/100
x = 192/100 : 32/175 = 192/100175/32 = 6/47/1 = 3 ∗ 7/2 = 21/2 = 1050/100 = 10 50/100 = 10 рублей 50 копеек было, тогда:
10 50/100 ∗ 1/5 = 1050/1001/5 = 210/100 = 2 10/100 = 2 рубля 10 копеек заплатили за первую игрушку;
10 50/100 ∗ 12/35 = 1050/10012/35 = 30 ∗ 12/100 = 360/100 = 3 60/100 = 3 рубля 60 копеек заплатили за вторую игрушку;
10 50/100 ∗ 48/175 = 1050/10048/175 = 6 ∗ 48/100 = 288/100 = 2 88/100 = 2 рубля 88 копеек заплатили за третью игрушку.
Ответ:
Всего было: 10 рублей 50 копеек;
за первую игрушку заплатили 2 рубля 10 копеек;
за вторую игрушку заплатили 3 рубля 60 копеек;
за третью игрушку заплатили 2 рубля 88 копеек.

719. Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 р. 50 к. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть с него по 5 р. за каждое разбитое им зеркало. На дороге извозчик действительно разбил несколько зеркал и за перевозку получил только 18 р. Сколько зеркал он доставил в целости?

Пусть разбили x зеркал, тогда:
25 − x − доставлено целых зеркал;
1 р. 50 к. = 1 50/100 = 1 1/2 рубля.
3/2 ∗ ( 25 − x ) − 5 x = 18
75/23/2 x − 5 x = 18
3/2 x − 5 x = 18 − 37 1/2
− 5 3/2 x = − 19 1/2
x = − 19 1/2 : − 5 3/2
x = 39/2 : 13/2
x = 39/22/13 = 3 зеркала разбили.
25 − 3 = 22 зеркала доставили целыми.
Ответ: 22 зеркала.

720. Первый мастер шьёт шубу за 5 дней, а второй за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок?

Найдите x в уравнении x : 1/5 = ( 9 − x ) : 1/3 и укажите, сколько шуб должен сшить 1 мастер, чтобы закончить свою работу одновременно со вторым мастером:
x = 3 3/8+
x = 3 5/8
x = 3 7/8
x = 3 1/8
1. Раскройте скобки;
2. Перенесите слагаемые с x в левую часть уравнения, а слагаемые без x в правую часть уравнения (при переносе не забываем менять знак).
3. Выполните вычисления.

1/5 шубы за 1 день шьёт первый мастер;
1/3 шубы за 1 день шьёт второй мастер;

Пусть первый сошьет x шуб, тогда:
9 − x шуб сошьет второй.
Кратчайший срок исполнения заказа будет в том случае, если оба мастера закончат работу одновременно, тогда:
x : 1/5 = ( 9 − x ) : 1/3
x ∗ 5/1 = ( 9 − x ) ∗ 3/1
5 x = 27 − 3 x
5 x + 3 x = 27
8 x = 27
x = 27/8 = 3 3/8 шубы необходимо дать первому мастеру и 3 5/8 шубы второму мастеру, чтобы они закончили свою работу одновременно и работа была закончена в кратчайший срок. По условию задачи количество шуб должно быть целым, тогда первому мастеру даём ближайшее целое число к 3 3/8, а это 3. Тогда второму мастеру достанется 9 − 3 = 6 шуб.
3 : 1/5 = 3 ∗ 5 = 15 дней первый мастер будет шить 3 шубы;
мастеру достанется 9 − 3 = 6 шуб.
6 : 1/3 = 6 ∗ 3 = 18 дней второй мастер будет шить 6 шуб.
Так как мастера работают одновременно, то срок выполнения заказа составит 18 дней.
Ответ:
Первому мастеру 3 шубы;
Второму мастеру 6 шуб;
Заказ будет выполнен за 18 дней.

721. Три пирата Джон, Джек и Билл откопали кувшин с золотыми. Джон хотел взять себе треть всех золотых и половину остатка дать Джеку. Джек хотел взять себе половину всех золотых и треть остатка дать Джону. На каком варианте дележа они остановились, Билл не помнит, но он точно знает, что ему досталось 50 золотых. Сколько золотых было в кувшине?

Пусть всего монет в кувшине было x, тогда:

1 вариант:

1/3 x монет взял себе Джон,
x − 1/3 x = 2 3 x монет осталось в кувшине, после того как Джон взял свою долю;
2/3 x : 2 = 2/3 x ∗ 1/2 = 1/3 x − монет досталось Джеку;
x − 1/3 x − 1/3 x = 50
1/3 x = 50
x = 50 : 1/3 = 50 ∗ 3 = 150 монет было в кувшине.

2 вариант:

1/2 x монет взял себе Джек,
x − 1/2 x = 1 2 x монет осталось в кувшине, после того как Джек взял свою долю;
1/2 x : 3 = 1/2 x ∗ 1/3 = 1/6 x − монет досталось Джону;
x − 1/2 x − 1/6 x = 50
x − 3/6 x − 1/6 x = 50
x − 4/6 x = 50
x − 2/3 x = 50
1/3 x = 50
x = 50 : 1/3 = 50 ∗ 3 = 150 монет было в кувшине.
Ответ: в обоих случаях в кувшине было 150 монет.

141

Ответы к странице 141

722. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь? Движение с выключенным мотором не рассматривается.

1/20 бака тратится на 1 км пути против течения;
1/30 бака тратится на 1 км пути по течению;
Путь в одну сторону равен пути в другую сторону, поэтому пусть этот отрезок реки будет равен x км, тогда:
1/20 x + 1/30 x = 1
5/60 x = 1
x = 1 : 5/60 = 1 ∗ 60/5 = 1 ∗ 12 = 12 к м − наибольшее расстояние на которое может отплыть рыбак.
Ответ: 12 км.

723. Остап купил 4 новых колеса для своего автомобиля. Он знает, что передние колеса, автомобиля изнашиваются через 12 тыс.км пробега, а задние − через 8 тыс. км пробега. Какой наибольший путь может проехать автомобиль, если Остап догадается вовремя поменять задние колеса с передними?

Пусть ресурс колеса равен 1, тогда:
переднее колесо изнашивается на

1/12 за каждую тысячу километров;
заднее колесо изнашивается на 1 8 за каждую тысячу километров.
Пусть проехали x километров до смены шин и y километров после смены шин, тогда:
x + у − общий путь пройденный автомобилем;
1 − 1/12 x − остаток ресурса передних колес после смены;
1 − 1/8 x − остаток ресурса задних колес после смены;
1 − 1/12 x − 1/8 y − остаток ресурса передних колес после всего пройденного расстояния;
1 − 1/8 x − 1/12 y − остаток ресурса задних колес после всего пройденного расстояния.
Машина проедет максимально расстояние, если колеса износятся полностью, то есть:
1 − 1/12 x − 1/8 y = 0
1/12 x + 1/8 y = 1
2 x + 3 y/24 x = 1
2 x + 3 y = 24
и 1 − 1/8 x − 1/12 y = 0
1/8 x + 1/12 y = 1
3 x + 2 y 24 x = 1
3 x + 2 y = 24
2 x + 3 y + 3 x + 2 y = 24 + 24
5 x + 5 y = 48
5 ( x + y ) = 48
x + y = 48/5 = 9 3/5 = 9 600/1000 тыс.км = 9600 км.
Ответ: 9600 км.

144

Десятичные дроби
Понятие положительной десятичной дроби

Ответы к стр. 144

724. Запишите и обыкновенные и смешанные дроби в виде десятичных и прочитайте полученные записи:
а) 3 1/10, 2 9/10, 15 4/103/105/1011/1027/10;
б) 5 12/100, 7 20/100, 6 91/10013/10085/1007/100111/100;
в) 5 135/1000, 17 399/1000, 8 999/1000777/1000123/100087/10002011/1000;
г) 4 8899/10000, 1 5678/100001234/100006969/1000098/100002012/10000.

а) 3 1/10 = 3,1 — три целых одна десятая,
9/10 = 2,9 — две целых девять десятых,
15 4/10 = 15,4 — пятнадцать целых четыре десятых,
3/10 = 0,3 — нуль целых три десятых,
5/10 = 0,5 — нуль целых пять десятых,
11/10 = 1,1 — одна целая одна десятая,
27/10 = 2,7 — две целых семь десятых;

б) 5 12/100 = 5,12 — пять целых двенадцать сотых,
20/100 = 7,2 — семь целых две десятых,
91/100 = 6,91 — шесть целых девяносто одна сотая,
13/100 = 0,13 — нуль целых тринадцать сотых,
85/100 = 0,85 — нуль целых восемьдесят пять сотых,
7/100 = 0,07 — нуль целых семь сотых,
111/100 = 1,11 — одна целая одиннадцать сотых;

в) 5 135/1000 = 5,135 — пять целых сто тридцать пять тысячных,
17 399/1000 = 17,399 — семнадцать целых триста девяносто девять тысячных,
999/1000 = 8,999 — восемь целых девятьсот девяносто девять тысячных,
777/1000 = 0,777 – нуль целых семьсот семьдесят семь тысячных,
123/1000 = 0,123 – нуль целых сто двадцать три тысячных,
87/1000 = 0,087 – нуль целых восемьдесят семь тысячных,
2011/1000 = 2,011 – две целых одиннадцать тысячных;

г) 4 8899/10000 = 4,8899 – четыре целых восемь тысяч восемьсот девяносто девять десятитысячных,
5678/10000 = 1,5678 – одна целая пять тысяч шестьсот семьдесят восемь десятитысячных,
1234/10000 = 0,1234 – нуль целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячных,
6969/10000 = 0,6969 – нуль целых шесть тысяч девятьсот шестьдесят девять десятитысячных,
98/10000 = 0,0098 – нуль целых девяносто восемь десятитысячных,
2012/10000 = 0,2012 – нуль целых две тысячи двенадцать десятитысячных.

725. Прочитайте дроби, запишите их в виде обыкновенных или смешанных дробей:
а) 3,2; 7,3; 3,5; 0,1; 0,9;
б) 7,12; 9,23; 10,34; 0,45; 0,56;
в) 12,333; 16,596; 0,887; 0,379; 0,111;
г) 2,1111; 5,1995; 4,1996; 0,1997; 0,1998.

а) 3,2 (три целых две десятых) = 3 2/10;
7,3 (семь целых три десятых) = 7 3/10;
3,5 (три целых пять десятых) = 3 5/10;
0,1 (нуль целых одна десятая) = 1/10;
0,9 (нуль целых девять десятых) = 9/10;

б) 7,12 (семь целых двенадцать сотых) = 7 12/100;
9,23 (девять целых двадцать три сотых) = 9 23/100;
10,34 (десять целых тридцать четыре сотых) = 10 34/100;
0,45 (нуль целых сорок пять сотых) = 45/100;
0,56 (нуль целых пятьдесят шесть сотых) = 56/100;

в) 12,333 (двенадцать целых триста тридцать три тысячных) = 12 333/1000;
16,596 (шестнадцать целых пятьсот девяносто шесть тысячных) = 16 596/1000;
0,887 (нуль целых восемьсот восемьдесят семь тысячных) = 887/1000;
0,379 (нуль целых триста семьдесят девять тысячных) = 379/1000;
0,111 (нуль целых сто одиннадцать тысячных) = 111/1000;

г) 2,1111 (две целых одна тысяча сто одиннадцать десятитысячных) = 2 1111/10000;
5,1995 (пять целых одна тысяча девятьсот девяносто пять десятитысячных) = 5 1995/10000;
4,1996 (четыре целых одна тысяча девятьсот девяносто шесть десятитысячных) = 4 1996/10000;
0,1997 (нуль целых одна тысяча девятьсот девяносто семь десятитысячных) = 1997/10000;
0,1998 (нуль целых одна тысяча девятьсот девяносто восемь десятитысячных) = 1998/10000.

726. Запишите обыкновенные и смешанные дроби в виде десятичных и прочитайте полученные записи:
а) 4 1/100; 215 3/1009/1002/10011/100; 21 17/100;
б) 3 1/1000; 7 12/10008/100081/1000; 32 7/1000113/1000;
в) 6 5/10000; 2 13/10000356/10000679/100002011/10000; 15 17/10000;
г) 7 7/100000; 100 46/100000627/1000001111/100000; 98 2012/100000.

