Задание №834

Значение функции y = ƒ(x) равно 0 при значениях аргумента, равных −5 и 4. Какое из следующих утверждений равно:
1) график функции имеет с осью ординат две общие точки (0; −5) и (0; 4);
2) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки (−5; 0) и (4; 0).

Решение:

1) Утверждение не верно, так как:
при x = −5: ƒ(4) = 0;
при x = 4: ƒ(4) = 0, а в данном утверждении:
при y = −5: x = 0;
при y = 4: x = 0

2) Утверждение верно, так как:
при x = −5: ƒ(4) = 0;
при x = 4: ƒ(4) = 0.

Задание №835

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
1) y = x2 − 16 x;
2) y = |x| − 2;
3) y = x3 − 9 x;
4) y = 0,8x.

Решение:

1) При y = 0:
y = x2 − 16 x
x2 − 16 x = 0
x(x − 16) = 0
x1 = 0;
x − 16 = 0
x2 = 16, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами: (0;0) и (16;0).
При x = 0:
y = x2 − 16 x
y = 02 − 16 ∗ 0 = 0 − 0 = 0, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;0).

2) При y = 0:
y = |x| − 2
|x| − 2 = 0
|x| = 2
x1 = 2;
x2 = − 2, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами: (2;0) и (−2;0).
При x = 0:
y = |x| − 2 = 0 − 2 = −2, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;−2).

3) При y = 0:
y = x3 − 9 x
x3 − 9 x = 0
x ( x2 − 9 ) = 0
x1 = 0;
x2 − 9 = 0
x2 = 9
x2 = 3;
x3 = − 3, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами: (0;0), (3;0) и (−3;0).
При x = 0:
y = x3 − 9 x = 03 − 9 ∗ 0 = 0 − 0 = 0, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;0).

4) При y = 0:
y = 0,8x
0,8x = 0
x = 0, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами (0;0).
При x = 0:
y = 0,8x = 0,8 * 0, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;0).

Задание №836

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
1) y = 36 − 9x;
2) y = x2 + x;
3) y = 49 − x2.

Решение:

1) При y = 0:
y = 36 − 9x
9x = 36 − 0
9x = 36
x = 36 : 9
x = 4, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами: (4;0).
При x = 0:
y = 36 − 9x = 36 − 9 * 0 = 36, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;36).

2) При y = 0:
y = x2 + x
x2 + x = 0
x ( x + 1 ) = 0
x1 = 0;
x + 1 = 0
x2 = − 1, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами: (0;0) и (−1;0).
При x = 0:
y = x2 + x = 02 + 0 = 0, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;0).

3) При y = 0:
y = 49 − x2
x2 − 49 = 0
x2 = 49
x1 = 7;
x2 = − 7, следовательно график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами: (7;0) и (−7;0).
При x = 0:
y = 49 − x2 = 49 − 02 = 49, следовательно график функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0;49).

Задание №837

Задана функция y = 1 − x, областью определения которой являются все однозначные натуральные числа. Постройте график этой функции.

Решение:


y1 = 1 − x1 = 1 − 1 = 0;
y2 = 1 − x2 = 1 − 2 = − 1;
y3 = 1 − x3 = 1 − 3 = − 2;
y4 = 1 − x4 = 1 − 4 = − 3;
y5 = 1 − x5 = 1 − 5 = − 4;
y6 = 1 − x6 = 1 − 6 = − 5;
y7 = 1 − x7 = 1 − 7 = − 6;
y8 = 1 − x8 = 1 − 8 = − 7;
y9 = 1 − x9 = 1 − 9 = − 8.

Задание №838

Постройте график функции ƒ(x) = 1,5x + 1, область определения которой являются целые числа, удовлетворяющие неравенству −4 ⩽ x ⩽ 2.

Решение:


ƒ ( x1 ) = 1, 5 x1 + 1 = 1, 5 ∗ − 4 + 1 = − 6 + 1 = − 5;
ƒ ( x2 ) = 1, 5 x2 + 1 = 1, 5 ∗ − 3 + 1 = − 4, 5 + 1 = − 3, 5;
ƒ ( x3 ) = 1, 5 x3 + 1 = 1, 5 ∗ − 2 + 1 = − 3 + 1 = − 2;
ƒ ( x4 ) = 1, 5 x4 + 1 = 1, 5 ∗ − 1 + 1 = − 1, 5 + 1 = − 0, 5;
ƒ ( x5 ) = 1, 5 x5 + 1 = 1, 5 ∗ 0 + 1 = 0 + 1 = 1;
ƒ ( x6 ) = 1, 5 x6 + 1 = 1, 5 ∗ 1 + 1 = 1, 5 + 1 = 2, 5;
ƒ ( x7 ) = 1, 5 x7 + 1 = 1, 5 ∗ 2 + 1 = 3 + 1 = 4.

Задание №839

Постройте график функции, областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при четных значениях аргумента и значение −1 при нечетных значениях аргумента.

