Задание 385

Упростите выражение:
а) a(a − b) + b(a + b) + (a − b)(a + b);
б) $(m - n)(n + m) - (m - n)^2 + 2n^2$;
в) $(c - d)^2 - (c + d)(d - c) + 2cd$;
г) (2a + 5b)(5a − 2b) − 3(a + 2b)(a − 2b);
д) $(p + 6)^2 - 4(3 - p)(3 + p)$;
е) $-(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(m + 1)$;
ж) $(x + y)^2 - (x - y)^2$;
з) $(m - n)^2 - (m + n)^2$.

Решение

а) $a(a - b) + b(a + b) + (a - b)(a + b) = a^2 - ab + ab + b^2 + a^2 - b^2 = 2a^2$

б) $(m - n)(n + m) - (m - n)^2 + 2n^2 = (m - n)(m + n) - (m - n)^2 + 2n^2 = m^2 - n^2 - (m^2 - 2mn + n^2) + 2n^2 = m^2 - n^2 - m^2 + 2mn - n^2 + 2n^2 = 2mn$

в) $(c - d)^2 - (c + d)(d - c) + 2cd = (c - d)^2 - (d + c)(d - c) + 2cd = c^2 - 2cd + d^2 - (d^2 - c^2) + 2cd = c^2 - 2cd + d^2 - d^2 + c^2 + 2cd = 2c^2$

г) $(2a + 5b)(5a - 2b) - 3(a + 2b)(a - 2b) = 10a^2 + 25ab - 4ab - 10b^2 - 3(a^2 - 4b^2) = 10a^2 + 21ab - 10b^2 - 3a^2 + 12b^2 = 7a^2 + 21ab + 2b^2$

д) $(p + 6)^2 - 4(3 - p)(3 + p) = p^2 + 12p + 36 - 4(9 - p^2) = p^2 + 12p + 36 - 36 + 4p^2 = 5p^2 + 12p$

е) $-(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(m + 1) = -(2 + m)^2 + 2(1 + m)^2 - 2(1 - m)(1 + m) = -(4 + 4m + m^2) + 2(1 + 2m + m^2) - 2(1 - m^2) = -4 - 4m - m^2 + 2 + 4m + 2m^2 - 2 + 2m^2 = 3m^2 - 4$

ж) $(x + y)^2 - (x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$

з) $(m - n)^2 - (m + n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 - (m^2 + 2mn + n^2) = m^2 - 2mn + n^2 - m^2 - 2mn - n^2 = -4mn$

Задание 386

Докажите тождество:
а) $(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = 2a(a - b)$;
б) $2(x + 5)^2 - 2(5 - x)(5 + x) = 4x(x + 5)$;
в) $2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 6(c - 1)^2 + 8$;
г) $3(m - 4)(4 + m) - 3(2 - m)^2 = 12(m - 5)$.

Решение

а) $(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = 2a(a - b)$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a - b)^2 + (a - b)(b + a) = a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - b^2 = 2a^2 - 2ab = 2a(a - b)$
Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

б) $2(x + 5)^2 - 2(5 - x)(5 + x) = 4x(x + 5)$
Преобразуем левую часть равенства:
$2(x + 5)^2 - 2(5 - x)(5 + x) = 2(x^2 + 10x + 25) - 2(25 - x^2) = 2x^2 + 20x + 50 - 50 + 2x^2 = 4x^2 + 20x = 4x(x + 5)$
Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

в) $2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 6(c - 1)^2 + 8$
Преобразуем левую часть равенства:
$2(c - 3)^2 - 4(1 - c)(c + 1) = 2(c^2 - 6c + 9) - 4(1 - c^2) = 2c^2 - 12c + 18 - 4 + 4c^2 = 6c^2 - 12c + 14$
Преобразуем правую часть равенства:
$6(c - 1)^2 + 8 = 6(c^2 - 2c + 1) + 8 = 6c^2 - 12c + 6 + 8 = 6c^2 - 12c + 14$
Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

г) $3(m - 4)(4 + m) - 3(2 - m)^2 = 12(m - 5)$
Преобразуем левую часть равенства:
$3(m - 4)(4 + m) - 3(2 - m)^2 = 3(m^2 - 16) - 3(4 - 4m + m^2) = 3m^2 - 48 - 12 + 12m - 3m^2 = 12m - 60 = 12(m - 5)$
Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Задание 387

Старинная задача. Я купил столько коробок с мылом, сколько было кусков в коробке. Сестра купила на 3 коробки меньше, чем я, но в каждой было на 3 куска больше, чем в купленных мной. У кого больше кусков и на сколько?

