Задание 138

Докажите тождество:
1) −5x − 6(9 − 2x) = 7x − 54;
2) 1/3(12 − 0,6y) + 0,3y = 0,1y + 4;
3) 3(7 − a) − 7(1 − 3a) = 14 + 18a;
4) (6x − 8) − 5x − (4 − 9x) = 10x − 12;
5) 3(2,1m − n) − 0,9(7m + 2n) = −4,8n;
6) 2/3(−3/8 x + 6) − 1/6(24 − 1 1/2x) = 0.

Решение

1) −5x − 6(9 − 2x) = 7x − 54
−5x − 54 + 12x = 7x − 54
(12x − 5x) − 54 = 7x − 54
−54 + 7x = 7x − 54
7x − 54 = 7x − 54

2) $\frac13(12-0,6y)+0,3y=0,1y+4$
$\frac13(12-\frac35y)+0,3y=0,1y+4$
4 − 0,2y + 0,3y = 0,1y + 4
4 + (0,3y − 0,2y) = 0,1y + 4
4 + 0,1y = 0,1y + 4
0,1y + 4 = 0,1y + 4

3) 3(7 − a) − 7(1 − 3a) = 14 + 18a
21 − 3a − 7 + 21a = 14 + 18a
(21a − 3a) + (21 − 7) = 14 + 18a
14 + 18a = 14 + 18a

4) (6x − 8) − 5x − (4 − 9x) = 10x − 12
6x − 8 − 5x − 4 + 9x = 10x − 12
(6x − 5x + 9x) + (−8 − 4) = 10x − 12
10x − 12 = 10x − 12

5) 3(2,1m − n) − 0,9(7m + 2n) = −4,8n
6,3m − 3n − 6,3m − 1,8n = −4,8n
(6,3m − 6,3m) + (−3n − 1,8n) = −4,8n
0 − 4,8n = −4,8n
−4,8n = −4,8n

6) $\frac23(-\frac38x+6)-\frac16(24-1\frac12x)=0$
$-\frac28+4-4+\frac14x=0$
$-\frac14+4-4+\frac14x=0$
$(\frac14x-\frac14)+(4-4)=0$
0 = 0

Задание 139

Докажите тождество:
1) −0,2(4b − 9) + 1,4b = 0,6b + 1,8;
2) (5a − 3b) − (4 + 5a − 3b) = −4;
3) 5(0,4x − 0,3) + (0,8 − 0,6x) = 1,4x − 0,7;
4) 1/9(3y − 27) − 2(1/12y − 1,5) = 1/6y.

Решение

1) −0,2(4b − 9) + 1,4b = 0,6b + 1,8
−0,8b + 1,8 + 1,4b = 0,6b + 1,8
(1,4b − −0,8b) + 1,8 = 0,6b + 1,8
0,6b + 1,8 = 0,6b + 1,8

2) (5a − 3b) − (4 + 5a − 3b) = −4
5a − 3b − 4 − 5a + 3b = −4
(5a − 5a) + (3b − 3b) − 4 = −4
− 4 = −4

3) 5(0,4x − 0,3) + (0,8 − 0,6x) = 1,4x − 0,7
2x − 1,5 + 0,8 − 0,6x = 1,4x − 0,7
(2x − 0,6x) + (0,8 − 1,5) = 1,4x − 0,7
1,4x − 0,7 = 1,4x − 0,7

4) $\frac19(3y-27)-2(\frac1{12}y-1,5)=\frac16y$
$\frac13y-3-\frac16y+3=\frac16y$
$(\frac13y-\frac16y)+(3-3)=\frac16y$
$\frac26y-\frac16y=\frac16y$
$\frac16y=\frac16y$

Задание 140

Какие из данных равенств являются тождествами:
1) (2a − 3b)$^2$ = (3b − 2a)$^2$;
2) (a − b)$^3$ = (b − a)$^3$;
3) |a + 5| = a + 5;
4) |a − b| = |b − a|;
5) |a$^2$ + 4 | = a$^2$ + 4;
6) |a + b| = |a| + |b|;
7) |a − 1| = |a| − 1;
8) a$^2$ − b$^2$ = (a − b)$^2$?

Решение

1) (2a − 3b)$^2$ = (3b − 2a)$^2$, является тождеством, так как отрицательно число в квадрате будет положительным.

2) (a − b)$^3$ = (b − a)$^3$, не является тождеством, так как отрицательно число в кубе будет отрицательным.

3) |a + 5| = a + 5
a + 5 = a + 5, является тождеством.

4) |a − b| = |b − a|, является тождеством, так как модуль отрицательного числа, будет число положительное.

5) |a$^2$ + 4| = a$^2$ + 4
a$^2$ + 4 = a$^2$ + 4, является тождеством.

