Ответы к учебнику 2019-2021 года
Упражнения
Решение уравнений
Задание 464
Есть ли среди чисел 3, 4 и 5 корень уравнения:
а) 2x − 1 = 9;
б) 10 − 3x = 1;
в) 4x = 8;
г) 36 : x = 12?
Решение
а)
2x − 1 = 9
2x = 9 + 1
2x = 10
x = 10 : 2
x = 5
Проверка:
2 * 5 − 1 = 9
10 − 1 = 9
9 = 9
б)
10 − 3x = 1
3x = 10 − 1
3x = 9
x = 9 : 3
x = 3
Проверка:
10 − 3 * 3 = 1
10 − 9 = 1
1 = 1
в)
4x = 8
x = 8 : 4
x = 2
Проверка:
4x = 8
x = 8 : 4
x = 2
г)
36 : x = 12
x = 36 : 12
x = 3
Проверка:
36 : 3 = 12
12 = 12
Ответ:
корень 3 в уравнениях б и г;
корня 4 нет в уравнениях;
корень 5 в уравнении а.
Задание 465
Решите уравнение и с помощью подстановки проверьте, правильно ли найден корень:
а) x + 9 = 27;
б) x − 7 = 14;
в) 60 − c = 18;
г) 2x = 76;
д) 4x = 32;
е) 5x = 30;
ж) 3x − 1 = 14;
з) 6 + 12x = 18;
и) 21 − 5x = 6.
Решение
а) x + 9 = 27
x = 27 − 9
x = 18
Проверка:
18 + 9 = 27
27 = 27
б) x − 7 = 14
x = 14 + 7
x = 21
Проверка:
21 − 7 = 14
14 = 14
в) 60 − c = 18
c = 60 − 18
c = 42
Проверка:
60 − 42 = 18
18 = 18
г) 2x = 76
x = 76 : 2
x = 38
Проверка:
2 * 38 = 76
76 = 76
д) 4x = 32
x = 32 : 4
x = 8
Проверка:
4 * 8 = 32
32 = 32
е) 5x = 30
x = 30 : 5
x = 6
Проверка:
5 * 6 = 30
30 = 30
ж) 3x − 1 = 14
3x = 14 + 1
3x = 15
x = 15 : 3
x = 5
Проверка:
3 * 5 − 1 = 14
15 − 1 = 14
14 = 14
з) 6 + 12x = 18
12x = 18 − 6
12x = 12
x = 12 : 12
x = 1
Проверка:
6 + 12 * 1 = 18
6 + 12 = 18
18 = 18
и) 21 − 5x = 6
5x = 21 − 6
5x = 15
x = 15 : 5
x = 3
Проверка:
21 − 5 * 3 = 6
21 − 15 = 6
6 = 6
Задание 466
Решите уравнение и сделайте проверку:
а) $\frac{1}{2}x = 5$;
б) $\frac{1}{5}y = 4$;
в) 2y = 0,6;
г) 0,1x = 3;
д) 6x = 1;
е) 0,7y = 0.
Решение
а) $\frac{1}{2}x = 5$
$x = 5 : \frac{1}{2}$
x = 5 * 2
x = 10
Проверка:
$\frac{1}{2} * 10 = 5$
5 = 5
б) $\frac{1}{5}y = 4$
$y = 4 : \frac{1}{5}$
y = 4 * 5
y = 20
Проверка:
$\frac{1}{5} * 20 = 4$
4 = 4
в) 2y = 0,6
y = 0,6 : 2
y = 0,3
Проверка:
2 * 0,3 = 0,6
0,6 = 0,6
г) 0,1x = 3
x = 3 : 0,1
x = 30
Проверка:
0,1 * 30 = 3
3 = 3
д) 6x = 1
$x = \frac{1}{6}$
Проверка:
$6 * \frac{1}{6} = 1$
1 = 1
е) 0,7y = 0
y = 0 : 0,7
y = 0
Проверка:
0,7 * 0 = 0
0 = 0
Задание 467
Решите уравнение:
а) (x + 2) + x = 9;
б) x + (7 + x) = 11;
в) x + 2x − 5 = 40;
г) x + (x + 4) + x = 16;
д) (x + 5) + (x + 6) = 21;
е) 2(x − 8) = 20.
Решение
а) (x + 2) + x = 9
2x + 2 = 9
2x = 9 − 2
2x = 7
x = 7 : 2
x = 3,5
б) x + (7 + x) = 11
2x + 7 = 11
2x = 11 − 7
2x = 4
x = 4 : 2
x = 2
в) x + 2x − 5 = 40
3x = 40 + 5
3x = 45
x = 45 : 3
x = 15
г) x + (x + 4) + x = 16
3x + 4 = 16
3x = 16 − 4
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
д) (x + 5) + (x + 6) = 21
2x + 11 = 21
2x = 21 − 11
2x = 10
x = 10 : 2
x = 5
е) 2(x − 8) = 20
2x − 16 = 20
2x = 20 + 16
2x = 36
x = 36 : 2
x = 18
Задание 468
Найдите корень уравнения подбором:
а) 2x = x;
б) 2x = x + 1;
в) x + 2 = 2x;
г) 3x = 6x.
