Задание №607
Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5. Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа?
Решение:
Пусть n − натуральное число, а − неполное частное при делении n на 25, тогда:
n = 9a + 5.
( 9 a + 5 )2 = 81 a2 + 90 a + 25 = 81 a2 + 90 a + 18 + 7 = ( 81 a2 + 90 a + 18 ) + 7 = 9 ( 9 a2 + 10 a + 2 ) + 7, следовательно остаток при делении на 9 квадрата этого числа будет равен 7.
Задание №608
Остаток при делении некоторого числа на 11 равен 6. Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого числа?
Решение:
Пусть n − натуральное число, а − неполное частное при делении n на 11, тогда:
n = 11a + 6.
( 11 a + 6 )2 = 121 a2 + 132 a + 36 = 121 a2 + 132 a + 36 = ( 121 a2 + 132 a + 33 ) + 3 = 11 ( 11 a2 + 12 a + 3 ) + 3, следовательно остаток при делении на 11 квадрата этого числа будет равен 3.
Задание №609
Используя формулы сокращенного умножения, представьте в виде многочлена выражение:
1) (a + b + c)(a + b − c);
2) (a + b + c)(a − b − c);
3) (a + b + c + d)(a + b − c − d).
Решение:
1) ( a + b + c ) ( a + b − c ) = ( ( a + b ) + c ) ( ( a + b ) − c ) = ( a + b )2 − c2 = a2 + 2 a b + b2 − c2
2) ( a + b + c ) ( a − b − c ) = ( a + ( b + c ) ) ( a − ( b + c ) ) = a2 − ( b + c )2 = a2 − ( b2 + 2 b c + c2 ) = a2 − b2 − 2 b c − c2
3) ( a + b + c + d ) ( a + b − c − d ) = ( ( a + b ) + ( c + d ) ) ( ( a + b ) − ( c + d ) ) = ( a + b )2 − ( c + d )2 = a2 + 2 a b + b2 − ( c2 + 2 c d + d2 ) = a2 + 2 a b + b2 − c2 − 2 c d − d2
Задание №610
Используя формулы сокращенного умножения, представьте в виде многочлена выражение:
1) (a − b − c)(a + b − c);
2) (a − b + c + d)(a − b − c − d).
Решение:
1) ( a − b − c ) ( a + b − c ) = ( ( a − c ) − b ) ( ( a − c ) + b ) = ( a − c )2 − b2 = a2 − 2 a c + c2 − b2
2) ( a − b + c + d ) ( a − b − c − d ) = ( ( a − b ) + ( c + d ) ) ( ( a − b ) − ( c + d ) ) = ( a − b )2 − ( c + d )2 = a2 − 2 a b + b2 − ( c2 + 2 c d + d2 ) = a2 − 2 a b + b2 − c2 − 2 c d − d2
Задание №611
При каком значении a уравнение
( 6 x − a )2 + ( 8 x − 3 )2 = ( 10 x − 3 )2 не имеет корней?
Решение:
( 6 x − a )2 + ( 8 x − 3 )2 = ( 10 x − 3 )2
36 x2 − 12 a x + a2 + 64 x2 − 48 x + 9 = 100 x2 − 60 x + 9
36 x2 + 64 x2 − 100 x2 − 12 a x − 48 x + 60 x + a2 = 9 − 9
− 12 a x + 12 x + a2 = 0
− 12 a x + 12 x = − a2
− 12 x ( a − 1 ) = − a2
a − 1 = 0
a = 1
Значит, при a = 1 уравнение не имеет корней.
Задание №612
При каком значении a уравнение
( 2 a − 3 x )2 + ( x − 1 )2 = 10 ( x − 2 ) ( x + 2 ) не имеет корней?
Решение:
( 2 a − 3 x )2 + ( x − 1 )2 = 10 ( x − 2 ) ( x + 2 )
4 a2 − 12 a x + 9 x2 + x2 − 2 x + 1 = 10 ( x2 − 4 )
4 a2 − 12 a x + 10 x2 − 2 x + 1 = 10 x2 − 40
4 a2 − 12 a x + 10 x2 − 2 x − 10 x2 = − 40 − 1
− 12 a x − 2 x = − 4 a2 − 41
− 2 x ( 6 a + 1 ) = − 4 a2 − 41
6a + 1 = 0
6a = −1
a = − 1/6
Значит, есть при a = − 1/6 уравнение не имеет корней.
