Глава 2. Целые выражения
Ответы к параграфу 4. Тождественно равные выражения. Тождества

Задание 132

Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными:
1) ab + cd и cd + ab;
2) (a + 1) + b и a + (1 + b);
3) a * 4b и 4ab;
4) (x + 2)(x + 3) и (3 + x)(2 + x);
5) 7(a − 4) и 7a − 28?

Решение

1) ab + cd = cd + ab − переместительное свойство сложения.

2) (a + 1) + b = a + (1 + b) − сочетательное свойство сложения.

3) a * 4b = 4ab − сочетательное свойство умножения.

4) (x + 2)(x + 3) = (3 + x)(2 + x) − переместительные свойства сложения и умножения.

5) 7(a − 4) = 7a − 28 − распределительное свойство умножения.

Задание 133

Является ли тождеством равенство:
1) 2x − 12 = 2(x − 6);
2) a − b = −(b − a);
3) 3m + 9 = 3(m + 9);
4) (a + b) * 1 = a + b;
5) (a + b) * 0 = a + b;
6) (a − a)(b + b) = 0;
7) 3a − a = 3;
8) 4x + 3x = 7x;
9) a − (b + с) = a − b + с;
10) m + (n − k) = m + n − k;
11) 4a − (3a − 5) = a + 5;
12) (a − 5)(a + 3) = (5 − a)(3 + a).

Решение

1) 2x − 12 = 2(x − 6)
2x − 12 = 2x − 12, равенство является тождеством.

2) a − b = −(b − a)
a − b = −b + a
a − b = a − b, равенство является тождеством.

3) 3m + 9 = 3(m + 9)
3m + 9 = 3m + 9, равенство является тождеством.

4) (a + b) * 1 = a + b
a + b = a + b, равенство является тождеством.

5) (a + b) * 0 = a + b
0 ≠ a + b, равенство не является тождеством.

6) (a − a)(b + b) = 0
0 * 2b = 0
0 = 0, равенство является тождеством.

7) 3a − a = 3
3a ≠ 3 + a

8) 4x + 3x = 7x
7x = 7x, равенство является тождеством.

9) a − (b + с) = a − b + с
a − b − с ≠ a − b + с, равенство не является тождеством.

10) m + (n − k) = m + n − k
m + n − k = m + n − k, равенство является тождеством.

11) 4a − (3a − 5) = a + 5
4a − 3a + 5 = a + 5
a + 5 = a + 5, равенство является тождеством.

12) (a − 5)(a + 3) = (5 − a)(3 + a)
(a − 5)(a + 3) ≠ (5 − a)(a + 3), равенство не является тождеством.

Задание 134

Является ли тождественно равными выражения:
1) 8(a − b + c) и 8a − 8b + 8c;
2) −2(x − 4) и −2x − 8;
3) (5a − 4) − (2a − 7) и 3a − 11?

Решение

1) 8(a − b + c) = 8a − 8b + 8c
8a − 8b + 8c = 8a − 8b + 8c, выражение является тождественно равным.

2) −2(x − 4) = −2x − 8
−2x + 8 ≠ −2x − 8, выражение не является тождественно равным.

3) (5a − 4) − (2a − 7) = 3a − 11
5a − 4 − 2a + 7 = 3a − 11
3a + 3 ≠ 3a − 11, выражение не является тождественно равным.

Задание 135

Сравните значение выражений a$^2$ и |a| при a = −1; 0; 1. Можно ли утверждать, что равенство a$^2$ = |a| является тождеством?

Решение

при a = −1:
a$^2$ = (−1)$^2$ = 1;
|a| = |−1| = 1, следовательно a$^2$ = |a|.
при a = 0:
a$^2$ = 0$^2$ = 0;
|a| = |0| = 0, следовательно a$^2$ = |a|.
при a = 1:
a$^2$ = 1$^2$ = 1;
|a| = |1| = 1, следовательно a$^2$ = |a|.
Можно утверждать, что равенство a$^2$ = |a| является тождеством.

Задание 136

Какому из данных выражений тождественно равно выражение −3a + 8b − a − 11b:
1) −4a + 3b;
2) −3a + 3b;
3) −4a − 3b;
4) −3a − 3b.

Решение

1) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−4a − 3b ≠ −4a + 3b, не является тождественно равным выражением.

2) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−3a + 3b ≠ −4a − 3b, не является тождественно равным выражением.

3) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−4a − 3b = −4a − 3b, является тождественно равным выражением.

4) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−3a − 3b ≠ −4a − 3b, не является тождественно равным выражением.

Задание 137

Среди выражений
−10a + 7;
−10a − 7;
−14a + 7;
−14a − 7 найдите выражение, тождественно равное выражению −12a + (7 − 2a).

Решение

−12a + (7 − 2a) = −12a + 7 − 2a = −14a + 7
−12a + (7 − 2a) = −14a + 7, является тождественно равным выражением.