Задание №654

Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:
1) 2 a2 − 2 a + 1;
2) a2 + b2 + 2 a + 2 b + 2;
3) x2 + 6 x + y2 − 2 y + 10;
4) 10 x2 − 6 x y + y 2;
5) x2 + 5 y2 + 4 x y − 4 y + 4;
6) 2 a2 + 2 b 2.

Решение:

1) 2 a2 − 2 a + 1 = a2 + a2 − 2 a + 1 = a2 + ( a2 − 2 a + 1 ) = a2 + ( a − 1 )2

2) a2 + b2 + 2 a + 2 b + 2 = a2 + b2 + 2 a + 2 b + 1 + 1 = ( a2 + 2 a + 1 ) + ( b2 + 2 b + 1 ) = ( a + 1 )2 + ( b + 1 )2

3) x2 + 6 x + y2 − 2 y + 10 = x2 + 6 x + y2 − 2 y + 9 + 1 = ( x2 + 6 x + 9 ) + ( y2 − 2 y + 1 ) = ( x + 3 )2 + ( y − 1 )2

4) 10 x2 − 6 x y + y2 = x2 + 9 x2 − 6 x y + y2 = x2 + ( 9 x2 − 6 x y + y2 ) = x2 + ( 3 x2 − y2 )2

5) x2 + 5 y2 + 4 x y − 4 y + 4 = x2 + 4 y2 + y2 + 4 x y − 4 y + 4 = ( x2 + 4 x y + 4 y2 ) + ( y2 − 4 y + 4 ) = ( x + 2 y )2 + ( y − 2 )2

6) 2 a2 + 2 b2 = a2 + a2 + b2 + b2 + 2 a b − 2 a b = ( a2 + 2 a b + b2 ) + ( a2 − 2 a b + b2 ) = ( a + b )2 + ( a − b )2

Задание №655

Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений:
1) a4 + a2 + 1;
2) x2 − y2 + 4 x − 4 y;
3) a2 b2 + 2 a b − c2 − 8 c − 15;
4) 8 a2 − 12 a + 2 a b − b2 + 4.

Решение:

1) a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + 1 + a2 − a2 = ( a4 + 2 a2 + 1 ) − a2 = ( a2 + 1 )2 − a2 = ( a2 + 1 − a ) ( a2 + 1 + a )

2) x2 − y2 + 4 x − 4 y = ( x2 − y2 ) + ( 4 x − 4 y ) = ( x − y ) ( x + y ) + 4 ( x − y ) = ( x − y ) ( x + y + 4 )

3) a2 b2 + 2 a b − c2 − 8 c − 15 = a2 b2 + 2 a b − c2 − 8 c + 1 − 16 = ( a2 b2 + 2 a b + 1 ) − ( c2 + 8 c + 16 ) = ( a b + 1 )2 − ( c + 4 )2 = ( a b + 1 − c − 4 ) ( a b + 1 + c + 4 ) = ( a b − c − 3 ) ( a b + c + 5 )

4) 8 a2 − 12 a + 2 a b − b2 + 4 = 9 a2 − a2 − 12 a + 2 a b − b2 + 4 = ( 9 a2 − 12 a + 4 ) − ( a2 − 2 a b + b2 ) = ( 3 a − 2 )2 − ( a − b )2 = ( 3 a − 2 − a + b ) ( 3 a − 2 + a − b ) = ( 2 a − 2 + b ) ( 4 a − 2 − b )

Задание №656

Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений:
1) a4 + 17 a2 + 16;
2) x2 + y2 − 10 x + 14 y + 74;
3) 2 x2 − 6 x y + 9 y2 − 6 x + 9;
4) x2 − y2 − 4 x − 2 y + 3.

