Ответы к теме 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел
Задание 94
а) Является ли любое целое число рациональным?
б) Является ли любое рациональное число целым?
Ответы
а) Любое целое число является рациональным числом.
б) Не любое рациональное число является целым, например, 2,8 − рациональное число, но не является целым.
Задание 95
В каком виде можно записать любое рациональное число?
Ответ
Любое рациональное число можно записать в виде $\frac{p}{q}$, где p и q − целые числа и q ≠ 0.
Задание 96
а) В результате каких действий с целыми числами всегда получается целое число?
б) В результате каких действий с рациональными числами всегда получается рациональное число?
Ответы
а) Целое число получается при сложении, вычитании и умножении целых чисел.
б) Сумма, разность, произведение рациональных чисел является рациональным числом (без деления на нуль).
Задание 97
а) Может ли сумма (произведение) двух целых чисел быть рациональным (но не целым) числом?
б) Может ли сумма (произведение) двух рациональных чисел быть целым числом?
Ответы
а) Не может. Сумма и произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
б) Может, например:
1) 2,8 + 2,2 = 5 − целое число;
2) $\frac{8}{5} * \frac{5}{4} = 2$ − целое число.
Задание 98
Сравните числа:
а) $\frac{3}{8}$ и $-\frac{5}{9}$;
б) $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{4}{5}$;
в) $-\frac{3}{7}$ и 0;
г) $\frac{8}{9}$ и 0;
д) $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{1}{7}$;
е) $-\frac{13}{24}$ и $-\frac{17}{26}$;
ж) $-\frac{98}{97}$ и $-\frac{99}{98}$;
з) $-\frac{97}{98}$ и $-\frac{98}{99}$;
и) $-\frac{1}{3}$ и $\frac{-1}{3}$;
к) $\frac{2}{7}$ и $\frac{-2}{-7}$;
л) $-\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{-5}$;
м) $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$
Решение
а) $\frac{3}{8} > -\frac{5}{9}$
б) $-\frac{3}{5} > -\frac{4}{5}$
в) $-\frac{3}{7} < 0$
г) $\frac{8}{9} > 0$
д) $-\frac{1}{7} = -\frac{4}{28}$
$-\frac{5}{28} < -\frac{4}{28}$
$-\frac{5}{28} < -\frac{1}{7}$
е) $-\frac{13}{24} = -\frac{169}{312}$
$-\frac{17}{26} = -\frac{204}{312}$
$-\frac{169}{312} > -\frac{204}{312}$
$-\frac{13}{24} > -\frac{17}{26}$
ж) $-\frac{98}{97} = -\frac{9604}{9506}$
$-\frac{99}{98} = -\frac{9603}{9506}$
$-\frac{9604}{9506} < -\frac{9603}{9506}$
$-\frac{98}{97} < -\frac{99}{98}$
з) $-\frac{97}{98} = -\frac{9603}{9702}$
$-\frac{98}{99} = -\frac{9604}{9506}$
$-\frac{9603}{9702} > -\frac{9604}{9506}$
$-\frac{97}{98} > -\frac{98}{99}$
и) $-\frac{1}{3} = \frac{-1}{3}$
к) $\frac{2}{7} = \frac{-2}{-7}$
л) $-\frac{1}{5} = \frac{1}{-5}$
м) $\frac{3}{4} > -\frac{3}{4}$
Задание 99
Выполните действия:
а) $-\frac{12}{25} + \frac{3}{50}$;
б) $-\frac{11}{48} + (-\frac{3}{16})$;
в) $-\frac{5}{27} - (-\frac{5}{18})$;
г) $-\frac{3}{7} * \frac{8}{9}$;
д) $\frac{24}{25} : \frac{4}{5}$;
е) $\frac{71}{78} + \frac{17}{91}$;
ж) $\frac{50}{49} - \frac{15}{56}$;
з) $-\frac{2}{5} * (-32\frac{1}{2})$;
и) $-\frac{32}{77} : \frac{64}{55}$.
Решение
а) $-\frac{12}{25} + \frac{3}{50} = -\frac{24}{50} + \frac{3}{50} = -\frac{21}{50}$
б) $-\frac{11}{48} + (-\frac{3}{16}) = -\frac{11}{48} + (-\frac{9}{48}) = -\frac{20}{48} = -\frac{5}{12}$
в) $-\frac{5}{27} - (-\frac{5}{18}) = -\frac{10}{54} + \frac{15}{54} = \frac{5}{54}$
г) $-\frac{3}{7} * \frac{8}{9} = -\frac{1}{7} * \frac{8}{3} = -\frac{8}{21}$
д) $\frac{24}{25} : \frac{4}{5} = \frac{24}{25} * \frac{5}{4} = \frac{6}{5} * \frac{1}{1} = 1\frac{1}{5}$
е) $\frac{71}{78} + \frac{17}{91} = \frac{497}{546} + \frac{102}{546} = \frac{599}{546} = 1\frac{53}{546}$
$ \begin{array}{r|l} 78 & 2\\ 39 & 3\\ 13 & 13\\ 1 & \end{array} $
78 = 2 * 3 * 13
$ \begin{array}{r|l} 91 & 7\\ 13 & 13\\ 1 & \end{array} $
91 = 7 * 13
НОК(78;91) = 2 * 3 * 7 * 13 = 546
ж) $\frac{50}{49} - \frac{15}{56} = \frac{400}{392} - \frac{105}{392} = \frac{295}{392}$
49 = 7 * 7
$56 = 8 * 7 = 2^3 * 7$
$НОК(78;91) = 2^3 * 7^2 = 8 * 49 = 392$
з) $-\frac{2}{5} * (-32\frac{1}{2}) = -\frac{2}{5} * (-\frac{65}{2}) = 13$
и) $-\frac{32}{77} : \frac{64}{55} = -\frac{32}{77} * \frac{55}{64} = -\frac{1}{7} * \frac{5}{2} = -\frac{5}{14}$
Задание 100!