6) |a + b| = |a| + |b|, не является тождеством, так как при a < 0 или b < 0 равенство будет не верным.

7) |a − 1| = |a| − 1, не является тождеством, так как при a < 0 равенство будет не верным.

8) a$^2$ − b$^2$ = (a − b)$^2$, не является тождеством.

Задание 141

Запишите в виде равенства утверждение:
1) сумма противоположных чисел равна нулю;
2) произведение данного числа и числа 1 равно 1;
3) произведением данного числа и числа − 1 является число, противоположное данному;
4) модули противоположных чисел равны;
5) разность противоположных чисел равна нулю.
Какие из этих равенств являются тождествами?

Решение

1) a + (−a) = 0, является тождеством.

2) a * 1 = 1, не является тождеством, так при a ≠ 1 равенство будет не верным.

3) a * (−1) = −a, является тождеством.

4) |a| = |−a|, является тождеством.

5) a − (−a) = 0, не является тождеством , так как a + a ≠ 0.

Задание 142

Докажите тождество:
1) 4(2 − 3m) − (6 − m) − 2(3m + 4) = −17m − 6;
2) a + b − 10ab = 2a(3 − b) − 3b(a − 2) − 5(ab + a + b);
3) 6(5a − 3) + (10 − 20a) − (6a − 4) = 5a − (3a − (2a − 4)).

Решение

1) 4(2 − 3m) − (6 − m) − 2(3m + 4) = −17m − 6
8 − 12m − 6 + m − 6m − 8 = −17m − 6
(−12m + m − 6m) + (8 − 6 − 8) = −17m − 6
−17m − 6 = −17m − 6

2) a + b − 10ab = 2a(3 − b) − 3b(a − 2) − 5(ab + a + b)
a + b − 10ab = 6a − 2ab − 3ab + 6b − 5ab − 5a − 5b
a + b − 10ab = (6a − 5a) + (−2ab − 3ab − 5ab) + (6b − 5b)
a + b − 10ab = a − 10ab + b
a + b − 10ab = a + b − 10ab

3) 6(5a − 3) + (10 − 20a) − (6a − 4) = 5a − (3a − (2a − 4))
30a − 18 + 10 − 20a − 6a + 4 = 5a − (3a − 2a + 4)
30a − 18 + 10 − 20a − 6a + 4 = 5a − 3a + 2a − 4
(30a − 20a − 6a) + (−18 + 10 + 4) = (5a − 3a + 2a) − 4
4a − 4 = 4a − 4

Задание 143

Докажите тождество:
1) (3m − 7) * 0,6 − 0,8(4m − 5) − (−1,7 − 1,4m) = 1,5;
2) 7a(3b + 4c) − 3a(b + 1/3 c) = 9a(2b + 3c).

Решение

1) (3m − 7) * 0,6 − 0,8(4m − 5) − (−1,7 − 1,4m) = 1,5
1,8m − 4,2 − 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m = 1,5
(1,8m − 3,2m + 1,4m) + (−4,2 + 4 + 1,7) = 1,5
0 + 1,5 = 1,5
1,5 = 1,5

2) $7a(3b+4c)-3a(b+\frac13c)=9a(2b+3c)$
21ab + 28ac − 3ab − ac = 18ab + 27ac
(21ab − 3ab) + (28ac − ac) = 18ab + 27ac
18ab + 27ac = 18ab + 27ac

Задание 144

Докажите, что не является тождеством равенство:
1) (a + 3)$^2$ = a$^2$ + 9;
2) (b − 1)(b + 1) = (b − 1)b + 1;
3) (c + 1)$^3$ = c$^3$ + 1;
4) |m| − |n| = |n| − |m|.

Решение

1) Допустим a = 1, тогда:
(a + 3)$^2$ = a$^2$ + 9
(1 + 3)$^2$ = 1$^2$ + 9
4$^2$ = 1 + 9
16 ≠ 10, следовательно равенство не является тождеством.

2) Допустим b = 4, тогда:
(b − 1)(b + 1) = (b − 1)b + 1
(4 − 1)(4 + 1) = (4 − 1)4 + 1
3 * 5 = 3 * 4 + 1
15 ≠ 13, следовательно равенство не является тождеством.

3) Допустим c = 1, тогда:
(c + 1)$^3$ = c$^3$ + 1
(1 + 1)$^3$ = 1$^3$ + 1
2$^3$ = 1 + 1
8 ≠ 2, следовательно равенство не является тождеством.

4) Допустим m = 3, а n = 2 тогда:
|m| − |n| = |n| − |m|
|3| − |2| = |2| − |3|
3 − 2 = 2 − 3
1 ≠ −1, следовательно равенство не является тождеством.