Задание 165

Найдите значение выражения:
1) 16 − c$^3$, если c = 2;
2) (16x)$^6$, если x = 0,125;
3) a$^3$b$^2$, если a = 10; b = 0,1;
4) 4a$^4$ − a, если a = 3.

Решение

1) $16-c^3=16-2^3=16-8=8$

2) $(16x)^6=(16\ast0,125)^6=2^6=64$

3) $a^3b^2=10^3\ast0,1^2=1000\ast0,01=10$

4) $4a^4-a=4\ast3^4-3=4\ast81-3=324-3=321$

Задание 166 (учебник 2019)

Не выполняя вычислений, сравните:
1) (− 5,8)$^2$ и 0;
2) 0 и (− 3,7)$^3$;
3) (− 12)$^7$ и (− 6)$^4$;
4) − 8$^8$ и (− 8)$^8$;
5) (− 17)$^6$ и 17$^6$;
6) (− 34)$^5$ и (− 39)$^5$.

Решение

При возведении числа в степень с четным показателем получается положительное число, а при возведении числа в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.
1) (− 5,8)$^2$ > 0, так как (− 5,8)$^2$ число положительное.

2) 0 > (− 3,7)$^3$, так как (− 3,7)$^3$ число отрицательное.

3) (− 12)$^7$ < (− 6)$^4$, так как (− 12)$^7$ число отрицательное, а (− 6)$^4$ число положительное.

4) − 8$^8$ < (− 8)$^8$, так как − 8$^8$ = − (8)$^8$ число отрицательное, (− 8)$^8$ число положительное.

5) (− 17)$^6$ = 17$^6$

6) (− 34)$^5$ > (− 39)$^5$, так (− 34)$^5$ отрицательное число с меньшим модулем, чем (− 39)$^5$.

Задание 166 (учебник 2018 года)

Не выполняя вычислений, сравните:
1) (− 5,8)$^2$ и 0;
2) 0 и (− 3,7)$^3$;
3) (− 5,8)$^7$ и (− 6)$^4$;
4) − 8$^2$ и (− 8)$^2$;
5) (− 17)$^6$ и 17$^6$;
6) (− 34)$^5$ и (− 39)$^5$.

Решение

При возведении числа в степень с четным показателем получается положительное число, а при возведении числа в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.
1) (− 5,8)$^2$ > 0, так как (− 5,8)$^2$ число положительное.

2) 0 > (− 3,7)$^3$, так как (− 3,7)$^3$ число отрицательное.

3) (− 5,8)$^7$ < (− 6)$^4$, так как (− 5,8)$^7$ число отрицательное, а (− 6)$^4$ число положительное.

4) − 8$^2$ < (− 8)$^2$, так как − 8$^2$ = − (8)$^2$ число отрицательное, (− 8)$^2$ число положительное.

5) (− 17)$^6$ = 17$^6$

6) (− 34)$^5$ > (− 39)$^5$, так (− 34)$^5$ отрицательное число с меньшим модулем, чем (− 39)$^5$.

Задание 167

Не выполняя вычислений, сравните:
1) 0 и (-1,9)$^{10}$;
2) 0 и (− 76)$^{15}$;
3) (− 0,1)$^{12}$ и (− 12)$^{25}$;
4) (− 4 7/9 )$^9$ и (− 5 8/11)$^9$.
Решение правило
При возведении числа в степень с четным показателем получается положительное число, а при возведении числа в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.

Решение

1) 0 < (-1,9)$^{10}$, так как (-1,9)$^{10}$ число положительное.

2) 0 > (− 76)$^{15}$, так как (− 76)$^{15}$ число отрицательное.

3) (− 0,1)$^{12}$ > (− 12)$^{25}$, так как (− 0,1)$^{12}$ число положительное, а (− 12)$^{25}$ число отрицательное.

4) $(-4\frac79)^9$ > $(-5\frac8{11})^9$, так $(-4\frac79)^9$ отрицательное число с меньшим модулем, чем $(-5\frac8{11})^9$.

Задание 168

Сравните с нулем значения выражений: 2$^{100}$ ; (− 2)$^{100}$ ; − 2$^{100}$ ; −(− 2)$^{100}$. Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Решение

2$^{100}$ > 0;
(− 2)$^{100}$ > 0;
− 2$^{100}$ < 0, так как − 2$^{100}$ = − (2$^{100}$) число отрицательное;
− (− 2)$^{100}$ < 0.
2$^{100}$ = (− 2)$^{100}$;
− 2$^{100}$ = −(− 2)$^{100}$.

Задание 169

Сравните с нулем значения выражений: 5$^{101}$; − 5$^{101}$; (− 5)$^{101}$; −(−5)$^{101}$. Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Решение

5$^{101}$ > 0;
− 5$^{101}$ < 0;
(− 5)$^{101}$ < 0;
− (− 5)$^{101}$ > 0.
5$^{101}$ = − (− 5)$^{101}$;
− 5$^{101}$ = (− 5)$^{101}$.