Решение
а) 2x = x
при x = 0:
2 * 0 = 0
0 = 0 − верно, значит:
x = 0
б) 2x = x + 1
при x = 0:
2 * 0 = 0 + 1
0 = 1 − неверно
при x = 1:
2 * 1 = 1 + 1
2 = 2 − верно, значит:
x = 1
в) x + 2 = 2x
при x = 0:
0 + 2 = 2 * 0
2 = 0 − неверно
при x = 1:
1 + 2 = 2 * 1
3 = 2 − неверно
при x = 2:
2 + 2 = 2 * 2
4 = 4 − верно, значит:
x = 2
г) 3x = 6x
при x = 0:
3 * 0 = 6 * 0
0 = 0 − верно, значит:
x = 0
Задание 469
Объясните, почему данное уравнение не имеет корней:
а) x = x + 2;
б) x + 3 = x + 6.
Решение
а) x = x + 2
x − x = 2
0 = 2 − неверно, значит уравнение не имеет корней
б) x + 3 = x + 6
x − x = 6 − 3
0 = 3 − неверно, значит уравнение не имеет корней
Решение задач с помощью уравнений
Задание 470
Найдите задуманное число. Для этого запишите условие задачи с помощью уравнения и решите его.
а) Андрей задумал число, вычел из него 10 и получил 15,6.
б) Таня задумала число, прибавила к нему 1,7 и получила 20,7.
в) Николай задумал число, умножил его на 2,5 и получил 10.
г) Олег задумал число, нашел $\frac{1}{4}$ этого числа и получил 5.
Решение
а) Пусть x − задуманное число.
Составим уравнение:
x − 10 = 15,6
x = 15,6 + 10
x = 25,6
Ответ: 25,6 − задуманное число
б) Пусть x − задуманное число.
Составим уравнение:
x + 1,7 = 20,7
x = 20,7 − 1,7
x = 19
Ответ: 19 − задуманное число
в) Пусть x − задуманное число.
Составим уравнение:
2,5x = 10
x = 10 : 2,5
x = 100 : 25
x = 4
Ответ: 4 − задуманное число
г) Пусть x − задуманное число.
Составим уравнение:
$\frac{1}{4}x = 5$
$x = 5 : \frac{1}{4}$
x = 5 * 4
x = 20
Ответ: 20 − задуманное число
Задание 471
а) К концу года цена журнала увеличилась в 2 раза, а через полгода она поднялась еще на 6 р., и после этого журнал стал стоить 30 р. Какова была первоначальная цена журнала?
б) К имеющимся конфетам добавили 19 конфет и все конфеты разделили поровну между 8 детьми. Каждый получил по 7 конфет. Сколько конфет было сначала?
Решение
а) Пусть x р. − первоначальная цена журнала, тогда 2x р. составила цена журнала к концу года;
(2x + 6) р. − составила цена журнала еще через полгода, а через полгода журнал стал стоить 30 рублей.
Составим уравнение:
2x + 6 = 30
2x = 30 − 6
2x = 24
x = 24 : 2
x = 12
Значит, 12 рублей − первоначальная цена журнала.
Ответ: 12 рублей.
б) Пусть x конфет − было сначала, тогда (x + 19) конфет − всего стало;
$\frac{x + 19}{8}$ (конфет) − получил каждый из детей, а каждый из детей получил по 7 конфет.
Составим уравнение:
$\frac{x + 19}{8} = 7$
x + 19 = 7 * 8
x + 19 = 56
x = 56 − 19
x = 37
Значит 37 конфет было сначала.
Ответ: 37 конфет.
Ответы к учебнику до 2019 года
Подведем итоги
Задание 1
1) Какие знаки, используемые в математическом языке, вам известны?
2) Запишите каждое из выражений
5 * a,
2 * x * y,
10 − (a * c),
3 + a : b
с соблюдением правил записи буквенных выражений.
Решение
1) знак сложения: плюс "+";
знак вычитания: минус "−";
знак умножения: "•";
знак деления: ":";
знак равенства: "=";
знак неравенства: "≠";
знак больше: ">";
знак меньше: "
2) 5 * a = 5a;
2 * x * y = 2xy;
10 − (a * c) = 10 − ac;
$3 + a : b = 3 + \frac{a}{b}$.
Задание 2
1) Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство единицы при умножении.
2) Запишите на математическом языке разными способами предложение: "Число a на 10 больше числа b".