а) 4 1/100 = 4,01 – четыре целых одна сотая;
215 3/100 = 215,03 – двести пятнадцать целых три сотых;
9/100 = 0,09 – нуль целых девять сотых;
2/100 = 0,02 – нуль целых две сотых;
11/100 = 0,11 – нуль целых одиннадцать сотых;
21 17/100 = 21,17 – двадцать одна целая семнадцать сотых;

б) 3 1/1000 = 3,001 – три целых одна тысячная;
12/1000 = 7,012 – семь целых двенадцать тысячных;
8/1000 = 0,008 – нуль целых восемь тысячных;
81/1000 = 0,081 – нуль целых восемьдесят одна тысячная;
32 7/1000 = 32,007 – тридцать две целых семь тысячных;
113/1000 = 0,113 – нуль целых сто тринадцать тысячных;

в) 6 5/10000 = 6,0005 – шесть целых пять десятитысячных;
13/10000 = 2,0013 – две целых тринадцать десятитысячных;
356/10000 = 0,0356 – нуль целых триста пятьдесят шесть десятитысячных;
679/10000 = 0,0679 – нуль целых шестьсот семьдесят девять десятитысячных;
2011/10000 = 0,2011 – нуль целых две тысячи одиннадцать десятитысячных;
15 17/10000 = 15,0017 – пятнадцать целых семнадцать десятитысячных;

г) 7 7/100000 = 7,00007 – семь целых семь стотысячных;
100 46/100000 = 100,00046 – сто целых сорок шесть стотысячных;
627/100000 = 0,00627 – нуль целых шестьсот двадцать семь стотысячных;
1111/100000 = 0,01111 – нуль целых одна тысяча сто одиннадцать стотысячных;
98 2012/100000 = 98,02012 – девяносто восемь целых две тысячи двенадцать стотысячных.

727. Запишите в виде неправильной дроби:
а) 12,3;   б) 1,23;     в) 10,123; г) 987,6;   д) 98,76;
е) 9,876; ж) 2,2222; з) 22,222; и) 222,22.

а) 12,3 = 123/10;
б) 1,23 = 123/100;
в) 10,123 = 10123/1000;
г) 987,6 = 9876/10;
д) 98,76 = 9876/100;
е) 9,876 = 9876/1000;
ж) 2,2222 = 22222/10000;
з) 22,222 = 22222/1000;
и) 222,22 = 22222/100.

728. Прочитайте дроби:
а) 5,05; 7,01; 12,07; 0,01; 0,09;
б) 19,004; 6,016; 8,008; 0,001; 0,022;
в) 13,0007; 2,0089; 16,0999; 0,0001; 0,0022;
г) 31,00009; 7,00099; 0,00001; 0,00666.

а) 5,05 — пять целых пять сотых;
7,01 — семь целых одна сотая;
12,07 — двенадцать целых семь сотых;
0,01 — нуль целых одна сотая;
0,09 — нуль целых девять сотых;

б) 19,004 — девятнадцать целых четыре тысячных;
6,016 — шесть целых шестнадцать тысячных;
8,008 — восемь целых восемь тысячных;
0,001 — нуль целых одна тысячная;
0,022 — нуль целых двадцать две тысячных;

в) 13,0007 — тринадцать целых семь десятитысячных;
2,0089 — две целых восемьдесят девять десятитысячных;
16,0999 — шестнадцать целых девятьсот девяносто девять десятитысячных;
0,0001 — нуль целых одна десятитысячная;
0,0022 — нуль целых двадцать две десятитысячных;

г) 31,00009 — тридцать одна целая девять стотысячных;
7,00099 — семь целых девяносто девять стотысячных;
0,00001 — нуль целых одна стотысячная;
0,00666 — нуль целых шестьсот шестьдесят шесть стотысячных.

145

Десятичные дроби
Понятие положительной десятичной дроби

Ответы к стр. 145

729. Почитайте дроби, назовите их целые части, назовите цифры разрядов десятых, сотых и т. д.
а) 16,789; 0,1234; 100,56789; б) 0,023; 7,00526; 0,00017.

а) 16,789 — шестнадцать целых семьсот восемьдесят девять тысячных,  целая часть – шестнадцать, разряд десятых – семь, разряд сотых – восемь, разряд тысячных – девять;

0,1234 — нуль целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячных, целая часть – нуль, разряд десятых – один, разряд сотых – два, разряд тысячных – три, разряд десятитысячных – четыре;

100,56789 — сто целых пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять стотысячных, целая часть – сто, разряд десятых – пять, разряд сотых – шесть, разряд тысячных – семь, разряд десятитысячных – восемь, разряд стотысячных — девять;

б) 0,023 — нуль целых двадцать три тысячных, целая часть – нуль, разряд десятых – нуль, разряд сотых – два, разряд тысячных – три;

7,00526 — семь целых пятьсот двадцать шесть стотысячных, целая часть – семь, разряд десятых – нуль, разряд сотых – нуль, разряд тысячных – пять, разряд десятитысячных – два, разряд стотысячных — шесть;

0,00017 — нуль целых семнадцать стотысячных, целая часть – нуль, разряд десятых – нуль, разряд сотых – нуль, разряд тысячных – нуль, разряд десятитысячных – один, разряд стотысячных – семь.

730. Запишите в виде десятичной дроби по образцу:
а) 18/30 = 3•6/3•10 = 6/10 = 0,6;  б) 27/9024/12024/4048/60;
в) 15/500160/40036/900140/700; г) 11/1100081/3000144/400008888/400000.

б) 27/90 = 9•3/9•10 = 3/10 = 0,3,
24/120 = 12•2/12•10 = 2/10 = 0,2,
24/40 = 4•6/4•10 = 6/10 = 0,6,
48/60 = 6•8/6•10 = 8/10 = 0,8;

в) 15/500 = 5•3/5•100 = 3/100 = 0,03,
160/400 = 40•4/40•10 = 4/10 = 0,4,
36/900 = 9•4/9•100 = 4/100 = 0,04,
140/700 = 70•2/70•10 = 2/10 = 0,2;

г) 11/11000 = 11•1/11•1000 = 1/1000 = 0,001,
81/3000 = 3•27/3•1000 = 27/1000 = 0,027,
144/40000 = 4•36/4•10000 = 36/10000 = 0,0036,
8888/400000 = 4•2222/4•100000 = 2222/100000 = 0,02222.

731. Запишите в виде десятичной дроби по образцу:
а) 1/4 = 1•25/4•25 = 25/100 = 0,25; б) 1/21/52/53/54/5;
в) 3/41/253/2524/257/25;          г) 1/201/5021/503/409/200;
д) 16/10324/10099/101234/1000;  е) 168/40328/809999/9001648/160;
ж) 3/26/517/439/25;                   з) 13/2014/2014/70035/50036/500.

б) 1/2 = 1•5/2•5 = 5/10 = 0,5,
1/5 = 1•2/5•2 = 2/10 = 0,2,
2/5 = 2•2/5•2 = 4/10 = 0,4,
3/5 = 3•2/5•2 = 6/10 = 0,6,
4/5 = 4•2/5•2 = 8/10 = 0,8;

в) 3/4 = 3•25/4•25 = 75/100 = 0,75,
1/25 = 1•4/25•4 = 4/100 = 0,04,
3/25 = 3•4/25•4 = 12/100 = 0,12,
24/25 = 24•4/25•4 = 96/100 = 0,96,
7/25 = 7•4/25•4 = 28/100 = 0,28;

г) 1/20 = 1•5/20•5 = 5/100 = 0,05,
1/50 = 1•2/50•2 = 2/100 = 0,02,
21/50 = 21•2/50•2 = 42/100 = 0,42,
3/40 = 3•25/40•25 = 75/1000 = 0,075,
9/200 = 9•5/200•5 = 45/1000 = 0,045;

д) 16/10 = 1 6/10 = 1,6,
324/100 = 3 24/100 = 3,24,
99/10 = 9 9/10 = 9,9,
1234/1000 = 1 234/1000 = 1,234;

е) 168/40 = 4 8/40 = 4 4•2/4•10 = 4 2/10 = 4,2,
328/80 = 4 8/80 = 4 8•1/8•10 = 4 1/10 = 4,1,
9999/900 = 11 99/900 = 11 9•11/9•100 = 11 11/100 = 11,11,
1648/160 = 10 48/160 = 10 16•3/16•10 = 10 3/10 = 10,3;

ж) 3/2 = 1 1/2 = 1 1•5/2•5 = 1 5/10 = 1,5,
6/5 = 1 1/5 = 1 1•2/5•2 = 1 2/10 = 1,2,
17/4 = 4 1/4 = 4 1•25/4•25 = 4 25/100 = 4,25,
39/25 = 1 14/25 = 1 14•4/25•4 = 1 56/100 = 1,56;

з) 13/20 = 13•5/20•5 = 65/100 = 0,65,
14/20 = 14•5/20•5 = 70/100 = 0,7,
14/700 = 7•2/7•100 = 2/100 = 0,02,
35/500 = 5•7/5•100 = 7/100 = 0,07,
36/500 = 36•2/500•2 = 72/1000 = 0,072.

732. Выразите в метрах и дециметрах по образцу:
а) 3,2 м = 3 м 2 дм; б) 4,9 м; в) 6,1 м.

б) 4,9 м = 4 м 9 дм;
в) 6,1 м = 6 м 1 дм.

733. Выразите в метрах и сантиметрах:
а) 3,12 м; б) 8,54 м; в) 6,02 м; г) 6,2 м.

а) 3,12 м = 3 м 12 см;
б) 8,54 м = 8 м 54 см;
в) 6,02 м = 6 м 2 см;
г) 6,2 м = 6 м 20 см.

734. Выразите в рублях и копейках по образцу:
а) 3,45 р. = 3 р. 45 к.; б) 3,56 р.; в) 5,6 р.;
г) 6,05 р.;                    д) 6,1 р.;    е) 0,25 р.

б) 3,56 р. = 3 р. 56 к.;
в) 5,6 р. = 5 р. 60 к.;
г) 6,05 р. = 6 р. 5 к.;
д) 6,1 р. = 6 р. 10 к.;
е) 0,25 р. = 25 к.

735. Выразите в килограммах и граммах:
а) 8,537 кг; б) 8,037 кг; в) 8,007 кг; г) 8,530 кг; д) 8,500 кг.

а) 8,537 кг = 8 кг 537 г;
б) 8,037 кг = 8 кг 37 г;
в) 8,007 кг = 8 кг 7 г;
г) 8,530 кг = 8 кг 530 г;
д) 8,500 кг = 8 кг 500 г.

736. Выразите в тоннах и килограммах:
а) 0,435 т; б) 4,350 т, в) 5,024 т; г) 6,030 т; д) 7,008 т.

а) 0,435 т = 435 кг;
б) 4,350 т = 4 т 350 кг;
в) 5,024 т = 5 т 24 кг;
г) 6,030 т = 6 т 30 кг;
д) 7,008 т = 7 т 8 кг.

737. Запишите величину, используя десятичные дроби, по образцу:
а) 23 см 2 мм = 23 2/10 см = 23,2 см;
б) 5 м 6 дм;   в) 7 м 54 см;  г) 8 м 4 см;
д) 11 ц 52 кг; е) 11 ц 50 кг; ж) 11 ц 5 кг;
з) 5 р. 48 к.;   и) 5 р. 50 к.;   к) 3 р. 5 к.

б) 5 м 6 дм = 5 6/10 м = 5,6 м;
в) 7 м 54 см = 7 54/100 м = 7,54 м;
г) 8 м 4 см = 8 4/100 м = 8,04 м;
д) 11 ц 52 кг = 11 52/100 ц = 11,52 ц;
е) 11 ц 50 кг = 11 50/100 ц = 11,5 ц;
ж) 11 ц 5 кг = 11 5/100 ц = 11,05 ц;
з) 5 р. 48 к. = 5 48/100 р = 5,48 р.;
и) 5 р. 50 к. = 5 50/100 р = 5,5 р.;
к) 3 р. 5 к = 3 5/100 р = 3,05 р.

146

Ответы к стр. 146

738. Выполните действия:
а) 8,23 м + 3,56 м; б) 7,39 р. − 6,27 р.;
в) 0,3 дм • 0,2 дм; г) 1,3 м • 0,02 м;
д) 4,62 км : 2 с;     е) 12 км : 5 ч.

а) 8,23 м + 3,56 м = 8 23/100 м + 3 56/100 м = 11 79/100 м = 11,79 м;

б) 7,39 р. − 6,27 р. = 7 39/100 р. – 6 27/100 р. = 1 12/100 р. = 1,12 р.;

в) 0,3 дм • 0,2 дм = 3/10 дм • 2/10 дм = 6/100 дм2 = 0,06 дм2;

г) 1,3 м • 0,02 м = 130/100 м • 2/100 м = 260/10000 = 0,026 м2;

д) 4,62 км : 2 с = 462/100 км : 2 с = 462/100 км • 1/2 с = 462/200 км/с = 231/100 км/с = 2,31 км/с;

е) 12 км : 5 ч = 12 км • 1/5 ч = 12/5 км/ч = 24/10 км/ч = 2,4 км/ч.

