Задание 145

Докажите, что не являются тождественно равными выражения:
1) 4 − m$^2$ и (2 − m)$^2$;
2) |−m| и m;
3) m$^3$ + 8 и (m + 2)(m$^2$ + 4).

Решение

1) Допустим m = 1, тогда:
4 − m$^2$ = (2 − m)$^2$
4 − 1$^2$ = (2 − 1)$^2$
4 − 1 = 1$^2$
3 ≠ 1, следовательно равенство не является тождеством.

2) Допустим m = −1, тогда:
|−m| = m
|−(−1)| = −1
|1| = −1
1 ≠ −1

3) Допустим m = 1, тогда:
m$^3$ + 8 = ( m + 2) (m$^2$ + 4)
1$^3$ + 8 = ( 1 + 2 ) (1$^2$ + 4)
1 + 8 = 3(1 + 4)
9 = 3 * 5
9 ≠ 15, следовательно равенство не является тождеством.

Задание 146

Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 ч. Если одновременно с этих станций выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 8 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние меду станциями?

Решение

12 − 8 = 4 часа после встречи будет идти до станции назначения пассажирский поезд, а товарному после встречи пусть осталось идти x часов.
Составим пропорцию:
$\frac x8=\frac84$
4x = 8 * 8
x = 64 : 4x
x = 16 часов потребуется товарному поезду, чтобы пройти оставшийся путь.
16 + 8 = 24 часа потребуется товарному поезду, чтобы преодолеть расстояние меду станциями.

Задание 147

Фермер выращивал гречиху на двух участках общей площадью 24 га. На одном участке он собрал по 8 ц гречихи с гектара, а на втором − по 9 ц с гектара. Сколько всего центнеров гречихи собрал фермер, если со второго участка он собрал на 46 ц гречихи больше, чем с первого?

Решение

Пусть x га площадь первого участка, тогда:
24 − x га площадь второго участка;
8x ц гречихи собрал фермер с первого участка;
9(24 − x) = 216 − 9x ц гречихи собрал фермер со второго участка.
Составим уравнение:
216 − 9x − 8x = 46
−9x − 8x = 46 − 216
−17x = −170
x = −170 : −17
x = 10 га площадь первого участка;
24 − x = 24 − 10 = 14 га площадь второго участка;
8x = 8 * 10 = 80 ц гречихи собрал фермер с первого участка;
9 * 14 = 126 ц гречихи собрал фермер с первого участка;
80 + 126 = 206 центнеров гречихи собрал фермер всего.

Задание 148

Известно, что a > 0, a + b < 0. Сравните:
1) b и 0;
2) |a| и |b|.

Решение

1) b < 0, так как a > 0, а сумма a + b < 0, то значит что число b − отрицательное.

2) |a| < |b|, так для того, чтобы выполнялось условие a + b < 0, при том что число a − положительное, число b должно быть отрицательным и при этом с большим модулем, чем число a.

Задание 149

Цену товара сначала увеличили на 50 %, а потом уменьшили на 50 %. Увеличилась или уменьшилась и на сколько процентов начальная цена товара?

Решение

Пусть x рублей первоначальная цена товара, тогда:
50% * x + x = x(0,5 + 1) = 1,5x рублей цена товара после повышения;
1,5x − 1,5x * 50% = 1,5x(1 − 0,5) = 1,5x * 0,5 = 0,75x рублей цена товара после понижения;
x − 0,75x = 0,25x, следовательно начальная цена товара после двух изменений уменьшилась на 25%.

Задание 150 (учебник 2019 года)

На сколько процентов увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2014 год, если в 1995 году таких театров было 138, а в 2014 году − 183? Ответ округлите до десятых процента.

Решение

Составим пропорцию:
138 театров − 100%
183 театр − x%
$\frac{138}{183}=\frac{100}x$
138x = 183 * 100
x = 18300 : 138
x ≈ 132,6%, тогда:
132,6% − 100% = 32,6%, то есть на 32,6% увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2014 год.

Задание 150 (учебник 2018 года)

На сколько процентов увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2008 год, если в 1995 году таких театров было 138, а в 2008 году − 161? Ответ округлите до десятых процента.

Решение

Составим пропорцию:
138 театров − 100%
161 театр − x%
$\frac{138}{161}=\frac{100}x$
138x = 161 * 100
x = 16100 : 138
x ≈ 116,7%, тогда:
116,7% − 100% = 16,7%, то есть на 16,7% увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2088 год.

Задание 151

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 10. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске оказались равными?

Решение

Попробуем добиться того, чтобы все числа были равными:
1 действие:
Из чисел 9 и 10 вычтем 1, получим 8 и 9, повторим данную операцию еще три раза получим числа 5 и 6.
2 действие:
Из чисел 7 и 8 вычтем два раз по 1 и получим числа 5 и 6.
3 действие:
К числам 1 и 2 прибавим 5 получим числа 5 и 6.
4 действие:
К числам 3 и 4 прибавим 5 получим числа 8 и 9 и три раза вычтем из них по 1, получим цифры 5 и 6.
Таким образом у нас получилось пять чисел 5 и пять чисел 6, а так как чисел 5 и чисел 6 по нечетному количеству, то невозможно сделать так, чтобы все числа, записанные на доске оказались равными.