Задание 358

Докажите тождество:
а) $(a - b)^2 = (b - a)^2$;
б) $(-a - b)^2 = (a + b)^2$.

Решение

а) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = b^2 - 2ab + a^2 = (b - a)^2$
Тождество доказано.

б) $(-a - b)^2 = (-a)^2 - 2 * (-a) * b + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Тождество доказано.

Задание 359

Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) $(a - C)^2 = a^2 - 4a + 4$;
б) $(C - y)^2 = 4x^2 - D + y^2$;
в) $(C - D)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$;
г) $(C + 3q)^2 = D - 24pq + 9q^2$.

Решение

а) $(a - C)^2 = a^2 - 4a + 4$
$C^2 = 4$
$C^2 = 2^2$
C = 2
Ответ:
$(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4$

б) $(C - y)^2 = 4x^2 - D + y^2$
$C^2 = 4x^2$
$C^2 = (2x)^2$
C = 2x
D = 2 * 2x * y
D = 4xy
Ответ:
$(2x - y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

в) $(C - D)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$
$C^2 = 9m^2$
$C^2 = (3m)^2$
C = 3m
$D^2 = 4n^2$
$D^2 = (2n)^2$
D = 2n
Ответ:
$(3m - 2n)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$

г) $(C + 3q)^2 = D - 24pq + 9q^2$
C = 24pq : (2 * 3q) = 24pq : 6q = 4p
$D = C^2$
$D = (4p)^2$
D = 16p^2
Ответ:
$(4p + 3q)^2 = 16p^2 - 24pq + 9q^2$

Задание 360

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $(m + n)^2 + (m - n)^2$;
б) $2(a - 1)^2 + 3(a - 2)^2$;
в) $5(x - y)^2 + (x - 2y)^2$;
г) $4(m - 2n)^2 - 3(3m + n)^2$;
д) $3(2a - b)^2 - 5(a - 2b)^2$;
е) $4(3x + 4y)^2 - 7(2x - 3y)^2$;
ж) $2(p - 3q)^2 - 4(2p - q)^2 - (2q - 3p)(p + q)$;
з) $5(n - 5m)^2 - 6(2n - 3m)^2 - (3m - n)(7m - n)$;
и) $(2p - q)^2 - 2(2p - q)(p - q) + (p - q)^2$.

Решение

а) $(m + n)^2 + (m - n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - 2mn + n^2 = 2m^2 + 2n^2$

б) $2(a - 1)^2 + 3(a - 2)^2 = 2(a^2 - 2a + 1) + 3(a^2 - 4a + 4) = 2a^2 - 4a + 2 + 3a^2 - 12a + 12 = 5a^2 - 16a + 14$

в) $5(x - y)^2 + (x - 2y)^2 = 5(x^2 - 2xy + y^2) + x^2 - 4xy + 4y^2 = 5x^2 - 10xy + 5y^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 6x^2 - 14xy + 9y^2$

г) $4(m - 2n)^2 - 3(3m + n)^2 = 4(m^2 - 4mn + 4n^2) - 3(9m^2 + 6mn + n^2) = 4m^2 - 16mn + 16n^2 - 27m^2 - 18mn - 3n^2 = -23m^2 - 34mn + 13n^2$

д) $3(2a - b)^2 - 5(a - 2b)^2 = 3(4a^2 - 4ab + b^2) - 5(a^2 - 4ab + 4b^2) = 12a^2 - 12ab + 3b^2 - 5a^2 + 20ab - 20b^2 = 7a^2 + 8ab - 17b^2$

е) $4(3x + 4y)^2 - 7(2x - 3y)^2 = 4(9x^2 + 24xy + 16y^2) - 7(4x^2 - 12xy + 9y^2) = 36x^2 + 96xy + 64y^2 - 28x^2 + 84xy - 63y^2 = 8x^2 + 180xy + y^2$

ж) $2(p - 3q)^2 - 4(2p - q)^2 - (2q - 3p)(p + q) = 2(p^2 - 6pq + 9q^2) - 4(4p^2 - 4pq + q^2) - (2pq - 3p^2 + 2q^2 - 3pq) = 2p^2 - 12pq + 18q^2 - 16p^2 + 16pq - 4q^2 - (-pq - 3p^2 + 2q^2) = -14p^2 + 4pq + 14q^2 + pq + 3p^2 - 2q^2 = -11p^2 + 5pq + 12q^2$

з) $5(n - 5m)^2 - 6(2n - 3m)^2 - (3m - n)(7m - n) = 5(n^2 - 10mn + 25m^2) - 6(4n^2 - 12mn + 9m^2) - (21m^2 - 7mn - 3mn + n^2) = 5n^2 - 50mn + 125m^2 - 24n^2 + 72mn - 54m^2 - (21m^2 - 10mn + n^2) = -19n^2 + 22mn + 71m^2 - 21m^2 + 10mn - n^2 = -20n^2 + 32mn + 50m^2$

и) $(2p - q)^2 - 2(2p - q)(p - q) + (p - q)^2 = 4p^2 - 4pq + q^2 - 2(2p^2 - pq - 2pq + q^2) + p^2 - 2pq + q^2 = 4p^2 - 4pq + q^2 - 4p^2 + 2pq + 4pq - 2q^2 + p^2 - 2pq + q^2 = p^2$

Задание 361

Запишите в виде многочлена выражение:
а) $(x - 2y)^2$;
б) $(ab - c)^2$;
в) $(5xy - 2)^2$.

Решение

а) $(x - 2y)^2 = x^2 - 2 * x * 2y + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

б) $(ab - c)^2 = (ab)^2 - 2 * ab * c + c^2 = a^2b^2 - 2abc + c^2$

в) $(5xy - 2)^2 = (5xy)^2 - 2 * 5xy * 2 + 2^2 = 25x^2y^2 - 20xy + 4$

Задание 362

Выясните, является ли многочлен квадратом какого−либо двучлена:
а) $a^2 - 4ab + 4b^2$;
б) $x^2 - 4x + 4$;
в) $a^4 - 2a^2 + 1$.

Решение

а) $a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2 * 2ab + (2b)^2 = (a - 2b)^2$

б) $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 * x * 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

в) $a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2)^2 - 2 * a^2 * 1 + 1^2 = (a^2 - 1)^2$

Задание 363

Используя приближенное равенство $(1 - x)^2 ≈ 1 - 2x$, вычислите:
а) $0,98^2$;
б) $0,999^2$;
в) $0,998^2$;
г) $0,9997^2$.
Замечание. Приближенное значение числа отличается от точного значения на величину $x^2$, которая будет мала при значениях x, близких к нулю.
Например:
$0,99^2 = (1 - 0,01)^2 ≈ 1 - 2 * 0,01 = 0,98$

Решение

а) $0,98^2 = (1 - 0,02)^2 ≈ 1 - 2 * 0,02 = 1 - 0,04 ≈ 0,96$

б) $0,999^2 = (1 - 0,001)^2 ≈ 1 - 2 * 0,001 ≈ 1 - 0,002 ≈ 0,998$

в) $0,998^2 = (1 - 0,002)^2 ≈ 1 - 2 * 0,002 ≈ 1 - 0,004 ≈ 0,996$

г) $0,9997^2 = (1 - 0,0003)^2 ≈ 1 - 2 * 0,0003 ≈ 1 - 0,006 ≈ 0,9994$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)