Решение:

1) a4 + 17 a2 + 16 = a4 + 8 a2 + 9 a2 + 16 = ( a4 + 8 a2 + 16 ) + 9 a2 = ( a2 + 4 )2 + ( 3 a )2

2) x2 + y2 − 10 x + 14 y + 74 = x2 + y2 − 10 x + 14 y + 25 + 49 = ( x2 − 10 x + 25 ) + ( y2 + 14 y + 49 ) = ( x − 5 )2 + ( y + 7 )2

3) 2 x2 − 6 x y + 9 y2 − 6 x + 9 = x2 + x2 − 6 x y + 9 y2 − 6 x + 9 = ( x2 − 6 x + 9 ) + ( x2 − 6 x y + 9 y2 ) = ( x − 3 )2 + ( x − 3 y )2

4) x2 − y2 − 4 x − 2 y + 3 = x2 − y2 − 4 x − 2 y + 4 − 1 = ( x2 − 4 x + 4 ) − ( y2 + 2 y + 1 ) = ( x − 2 )2 − ( y + 1 )2

Задание №657

При каких значения x и y равно нулю значение многочлена:
1) x2 + y2 + 8 x − 10 y + 41;
2) x2 + 37 y2 + 12 x y − 2 y + 1?

Решение:

1) x2 + y2 + 8 x − 10 y + 41 = 0
x 2 + y2 + 8 x − 10 y + 16 + 25 = 0
( x2 + 8 x + 16 ) + ( y2 − 10 y + 25 ) = 0
( x + 4 )2 + ( y − 5 )2 = 0
x + 4 = 0
x = −4
y − 5 = 0
y = 5

2) x2 + 37 y2 + 12 x y − 2 y + 1 = 0
x 2 + 36 y2 + y2 + 12 x y − 2 y + 1 = 0
( x2 + 12 x y + 36 y2 ) + ( y2 − 2 y + 1 ) = 0
( x + 6 y )2 + ( y − 1 )2 = 0
x + 6y = 0
x = −6y
y − 1 = 0
y = 1, тогда:
x = −6y = −6 * 1 = −6.

Задание №658

Существуют ли такие значения x и y, при которых равно нулю значение многочлена:
1) x2 + 4 y2 + 2 x − 4 y + 2;
2) 9 x2 + y2 − 12 x + 8 y + 21?

Решение:

1) x2 + 4 y2 + 2 x − 4 y + 2 = 0
x 2 + 4 y2 + 2 x − 4 y + 1 + 1 = 0
( x2 + 2 x + 1 ) + ( 4 y2 − 4 y + 1 ) = 0
( x + 1 )2 + ( 2 y − 1 )2 = 0
x + 1 = 0
x = −1
2y − 1 = 0
2y = 1
y = 1/2

2) 9 x2 + y2 − 12 x + 8 y + 21 = 0
9 x2 + y2 − 12 x + 8 y + 16 + 4 + 1 = 0
( 9 x2 − 12 x + 4 ) + ( y2 + 8 y + 16 ) + 1 = 0
( 3 x2 − 2 )2 + ( y + 4 )2 + 1 = 0
( 3 x2 − 2 )2 + ( y + 4 )2 + 1 ≠ 0, так как:
( 3 x2 − 2 )2 ⩾ 0;
( y + 4 )2 ⩾ 0, следовательно:
( 3 x2 − 2 )2 + ( y + 4 )2 + 1 > 0.

Задание №659

Значения переменных a и b таковы, что a + b = 7, ab = 2. Найдите значение выражения

a2 + b2.

Решение:

a 2 + b2 = a2 + b2 + 2 a b − 2 a b = ( a2 + 2 a b + b2 ) − 2 a b = ( a + b )2 − 2 a b = 72 − 2 ∗ 2 = 49 − 4 = 45

Задание №660

Положительные значения переменных a и b таковы, что

a2 + b2 = 34, ab = 15. Найдите значение выражения a + b.

Решение:

( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 = ( a2 + b2 ) + 2 a b = 34 + 2 ∗ 15 = 34 + 30 = 64
a + b = 8, так как значения переменных a и b положительные.

Задание №661

Отрицательные значения переменных a и b таковы, что

a2 + b2 = 68, ab = 16. Найдите значение выражения a + b.

