Задание 109

Расстояние между двумя городами по реке на 55 км меньше, чем по шоссе. Расстояние между городами теплоход проходит по реке за 6 ч, а автобус по шоссе − за 3 ч 30 мин. Найдите скорости автобуса и теплохода, если скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости автобуса.

Решение

Пусть x км/ч скорость теплохода, тогда:
x + 30 км/ч скорость автобуса;
3,5(x + 30) = 3,5x + 105 км проехал автобус;
6x км прошел теплоход.
Составим уравнение:
3,5x + 105 − 6x = 55
−2,5x = 55 − 105
−2,5x = −50
x = −50 : −2,5
x = 20 км/ч скорость теплохода;
x + 30 = 20 + 30 = 50 км/ч скорость автобуса.

Задание 110

Теплоход прошел 4 ч по течению реки и 3 ч против течения. Путь, пройденный теплоходом по течению, на 48 км больше пути против течения. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна 2,5 км/ч.

Решение

Пусть x км/ч скорость теплохода в стоячей воде, тогда:
x + 2,5 км/ч скорость теплохода по течению;
x − 2,5 км/ч скорость теплохода против течения;
4(x + 2,5) = 4x + 10 км прошел теплоход по течению;
3(x − 2,5) = 3x − 7,5 км прошел теплоход против течения.
Составим уравнение:
4x + 10 − (3x − 7,5) = 48
4x + 10 − 3x + 7,5 = 48
4x − 3x = 48 − 10 − 7,5
x = 30,5 км/ч скорость теплохода в стоячей воде.

Задание 111

Турист плыл 5 ч на плоту по течению реки и 1,5 ч на моторной лодке против течения. Скорость лодки в стоячей воде равна 24 км/ч. Найдите скорость течения, если против течения турист проплыл на 23 км больше, чем по течению.

Решение

Пусть x км/ч скорость течения реки, тогда:
24 − x км/ч скорость лодки против течения;
5x км турист проплыл на плоту;
1,5(24 − x) = 36 − 1,5x км турист проплыл на лодке;
Составим уравнение:
36 − 1,5x − 5x = 23
−6,5x = 23 − 36
−6,5x = −13
x = −13 : −6,5
x = 2 км/ч скорость течения реки.

Задание 112

В двух ящиках было 55 кг печенья. Когда из первого ящика переложили во второй 1/3 массы содержащегося в нем печенья, то в первом ящике осталось на 5 кг больше печенья, чем стало во втором. Сколько килограммов печенья было в каждом ящике сначала?

Решение

Пусть x кг печенья было в первом ящике, тогда:
55 − x кг печенья было во втором ящике;
$x-\frac13x=\frac23x$ кг печенья осталось в первом ящике;
$55-x+\frac13x=55-\frac23x$ кг печенья осталось во втором ящике.
Составим уравнение:
$\frac23x-(55-\frac23x)=5$
$\frac23x-55+\frac23x=5$
$\frac23x+\frac23x=5+55$
$\frac43x=60$
$x=60:\frac43=60\ast\frac34=15\ast3=45$ кг печенья было в первом ящике;
55 − x = 55 − 45 = 10 кг печенья было во втором ящике.

Задание 113

В двух корзинах было 24 кг груш. Когда из первой корзины переложили во вторую 3/7 массы содержащихся в ней груш, то масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш, оставшихся в первой корзине. Сколько килограммов груш было в каждой корзине сначала?

Решение

Пусть x кг груш было в первой корзине, тогда:
24 − x кг груш было во второй корзине;
$x-\frac37x=\frac47x$ кг груш осталось в первой корзине;
$24-x+\frac37x=24-\frac47x$ кг груш осталось во второй корзине.
Составим уравнение:
$\frac{24-\frac47x}{\frac47x}=2$
$2\ast\frac47x=24-\frac47x$
$\frac87x=24-\frac47x$
$\frac87x+\frac47x=24$
$\frac{12}7x=24$
$x=24:\frac{12}7$
$x=24\ast\frac7{12}$
x = 2 * 7
x = 14 кг груш было в первой корзине;
24 − x = 24 − 14 = 10 кг груш было во второй корзине.