Задание №613
Докажите тождество:
( 2 n + 1 )2 + ( 2 n2 + 2 n )2 = ( 2 n2 + 2 n + 1 )2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого ученого Пифагора (VI в. до н.э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n^2 + 2n; 2n^2 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Решение:
( 2 n + 1 )2 + ( 2 n2 + 2 n )2 = ( 2 n2 + 2 n + 1 )2
4 n2 + 4 n + 1 + 4 n4 + 8 n3 + 4 n2 = 4 n4 + 4 n2 + 1 + 8 n3 + 4 n + 4 n2
( 4 n2 + 4 n2 ) + 8 n3 + 4 n4 + 4 n + 1 = ( 4 n2 + 4 n2 ) + 8 n3 + 4 n4 + 4 n + 1
8 n2 + 8 n3 + 4 n4 + 4 n + 1 = 8 n2 + 8 n3 + 4 n4 + 4 n + 1
Задание №614
(Тождество Ж.Л. Лагранжа.) Докажите тождество:
( a2 + b2 + c2 ) ( m2 + n2 + k2 ) − ( a m + b n + c k )2 = ( a n − b m )2 + ( a k − c m )2 + ( b k − c n )2.
Решение:
( a2 + b2 + c2 ) ( m2 + n2 + k2 ) − ( a m + b n + c k )2 = ( a n − b m )2 + ( a k − c m )2 + ( b k − c n )2
a2 m2 + a2 n2 + a2 k2 + b2 m2 + b2 n2 + b2 k2 + c2 m2 + c2 n2 + c2 k2 = a2 m2 + a2 n2 + a2 k2 + b2 m2 + b2 n2 + b2 k2 + c2 m2 + c2 n2 + c2 k2 − ( a2 m2 + b2 n2 + c2 k2 + 2 a m b n + 2 b n c k + 2 a m c k ) = a2 m2 + a2 n2 + a2 k2 + b2 m2 + b2 n2 + b2 k2 + c2 m2 + c2 n2 + c2 k2 − a2 m2 − b2 n2 − c2 k2 − 2 a m b n − 2 b n c k − 2 a m c k = ( a2 m2 − a2 m2 ) + ( b2 n2 − b2 n2 ) + ( c2 k2 − c2 k2 ) + a2 n2 + a2 k2 + b2 m2 + b2 k2 + c2 m2 + c2 n2 − 2 a m b n − 2 b n c k − 2 a m c k = ( a2 n2 − 2 a m b n + b2 m2 ) + ( a2 k2 − 2 b n c k + c2 m2 ) + ( b2 k2 − 2 b n c k + c2 n2 ) = ( a n − b m )2 + ( a k − c m )2 + ( b k − c n )2
( a n − b m )2 + ( a k − c m )2 + ( b k − c n )2 = ( a n − b m )2 + ( a k − c m )2 + ( b k − c n )2
Задание №615
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.
Решение:
Пусть n − 2 − первое число, тогда
(n − 1) − второе число;
n − третье число;
(n + 1) − четвертое число;
(n + 2) − пятое число.
Составим уравнение:
( n − 2 )2 + ( n − 1 )2 + n2 + ( n + 1 )2 + ( n + 2 )2 = n2 − 4 n + 4 + n2 − 2 n + 1 + n2 + n2 + 2 n + 1 + n2 + 4 n + 4 = ( n2 + n2 + n2 + n2 + n2 ) + ( − 4 n − 2 n + 2 n + 4 n ) + ( 4 + 1 + 1 + 4 ) = 5 n2 + 10 = 5 ( n2 + 2 )
Выражение 5 n2 + 10 нельзя представить в виде ( a n + b )2, следовательно не существует пяти последовательных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат натурального числа.
Задание №616
В корнеплодах сахарной свеклы содержится 25% сахара, в то время как в стеблях сахарного тростника − только 18%. Сколько тонн сахарного тростника надо переработать, чтобы получить столько же сахара, сколько из 3600 т сахарной свеклы?
Решение:
3600 * 25% = 3600 * 0,25 = 900 т сахара содержится в 3600 т сахарной свеклы;
900 : 18% = 900 : 0,18 = 90000 : 18 = 5000 т сахарного тростника надо переработать, чтобы получить столько же сахара, сколько из 3600 т сахарной свеклы.
Задание №617
В магазин привезли 740 кг апельсинов и бананов в 80 ящиках. В одном ящике было 10 кг апельсинов или 8 кг бананов. Сколько килограммов апельсинов привезли в магазин?
Решение:
Пусть привезли x ящиков с апельсинами, тогда
(80 − x) ящиков привезли с бананами;
10x кг привезли апельсинов;
8(80 − x) кг привезли бананов, а всего привезли 740 кг фруктов.
Составим уравнение:
10x + 8(80 − x) = 740
10x + 640 − 8x = 740
10x − 8x = 740 − 640
2x = 100
x = 100 : 2
x = 50
Значит, 50 ящиков привезли с апельсинами, тогда:
80 − x = 80 − 50 = 30 (ящ.) - привезли с бананами;
10x = 10 * 50 = 500 (кг) - апельсинов привезли в магазин.
Ответ: 500 кг.
