Задание №558
При каком значении a уравнение ( a2 − 25 ) x = a + 5;
1) имеет бесконечно много корней;
2) не имеет корней;
3) имеет один корень?
Решение:
1) Для того, чтобы уравнение имело бесконечно много корней, нужно чтобы обе части уравнения были равны нулю, тогда:
a + 5 = 0
a = −5, то есть при a = −5 уравнение будет иметь бесконечно много корней, так как:
( a2 − 25 ) x = a + 5
( ( − 5 )2 − 25 ) x = − 5 + 5
(25 − 25)x = 0
0x = 0
0 = 0
2) ( a2 − 25 ) x = 0
( a2 − 25 ) = 0
(a − 5)(a + 5) = 0
a1 − 5 = 0
a1 = 5;
a2 + 5 = 0
a2 = − 5, следовательно при a = 5 уравнение не будет иметь корней, так как:
( a2 − 25 ) x = a + 5
( 52 − 25 ) x = 5 + 5
(25 − 25)x = 10
0x = 10
x ≠ 10
3) При a ≠ 5 и a ≠ −5 уравнение будет иметь только один корень, например при a = 0:
( a2 − 25 ) x = a + 5
( 02 − 25 ) x = 0 + 5
(0 − 25)x = 5
−25x = 5
x = − 5/25
x = − 1/5
Задание №559
Лодка двигаясь 2,4 ч по течению реки и 3,6 ч против течения. Расстояние, пройденное лодкой по течению, на 5,4 км больше расстояния, пройденного против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения составляет 2,5 км/ч.
Решение:
Пусть x км/ч собственная скорость лодки, тогда
(x + 2,5) км/ч скорость лодки по течению;
(x − 2,5) км/ч скорость лодки против течения;
(2,4(x + 2,5)) км проплыла лодка по течению;
(3,6(x − 2,5)) км проплыла лодка против течения;
а расстояние, пройденное лодкой по течению, на 5,4 км больше расстояния, пройденного против течения.
Составим уравнение:
2,4(x + 2,5) − 3,6(x − 2,5) = 5,4
2,4x + 6 − 3,6x + 9 = 5,4
2,4x − 3,6x = 5,4 − 6 − 9
−1,2x = −9,6
x = 9,6 : 1,2
x = 8
Значит, 8 км/ч собственная скорость лодки.
Ответ: 8 км/ч.
Задание №560
За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали 4/9 того, что продали в первый день, а в третий − столько, сколько в первые два дня вместе. Сколько килограммов апельсинов продали в первый день?
Решение:
Пусть x кг апельсинов продали в первый день, тогда
(4/9 x) кг апельсинов продали во второй день;
(x + 4/9 x) кг апельсинов продали в третий день, а всего за три дня продали 130 кг.
Составим уравнение:
x + 4/9 x + x + 4/9 x = 130
х (1 + 4/9 + 1 + 4/9) = 130
26/9 x = 130
x = 130 : 26/9
x = 130 ∗ 9/26
x = 5 * 9
x = 45
Значит, 45 кг апельсинов продали в первый день.
Задание №561
В последовательности ..., a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... каждое число равно сумме двух предыдущих. Чему равно число a?
Решение:
Так каждое число равно сумме двух предыдущих, то:
1 = 0 + d, следовательно d = 1, аналогично:
0 = d + c
0 = 1 + c
c = −1;
d = с + b
1 = −1 + b
b = 1 + 1
b = 2;
с = b + a
−1 = 2 + a
a = −1 − 2
a = −3.
Задание №562
Решите уравнение:
1) 2 x − 1 − x + 2 = x;
8 4
2) 3(2x + 3) − 2(3x + 5) = −1.
Решение:
1) 2 x − 1 − x + 2 = x
8 4
2 x − 1 − x + 2 − x = 0
8 4
2 x − 1 − 2 ( x + 2 ) − 8 x = 0
8
2x − 1 − 2(x + 2) − 8 = 0
2x − 1 − 2x − 4 − 8x = 0
−8x = 1 + 4
−8x = 5
x = − 5 8
2) 3(2x + 3) − 2(3x + 5) = −1
6x + 9 − 6x − 10 = −1
6x − 6x = −1 − 9 + 10
0x = 0
0 = 0
Уравнение имеет бесконечно много корней.
Задание №563
Для каждой пары выражений найдите все значения a, при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения:
1) a и 3a;
2) a2 и 3 a2;
3) a2 + 1 и 3 a2 + 3.
Решение:
1) При всех a > 0, значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения, например:
при a = 1:
a = 1;
3a = 3 * 1 = 3;
3 : 1 = 3 − удовлетворяет условию задачи.
при a = 0:
a = 0;
3a = 3 * 0 = 0;
0 = 0 − не удовлетворяет условию задачи.
при a = −1:
a = −1;
3a = 3 * −1 = −3, значение второго выражения в 3 раза меньше значения первого выражения, следовательно отрицательные значения a не удовлетворяют условие задачи.
2) При всех a ≠ 0, значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения, например:
при a = 1:
a2 = 12 = 1;
3 a2 = 3 ∗ 12 = 3 ∗ 1 = 3, следовательно 3 : 1 = 3.
при a = −1:
a2 = ( − 1 )2 = 1;
3 a2 = 3 ∗ ( − 1 )2 = 3 ∗ 1 = 3, следовательно 3 : 1 = 3.
3) При любом a, значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения, так как:
3 a2 + 3 = 3 ( a2 + 1 )
3 ( a2 + 1 ) = 3.
a2 + 1
Задание №564
Запишите в виде выражения:
1) квадрат суммы чисел a и b;
2) сумму квадратов чисел a и b;
3) удвоенное произведение чисел чисел a и b;
4) квадрат разности одночленов 3m и 4n.
Решение:
1) ( a + b )2
2) a2 + b2
3) 2ab
4) ( 3 m − 4 n )2
Задание №565
Найдите удвоенное произведение одночленов:
1) a2 и 3b;
2) 5x и 6y;
3) 0,5m и 4n;
4) 1/3 m2 и 6m.
Решение:
1) 2 ( a2 ∗ 3 b ) = 2 ∗ 3 a2 b = 6 a2 b
2) 2(5x * 6y) = 2 * 30xy = 60xy
3) 2(0,5m * 4n) = 2 * 2mn = 4mn
4) 2 ( 1/3 m2 ∗ 6 m ) = 2 ∗ 2 m3 = 4 m3
Задание №566
Меню состоит из 101 блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечетного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из четного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя.
Решение:
Выбирая обед из n блюд, мы тем самым выбираем и обед, состоящий из оставшихся (101 − n) блюд так как выбрать все блюда нельзя. Поскольку числа n и (101 − n) имеют разную чётность, то все возможные выборы можно разбить на пары вида (n; 101 − n) , состоящие и четного и нечетного числа, а значит количество способов будет одинаково.