147

Десятичные дроби
Сравнение положительных десятичных дробей

Ответы к стр. 147

739. Что получится, если у десятичной дроби в дробной части приписать справа нули? Приведите примеры.

Если у десятичной дроби в дробной части приписать справа нули, тот получится дробь, равная данной:
0,81 = 0,810 = 0,8100 = 0,81000.

740. Что получится, если у десятичной дроби в дробной части отбросить справа нули? Приведите примеры.

Если у десятичной дроби в дробной части отбросить справа нули, тот получится дробь, равная данной:
0,81000 = 0,8100 = 0,810 = 0,81.

741. Какая из двух положительных десятичных дробей больше? Приведите примеры.

Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей больше та дробь, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых больше та дробь, у которых цифра разряда сотых больше, и т. д.:
8,1 > 7,1; 8,23 > 8,22.

742. Уравняйте число цифр после запятой у дробей:
а) 1,2 и 3,51;          б) 0,23 и 0,123; в) 0,6 и 3,02;
г) 7,125 и 0,48007; д) 6,23 и 7,5;     е) 8,2001 и 9,00007.

а) 1,20 и 3,51;
б) 0,230 и 0,123;
в) 0,60 и 3,02;
г) 7,12500 и 0,48007;
д) 6,23 и 7,50;
е) 8,20010 и 9,00007.

743. Сколько десятых, сотых, тысячных содержит дробь:
а) 1,235; б) 1,27; в) 3,51; г) 0,5?

а) две десятых, три сотых, пять тысячных;
б) две десятых, семь сотых, нуль тысячных;
в) пять десятых, одна сотая, нуль тысячных;
г) пять десятых, нуль сотых, нуль тысячных.

744. Какая из дробей больше:
а) 6,35 или 5,19; б) 7,48 или 7,51;
в) 2,52 или 2,53; г) 17,49 или 17,5?

а) 6,35 > 5,19, так как целая часть первой дроби (шесть) больше целой части второй дроби (пять);

б) 7,48 < 7,51, так как целые части дробей равны, а цифра разряда десятков первой дроби (четыре) меньше цифры разряда десятков второй дроби (пять);

в) 2,52 < 2,53, так как целые части и цифра разряда десятков дробей равны, а цифра разряда сотен первой дроби (два) меньше цифры разряда сотен второй дроби (три);

г) 17,49 < 17,5, так как целые части дробей равны, а цифра разряда десятков первой дроби (четыре) меньше цифры разряда десятков второй дроби (пять).

745. Используя знаки = и ≠, сравните дроби:
а) 7,5 и 7,50;       б) 8,5 и 9,1;      в) 0,48 и 0,4;
г) 0,25 и 0,2500; д) 7,48 и 7,481; е) 3,1 и 2,99.

а) 7,5 = 7,50;
б) 8,5 ≠ 9,1;
в) 0,48 ≠ 0,4;
г) 0,25 = 0,2500;
д) 7,48 ≠ 7,481;
е) 3,1 ≠ 2,991.

Используя знаки > и <, сравните дроби (746-748):

746. а) 3,59 и 7,1;  б) 6,28 и 6,9;           в) 0,4 и 0,51;
        г) 72,7 и 7,27; д) 4,1234 и 4,1231; е) 12,39 и 1,2399.

а) 3,59 < 7,1;
б) 6,28 < 6,9;
в) 0,4 < 0,51;
г) 72,7 > 7,27;
д) 4,1234 > 4,1231;
е) 12,39 > 1,2399.

747. а) 2,078 и 2,780; б) 3,205 и 3,025; в) 7,250 и 7,205;
        г) 4,290 и 4,295; д) 12,4 и 12,41;    е) 15,129 и 15,1.

а) 2,078 < 2,780;
б) 3,205 > 3,025;
в) 7,250 > 7,205
г) 4,290 < 4,295;
д) 12,4 < 12,41;
е) 15,129 > 15,1.

748. а) 6,92 и 6,9; б) 1,2 и 1,19; в) 72,3 и 7,239; г) 0,48 и 0,471.

а) 6,92 > 6,9;
б) 1,2 > 1,19;
в) 72,3 > 7,239;
г) 0,48 > 0,471.

Укажите число, большее одного из данных чисел, но меньшее другого (749-751):

749. а) 4000 и 5000; б) 4200 и 4300;
        в) 4250 и 4260; г) 4290 и 4300.

а) 4000 < 4350 < 5000;
б) 4200 < 4250 < 4300;
в) 4250 < 4256 < 4260;
г) 4290 < 4294 < 4300.

750. а) 0,600 и 0,700; б) 0,650 и 0,660;
        в) 0,650 и 0,655; г) 0,655 и 0,660.

а) 0,600 < 0,655 < 0,700;
б) 0,650 < 0,656 < 0,660;
в) 0,650 < 0,653 < 0,655;
г) 0,655 < 0,656 < 0,660.

751. а) 0,6 и 0,7;     б) 0,48 и 0,49;
        в) 0,65 и 0,66; г) 0,325 и 0,326.

а) 0,6 < 0,66 < 0,7;
б) 0,48 < 0,484 < 0,49;
в) 0,65 < 0,655 < 0,66;
г) 0,325 < 0,3257 < 0,326.

148

Ответы к стр. 148

752. Расположите дроби в порядке возрастания:
а) 0,8; 1,17; 0,789; 1,7; б) 3,5; 0,35; 3,35; 0,335.

а) 0,789; 0,8; 1,17; 1,7;
б) 0,335; 0,35; 3,35; 3,5.

753. Расположите дроби в порядке убывания:
а) 7,4; 6,98; 7,199; 6,899; б) 0,449; 0,49; 0,5; 0,499.

а) 7,4; 7,199; 6,98; 6,899;
б) 0,5; 0,499; 0,49; 0,449.

754. Изобразите на координатной прямой числа:
а) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0;
б) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0.

755. В каком порядке (слева направо) на координатной прямой расположены точки:
а) А(1,2), В(0,2), C(1,13); б) М(7,48), N(4,78), К(7,8)?

а) В(0,2), C(1,13), А(1,2);
б) N(4,78), М(7,48), К(7,8).

756. Запишите величины с помощью десятичных дробей и сравните их:
а) 7 кг 485 г и 6 кг 90 г;     б) 5 м 48 см и 5 м 40 см;
в) 7 км 740 м и 7 км 74 м; г) 8 т 5 кг и 8 т 500 кг.

а) 7 кг 485 г = 7,485 кг, 6 кг 90 г = 6,9 кг,
7,485 кг > 6,9 кг;

б) 5 м 48 см = 5,48 м, 5 м 40 см = 5,4 м,
5,48 м > 5,4 м;

в) 7 км 740 м = 7,74 км, 7 км 74 м = 7,074 км,
7,74 км > 7,074 км;

г) 8 т 5 кг = 8,005 т, 8 т 500 кг = 8,5 т,
8,005 т < 8,5 т.

757. Запишите в метрах и сантиметрах:
а) 6,79 м; 12,48 м; 16,06 м; б) 19,01 м; 7,40 м; 7,4 м; 8,1 м.

а) 6,79 м = 6 м 79 см;
12,48 м = 12 м 48 см;
16,06 м = 16 м 6 см;

б) 19,01 м = 19 м 1 см;
7,40 м = 7 м 40 см;
7,4 м = 7 м 40 см;
8,1 м = 8 м 10 см.

758. Запишите в тоннах и килограммах:
а) 3,569 т; 6,760 т; 6,070 т; б) 6,007 т; 4,480 т; 4,48 т; 9,4 т.

а) 3,569 т = 3 т 569 кг;
6,760 т = 6 т 760 кг;
6,070 т = 6 т 70 кг;

б) 6,007 т = 6 т 7 кг;
4,480 т = 4 т 480 кг;
4,48 т = 4 т 480 кг;
9,4 т = 9 т 400 кг.

149

Десятичные дроби
Сложение и вычитание положительных десятичных дробей

Ответы к стр. 149

Вычислите (759-761):

759. а) 1,5 + 2,3;   б) 3,7 + 1,4;            в) 12,3 + 1,23;
        г) 7,84 + 8,9; д) 125,34 + 12,534; е) 7,53 + 8,624.

а) +1,5
      2,3
      3,8

      1
б) +3,7
      1,4
      5,1

в) +12,30
        1,23
      13,53

      1
г) 7,84
      8,90
    16,74

д) +125,340
        12,534
      137,874

       1
е) 7,530
       8,624
     16,154

760. а) 6,48 − 2,35; б) 7,26 − 3,19; в) 2,528 − 1,9;
        г) 7,2 − 3,148; д) 6,98 − 3,99; е) 7,25 − 3,261.

а) 6,48
      2,35
      4,13

         
б) 7,26
      3,19
      4,07

      
в) 2,528
      1,900
      0,628

         
г) 7,200
     3,148
     4,052

        
д) 6,98
      3,99
      2,99

      •  • •
е) 7,250
      3,261
      3,989

761. а) 38 + 0,56; б) 7,39 + 11;   в) 0,736 + 25;
        г) 8,248 − 6; д) 7,2 − 1,899; е) 5 − 3,78.

а) +38,00
       0,56
     38,56

б) 7,39
     11,00
     18,39

в) 0,736
     25,000
     25,736

г) 8,248
     6,000
     2,248

д) 7,200
      1,899
      5,301

е) 5,00
      3,78
      1,22

150

Ответы к стр. 150

Вычислите, применяя законы сложения и правила раскрытия скобок (762-763):

762. а) 7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81;       б) 6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29;
        в) 16,28 + 5,395 − 1,18 − 4,305; г) 7,358 + 8,24 − 6,458 − 2,84.

а) 7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81 = (7,48 + 1,12) + (3,19 + 6,81) = 8,6 + 10 = 18,6;

      +7,48   3,16    +  8,6
      1,12      6,81     10,00
      8,60    10,00     18,60

б) 6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29 = (6,2 + 1,8) + (7,49 + 1,29) = 8 + 8,78 = 16,78;

      +6,2   +7,49    8,00
      1,8     1,29      8,78
      8,0     8,78    16,78

в) 16,28 + 5,395 − 1,18 − 4,305 = (16,28 − 1,18) + (5,395 — 4,305) = 15,1 + 1,09 = 16,19;

    −16,28   5,395    +15,10
      1,18     4,305       1,09
    15,10     1,090     16,19

г) 7,358 + 8,24 − 6,458 − 2,84 = (7,358 − 6,458) + (8,24 − 2,84) = 0,9 + 5,4 = 6,3.

    −7,358    8,24    +0,90
     6,458     2,84      5,40
     0,900     5,40      6,30

763. а) 5,236 + (4,664 − 2,6); б) 4,756 − (2,395 − 1,244).

а) 5,236 + (4,664 − 2,6) = (5,236 + 4,664) − 2,6 = 9,9 − 2,6 = 7,3.

    +5,236    9,9
     4,664     2,6
     9,900     7,3

б) 4,756 − (2,395 − 1,244) = (4,756 + 1,244) − 2,395 = 6 — 2,395 = 3,605. 

    +4,756    6,000
     1,244     2,395
     6,000     3,605

764. Заменив десятичную дробь обыкновенной, вычислите:
а) 2,5 + 3 1/2; б) 7 3/4 − 2,25; в) 0,2 • 3;
г) 4,8 : 4;       д) 6 : 0,6;         е) 12 : 0,3.

а) 2,5 + 3 1/2 = 2 5/10 + 3 1/2 = 2 1/2 + 3 1/2 = 6;
б) 7 3/4 − 2,25 = 7 75/100 – 2 25/100 = 5 50/100 = 5 1/2;
в) 0,2 • 3 = 2/10 • 3 = 6/10 = 3/5;
г) 4,8 : 4 = 48/10 • 1/4 = 12/10 = 1 2/10 = 1 1/5;
д) 6 : 0,6 = 6 : 6/10 = 6 • 10/6 = 10.
е) 12 : 0,3 = 12 : 3/10 = 12 • 10/3 = 40.

765. Заменив обыкновенную дробь десятичной, вычислите:
а) 1/10 + 2,5;  б) 7 3/100 − 2,15; в) 4,12 – 1 1/5;
г) 9,1 + 3 1/2; д) 17,3 – 9 1/4;    е) 6,09 + 2 1/25.

а) 1/10 + 2,5 = 0,1 + 2,5 = 2,6;
б) 7 3/100 − 2,15 = 7,03 − 2,15 = 4,88;
в) 4,12 – 1 1/5 = 4,12 – 1 2/10 = 4,12 − 1,2 = 2,92;
г) 9,1 + 3 1/2 = 9,1 + 3 5/10 = 9,1 + 3,5 = 12,6;
д) 17,3 – 9 1/= 17,3 – 9 25/100 = 17,3 − 9,25 = 8,05;
е) 6,09 + 2 1/25 = 6,09 + 2 4/100 = 6,09 + 2,04 = 8,13.

