Задание №686
Упростите выражение:
1) ( a − 5 ) ( a2 + 5 a + 25 ) − ( a − 1 ) ( a2 + a + 1 );
2) ( y − 3 ) ( y2 + 3 y + 9 ) − y ( y − 3 ) ( y + 3 ) − ( y + 3 )2;
3) ( a − b ) ( a + b ) ( a4 + a2 b2 + b4 ).
Решение:
1) ( a − 5 ) ( a2 + 5 a + 25 ) − ( a − 1 ) ( a2 + a + 1 ) = ( a3 − 53 ) − ( a3 − 13 ) = a3 − 125 − a3 + 1 = − 125 + 1 = − 124
2) ( y − 3 ) ( y2 + 3 y + 9 ) − y ( y − 3 ) ( y + 3 ) − ( y + 3 )2 = y3 − 33 − y ( y2 − 32 ) − ( y2 + 6 y + 9 ) = y3 − 27 − y3 + 9 y − y2 − 6 y − 9 = 3 y − y2 − 36
3) ( a − b ) ( a + b ) ( a4 + a2 b2 + b4 ) = ( a2 − b2 ) ( a4 + a2 b2 + b4 ) = ( a2 )3 − ( b2 )3 = a6 − b6
Задание №687
Поставьте вместо звездочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:
1) ( 7 k − p ) ( ∗ + ∗ + ∗ ) = 343 k3 − p3;
2) ( ∗ + ∗ ) ( 25 a4 − ∗ + 36 b2 ) = 125 a6 + 216 b3;
3) ( m n + ∗ ) ( ∗ − ∗ + k6 ) = m3 n3 + k9.
Решение:
1) ( 7 k − p ) ( ∗1 + ∗2 + ∗3 ) = 343 k3 − p3
∗1 = ( 7 k )2 = 49 k2
∗2 = 7 k p
∗3 = p2
( 7 k − p ) ( 49 k2 + 7 k p + p2 ) = 343 k3 − p3
2) ( ∗1 + ∗2 ) ( 25 a4 − ∗3 + 36 b2 ) = 125 a6 + 216 b3
( ∗1 )2 = 25 a4 = ( 5 a2 )2
∗1 = 5 a2
( ∗2 )2 = 36 b2 = ( 6 b )2
∗2 = 6 b
∗3 = 5 a2 ∗ 6 b = 30 a2 b, тогда:
( 5 a2 + 6 b ) ( 25 a4 − 30 a2 b + 36 b2 ) = 125 a6 + 216 b3
3) ( m n + ∗1 ) ( ∗2 − ∗3 + k6 ) = m3 n3 + k9
( ∗1 )3 = k 9 = ( k3 )3
∗1 = k3
∗2 = ( m n )2 = m2 n2
∗3 = m n ∗ k3 = m n k3
( m n + k3 ) ( m2 n2 − m n k3 + k6 ) = m3 n3 + k 9
Задание №688
Решите уравнение:
1) ( 3 x − 1 ) ( 9 x2 + 3 x + 1 ) − 9 x ( 3 x2 − 4 ) = 17;
2) ( x + 4 ) ( x2 − 4 x + 16 ) − x ( x − 7 ) ( x + 7 ) = 15;
3) ( x + 6 ) ( x2 − 6 x + 36 ) − x ( x − 9 )2 = 4 x ( 4, 5 x − 13, 5 ).
Решение:
1) ( 3 x − 1 ) ( 9 x2 + 3 x + 1 ) − 9 x ( 3 x2 − 4 ) = 17
( 3 x )3 − 1 − 27 x3 + 36 x = 17
27 x3 − 27 x3 + 36 x = 17 + 1
36x = 18
x = 18/36
х = 1/2
2) ( x + 4 ) ( x2 − 4 x + 16 ) − x ( x − 7 ) ( x + 7 ) = 15
x3 + 43 − x ( x2 − 72 ) = 15
x3 + 64 − x ( x2 − 49 ) = 15
x3 − x3 + 49 x = 15 − 64
49x = −49
x = −49 : 49
x = −1
3) ( x + 6 ) ( x2 − 6 x + 36 ) − x ( x − 9 )2 = 4 x ( 4, 5 x − 13, 5 )
x3 + 63 − x ( x2 − 18 x + 81 ) = 18 x2 − 54 x
x3 + 216 − x3 + 18 x2 − 81 x = 18 x2 − 54 x
x3 − x3 + 18 x2 − 18 x2 + 54 x − 81 x = − 216
−27x = −216
x = −216 : −27
x = 8
Задание №689
Решите уравнение:
1) ( 7 − 2 x ) ( 49 + 14 x + 4 x2 ) + 2 x ( 2 x − 5 ) ( 2 x + 5 ) = 43;
2) 100 ( 0, 2 x + 1 ) ( 0, 04 x2 − 0, 2 x + 1 ) = 5 x ( 0, 16 x2 − 4 ).
Решение:
1) ( 7 − 2 x ) ( 49 + 14 x + 4 x2 ) + 2 x ( 2 x − 5 ) ( 2 x + 5 ) = 43
7 3 − ( 2 x )3 + 2 x ( 4 x2 − 25 ) = 43
343 − 8 x3 + 8 x3 − 50 x = 43
− 8 x3 + 8 x3 − 50 x = 43 − 343
−50x = −300
x = −300 : −50
x = 6
2) 100 ( 0, 2 x + 1 ) ( 0, 04 x2 − 0, 2 x + 1 ) = 5 x ( 0, 16 x2 − 4 )
100 ( ( 0, 2 x )3 + 1 ) = 0, 8 x3 − 20 x
100 ( 0, 008 x3 + 1 ) = 0, 8 x3 − 20 x
0, 8 x3 + 100 = 0, 8 x3 − 20 x
0, 8 x3 − 0, 8 x3 + 20 x = − 100
20x = −100
x = −5
Задание №690
Докажите, что значение выражения:
1) 456 3 − 156 3 делится нацело на 300;
2) 254 3 + 238 3 делится нацело на 123;
3) 17 6 − 1 делится нацело на 36.
