Задание 122. Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:
а) $\frac{(x + y)^2}{x - y}$ при x = −7, y = 3; при x = 9, y = 11;
б) $\frac{a^3 - b^3}{ab}$ при a = 5, b = −1; при a = −2, b = 3.
Решение
а) при x = −7, y = 3:
$\frac{(x + y)^2}{x - y} = \frac{(-7 + 3)^2}{-7 - 3} = \frac{(-4)^2}{-10} = \frac{16}{-10} = -1,6$
при x = 9, y = 11:
$\frac{(x + y)^2}{x - y} = \frac{(9 + 11)^2}{9 - 11} = \frac{20^2}{-2} = -\frac{400}{2} = -200$
б) при a = 5, b = −1:
$\frac{a^3 - b^3}{ab} = \frac{5^3 - (-1)^3}{5 * (-1)} = \frac{125 - (-1)}{-5} = \frac{126}{-5} = -25\frac{1}{5} = -25,2$
при a = −2, b = 3:
$\frac{a^3 - b^3}{ab} = \frac{(-2)^3 - 3^3}{(-2) * 3} = \frac{-8 - 27}{-6} = \frac{-35}{-6} = 5\frac{5}{6}$
Задание 123. Сравните значения выражений:
а) $-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^3$ и $-\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3})^3$;
б) $(-\frac{1}{2})^5 - (-\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2}$ и $(-\frac{1}{5})^3 - (-\frac{1}{5})^2 - \frac{1}{5}$.
Решение
а) $-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{-16 + 4 - 1}{64} = \frac{-13}{64} = -0,203125$;
$-\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{-9 - 3 + 1}{27} = \frac{-11}{27} = -0,407407...$;
−0,203125 > −0,407407..., значит:
$-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^3 > -\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3})^3$.
б) $(-\frac{1}{2})^5 - (-\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{-1 + 4 - 16}{32} = -\frac{13}{32} = -0,40625$;
$(-\frac{1}{5})^3 - (-\frac{1}{5})^2 - \frac{1}{5} = -\frac{1}{125} - \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = \frac{-1 - 5 - 25}{125} = -\frac{31}{125} = -0,248$;
−0,40625 < −0,248, значит:
$(-\frac{1}{2})^5 - (-\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2} < (-\frac{1}{5})^3 - (-\frac{1}{5})^2 - \frac{1}{5}$.
Задание 124. Расположите в порядке возрастания числа:
а) $-0,11, (-0,11)^2, (-0,11)^3, (-0,11)^4$;
б) $(\frac{1}{3})^{30}, (-\frac{1}{5})^{30}, -(\frac{1}{7})^{30}$.
Решение
а) $-0,11 < (-0,11)^3 < (-0,11)^4 < (-0,11)^2$.
б) $-(\frac{1}{7})^{30}; (-\frac{1}{5})^{30}; (\frac{1}{3})^{30}$.
Ответы 7 гуру к задачам на проценты
Задание 125. Изюм, получаемый при сушке винограда, составляет 32% его массы.
а) Сколько изюма получится из 5 кг винограда?
б) Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
Решение
а) 5 * 0,32 = 1,6 (кг) − изюма получится из 5 кг винограда.
Ответ: 1,6 кг
б) 2 : 0,32 = 6,25 (кг) − свежего винограда нужно взять.
Ответ: 6,25 кг
Задание 126. а) Банк выплачивает владельцу денежного вклада 8% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы по истечении года получить доход в 1000 р.?
б) Магазин предлагает за 2000 р. дисконтную карту на год, которая дает право на 10% скидки при покупке товаров в этом магазине. На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год, чтобы покупка дисконтной карты оправдалась?
Решение
а) 1000 : 0,08 = 12500 (р.) − нужно положить в банк.
Ответ: 12500 рублей.
б) 2000 : 0,1 = 20000 (р.) − нужно приобрести товар.
Ответ: 20000 рублей.
Задание 127. Среди участников кросса 35% − студенты, остальные − старшеклассники, причем их на 252 человека больше, чем студентов. Сколько спортсменов участвует в кроссе?
Решение задачи
1) 100% - 35% = 65% (уч.) - составляют старшеклассники
2) 65% - 35% = 30% (уч.) - на столько старшеклассников больше, чем студентов
30% - это 252 спортсмена
3) 252 : 30 * 100 = 252 : 0,3 = 840 (сп.) - участвует в кроссе
Ответ: 840 спортсменов.
Задание 128. После повышения цены на 30% книга стала стоить 182 р. Сколько стоила книга до повышения цены?
Решение задачи
1) 100+30=130 % - цена книги стала составлять от первоначальной цены после повышения
2) 182:130*100 = 140 (р.) - цена книги до повышения
Ответ: цена книги до повышения 140 руб.
Задание 129. Школьная баскетбольная команда из 16 игр, сыгранных на соревнованиях за год, выиграла 12. В следующем году она планирует сыграть на соревнованиях 22 игры. Сколько игр ей надо выиграть, чтобы ее результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже?
Решение задачи
1) 12 : 16 = 0,75 = 75% (игр) - выиграла команда в этом году
2) 22 * 0, 75 = 16,5 ≈ 17 (игр) - надо выиграть
Ответ: 17 игр.