766. Вычислите периметр прямоугольника, если:
а) его ширина равна 2,3 см, а длина на 1,9 см больше;
б) его ширина равна 2,48 дм, а длина на 1,6 дм больше;
в) его длина равна 12,1 см, а ширина на 4,8 см меньше;
г) его длина равна 18 дм, а ширина на 4,7 дм меньше.

а) 1) 2,3 + 1,9 = 4,2 (см) – длина
2)  2,3 + 2,3 + 4,2 + 4,2 = 13 (см) — периметр
Ответ: периметр 13 см.

б) 1) 2,48 + 1,6 = 4,08 (дм) – длина
2) 2,48 + 2,48 + 4,08 + 4,08 = 13,12 (дм) — периметр
Ответ: периметр 13,12 дм.

в) 1) 12,1 – 4,8 = 7,3 (см) – ширина
2) 12,1 + 12,1 + 7,3 + 7,3 = 38,8 (см) — периметр
Ответ: периметр 38,8 см.

г) 1) 18 – 4,7 = 13,3 (дм) – ширина
2) 18 + 18 + 13,3 + 13,3 = 62,6 (дм) — периметр
Ответ: периметр 62,6 дм.

767. Вычислите по образцу:
а) 1,2 дм + 1,2 см = 1,2 дм + 0,12 дм = 1,32 дм;
б) 16 см + 4,35 дм; в) 7,35 м + 4,9 дм;   г) 2 * 4,8 дм;
д) 4,8 дм : 2;            е) 12,3 дм − 42 см; ж) 34 дм − 34 см.

б) 16 см + 4,35 дм = 1,6 дм + 4,35 дм = 5,95 дм;
в) 7,35 м + 4,9 дм = 73,5 дм + 4,9 дм = 78,4 дм;
г) 2 • 4,8 дм = 2 • 48 см = 96 см = 9,6 дм;
д) 4,8 дм : 2 = 48 см : 2 = 24 см = 2,4 дм;
е) 12,3 дм − 42 см = 12,3 дм − 4,2 дм = 8,1 дм;
ж) 34 дм − 34 см = 34 дм − 3,4 дм = 30,6 дм.

768. Вычислите периметр треугольника, имеющего стороны:
а) 490 мм, 48 см, 4,7 дм;    б) 23 мм, 3,4 см, 0,48 дм;
в) 3,5 см, 0,38 дм, 0,041 м; г) 0,125 м, 1,З дм, 14,5 см.

а) 490 мм + 48 см + 4,7 дм = 49 см + 48 см + 47 см = 144 (см) — периметр
Ответ: периметр 144 см.

б) 23 мм + 3,4 см + 0,48 дм = 2,3 см + 3,4 см + 4,8 см = 10,5 (см) — периметр
Ответ: периметр 10,5 см.

в) 3,5 см + 0,38 дм + 0,041 м = 3,5 см + 3,8 см + 4,1 см = 11,4 (см) — периметр
Ответ: периметр 11,4 см.

г) 0,125 м + 1,3 дм + 14,5 см = 12,5 см + 13 см + 14,5 см = 40 (см) — периметр
Ответ: периметр 40 см.

769. В квартире две комнаты. Одна комната имеет площадь 16,3 м2, а другая на 1,9 м2 меньше. Какова площадь двух комнат?

1) 16,3 – 1,9 = 14,4 (м2) — площадь второй комнаты
2) 16,3 + 14,4 = 30,7 (м2) − площадь двух комнат
Ответ: площадь комнат 30,7 м2.

770. В квартире три комнаты общей площадью 44,8 м2. Одна комната имеет площадь 11,3 м2, другая на 3,5 м2 больше. Найдите площадь третьей комнаты.

1) 11,3 + 3,5 = 14,8 (м2) – площадь второй комнаты
2) 11,3 + 14,8 = 26,1 (м2) – площадь первой и второй комнат
3) 44,8 – 26,1 = 18,7 (м2) − площадь третьей комнаты
Ответ: 18,7 м2.

771. Щенок весит 2,5 кг, а котёнок на 2,1 кг меньше. Сколько весят котёнок и щенок вместе?

1) 2,5 – 2,1 = 0,4 (кг) – весит котёнок
2) 2,5 + 0,4 = 2,9 (кг) − весят котёнок и щенок вместе
Ответ: 2,9 кг.

772. Турист проехал на автобусе 48,4 км − это на 25,8 км больше, чем он прошёл пешком. Какое расстояние турист преодолел на автобусе и пешком?

1) 48,4 – 25,8 = 22,6 (км) – прошёл пешком
2) 48,4 + 22,6 = 71 (км) —  преодолел турист на автобусе и пешком
Ответ: 71 км.

773. Боря собрал 12,6 кг яблок − это на 2,8 кг больше, чем собрал Алёша, и на 1,4 кг меньше, чем собрал Серёжа. Сколько килограммов яблок собрали мальчики вместе?

1) 12,6 – 2,8 = 9,8 (кг) – яблок собрал Алёша
2) 12,6 + 1,4 = 14 (кг) – яблок собрал Серёжа
3) 12,6 + 9,8 + 14 = 36,4 (кг) – яблок собрали мальчики вместе
Ответ: 36,4 кг яблок.

151

Ответы к стр. 151

774. В кассе была некоторая сумма денег. Поступило в кассу 480,5 р., а выдано из кассы 538,1 р. После чего в кассе осталось 1230,8 р. Сколько денег было в кассе первоначально?

х р. – было в кассе денег сначала, х + 480,5 р. – стало после поступления, х + 480,5 – 538,1 р. – стало после выдачи, что равно 1230,8 р. Тогда:
х + 480,5 − 538,1 = 1230,8;
х = 1230,8 − 480,5 + 538,1;
х = 750,3 + 538,1;
х = 1288,4 — рубля было в кассе
Ответ: 1288,4 рубля.

775. Скорость течения реки 4,2 км/ч, а собственная скорость лодки 7,5 км/ч. Определите скорость лодки по течению и против течения.

4,2 + 7,5 = 11,7 (км/ч) − скорость лодки по течению
7,5 − 4,2 = 3,3 (км/ч) − скорость лодки против течения
Ответ: 11,7 км/ч − скорость лодки по течению, 3,3 км/ч − скорость лодки против течения.

776. Скорость катера по течению 22,5 км/ч, а против течения 18,5 км/ч. Какова собственная скорость катера?

Разность скорости по течению и скорости против течения есть удвоенная скорость течения: Vпо т. – Vпр. т. = 2Vт., тогда:
2Vт. = 22,5 – 18,5;
2Vт. = 4;
Vт. = 4 : 2;
Vт. = 2 (км/ч) – скорость течения
22,5 – 2 = 20,5 (км/ч) – собственная скорость катера

или

х км/ч – скорость катера, а y км/ч – скорость течения, тогда x + y − скорость катера по течению, х − y − скорость катера против течения:
х + y + х − y = 22,5 + 18,5;
2х = 41;
х = 41 : 2;
х = 20,5 (км/ч) — собственная скорость катера
Ответ: 20,5 км/ч.

152

Десятичные дроби
Перенос запятой в положительной десятичной дроби

Ответы к стр. 152

777. В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы увеличить десятичную дробь:
а) в 10 раз;        б) в 100 раз;       в) в 1000 раз;
г) в 10 000 раз; д) в 100 000 раз; е) в 1 000 000 раз.

а) вправо на 1 цифру;
б) вправо на 2 цифры;
в) вправо на 3 цифры;
г) вправо на 4 цифры;
д) вправо на 5 цифр;
е) вправо на 6 цифр.

778. В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы уменьшить десятичную дробь:
а) в 10 раз;        б) в 100 раз;       в) в 1000 раз;
г) в 10 000 раз; д) в 100 000 раз; е) в 1 000 000 раз.

а) влево на 1 цифру;
б) влево на 2 цифры;
в) влево на 3 цифры;
г) влево на 4 цифры;
д) влево на 5 цифр;
е) влево на 6 цифр.

779. Как изменится дробь, если в её десятичной записи запятую перенести на 3 цифры вправо? на 3 цифры влево?

Увеличится в 1000 раз; уменьшится в 1000 раз.

780. Как изменится дробь, если:
а) запятую в её десятичной записи перенести сначала на 2 цифры вправо, а затем на 3 цифры влево;
б) запятую в её десятичной записи перенести сначала на 3 цифры влево, а затем на 2 цифры вправо?

а) 2 вправо − 3 влево = 1 влево — значит, уменьшится в 10 раз;
б) 3 влево − 2 вправо = 1 влево — значит, уменьшится в 10 раз.

781. Как изменится положение запятой в записи десятичной дроби, если эту дробь:
а) сначала увеличить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;
б) сначала увеличить в 10 раз, потом уменьшить в 100 раз;
в) сначала уменьшить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;
г) сначала уменьшить в 10 раз, а потом увеличить в 100 раз?

а) увеличить в 10 раз − вправо на 1, потом еще в 100 раз − вправо на 2, тогда 1 вправо + 2 вправо = 3 вправо – переместится на 3 вправо;

б) увеличить в 10 раз − вправо на 1, потом уменьшить в 100 раз − влево на 2, 1 вправо – 2 влево = 1 влево – переместится на 1 влево;

в) уменьшить в 10 раз − влево на 1, потом ещё в 100 раз − влево на 2, 1 влево + 2 влево = 3 влево – переместится на 3 влево;

г) уменьшить в 10 раз − влево на 1, а потом увеличить в 100 раз − вправо на 2, 1 влево – 2 вправо = 1 вправо – переместится на 1 вправо.

782. Какое число больше и во сколько раз;
а) 32,549 или 325,49; б) 2,7543 или 2754,3;
в) 47,58 или 4,758;     г) 123,45 или 1,2345?

а) 325,49 больше 32,549 в 10 раз;
б) 2754,3 больше 2,7543 в 1000 раз;
в) 47,58 больше 4,758 в 10 раз;
г) 123,45 больше 1,2345 в 100 раз.

783. Какое число меньше и во сколько раз:
а) 0,4853 или 4853; б) 0,296 или 0,00296;
в) 480 или 0,48;       г) 200 или 0,02?

а) 0,4853 меньше 4853 в 10 000 раз;
б) 0,00296 меньше 0,296 в 100 раз;
в) 0,48 меньше 480 в 1000 раз;
г) 0,02 меньше 200 в 10 000 раз.

784. Увеличьте следующие дроби в 10, 100, 1000 раз:
а) 7,3459; б) 8,279; в) 9,13; г) 7,2.

а) 73,459, 734,59, 7345,9;
б) 82,79, 827,9, 8279;
в) 91,3, 913, 9130;
г) 72, 720, 7200.

785. Выразите в сантиметрах по образцу:
а) 4,25 дм = 42,5 см; б) 4,2 мм = 0,42 см;
в) 5,21 дм; г) 3,2 дм; д) 13,2 мм; е) 2,1 мм.

в) 5,21 дм = 52,1 см;
г) 3,2 дм = 32 см;
д) 13,2 мм = 1,32 см;
е) 2,1 мм = 0,21 см.

153

Ответы к стр. 153

786. Выразите в дециметрах:
а) 4,84 м;     б) 3,5 м;
в) 396,7 см; г) 2,5 см;
д) 13 мм;     е) 25,4 мм.

а) 4,84 м = 48,4 дм;
б) 3,5 м = 35 дм;
в) 396,7 см = 39,67 дм;
г) 2,5 см = 0,25 дм;
д) 13 мм = 0,13 дм;
е) 25,4 мм = 0,254 дм.

787. Выразите в метрах:
а) 20 см;        б) 34,1 см;
в) 15,6 дм;     г) 3,4 дм;
д) 0,5265 км; е) 1,4356 км.

а) 20 см = 0,2 м;
б) 34,1 см = 0,341 м;
в) 15,6 дм = 1,56 м;
г) 3,4 дм = 0,34 м;
д) 0,5265 км = 526,5 м;
е) 1,4356 км = 1435,6 м.

788. Выразите в килограммах:
а) 1,246 ц;   б) 12,46 ц;  в) 124,6 ц;   г) 15 ц;
д) 1,5245 т; е) 15,245 т; ж) 152,45 т; з) 0,0485 т;
и) 7548 г;     к) 238 г;      л) 45 г;        м) 5 г.

а) 1,246 ц = 124,6 кг;
б) 12,46 ц = 1246 кг;
в) 124,6 ц = 12 460 кг;
г) 15 ц = 1500 кг;
д) 1,5245 т = 1524,5 кг;
е) 15,245 т = 15 245 кг;
ж) 152,45 т = 152 450 кг;
з) 0,0485 т = 48,5 кг;
и) 7548 г = 7,548 кг;
к) 238 г = 0,238 кг;
л) 45 г = 0,045 кг;
м) 5 г = 0,005 кг.

