Задание 118

Рабочий планировал ежедневно изготавливать по 20 деталей, чтобы вовремя выполнить производственное задание. Но он изготавливал каждый день на 8 деталей больше, чем планировал, и уже за 2 дня до окончания срока работы он изготовил 8 деталей сверх плана. Сколько дней планировал рабочий выполнять задание?

Решение

Пусть рабочий планировал выполнить задание за x дней, тогда:
20x деталей он изготовил бы за x дней;
20 + 8 = 28 деталей в день изготавливал рабочий;
x − 2 дней изготавливал детали рабочий;
28(x − 2) = 28x − 56 деталей изготовил рабочий.
Так как рабочий изготовил на 8 деталей сверх плана, то:
28x − 56 − 20x = 8
28x − 20x = 8 + 56
8x = 64
x = 64 : 8
x = 8, то есть за 8 дней рабочий планировал выполнить задание.

Задание 119

Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 10 задач. Но он каждый день решал на 4 задачи больше, поэтому уже за 3 дня до экзамена ему осталось решить 2 задачи. Сколько всего задач планировал решить ученик?

Решение

Пусть ученик планировал решить все задачи за x дней, тогда:
10x задач он решил бы за x дней;
10 + 4 = 14 задач в день решал ученик;
x − 3 дня решал задачи ученик;
14(x − 3) = 14x − 42 задачи решил ученик.
Так как ученику за 3 дня до экзамена осталось решить 2 задачи, то:
10x − (14x − 42) = 2
10x − 14x + 42 = 2
10x − 14x = 2 − 42
−4x = −40
x = −40 : −4
x = 10 дней планировал ученик решать задачи;
10x = 10 * 10 = 100 задач планировал решить ученик.

Задание 120 (учебник 2019 года)

Может ли в компании из 7 человек каждый дружить ровно с:
1) четырьмя людьми;  2) пятью людьми?

Решение

1) Рисуем 7 точек и  соединяем их так, чтобы из каждой точки выходило по 4 отрезка.

Ответ да.

2) Предположим, что такая схема возможна. 7 * 5 = 35 (отрезков) должно получиться. Поскольку каждый отрезок (связь людей) учтен дважды, нужно 35 : 2, но полученное число не является целым. Получили противоречие. В компании из 7 человек каждый не может дружить ровно с пятью людьми.

Задание 120 (учебник 2018 года)

В двузначном числе количество десятков в 3 раза больше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет на 54 меньше данного. Найдите данное двузначное число.

Решение

Пусть x количество единиц в числе, тогда;
3 * 10x = 30x количество десятков в числе;
30x + x − данное число;
10x + 3x − число после перестановки разрядов.
Составим уравнение:
30x + x − (10x + 3x) = 54
30x + x − 10x − 3x = 54
18x = 54
x = 54 : 18
x = 3 − количество единиц в данном числе;
30x + x = 30 * 3 + 3 = 93 данное число.

Задание 121 (учебник 2019 года)

Девять шахматистов участвуют в турнире по круговой системе. Может ли так случиться, что в некоторый момент каждый сыграет по три партии?

Решение

9 * 3 = 27 (встреч) должно получиться.
Поскольку каждая встреча учтена дважды
27 : 2. Но это не целое число. Получили противоречие.
Ответ: не может.

Задание 121 (учебник 2018 года)

В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет в 1 3/4 раза больше данного. Найдите данное двузначное число.

Решение

Пусть x количество единиц в числе, тогда;
10(x − 2) = 10x − 20 количество десятков в числе;
10x − 20 + x = 11x − 20 данное число;
10x + (x − 2) = 10x + x − 2 = 11x − 2 − число после переставки разрядов.
Составим уравнение:
$\frac{11x-2}{11x-20}=1\frac34$
$11x-2=\frac74(11x-20)$
$11x-2=\frac{77}4x-35$
$11x-\frac{77}4x=2-35$
11x − 19,25x = 2 − 35
−8,25x = −33
x = −33 : −8,25
x = 4 количество единиц в данном числе;
11x − 20 = 11 * 4 − 20 = 44 − 20 = 24 данное двузначное число.

