Задание №677
Разложите на множители:
1) a3 + 8;
2) с3 − 64;
3) 125 − b3;
4) 1 + x3;
5) a3 + 1000;
6) 27 a3 − 1;
7) 1000 c3 − 216;
8) a3 b3 − 1;
9) m3 n3 + 0, 001;
10) 64/343 m3 − 125/216 n3;
11) 8 m6 + 27 n9;
12) m6 n3 − p12;
13) 0, 027 x21 + 0, 125 y24;
14) 0, 216 − 8 c27;
15) 1000 a12 b3 + 0, 001 c6 d15.
Решение:
1) a3 + 8 = a3 + 2 3 = ( a + 2 ) ( a2 − 2 a + 4 )
2) с3 − 64 = с3 − 43 = ( c − 4 ) ( c2 + 4 c + 16 )
3) 125 − b3 = 53 − b3 = ( 5 − b ) ( 25 + 5 b + b2 )
4) 1 + x3 = 13 + x3 = ( 1 + x ) ( 1 − x + x2 )
5) a3 + 1000 = a3 + 103 = ( a + 10 ) ( a2 − 10 a + 100 )
6) 27 a3 − 1 = ( 3 a )3 − 13 = ( 3 a − 1 ) ( 9 a2 + 3 a + 1 )
7) 1000 c3 − 216 = ( 10 c )3 − 63 = ( 10 c − 6 ) ( 100 c2 + 60 c + 36 )
8) a3 b3 − 1 = ( a b )3 − 13 = ( a b − 1 ) ( a2 b2 + a b + 1 )
9) m3 n3 + 0, 001 = ( m n )3 + 0, 13 = ( m n + 0, 1 ) ( m2 n2 − 0, 1 m n + 0, 01 )
10) $\frac{64}{343}m^3-\frac{125}{216}n^3=(\frac47m)^3-(\frac56n)^3=(\frac47m-\frac56n)(\frac{16}{49}m^2+\frac47\ast\frac56mn+\frac{25}{36}n^2)=(\frac47m-\frac56n)(\frac{16}{49}m^2+\frac{10}{21}mn+\frac{25}{36}n^2)$
11) 8 m6 + 27 n9 = ( 2 m2 )3 + ( 3 n3 )3 = ( 2 m2 + 3 n3 ) ( 4 m4 − 62 m2 n3 + 9 n6 )
12) m6 n3 − p12 = ( m2 n )3 − ( p4 )3 = ( m2 n − p4 ) ( m4 n2 + m2 n p4 + p8 )
13) 0, 027 x21 + 0, 125 y24 = ( 0, 3 x7 )3 + ( 0, 5 y8 )3 = ( 0, 3 x7 + 0, 5 y8 ) ( 0, 09 x14 − 0, 15 x7 y8 + 0, 25 y16 )
14) 0, 216 − 8 c27 = 0, 63 − ( 2 c9 )3 = ( 0, 6 − 2 c9 ) ( 0, 36 + 1, 2 c9 + 4 c18 )
15) 1000 a12 b3 + 0, 001 c6 d15 = ( 10 a4 b )3 + ( 0, 1 c2 d5 )3 = ( 10 a4 b + 0, 1 c2 d5 ) ( 100 a8 b2 − a4 b c2 d5 + 0, 01 c4 d10 ).
Задание №678
Разложите на множители:
1) x3 − 1;
2) 27 + a 3;
3) 216 − y 3;
4) 1/8 a3 + b 3;
5) a6 − 8;
6) a3 b3 − c 3;
7) a3 − b 15 c 18;
8) 125 c3 d3 + 0, 008 b 3;
9) 64/729 x3 − 27/1000 y 6.
Решение:
1) x3 − 1 = x3 − 13 = ( x − 1 ) ( x2 + x + 1 )
2) 27 + a3 = 33 + a3 = ( 3 + a ) ( 9 − 3 a + a2 )
3) 216 − y3 = 63 − y3 = ( 6 − y ) ( 36 + 6 y + y6 )
4) 1/8 a3 + b3 = ( 1/2 a )3 + b3 = ( 1/2 a + b ) ( 1/4 a2 − 1/2 a b + b2 )
5) a6 − 8 = ( a2 )3 − 23 = ( a2 − 2 ) ( a4 + 2 a2 + 4 )
6) a3 b3 − c3 = ( a b )3 − c3 = ( a b − c ) ( a2 b2 + a b c + c2 )
7) a3 − b15 c18 = a3 − ( b5 c6 )3 = ( a − b5 c6 ) ( a2 + a b5 c6 + b10 c12 )
8) 125 c3 d3 + 0, 008 b3 = ( 5 c d )3 + ( 0, 2 b )3 = ( 5 c d + 0, 2 b ) ( 25 c2 d2 − c d b + 0, 04 b2 )
9) $\frac{64}{729}x^3-\frac{27}{1000}y^6=(\frac49x)^3-(\frac3{10}y^2)^3=(\frac49x-\frac3{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2+\frac49\ast\frac3{10}xy^2+\frac9{100}y^4)=(\frac49x-\frac3{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2+\frac2{15}xy^2+\frac9{100}y^4)$
Задание №679
Представьте в виде многочлена выражение:
1) ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 );
2) ( 2 a − 1 ) ( 4 a2 + 2 a + 1 );
3) ( a2 + 1 ) ( a4 − a2 + 1 );
4) ( 0, 5 x y + 2 ) ( 0, 25 x2 y2 − x y + 4 ).