Решение

Пусть x (коробок) − с мылом купил я, тогда:
x (кусков) − мыла в одной моей коробке;
$x * x = x^2$ (кусков) − мыла у меня всего;
x − 3 (коробки) − с мылом купила сестра;
x + 3 (кусков) − мыла в одной коробке сестры;
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ (кусков) − мыла всего у сестры.
Сравним количество кусков мыла у меня и у сестры:
$x^2 > x^2 - 9$ − у меня больше кусков мыла;
$x^2 - (x^2 - 9) = x^2 - x^2 + 9 = 9$ (кусков) − мыла больше у меня, чем у сестры.
Ответ: на 9 кусков мыла больше у меня, чем у сестры.

Задание 388

Разложите на множители выражение:
а) $(3x + 2)^2 - x^2$;
б) $(2x - 5)^2 - x^2$;
в) $(4x + 3)^2 - (x + 1)^2$;
г) $(5x - 2)^2 - (x - 1)^2$.

Решение

а) $(3x + 2)^2 - x^2 = (3x + 2 - x)(3x + 2 + x) = (2x + 2)(4x + 2) = 2(x + 1) * 2(2x + 1) = 4(x + 1)(2x + 1)$

б) $(2x - 5)^2 - x^2 = (2x - 5 - x)(2x - 5 + x) = (x - 5)(3x - 5)$

в) $(4x + 3)^2 - (x + 1)^2 = (4x + 3 - x - 1)(4x + 3 + x + 1) = (3x + 2)(5x + 4)$

г) $(5x - 2)^2 - (x - 1)^2 = (5x - 2 - x + 1)(5x - 2 + x - 1) = (4x - 1)(6x - 3) = 3(4x - 1)(2x - 1)$

Задание 389

Разложите на множители выражение:
а) $(3x + y)^2 - (2x - 3y)^2$;
б) $(4x + 3y)^2 - (3x - 4y)^2$;
в) $(5x - 2y)^2 - (2x - y)^2$;
г) $(2x - 4y)^2 - (5x + y)^2$;
д) $(2x^2 - y)^2 - x^4$;
е) $(x^2 - 2y)^2 - y^4$;
ж) $(3x^2 - 2y)^2 - 4x^4$;
з) $(4x^2 + 3y)^2 - 9y^4$.

Решение

а) $(3x + y)^2 - (2x - 3y)^2 = (3x + y - 2x + 3y)(3x + y + 2x - 3y) = (x + 4y)(5x - 2y)$

б) $(4x + 3y)^2 - (3x - 4y)^2 = (4x + 3y - 3x + 4y)(4x + 3y + 3x - 4y) = (x + 7y)(7x - y)$

в) $(5x - 2y)^2 - (2x - y)^2 = (5x - 2y - 2x + y)(5x - 2y + 2x - y) = (3x - y)(7x - 3y)$

г) $(2x - 4y)^2 - (5x + y)^2 = (2x - 4y - 5x - y)(2x - 4y + 5x + y) = (-3x - 5y)(7x - 3y) = -(3x + 5y)(7x - 3y)$

д) $(2x^2 - y)^2 - x^4 = (2x^2 - y - x^2)(2x^2 - y + x^2) = (x^2 - y)(3x^2 - y)$

е) $(x^2 - 2y)^2 - y^4 = (x^2 - 2y - y^2)(x^2 - 2y + y^2)$

ж) $(3x^2 - 2y)^2 - 4x^4 = (3x^2 - 2y - 2x^2)(3x^2 - 2y + 2x^2) = (x^2 - 2y)(5x^2 - 2y)$

з) $(4x^2 + 3y)^2 - 9y^4 = (4x^2 + 3y - 3y^2)(2x^2 + 3y + 3y^2)$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)