Подведем итоги
Задание 1. Назовите все случаи взаимного расположения:
а) прямой и окружности;
б) двух окружностей.
Решение
а) Прямая и окружность могут:
1) иметь одну общую точку, т.е. касаться друг друга;
2) иметь 2 общие точки, т.е. пересекаться;
3) не иметь общих точек, не пересекаться.
б) 1) Меньшая окружность целиком находится вне большей.
2) Меньшая окружность касается большей, а расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешнее касание).
3) Окружности пересекаются.
4) Меньшая окружность касается большей, а расстояние между центрами равно разности радиусов (внутреннее касание).
5) Меньшая окружность лежит внутри большей.
Задание 2. Начертите окружность, отметьте на ней какую−нибудь точку и постройте касательную к окружности в этой точке.
Решение
Задание 3. Две окружности касаются внешним образом. Радиус одной из них равен 4 см, а расстояние между центрами окружностей − 7 см. Найдите радиус другой окружности.
Решение
7 − 4 = 3 (см) − радиус другой окружности.
Ответ: 3 см.
Задание 4. Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см, а расстояние между их центрами − 19 см. Как расположены окружности по отношению друг к другу?
Решение
7 + 11 = 18 < 19, то есть сумма радиусов меньше расстояния между центрами, значит одна окружность полностью находится вне другой.
Задание 5. Постройте:
а) треугольник со сторонами, равными 3 см, 5 см и 7 см;
б) равнобедренный треугольник, основание которого равно 7 см, а боковые стороны − 4 см;
в) равносторонний треугольник со стороной 5 см.
Решение
Задание 6. Сформулируйте неравенство треугольника.
Решение
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Задание 7. Можно ли построить треугольник со сторонами, равными:
а) 2 см, 4 см, 5 см;
б) 7 см, 1 см, 8 см;
в) 5 см, 5 см, 11 см;
г) 10 см, 2 см, 6 см?
Решение
а) 2 + 4 = 6 > 5;
4 + 5 = 9 > 2;
2 + 5 = 7 > 4.
Ответ: построить можно
б) 7 + 8 = 15 > 1;
8 + 1 = 9 > 7;
7 + 1 = 8 = 8.
Ответ: построить нельзя
в) 11 + 5 = 16 > 5;
11 + 5 = 16 > 5;
5 + 5 = 10 < 11.
Ответ: построить нельзя
г) 10 + 2 = 12 > 6;
10 + 6 = 16 > 2;
2 + 6 = 8 < 10.
Ответ: построить нельзя
Задание 8. Выполните задание.
1) Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной 4 см.
2) Проведите окружности с центрами в вершинах треугольника и радиусом, равным 2 см.
3) Точки касания окружностей обозначьте следующим образом:
точку, лежащую на стороне BC, − $A_1$;
точку, лежащую на стороне AC, − $B_1$;
точку, лежащую на стороне AB, − $C_1$.
4) Проведите лучи $AA_1, BB_1, CC_1$. Точку пересечения лучей обозначьте буквой O.
5) Точка O − центр окружностей, касающихся каждой из трех построенных окружностей внешним и внутренним образом. Проведите эти окружности: с меньшим радиусом − от руки, с большим − с помощью циркуля.
Решение
