Задание №618
В первой коробке было 45 шариков, из них 15 − белых, во второй − 75 шариков, из них 25 − белых, в третьей − 24 белых и 48 красных шариков, в четвертой − поровну белых, красных и зеленых шариков. Для какой коробки больше вероятность наугад вынуть из нее белый шарик.
Решение:
15/45 = 1/3 вероятность выпадения белого шарика из первой коробки;
25/75 = 1/3 вероятность выпадения белого шарика из второй коробки;
24/(24 + 48) = 24/72 = 1/3 вероятность выпадения белого шарика из третьей коробки;
1/(1 + 1 + 1) = 1/3 вероятность выпадения белого шарика из четвертой коробки.
Отсюда следует, что вероятность выпадения белого шарика для всех коробок одинаковая и равна 1/3.
Задание №619
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:
1) x2;
2) x2 − 16;
3) ( x + 4 )2 + 20?
Решение:
1) При x = 0 значение выражения
x2 = 02 = 0 принимает наименьшее значение.
2) При x = 0 значение выражения\
x2 − 16 = 02 − 16 = 0 − 16 = − 16 принимает наименьшее значение.
3) При x = −4 значение выражения
( x + 4 )2 + 20 = ( − 4 + 4 )2 + 20 = 02 + 20 = 20 принимает наименьшее значение.
Задание №620
Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:
1) − x2;
2) − x2 + 4;
3) 12 − ( x − 1 )2?
Решение:
1) При x = 0 значение выражения
− x2 = − 02 = 0 принимает наибольшее значение.
2) При x = 0 значение выражения
− x2 + 4 = − 02 + 4 = 0 + 4 = 4 принимает наибольшее значение.
3) При x = 1 значение выражения
12 − ( x − 1 )2 = 12 − ( 1 − 1 )2 = 12 − 02 = 12 − 0 = 12 принимает наибольшее значение.
Задание №621
При каком значении переменной выполняется равенство:
1) ( x − 1 )2 + ( x + 1 )2 = − 10;
2) ( x − 1 )2 + ( x + 1 )2 = 0;
3) ( x2 − 1 )2 + ( x + 1 )2 = 0?
Решение:
1) ( x − 1 )2 + ( x + 1 )2 ≠ − 10
Равенство не может быть верно ни при каких значениях переменной, так как:
( x − 1 )2 ≥ 0;
( x + 1 )2 ≥ 0, а сумма двух положительных чисел не может быть числом отрицательным.
2) ( x − 1 )2 + ( x + 1 )2 ≠ 0
Равенство не может быть верно ни при каких значениях переменной, так как:
( x − 1 )2 ≥ 0;
( x + 1 )2 ≥ 0, кроме того оба эти числа не могут быть равны нулю, следовательно одно из них обязательно больше нуля. Сумма нуля и положительно числа не может быть равна нулю.
3) ( x2 − 1 )2 + ( x + 1 )2 = 0
( x2 − 1 )2 = 0
x2 − 1 = 0
x2 = 1
x = 1 или x = −1;
( x + 1 )2 = 0
x + 1 = 0
x = −1, следовательно при x = −1 данное равенство будет выполнятся.
( ( − 1 )2 − 1 )2 + ( − 1 + 1 )2 = 0
( 1 − 1 )2 + 02 = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Задание №622
При каких значениях переменных x и y выполняется равенство:
1) ( x + 2 )2 + ( y − 6 )2 = − 1;
2) ( x + 2 )2 + ( y − 6 )2 = 0?
Решение:
1) ( x + 2 )2 + ( y − 6 )2 ≠ − 1
Равенство не может быть верно ни при каких значениях переменной, так как:
( x + 2 )2 ≥ 0;
( y − 6 )2 ≥ 0, а сумма двух положительных чисел не может быть числом отрицательным.
2) ( x + 2 )2 + ( y − 6 )2 = 0
( x + 2 )2 = 0
x + 2 = 0
x = −2;
( y − 6 )2 = 0
y − 6 = 0
y = 6, то есть при х = −2 и при y = 6 данное равенство будет выполнятся:
( − 2 + 2 )2 + ( 6 − 6 )2 = 0
0 2 + 0 2 = 0
0 = 0
Задание №623
Известно, что натуральные числа m и n таковы, что значение выражения 10m + n делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения (10m + n)(10n + m) делится нацело на 121.
Решение:
Пусть частное при делении выражения 10m + n на 11 равно a, тогда 10m + n = 11a. Так как 10m + n делится на 11, то m = n, так как двузначное число делится нацело на 11, когда число десятков равно числу единиц в числе.
Следовательно 10m + n = 10n + m = 11a.
11 a ∗ 11 a = 121 a2, следовательно значение выражения (10m + n)(10n + m) делится нацело на 121.
