Задание 178

Составьте числовое выражение и найдите его значение:
1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8;
2) куб разности чисел 9 и 8;
3) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25;
4) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2.

Решение

1) $5^3+8^2=125+64=189$

2) $(9-8)^3=1^3=1$

3) $2,5^2+0,25^2=6,25+0,0625=6,3125$

4) $(7,8+8,2)^2=16^2=256$

Задание 179

Сколько в 1 км содержится:
1) метров;
2) сантиметров;
3) миллиметров?
Ответ запишите в виде степени числа 10.

Решение

1) 1 км = 10$^3$ м

2) 1 км = 10$^5$ см

3) 1 км = 10$^6$ мм

Задание 180

Скорость света в вакууме равна 300000 км/с.
1) Запишите эту величину, используя степень числа 10.
2) Выразите скорость света в метрах в секунду, запишите результат, используя степень числа 10.

Решение

1) 300000 км/с = 3∗10$^5$ км/с

2) 300000 км/с = 3∗10$^8$ м/с

Задание 181

Сколько в 1 м$^2$ содержится:
1) квадратных дециметров;
2) квадратных сантиметров;
3) квадратных миллиметров?
Ответ запишите в виде степени числа 10.

Решение

1) 1 м$^2$ = 100 дм$^2$ = 10$^2$ дм$^2$

2) 1 м$^2$ = 10000 см$^2$ = 10$^4$ см$^2$

3) 1 м$^2$ = 1000000 мм$^2$ = 10$^6$ мм$^2$

Задание 182

Какие из чисел −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:
1) x$^4$ = 16;
2) x$^5$ = − 243;
3) x$^2$ + x = 2;
4) x$^3$ + x$^2$ = 6x?

Решение

1) x$^4$ = 16
2$^4$ = 16;
x1 = 2.
(− 2)$^4$ = 16;
x2 = − 2.

2) x$^5$ = − 243
(− 3)$^5$ = − 243
x = −3

3) x$^2$ + x = 2
(− 2)$^2$ + (− 2) = 2
4 − 2 = 2
2 = 2
x1 = − 2;
1$^2$ + 1 = 2
1 + 1 = 2
2 = 2
x2 = 1.

4) x$^3$ + x$^2$ = 6 x
(− 3)$^3$ + (− 3)$^2$ = 6 ∗ (− 3)
−27 + 9 = −18
−18 = −18
x1 = − 3;
(− 2)$^3$ + (− 2)$^2$ = 6 ∗ (− 2)
−8 + 4 = −12
−4 ≠ −12;
(− 1)$^3$ + (− 1)$^2$ = 6 ∗ (− 1)
−1 + 1 = −6
0 ≠ −6;
0$^3$ + 0$^2$ = 6 ∗ 0
0 = 0
x2 = 0;
1$^3$ + 1$^2$ = 6 ∗ 1
1 + 1 = 6
2 ≠ 6;
2$^3$ + 2$^2$ = 6 ∗ 2
8 + 4 = 12
12 = 12
x3 = 2.

Задание 183

При каком значении x равно нулю значение выражения:
1) (2x − 3)$^2$;
2) (x + 4)$^4$;
3) (6 x − 1)$^5$?

Решение

1) (2 x − 3)$^2$ = 0
2x − 3 = 0
2x = 3
x = 3 : 2
x = 1,5

2) (x + 4)$^4$ = 0
x + 4 = 0
x = −4

3) (6x − 1)$^5$ = 0
6x − 1 = 0
6x = 1
$x=\frac16$

Задание 184

Решите уравнение:
1) x$^{10}$ = − 1;
2) (x − 5)$^4$ = − 16.

Решение

1) x$^{10}$ = − 1, уравнение не имеет корней, так при возведении числа в степень с четным показателем, получается четное число.

2) (x − 5)$^4$ = − 16, уравнение не имеет корней, так при возведении числа в степень с четным показателем, получается четное число.

Задание 185

При каких натуральных значениях n верно неравенство 8 < 3$^n$ < 85?

Решение

при n = 2: 3$^n$ = 3$^2$ = 9;
при n = 3: 3$^n$ = 3$^n3$ = 27;
при n = 4: 3$^n$ = 3$^4$ = 81.

Задание 186

При каких натуральных значениях m верно неравенство 0,07 < 0,4$^m$ < 0,5?

