Задание 376

Представьте выражение в виде многочлена двумя способами:
а) (p + q)(p − q);
б) (a − b)(a + b);
в) (c + d)(d − c);
г) (y − x)(x + y);
д) (a − 3)(3 + a);
е) (2 − b)(b + 2);
ж) (m + 1)(m − 1);
з) (7 − n)(7 + n).

Решение

а) Способ 1.
$(p + q)(p - q) = p^2 + pq - pq - q^2 = p^2 - q^2$

Способ 2.
$(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$

б) Способ 1.
$(a - b)(a + b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

Способ 2.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

в) Способ 1.
$(c + d)(d - c) = (d + c)(d - c) = d^2 + cd - cd - c^2 = d^2 - c^2$

Способ 2.
$(c + d)(d - c) = (d + c)(d - c) = d^2 - c^2$

г) Способ 1.
$(y - x)(x + y) = (y - x)(y + x) = y^2 - xy + xy - x^2 = y^2 - x^2$

Способ 2.
$(y - x)(x + y) = (y - x)(y + x) = y^2 - x^2$

д) Способ 1.
$(a - 3)(3 + a) = (a - 3)(a + 3) = a^2 - 3a + 3a - 9 = a^2 - 9$

Способ 2.
$(a - 3)(3 + a) = (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$

е) Способ 1.
$(2 - b)(b + 2) = (2 - b)(2 + b) = 4 - 2b + 2b - b^2 = 4 - b^2$

Способ 2.
$(2 - b)(b + 2) = (2 - b)(2 + b) = 4 - b^2$

ж) Способ 1.
$(m + 1)(m - 1) = m^2 + m - m - 1 = m^2 - 1$

Способ 2.
$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1$

з) Способ 1.
$(7 - n)(7 + n) = 49 - 7n + 7n - n^2 = 49 - n^2$

Способ 2.
$(7 - n)(7 + n) = 49 - n^2$

Задание 377

Упростите выражение, используя формулу разности квадратов. Сначала представьте выражение в виде разности квадратов, затем упростите запись степени.
Например: $(3a - 2b)(3a + 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$.
а) (x + 2y)(x − 2y);
б) (2a + b)(2a − b);
в) (3m − n)(3m + n);
г) (p − 7q)(7q + p);
д) (2a − 3b)(2a + 3b);
е) (5x + 4y)(4y − 5x);
ж) (4p − 1)(1 + 4p);
з) (5m + 8n)(8n − 5m);
и) (4y − 7x)(7x + 4y);
к) (11a − 13b)(11a + 13b).

Решение

а) $(x + 2y)(x - 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$

б) $(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

в) $(3m - n)(3m + n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$

г) $(p - 7q)(7q + p) = (p - 7q)(p - 7q) = p^2 - (7q)^2 = p^2 - 49q^2$

д) $(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$

е) $(5x + 4y)(4y - 5x) = (4y + 5x)(4y - 5x) = (4y)^2 - (5x)^2 = 16y^2 - 25x^2$

ж) $(4p - 1)(1 + 4p) = (4p - 1)(4p + 1) = (4p)^2 - 1^2 = 16p^2 - 1$

з) $(5m + 8n)(8n - 5m) = (8n + 5m)(8n - 5m) = (8n)^2 - (5m)^2 = 64n^2 - 25m^2$

и) $(4y - 7x)(7x + 4y) = (4y - 7x)(4y + 7x) = (4y)^2 - (7x)^2 = 16y^2 - 49x^2$

к) $(11a - 13b)(11a + 13b) = (11a)^2 - (13b)^2 = 121a^2 - 169b^2$

Задание 378

Вычислите, используя формулу разности квадратов:
а) 71 * 69;
б) 82 * 78;
в) 299 * 301;
г) 498 * 502;
д) 3,01 * 2,99;
е) 10,2 * 9,8.

Решение

а) $71 * 69 = (70 + 1)(70 - 1) = 70^2 - 1^2 = 4900 - 1 = 4899$

б) $82 * 78 = (80 + 2)(80 - 2) = 80^2 - 2^2 = 6400 - 4 = 6396$

в) $299 * 301 = (300 - 1)(300 + 1) = 300^2 - 1^2 = 90000 - 1 = 89999$

г) $498 * 502 = (500 - 2)(500 + 2) = 500^2 - 2^2 = 250000 - 4 = 249996$

д) $3,01 * 2,99 = (3 + 0,01)(3 - 0,01) = 3^2 - 0,01^2 = 9 - 0,0001 = 8,9999$

е) $10,2 * 9,8 = (10 + 0,2)(10 - 0,2) = 10^2 - 0,2^2 = 100 - 0,04 = 99,96$

Задание 379

Представьте выражение в виде квадрата:
а) 121;
б) $x^4$;
в) $a^6$;
г) $4x^2y^6$;
д) $25m^2n^6$;
е) $\frac{1}{4}p^2$;
ж) $0,25x^4$;
з) $2\frac{1}{4}x^4q^2$.

