Задание 579
Вычислите:
а) $\frac{5^{12}\ast(5^4)^2}{(5^5)^4}=\frac{5^{12}\ast5^8}{5^{20}}=\frac{5^{20}}{5^{20}}=1$
б) $\frac{2^6\ast(2^3)^5}{64^4}=\frac{2^6\ast2^{15}}{(2^6)^4}=\frac{2^{21}}{2^{24}}=\frac1{2^3}=\frac18$
в) $\frac{(3^3)^2\ast27}{81^2}=\frac{3^6\ast3^3}{(3^4)^2}=\frac{3^9}{3^8}=3^1=3$
г) $\frac{25^6}{(5^3)^3\ast125}=\frac{(5^2)^6}{5^9\ast5^3}=\frac{5^{12}}{5^{12}}=1$
Задание 580
Найдите значение выражения:
а) $\frac{5^2\ast2^4}{10^4}=\frac{5^2\ast2^4}{5^4\ast2^4}=\frac1{5^2}=\frac1{25}$
б) $\frac{4^3\ast3^8}{6^7}=\frac{(2^2)^3\ast3^8}{(2\ast3)^7}=\frac{2^6\ast3^8}{2^7\ast3^7}=\frac32=1,5$
в) $\frac{27^3\ast25^5}{15^8}=\frac{(3^3)^3\ast(5^2)^5}{(3\ast5)^8}=\frac{3^9\ast5^{10}}{3^8\ast5^8}=3\ast5^2=3\ast25=75$
г) $\frac{(125\ast49)^3}{35^6}=\frac{(5^3\ast7^2)^3}{(5\ast7)^6}=\frac{5^9\ast7^6}{5^6\ast7^6}=5^3=125$
Задание 581
Вычислите:
а) $0,25^{40}\ast4^{42}=0,25^{40}\ast4^{40}\ast4^2=(0,25\ast4)^{40}\ast4^2=1^{40}\ast16=16$
б) $2^{100}\ast(\frac12)^{103}=2^{100}\ast(\frac12)^{100}\ast(\frac12)^3=(2\ast\frac12)^{100}\ast\frac18=1^{100}\ast\frac18=\frac18$
в) $(\frac34)^{50}\ast(\frac43)^{49}=\frac34\ast(\frac34)^{49}\ast(\frac43)^{49}=\frac34\ast1^{49}=\frac34$
г) $(-\frac23)^{24}\ast(\frac32)^{23}=(\frac23)^{24}\ast(\frac32)^{23}=\frac23\ast(\frac23)^{23}\ast(\frac32)^{23}=\frac23\ast(\frac23\ast\frac32)^{23}=\frac23\ast1=\frac23$
Задание 582
Сравните:
а) $3^{10}\ast5^8$ и $15^9$
б) $6^{18}$ и $2^{20}\ast3^{16}$
в) $81^{10}$ и $2^{20}\ast5^{20}$
г) $49^{15}$ и $2^{30}\ast3^{30}$
Решение
а) $3^{10}\ast5^8=3^2\ast3^8\ast5^8=9\ast(3\ast5)^8=9\ast15^8$
$15^9=15\ast15^8$
$9\ast15^8<15\ast15^8$
$3^{10}\ast5^8<15^9$
б) $6^{18}=(2\ast3)^{18}=2^{18}\ast3^{18}=2^{18}\ast3^2\ast3^{16}=9\ast2^{18}\ast3^{16}$
$2^{20}\ast3^{16}=2^2\ast2^{18}\ast3^{16}=4\ast2^{18}\ast3^{16}$
$9\ast2^{18}\ast3^{16}>4\ast2^{18}\ast3^{16}$
$6^{18}>2^{20}\ast3^{16}$
в) $81^{10}=(9^2)^{10}=9^{20}$
$2^{20}\ast5^{20}=(2\ast5)^{20}=10^{20}$
$9^{20}<10^{20}$
$81^{10}<2^{20}\ast5^{20}$
г) $49^{15}=(7^2)^{15}=7^{30}$
$2^{30}\ast3^{30}=(2\ast3)^{30}=6^{30}$
$7^{30}>6^{30}$
$49^{15}>2^{30}\ast3^{30}$
Задание 583
Значение какого выражения больше:
а) $5^{20}$ или $55^{10}$;
б) $33^{15}$ или $3^{30}$;
в) $10^{30}$ или $1010^{10}$;
г) $10001^5$ или $100^{10}$?
Решение
а) $5^{20}=(5^2)^{10}=25^{10}$
$25^{10}<55^{10}$
$5^{20}<55^{10}$
б) $3^{30}=(3^2)^{15}=9^{15}$
$33^{15}>9^{15}$
$33^{15}>3^{30}$
в) $10^{30}=(10^3)^10=1000^{10}$
$1000^{10}<1010^{10}$
$10^{30}<1010^{10}$
г) $100^{10}=(100^2)^5=10000^5$
$10001^5>10000^5$
$10001^5>100^{10}$
Задание 584
Представьте в виде степени:
а) $4^{2k}\ast8^k=(2^2)^{2k}\ast(2^3)^k=2^{4k}\ast2^{3k}=2^{4k+3k}=2^{7k}$
б) $6^{k-1}\ast2^{k+1}\ast3^{k+1}=6^{k-1}\ast(2\ast3)^{k+1}=6^{k-1}\ast6^{k+1}=6^{k-1+k+1}=6^{2k}$
в) $27^{k+1}\ast9^{k-1}=(3^3)^{k+1}\ast(3^2){k-1}=3^{3k+3}\ast3^{2k-2}=3^{3k+3+2k-2}=3^{5k+1}$
г) $10^k\ast25^k\ast2^{2k}=(2\ast5)^k\ast(5^2)^k\ast2^{2k}=2^k\ast2^{2k}\ast5^k\ast5^{2k}=2^{3k}\ast5^{3k}=10^{3k}$
Задание 585
При каких значениях x выполняется равенство:
а) $2^{x+4}=64$
$2^x\ast2^3=64$
$(2^x)^3=64$
б) $10^{3x+1}=10000$
$10^x\ast10^{x+1}=100000$
$(10^{x+1})^2=1000000$ ?
Решение
Задание 586
Имеются кубики с ребром, равным 3 единицам, 4 единицам, 5 единицам и т.д. Каждый кубик покрасили и разрезали на единичные кубики. заполните таблицу, ответив для каждого случая на вопросы:
1) Сколько получилось единичных кубиков?
2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?
3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?
4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?
5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?
Решение
