Задание 8. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
а) $\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{4}$;
б) $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{5}$;
в) $\frac{3}{16}$ и $\frac{3}{2}$;
г) $\frac{3}{20}$ и $\frac{7}{10}$;
д) $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$;
е) $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{8}$.
Решение
а) $\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{4}$ − приведем к знаменателю 20:
$\frac{3}{5} = \frac{3 * 4}{5 * 4} = \frac{12}{20}$;
$\frac{1}{4} = \frac{1 * 5}{4 * 5} = \frac{5}{20}$.
б) $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{5}$ − приведем к знаменателю 35:
$\frac{3}{7} = \frac{3 * 5}{7 * 5} = \frac{15}{35}$;
$\frac{2}{5} = \frac{2 * 7}{5 * 7} = \frac{14}{35}$.
в) $\frac{3}{16}$ и $\frac{3}{2}$ − приведем к знаменателю 16:
$\frac{3}{2} = \frac{3 * 8}{2 * 8} = \frac{24}{16}$.
г) $\frac{3}{20}$ и $\frac{7}{10}$ − приведем к знаменателю 20:
$\frac{7 * 2}{10 * 2} = \frac{14}{20}$.
д) $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ − приведем к знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 * 3}{4 * 3} = \frac{9}{12}$;
$\frac{5}{6} = \frac{5 * 2}{6 * 2} = \frac{10}{12}$.
е) $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{8}$ − приведем к знаменателю 24:
$\frac{7}{12} = \frac{7 * 2}{12 * 2} = \frac{14}{24}$;
$\frac{5}{8} = \frac{5 * 3}{8 * 3} = \frac{15}{24}$.
Сравнение дробей
Задание 9. Сравните дроби и запишите результат с помощью знаков >,
Решение
а) $\frac{4}{5} = \frac{4 * 2}{5 * 2} = \frac{8}{10}$;
$\frac{8}{5} > \frac{7}{10}$;
$\frac{8}{10} > \frac{7}{10}$.
б) $\frac{5}{12} = \frac{5 * 3}{12 * 3} = \frac{15}{36}$;
$\frac{7}{18} = \frac{7 * 2}{18 * 2} = \frac{14}{36}$;
$\frac{15}{36} > \frac{14}{36}$;
$\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
в) $\frac{5}{6} = \frac{5 * 4}{6 * 4} = \frac{20}{24}$;
$\frac{7}{8} = \frac{7 * 3}{8 * 3} = \frac{21}{24}$;
$\frac{20}{24} < \frac{21}{24}$;
$\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$.
г) $\frac{3}{8} = \frac{3 * 2}{8 * 2} = \frac{6}{16}$;
$\frac{6}{16} > \frac{5}{16}$;
$\frac{3}{8} > \frac{5}{16}$.
д) $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$
е) $1\frac{7}{20} = \frac{27}{20} = \frac{27 * 9}{20 * 9} = \frac{243}{180}$;
$\frac{11}{9} = \frac{11 * 20}{9 * 20} = \frac{220}{180}$;
$\frac{243}{180} > \frac{220}{180}$;
$1\frac{7}{20} > \frac{11}{9}$.
Задание 10. Запишите в порядке возрастания дроби
$\frac{3}{4}, \frac{11}{12}, \frac{2}{5}, \frac{5}{6}$.
Ответ 7 гуру
$\frac{3}{4} = \frac{3 * 15}{4 * 15} = \frac{45}{60}$;
$\frac{11}{12} = \frac{11 * 5}{12 * 5} = \frac{55}{60}$;
$\frac{2}{5} = \frac{2 * 12}{5 * 12} = \frac{24}{60}$;
$\frac{5}{6} = \frac{5 * 10}{6 * 10} = \frac{50}{60}$.
$\frac{24}{60} < \frac{45}{60} < \frac{50}{60} < \frac{55}{60}$, значит:
$\frac{2}{5} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$.
Задание 11. Запишите в порядке убывания дроби
$\frac{1}{2}, \frac{17}{20}, \frac{2}{5}, \frac{3}{4}$.
Ответ
$\frac{1}{2} = \frac{1 * 10}{2 * 10} = \frac{10}{20}$;
$\frac{2}{5} = \frac{2 * 4}{5 * 4} = \frac{8}{20}$;
$\frac{3}{4} = \frac{3 * 5}{4 * 5} = \frac{15}{20}$.
$\frac{17}{20} > \frac{15}{20} > \frac{10}{20} > \frac{8}{20}$, значит:
$\frac{17}{20} > \frac{3}{4} > \frac{1}{2} > \frac{2}{5}$.
Задание 12. На тренировке Оля пробежала стометровку за $\frac{1}{3}$ мин, Галя − за $\frac{17}{60}$ мин, Вера − за $\frac{3}{10}$ мин, Зоя − за $\frac{4}{15}$ мин. В каком порядке девочки пришли к финишу?