Задание 170

Верно ли равенство:
1) 3$^2$ + 4$^2$ = 7$^2$;
2) 5$^2$ + 12$^2$ = 13$^2$;
3) 1$^2$ + 3$^2$ + 5$^2$ + 7$^2$ + 9$^2$ = 13$^2$;
4) ( 1 + 2 + 3 )$^2$ = 1$^3$ + 2$^3$ + 3$^3$?

Решение

1) 3$^2$ + 4$^2$ = 7$^2$
9 + 16 = 49
25 ≠ 49, следовательно равенство неверно.

2) 5$^2$ + 12$^2$ = 13$^2$
25 + 144 = 169
169 = 169, следовательно равенство верно.

3) 1$^2$ + 3$^2$ + 5$^2$ + 7$^2$ + 9$^2$ = 13$^2$
1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 169
165 ≠ 169, следовательно равенство неверно.

4) ( 1 + 2 + 3 )$^2$ = 1$^3$ + 2$^3$ + 3$^3$
6$^2$ = 1$^3$ + 2$^3$ + 3$^3$
36 = 1 + 8 + 27
36 = 36, следовательно равенство верно.

Задание 171

Докажите, что 1$^2$ + 2$^2$ + 4$^2$ + 6$^2$ + 8$^2$ = 11$^2$?

Решение

1$^2$ + 2$^2$ + 4$^2$ + 6$^2$ + 8$^2$ = 11$^2$
1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121
121 = 121

Задание 172

Расположите в порядке возрастания значения выражений:
1) 0,3 ; 0,3$^2$ ; 0,3$^3$;
2) − 0,4 ; (− 0,4)$^2$ ; (− 0,4)$^3$.

Решение

1) 0,3;
0,3$^2$ = 0,09;
0,3$^3$ = 0,027, следовательно в порядке возрастания:
0,3$^3$ ; 0,3$^2$ ; 0,3.

2) − 0,4;
(− 0,4)$^2$ = 0,16;
(− 0,4)$^3$ = −0,064, следовательно в порядке возрастания:
− 0,4 ; (− 0,4)$^3$ ; (− 0,4)$^2$.

Задание 173

Сравните с нулем значение выражения:
1) (− 4)$^7$ ∗ (− 12)$^9$;
2) (− 5)$^6$ ∗ (− 17)$^{11}$;
3) (− 14)$^4$ ∗ (− 25)$^{14}$;
4) (− 7)$^9$ ∗ 0$^6$.

Решение

При возведении числа в степень с четным показателем получается положительное число, а при возведении числа в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.
1) ( − 4 )$^7$ ∗ ( − 12 )$^9$ > 0, так как ( − 4 )$^7$ и ( − 12 )$^9$ − отрицательные числа, а произведение двух отрицательных чисел, есть число положительное.

2) ( − 5 )$^6$ ∗ ( − 17 )$^{11}$ < 0, так как ( − 5 )$^6$ число положительное, ( − 17 )$^{11}$ число отрицательное, а произведение отрицательного и положительного чисел, есть число отрицательное.

3) ( − 14 )$^4$ ∗ ( − 25 )$^{14}$ > 0, так как ( − 14 )$^4$ и ( − 25 )$^{14}$ − положительные числа, а произведение двух положительных чисел, есть число положительное.

4) ( − 7 )$^9$ ∗ 0$^6$ = 0, так как 0$^6$ = 0, а произведение любого числа на 0 равно 0.

Задание 174

Сравните с нулем значение выражения:

1) $(-2)^{14}\ast(-3)^{15}\ast(-4)^{16}<0$

2) $(-5)^{17}\ast(-6)^{18}\ast(-7)^{19}>0$

Задание 175

Запишите:
1) числа 16; 64; 256 в виде степени с основанием 4;
2) числа 0,09; 0,027; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3.

Решение

1) $16=4^2$
$64=4^3$
$256=4^4$

2) $0,09=0,3^2$
$0,027=0,3^3$
$0,00243=0,3^5$

Задание 176

Представьте число:
1) 10000;
2) −32;
3) 0,125;
4) −0,00001;
5) −8/343 в виде степени с показателем, большим 1, и наименьшим по модулю основанием.

Решение

1) $10000=10^4$

2) $-32=(-2)^5$

3) $0,125=0,5^3$

4) $-0,00001=(-0,1)^5$

5) $-\frac8{343}=(-\frac27)^3$

Задание 177

Составьте числовое выражение и найдите его значение:
1) квадрат разности чисел 7 и 5;
2) разность квадратов чисел 7 и 5;
3) куб суммы чисел 4 и 3;
4) сумма кубов чисел 4 и 3.

Решение

1) $(7-5)^2=2^2=4$

2) $7^2-5^2=49-25=24$

3) $(4+3)^3=7^3=343$

4) $4^3+3^3=64+27=91$