789. Выразите в квадратных километрах (км2):
а) 1245 га; б) 125 га; в) 1256 га; г) 145 га.

а) 1245 га = 12,45 км2;
б) 125 га = 1,25 км2;
в) 1256 га = 12,56 км2;
г) 145 га = 1,45 км2.

790. Выразите в квадратных сантиметрах (см2):
а) 3,548 дм2; б) 3,9 дм2; в) 635 мм2; г) 23 мм2.

а) 3,548 дм2 = 354,8 см2.
б) 3,9 дм2 = 390 см2.
в) 635 мм2 = 6,35 см2.
г) 23 мм2 = 0,23 см2.

791. Выразите в кубических метрах (м3):
а) 4754 дм3; б) 723 дм3; в) 35 дм3; г) 7 дм3.

а) 4754 дм3 = 4,754 м3;
б) 723 дм3 = 0,723 м3;
в) 35 дм3 = 0,035 м3;
г) 7 дм3 = 0,007 м3.

792. Выразите в кубических миллиметрах (мм3):
а) 0,3574 см3; б) 2,3915 см3; в) 7,29 см3; г) 4,325 см3.

а) 0,3574 см3 = 357,4 мм3;
б) 2,3915 см3 = 2391,5 мм3;
в) 7,29 см3 = 7290 мм3;
г) 4,325 см3 = 4325 мм3.

154

Десятичные дроби
Умножение положительных десятичных дробей

Ответы к стр. 154

793. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Вычислите произведение (794-799):

794. а) 0,02 • 10;     б) 3,2 • 100;    в) 0,3 • 1000;
        г) 2,39 • 1000; д) 0,041 • 100; е) 0,0005 • 1000.

а) 0,02 • 10 = 0,2;
б) 3,2 • 100 = 320;
в) 0,3 • 1000 = 300;
г) 2,39 • 1000 = 2390;
д) 0,041 • 100 = 4,1;
е) 0,0005 • 1000 = 0,5.

795. а) 2,4 • 2;   б) 3,1 • 3;    в) 0,5 • 2;
        г) 2,5 • 4;    д) 1,25 • 8;  е) 0,072 • 2;
       ж) 5,2 • 0,4; з) 7,1 • 0,9; и) 0,08 • 0,13.

а) ×2,4
         2
      4,8

б) ×3,1
         3
      9,3

в) ×0,5
         2
      1,0

г) × 2,5
         4
    10,0

д) × 1,25
           8
     10,00

е) ×0,072
            2
     0,144

ж) × 5,2
       0,4
     2,08

з) × 7,1
      0,9
    6,39

и) × 0,13
       0,08
   0,0104

796. а) 6,5 • 0,004;   б) 0,09 • 0,18;   в) 7,6 • 0,005;
        г) 0,048 • 0,09; д) 0,7 • 0,0085;  е) 0,009 • 0,78;
       ж) 80,8 • 0,7;      з) 0,09 • 5,007; и) 0,6 • 3,054.

а) ×    6,5
     0,004
     0,026

б)   × 0,18
         0,09
     0,0162

в) ×    7,6
     0,005
     0,038

г)   × 0,048
          0,09
     0,00432

д) ×0,0085
           0,7
    0,00595

е) × 0,78
     0,009
  0,00702

ж) ×80,8
        0,7
    56,56

з) ×5,007
       0,09
  0,45063

и) ×3,054
         0,6
    1,8324

797. а) 3,59 • 0,1;       б) 2,3 • 0,1;       в) 0,0235 • 0,1;
         г) 63,2 • 0,01;     д) 3,5 • 0,01;     е) 2,32 • 0,01;
        ж) 723,1 • 0,001; з) 79,4 • 0,001; и) 3,8 • 0,001.

а) 3,59 • 0,1 = 0,359;
б) 2,3 • 0,1 = 0,23;
в) 0,0235 • 0,1 = 0,00235;
г) 63,2 • 0,01 = 0,632;
д) 3,5 • 0,01 = 0,035;
е) 2,32 • 0,01 = 0,0232;
ж) 723,1 • 0,001 = 0,7231;
з) 79,4 • 0,001 = 0,0794;
и) 3,8 • 0,001 = 0,0038.

798. а) 4,381 • 0,2;  б) 7,713 • 0,8; в) 0,07 • 620,4;
        г) 0,2569 • 0,6; д) 0,3 • 2,451; е) 67,19 • 0,05;
       ж) 42,25 • 0,4;   з) 362,5 • 0,8; и) 512,5 • 0,08.

а) ×4,381
         0,2
    0,8762

б) ×7,713
         0,8
    6,1704

в) ×620,4
        0,07
    43,428

г) ×0,2569
           0,6
    0,15414

д) ×2,451
         0,3
    0,7353

е) ×67,19
       0,05
    3,3595

ж) ×42,25
          0,4
        16,9

з) ×362,5
         0,8
    290,00

и) ×512,5
        0,08
    41,000

155

Ответы к стр. 155

Вычислите произведение (794-799):

799. а) 2,3 • 1,1;    б) 4,3 • 1,2;   в) 0,22 • 3,3;
        г) 53 • 0,31;   д) 0,68 • 61;   е) 0,72 • 0,015;
       ж) 4,355 • 2,2; з) 3,2 • 0,25; и) 0,084 • 0,55.

а) ×2,3
      1,1
     + 23
     23  
    2,53

б) ×4,3
      1,2
     + 86
    43   
    5,16

в) ×0,22
       3,3
       + 66
      66 
   0,726

г) ×  53
    0,31
  +    53
  159   
  16,43

д) ×0,68
         61
      +   68
     408  
    41,48

е) × 0,72
     0,015
        +360
        72  
 0,01080

ж) ×4,355
          2,2
     +  8710
     8710  
    9,5810

з) × 3,2
    0,25
    +160
     64  
  0,800

и) ×0,084
        0,55
        + 420
       420  
  0,04620

800. Вычислите, применяя законы умножения:
а) 0,25 • 0,3 • 4;   б) 0,2 • 0,13 • 50; в) 0,8 • 0,11 • 1,25;
г) 0,125 • 3 • 0,8; д) 0,5 • 7,3 • 2,2;   е) 0,25 • 1,7 • 1,6.

а) 0,25 • 0,3 • 4 = (0,25 • 4) • 0,3 = 1 • 0,3 = 0,3;
×0,25
      4
  1,00

б) 0,2 • 0,13 • 50 = (0,2 • 50) • 0,13 = 10 • 0,13 = 1,3;
×0,2
     50
  10,0

в) 0,8 • 0,11 • 1,25 = (0,8 • 1,25) • 0,11 = 1 • 0,11 = 0,11;
×1,25
    0,8
 1,000

г) 0,125 • 3 • 0,8 = (0,125 • 0,8) • 3 = 0,1 • 3 = 0,3;
×0,125
     0,8
0,1000

д) 0,5 • 7,3 • 2,2 = (0,5 • 2,2) • 7,3 = 1,1 • 7,3 = 8,03;
 ×2,2     ×7,3
   0,5      1,1
 1,10   +   73
            73   
            8,03

е) 0,25 • 1,7 • 1,6 = (0,25 • 1,6) • 1,7 = 0,4 • 1,7 = 0,68.
 ×0,25    ×1,7
    1,6      0,4
 +150     0,68
   25  
0,400

Вычислите (801-805):

801. а) 2,4 • 4,8 + 2,6 • 4,8; б) 30,5 • 20,3 − 30,5 • 0,3;
        в) 5,1 • 1,8 − 1,8;          г) 4,9 • 6,2 + 6,2.

а) 2,4 • 4,8 + 2,6 • 4,8 = 4,8 • (2,4 + 2,6) = 4,8 • 5 = 24;
+2,4    ×4,8
  2,6        5
  5,0   24,0

б) 30,5 • 20,3 − 30,5 • 0,3 = 30,5 • (20,3 − 0,3) = 30,5 • 20 = 610;
20,3    ×30,5
     0,3        20
   20,0    610,0

в) 5,1 • 1,8 − 1,8 = 1,8 • (5,1 − 1) = 1,8 • 4,1 = 7,38;
5,1    ×1,8
   1         4,1
   4,1    18
             72   
            7,38

г) 4,9 • 6,2 + 6,2 = 6,2 • (4,9 + 1) = 6,2 • 5,9 = 36,58.
+4,9     ×6,2
  1         5,9
  5,9    +558
           310  
          36,58

802. а) 0,1 • 0,1;     б) 0,2 • 0,2 • 0,2; в) 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3;
        г) 0,05 • 0,05; д) 0,6 • 0,6 • 0,6;  е) 0,08 • 0,08;
       ж) (0,5 + 0,2)2; з) (0,7 + 0,3)3;     и) (0,9 − 0,4)3;
        к) 0,8 + 1,12;   л) 1,2− 1,2;       м) 1,52 − 0,25.

При возведении в степень десятичной дроби количество цифр после запятой в ответе будет равно произведению количества цифр после запятой в исходной дроби и степени, в которую мы возводим эту дробь. То есть достаточно возвести в степень число, записанное без запятой, а потом отсчитать справа необходимое количество цифр (добавляя при необходимости нули) и поставить запятую.

а) 0,1 • 0,1 = 0,12 = 0,01;
1 • 1 = 1 → 0,01
количество цифр после запятой в дроби 0,1 = 1, степень, в которую возводится дробь 0,1 = 2, тогда 1 • 2 = 2 – после запятой две цифры, последняя из которых 1

б) 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,23 = 0,008;
2 • 2 • 2 = 8 → 0,008
количество цифр после запятой в дроби 0,2 = 1, степень, в которую возводится дробь 0,2 = 3, тогда 1 • 3 = 3 – после запятой три цифры, последняя из которых 8

в) 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 = 0,34 = 0,0081;
3 • 3 • 3 • 3 = 84 → 0,0081
количество цифр после запятой в дроби 0,3 = 1, степень, в которую возводится дробь 0,3 = 4, тогда 1 • 4 = 4 – после запятой четыре цифры, последние из которых 81

г) 0,05 • 0,05 = 0,052 = 0,0025;
5 • 5 = 25 → 0,0025
количество цифр после запятой в дроби 0,05 = 2, степень, в которую возводится дробь 0,05 = 2, тогда 2 • 2 = 4 – после запятой четыре цифры, последние из которых 25

д) 0,6 • 0,6 • 0,6 = 0,63 = 0,216;
6 • 6 • 6 = 0,216
количество цифр после запятой в дроби 0,6 = 1, степень, в которую возводится дробь 0,6 = 3, тогда 1 • 3 = 3 – после запятой три цифры, последние из которых 216

е) 0,08 • 0,08 = 0,082 = 0,0064;
8 • 8 = 64 → 0,0064;
количество цифр после запятой в дроби 0,08 = 2, степень, в которую возводится дробь 0,08 = 2, тогда 2 • 2 = 4 – после запятой четыре цифры, последние из которых 64

ж) (0,5 + 0,2)2 = 0,72 = 0,49;
7 • 7 = 49 → 0,49
количество цифр после запятой в дроби 0,7 = 1, степень, в которую возводится дробь 0,7 = 2, тогда 1 • 2 = 2 – после запятой две цифры, последние из которых 49

з) (0,7 + 0,3)3 = 13 = 1 • 1 • 1 = 1;

и) (0,9 − 0,4)3 = 0,53 = 0,125;
5 • 5 • 5 = 125 → 0,125
количество цифр после запятой в дроби 0,5 = 1, степень, в которую возводится дробь 0,5 = 3, тогда 1 • 3 = 3 – после запятой три цифры, последние из которых 125

к) 0,8 + 1,12 = 0,8 + 1,1 • 1,1 = 0,8 + 1,21 = 2,01;
×1,1   +1,21
  1,1    0,8  
11     2,01
 11 
1,21

л) 1,22 − 1,2 = 1,2 • 1,2 −1,2 = 1,44 − 1,2 = 0,24
×1,2   1,44
  1,2      1,2 
24      0,24
 12  
1,44

м) 1,52 − 0,25 = (1,5 • 1,5) − 0,25 = 2,25 − 0,25 = 2.
×1,5   2,25
  1,5     0,25
75     2,00
15   
2,25

803. а) 9,51 • 18;  б) 66,3 • 26;   в) 8,47 • 0,64;
        г) 7,3 • 5,42; д) 0,85 • 2,06; е) 8,07 • 0,016.

