Задание №385
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3, а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2. Докажите, что значение выражения 3m + 5n не делится нацело на 15.
Решение:
Пусть неполное частное при делении m на 5 равно x, а при делении n на 3 равно y, тогда:
m = 5x + 3;
n = 3y + 2, следовательно:
3m + 5n = 3(5x + 3) + 5(3y + 2) = 15x + 9 + 15y + 10 = 15x + 15y + 19, так как 19 не делится нацело на 15, следовательно значение выражения 3m + 5n не делится нацело на 15.
Задание №386
Общая площадь трех полей равна 46,4 га. Площадь второго поля в 1_2/3 раза меньше площади первого, а площадь третьего поля составляет 72% площади первого. Найдите площадь каждого поля.
Решение:
Пусть x га площадь второго поля, тогда $1\frac23x$ га - площадь первого поля, 72%=0,72, $0,72\ast1\frac23x=0,72\ast\frac53x=0,24\ast5x=1,2x$ га - площадь третьего поля.
Составим уравнение:
$x+1\frac23x+1,2x=46,4$
$2\frac23x+1\frac15x=46,4$
$2\frac{10}{15}x+1\frac3{15}x=46,4$
$3\frac{13}{15}x=\frac{464}{10}$
$\frac{58}{15}x=\frac{232}5$
$x=\frac{232}5:\frac{58}{15}$
$x=\frac{232}5\ast\frac{15}{58}$
$x=\frac41\ast\frac31$
x = 12 га площадь второго поля;
$1\frac23x=\frac53\ast12=5\ast4=20$ (га) - площадь первого поля;
1,2x = 1,2 * 12 = 14,4 (га) - площадь третьего поля.
Ответ: 20, 12 и 14,4 га.
Задание №387
За первый день Вася прочитал 2/7 страниц книги, за второй − 64% оставшихся, а за третий − остальные 54 страницы. Сколько страниц в книге?
Решение:
Пусть в книге x страниц, тогда 2/7 x страниц Вася прочитал в первый день, (1 − 2/7 x = 5/7 x) страниц книги осталось после первого дня, 64% = 0,64, (0,64 * 5/7 x = 32/70 x = 16/35 x) страниц Вася прочитал во второй день, а как после двух дней осталось прочитать 54 страницы.
Составим уравнение:
$x-\frac27x-\frac{16}{35}x=54$
$x-\frac{10}{35}x-\frac{16}{35}x=54$
$\frac{35-10-16}{35}x=54$
$\frac9{35}x=54$
$x=54:\frac9{35}$
$x=54\ast\frac{35}9$
x = 6 * 35
х = 210
Значит, 210 страниц в книге.
Ответ: 210 страниц.
Задание №388
Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет:
1) нечетное число;
2) число, которое делится нацело на 3;
3) число, которое не делится нацело на 3?
Решение:
1) На кубике всего 6 чисел, из них нечетных 6 : 2 = 3 числа, следовательно:
3/6 = 1/2 вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет нечетное число.
2) На кубике всего 6 чисел, из них нацело делящихся на 3: 6 : 3 = 2 числа (3 и 6), следовательно:
2/6 = 1/3 вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число, которое делится нацело на 3.
3) На кубике всего 6 чисел, из них нацело не делящихся на 3: 6 − 2 = 4 числа (1, 2, 4, 5), следовательно:
4/6 = 2/3 вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число, которое не делится нацело на 3.
Задание №389
Велосипедист проехал первую половину пути за 3 ч, а вторую − за 2,5 ч, так как увеличил скорость на 3 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист?
Решение:
Пусть x км/ч начальная скорость велосипедиста, тогда (x + 3) км/ч скорость велосипедиста после увеличения, 3x км проехал велосипедист с начальной скоростью, 2,5(x + 3) км проехал велосипедист с увеличенной скоростью, а оба отрезка пути равны.
Составим уравнение:
3x = 2,5(x + 3)
3x = 2,5x + 7,5
3x − 2,5x = 7,5
0,5x = 7,5
x = 7,5 : 0,5
x = 15
Значит, начальная скорость велосипедиста 15 км/ч .
3x + 2,5(x + 3) = 3 * 15 + 2,5 * (15 + 3) = 45 + 2,5 * 18 = 45 + 45 = 90 (км) проехал велосипедист.
Ответ: 90 км.
Задание №390
На одном складе было 184 т минеральных удобрений, а на втором − 240 т. Первый склад отпускает ежедневно по 15 т удобрений, а второй − по 18 т. Через сколько дней количество удобрений, оставшихся на первом складе, будет составлять 2/3 количества удобрений, оставшихся на втором складе?
Решение:
Пусть на втором складе осталось x т удобрений, тогда:
2/3 x т удобрений осталось на первом складе;
240 − x т отпустил первый склад;
184 − 2/3 x т отпустил второй склад.
Составим уравнение:
$\frac{240-x}{18}=\frac{184-\frac23x}{15}$
15 ( 240 − x ) = 18 ( 184 − 2/3 x )
3600 − 15x = 3240 − 12x
−15x + 12x = 3312 − 3600
−3x = −288
x = −288 : −3
x = 96 т удобрений осталось на втором складе, тогда:
$\frac{240-96}{18}=\frac{144}{18}=8$
Значит, через 8 дней количество удобрений, оставшихся на первом складе, будет составлять 2/3 количества удобрений, оставшихся на втором складе.
Ответ: через 8 дней.
Задание №391
В волейбольном турнире, приходившем в один круг (то есть каждая команда сыграла с каждой один раз), 20% всех команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в этом турнире? (Примечание. В волейболе "ничьих" не бывает, обязательно одна команда выигрывает, а другая проигрывает.)
Решение:
Поскольку ничьих не бывает, то проигравшая все матчи команда может быть только 1 (все остальные выиграли у нее, значит на их счету хотя бы 1 выигрыш). 1 команда - это и есть 20% от всех команд.
20% = 0,2
1 : 0,2 = 5 (к.) - всего участвовало в турнире.
Ответ: 5 команд.
