Задание №1038

Найдите решение системы уравнений:
1) { 6 − 5 ( x − y ) = 7 x + 4 y,
      3 ( x + 1 ) − ( 6 x + 8 y ) = 69 + 3 y ;

2) { x/2y/3 = 2,
       5 x − y = 34 ;

3) { 6 y − 5 x = 1,
       x − 1/2 + 3 y − x/4 = − 4 3/4 ;

4) { 1,5 x − 3/3 + 7 − 3y/8 = 3,
        2, 5 x − 2/32 y + 1/6 = x − 0, 5.

Решение:

1) { 6 − 5 ( x − y ) = 7 x + 4 y,
      3 ( x + 1 ) − ( 6 x + 8 y ) = 69 + 3 y ;

6 − 5(x − y) = 7x + 4y
6 − 5x + 5y = 7x + 4y
−5x + 5y − 7x − 4y = −6
y − 12x = −6;
3(x + 1) − (6x + 8y) = 69 + 3y
3x + 3 − 6x − 8y = 69 + 3y
3x − 6x − 8y − 3y = 69 − 3
−3x − 11y = 66.
{ y − 12 x = − 6,
    − 3 x − 11 y = 66 ;

y − 12x = −6
y = 12x − 6, тогда:
−3x − 11(12x − 6) = 66
−3x − 132x + 66 = 66
−135x = 66 − 66
x = 0 : −135
x = 0;
y = 12x − 6 = 12 * 0 − 6 = −6.
Пара чисел (0;−6) − решение данной системы уравнений.

2) { x/2y/3 = 2,
       5 x − y = 34 ;

5x − y = 34
−y = 34 − 5x
y = 5x − 34, тогда:
x/25x−34/3 = 2
3x−2(5x−34)/6 = 2
3x − 2(5x − 34) = 2 * 6
3x − 10x + 68 = 12
−7x = 12 − 68
x = −56 : −7
x = 8;
y = 5x − 34 = 5 * 8 − 34 = 40 − 34 = 6.
Пара чисел (8;6) − решение данной системы уравнений.

3) $\left\{\begin{array}{l}6y-5x=1,\\\frac{x-1}2+\frac{3y-x}4=-4\frac34;\end{array}\right.{\textstyle\begin{array}{ll}&\\&\end{array}}$

6y − 5x = 1
−5x = 1 − 6y
5x = 6y − 1
x = 6 y − 1 5
x = 1,2y − 0,2, тогда:
$\frac{1,2y-0,2-1}2+\frac{3y-1,2y+0,2}4=-4\frac34$
$\frac{1,2y-1,2}2+\frac{1,8y+0,2}4=-\frac{19}4$
$\frac{2(1,2y-1,2)+1,8y+0,2}4=-\frac{19}4$
2 ( 1, 2 y − 1, 2 ) + 1, 8 y + 0, 2 = − 19/4 ∗ 4
2,4y − 2,4 + 1,8y + 0,2 = −19
4,2y = −19 + 2,4 − 0,2
y = −16,8 : 4,2
y = −4;
x = 1,2y − 0,2 = 1,2 * −4 − 0,2 = −4,8 − 0,2 = −5.
Пара чисел (−5;−4) − решение данной системы уравнений.

4) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1,5x-3}3+\frac{7-3y}8=3,\\\frac{2,5x-2}3-\frac{2y+1}6=x-0,5.\end{array}\right.{\textstyle\begin{array}{ll}&\\&\end{array}}$

$\frac{1,5x-3}3+\frac{7-3y}8=3$
$\frac{8(1,5x-3)+3(7-3y)}{24}=3$
8(1,5x − 3) + 3(7 − 3y) = 3 * 24
12x − 24 + 21 − 9y = 72
12x − 9y = 72 + 24 − 21
12x − 9y = 75;
$\frac{2,5x-2}3-\frac{2y+1}6=x-0,5$
$\frac{2(2,5x-2)-2y-1}6=x-0,5$
2(2,5x − 2) − 2y − 1 = 6(x − 0,5)
5x − 4 − 2y − 1 = 6x − 3
5x − 6x − 2y = −3 + 4 + 1
−x − 2y = 2.
{ 12 x − 9 y = 75,
    − x − 2 y = 2.

−x − 2y = 2
−x = 2 + 2y
x = −2y − 2, тогда:
12(−2y − 2) − 9y = 75
−24y − 24 − 9y = 75
−33y = 75 + 24
−33y = 99
y = 99 : −33
y = −3;
x = −2y − 2 = −2 * (−3) − 2 = 6 − 2 = 4.
Пара чисел (4;−3) − решение данной системы уравнений.

Задание №1039

Решите систему уравнений:
1) { 6 x + 3 = 5 x − 4 ( 5 y + 4 ),
      3 ( 2 x − 3 y ) − 6 x = 8 − y ;

2) { x + 3/2y − 4/7 = 1,
       6 y − x = 5 ;

3) { x+y/8 + x−y/6 = 4,
       3x+y/42x−5y/3 = 5.

Решение:

1) { 6 x + 3 = 5 x − 4 ( 5 y + 4 ),
       3 ( 2 x − 3 y ) − 6 x = 8 − y ;

6x + 3 = 5x − 4(5y + 4)
6x + 3 = 5x − 20y − 16
6x − 5x + 20y = −16 − 3
x + 20y = −19;
3(2x − 3y) − 6x = 8 − y
6x − 9y − 6x = 8 − y
−9y + y = 8
−8y = 8.
{ x + 20 y = − 19,
   − 8 y = 8 ;

−8y = 8
y = 8 : −8
y = −1,
x + 20y = −19
x + 20 * −1 = −19
x − 20 = −19
x = −19 + 20
x = 1.
Пара чисел (1;−1) − решение данной системы уравнений.

2) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+3}2-\frac{y-4}7=1,\\6y-x=5;\end{array}\right.$

6y − x = 5
−x = 5 − 6y
x = 6y − 5, тогда:
$\frac{6y-5+3}2-\frac{y-4}7=1$
$\frac{7(6y-5+3)-2(y-4)}{14}=1$
7(6y − 5 + 3) − 2(y − 4) = 1 * 14
42y − 35 + 21 − 2y + 8 = 14
42y − 2y = 14 + 35 − 21 − 8
40y = 20
y = 20 : 40
y = 0,5,
x = 6y − 5 = 6 * 0,5 − 5 = 3 − 5 = −2.
Пара чисел (−2;0,5) − решение данной системы уравнений.

3) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}8+\frac{x-y}6=4,\\\frac{3x+y}4-\frac{2x-5y}3=5.\end{array}\right.{\textstyle\begin{array}{ll}&\\&\end{array}}$

$\frac{x+y}8+\frac{x-y}6=4$
$\frac{3(x+y)+4(x-y)}{24}=4$
3(x + y) + 4(x − y) = 4 * 24
3x + 3y + 4x − 4y = 96
7x − y = 96;
$\frac{3x+y}4-\frac{2x-5y}3=5$
$\frac{3(3x+y)-4(2x-5y)}{12}=5$
3(3x + y) − 4(2x − 5y) = 5 * 12
9x + 3y − 8x + 20y = 60
x + 23y = 60.
{ 7 x − y = 96,
   x + 23 y = 60.

7x − y = 96
−y = 96 − 7x
y = 7x − 96,
x + 23(7x − 96) = 60
x + 161x − 2208 = 60
162x = 60 + 2208
162x = 2268
x = 2268 : 162
x = 14;
y = 7x − 96 = 7 * 14 − 96 = 98 − 96 = 2.
Пара чисел (14;2) − решение данной системы уравнений.

Задание №1040

Найдите значение выражения:
1) m ( m − 3 ) ( m + 3 ) − ( m − 2 ) ( m2 + 2 m + 4 ) при m = − 2/3;
2) ( 6 m − n ) ( 6 m + n ) − ( 12 m − 5 n ) ( 3 m + n ) при m = − 8/9, 3/4.

Решение:

1) m ( m − 3 ) ( m + 3 ) − ( m − 2 ) ( m2 + 2 m + 4 ) = m ( m2 − 9 ) − ( m3 − 23 ) = m3 − 9 m − m3 + 8 = − 9 m + 8 = − 9 ∗ − 2/3 + 8 = − 3 ∗ − 2 + 8 = 6 + 8 = 14

2) $(6m-n)(6m+n)-(12m-5n)(3m+n)=(36m^2-n^2)-(36m^2-15mn+12mn-5n^2)=36m^2-n^2-36m^2+15mn-12mn+5n^2=4n^2+3mn=n(4n+3m)=\frac34(4\ast\frac34+3\ast-\frac89)=\frac34(3-\frac83)=\frac34(3-2\frac23)=\frac34\ast\frac13=\frac14$

Задание №1041

В школе 50% учащихся занимаются в спортивных секциях, из них 6% поют в хоре. Сколько процентов учащихся школы одновременно занимаются спортом и поют в хоре?

Решение:

Пусть всего x учащихся, тогда:
0,5x учащихся занимаются в спортивных секциях;
0,06 * 0,5x = 0,03x учащихся одновременно занимаются спортом и поют в хоре.
Так как x учащихся составляют 100%, то:
0,03 * 100% = 3% учащихся одновременно занимаются спортом и поют в хоре.

Задание №1042

Функция задана формулой y = 6 − kx. При каком значении k график функции проходит через точку A(4;−2)?

Решение:

y = 6 − kx
A(4;−2)
−2 = 6 − 4k
−4k = −2 − 6
−4k = −8
k = −8 : −4
k = 2, следовательно при k = 2 график функции проходит через точку A(4;−2).

Задание №1043

Докажите, что значение выражения

24n − 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

Решение:

24n − 1 = ( 24)n − 1 = 16n − 1
Последней цифрой значения степени 16n будет 6, так как 6 * 6 = 36, а последней цифрой выражения 16n − 1 будет 5, так как 6 − 1 = 5.
Так как выражение 16n − 1 оканчивается на 5, то оно будет делиться нацело на 5 при любом натуральном значении n.

Задание №1044

Найдите три последние цифры значения выражения

23763 + 16243.

Решение:

23763 + 16243 = ( 2376 + 1624 ) ( 23762 + 2376 ∗ 1624 + 16242 ) = 4000 ( 23762 + 2376 ∗ 1624 + 16242 ), следовательно значение данного выражения оканчивается тремя нулями.

Задание №1045

Остаток при делении на 6 числа a равен 2, а числа b равен 3. Докажите, что значение произведения ab кратно 6.

Решение:

Пусть искомое частное при делении a на 6 равно m, а при делении b на 6 равно n, тогда:
a = 6m + 2;
b = 6n + 3, следовательно:
ab = (6m + 2)(6n + 3) = 36mn + 12n + 18m + 6 = 6(6mn + 2n + 1), следовательно данное выражение кратно 6.