Задание № 716

Если в одной руке кто−нибудь спрячет пятирублевую, а в другой − двух рублевую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублевая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой − на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма четной или нет. Если сумма четная, то двухрублевая монета в левой руке, если нечетная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса.
Отметим, что:
1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублевая и двухрублевая, пятирублевая и десяти рублевая, но не подойдут рублевая и пятирублевая монеты;
2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.
Научитесь выполнять этот фокус.

Решение

Данный фокус выполняется так, если одна из монет "четная", а другая "нечетная", и умножение выполняется также на четное и нечетное число.
Пусть монета в правой руке равна a рублей, а в левой b рублей. Просим умножить число рублей в правой руке на 2, в левой − на 3 и результаты сложить. Получаем:
a * 2 + b * 3.
Если a − четное, а b − нечетное, то полученная сумма будет нечетной (так как при умножении 2 на четное число получим четное число, при умножении 3 на нечетное − получим нечетное, а при сложении этих чисел (четного и нечетного) получим нечетное число, а если наоборот, то четной (так как при умножении 2 на нечетное число получим четное число, при умножении 3 на четное − получим четное, а при сложении этих чисел (четного и четного) получим четное число). Исходя из этого делаем вывод, в какой руке лежит "четная монета", а в какой "нечетная".

Задание № 717

Найдите все числа вида
____
5a4b, кратные 36.

Решение

Если число
____
5a4b кратно 36, то оно кратно его делителям, в том числе оно делится на 4 и на 9. Значит, одновременно должны выполнятся 2 условия:
1) 4b делится на 4;
2) (5 + a + 4 + b) делится на 9.
Получается, что b может быть равно 0, 4 или 8.

1) Если b = 0, то:
5 + a + 4 + b = 5 + a + 4 + 0 = 9 + a.
Рассмотрим, при каких a сумма (9 + a) будет делиться на 9:
при a = 0:
9 + a = 9 + 0 = 9 − делится на 9;
при a = 9:
9 + a = 9 + 9 = 18 − делится на 9.
Значит, при b = 0, a = 0 или a = 9, возможны следующие варианты чисел:
5040 и 5940.

2) Если b = 4, то:
5 + a + 4 + b = 5 + a + 4 + 4 = 13 + a.
Рассмотрим, при каких a сумма (13 + a) будет делиться на 9:
при a = 5:
13 + a = 13 + 5 = 18 − делится на 9.
Значит, при b = 4, a = 5, возможный вариант числа:
5544.

3) Если b = 8, то:
5 + a + 4 + b = 5 + a + 4 + 8 = 17 + a.
Рассмотрим, при каких a сумма (17 + a) будет делиться на 9:
при a = 1:
17 + a = 17 + 1 = 18 − делится на 9.
Значит, при b = 8, a = 1, возможный вариант числа:
5148.
Ответ: 5040, 5940, 5544, 5148.

Задание № 718

Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трехзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнет одну цифру в полученной разности и назовет мне сумму незачеркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Решение

Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делится на 9. Пусть дано трехзначное число
abc = 100a + 10b + c
Переставим цифры этого числа, например, так:
bca = 100b + 10c + a.
Если первое число больше второго, то их разность равна:
abc − bca = 100a + 10b + c − 100b − 10c − a = 99a − 90b − 9c − это натуральное число, оно делится на 9.
При других перестановках цифр разности:
100a − a,
100a − 10a,
10a − a и другие делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9:
abc bca abc bca.
Теперь можно определить зачеркнутую цифру, так как сумма цифр разности должна делится на 9.
Например, если задумали число 347, после перестановки цифр получили 473, тогда разность 473 − 347 = 126.
Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачеркнутых цифр 2 + 6 = 8.
Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачеркнутая цифра 1.

Задание № 719

Вася увидел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись: 5!.
− Что это за восклицательный знак? − спросил он.
− Это не восклицательный знак. Запись 5! читается "5 факториал" и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5. А для любого натурального числа n (n > 1) запись n! читается "эн факториал" и означает произведение натуральных чисел от 1 до n:
n! = 1 * 2 * 3 * ... * n.
Считается, что
1! = 1.
Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!.

Решение

2! = 1 * 2 = 2;
3! = 1 * 2 * 3 = 6;
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 6 * 4 = 24;
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 24 * 5 = 120;
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 120 * 42 = 5040.

Задание № 720

Докажите, что:
а) 99 * 99! + 99! = 100!;
б) 1000! − 999! = 999 * 999!.

Решение

а) 99 * 99! + 99! = 99 * 99! + 1 * 99! = 99! * (99 + 1) = 99! * 100 = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 97 * 98 * 99 * 100 = 100!

б) 1000! − 999! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 997 * 998 * 999 * 1000 − 999! = 999! * 1000 − 999! = 999! * (1000 − 1) = 999! * 999 = 999 * 999!

 

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)