Задание 292. Проведены две окружности с центром в точке P и окружность с центром в точке O, которая касается первых двух (рис. 5.14). Известен радиус третьей окружности и расстояние между центрами. Найдите радиусы первых двух окружностей.
Решение
а) 1) PB = OP + 2 см = 5 + 2 = 7 (см) − радиус большей окружности с центром в точке P;
2) PA = OP − 2 см = 3 (см) − радиус меньшей окружности с центром в точке P.
Ответ: 7 см и 3 см.
б) 1) PA = 4 см − OP = 4 − 3 = 1 (см) − радиус меньшей окружности с центром в точке P.
2) PB = OP + 4 см = 3 + 4 = 7 (см) − радиус большей окружности с центром в точке P.
Ответ: 1 см и 7 см.
Узоры из окружностей
Задание 293. Постройте в тетради цветок, изображенный на рисунке 5.15.
Решение
Подсказка от 7 гуру.
Цветок состоит из окружностей одного радиуса. Вначале нужно начертить центральную окружность. Затем отметить на ней произвольную точку и начертить такую же окружность с центром в данной точке. Центр каждой следующей окружности будет в точке пересечения вновь начерченной окружности с центральной окружностью.
Задание 294. Скопируйте узор, образуемый дугами окружностей (рис. 5.16).
Решение
а) Чертим квадрат со стороной 6 клеток. Из углов квадрата строим части окружностей радиусом, равным 3 клетки
б) Чертим квадрат со стороной 6 клеток. Из середины сторон квадрата строим полуокружности радиусом, равным 3 клетки.
Задание 295. Дополните предложение: "Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами ... суммы радиусов окружностей, но ... разности их радиусов."
Указание. Сделайте схематические рисунки.
Решение
Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы радиусов окружностей, но больше разности их радиусов.
3 + 2 = 5 > 4;
3 − 2 = 1 < 4.
Задание 296. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 5 см, а расстояние между наиболее удаленными точками:
а) 18 см;
б) 16 см;
в) 13 см;
г) 8 см.
Найдите расстояние между центрами окружностей.
Подсказка. Выполните построение или воспользуйтесь рисунками 5.6 − 5.8.
Решение
а) 18 − 3 − 5 = 10 (см) − расстояние между центрами окружностей.
Ответ: 10 см.
б) 16 − 3 − 5 = 8 (см) − расстояние между центрами окружностей.
Ответ: 8 см.
в) 13 − 3 − 5 = 5 (см) − расстояние между центрами окружностей.
Ответ: 5 см.
г) 8 − 3 − 5 = 0 (см) − расстояние между центрами окружностей, то есть окружности концентрические.
Ответ: 0 см, окружности концентрические.
Задание 297. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей (рис. 5.6, 5.7) определите, сколько можно провести различных прямых, касающихся обеих окружностей.
Решение
Если две окружности не имеют общих точек, то у них есть 4 общих касательных (рисунок 5.6, а).
Если две окружности имеют одну общую точку (внешнее касание), то у них есть 3 общих касательных (рисунок 5.6, б)
Если две окружности пересекаются, то у них 2 общих касательных (рисунок 5.7, а)
Если две окружности имеют общую точку (внутреннее касание), то у них есть 1 общая касательная (рисунок 5.7, б)