Решение:
1) ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) = x3 − 23 = x3 − 8
2) ( 2 a − 1 ) ( 4 a2 + 2 a + 1 ) = ( 2 a )3 − 13 = 8 a3 − 1
3) ( a2 + 1 ) ( a4 − a2 + 1 ) = ( a2 )3 + 13 = a6 + 1
4) ( 0, 5 x y + 2 ) ( 0, 25 x2 y2 − x y + 4 ) = ( 0, 5 x y )3 + 23 = 0, 125 x3 y3 + 8
Задание №680
Выполните умножение:
1) ( b − 4 ) ( b2 + 4 b + 16 );
2) ( 2 a + 3 b ) ( 4 a2 − 6 a b + 9 b2 );
3) ( x3 + 6 y2 ) ( x6 − 6 x3 y2 + 36 y4 );
4) ( 1/4 a − 1/5 b ) ( 1/16 a2 + 1/20 a b + 1/25 b2 ).
Решение:
1) ( b − 4 ) ( b2 + 4 b + 16 ) = b3 − 43 = b3 − 64
2) ( 2 a + 3 b ) ( 4 a2 − 6 a b + 9 b2 ) = ( 2 a )3 + ( 3 b )3 = 8 a3 + 27 b3
3) ( x3 + 6 y2 ) ( x6 − 6 x3 y2 + 36 y4 ) = ( x3 )3 + ( 6 y2 )3 = x9 + 216 y6
4) $(\frac14a-\frac15b)(\frac1{16}a^2+\frac1{20}ab+\frac1{25}b^2)=(\frac14a)^3-(\frac15b)^3=\frac1{64}a^3-\frac1{125}b^3$
Задание №681
Упростите выражение и найдите его значение:
1) ( 9 a2 + 3 a + 1 ) ( 3 a − 1 ), если a = 1/3;
2) ( 5 y − 2 ) ( 25 y2 + 10 y + 4 ) + 8, если y = − 1/5.
Решение:
1) ( 9 a2 + 3 a + 1 ) ( 3 a − 1 ) = ( 3 a )3 − 13 = 27 a3 − 1 = 27 ∗ ( 1/3 )3 − 1 = 27 ∗ 1/27 − 1 = 1 − 1 = 0
2) ( 5 y − 2 ) ( 25 y2 + 10 y + 4 ) + 8 = ( 5 y )3 − 23 + 8 = 125 y3 − 8 + 8 = 125 y3 = 125 ∗ ( − 1/5 )3 = 125 ∗ ( − 1/125 ) = − 1
Задание №682
Найдите значение выражения:
1) ( 1 − b2 ) ( 1 + b2 + b4 ), если b = −2;
2) 2 x3 + 7 − ( x + 1 ) ( x2 − x + 1 ), если x = −1.
Решение:
1) ( 1 − b2 ) ( 1 + b2 + b4 ) = 13 − ( b2 )3 = 1 − b6 = 1 − ( − 2 )6 = 1 − 64 = − 63
2) 2 x3 + 7 − ( x + 1 ) ( x2 − x + 1 ) = 2 x3 + 7 − ( x3 + 13 ) = 2 x3 + 7 − x3 − 1 = x3 + 6 = ( − 1 )3 + 6 = − 1 + 6 = 5
Задание №683
Разложите на множители:
1) ( a + 6 )3 − 27;
2) ( 2 x − 1 )3 + 64;
3) 8 a6 − ( 4 a − 3 )3;
4) 1000 + ( y − 10 )3;
5) ( x + y )3 − ( x − y )3;
6) ( a − 2 )3 + ( a + 2 )3.
