Задание № 1070

Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за один час, другая, более тонкая, − за два часа, третья, еще более тонкая, − за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем.
Примечание.
Ананий дал такой ответ: 1/4 1/6 1/12 1/22. Используйте его для проверки своего решения.

Решение

1) 1 : 1 = 1 (водоем) − наполняет первая труба за 1 час;
2) $1:2=\frac12$ (водоема) − наполняет вторая труба за час;
3) $1:3=\frac13$ (водоема) − наполняет третья труба за час;
4) $1+\frac12+\frac13=\frac66+\frac36+\frac26=\frac{11}6=1\frac56$ (водоема) − наполняют за час 3 трубы;
5) $1:1\frac56=1:\frac{11}6=1\ast\frac6{11}=\frac6{11}$ (ч) − потребуется трем трубам, чтобы заполнить водоем.
Этот результат Ананий записывал с помощью дробей с числителем 1 и без знака сложения, что означало сумму:
$\frac14+\frac16+\frac1{12}+\frac1{22}=\frac{66+44+22+12}{264}=\frac{144}{264}=\frac{6\ast24}{11\ast24}=\frac6{11}$

Ответ: за $\frac6{11}$ часа.

Задание № 1071

За 11 к. куплены одна пятириковая и одна шестириковая стеариновые свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей? (Пятириковая свеча весила 1/5, а шестириковая − 1/6 фунта.)

Решение

1) $\frac15+\frac16=\frac{6+5}{30}=\frac{11}{30}$ (фунтов) − весит покупка;
2) $11:\frac{11}{30}=11\ast\frac{30}{11}=30$ (к.) − стоит 1 фунт свечей.
Ответ: 30 копеек.

Задание № 1072

Из египетских папирусов.
а) Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найдите количество.
б) Число и его половина составляют 9. Найдите число.

Решение

а) 1) $1+\frac14=1\frac14$ − количество и его четвертая часть;
2)$15:1\frac14=15:\frac54=15\ast\frac45=3\ast4=12$ − количество.
Ответ: 12.

б) 1) $1+\frac12=1\frac12$ − число и его половина;
2) $9:1\frac12=9:\frac32=9\ast\frac23=3\ast2=6$ − число.
Ответ: 6.

Задание № 1073

Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите ее двумя способами.

Решение

Целое и его четверть составляют 25. Найдите целое.

Способ 1.
1) $1+\frac14=1\frac14$ − целое и его четверть;
2) $25:1\frac14=25\ast\frac45=5\ast4=20$ − целое.
Ответ: 20

Способ 2.
Пусть x − целое, тогда:

$x+\frac14x=25$

$1\frac14x=25$

$x=25:\frac54$

$x=25\ast\frac45$

x = 5 * 4

x = 20 − целое.

Ответ: 20.

Задание № 1074

Разделите полтину на половину.

Решение

Полтина = 50 копеек, то есть 1/2 рубля.
$\frac12:\frac12=\frac12\ast2=1$ (р.)
Ответ: 1 рубль.

Задание № 1075

Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей: $\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d$, где a, b, c, d − нечетные натуральные числа?

Решение

Пусть $\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d=1$, где a, b, c, d − нечетные натуральные числа.
$\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d=\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}$

bcd, acd, abd, abc − нечетные числа (так как произведение любого числа нечетных чисел число нечетное), значит сумма
bcd + acd + abd + abc − четное число.
abcd − нечетное число (так как произведение любого числа нечетных чисел число нечетное).
Чтобы число $\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}$ равнялось 1, надо, чтобы выполнялось условие:
bcd + acd + abd + abc = abcd, но это невозможно, так как bcd + acd + abd + abc − четное число, а abcd − нечетное, значит они не равны. Поэтому число 1 нельзя представить в виде суммы дробей:
$\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d$, где a, b, c, d − нечетные натуральные числа.
Ответ: нельзя.

Задание № 1076

Задача−шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая муха хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускались вдвое быстрее ее. Какая из мух раньше приползет обратно?

Решение

Пусть расстояние от угла комнаты до пола составляет единицу, тогда:
x − скорость первой мухи;
x/2 − скорость второй мухи при движении вверх;
2x − скорость второй мухи при движении вниз;
2/x − времени потратила первая муха на путь туда и обратно;
$\frac1{\frac x2}+\frac1{2x}=\frac2x+\frac1{2x}=\frac{4+1}{2x}=\frac5{2x}=\frac{2\frac12}x$ − времени потратила вторая муха на путь туда и обратно;
$\frac2x<\frac{2\frac12}x$ − первая муха затратила меньше времени на путь туда и обратно, а значит была быстрее.
Ответ: раньше приползет первая муха.

Задание № 1077

а) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и еще одну книгу, то осталось две книги (рис.177). Сколько книг лежало на столе первоначально?

б) Мама дала детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще одну (рис.178), сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?

Решение

а) 1) 2 + 1 = 3 (к.) − составляют половину всех книг;
2) 3 * 2 = 6 (к.) − было изначально.
Ответ: 6 книг.

б) 1) 5 * 2 = 10 (к.) − досталось сыну;
2) 10 + 1 = 11 (к.) − половина всех конфет;
3) 11 * 2 = 22 (к.) − всего мама дала детям.
Ответ: 22 конфеты.