а) ×9,51
        18
   + 7608
     951  
   171,18

б) ×66,3
         26
    + 3978
    1326  
   1723,8

в) ×8,47
     0,64
   + 3388
   5082  
  5,4208

г) ×5,42
       7,3
  + 1626
  3794  
 39,566

д) ×2,06
      0,85
   + 1030
   1648  
  1,7510

е) × 8,07
     0,016
   +  4842
      807  
 0,12912

804. а) 3,32 • 0,101; б) 3,02 • 6,48;    в) 3,21 • 0,562;
        г) 95,5 • 3,17;   д) 0,861 • 0,242; е) 0,999 • 0,732.

а) × 3,32
     0,101
    +    332
    332    
 0,33532

б) ×6,48
      3,02
 +   1296
 1944    
19,5696

в) × 3,21
     0,562
        642
 + 1926
  1605    
 1,80402

г)  ×95,5
      3,17
     6685
+   955
 2865    
302,735

д) ×0,861
      0,242
       1722
 +  3444
   1722    
0,208362

е) ×0,999
      0,732
       1998
 +  2997
   6993    
0,731268

805. а) 7,668 • 24 − 9,68;        б) 35,22 + 45,83 • 2,6;
        в) 5,306 • 42 + 5,36 • 82; г) 1,654 • 3,4 + 6,4 • 9,5;
        д) 2,4 • 98 + 4,8;              е) 35,4 • 1,99 + 35,4;
        ж) 3,2 • 103 − 9,6;            з) 1,22 • 97 + 3,66.

а) 7,668 • 24 − 9,68 = 184,032 − 9,68 = 174,352;
    ×7,668     184,032
         24             9,68  
 + 30672         174,352
 15336   
 184,032

б) 35,22 + 45,83 • 2,6 = 35,22 + 119,158 = 154,378.
   ×45,83    +119,158
        2,6        35,22  
 + 27498     154,378
   9166  
119,158

в) 5,306 • 42 + 5,36 • 82 = 222,852 + 439,52 = 662,372;
  ×5,306      ×5,36
        42           82
10612     1072
 21224       4288  
222,852     439,52

+222,852
  439,52  
  662,372

г) 1,654 • 3,4 + 6,4 • 9,5 = 5,6236 + 60,8 = 66,4236;
   ×1,654     ×6,4
       3,4       9,5
  +  6616    320
   4962      576  
  5,6236    60,80

+60,8
   5,6236
 66,4236

д) 2,4 • 98 + 4,8 = 2,4 • 98 + 2 • 2,4 = 2,4 • (98 + 2) = 2,4 • 100 = 240;

е) 35,4 • 1,99 + 35,4 = 35,4 • (1,99 + 1) = 35,4 • 2,99 = 105,846;
     ×35,4
     2,99
    3186
+3186
  708     
105,846

ж) 3,2 • 103 − 9,6 = 3,2 • 103 – 3 • 3,2 = 3,2 • (103 − 3) = 3,2 • 100 = 320;

з) 1,22 • 97 + 3,66 = 1,22 • 97 + 3 • 1,22 = 1,22 • (97 + 3) = 1,22 • 100 = 122.

806. Известно, что 8 • 125 = 1000. Вычислите:
а) 8 • 12,5;   б) 0,08 • 125; в) 0,8 • 12,5;
г) 8 • 0,125; д) 0,8 • 1,25;   е) 0,08 • 12,5.

а) 8 • 12,5 = 100;
б) 0,08 • 125 = 10;
в) 0,8 • 12,5 = 10;
г) 8 • 0,125 = 1;
д) 0,8 • 1,25 = 1;
е) 0,08 • 12,5 = 1.

807. Пешеход идёт со скоростью 4,4 км/ч. Какой путь он пройдет за:
а) 2 ч; б) 0,5 ч; в) 1,5 ч?

а) V = 4,4 км/ч;
t = 2 ч;
S − ?

Решение:
S = V • t
4,4 • 2 = 8,8 (км)
×4,4
    2
 8,8
Ответ: 8,8 км.

б) V = 4,4 км/ч;
t = 0,5 ч;
S − ?

Решение:
S = V • t
4,4 • 0,5 = 2,2 (км)
×4,4
  0,5
2,20
Ответ: 2,2 км.

в) V = 4,4 км/ч;
t = 1,5 ч;
S − ?

Решение:
S = V • t
4,4 • 1,5 = 6,6 (км)
  ×4,4
   1,5
 +220
  44  
 6,60
Ответ: 6,6 км.

808. Собственная скорость моторной лодки 12,6 км/ч, а скорость течения реки 1,8 км/ч. Какой путь пройдёт лодка по течению и против течения за:
а) 3 ч; б) 2,5 ч; в) 0,5 ч?

а) Vлодки = 12,6 км/ч;
Vтечения = 1,8 км/ч;
t = 3 ч;
Sпо течению − ?
Sпротив течения − ?

Решение:
Sпо течению = (Vлодки + Vтечения) • t
(12,6 + 1,8) • 3 = 43,2 (км)
+12,6    ×14,4
   1,8           3
 14,4      43,2

Sпротив течения = (Vлодки — Vтечения) • t
(12,6 − 1,8) • 3 = 32,4 (км)
12,6    ×10,8
    1,8           3
  10,8      32,4
Ответ: Sпо течению = 43,2 км, Sпротив течения = 32,4 км.


б) Vлодки = 12,6 км/ч;
Vтечения = 1,8 км/ч;
t = 2,5 ч;
Sпо течению − ?
Sпротив течения − ?

Решение:
Sпо течению = (Vлодки + Vтечения ) • t
(12,6 + 1,8) • 2,5 = 36 (км)
+12,6    ×14,4
   1,8        2,5
 14,4     720
              288   
              36,00

Sпротив течения = (Vлодки — Vтечения) • t
(12,6 − 1,8) • 2,5 = 27 (км)
12,6    ×10,8
     1,8        2,5
   10,8   +   540
               216  
               27,00
Ответ: Sпо течению = 36 км, Sпротив течения = 27 км.


в) Vлодки = 12,6 км/ч;
Vтечения = 1,8 км/ч;
t = 0,5 ч;
Sпо течению − ?
Sпротив течения − ?

Решение:
Sпо течению = (Vлодки + Vтечения) • t
(12,6 + 1,8) • 0,5 = 7,2 (км)
+12,6    ×14,4
   1,8        0,5
 14,4      7,20

Sпротив течения = (Vлодки — Vтечения) • t
(12,6 − 1,8) • 0,5 = 5,4 (км)
12,6    ×10,8
     1,8        0,5
   10,8      5,40
Ответ: Sпо течению = 7,2 км, Sпротив течения = 5,4 км.

156

Десятичные дроби
Умножение положительных десятичных дробей

Ответы к стр. 156

809. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами α и b:
а) α = 3,6 см; b = 4 см;      б) α = 5 дм; b = 3,13 дм;
в) α = 3,12 дм; b = 3,5 дм; г) α = 6,25 м; b = 1,6 м.

а) α = 3,6 см;
b = 4 см;
S — ?
Решение:
S = α • b
3,6 • 4 = 14,4 (см2)
×3,6
     4
14,4
Ответ: S = 14,4 см2.

б) α = 5 дм;
b = 3,13 дм;
S — ?
Решение:
S = α • b
5 • 3,13 = 15,65 (дм2)
×3,13
      5
15,65
Ответ: S = 15,65 дм2.

в) α = 3,12 дм;
b = 3,5 дм;
S — ?
Решение:
S = α • b
3,12 • 3,5 = 10,92 (дм2)
 ×3,12
    3,5
+1560
  936  
10,920
Ответ: S = 10,92 дм2.

г) α = 6,25 м;
b = 1,6 м;
S — ?
Решение:
S = α • b
6,25 • 1,6 = 10 (м2)
 ×6,25
    1,6
+3750
  625  
10,000
Ответ: S = 10 м2.

810. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина, высота которого αbc:
а) α = 4,5 см; b = 2,3 см; c = 10 см;
б) α = 3,2 дм; b = 1,5 дм; c = 2,5 дм;
в) α = 12 см; b = 2,5 дм; c = 10 см.

а) α = 4,5 см;
b = 2,3 см;
c = 10 см;
V — ?
Решение:
V = α • b • c
4,5 • 2,3 • 10 = 10,35 • 10 = 103,5 (см3)
×4,5
  2,3
+135
  90   
10,35
Ответ: V = 103,5 см3.

б) α = 3,2 дм;
b = 1,5 дм;
c = 2,5 дм;
V — ?
Решение:
V = α • b • c
3,2 • 1,5 • 2,5 = 1,5 • 8 = 12 (дм3)
 ×3,2     ×1,5
   2,5         8
+160     12,0
  64  
 8,00
Ответ: V = 12 дм3.

в) α = 12 см;
b = 2,5 дм;
c = 10 см;
V — ?
Решение:
V = α • b • c
2,5 дм = 25 см
12 • 25 • 10 = 300 • 10 = 3000 (см3)
×25
  12
+50
25  
300
Ответ: V = 3000 см3.

811. Масса 1 м3 воздуха 1,29 кг. Определите массу воздуха в вашем классе.

α = 22 м;
b = 10 м;
c = 3,5 м;
mвоздуха — ?
Решение:
1) V = α • b • c
22 • 10 • 3,5 = 77 • 10 = 770 (м3) — объём класса
×3,5
   22
70
 70  
77,0

2) 770 • 1,29 = 993,3 (кг)
×1,29
    770
+903
903     
993,30
Ответ: mвоздуха = 993,3 кг.

812. Масса 1 см3 алюминия 2,7 г, масса 1 см3 свинца 11,3 г. Какой кубик тяжелее − алюминиевый с ребром 3 см или свинцовый с ребром 2 см?

V = α3
1) 33 = 3 • 3 • 3 = 27 (см3) − объём алюминиевого кубика
2) 23 = 2 • 2 • 2 = 8 (см3) − объём свинцового кубика
3) 27 • 2,7 = 72,9 (г) − масса алюминиевого кубика
   ×27
   2,7
+189
  54  
 72,9

4) 8 • 11,3 = 90,4 (г) − масса свинцового кубика
×11,3
      8
 90,4

90,4 г > 72,9 г – свинцовый кубик тяжелее
Ответ: свинцовый кубик тяжелее алюминиевого.

813. Использование 1 т макулатуры позволяет получить 0,7 т бумаги и заменить при этом 4,4 м3 древесины. Сколько бумаги можно получить из 7,5 т макулатуры? Сколько при этом экономится древесины?

1) 7,5 • 0,7 = 5,25 (т) — бумаги получится из 7,5 т макулатуры
×7,5
  0,7
5,25

2) 4,4 • 7,5 = 33 (м3) — древесины экономится
  ×7,5
   4,4
300
 300  
33,00
Ответ: 5,25 т бумаги получится, 33 м3 древесины экономится.

158

Десятичные дроби
Деление положительных десятичных дробей

Ответы к стр. 158

814. Выразите частное в виде обыкновенной дроби:
а) 3 : 0,7; б) 3,5 : 1,2; в) 1,25 : 1,4.

а) 3 : 0,7 = 3 : 7/10 = 3•10/7 = 30/7;

б) 3,5 : 1,2 = 35/10 : 12/10 = 35•10/10•12 = 35/12;

в) 1,25 : 1,4 = 125/100 : 14/10 = 125•10/100•14 = 125/140 = 25/28.

815. По какому правилу делят десятичную дробь на натуральное число?

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется также, как деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части десятичной дроби надо в частном поставить запятую.

816. По какому правилу делят десятичные дроби?

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на натуральное число.

817. Всегда ли при делении десятичных дробей частное можно записать в виде десятичной дроби? Приведите примеры.

Обыкновенную дробь, знаменатель которой нельзя привести к числу, являющемуся степенью числа 10, нельзя представить в виде десятичной дроби. Следовательно, не всегда, при делении десятичных дробей, частное можно записать в виде десятичной дроби: 0,5 : 0,3 = 5/10 : 3/10 = 50/30 = 5/3 – число в знаменателе 30 можно привести к 10 путём деления на 3, но число в числителе 50 не делится на 3, а число в знаменателе 3 нельзя привести к числу, являющемуся степенью числа 10.

Вычислите (818-821):

818. а) 12,5 : 10; б) 72,6 : 100;  в) 173,56 : 100;
        г) 0,3 : 100; д) 0,73 : 1000; е) 1,664 : 10 000.

а) 12,5 : 10 = 1,25;
б) 72,6 : 100 = 0,726;
в) 173,56 : 100 = 1,7356;
г) 0,3 : 100 = 0,003;
д) 0,73 : 1000 = 0,00073;
е) 1,664 : 10 000 = 0,0001664.

819. а) 783 : 10;       б) 988 : 100; в) 54 000 : 10 000;
        г) 7800 : 1000; д) 3 : 1000;    е) 5 : 100 000.

а) 783 : 10 = 78,3;
б) 988 : 100 = 9,88;
в) 54 000 : 10 000 = 5,4;
г) 7800 : 1000 = 7,8;
д) 3 : 1000 = 0,003;
е) 5 : 100 000 = 0,00005.

