Глава 2. Целые выражения
Ответы к параграфу 4. Тождественно равные выражения. Тождества
Задание 132
Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными:
1) ab + cd и cd + ab;
2) (a + 1) + b и a + (1 + b);
3) a * 4b и 4ab;
4) (x + 2)(x + 3) и (3 + x)(2 + x);
5) 7(a − 4) и 7a − 28?
Решение
1) ab + cd = cd + ab − переместительное свойство сложения.
2) (a + 1) + b = a + (1 + b) − сочетательное свойство сложения.
3) a * 4b = 4ab − сочетательное свойство умножения.
4) (x + 2)(x + 3) = (3 + x)(2 + x) − переместительные свойства сложения и умножения.
5) 7(a − 4) = 7a − 28 − распределительное свойство умножения.
Задание 133
Является ли тождеством равенство:
1) 2x − 12 = 2(x − 6);
2) a − b = −(b − a);
3) 3m + 9 = 3(m + 9);
4) (a + b) * 1 = a + b;
5) (a + b) * 0 = a + b;
6) (a − a)(b + b) = 0;
7) 3a − a = 3;
8) 4x + 3x = 7x;
9) a − (b + с) = a − b + с;
10) m + (n − k) = m + n − k;
11) 4a − (3a − 5) = a + 5;
12) (a − 5)(a + 3) = (5 − a)(3 + a).
Решение
1) 2x − 12 = 2(x − 6)
2x − 12 = 2x − 12
является тождеством
2) a − b = −(b − a)
a − b = −b + a
a − b = a − b
является тождеством
3) 3m + 9 = 3(m + 9)
3m + 9 = 3m + 9
является тождеством
4) (a + b) * 1 = a + b
a + b = a + b
является тождеством
5) (a + b) * 0 = a + b
0 ≠ a + b
не является тождеством
6) (a − a)(b + b) = 0
0 * 2b = 0
0 = 0
является тождеством
7) 3a − a = 3
3a ≠ 3 + a
8) 4x + 3x = 7x
7x = 7x
является тождеством.
9) a − (b + с) = a − b + с
a − b − с ≠ a − b + с
не является тождеством
10) m + (n − k) = m + n − k
m + n − k = m + n − k
является тождеством
11) 4a − (3a − 5) = a + 5
4a − 3a + 5 = a + 5
a + 5 = a + 5
является тождеством
12) (a − 5)(a + 3) = (5 − a)(3 + a)
(a − 5)(a + 3) ≠ (5 − a)(a + 3)
не является тождеством
Задание 134
Является ли тождественно равными выражения:
1) 8(a − b + c) и 8a − 8b + 8c;
2) −2(x − 4) и −2x − 8;
3) (5a − 4) − (2a − 7) и 3a − 11?
Решение
1) 8(a − b + c) = 8a − 8b + 8c
8a − 8b + 8c = 8a − 8b + 8c
выражения тождественно равные
2) −2(x − 4) = −2x − 8
−2x + 8 ≠ −2x − 8
выражения не тождественно равные
3) (5a − 4) − (2a − 7) = 3a − 11
5a − 4 − 2a + 7 = 3a − 11
3a + 3 ≠ 3a − 11
выражения не тождественно равные
Задание 135
Сравните значение выражений a$^2$ и |a| при a = −1; 0; 1. Можно ли утверждать, что равенство a$^2$ = |a| является тождеством?
Решение
При a = −1
a$^2$ = (−1)$^2$ = 1;
|a| = |−1| = 1, следовательно a$^2$ = |a|.
При a = 0
a$^2$ = 0$^2$ = 0;
|a| = |0| = 0, следовательно a$^2$ = |a|.
При a = 1
a$^2$ = 1$^2$ = 1;
|a| = |1| = 1, следовательно a$^2$ = |a|.
Можно утверждать, что равенство a$^2$ = |a| является тождеством.
Задание 136
Какому из данных выражений тождественно равно выражение −3a + 8b − a − 11b:
1) −4a + 3b;
2) −3a + 3b;
3) −4a − 3b;
4) −3a − 3b.
Решение
1) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−4a − 3b ≠ −4a + 3b
не тождественно равно
2) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−3a + 3b ≠ −4a − 3b
не тождественно равно
3) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−4a − 3b = −4a − 3b
выражения тождественно равны
4) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−3a − 3b ≠ −4a − 3b
не тождественно равно
Задание 137
Среди выражений
−10a + 7;
−10a − 7;
−14a + 7;
−14a − 7 найдите выражение, тождественно равное выражению −12a + (7 − 2a).
Решение
−12a + (7 − 2a) = −12a + 7 − 2a = −14a + 7
−12a + (7 − 2a) = −14a + 7
Ответ: −14a + 7
