ГДЗ к теме 1. 6 Последняя цифра степени
Задание 108. Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 3? Какой цифрой оканчивается число: $3^{10}; 3^{15}; 3^{120}; 3^{126}$?
Решение
$3^{1} = 3$;
$3^{2} = 9$;
$3^{3} = 27$;
$3^{4} = 81$;
$3^{5} = 243$;
$3^{6} = 729$;
$3^{7} = 2187$;
$3^{8} = 6561$;
$3^{9} = 19683$;
$3^{10} = 59049$;
$3^{11} = 177147$;
$3^{12} = 531441$.
При возведении в степень чисел, оканчивающиеся цифрой 3, могут получаться числа, которые оканчиваются на одну из цифр: 1, 3, 7 или 9.
$3^{10}$ − оканчивается цифрой 9, так как 10 = 4 * 2 + 2;
$3^{15}$ − оканчивается цифрой 7, так как 15 = 4 * 3 + 3;
$3^{20}$ − оканчивается цифрой 1, так как 120 = 4 * 30;
$3^{126}$ − оканчивается цифрой 9, так как 126 = 4 * 31 + 2.
Задание 109. Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7? Какой цифрой оканчивается число: $7^{40}; 7^{61}; 7^{30}; 7^{23}$?
Ответ 7 гуру
$7^{1} = 7$;
$7^{2} = 49$;
$7^{3} = 343$;
$7^{4} = 2401$;
$7^{5} = 16807$.
$7^{40}$ − оканчивается цифрой 1, т.к. 40 = 4 * 20;
$7^{61}$ − оканчивается цифрой 7, т.к. 61 = 4 * 15 + 1;
$7^{30}$ − оканчивается цифрой 9, т.к. 30 = 4 * 7 + 2;
$7^{23}$ − оканчивается цифрой 3, т.к. 23 = 4 * 5 + 3.
Задание 110. Какое из чисел: $2^{100}; 2^{101}; 2^{102}; 2^{103}$ − оканчивается той же цифрой, что и число $2^{10}$?
Ответ
$2^{100}$ − оканчивается цифрой 6, т.к. 100 = 4 * 25;
$2^{101}$ − оканчивается цифрой 2, т.к. 100 = 4 * 25 + 1;
$2^{102}$ − оканчивается цифрой 4, т.к. 100 = 4 * 25 + 2;
$2^{103}$ − оканчивается цифрой 8, т.к. 100 = 4 * 25 + 3;
$2^{10}$ − оканчивается цифрой 4.
Ответ: число $2^{102}$ оканчивается той же цифрой, что и число $2^{10}$
Задание 111. Докажите, что числа $3^{33}, 3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите еще какую−нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.
Решение
$3^{33}$ − оканчивается цифрой 3, так как 33 = 4 * 8 + 1;
$3^{333}$ − оканчивается цифрой 3, так как 333 = 4 * 83 + 1;
$3^{333}$ − оканчивается цифрой 3, так как 3333 = 4 * 833 + 1.
Той же цифрой оканчивается число $3^{33333}$.
Задание 112. Назовите какое−нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой. Приведите еще примеры таких чисел.
Решение
Любая степень числа 5 оканчивается одной и той же цифрой − 5, поэтому любое число оканчивающееся на 5 будет иметь степень, оканчивающееся на 5, например:
15, 25, 35, 45, 55 и т.д.
Таким же свойствам обладают числа оканчивающиеся на 6, например:
6, 16, 26, 36, 46, 56 и т.д.