Задание 122

Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 2 ч после начала движения расстояние между ними составляло 30 км. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

Решение

Пусть x км/ч скорость первого автомобиля, тогда:
x + 10 км/ч скорость второго автомобиля;
2x км проехал за 2 ч первый автомобиль;
2(x + 10) = 2x + 20 км проехал за 2 ч второй автомобиль.
1 вариант: через 2 ч после начала движения автомобили не доехали друг до друга 30 км, тогда:
270 − 2x − (2x + 20) = 30
270 − 2x − 2x − 20 = 30
−2x − 2x = 30 − 270 + 20
−4x = −220
x = −220 : −4
x = 55 км/ч скорость первого автомобиля;
x + 10 = 55 + 10 = 65 км/ч скорость второго автомобиля.
2 вариант: через 2 ч после начала движения автомобили встретились и продолжив движение отдалились друг от друга на 30 км, тогда:
2x + 2x + 20 = 270 + 30
2x + 2x = 270 + 30 − 20
4x = 280
x = 280 : 4
x = 70 скорость первого автомобиля;
x + 10 = 70 + 10 = 80 км/ч скорость второго автомобиля.

Задание 123

Есть два сплава меди и цинка. Первый сплав содержит 9 %, а второй − 30 % цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащей 23 % цинка?

Решение

Состав сплава №1: цинк 9% + медь 91%;
Состав сплава №2: цинк 30% + медь 70%;
Состав сплава №3: цинк 23% + медь 77% = 300 кг, тогда в сплаве №3:
23% * 300 = 0,23 * 300 = 69 кг должно быть цинка;
77% * 300 = 0,7 * 300 = 231 кг должно быть меди.
Пусть x кг цинка содержится в сплаве №1, тогда:
69 − x кг цинка содержится в сплаве №2.
Составим уравнение:
$\frac{0,09x+0,3(69-x)}{69}=0,23$
0,09x + 0,3(69 − x) = 0,23 * 69
0,09x + 20,7 − 0,3x = 15,87
0,09x − 0,3x = 15,87 − 20,7
−0,21x = −4,83
x = −4,83 : −0,21
x = 23 кг цинка содержится в сплаве №1;
69 − x = 69 − 23 = 46 кг цинка содержится в сплаве №2.
Пусть y кг меди содержится в сплаве №1, тогда:
231 − y кг меди содержится в сплаве №2.
Составим уравнение:
$\frac{0,91y+0,7(231-y)}{231}=0,77$
0,91y + 0,7(231 − y) = 0,77 * 231
0,91y + 161,7 − 0,7y = 177,87
0,91y − 0,7y = 177,87 − 161,7
0,21y = 16,17
y = 16,17 : 0,21
y = 77 кг меди содержится в сплаве №1;
231 − y = 231 − 77 = 154 кг меди содержится в сплаве №2.
23 + 77 = 100 кг сплава №1 необходимо взять;
46 + 154 = 200 кг сплава №2 необходимо взять.

Задание 124 (учебник 2019 года)

В регионе есть 8 городов. Можно ли утверждать, что из любого города можно проехать в любой город этого региона, если из каждого города выходят:
1) не менее 3 дорог;   2) четыре дороги?

Решение

1) По схеме видно, что города А,Б,В,Г могут не иметь дороги к Д,Е,Ж,З.

Ответ: нет.
2) Если бы каждый город был связан только с 4-мя другими, и никак не связан с остальными, то в регионе должно быть как минимум 10 городов (2 отдельных пятиугольника  с диагоналями). Поскольку в нашем случае городов 8, то из любого города можно проехать в любой город этого региона. Схема:

Ответ: да.

Задание 124 (учебник 2018 года)

Есть два водно−солевых раствора. Первый раствор содержит 25 %, а второй − 40 % соли. Сколько килограммов каждого раствора надо взять, чтобы получить раствор массой 50 кг, содержащий 34 % соли?

