Задание №624
Какому из данных выражений тождественно равен многочлен a2 − 18 a + 81:
1) ( a − 3 )2;
2) a − 9;
3) (a − 9)(a + 9);
4) ( a − 9 )2?
Решение:
1) ( a − 3 )2 = a2 − 6 a + 9 ≠ a2 − 18 a + 81 не тождественно.
2) a − 9 ≠ a2 − 18 a + 81 не тождественно.
3) ( a − 9 ) ( a + 9 ) = a2 − 81 ≠ a2 − 18 a + 81 не тождественно.
4) ( a − 9 )2 = a2 − 18 a + 81 = a2 − 18 a + 81 тождественно.
Задание №625
Какое из данных равенств является тождеством:
1) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a + 8 b )2;
2) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a + 4 b )2;
3) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a b + 4 )2;
4) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a + 2 b )2?
Решение:
1) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a + 8 b )2
a 2 + 8 a b + 16 b2 ≠ a2 + 16 a b + 64 b2 не тождественно.
2) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a + 4 b )2
a2 + 8 a b + 16 b2 = a2 + 8 a b + 16 b2 тождественно.
3) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a b + 4 )2
a2 + 8 a b + 16 b2 ≠ a2 b2 + 8 a b + 16 не тождественно.
4) a2 + 8 a b + 16 b2 = ( a + 2 b )2
a2 + 8 a b + 16 b2 ≠ a2 + 4 a b + 4 b2 не тождественно.
Задание №626
Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:
1) a2 + 2 a + 1;
2) x2 − 12 x + 36;
3) y2 − 18 y + 81;
4) 100 − 20 c + c2;
5) a2 − 6 a b + 9 b2;
6) 9 a2 − 30 a b + 25 b2;
7) b4 − 2 b2 c + c2;
8) m8 + m4 n2 + 1/4 n4;
9) 36 a2 b2 − 12 a b + 1;
10) x4 + 2 x2 y3 + 16 y6;
11) 1/16 x4 − 2 x2 y3 + 16 y6;
12) 0, 01 a8 + 25 b14 − a4 b7.
Решение:
1) a2 + 2 a + 1 = a2 + 2 ∗ a ∗ 1 + 1 2 = ( a + 1 )2
2) x2 − 12 x + 36 = x2 − 2 ∗ 6 ∗ x + 62 = ( x − 6 )2
3) y2 − 18 y + 81 = y2 − 2 ∗ 9 ∗ y + 92 = ( y − 9 )2
4) 100 − 20 c + c2 = 102 − 2 ∗ 10 ∗ c + c2 = ( 10 − c )2
5) a2 − 6 a b + 9 b2 = a2 − 2 ∗ a ∗ 3 b + ( 3 b )2 = ( a2 − 3 b )2
6) 9 a2 − 30 a b + 25 b2 = ( 3 a )2 − 2 ∗ 3 a ∗ 5 b + ( 5 b )2 = ( 3 a − 5 b )2
7) b4 − 2 b2 c + c2 = ( b2 )2 − 2 ∗ b2 ∗ c + c2 = ( b2 − c )2
8) m8 + m4 n2 + 1/4 n4 = ( m4 )2 + 2 ∗ m4 ∗ 1/2 n2 + ( 1/2 n2 )2 = ( m4 + 1/2 n2 )2
9) 36 a2 b2 − 12 a b + 1 = ( 6 a b )2 − 2 ∗ 6 a b ∗ 1 + 12 = ( 6 a b − 1 )2
10) x4 + 2 x2 + 1 = ( x2 )2 + 2 ∗ x2 ∗ 1 + 12 = ( x2 + 1 )2
11) 1/16 x4 − 2 x2 y3 + 16 y6 = ( 1/4 x2 )2 − 2 ∗ 1/4 x2 ∗ 4 y3 + ( 4 y3 )2
12) 0,01 a8 + 25 b14 − a4 b7 = 0,01 a8 − a4 b7 + 25 b14 = ( 0,1 a4 )2 + 2 ∗ 0, 1 a4 ∗ 5 b7 + ( 5 b7 )2 = ( 0,1 a4 − 5 b7 )2
Задание №627
Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
1) b 2 − 2 b + 1;
2) 4 + 4 n + n2;
3) x2 − 14 x + 49;
4) 4 a2 + 4 a b + b2;
5) 9 x2 − 24 x y + 16 y2;
6) a6 − 2 a3 + 1;
7) 36 a6 − 84 a3 b5 + 49 b10;
8) 81 x4 y8 − 36 x2 y4 z6 + 4 x12.
Решение:
1) b2 − 2 b + 1 = b2 − 2 ∗ b ∗ 1 + 12 = ( b − 1 )2
2) 4 + 4 n + n2 = 22 + 2 ∗ 2 ∗ n + n2 = ( 2 + n )2
3) x2 − 14 x + 49 = x2 − 2 ∗ 7 ∗ x + 72 = ( x − 7 )2
4) 4 a2 + 4 a b + b2 = ( 2 a )2 + 2 ∗ 2 a b + b2 = ( 2 a + b )2
5) 9 x2 − 24 x y + 16 y2 = ( 3 x )2 − 2 ∗ 3 x ∗ 4 y + ( 4 y )2 = ( 3 x − 4 y )2
6) a6 − 2 a3 + 1 = ( a3 )2 − 2 ∗ a3 ∗ 1 + 12 = ( a3 − 1 )2
7) 36 a6 − 84 a3 b5 + 49 b10 = ( 6 a3 )2 − 2 ∗ 6 a3 ∗ 7 b5 + ( 7 b5 )2 = ( 6 a3 − 7 b5 )2
8) 81 x4 y8 − 36 x2 y4 z6 + 4 x12 = ( 9 x2 y4 )2 − 2 ∗ 9 x2 y4 ∗ 2 x6 + ( 2 x6 )2 = ( 9 x2 y4 − 2 x6 )2
Задание №628
Найдите значение выражения, представив его предварительно в виде квадрата двучлена:
1) y2 − 8 y + 16, если y = −4;
2) с2 + 24 c + 144, если c = −10;
3) 25 x2 − 20 x y + 4 y2, если x = 3, y = 5,5;
4) 49 a2 + 84 a b + 36 b2, если a = 1 1/7, b = 2 5/6.