Выполните действия:
а) −3,28 + 1,75;
б) −4,8 + (−0,48);
в) 3,17 − (−0,63);
г) −0,48 * (−0,55);
д) −0,35 : 0,2;
е) −0,35 : 0,03;
ж) 0,25 * (−0,32);
з) −4,6 − 3,2.
Решение
а) −3,28 + 1,75 = −(3,28 − 1,75) = −1,53
б) −4,8 + (−0,48) = −(4,8 + 0,48) = −5,28
в) 3,17 − (−0,63) = 3,17 + 0,63 = 3,8
г) −0,48 * (−0,55) = 0,264
д) −0,35 : 0,2 = −3,5 : 2 = −1,75
е) $-0,35 : 0,03 = -35 : 3 = -\frac{35}{3} = -11\frac{2}{3}$
ж) 0,25 * (−0,32) = −0,08
з) −4,6 − 3,2 = −(4,6 + 3,2) = −7,8
Задание 101
а) Любое ли рациональное число может быть разложено в периодическую дробь?
б) Любая ли периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа?
Ответы
а) Любое рациональное число может быть разложено в периодическую дробь.
б) Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Задание 102
Запишите пять отрицательных периодических дробей.
Решение
$-15,(3); -13\frac{1}{7}; -5,(2); -\frac{1}{3}; -\frac{2}{13}$.
Задание 103!
Запишите рациональные числа в виде периодических дробей:
а) $-\frac{3}{7}$;
б) $\frac{9}{16}$;
в) $-\frac{511}{90}$;
г) $\frac{17}{99}$.
Решение
а) $-\frac{3}{7} = -0,(4285714)$
б) $\frac{9}{16} = 0,5625(0)$
в) $-\frac{511}{90} = -5,6(7)$
г) $\frac{17}{99} = 0,(17)$
Задание 104!
Запишите рациональные числа в виде периодических дробей:
а) $-\frac{1}{2}; 0; -1,24$;
б) $\frac{1}{3}; -\frac{4}{7}; -2\frac{5}{13}$;
в) $2\frac{24}{33}; -\frac{120}{210}; \frac{57}{16}$;
г) $-\frac{21}{90}; 1\frac{16}{90}; -3\frac{4}{7}$.
Решение
а) $-\frac{1}{2} = -0,5 = -0,5(0)$;
0 = 0,(0);
−1,24 = −1,24(0).
б) $\frac{1}{3} = 0,(3)$
$-\frac{4}{7} = -0,(571428)$
$-2\frac{5}{13} = -2,(384615)$
в) $2\frac{24}{33} = 2\frac{8}{11} = 2,(72)$
$-\frac{120}{210} = -\frac{4}{7} = -0,(571428)$
$\frac{57}{16} = 3\frac{9}{16} = 3,5625(0)$
г) $-\frac{21}{90} = -\frac{7}{30} = -0,2(3)$
$1\frac{16}{90} = 1\frac{8}{45} = 1,1(7)$
$-3\frac{4}{7} = -3,(571428)$
Задание 105
Запишите в виде рационального числа периодическую дробь:
а) −0,(3);
б) −1,(2);
в) −2,(5);
г) −0,(17);
д) −3,(18);
е) −1,(05);
ж) 2,(0);
з) −0,(0);
и) 4,37(0).
Решение
а) −0,(3)
x = −0,(3)
10x = −3,(3)
10x − x = −3,(3) − (−0,(3))
9x = −3,(3) + 0,(3)
9x = −3
$x = -\frac{1}{3}$
$-0,(3) = -\frac{1}{3}$
б) −1,(2)
x = −1,(2)
10x = −12,(2)
10x − x = −12,(2) − (−1,(2))
9x = −12,(2) + 1,(2)
9x = −11
$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9}$
$-1,(2) = -1\frac{2}{9}$
в) −2,(5)
x = −2,(5)
10x = −25,(5)
10x − x = −25,(5) − (−2,(5))
9x = −25,(5) + 2,(5)
9x = −23
$x = -\frac{23}{9} = -2\frac{5}{9}$
$-2,(5) = -2\frac{5}{9}$
г) −0,(17)
x = −0,(17)
100x = −17,(17)
100x − x = −17,(17) − (−0,(17))
99x = −17,(17) + 0,(17)
99x = −17
$x = -\frac{17}{99}$
$-0,(17) = -\frac{17}{99}$
д) −3,(18)
x = −3,(18)
100x = −318,(18)
100x − x = −318,(18) − (−3,(18))
99x = −318,(18) + 3,(18)
99x = −315
$x = -\frac{315}{99} = -3\frac{18}{99} = -3\frac{2}{11}$
$-3,(18) = -3\frac{2}{11}$
е) −1,(05)
x = −1,(05)
100x = −105,(05)
100x − x = −105,(05) − (−1,(05))
99x = −105,(05) + 1,(05)
99x = −104
$x = -\frac{104}{99} = -1\frac{5}{99}$
$-1,(05) = -1\frac{5}{99}$
ж) 2,(0) = 2
з) −0,(0) = 0
и) 4,37(0) = 4,37