Решение

при m = 1: 0,4$^m$ = 0,4$^1$ = 0,4;
при m = 2: 0,4$^m$ = 0,4$^2$ = 0,16.

Задание 187

Докажите, что выражение x$^2$ + (x − 1)$^2$ принимает только положительные значения.

Решение

При возведении числа в степень с четным показателем получается положительное число, а при возведении числа в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.
Поэтому x$^2$ − положительное число и (x − 1)$^2$ − положительное число, а сумма двух положительных чисел, есть число положительное, следовательно:
x$^2$ + (x − 1)$^2$ − положительное число.

Задание 188

Докажите, что выражение (x + 1)$^2$ + | x | принимает только положительные значения.

Решение

При возведении числа в степень с четным показателем получается положительное число, а при возведении числа в степень с нечетным показателем получается отрицательное число, поэтому (x + 1)$^2$.
Модуль любого числа есть число положительное, поэтому:
|x| − положительное число.
Сумма двух положительных чисел, есть число положительное, следовательно:
(x + 1)$^2$ + | x | − положительное число.

Задание 189

Докажите, что не имеет положительных корней уравнение:
1) 2x$^2$ + 5x + 2 = 0;
2) x$^4$ + 3x$^3$ + 4x$^2$ + 3x + 1 = 0.

Решение

1) 2x$^2$ + 5x + 2 = 0
2x$^2$ + 5x ≠ − 2, так при x > 0 значение выражения 2x$^2$ + 5x число положительное.

2) x$^4$ + 3x$^3$ + 4x$^2$ + 3x + 1 = 0
x$^4$ + 3x$^3$ + 4x$^2$ + 3x ≠ − 1, так при x > 0 значение выражения x$^4$ + 3x$^3$ + 4x$^2$ + 3x число положительное.

Задание 190

Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение:
1) x$^4$ − 5x$^3$ + 6x$^2$ − 7x + 5 = 0;
2) x$^8$ + x$^4$ + 1 = x$^7$ + x$^3$ + x.

Решение

1) $x^4-5x^3+6x^2-7x+5=0$
$x^4-5x^3+6x^2-7x\neq-5$, так при x < 0:
отметим значения выражений через буквенное значение:
x$^4$ = a;
5x$^3$ = − b;
6x$^2$ = c;
7x = − d, тогда:
a − (−b) + c − (−d) = −5
a + b + c + d ≠ −5, так как a + b + c + d сумма четырех положительных чисел, которая не может быть отрицательным числом.

2) $x^8+x^4+1=x^7+x^3+x$
$x^8+x^4-x^7-x^3-x\neq-1$, так при x < 0:
отметим значения выражений через буквенное значение:
x$^8$ = a;
x$^4$ = b;
x$^7$ = − c;
x$^3$ = − d
x = − e, тогда:
a + b − (−c) − (−d) − (−e) = −1
a + b + c + d + e ≠ −1, так как a + b + c + d + e сумма пяти положительных чисел, которая не может быть отрицательным числом.

Задание 191

При каких значениях x и y верно равенство:
1) x$^2$ + y$^2$ = 0;
2) (x − 1)$^4$ + (y + 2)$^6$ = 0?

Решение

1) x$^2$ + y$^2$ = 0
x$^2$ = 0
x = 0
y$^2$ = 0
y = 0

2) (x − 1)$^4$ + (y + 2)$^6$ = 0
x − 1 = 0
x = 1
y + 2 = 0
y = −2

Задание 192

При каких значениях x и y верно равенство:
x$^8$ + (y − 3)$^2$ = 0?

Решение

x$^8$ + (y − 3)$^2$ = 0
x$^82$ = 0
x = 0
(y − 3)$^2$ = 0
y − 3 = 0
y = 3

Задание 193

При каком значении переменной данное выражение принимает наименьшее значение:
1) x$^2$ + 7;
2) (x − 1)$^4$ + 16?

Решение

1) При x = 0 значение выражения x$^2$ + 7 принимает наименьшее значение:
0$^2$ + 7 = 0 + 7 = 7.

2) При x = 1 значение выражения (x − 1)$^4$ + 16 принимает наименьшее значение:
(1 − 1)$^4$ + 16 = 0$^4$ + 16 = 0 + 16 = 16.