Решение
1) a + 0 = a
a * 1 = a
2) a − b = 10
a = b + 10
a − 10 = b
Задание 3
Найдите значение буквенного выражения:
а) 10a + 2,5 при a = 0,3;
б) $\frac{1}{3}ab$ при a = 0,5, b = 0,6;
в) $2x^2 - 10$ при x = 2,5.
Решение
а) 10a + 2,5 при a = 0,3:
10 * 0,3 + 2,5 = 3 + 2,5 = 5,5
б) $\frac{1}{3}ab$ при a = 0,5, b = 0,6:
$\frac{1}{3} * 0,5 * 0,6 = \frac{1}{3} * \frac{1}{2} * \frac{3}{5} = \frac{1}{1} * \frac{1}{2} * \frac{1}{5} = \frac{1}{10} = 0,1$
в) $2x^2 - 10$ при x = 2,5:
$2 * 2,5^2 - 10 = 2 * 6,25 - 10 = 12,5 - 10 = 2,5$
Задание 4
1) Составьте выражение для ответа на вопрос задачи: "Одноклассники подарили Маше на день рождения a гвоздик. Она подарила b гвоздик маме и c гвоздик бабушке. Сколько гвоздик у нее осталось?"
2) Подберите какие−нибудь допустимые значения букв a, b и c в этой задаче и вычислите результат.
Решение
1) 1) b + c (гвоздик) − всего подарила Маша;
2) a − (b + c) (гвоздик) − осталось у Маши.
Ответ: a − (b + c).
2) Задача:
Одноклассники подарили Маше на день рождения 20 гвоздик. Она подарила 5 гвоздик маме и 7 гвоздик бабушке. Сколько гвоздик у нее осталось?
Решение:
20 − (5 + 7) = 20 − 12 = 8 (гвоздик) − осталось у Маши.
Ответ: 8 гвоздик.
Задание 5
1) Запишите формулу периметра прямоугольника (длины сторон обозначьте буквами a и b).
2) Запишите формулу площади прямоугольника.
3) Вычислите периметр и площадь прямоугольника, если a = 15 см, b = 100 см.
Решение
1) P = 2(a + b), где:
P − периметр,
a и b − стороны прямоугольника.
2) S = ab, где:
S − площадь,
a и b − стороны прямоугольника.
3) Если a = 15 см, b = 100 см, то:
P = 2(a + b) = 2 * (15 + 100) = 2 * 115 = 230 (см);
S = ab = 15 * 100 = 1500 $(см^2)$ − площадь прямоугольника.
Ответ: 100 см; 1500 $см^2$.
Задание 6
Запишите формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке 7.19.
Решение
1) $a^2$ − площадь квадрата со стороной a;
2) xy − площадь прямоугольника со сторонами xy;
3) $a^2 + xy$ − площадь фигуры.
Ответ: $S = a^2 + xy$
Задание 7
1) Запишите формулы длины окружности и площади круга.
2) Что вы знаете о числе π?
3) Найдите длину окружности, радиус которой равен 10 см.
Решение
1) C = 2πr, где:
C − длина окружности,
r − радиус.
$S = πr^2$, где:
S − площадь окружности,
r − радиус.
2) Число π − это число, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру. Число π − величина постоянная, не зависящая от размеров окружности. Число π ≈ 3,1415926535.
3) C = 2πr ≈ 2 * 3,14 * 10 = 2 * 31,4 = 62,8 (см)
Задание 8
Составьте уравнение по условию задачи: "Коля задумал число, прибавил к нему 7, результат умножил на 2 и из полученного произведения вычел 10. В результате получил 20. Какое число задумал Коля?"
Решение
Пусть x − задуманное число, тогда:
(x + 7) * 2 − 10 = 20
(x + 7) * 2 = 20 + 10
(x + 7) * 2 = 30
x + 7 = 30 : 2
x + 7 = 15
x = 15 − 7
x = 8 − задуманное число.
Ответ: 8.
Задание 9
1) Что называется корнем уравнения?
2) Проверьте, является ли корнем уравнения 10 − 6x = 5 число 0,5.
Решение
1) Корень уравнения − это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
2) 10 − 6x = 5
если x = 0,5:
10 − 6 * 0,5 = 5
10 − 3 = 5
7 = 5 − неверно, значит число 0,5 не является корнем данного уравнения.
Задание 10
Решите уравнение (x + 1) + x = 7, объясняя каждый шаг решения.
Решение
(x + 1) + x = 7
раскроем скобки:
x + 1 + x = 7
2x + 1 = 7
чтобы найти неизвестное слагаемое (2x), вычтем из суммы известное слагаемое:
2x = 7 − 1
2x = 6
чтобы найти неизвестный множитель (x), разделим произведение на известный множитель:
x = 6 : 2
x = 3
