Задание №1021
При каком значении a имеет бесконечно много решений система уравнений:
1) { x + 5 y = 4,
4 x + 20 y = a ;
2) { 3 x + a y = 12,
9 x − 15 y = 36 ?
Решение:
1) { x + 5 y = 4,
4 x + 20 y = a ;
4x + 20y/x + 5y = 4, тогда:
a = 4 * 4 = 16,
значит при а = 16 прямые двух уравнений будут совпадать и система будет иметь бесконечно много решений.
2) { 3 x + a y = 12,
9 x − 15 y = 36 ?
9x/3x = 36/12 = 3, тогда:
a = 15 3 = 5,
значит при а = 5 прямые двух уравнений будут совпадать и система будет иметь бесконечно много решений.
Задание №1022
При каких значениях a система уравнений:
1) { 7 x − 12 y = 14,
7 x − 12 y = a ;
не имеет решений;
2) { 6 x + a y = 4,
3 x − 5 y = 2 ?
имеет бесконечно много решений?
Решение:
1) { 7 x − 12 y = 14,
7 x − 12 y = a.
Система уравнений не имеет решений, когда прямые параллельны, следовательно при a ≠ 14 данная система уравнений не имеет решений.
2) { 6 x + a y = 4,
3 x − 5 y = 2.
6x/3x = 4/2 = 2, тогда:
a = −5 * 2 = −10,
значит при а = −10 прямые двух уравнений будут совпадать и система будет иметь бесконечно много решений.
Задание №1023
Подберите такие значения a и b, при которых система уравнений
{ x − 2 y = 3,
a x + 4 y = b ;
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
Решение:
1) Система уравнений имеет бесконечно много решений, когда прямые совпадают.
4y/−2y = − 2, тогда:
ax/x = − 2
a = −2;
b/3 = − 2
b = −2 * 3
b = −6.
2) Система уравнений имеет единственное решение, когда прямые пересекаются.
1/a = −2/4
a = 4/−2
a = −2,
значит при a ≠ −2 и при любом b, система уравнений будет иметь единственное решение.
3) Система уравнений не имеет решений, когда прямые параллельны.
1/a = −2/4
a = 4/−2
a = −2;
b = −2 * 3 = −6,
значит при a = −2 и b ≠ −6 система уравнений не будет иметь решений.
Задание №1024
Подберите такие значения m и n, при которых система уравнений
{ x + y = 5,
3 x − m y = n ;
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
Решение:
1) Система уравнений имеет бесконечно много решений, когда прямые совпадают.
3x/x = 3, тогда:
−my/y = 3
−m = 3
m = −3;
n/5 = 3
n = 5 * 3
n = 15,
значит при m = −3 и n = 15 система будет иметь бесконечно много решений.
2) Система уравнений имеет единственное решение, когда прямые пересекаются.
1/3 = 1/−m
−m = 3
m = −3,
значит при m ≠ −3 и при любом n, система уравнений будет иметь единственное решение.
3) Система уравнений не имеет решений, когда прямые параллельны.
1/3 = 1/−m
−m = 3
m = −3;
n/5 = 3
n = 5 * 3
n = 15,
значит при m = −3 и n ≠ 15 система уравнений не будет иметь решений.
Задание №1025
Решите графически систему уравнений:
1) { | x | − y = 0,
x − y = − 4 ;
2) { | x | − y = 0,
x + 3 y = 4 ;
3) { y + | x | = 0,
x + y = 2 ;
4) { x − | y | = 0,
2 x − y = 3.
Решение:
1) { | x | − y = 0,
x − y = − 4
|x| − y = 0
−y = −|x|
y = |x|
x − y = −4
−y = −4 − x
y = x + 4
Графики уравнений пересекаются в точке (−2;2), следовательно данная пара чисел является решением данной системы уравнения.
2) { | x | − y = 0,
x + 3 y = 4
|x| − y = 0
−y = −|x|
y = |x|
x + 3y = 4
x = 4 − 3y
Графики уравнений пересекаются в точках (−2;2) и (1;1), следовательно данные пары чисел являются решением данной системы уравнения.
3) { y + | x | = 0,
x + y = 2
y + |x| = 0
y = −|x|
x + y = 2
y = 2 − x
Графики уравнений не имеют точек пересечения, следовательно система уравнений не имеет решения.
4) { x − | y | = 0,
2 x − y = 3
x − |y| = 0
x = |y|
2x − y = 3
−y = 3 − 2x
y = 2x − 3
Графики уравнений пересекаются в точках (3;3) и (1;−1), следовательно данные пары чисел являются решением данной системы уравнения.
Задание №1026
Решите графически систему уравнений:
1) { x2 − y2 = 0,
x + 2 y = 3 ;
2) { | y − 2 x | = 3,
x − 2 y = 0 ;
3) { x2 − 2 x y + y2 = 4,
| x + y | = 2.
Решение:
1) { x2 − y2 = 0,
x + 2 y = 3 ;
x2 − y2 = 0
(x − y)(x + y) = 0
x − y = 0
y = x
x + y = 0
y = −x
x + 2y = 3
x = 3 − 2y
Графики уравнений пересекаются в точках (1;1) и (−3;3), следовательно данные пары чисел являются решением данной системы уравнения.
2) { | y − 2 x | = 3,
x − 2 y = 0 ;
y − 2x = 3
y = 3 + 2x
y − 2x = −3
y = 2x − 3
x − 2y = 0
x = 2y
Графики уравнений пересекаются в точках (−2;−1) и (2;1), следовательно данные пары чисел являются решением данной системы уравнения.
3) { x2 − 2 x y + y2 = 4,
| x + y | = 2
x2 − 2 x y + y2 = 4
( x − y )2 = 4
x − y = 2
−y = 2 − x
y = x − 2
x − y = −2
−y = −2 − x
y = x + 2
|x + y| = 2
x + y = 2
y = 2 − x
x + y = −2
y = −2 − x
Графики уравнений пересекаются в точках (−2;0), (0;2), (2;0) и (0;−2), следовательно данные пары чисел являются решением данной системы уравнения.
