Задание 310
Упростите выражение:
а) a(b + 3) + b(a + 3) − 3(a + b);
б) 2(x − y) + 6(y − x) − (4x − 4y);
в) a(b + c) − b(a + c) − c(a + b);
г) m(n − l) + n(l − m) + l(m − n).
Решение
а) a(b + 3) + b(a + 3) − 3(a + b) = ab + 3a + ab + 3b − 3a − 3b = 2ab
б) 2(x − y) + 6(y − x) − (4x − 4y) = 2x − 2y + 6y − 6x − 4x + 4y = −8x + 8y
в) a(b + c) − b(a + c) − c(a + b) = ab + ac − ab − bc − ac − bc = −2bc
г) m(n − l) + n(l − m) + l(m − n) = mn − ml + nl − mn + ml − nl = 0
Задание 311
Расставьте скобки так, чтобы путем преобразования левой части равенства можно было получить правую часть:
а) 2k − a − k − a = k;
б) 2k − a − k − a = k − a;
в) ab + 1 − ab + 1 = 0;
г) ab + 1 − ab + 1 = b + 1.
Решение
а) 2k − a − (k − a) = 2k − a − k + a = k
б) 2(k − a) − (k − a) = 2k − 2a − k + a = k − a
в) ab + 1 − (ab + 1) = ab + 1 − ab − 1 = 0
г) ab + (1 − a)b + 1 = ab + b − ab + 1 = b + 1
Задание 312
Раскройте скобки:
а) 4y − (3y − (2y + 1));
б) a − (2x − (2a − x));
в) 3m − (3m + (3m − (m + 3)));
г) b − (2c − (3b + (4c − 5b))).
Решение
а) 4y − (3y − (2y + 1)) = 4y − (3y − 2y − 1)) = 4y − (y − 1) = 4y − y + 1 = 3y + 1
б) a − (2x − (2a − x)) = a − (2x − 2a + x) = a − (3x − 2a) = a − 3x + 2a = 3a − 3x
в) 3m − (3m + (3m − (m + 3))) = 3m − (3m + (3m − m − 3)) = 3m − (3m + (2m − 3)) = 3m − (3m + 2m − 3) = 3m − (5m − 3) = 3m − 5m + 3 = −2m + 3
г) b − (2c − (3b + (4c − 5b))) = b − (2c − (3b + 4c − 5b)) = b − (2c − (4c − 2b)) = b − (2c − 4c + 2b) = b − (−2c + 2b) = b + 2c − 2b = 2c − b
Задание 313
В январе за коммунальные услуги заплатили n р., в феврале тарифы повысились на 10%, а в марте − еще на 20%. Сколько заплатили за коммунальные услуги за эти три месяца?
Решение
n (р.) − заплатили в январе;
1,1n (р.) − заплатили в феврале;
1,1n + 1,1n * 0,2 = 1,1n + 0,22n = 1,32n (р.) − заплатили в марте;
n + 1,1n + 1,32n = 3,42n (р.) − заплатили за три месяца.
Ответ: 3,42n рублей.
Задание 314
В центре городского района планировали разбить сквер прямоугольной формы размером a × b м. В процессе работ одну сторону увеличили на 50%, а другую уменьшили на 20%. Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько процентов?
Решение
a * b = ab ($м^2$) − первоначальная площадь сквера;
1,5a (м) − стала одна из сторон сквера;
0,8b (м) − стала вторая сторона сквера;
1,5a * 0,8b = 1,2ab ($м^2$)
− стала площадь сквера;
1,2ab : (ab) * 100% − 100% = 120% − 100% = 20% − увеличилась площадь сквера.
Ответ: площадь увеличилась на 20%.
Задание 315
Автомобиль находился в пути 5 ч. Из этого времени t ч он ехал по проселочной дороге, остальное время − по шоссе. Какой путь проехал автомобиль, если по шоссе он ехал со скоростью a км/ч, а по проселку со скоростью, на 40 км/ч меньшей?
Решение
5 − t (ч) − ехал велосипедист по шоссе;
a(5 − t) (км) − проехал автомобиль по шоссе;
a − 40 (км/ч) − скорость автомобиля по проселочной дороге;
(a − 40)t (км) − проехал автомобиль по проселочной дороге, тогда:
a(5 − t) + (a − 40)t = 5a − at + at − 40t = 5a − 40t (км) − проехал автомобиль всего.
Ответ: 5a − 40t км.
Задание 316
Лодка плыла некоторое время по течению реки и столько же времени против течения. Докажите, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.
Решение
Пусть x (км/ч) − собственная скорость лодки, y (км/ч) − скорость течения реки, тогда:
(x + y) (км/ч) − скорость лодки по течению;
(x − y) (км/ч) − скорость лодки против течения;
t − время движения лодки.
t(x + y) + t(x − y) = tx + tx
tx + ty + tx − ty = 2tx
2tx = 2tx − утверждение доказано.