Решение:


ƒ(1) = −1;
ƒ(2) = 1;
ƒ(3) = −1;
ƒ(4) = 1;
ƒ(5) = −1;
ƒ(6) = 1;
ƒ(7) = −1 и т.д.

Задание №840

Функция ƒ задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превышает соответствующее значение аргумента. Постройте график этой функции.

Решение:

ƒ(x) = x, где y ⩽ x

Задание №841

Упростите выражение:
1) (c + 2)(c − 3) − (c + 1)(c + 3);
2) ( p + 4 ) ( p − 11 ) + ( p + 6 )2;
3) 3 ( x − 5 )2 − ( 8 x2 − 10 x );
4) 7 ( 2 y − 5 )2 − 2 ( 7 y − 1 )2.

Решение:

1) ( c + 2 ) ( c − 3 ) − ( c + 1 ) ( c + 3 ) = ( c2 + 2 c − 3 c − 6 ) − ( c2 + c + 3 c + 3 ) = c2 + 2 c − 3 c − 6 − c2 − c − 3 c − 3 = ( c2 − c2 ) + ( 2 c − 3 c − c − 3 c ) + ( − 6 − 3 ) = − 5 c − 9

2) ( p + 4 ) ( p − 11 ) + ( p + 6 )2 = p2 + 4 p − 11 p − 44 + p2 + 12 p + 36 = ( p2 + p2 ) + ( 4 p − 11 p + 12 p ) + ( − 44 + 36 ) = 2 p2 + 5 p − 8

3) 3 ( x − 5 )2 − ( 8 x2 − 10 x ) = 3 ( x2 − 10 x + 25 ) − 8 x2 + 10 x = 3 x2 − 30 x + 75 − 8 x2 + 10 x = − 5 x2 − 20 x + 75 = − 5 ( x2 + 4 x − 15 )

4) 7 ( 2 y − 5 )2 − 2 ( 7 y − 1 )2 = 7 ( 4 y2 − 20 y + 25 ) − 2 ( 49 y2 − 14 y + 1 ) = 28 y2 − 140 y + 175 − 98 y2 + 28 y − 2 = ( 28 y2 − 98 y2 ) + ( − 140 y + 28 y ) + ( 175 − 2 ) = − 70 y2 − 112 y + 173

Задание №842

Докажите тождество:
1) ( 4 a2 + 3 )2 + ( 7 − 4 a2 )2 − 2 ( 4 a2 + 3 ) ( 4 a2 − 7 ) = 100;
2) ( a2 − 6 a b + 9 b2 ) ( a2 + 6 a b + 9 b2 ) − ( a2 − 9 b2 )2 = 0.

Решение:

1) ( 4 a2 + 3 )2 + ( 7 − 4 a2 )2 − 2 ( 4 a2 + 3 ) ( 4 a2 − 7 ) = 100
16 a4 + 24 a2 + 9 + 49 − 56 a2 + 16 a4 − 2 ( 16 a4 + 12 a2 − 28 a2 − 21 ) = 100
32 a4 − 32 a2 + 58 − 2 ( 16 a4 − 16 a2 − 21 ) = 100
32 a4 − 32 a2 + 58 − 32 a4 + 32 a2 + 42 = 100
58 + 42 = 100
100 = 100

2) ( a2 − 6 a b + 9 b2 ) ( a2 + 6 a b + 9 b2 ) − ( a2 − 9 b2 )2 = 0
( a − 3 b2 )2 ( a + 3 b2 )2 − ( a2 − 9 b2 )2 = 0
( a2 − 9 b2 )2 − ( a2 − 9 b2 )2 = 0
0 = 0

Задание №843

Докажите, что при любом значении n значение выражения

( 4 n + 1 )2 − ( n + 4 )2 кратно 120.

Решение:

( 4 n + 1 )2 − ( n + 4 )2 = 16 n2 + 8 n + 1 − ( n2 + 8 n + 16 ) = 16 n2 + 8 n + 1 − n2 − 8 n − 16 = ( 16 n2 − n2 ) + ( 8 n − 8 n ) + ( 1 − 16 ) = 15 n2 − 15 = 15 ( n2 − 1 ) = 15 ( n − 1 ) ( n + 1 )
Если n − нечетное число, тогда (n − 1) и (n + 1) четные, причем одно из них делится на 4, соответственно (n − 1)(n + 1) делится на 8.
Отсюда следует, что 15(n − 1)(n + 1) делится на 120 при любом нечетном значении n.

Задание №844

Найдите какие−нибудь три натуральных значения переменной x таких, чтобы выражение a2 − 2 x можно было разложить на множители по формуле разности квадратов. Полученные выражения разложите на множители.

Решение:

Пусть x = 4,5, тогда:
a 2 − 2 x = a2 − 2 ∗ 4, 5 = a2 − 9 = ( a − 3 ) ( a + 3 );
Пусть x = 8, тогда:
a 2 − 2 x = a2 − 2 ∗ 8 = a2 − 16 = ( a − 4 ) ( a + 4 );
Пусть x = 12,5, тогда:
a 2 − 2 x = a2 − 2 ∗ 12, 5 = a2 − 25 = ( a − 5 ) ( a + 5 ).