159

Ответы к стр. 159

Вычислите (818-821):

820. а) 3,6 : 3;    б) 75,5 : 5;   в) 1,24 : 4;
        г) 2,53 : 11; д) 7,81 : 11; е) 13,2 : 24.

а) 3,6 |3    
       3    |1,2
        —6
         6
         0

б) 75,5|5     
           |15,1
     —25
       25
         —5
          5
          0

в) 1,24 |4     
       12    |0,31
        4
           4
           0

г) 2,53 |11   
      22    |0,23
      33
         33
           0

д) 7,81 |11  
       77    |0,71
      11
         11
          0

е) 13,2 |24  
       120  |0,55
      120
         120
            0

821. а) 0,48 : 8;   б) 0,84 : 21;  в) 0,001 : 5;
        г) 0,002 : 4; д) 0,125 : 25; е) 0,0625 : 25.

а) 0,48 |8     
       0      |0,06
       4
          0
       48
          48
            0

б) 0,84 |21   
       0      |0,04
       8
          0
         —84
          84
            0

в) 0,0010 |5        
       0         |0,0002
       0
          0
           —0
           0
             —1
              0
             —10
             10
               0

г) 0,0020 |4        
      0          |0,0005
      0
        0
         —0
          0
            —2
             0
            —20
            20
              0

д) 0,125 |25     
       0        |0,005
       1
          0
       12
          0
       125
          125
             0

е) 0,0625 |25      
               |0,0025
       0
         0
        6
           0
        62
           50
        125
           125
               0

822. Выполните деление и проверьте полученный результат:
а) 3,1 : 0,1;         б) 7,21 : 0,01; в) 6,3571 : 0,01;
г) 4,729 : 0,001; д) 4,29 : 0,1;    е) 7,1 : 0,001.

а) 3,1 : 0,1 = 31 : 1 = 31
проверка: 31 • 0,1 = 3,1;

б) 7,21 : 0,01 = 721 1 = 721
проверка: 721 • 0,01 = 7,21;

в) 6,3571 : 0,01 = 635,71 : 1 = 635,71
проверка: 635,71 • 0,01 = 6,3571;

г) 4,729 : 0,001 = 4729 : 1 = 4729
проверка: 4729 • 0,001 = 4,729;

д) 4,29 : 0,1 = 42,9 : 1 = 42,9
проверка: 42,9 • 0,1 = 4,29;

е) 7,1 : 0,001 = 7100 : 1 = 7100
проверка: 7100 • 0,001 = 7,1.

Вычислите (823-824):

823. а) 6 : 0,1;  б) 7 : 0,001; в) 8 : 0,001;
        г) 35 : 0,1; д) 49 : 0,01; е) 56 : 0,001.

а) 6 : 0,1 = 60 : 1 = 60;
б) 7 : 0,001 = 7000 : 1 = 7000;
в) 8 : 0,001 = 8000 : 1 = 8000;
г) 35 : 0,1 = 350 : 1 = 350;
д) 49 : 0,01 = 4900 : 1 = 4900;
е) 56 : 0,001 = 56 000 : 1 = 56 000.

824. а) 1 : 0,2; б) 1 : 0,25; в) 1 : 0,125; г) 1 : 0,4; д) 1 : 0,5.

а) 1 : 0,2 = 10 : 2 = 5;
б) 1 : 0,25 = 100 : 25 = 4;
в) 1 : 0,125 = 1000 : 125 = 8;
г) 1 : 0,4 = 1 : 4/10 = 1 • 10/4 = 250/100 = 2,5;
д) 1 : 0,5 = 10 : 5 = 2.

825. Как изменится частное, если:
а) делимое увеличить в 5 раз;
б) делитель увеличить в 3 раза;
в) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз?

а) увеличится в 5 раз;
б) уменьшится в 3 раза;
в) останется неизменным.

Вычислите (826-827):

826. а) 48 : 4,8;   б) 536 : 5,36; в) 921 : 92,1;
        г) 39 : 0,39; д) 4 : 0,4;        е) 999 : 99,9.

а) 48 : 4,8 = 480 : 48 = 10;
б) 536 : 5,36 = 53 600 : 536 = 100;
в) 921 : 92,1 = 9210 : 921 = 10;
г) 39 : 0,39 = 3900 : 39 = 100
д) 4 : 0,4 = 40 : 4 = 10;
е) 999 : 99,9 = 9990 : 999 = 10.

827. а) 53,6 : 5,36;   б) 5,36 : 0,01;    в) 72,34 : 7,234;
        г) 7,234 : 0,01; д) 372,9 : 3,729; е) 3,729 : 0,1.

а) 53,6 : 5,36 = 5360 : 536 = 10;
б) 5,36 : 0,01 = 536 : 1 = 536;
в) 72,34 : 7,234 = 72 340 : 7234 = 10;
г) 7,234 : 0,01 = 723,4 : 1 = 723,4;
д) 372,9 : 3,729 = 372 900 : 3729 = 100;
е) 3,729 : 0,1 = 37,29 : 1 = 37,29.

Выполните деление, проверьте результат (828-829):

828. а) 4 : 0,5;     б) 3 : 0,2;      в) 2 : 0,02;
        г) 14 : 0,07; д) 12 : 0,004; е) 10 : 0,005.

а) 4 : 0,5 = 40 : 5 = 8
проверка: 8 • 0,5 = 4;

б) 3 : 0,2 = 30 : 2 = 15
проверка: 15 • 0,2 = 3;

в) 2 : 0,02 = 200 : 2 = 100
проверка: 100 • 0,02 = 2

г) 14 : 0,07 = 1400 : 7 = 200
проверка: 200 • 0,07 = 14;

д) 12 : 0,004 = 12 000 : 4 = 3000
проверка: 3000 • 0,004 = 12;

е) 10 : 0,005 = 10 000 : 5 = 2000
проверка: 2000 • 0,005 = 10.

829. а) 7,6 : 0,2;  б) 6,3 : 0,3;     в) 0,64 : 3,2;
        г) 0,49 : 0,7; д) 0,01 : 0,05; е) 0,004 : 0,8.

а) 7,6 : 0,2 = 76 : 2 = 38
проверка: 38 • 0,2 = 7,6;

б) 6,3 : 0,3 = 63 : 3 = 21
проверка: 21 • 0,3 = 6,3;

в) 0,64 : 3,2 = 6,4 : 32 = 0,2
проверка: 0,2 • 3,2 = 0,64

г) 0,49 : 0,7 = 4,9 7 = 0,7
проверка: 0,7 • 0,7 = 0,49;

д) 0,01 : 0,05 = 1 : 5 = 0,2
проверка: 0,2 • 0,05 = 0,01;

е) 0,004 : 0,8 = 0,04 : 8 = 0,005
проверка: 0,005 • 0,8 = 0,004.

Вычислите (830-833):

830. а) 0,21 : 0,84; б) 0,19 : 0,095; в) 3,76 : 0,4;
        г) 7,05 : 1,5;   д) 3,5 : 0,4;        е) 25,9 : 3,7.

а) 21 |84   
       0   |0,25
    210
      168
      420
         420
            0

б) 190 |95
       190 |2
          0

в) 37,6 |4   
       36    |9,4
      16
        16
          0

г) 70,5 |15  
       60    |4,7
    105
      105
          0

д) 35 |4     
       32 |8,75
      30
         28
        20
          20
            0

е) 259 |37
       259 |7
           0

831. а) 1,75 : 1,4;   б) 18,4 : 7,36;      в) 16,92 : 4,23;
        г) 86,1 : 2,46; д) 21,875 : 3,125; е) 183,96 : 5,256.

а) 17,5 |14   
       14    |1,25
      35
         28
       70
          70
            0

б) 1840 |736
       1472 |2,5
      3680
         3680
              0

в) 1692 |423
       1692 |4
            0

г) 8610 |246
      738   |35
    1230
      1230
            0

д) 21875 |3125
       21875 |7
              0

е) 183960 |5256
       15768   |35
      26280
         26280
                0

832. а) 0,25 : 4 + 15,3 : 5 + 12,4 : 8 + 0,15 : 3;
        б) 96,7 : 10 + 0,045 : 5 + 140,4 : 12 + 1,53 : 15.

а) 0,25 : 4 + 15,3 : 5 + 12,4 : 8 + 0,15 : 3 = 4,7225;
0,25 |4         
   0      |0,0625
  2
     0
  25
     24
    10
         8
     20
        20
          0

15,3 |5     
   15    |3,06
    3
      0
   30
      30
        0

12,4 |8     
     8    |1,55
  44
     40
   40
      40
        0

0,15 |3     
   0      |0,05
  1
    0
 15
    15
      0

  0,0625
+3,06
  1,55
  0,05    
  4,7225

б) 96,7 : 10 + 0,045 : 5 + 140,4 : 12 + 1,53 : 15 = 21,481.
96,7 : 10 = 9,67

0,045 |5       
   0        |0,009
  0
     0
    4
       0
    45
       45
         0

140,4 |12   
   12      |11,7
  20
     20
     84
        84
          0

1,53 |15     
   0      |0,102
 —15
    15
    3
       0
    30
       30
         0

    9,67
+  0,009
  11,7
    0,102
  21,481

833. а) 4,912 : 16 + (18,305 : 7 + 0,0368 : 4);
        б) 72,492 : 12 + 78,156 : 36 − 120,03 : 15;
        в) 1,35 : 2,7 + 6,02 − 5,9 + 0,4 : 2,5 • (4,2 − 0,075);
        г) 4,3 − 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44 • (0,1 − 0,02).

а) 4,912 : 16 + (18,305 : 7 + 0,0368 : 4) = 2,9312;
18,305 |7       
   14        |2,615
 43
    42
  10
       7
   35
      35
        0

0,0368 |4        
   0         |0,0092
  0
     0
   3
      0
  36
     36
      8
         8
         0

+2,615
  0,0092
  2,6242

4,912 |16     
   0        |0,307
49
   48
 11
     0
 112
    112
       0

+0,307
  2,6242
  2,9312

б) 72,492 : 12 + 78,156 : 36 − 120,03 : 15 = 0,21;
72,492 |12     
   72        |6,041
     —4
       0
    —49
      48
      —12
        12
          0

78,156 |36     
   72        |2,171
  61
    36
  255
     252
     36
        36
         0

120,03 |15     
   120      |8,002
       —0
        0
        —3
         0
      —30
        30
          0

+6,041
  2,171
  8,212

8,212
   8,002
   0,21

в) 1,35 : 2,7 + 6,02 − 5,9 + 0,4 : 2,5 • (4,2 − 0,075) = 1,28;
4,2
   0,075
   4,125

13,5 |27 
     0    |0,5
135
   135
      0

4 |25   
   0 |0,16
40
   25
 —150
    150
        0

  ×4,125
     0,16
 +24750
  4125  
0,66000

+0,5
 6,02
 6,52

6,52
   5,9  
  0,62

+0,62
  0,66
  1,28

г) 4,3 − 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44 • (0,1 − 0,02) = 1,4.
0,1
   0,02
   0,08

14,4 |36 
     0    |0,4
144
   144
       0

360 |144
   288 |2,5
  —720
    720
       0

 ×  2,5
  0,08
0,200

4,3
   3,5
   0,8

+0,8
  0,4
  1,2

+1,2
  0,2
  1,4

834. Сколько сотых содержится в числе:
а) 3/4; б) 2/5; в) 1/2; г) 7/20; д) 3/25.

а) 3/4 = 75/100 = 0,75 − 75 сотых;

б) 2/5 = 40/100 = 0,40 − 40 сотых;

в) 1/2 = 50/100 = 0,50 − 50 сотых;

г) 7/20 = 35/100 = 0,35 − 35 сотых;

д) 3/25 = 12/100 = 0,12 − 12 сотых.

160

Ответы к стр. 160

835. Не выполняя вычислений, сравните:
а) 19,95 • 199,6 и 1,995 • 1996;  б) 19,96 • 1,997 и 199,6 • 19,97;
в) 199,7 • 199,8 и 1,997 • 1,998; г) 1,998 • 199,9 и 1,998 • 1999.

Из двух чисел, состоящих из одинаковых цифр и расположенных в одинаковом порядке, большим будет то число, количество знаков после запятой у которого меньше.

а) в произведении чисел 19,95 • 199,6 будет 3 знака после запятой, в произведении чисел 1,995 • 1996 будет 3 знака после запятой, следовательно, 19,95 • 199,6 = 1,995 • 1996;

б) в произведении чисел 19,96 • 1,997 будет 5 знаков после запятой, в произведении чисел 199,6 • 19,97 будет 3 знака после запятой, следовательно, 19,96 • 1,997 < 199,6 • 19,97;

в) в произведении чисел 199,7 • 199,8 будет 2 знака после запятой, в произведении чисел 1,997 • 1,998 будет 6 знаков после запятой, следовательно, 199,7 • 199,8 > 1,997 • 1,998;

г) в произведении чисел 1,998 • 199,9 будет 4 знака после запятой, в произведении чисел 1,998 • 1999 будет 3 знака после запятой, следовательно, 1,998 • 199,9 < 1,998 • 1999.