Решение:
1) 4563 − 1563 = ( 456 − 156 ) ( 4562 + 456 ∗ 156 + 1562 ) = 300 ( 4562 + 456 ∗ 156 + 1562 ), следовательно данное выражение делится нацело на 300.
2) 2543 + 2383 = ( 254 + 238 ) ( 2542 − 254 ∗ 238 + 2382 ) = 492 ( 2542 − 254 ∗ 238 + 2382 ) = 123 ∗ 4 ( 2542 − 254 ∗ 238 + 2382 ), следовательно данное выражение делится нацело на 123.
3) 176 − 1 = ( 172 )3 − 1 = ( 172 − 1 ) ( ( 172 )2 + 17 2 ∗ 1 + 1 ) = ( 289 − 1 ) ( ( 172 )2 + 172 ∗ 1 + 1 ) = 288 ( ( 172 )2 + 172 ∗ 1 + 1 ) = 8 ∗ 36 ( ( 172 )2 + 172 ∗ 1 + 1 ), следовательно данное выражение делится нацело на 36.
Задание №691
Докажите, что значение выражения:
1) 3413 + 1093 делится нацело на 90;
2) 2 15 + 3 3 делится нацело на 35.
Решение:
1) 341 3 + 109 3 = ( 341 + 109 ) ( 3412 + 341 ∗ 109 + 1092 ) = 450 ( 3412 + 341 ∗ 109 + 1092 ) = 90 ∗ 5 ( 3412 + 341 ∗ 109 + 1092 ), следовательно данное выражение делится нацело на 90.
2) 215 + 33 = ( 25 )3 + 33 = ( 25 + 3 ) ( ( 25 )2 + 25 ∗ 3 + 32 ) = ( 32 + 3 ) ( ( 25 )2 + 25 ∗ 3 + 32 ) = 35 ( ( 25 )2 + 25 ∗ 3 + 32 ), следовательно данное выражение делится нацело на 35.
Задание №692
Укажите наименьшее натуральное значение n такое, чтобы выражение
x2 n − y3 n можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.
Решение:
При n = 6 выражение можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов:
x 2 n − y3 n = x2 ∗ 6 − y3 ∗ 6 = x12 − y18 = ( x6 )2 − ( y9 )2 = ( x6 − y9 ) ( x6 + y9 );
x 2 n − y3 n = x2 ∗ 6 − y3 ∗ 6 = x12 − y18 = ( x4 )3 − ( y6 )3 = ( x4 − y6 ) ( ( x4 )2 + x4 y6 + ( y6 )2 ) = ( x4 − y6 ) ( x8 + x4 y6 + y12 ).
Задание №693
Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам.
Решение:
x 6 − y6 = ( x3 )2 − ( y3 )2 = ( x3 − y3 ) ( x3 + y3 )
x 6 − y6 = ( x2 )3 − ( y2 )3 = ( x2 − y2 ) ( ( x2 )2 + x2 y2 + ( y2 )2 ) = ( x2 − y2 ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
Задание №694
Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:
1) разность их квадратов;
2) сумма их квадратов;
3) сумма их кубов?
Решение:
1) x2 − y2 = ( x − y ) ( x + y ) делится нацело на (x + y), следовательно данное утверждение верно.
2) x2 + y2 не делится нацело на (x + y), следовательно данное утверждение неверно.
3) x3 + y3 = ( x + y ) ( x2 − x y + y2 ) делится нацело на (x + y), следовательно данное утверждение верно.
Задание №695
Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 4.
Решение:
Пусть (2n + 1) первое нечетное натуральное число, тогда
(2n − 1) второе нечетное натуральное число.
Найдем сумму их кубов:
( 2 n + 1 )3 + ( 2 n − 1 )3 = ( 2 n + 1 + 2 n − 1 ) ( ( 2 n + 1 )2 − ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 ) + ( 2 n − 1 )2 ) = 4 n ( 4 n2 + 4 n + 1 − ( 4 n2 − 1 ) + 4 n2 − 4 n + 1 ) = 4 n ( 4 n2 + 4 n + 1 − 4 n2 + 1 + 4 n2 − 4 n + 1 ) = 4 n ( 4 n2 + 3 )
Значит, сумма кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 4.
Задание №696
Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
Решение:
Пусть (3n + 1) первое натуральное число, тогда
(3n + 2) второе натуральное число.
Найдем сумму их кубов.
( 3 n + 1 )3 + ( 3 n + 2 )3 = ( 3 n + 1 + 3 n + 2 ) ( ( 3 n + 1 )2 − ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) + ( 3 n + 2 )2 ) = ( 6 n + 3 ) ( 9 n2 + 6 n + 1 − ( 9 n2 + 3 n + 6 n + 2 ) + 9 n2 + 12 n + 4 ) = 3 ( 2 n + 1 ) ( 9 n2 + 6 n + 1 − 9 n2 − 3 n − 6 n − 2 + 9 n2 + 12 n + 4 ) = 3 ( 2 n + 1 ) ( 9 n2 + 9 n + 3 ) = 3 ( 2 n + 1 ) ∗ 3 ( 3 n2 + 3 n + 1 ) = 9 ( 2 n + 1 ) ( 3 n2 + 3 n + 1 )
Значит, сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
