Глава 5. Окружность
Ответы к параграфу 5.1 Окружность и прямая

Задание № 408

Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см, а радиус окружности равен:
а) 3 см;
б) 4 см;
в) 6 см?
Подсказка. Сделайте схематический рисунок.

Решение

а) Прямая и окружность не имеют общих точек.

б) Прямая и окружность касаются друг друга.

в) Прямая и окружность пересекаются.

Задание № 409

Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку A. Постройте касательную к окружности в точке A.

Решение

Задание № 410

К окружности, радиус которой равен 6 см, проведены две параллельные касательные (рис. 5.3). Чему равно расстояние между ними?

Решение

6 + 6 = 12 (см) − расстояние между касательными.
Ответ: 12 см.

Задание № 411

Начертите две параллельные прямые. Постройте какую−нибудь окружность, для которой эти прямые являются касательными. Сколько таких окружностей можно построить? Где лежат их центры?

Решение


Окружностей можно построить множество. Центры этих окружностей лежат на прямой, параллельной данным и равноудаленной от них.

Задание № 412

Прямая k и окружность пересекается в точках A и B. Прямая k перемещается к центру окружности параллельно самой себе. В какой момент длина отрезка AB будет наибольшей? Сделайте соответствующий рисунок.

Решение


Длина отрезка AB будет наибольшей, когда прямая k проходит через центр окружности. В этом случае отрезок AB будет являться диаметром окружности.

Задание № 413

Проведите прямую и постройте какую−нибудь окружность радиусом 3 см, для которой эта прямая являются касательной. Сколько таких окружностей можно построить? Где расположены их центры?

Решение


Можно построить бесконечное множество таких окружностей. Их центры будут лежать по обе стороны от данной прямой на прямых, параллельных данной, на расстоянии, равному радиусу окружности 3 см.

Задание № 414

Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку M. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точке M. Где лежат центры всех таких окружностей?

Решение


Центры окружностей лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой.

Задание № 415

Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность, касающуюся всех сторон квадрата.

Решение

Задание № 416

Представьте данное число в виде произведения двух десятичных дробей (укажите два решения):
а) 0,12;
б) 0,064;
в) 0,0002;
г) 0,3.

Решение

а) 0,12 = 0,3 * 0,4 = 0,2 * 0,6

б) 0,064 = 0,4 * 0,16 = 0,8 * 0,08

в) 0,0002 = 0,1 * 0,002 = 0,001 * 0,2

г) 0,3 = 0,2 * 1,5 = 0,6 * 0,5

Задание № 417

Найдите значение каждого из выражений:
1) 25 − 3,6 * 1,5 + 2,5;
2) (25 − 3,6) * (1,5 + 2,5);
3) 25 − 3,6 * (1,5 + 2,5).

Решение

Задание № 418

1) В полиэтиленовый пакет, выдерживающий 5 кг, положили 1,8 кг огурцов, а яблок в 1,5 раза больше. Не порвется ли пакет?
2) Представьте, что вы хотите помочь бабушке подготовить материал для изготовления шерстяного ковра из ниток разного цвета. Чтобы получить нужный узор, 1/10 всех ниток должна быть красного цвета, 2/5 − синего, 3/20 − коричневого, остальные − белого. У бабушки имеется 700 г ниток белого цвета. Рассчитайте, сколько граммов ниток каждого цвета надо взять для выполнения работы.

Решение

1) 1) 1,8 * 1,5 = 2,7 (кг) − яблок положили;
2) 1,8 + 2,7 = 4,5 (кг) − всего положили в пакет;
3) 4,5 < 5 − значит пакет не порвется.
Ответ: нет, не порвется.

2) 1) $1-\frac1{10}-\frac25-\frac3{20}=1-\frac{2+8+3}{20}=1-\frac{13}{20}=\frac7{20}$ (всех ниток) − должны быть белого цвета;
2) $700:\frac7{20}=700\ast\frac{20}7=100\ast20=2000$ (г) − ниток должно быть всего;
3) $2000\ast\frac1{10}=200$ (г) − ниток красного цвета;
4) $2000\ast\frac25=400\ast2=800$ (г) − ниток синего цвета;
5) $2000\ast\frac3{20}=100\ast3=300$ (г) − ниток коричневого цвета.
Ответ: 200 г − красного цвета; 800 г − синего цвета; 300 г − коричневого цвета;700 г − белого цвета.