Решение

Состав раствора №1: соль 25% + вода 75%;
Состав раствора №2: соль 40% + вода 60%;
Состав раствора №3: соль 34% + вода 66% = 50 кг, тогда в растворе №3:
34% * 50 = 0,34 * 50 = 17 кг должно быть соли;
66% * 50 = 0,66 * 50 = 33 кг должно быть воды.
Пусть x кг соли содержится в растворе №1, тогда:
17 − x кг соли содержится в растворе №2.
Составим уравнение:
$\frac{0,25x+0,4(17-x)}{17}=0,34$
0,25x + 6,8 − 0,4x = 0,34 * 17
0,25x − 0,4x = 5,78 − 6,8
−0,15x = −1,02
x = −1,02 : −0,15
x = 6,8 кг соли содержится в растворе №1;
17 − x = 17 − 6,8 = 10,2 кг соли содержится в растворе №2.
Пусть y кг воды содержится в растворе №1, тогда:
33 − y кг воды содержится в растворе №2.
Составим уравнение:
$\frac{0,75y+0,6(33-y)}{33}=0,66$
0,75y + 0,6(33 − y) = 0,66 * 33
0,75y + 19,8 − 0,6y = 21,78
0,75y − 0,6y = 21,78 − 19,8
0,15y = 1,98
y = 1,98 : 0,15
y = 13,2 кг воды содержится в растворе №1;
33 − y = 33 − 13,2 = 19,8 кг воды содержится в растворе №2.
6,8 + 13,2 = 20 кг раствора №1 необходимо взять;
10,2 + 19,8 = 30 кг раствора №2 необходимо взять.

Задание 125

Вычислите значение выражения:
1) −9,6 : 12 − 29 : (−5,8) + 4 : (−25);
2) −3,4 * (4 − 4,6) + 12,4 * (−0,8 − 2,2);
3) (0,4 − 3/20) ∗ 6 2/3 − 1,75 : (−7 7/8);
4) (6,3 : (−9/20) − 2,6 : (−1/20)) ∗ (−4/19) − 0,6 : (−0,36).

Решение

1) −9,6 : 12 − 29 : (−5,8) + 4 : (−25) = −0,8 + 5 − 0,16 = 4,04

2) −3,4 * (4 − 4,6) + 12,4 * (−0,8 − 2,2) = −3,4 * (−0,6) + 12,4 * (−3) = 2,04 − 37,2 = −35,16

3) $(0,4-\frac3{20})\ast6\frac23-1,75:(-7\frac78)=(\frac25-\frac3{20})\ast\frac{20}3-\frac74:(-\frac{63}8)=(\frac8{20}-\frac3{20})\ast\frac{20}3-\frac74\ast(-\frac8{63})=\frac14\ast\frac{20}3-\frac11\ast(-\frac29)=\frac11\ast\frac53+\frac29=\frac{15}9+\frac29=\frac{17}9=1\frac89$

4) $(6,3:(-\frac9{20})-2,6:(-\frac1{20}))\ast(-\frac4{19})-0,6:(-0,36)=(\frac{63}{10}:(-\frac9{20})-\frac{13}5:(-\frac1{20}))\ast(-\frac4{19})-\frac35:(-\frac9{25})=(\frac{63}{10}\ast(-\frac{20}9)-\frac{13}5\ast(-\frac{20}1))\ast(-\frac4{19})-\frac35\ast(-\frac{25}9)=(\frac71\ast(-\frac21)-\frac{13}1\ast(-\frac41))\ast(-\frac4{19})-\frac11\ast(-\frac53)=(-14+52)\ast(-\frac4{19})+1\frac23=38\ast(-\frac4{19})+1\frac23=2\ast(-\frac41)+1\frac23=-8+1\frac23=-6\frac13$

Задание 126

Найдите значение выражения:
1) 14 − 6x, если x = 4;−2;0;−0,3;3/8;
2) a$^2$ + 3, если a = 7;−2;0;0,4;−1 1/3;
3) (2m − 1)n, если m = 0,2, n = −0,6.

Решение

1) при x = 4: 14 − 6x = 14 − 6 * 4 = 14 − 24 = −10
при x = −2: 14 − 6x = 14 − 6 * −2 = 14 + 12 = 26
при x = 0: 14 − 6x = 14 − 6 * 0 = 14 − 0 = 14
при x = −0,3: 14 − 6x = 14 − 6 * −0,3 = 14 + 1,8 = 15,8
при $x=\frac38:14-6x=14-6\ast\frac38=14-\frac94=14-2\frac14=11\frac34$

2) при $a=7:a^2+3=7^2+3=49+3=52$
при $a=-2:a^2+3=(-2)^2+3=4+3=7$
при $a=0:a^2+3=0^2+3=0+3=3$
при $a=0,4:a^2+3=0,4^2+3=0,16+3=3,16$
при $a=-1\frac13:a^2+3=(-\frac43)^2+3=\frac{16}9+3=1\frac79+3=4\frac79$

3) при m = 0,2, n = −0,6: (2m − 1)n = (2 * 0,2 − 1) * −0,6 = (0,4 − 1) * −0,6 = −0,6 * −0,6 = 0,36