Задание 114

На трех полках стояли книги. На первой полке стояло 4/15 всех книг, на второй − 60% всех книг, а на третьей − на 8 книг меньше, чем на первой. Сколько всего книг стояло на трех полках?

Решение

Пусть x книг стояло на трех полках, тогда:
$\frac4{15}x$ книг стояло на первой полке;
60% * x = 0,6x книг стояло на второй полке;
$\frac4{15}x-8$ книг стояло на третьей полке.
Составим уравнение:
$\frac4{15}x+0,6x+\frac4{15}x-8=x$
$\frac4{15}x+0,6x+\frac4{15}x-x=8$
$\frac4{15}x+\frac9{15}x+\frac4{15}x-x=8$
$\frac{17}{15}x-x=8$
$\frac2{15}x=8$
$x=8:\frac2{15}$
$x=8\ast\frac{15}2$
x = 4 * 15
x = 60 книг всего стояло на трех полках.

Задание 115

В четыре бидона разлили молоко. В первый бидон налили 30% всего молока, во второй − 5/6 того, что в первый, в третий − на 26 л меньше, чем в первый, а в четвертый − на 10 л больше, чем во второй. Сколько литров молока разлили в четыре бидона?

Решение

Пусть x литров молока разлили в 4 бидона, тогда:
30% * x = 0,3x литров молока налили в первый бидон;
$\frac56\ast0,3x=\frac56\ast\frac3{10}x=\frac12\ast\frac12x=\frac14x$ литров молока налили во второй бидон;
0,3x − 26 литров молока налили в третий бидон;
$\frac14x+10$ литров молока налили в четвертый бидон.
Составим уравнение:
$0,3x+\frac14x+(0,3x-26)+(\frac14x+10)=x$
$\frac3{10}x+\frac14x+\frac3{10}x-26+\frac14x+10=x$
$\frac3{10}x+\frac14x+\frac3{10}x+\frac14x-x=26-10$
$\frac{6+5+6+5-20}{20}x=16$
$\frac2{20}x=16$
$x=16:\frac1{10}$
x = 16 * 10
x = 160 литров молока разлили в 4 бидона.

Задание 116

На базу проехали туристы. При расселении их в палатки оказалось, что если в каждую палатку поселить 6 туристов, то 5 туристам места не хватит, а если расселить по 7 туристов, то 6 мест останутся свободными. Сколько туристов приехало на базу?

Решение

Пусть было x палаток, тогда:
6x + 5 туристов при первом варианте размещения;
7x − 6 туристов при втором варианте размещения.
Так как и при том и при другом варианте размещение количество туристов одинаковое, то:
6x + 5 = 7x − 6
6x − 7x = −6 − 5
−x = −11
x = 11 палаток было, тогда:
6x + 5 = 6 * 11 + 5 = 66 + 5 = 71 турист приехал на базу.

Задание 117

При подготовке новогодних подарков для учащихся 7 класса оказалось, что если в каждый подарок положить по 4 апельсина, то не хватит 3 апельсинов, а если положить по 3 апельсина, то останутся лишними 25 апельсинов. Сколько имелось апельсинов для подготовки подарков?

Решение

Пусть было x подарков, тогда:
4x − 3 апельсинов при первом варианте раскладки;
3x + 25 апельсинов при втором варианте раскладки.
Так как и при том и при другом варианте раскладки количество апельсинов одинаковое, то:
4x − 3 = 3x + 25
4x − 3x = 25 + 3
x = 28 подарков было, тогда:
4x − 3 = 4 * 28 − 3 = 112 − 3 = 109 апельсинов имелось для подготовки подарков.