Задание № 1067
Каким натуральным числом можно заменить букву a в условии задачи, чтобы ответ выражения натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.
Из пункта A в пункт B против течения реки теплоход плывет 20 ч. А из пункта B в пункт A − a ч (6 < a < 18). За сколько часов из пункта B в пункт A приплывут плоты?
Решение
1) $1:a=\frac1a$ (пути/ч) − скорость теплохода по течению реки;
2) $1:20=\frac1{20}$ (пути/ч) − скорость теплохода против течения реки;
3) $(\frac1a-\frac1{20}):2=\frac{20-a}{20a}\ast\frac12=\frac{20-a}{40a}$ (пути/ч) − скорость течения реки;
4) $1:\frac{20-a}{40a}=1\ast\frac{40a}{20-a}=\frac{40a}{20-a}$ (ч) − будут плыть плоты из B в A.
Заменим a натуральным числом в выражении $\frac{40a}{20-a}$, чтобы выражение стало натуральным числом, 6 < a < 18.
Чтобы это выражение было натуральным числом, надо, чтобы число 40a делилось на число 20 − a без остатка. Так как 6 < a < 18 и a − натуральное число, то найдем a методом подбора:
при a = 7:
$\frac{40\ast7}{20-7}=\frac{280}{13}=21\frac7{13}$ − значит a ≠ 7;
при a = 8:
$\frac{40\ast8}{20-8}=\frac{320}{12}=\frac{80}3=26\frac23$ − значит a ≠ 8;
при a = 9:
$\frac{40\ast9}{20-9}=\frac{360}{11}=32\frac8{11}$ − значит a ≠ 9;
при a = 10:
$\frac{40\ast10}{20-10}=\frac{400}{10}=40$ − значит a может быть равно 10;
при a = 11:
$\frac{40\ast11}{20-11}=\frac{440}9=48\frac89$ − значит a ≠ 11;
при a = 12:
$\frac{40\ast12}{20-12}=\frac{480}8=60$ − значит a может быть равно 12;
при a = 13:
$\frac{40\ast13}{20-13}=\frac{520}7=74\frac27$ − значит a ≠ 13;
при a = 14:
$\frac{40\ast14}{20-14}=\frac{560}6=\frac{280}3=93\frac13$ − значит a ≠ 14;
при a = 15:
$\frac{40\ast15}{20-15}=\frac{600}5=120$ − значит a может быть равно 15;
при a = 16:
$\frac{40\ast16}{20-16}=\frac{640}4=160$ − значит a может быть равно 16;
при a = 17:
$\frac{40\ast17}{20-17}=\frac{680}3=226\frac23$ − значит a ≠ 17.
Ответ: чтобы ответ выражался натуральным число, букву a в условии задачи можно заменить натуральными числами 10, 12, 15, 16.