Решение

а) $121 = 11^2$

б) $x^4 = (x^2)^2$

в) $a^6 = (a^3)^2$

г) $4x^2y^6 = (2xy^3)^2$

д) $25m^2n^6 = (5mn^3)^2$

е) $\frac{1}{4}p^2 = (\frac{1}{2}p)^2$

ж) $0,25x^4 = (0,5x^2)^2$

з) $2\frac{1}{4}x^4q^2 = \frac{9}{4}x^4q^2 = (\frac{3}{2}x^2q)^2 = (1\frac{1}{2}x^2q)^2$

Задание 380

Представьте выражение в виде разности квадратов:
а) $x^4 - 1$;
б) $4a^2 - 4$;
в) $m^6 - 25$;
г) $16y^2 - 49x^2$;
д) $9p^4 - 16q^6$;
е) $36m^2 - 16n^2$.

Решение

а) $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2$

б) $4a^2 - 4 = (2a)^2 - 2^2$

в) $m^6 - 25 = (m^3)^2 - 5^2$

г) $16y^2 - 49x^2 = (4y)^2 - (7x)^2$

д) $9p^4 - 16q^6 = (3p^2)^2 - (4q^3)^2$

е) $36m^2 - 16n^2 = (6m)^2 - (4n)^2$

Задание 381

Разложите многочлен на множители:
а) $a^2 - b^2$;
б) $y^2 - x^2$;
в) $(2x)^2 - 1$;
г) $9 - (3m)^2$;
д) $16 - p^4$;
е) $25 - a^6$;
ж) $m^4 - n^2$;
з) $p^8 - 49$;
и) $1 - x^4$;
к) $a^4 - b^4$.

Решение

а) $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

б) $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$

в) $(2x)^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

г) $9 - (3m)^2 = 3^2 - (3m)^2 = (3 - 3m)(3 + 3m) = 3(1 - m)3(1 + m) = 9(1 - n)(1 + m)$

д) $16 - p^4 = 4^2 - (p^2)^2 = (4 - p^2)(4 + p^2) = (2^2 - p^2)(4 + p^2) = (2 - p)(2 + p)(4 + p^2)$

е) $25 - a^6 = 5^2 - (a^3)^2 = (5 - a^3)(5 + a^3)$

ж) $m^4 - n^2 = (m^2)^2 - n^2 = (m^2 - n)(m^2 + n)$

з) $p^8 - 49 = (p^4)^2 - 7^2 = (p^4 - 7)(p^4 + 7)$

и) $1 - x^4 = 1^2 - (x^2)^2 = (1 - x^2)(1 + x^2) = (1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$

к) $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Задание 382

Разложите многочлен на множители:
а) $4a^2 - 1$;
б) $4a^2 - 9b^2$;
в) $9x^4 - 4$;
г) $x^4 - 16$.

Решение

а) $4a^2 - 1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a - 1)(2a + 1)$

б) $4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$

в) $9x^4 - 4 = (3x^2)^2 - 2^2 = (3x^2 - 2)(3x^2 + 2)$

г) $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2 - 2^2)(x^2 + 4) = (x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 + 4)$

Задание 383

Пользуясь рисунком 15, докажите формулу разности квадратов для a > 0, b > 0, a > b.

Решение

$a * a = a^2$ − площадь большого квадрата;
$b * b = b^2$ − площадь малого квадрата;
(a − b)b − площадь каждого из двух закрашенных прямоугольников.
Тогда:
(a − b)b = (a + b)(a − b)
и
$(a - b)b = a^2 - b^2$
значит:
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Задание 384

Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) $(2a - C)(2a + b^2) = 4a^2 - b^4$;
б) $(C + D)(x^2 - y) = x^4 - y^2$;
в) $(3m - C)(D + 2n) = 9m^2 - 4n^2$;
г) $(C + 5q)(5q + D) = 25q^2 - 16p^4$.

Решение

а) $(2a - C)(2a + b^2) = 4a^2 - b^4$
$C^2 = b^4$
$C^2 = (b^2)^2$
$C = b^2$
Ответ:
$(2a - b^2)(2a + b^2) = 4a^2 - b^4$

б) $(C + D)(x^2 - y) = x^4 - y^2$
$C^2 = x^4$
$C^2 = (x^2)^2$
$C = x^2$
$D^2 = y^2$
D = y
Ответ:
$(x^2 + y)(x^2 - y) = x^4 - y^2$

в) $(3m - C)(D + 2n) = 9m^2 - 4n^2$
$C^2 = 4n^2$
$C^2 = (2n)^2$
C = 2n
$D^2 = 9m^2$
$D^2 = (3m)^2$
D = 3m
Ответ:
$(3m - 2n)(3m + 2n) = 9m^2 - 4n^2$

г) $(C + 5q)(5q + D) = 25q^2 - 16p^4$
опечатка в задании, во вторых скобках должен быть знак "−", а не "+"
Тогда:
$(C + 5q)(5q - D) = 25q^2 - 16p^4$
$(5q + C)(5q - D) = 25q^2 - 16p^4$
$C^2 = D^2 = 16p^4$
$C^2 = D^2 = (4p^2)^2$
$C = D = 4p^2$
Ответ:
$(4p^2 + 5q)(5q - 4p^2) = 25q^2 - 16p^4$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)