Решение:
1) ( a + 6 )3 − 27 = ( a + 6 )3 − 33 = ( a + 6 − 3 ) ( ( a + 6 )2 + 3 ( a + 6 ) + 9 ) = ( a + 3 ) ( a2 + 12 a + 36 + 3 a + 18 + 9 ) = ( a + 3 ) ( a2 + 15 a + 63 )
2) ( 2 x − 1 )3 + 64 = ( 2 x − 1 )3 + 43 = ( 2 x − 1 + 4 ) ( ( 2 x − 1 )2 − 4 ( 2 x − 1 ) + 16 ) = ( 2 x + 3 ) ( 4 x2 − 4 x + 1 − 8 x + 4 + 16 ) = ( 2 x + 3 ) ( 4 x2 − 12 x + 21 )
3) 8 a6 − ( 4 a − 3 )3 = ( 2 a2 )3 − ( 4 a − 3 )3 = ( 2 a2 − 4 a + 3 ) ( 4 a4 + 2 a2 ( 4 a − 3 ) + ( 4 a − 3 )2 ) = ( 2 a2 − 4 a + 3 ) ( 4 a4 + 8 a3 − 6 a2 + 16 a2 − 24 a + 9 ) = ( 2 a2 − 4 a + 3 ) ( 4 a4 + 8 a3 + 10 a2 − 24 a + 9 )
4) 1000 + ( y − 10 )3 = 103 + ( y − 10 )3 = ( 10 + y − 10 ) ( 100 − 10 ( y − 10 ) + ( y − 10 )2 ) = y ( 100 − 10 y + 100 + y2 − 20 y + 100 ) = y ( y2 − 30 y + 300 )
5) ( x + y )3 − ( x − y )3 = ( ( x + y ) − ( x − y ) ) ( ( x + y )2 + ( x + y ) ( x − y ) + ( x − y )2 ) = ( x + y − x + y ) ( x2 + 2 x y + y2 + x2 − y2 + x2 − 2 x y + y2 ) = 2 y ( 3 x2 + y2 )
6) ( a − 2 )3 + ( a + 2 )3 = ( a − 2 + a + 2 ) ( ( a − 2 )2 − ( a − 2 ) ( a + 2 ) + ( a + 2 )2 ) = 2 a ( a2 − 4 a + 4 − ( a2 − 4 ) + a2 + 4 a + 4 ) = 2 a ( a2 − 4 a + 4 − a2 + 4 + a2 + 4 a + 4 ) = 2 a ( 4 + 4 + a2 + 4 ) = 2 a ( a2 + 16 )
Задание №684
Представьте в виде произведения выражение:
1) ( b − 5 )3 + 125;
2) ( 4 − 3 x )3 − 8 x3;
3) ( a − b )3 + ( a + b )3;
4) ( c + 3 )3 − ( c − 3 )3.
Решение:
1) ( b − 5 )3 + 125 = ( b − 5 )3 + 53 = ( b − 5 + 5 ) ( ( b − 5 )2 − 5 ( b − 5 ) + 25 ) = b ( b2 − 10 b + 25 − 5 b + 25 + 25 ) = b ( b2 − 15 b + 75 )
2) ( 4 − 3 x )3 − 8 x3 = ( 4 − 3 x )3 − ( 2 x )3 = ( 4 − 3 x − 2 x ) ( ( 4 − 3 x )2 + 2 x ( 4 − 3 x ) + 4 x2 ) = ( 4 − 5 x ) ( 16 − 24 x + 9 x2 + 8 x − 6 x2 + 4 x2 ) = ( 4 − 5 x ) ( 7 x2 − 16 x + 16 )
3) ( a − b )3 + ( a + b )3 = ( a − b + a + b ) ( ( a − b )2 − ( a − b ) ( a + b ) + ( a + b )2 ) = 2 a ( a2 − 2 a b + b2 − ( a2 − b2 ) + a2 + 2 a b + b2 ) = 2 a ( a2 − 2 a b + b2 − a2 + b2 + a2 + 2 a b + b2 ) = 2 a ( a2 + 3 b2 )
4) ( c + 3 )3 − ( c − 3 )3 = ( ( c + 3 ) − ( c − 3 ) ) ( ( c + 3 )2 + ( c + 3 ) ( c − 3 ) + ( c − 3 )2 ) = ( c + 3 − c + 3 ) ( c2 + 6 c + 9 + c2 − 9 + c2 − 6 c + 9 ) = 6 ( 3 c2 + 9 ) = 6 ∗ 3 ( c2 + 3 ) = 18 ( c2 + 3 )
Задание №685
Упростите выражение:
1) ( x + 1 ) ( x2 − x + 1 ) + ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 );
2) ( x − 4 ) ( x2 + 4 x + 16 ) − x ( x − 5 ) ( x + 5 );
3) a ( a − 3 )2 − ( a + 3 ) ( a2 − 3 a + 9 );
4) ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a2 − a + 1 ) ( a2 + a + 1 ) ( a6 + 1 ) ( a12 + 1 ).
Решение:
1) ( x + 1 ) ( x2 − x + 1 ) + ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 ) = x3 + 1 + 23 − x3 = 1 + 8 = 9
2) ( x − 4 ) ( x2 + 4 x + 16 ) − x ( x − 5 ) ( x + 5 ) = x3 − 43 − x ( x2 − 25 ) = x3 − 64 − x3 + 25 x = 25 x − 64
3) a ( a − 3 )2 − ( a + 3 ) ( a2 − 3 a + 9 ) = a ( a2 − 6 a + 9 ) − ( a3 + 33 ) = a3 − 6 a2 + 9 a − a3 − 27 = − 6 a2 + 9 a − 27
4) ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a2 − a + 1 ) ( a2 + a + 1 ) ( a6 + 1 ) ( a12 + 1 ) = ( a − 1 ) ( a2 + a + 1 ) ( a + 1 ) ( a2 − a + 1 ) ( a6 + 1 ) ( a12 + 1 ) = ( a3 − 1 ) ( a3 + 1 ) ( a6 + 1 ) ( a12 + 1 ) = ( a6 − 1 ) ( a6 + 1 ) ( a12 + 1 ) = ( a12 − 1 ) ( a12 + 1 ) = a24 − 1
