Задание №1027

Кусок сплава меди и олова массой 5,5 кг содержит меди на 20% больше, чем олова. Найдите массу меди в этом сплаве.

Решение:

Пусть x кг олова содержится в сплаве, тогда
x + 0,2x = 1,2x кг меди содержится в сплаве, а масса всего сплава 5,5 кг.
Составим уравнение:
x + 1,2x = 5,5
2,2x = 5,5
x = 5,5 : 2,2
x = 2,5
Значит, 2,5 кг олова содержится в сплаве
1,2x = 1,2 * 2,5 = 3 (кг) меди содержится в сплаве.
Ответ: 3 кг.

Задание №1028

Из Перми в Соликамск расстояние между которыми равно 200 км, выехал автобус. Через 32 мин после выезда автобуса навстречу ему из Соликамска выехал автомобиль со скоростью на 20 км/ч большей, чем скорость автобуса. С какой скоростью двигался автобус, если они встретились через 1,2 ч после выезда автомобиля?

Решение:

Пусть x км/ч скорость автобуса, тогда
x + 20 км/ч скорость автомобиля;
32 мин = 32/60 = 8/15 ч;
1,2 ч = 12/10 = 6/5 ч;
6/5 + 8/15 = 18 + 8/15 = 26/15 ч ехал до встречи автобус;
26/15 x км проехал автобус до встречи с автомобилем;
6/5 ( x + 20 ) км проехал автомобиль до встречи с автобусом;
а расстояние между городами равно 200 км.
Составим уравнение:
26/15 x + 6/5 ( x + 20 ) = 200
26/15 x + 6/5 x + 24 = 200
26+18/15 x = 200 − 24
44/15 x = 176
x = 176 : 44/15
x = 176 ∗ 15/44
x = 4 * 15
x = 60
Значит, 60 км/ч скорость автобуса.
Ответ:  60 км/ч.

Задание №1029

Найдите четыре последовательных нечетных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164.

Решение:

Пусть эти четыре последовательных нечетных натуральных числа:
2n − 3 − первое число;
2n − 1 − второе число;
2n + 1 − третье число;
2n + 3 − четвертое число.
Сумма их квадратов равна
( 2 n − 3 )2 + ( 2 n − 1 )2 + ( 2 n + 1 )2 + ( 2 n + 3 )2 = 4 n2 − 12 n + 9 + 4 n2 − 4 n + 1 + 4 n2 + 4 n + 1 + 4 n2 + 12 n + 9 = ( 4 n2 + 4 n2 + 4 n2 + 4 n2 ) + ( 12 n + 4 n − 12 n − 4 n ) + ( 9 + 1 + 1 + 9 ) = 164
16 n2 + 20 = 164
16 n2 = 164 − 20
16 n2 = 144
n2 = 9
n1 = − 3 − не удовлетворяет условию задачи, так это  число не натуральное;
n2 = 3, −  удовлетворяет условию задачи, так это число натуральное.
Подставляем значение n2:
2n − 3 = 2 * 3 − 3 = 6 − 3 = 3 − первое число;
2n − 1 = 2 * 3 − 1 = 6 − 1 = 5 − второе число;
2n + 1 = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7 − третье число;
2n + 3 = 2 * 3 + 3 = 6 + 3 = 9 − четвертое число.

Задание №1030

Докажите, что если x + y = a − 1, то a x + x + a y + y + 1 = a2.

Решение:

a x + x + a y + y + 1 = a2
( a x + a y ) + ( x + y ) + 1 = a2
a ( x + y ) + ( x + y ) + 1 = a2
( x + y ) ( a + 1 ) + 1 = a2
так как x + y = a − 1, то:
( a − 1 ) ( a + 1 ) + 1 = a2
a2 − 1 + 1 = a2
a2 = a2

Задание №1031

Остаток при делении числа a на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа b равен 3. Докажите, что значение выражения a2 + b2 кратно 5.

Решение:

Пусть неполное частное при делении a на 5 равно m, а при делении b на 5 равно n, тогда:
a = 5m + 4;
b = 5n + 3.
a2 + b2 = ( 5 m + 4 )2 + ( 5 n + 3 )3 = 25 m2 + 40 n + 16 + 25 n2 + 30 n + 9 = 25 m2 + 25 n2 + 40 m + 30 n + 25 = 5 ( 5 m2 + 5 n2 + 8 m + 6 n + 5 ), следовательно данное выражение кратно 5.

Задание №1032

Выразите y через x и x через у из уравнения:
1) x + y = 10;
2) 2x + y = 7;
3) y − x = −4;
4) x − 6y = 1;
5) 5y − 4x = 0;
6) 4x + 3y = −12.

Решение:

1) x + y = 10
x = 10 − y;
y = 10 − x.

2) 2x + y = 7
2x = 7 − y
x = 7−y/2;
y = 7 − 2x.

3) y − x = −4
−x = −4 − y
x = y + 4;
y = x − 4.

4) x − 6y = 1
x = 6y + 1;
−6y = 1 − x
6y = x − 1
y = x−1/6.

5) 5y − 4x = 0
−4x = −5y
x = 5/4 y = 1 1/4 y;
5y = 4x
y = 4/5 x.

6) 4x + 3y = −12
4x = −3y − 12
x = −3y−12/4
x = − 3/4 y − 3;
3y = −12 − 4x
y = −12−4x/3
y = − 4 − 4/3 x
y = − 4 − 1 1/3 x.

Задание №1033

Десятичная запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3, а другого пятизначного числа − только из цифр 3 и 4. Может ли запись произведения этих чисел состоять только из цифр 2 и 4?

Решение:

Наименьшее число, которое может быть получено в результате умножения двух чисел указанного вида, равно 22 222 ⋅ 33 333 = 740 725 926, а наибольшее – 33 333 ⋅ 44 444 = 1 481 451 852.

В ряде натуральных чисел между числами 740 725 926 и 1 481 451 852 нет ни одного числа, запись которого состоит из цифр 2 и 4.

Ответ: не может.