Задание № 1177

а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами A и B по течению реки за 2 ч, а плот − за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?
б) Плот плывет от A до B 40 ч, а катер − 4 ч. Сколько часов катер плывет от B до A?

Решение

а) Примем расстояние между A и B за единицу, тогда:
1) $1:2=\frac12$ (пути/ч) − скорость лодки по течению;
2) $1:8=\frac18$ (пути/ч) − скорость плота;
3) $\frac12-\frac18=\frac38$ (пути/ч) − собственная скорость лодки;
4) $\frac38-\frac18=\frac14$ (пути/ч) − скорость лодки против течения;
5) $1:\frac14=1\ast4=4$ (часа) − потребуется лодке, чтобы пройти путь против течения.
Ответ: 4 часа.

б) Примем расстояние между A и B за единицу, тогда:
1) $1:4=\frac14$ (пути/ч) − скорость катера по течению;
2) $1:40=\frac1{40}$ (пути/ч) − скорость плота;
3) $\frac14-\frac1{40}=\frac9{40}$ (пути/ч) − собственная скорость катера;
4) $\frac9{40}-\frac1{40}=\frac15$ (пути/ч) − скорость против течения;
5) $1:\frac15=1\ast5=5$ (ч.) − потребуется катеру, чтобы пройти путь против течения от B до A.
Ответ: 5 часов.

Задание № 1178

Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Решение

2 алтына и 7 полушек = $2\ast3+7\ast\frac14=6+\frac74=6+1\frac34=7\frac34$ (к.);
2 алтына без полушки = $2\ast3-1\ast\frac12=6-\frac14=5\frac34$ (к.).
1) 96 : 2 = 48 (гусей) − составляет половина гусей;
2) $48\ast7\frac34=48\ast\frac{31}4=12\ast31=375$ (к.) − стоимость первой половины;
3) $48\ast5\frac34=48\ast\frac{23}4=12\ast23=276$ (к.) − стоимость второй половины;
4) 372 + 276 = 648 (к.) = 6 р. 48 к. − стоимость покупки.
Ответ: 6 р. 48 к.

Задание № 1179

а) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады − за 18 дней; первая и третья бригады − за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?
б) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторю и третью − за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?
в) По условию задачи а) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно.

Решение

а) Примем все задание за единицу, тогда:
1) $1:9=\frac19$ (задания) − выполнят I и II бригады за 1 день;
2) $1:18=\frac1{18}$ (задания) − выполнят II и III бригады за 1 день;
3) $1:12=\frac1{12}$ (задания) − выполнят I и III бригады за 1 день;
Обозначим цифрами I, II, III первую, вторую и третью бригады соответственно, тогда:
$(I+II)+(II+III)+(I+III)=\frac19+\frac1{18}+\frac1{12}$

$2\ast(I+II+III)=\frac14$

$I+II+III=\frac14:2$

$I+II+III=\frac14\ast\frac12$

$I+II+III=\frac18$ (задания) − выполнят 3 бригады, работая вместе, за 1 день.
4) $1:\frac18=1\ast8=8$ (дней) − потребуется трем бригадам на выполнение задания.
Ответ: 8 дней.

б) 1 ч 10 мин = 70 мин;
1 ч 24 мин = 84 мин;
2 ч 20 мин = 140 мин.
Примем весь бассейн за единицу, тогда:
1) $1:70=\frac1{70}$ (бассейна) − наполнят I и II трубы за 1 минуту;
2) $1:84=\frac1{84}$ (бассейна) − наполнят I и III трубы за 1 минуту;
3) $1:140=\frac1{140}$ (бассейна) − наполнят II и III трубы за 1 минуту.
Обозначим цифрами I, II, III первую, вторую и третью трубы соответственно.
$(I+II)+(I+III)+(II+III)=\frac1{70}+\frac1{84}+\frac1{140}$

$2\ast(I+II+III)=\frac1{30}$

$I+II+III=\frac1{30}:2$

$I+II+III=\frac1{30}\ast\frac12$

$I+II+III=\frac1{60}$ (бассейна) − наполнят за 1 минут 3 трубы, работая вместе.
4) $1:\frac1{60}=1\ast60$ (мин) = 1 (ч) − потребуется трем трубам на наполнение бассейна.
Ответ: за 1 час.