Придумываем задачу

836. Не выполняя вычислений, объясните, почему верно равенство 35,48 • 2,937 = 0,3548 • 293,7. Придумайте несколько аналогичных верных равенств.

Два числа, состоящие из одинаковых цифр расположенных в одинаковом порядке, будут равны, если количество знаков после запятой у них будет равно.
В произведение чисел 35,48 • 2,937 будет 5 знаков после запятой, в произведении чисел 0,3548 • 293,7 будет 5 знаков после запятой, следовательно, 35,48 • 2,937 = 0,3548 • 293,7.
Верные равенства:
2,359 • 896,7 и 23,59 • 89,67;
56,89 • 2,987 и 5,689 • 29,87.

837. Не выполняя вычислений, объясните, почему верно неравенство: 2,318 • 12,547 > 23,17 • 1,2547. Придумайте несколько аналогичных верных неравенств.

В произведении чисел 2,318 • 12,547 будет 5 знаков после запятой, в произведении чисел 23,17 • 1,2547 также будет иметь 5 знаков после запятой, следовательно, сравнивать произведение данных пар чисел можно не обращая внимания на запятые. Сравним первые и вторые множители попарно : 2318 > 2317, 12547 = 12547, значит, 2318 • 12547 > 2317 • 12547.
Верные неравенства:
5,687 • 13,58 > 56,87 • 1,357;
68,95 • 234,5 < 689,5 • 24,45.

838. Вычислите:
а) 12,3•3,21/1,23•32,1; б) 0,123•321/1,23•3,21;
в) 12,3•3,21/1,23•3,21; г) 0,123•0,321/1,23•3,21.

а) в произведение чисел 12,3 • 3,21 будет 3 знака после запятой, в произведении чисел 1,23 • 32,1 будет 3 знака после запятой, следовательно, 12,3 • 3,21 = 1,23 • 32,1 и 12,3•3,21/1,23•32,1 = 1/1 = 1;

б) в произведении чисел 0,123 • 321 будет 3 знака после запятой, в произведении чисел 1,23 • 3,21 будет 4 знака после запятой, следовательно, числитель в 10 раз больше знаменателя и 0,123•321/1,23•3,21 = 10/1 = 10;

в) в произведении чисел 12,3 • 3,21 будет 3 знака после запятой, в произведении чисел 1,23 • 3,21 будет 4 знака после запятой, следовательно, числитель в 10 раз больше знаменателя и 12,3•3,21/1,23•3,21 = 10/1 = 10;

г) в произведении чисел 0,123 • 0,321 будет 6 знаков после запятой, в произведении чисел 1,23 • 3,21 будет 4 знака после запятой, следовательно, числитель в 100 раз меньше знаменателя и 0,123•0,321/1,23•3,21 = 1/100 = 0,01.

839. На прямолинейном участке железнодорожного пути уложены рельсы длиной 12,5 м. Сколько рельсов уложено на 1 км пути?

1 км = 1000 м
1000 : 12,5 = 80 (рельс) – уложено в один ряд
10000 |125
   1000   |80
         0
Рельсы укладываются в два ряда параллельно, значит, их уложено в 2 раза больше:
80 • 2 = 160 (рельс) — уложено всего
Ответ: 160 рельс уложено на 1 км пути.

840. Слон тяжелее бегемота на 0,7 т, а их общая масса 8,3 т. Какова масса каждого животного?

Пусть х т — масса слона, тогда x − 0,7 т − масса бегемота, а х + (х – 0,7) т – их общая масса, которая по условию задачи равна 8,3 т.
x + (x − 0,7) = 8,3
2x − 0,7 = 8,3
2x = 8,3 + 0,7
2x = 9
x = 9 : 2
х = 4,5 т — масса слона
4,5 − 0,7 = 3,8 (т) — масса бегемота
Ответ: масса слона 4,5 т, масса бегемота – 3,8 т.

841. Вычислите скорость движения пешехода, который:
а) за 2,4 ч прошёл 10,8 км; б) за 1,8 ч прошёл 9,9 км.

а) Дано:
S = 10,8 км
t = 2,4 ч
Найти:
Ʋ − ?
Решение:
Ʋ = S : t
10,8 : 2,4 = 4,5 (км/ч)
108 |24 
     96 |4,5
  120
     120
        0
Ответ: скорость пешехода 4,5 км/ч.

б) Дано:
S = 9,9 км
t = 1,8 ч
Найти:
Ʋ − ?
Решение:
Ʋ = S : t
9,9 : 1,8 = 5,5 (км/ч)
99 |18 
   90 |5,5
  90
     90
       0
Ответ: скорость пешехода 5,5 км/ч.

842. На производство 1 т бумаги расходуется 250 т воды. Это в 12,5 раза больше, чем расходуется на производство 1 т стали, и в 6 раз меньше, чем на производство 1 т аммиака. Сколько тонн воды расходуется на производство 1 т стали? 1 т аммиака?

1) 250 : 12,5 = 20 (т) — воды расходуется на производство 1 т стали
2500 |125
   250   |20
       0
2) 250 • 6 = 1500 (т) — воды расходуется на производство 1 т аммиака
Ответ: 20 т воды расходуется на производство 1 т стали, 1500 т воды расходуется на производство 1 т аммиака.

843. Площадь первой комнаты на 5,2 м2 больше площади второй комнаты, а сумма их площадей 34,8 м2. Определите площадь каждой комнаты.

Пусть х м2 — площадь второй комнаты, тогда x + 5,2 м2 − площадь первой комнаты, а х + (х + 5,2) м2 – их общая площадь, которая по условию задачи равна 34,8 м2.
Составим уравнение:
x + (x + 5,2) = 34,8
2x + 5,2 = 34,8
2x = 34,8 − 5,2
2x = 29,6
x = 29,6 : 2
х = 14,8 м2 — площадь второй комнаты
14,8 + 5,2 = 20 (м2) — площадь первой комнаты
Ответ: 14,8 м2 площадь второй комнаты, 20 м2 — площадь первой комнаты.

844. Расстояние между пунктами 14,4 км. Пешеход прошел в 2 раза больше, чем ему осталось пройти. Сколько километров прошел пешеход?

Пусть х км — осталось пройти пешеходу, тогда 2x км – уже прошёл пешеход, а всего надо пройти х + 2х км, что по условию задачи равно 14,4 км.
Составим уравнение:
x + 2x = 14,4
3x = 14,4
x = 14,4 : 3
х = 4,8 км — осталось пройти пешеходу
2 • 4,8 = 9,6 (км) – прошёл пешеход
Ответ: пешеход прошёл 9,6 км.

845. На 66,5 р. купили 4 пачки печенья и 3 коробки конфет. Каждая коробка конфет стоила в 5 раз дороже пачки печенья. Сколько стоила коробка конфет?

Пусть х р. стоила пачка печенья, тогда 5x р. — стоила коробка конфет, всего купили печенья на 4х р. и конфет на 3 • 5х = 15х р., а общая стоимость покупки 4х + 15х, что по условию задачи равно 66,5 р.
Составим уравнение:
4x + 15x = 66,5
19x = 66,5
x = 66,5 : 19
х = 3,5 р. — стоила пачка печенья
3,5 • 5 = 17,5 (р.) — стоила коробка конфет
Ответ: 17,5 р.

161

Ответы к стр. 161

846. Из "Сборника задач и упражнений по арифметике" С.А.Пономарева и Н.И.Сырнева (Задача−шутка). Крестьянин поехал на луга за сеном и взял с собой трёх сыновей: 15 лет, 12 лет и 10 лет. Обратный путь в 13,5 км мальчики по очереди ехали на возу, причем расстояние распределили обратно пропорционально возрасту. Сколько километров проехал каждый из них на возу.

Пусть x км проехал средний сын, тогда:
12/15 x − проехал старший сын;
12/10 x − проехал младший сын.
12/15 x + x + 12/10 x = 13,5
24/30 x + x + 36/30 x = 13,5
60/30 x + x = 13,5
2 x + x = 13,5
3 x = 13,5
x = 13,5 : 3
х = 4,5 км проехал средний сын.
12/15 ∗ 4,5 = 12/1545/10 = 12 ∗ 3/1 ∗ 10 = 36/10 = 3,6 км проехал старший сын.
12/10 ∗ 4,5 = 12/1045/10 = 540/100 = 54/10 = 5,4 км проехал младший сын.
Ответ:
4,5 км проехал средний сын;
3,6 км проехал старший сын;
5,4 км проехал младший сын.

847. Придумайте и решите 6 разных задач на движение по реке, в условиях которых были бы использованы десятичные дроби.

Задача 1.Скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, укажите за какое время лодка проплывет 10,5 км?
Дано:
U = 10 км/ч
S = 10,5 км
Найти:
t − ?
Решение:
t = S : U = 10,5 : 10 = 1,05 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км.
Ответ: 1,05 часа.

Задача 2. Скорость течения реки 5 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, укажите за какое время лодка проплывет 10,5 км по течению?
Дано:
U лодки = 10 км/ч
U течения = 5 км/ч
S = 10,5 км
Найти:
t − ?
Решение:
t = S : (U лодки + U течения) = 10,5 : (10 + 5) = 10,5 : 15 = 0,7 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км по течению.
Ответ: 0,7 часа.

Задача 3. Скорость течения реки 5 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, укажите за какое время лодка проплывет 10,5 км против течения?
Дано:
U лодки = 10 км/ч
U течения = 5 км/ч
S = 10,5 км
Найти:
t − ?
Решение:
t = S : (U лодки − U течения) = 10,5 : (10 − 5) = 10,5 : 5 = 2,1 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км против течения.
Ответ: 2,1 часа.

Задача 4. Скорость течения реки 5 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, укажите за какое время лодка проплывет 10,5 км по течению и вернется обратно?
Дано:
U лодки = 10 км/ч
U течения = 5 км/ч
S = 10,5 км
Найти:
t − ?
Решение:
t = S : (U лодки − U течения) + S : (U лодки − U течения) = 10,5 : (10 + 5) + 10,5 : (10 − 5)= 10,5 : 15 + 10,5 : 5 = 1,05 + 2,1 = 3,15 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км по течению и вернуться обратно.
Ответ: 3,15 часа.

Задача 5. Скорость течения реки 5 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, укажите за какое время лодка проплывет 10,5 км по течению и вернется обратно, при чём при движении по течению лодка сплавлялась с выключенным мотором?
Дано:
U лодки = 10 км/ч
U течения = 5 км/ч
S = 10,5 км
Найти:
t − ?
Решение:
t = S : U течения + S : (U лодки − U течения) = 10,5 : 5 + 10,5 : (10 − 5)= 2,1 + 2,1 = 4,2 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км по течению и вернуться обратно, при чём при движении по течению лодка будет сплавляться с выключенным мотором.
Ответ: 4,2 часа.

Задача 6. Скорость течения реки 5 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, укажите во сколько раз меньше затратит лодка на преодоление пути по течению, чем против течения?
Дано:
U лодки = 10 км/ч
U течения = 5 км/ч
S = 10,5 км
Найти:
t против течения : t по течению − ?
Решение:
t = S : (U лодки + U течения) = 10,5 : (10 + 5) = 10,5 : 15 = 0,7 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км по течению.
t = S : (U лодки − U течения) = 10,5 : (10 − 5) = 10,5 : 5 = 2,1 часа потребуется лодке, чтобы проплыть 10,5 км против течения.
t против течения : t по течению = 2,1 : 1,05 = в 2 раза меньше затратит лодка на преодоление пути по течению, чем против течения.
Ответ: в 2 раза.

848. Вычислите:
а) 13,7 ∗ 2,2 − 5,9 ∗ 2,2 + 7,82 ;
б) 2,62 ∗ 13,58 + 3,8 ∗ 13,58 + 6,422 .

а) 13,7 ∗ 2,2 − 5,9 ∗ 2,2 + 7,82 = 30,14 − 12,98 + 60,84 = 17,16 + 60,84 = 78
Ответ: 78

б)  2,62 ∗ 13,58 + 3,8 ∗ 13,58 + 6,422 = 13,58 ∗ ( 2,62 + 3,8 ) + 6,422 = 13,58 ∗ 6,42 + 6,422 = 6,42 ∗ ( 13,58 + 6,42 ) = 6,42 ∗ 20 = 128,4
Ответ: 128,4

849. Вычислите:
а) 1,476 +