Решение:
1) y2 − 8 y + 16 = ( y − 4 )2 = ( − 4 − 4 )2 = ( − 8 )2 = 64
2) с2 + 24 c + 144 = ( c + 12 )2 = ( − 10 + 12 )2 = 22 = 4
3) 25 x2 − 20 x y + 4 y2 = ( 5 x − 2 y )2 = ( 5 ∗ 3 − 2 ∗ 5, 5 )2 = ( 15 − 11 )2 = 4 2 = 16
4) $49a^2+84ab+36b^2=(7a+6b)^2=(7\ast1\frac17+6\ast2\frac56)^2=(7\ast\frac87+6\ast\frac{17}6)^2=(8+17)^2=25^2=625$
Задание №629
Найдите значение выражения:
1) b 2 − 30 b + 225, если b = 6;
2) 100 a2 + 60 a b + 9 b2, если a = 0,8, b = −3.
Решение:
1) b2 − 30 b + 225 = ( b − 15 )2 = ( 6 − 15 )2 = ( − 9 )2 = 81
2) 100 a2 + 60 a b + 9 b2 = ( 10 a + 3 b )2 = ( 10 ∗ 0, 8 + 3 ∗ ( − 3 ) )2 = ( 8 − 9 )2 = ( − 1 )2 = 1
Задание №630
Какой одночлен следует подставить вместо звездочки, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражение:
1) * − 56a + 49;
2) 9 c2 − 12 c + ∗;
3) ∗ − 42 x y + 49 y2;
4) 0, 01 b2 + ∗ + 100 c2;
5) a2 b2 − 4 a3 b5 + ∗;
6) 1, 44 x2 y4 − ∗ y + 0, 25 y6;
7) 64 − 80 y20 + ∗ y40;
8) 9/25 a6 b2 − a5 b5 + ∗?
Решение:
1) ∗ − 56 a + 49 = ∗ − 56 a + 72
$\ast=(\frac{56a}{2\ast7})^2=(\frac{56a}{14})^2=(4a)^2=16a^2$
16 a2 − 56 a + 49 = ( 4 a − 7 )2.
2) 9 c2 − 12 c + ∗ = ( 3 c )2 − 12 c + ∗
$\ast=(\frac{12c}{3c\ast2})^2=(\frac{12c}{6c})^2=2^2=4$
9 c2 − 12 c + 4 = ( 3 c − 2 )2.
3) ∗ − 42 x y + 49 y2 = ∗ − 42 x y + ( 7 y )2
$\ast=(\frac{42xy}{2\ast7y})^2=(\frac{42xy}{14y})^2=(3x)^2=9x^2$
9 x2 − 42 x y + 49 y2 = ( 3 x − 7 y )2.
4) 0,01 b2 + ∗ + 100 c2 = ( 0,1 b )2 + ∗ + ( 10 c )2
∗ = 2 ∗ 0, 1 b ∗ 10 c = 2 b c
0, 01 b2 + 2 b c + 100 c2 = ( 0, 1 b + 100 c )2.
5) a2 b2 − 4 a3 b5 + ∗ = ( a b )2 − 4 a3 b5 + ∗
$\ast=(\frac{4a^3b^5}{2\ast ab})^2=(\frac{4a^3b^5}{2ab})^2=(2a^2b^4)^2=4a^4b^8$
a 2 b2 − 4 a3 b5 + 4 a4 b8 = ( a b − 2 a2 b4 ) 2.
6) 1, 44 x2 y4 − ∗ y + 0, 25 y6 = ( 1, 2 x y2 )2 − ∗ y + ( 0, 5 y3 )2
∗ y = 2 ∗ 1, 2 x y2 ∗ 0, 5 y3 = 1, 2 x y5
$\ast y=\frac{1,2xy^5}y=1,2xy^4$
1, 44 x2 y4 − 1, 2 x y4 ∗ y + 0, 25 y6 = 1, 44 x2 y4 − 1, 2 x y4 ∗ y + 0, 25 y6 = ( 1, 2 x y2 − 0, 5 y3 )2.
7) 64 − 80 y20 + ∗ y40 = 82 − 80 y20 + ∗ y40
$\ast y^{40}=(\frac{80y^{20}}{2\ast8})^2=(\frac{80y^{20}}{16})^2=(5y^{20})^2=25y^{40}$
$\ast=\frac{25y^{40}}{y^{40}}=25$
64 − 80 y20 + ∗ y40 = 64 − 80 y20 + 25 y40 = ( 8 − 5 y20 )2
8) $\frac9{25}a^6b^2-a^5b^5+\ast=(\frac35a^3b)^2-a^5b^5+\ast$
$\ast=(\frac{a^5b^5}{2\ast\frac35a^3b})^2=(\frac{a^5b^5}{\frac65a^3b})^2=(\frac{5a^5b^5}{6a^3b})^2=(\frac56a^2b^4)^2=\frac{25}{36}a^4b^8$
$\frac9{25}a^6b^2-a^5b^5+\frac{25}{36}a^4b^8=(\frac35a^3b-\frac56a^2b^4)^2$