в) Примем все задание за единицу, тогда:
1) $1:9=\frac19$ (задания) − выполнят I и II бригады за 1 день;
2) $1:18=\frac1{18}$ (задания) − выполнят II и III бригады за 1 день;
3) $1:12=\frac1{12}$ (задания) − выполнят I и III бригады за 1 день.
Обозначим цифрами I, II, III первую, вторую и третью бригады соответственно.
$I+II=\frac19$

$II+III=\frac1{18}$

$I+III=\frac1{12}$

$(I+II)+(II+III)+(I+III)=\frac19+\frac1{18}+\frac1{12}$

$2\ast(I+II+III)=\frac14$

$I+II+III=\frac14:2$

$I+II+III=\frac14\ast\frac12$

$I+II+III=\frac18$ (задания) − выполнят 3 бригады, работая вместе, за 1 день;
4) $\frac18-\frac19=\frac{9-8}{72}=\frac1{72}$ (задания) − выполнит за 1 день третья бригада;
5) $1:\frac1{72}=1\ast72=72$ (дня) − потребуется третьей бригаде, чтобы выполнить задание.
Ответ: 72 дня.

Задание № 1180

(Китай, II в.). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Однажды дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение

Примем все расстояние за единицу, тогда:
1) $1:7=\frac17$ (пути/день) − скорость утки;
2) $1:9=\frac19$ (пути/день) − скорость гуся;
3) $\frac17+\frac19=\frac{16}{63}$ (пути/день) − скорость сближения утки и гуся;
4) $1:\frac{16}{63}=1\ast\frac{63}{16}=3\frac{15}{16}$ (дня) − время до встречи утки и гуся.
Ответ: через $3\frac{15}{16}$ дня.

Задание № 1181

Из "Всеобщей арифметики" И.Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом A может выполнить ее один раз за 3 недели, B − три раза за 8 недель, C − пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считайте, что в неделе 6 рабочих дней по 12 ч.)

Решение

Примем всю работу за единицу, тогда:
1) $1:3=\frac13$ (работы) − выполняет в неделю рабочий A;
2) $3:8=\frac38$ (работы) − выполняет в неделю рабочий B;
3) $5:12=\frac5{12}$ (работы) − выполняет в неделю рабочий С;
4) $\frac13+\frac38+\frac5{12}=\frac{8+9+10}{24}=\frac{27}{24}=\frac98$ (работы) − выполнят в неделю 3 рабочих, работая вместе;
5) $1:\frac98=1\ast\frac89=\frac89$ (недели) − потребуется на выполнение работы тремя рабочими при совместной работе;
6) 6 * 12 = 72 (ч) − в неделе;
7) $\frac89\ast72=8\ast8=64$ (часа) = 5 дней и 4 часа − потребуется потребуется на выполнение работы тремя рабочими при совместной работе.
Ответ: 5 дней и 4 часа.

Задание № 1182

а) Каждый день турист проходит 1/3 намеченного маршрута. Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за 1/2 дня; за 3/4 дня?
б) Метр ткани стоит 96 р. Сколько стоит 3/4 м; 2/3 м ткани?
в) Некто купил 3/4 аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

Решение

а) 1) $2\ast\frac13=\frac23$ (маршрута) − пройдет турист за 2 дня;
2) $\frac12\ast\frac13=\frac16$ (маршрута) − пройдет турист за 1/2 дня;
3) $\frac34\ast\frac13=\frac14$ (маршрута) − пройдет турист за 3/4 дня.
Ответ: 2/3, 1/6, 1/4 маршрута.

б) 1) $\frac34\ast96=24\ast3=72$ (р.) − стоит 3/4 м ткани;
2) $\frac23\ast96=32\ast2=64$ (р.) − стоит 2/3 м ткани.
Ответ: 72 р.; 64 р.

в) 1) $3:\frac34=4$ (алтына) − стоимость 1 аршина сукна;
2) 100 * 4 = 400 (алтын) − стоит 100 аршин сукна.
Ответ: 400 алтын.

Задание № 1183

На прямой отметили 5 точек. Сколько отрезков и сколько лучей при этом образовалось?

Решение


Получилось 10 отрезков: AB, BC, CD, DE, AE, AD, AD, AC, BE, BD, CE.
Получилось 10 лучей, по 2 луча из каждой точки.
Ответ: 10 отрезков и 10 лучей.