Решение задачи
1) $\frac{1}{3} = \frac{1 * 20}{3 * 20} = \frac{20}{60}$ (мин) = 20 (с) − результат Оли;
2) $\frac{17}{60}$ (мин) = 17 (с) − результат Гали;
3) $\frac{3}{10} = \frac{3 * 6}{10 * 6} = \frac{18}{60}$ (мин) = 18 (с) − результат Веры;
4) $\frac{4}{15} = \frac{4 * 4}{15 * 4} = \frac{16}{60}$ (мин) = 16 (с) − результат Зои;
5) 16 < 17 < 18 < 20 − значит девочки пришли в следующем порядке:
Зоя, Галя, Вера, Оля.
Ответ:
1) Зоя;
2) Галя;
3) Вера;
4) Оля.
Задание 13. Не приводя дроби к общему знаменателю, установите, какая из них наибольшая:
а) $\frac{10}{11}, \frac{9}{10}, \frac{8}{9}$;
б) $\frac{11}{20}, \frac{21}{40}, \frac{31}{60}$;
в) $\frac{23}{48}, \frac{17}{36}, \frac{35}{72}$.
Решение
а) $\frac{10}{11} > \frac{9}{10} > \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{10}{11}$
б) $\frac{11}{20} > \frac{21}{40} > \frac{31}{60}$
Ответ: $\frac{11}{20}$
в) $\frac{35}{72} > \frac{23}{48} > \frac{17}{36}$
Ответ: $\frac{35}{72}$
Задание 14. Найдите несколько чисел, которые:
а) больше $\frac{1}{7}$, но меньше $\frac{2}{7}$;
б) больше $\frac{4}{9}$, но меньше $\frac{5}{9}$.
Ответ
а) $\frac{1}{7} = \frac{1 * 10}{7 * 10} = \frac{10}{70}$;
$\frac{2}{7} = \frac{2 * 10}{7 * 10} = \frac{20}{70}$;
$\frac{10}{70} < \frac{11}{70} < \frac{13}{70} < \frac{19}{70} < \frac{20}{70}$;
$\frac{1}{7} < \frac{11}{70} < \frac{13}{70} < \frac{19}{70} < \frac{2}{7}$.
б) $\frac{4}{9} = \frac{4 * 10}{9 * 10} = \frac{40}{90}$;
$\frac{5}{9} = \frac{5 * 10}{9 * 10} = \frac{50}{90}$;
$\frac{40}{90} < \frac{41}{90} < \frac{43}{90} < \frac{47}{90} < \frac{50}{90}$;
$\frac{4}{9} < \frac{41}{90} < \frac{43}{90} < \frac{47}{90} < \frac{5}{9}$.
Задание 15. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Дана правильная дробь $\frac{2}{3}$. Запишите обратную ей дробь и определите, какая из этих двух дробей ближе к 1.
2) Запишите какую−нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент еще раз.
3) Сделайте вывод о том, какая из дробей ближе к 1 − правильная или обратная ей неправильная. Поясните свой вывод.
Решение
1) Дробь, обратная $\frac{2}{3}$ есть дробь $\frac{3}{2}$.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.
$\frac{1}{3}$ до единицы у дроби $\frac{2}{3}$;
$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$, значит $\frac{1}{2}$ до единицы у дроби $\frac{3}{2}$.
$\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, значит дробь $\frac{2}{3}$ ближе к единице.
2) Дробь, обратная $\frac{2}{5}$ есть дробь $\frac{5}{2}$.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.
$\frac{3}{5}$ до единицы у дроби $\frac{2}{5}$;
$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$, значит $1\frac{1}{2}$ до единицы у дроби $\frac{5}{2}$.
$\frac{3}{5} < 1\frac{1}{2}$, значит дробь $\frac{2}{5}$ ближе к единице.
Дробь, обратная $\frac{3}{7}$ есть дробь $\frac{7}{3}$.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.
$\frac{4}{7}$ до единицы у дроби $\frac{3}{7}$;
$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$, значит $1\frac{1}{3}$ до единицы у дроби $\frac{7}{3}$.
$\frac{4}{7} < 1\frac{1}{3}$, значит дробь $\frac{3}{7}$ ближе к единице.
3) К единице ближе правильная дробь, чем обратная ей неправильная. Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$, где a < b (то есть данная дробь правильная).
Дробь обратная данной есть $\frac{b}{a}$. К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше. Найдем разницу с единицей данных дробей:
$1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{(b - a)}{b}$;
$\frac{b}{a} - 1 = \frac{b}{a} - \frac{a}{a} = \frac{(b - a)}{a}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше, a < b, значит:
$\frac{(b - a)}{b} < \frac{(b - a)}{a}$, поэтому дробь $\frac{a}{b}$ ближе к единице.
