Задание № 655
Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами:
а) 32;
б) 62;
в) 51;
г) 100.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
1 * 32;
2 * 16;
4 * 8.
б)
$\begin{array}{r|l}62&2\\31&31\\1&\end{array}$
Делители числа 62: 1, 2, 31, 62.
1 * 62;
2 * 31.
в)
$\begin{array}{r|l}51&3\\17&17\\1&\end{array}$
Делители числа 51: 1, 3, 17, 51.
1 * 51;
3 * 17.
г)
$\begin{array}{r|l}100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Делители числа 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
1 * 100;
2 * 50;
4 * 25;
5 * 20;
10 * 10.
Задание № 656
Разложите на простые множители число:
а) 10;
б) 100;
в) 1000;
г) 10000;
д) 100000.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}10&2\ast5\\1&\end{array}$
10 = 2 ∗ 5
б)
$\begin{array}{r|l}100&2\ast5\\10&2\ast5\\1&\end{array}$
$100000=2\ast2\ast5\ast5=2^2\ast5^2$
в)
$\begin{array}{r|l}1000&2\ast5\\100&2\ast5\\10&2\ast5\\1&\end{array}$
$100000=2\ast2\ast2\ast5\ast5\ast5=2^3\ast5^3$
г)
$\begin{array}{r|l}10000&2\ast5\\1000&2\ast5\\100&2\ast5\\10&2\ast5\\1&\end{array}$
$100000=2\ast2\ast2\ast2\ast5\ast5\ast5\ast5=2^4\ast5^4$
д)
$\begin{array}{r|l}100000&2\ast5\\10000&2\ast5\\1000&2\ast5\\100&2\ast5\\10&2\ast5\\1&\end{array}$
$100000=2\ast2\ast2\ast2\ast2\ast5\ast5\ast5\ast5\ast5=2^5\ast5^5$
Задание № 657
Разложите на простые множители число:
а) 64;
б) 200;
в) 288;
г) 256;
д) 333;
е) 346;
ж) 512;
з) 8100;
и) 4096;
к) 2500;
л) 888;
м) 2525.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$64=2^6$
б)
$\begin{array}{r|l}200&2\\100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$200=2^3\ast5^2$
в)
$\begin{array}{r|l}288&2\\144&2\\72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
$288=2^5\ast3^2$
г)
$\begin{array}{r|l}256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$256=2^8$
д)
$\begin{array}{r|l}333&3\\111&3\\37&37\\1&\end{array}$
$333=3^2\ast37$
е)
$\begin{array}{r|l}346&2\\173&173\\1&\end{array}$
346 = 2 * 173
ж)
$\begin{array}{r|l}512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$512=2^9$
з)
$\begin{array}{r|l}8100&2\\4050&2\\2025&3\\675&3\\225&3\\75&3\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$8100=2^2\ast3^4\ast5^2$
и)
$\begin{array}{r|l}4096&2\\2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$4096=2^{12}$
к)
$\begin{array}{r|l}2500&2\\1250&2\\625&5\\125&5\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$2500=2^2\ast5^4$
л)
$\begin{array}{r|l}888&2\\444&2\\222&2\\111&3\\37&37\\1&\end{array}$
$888=2^3\ast3\ast37$
м)
$\begin{array}{r|l}2525&5\\505&5\\101&101\\1&\end{array}$
$2525=5^2\ast101$
Задание № 658
Определите, является число простым или составным:
а) 89;
б) 123;
в) 279;
г) 335;
д) 642;
е) 601;
ж) 729;
з) 835;
и) 1571;
к) 2563;
л) 7777;
м) 442233.
Решение
а) 89 − простое, делится только на 1 и на само себя.
б) 123 − составное, так как минимум делится еще и на 3 (1 + 2 + 3 = 6)
в) 279 − составное, так как минимум делится еще на 3 и на 9 (2 + 7 + 9 = 18)
г) 335 − составное, так как минимум делится еще и на 5 (оканчивается на 5)
д) 642 − составное, так как минимум делится еще и на 2 (оканчивается на 2)
е) 601 − простое, делится только на 1 и на само себя.
ж) 729 − составное, так как минимум делится еще на 3 и на 9 (7 + 2 + 9 = 18)
з) 835 − составное, так как минимум делится еще и на 5 (оканчивается на 5)
и) 1571 − простое, делится только на 1 и на само себя.
к) 2563 − составное, так как минимум делится еще и на 11
л) 7777 − составное, так как минимум делится еще и на 7
м) 442233 − составное, так как минимум делится еще на 3 и на 9 (4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 3 = 18)
Задание № 659
а) Подберите такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство:
3 * a + 6 * b = 1998.
б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство:
3 * a + 6 * b = 1999?
в) Можно ли подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство:
18 * a + 81 * b = 996?
Решение
а) 3 * a + 6 * b = 1998
3 * (a + 2b) = 1998
a + 2b = 1998 : 3
a + 2b = 666
Пусть b = 100, тогда:
a = 666 − 200
a = 466
Ответ: 3 * 466 + 6 * 100 = 1998
б) При любых натуральных числах a и b левая часть равенства
3 * a + 6 * b = 1999 делится на 3, а правая нет, поэтому нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось это равенство.
в) При любых натуральных числах a и b левая часть равенства 18 * a + 81 * b = 996 делится на 9, а правая нет, поэтому нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство.
Задание № 660
а) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 8.
б) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 35.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
1 способ:
4 * 2 * 1 * 1 = 8;
4 + 2 + 1 + 1 = 8.
2 способ:
2 * 2 * 2 * 1 * 1 = 8;
2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.
б)
$\begin{array}{r|l}35&5\\7&7\\1&\end{array}$
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
$7\ast5\ast1^{23}=35$
7 + 5 + 1 ∗ 23 = 35
Задание № 661
а) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая свое мнение, он приводит примеры:
3 = 2 + 1, 2 * 1 = 2 − простое число,
5 = 3 + 1 + 1, 3 * 1 * 1 = 3 − простое число и т.п.
Приведите пример, показывающий, что Вася не прав.
б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным?
Решение
а) 2 − просто число, его можно представить в виде суммы натуральных чисел:
1 + 1 = 2
1 * 1 = 1 − не является ни простым ни составным числом.
б) Любое простое число отличное от 2 можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом.