Решение:

( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 = ( a2 + b2 ) + 2 a b = 68 + 2 ∗ 16 = 68 + 32 = 100
a + b = −10, так как значения переменных a и b отрицательные.

Задание №662

Представьте число 24 в виде суммы таких двух чисел, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение:

Пусть x − одно из чисел, тогда
(24 − x) − другое число.
Найдем их произведение.
x ( 24 − x ) = 24 x − x2
24 = 12 + 12
24 x − x2 = 122 − 122 + 24 x − x2 = 122 − ( 122 − 24 x + x2 ) = 144 − ( 12 − x )2
12 − x = 0
x = 12, произведение будет наибольшим если оба числа будут равны 12.

Задание №663

Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.

Решение:

Пусть x см одна сторона прямоугольника, тогда
20 : 2 − x = 10 − x см вторая сторона прямоугольника.
Найдем площадь.
x ( 10 − x ) = 10 x − x 2
10 = 5 + 5
10 x − x2 = 52 − 52 + 10 x − x2 = 52 − ( 52 − 10 x + x2 ) = 25 − ( 5 − x )2
5 − x = 0
x = 5, то есть площадь прямоугольника с периметром 20 см будет наибольшим если каждая его сторона будет равна 5 см.

Задание №664

Числа a и b таковы, что

b 2 + a2/4 = 1, ab = 3, a > 0, b > 0. Найдите значение выражения a + 2b.

Решение:

$b^2+\frac{a^2}4=b^2+\frac{a^2}4+ab-ab=(b+\frac a2)^2-ab$
$(b+\frac a2)^2=b^2+\frac{a^2}4+ab=1+3=4$, тогда:
$b+\frac a2=2$
$\frac{a+2b}2=2$
a + 2b = 2 * 2 = 4

Задание №665

Числа a, b и c таковы, что

a 2 + b2 + c2 − a b − a c − b c = 0. Чему равно значение выражения a + b − 2c?

Решение:

a 2 + b2 + c2 − a b − a c − b c = 0
2 ( a2 + b2 + c2 − a b − a c − b c ) = 0 ∗ 2
2 ( a2 + b2 + c2 − a b − a c − b c ) = 0
2 a2 + 2 b2 + 2 c2 − 2 a b − 2 a c − 2 b c = 0
( a2 − 2 a b + b2 ) + ( b2 − 2 b c + c2 ) + ( a2 − 2 a c + c2 ) = 0
( a − b )2 + ( b − c )2 + ( a − c )2 = 0
( a − b )2 = ( b − c )2 = ( a − c )2 = 0, так при других значениях равенство не будет верным, следовательно:
a = b = c, тогда:
a + b − 2c = 0.

Задание №666

В первый день турист проехал 0,4 всего пути, во второй − 2/3 оставшегося, а в третий − остальные 20 км. Найдите длину пути.

Решение:

Пусть x км длина всего пути, тогда
0,4x км проехал турист в первый день;
2/3 ( x − 0, 4 x ) км проехал турист во второй день, а в третий день оставалось проехать 20 км.
Составим уравнение:
x − 0, 4 x − 2/3 ( x − 0, 4 x ) = 20
0, 6 x − 2/3 ∗ 0, 6 x = 20
0, 6 x − 2/3 ∗ 6/10 x = 20
0, 6 x − 2/1 ∗ 2/10 x = 20
0,6x − 0,4x = 20
0,2x = 20
x = 20 : 0,2
x = 100
Значит, 100 км длина всего пути.
Ответ: 100 км.

Задание №667

Общая площадь двух участков, засеянных кукурузой, равна 100 га. На первом участке собрали по 90 т зеленой массы кукурузы с 1 га, а на втором − по 80 т. Найдите площадь каждого участка, если с первого участка собрали на 2200 т больше, чем со второго.

Решение:

Пусть x т собрали со второго участка, тогда
(x + 2200) т собрали с первого участка;
(x + 2200)/90 га - площадь первого участка;
x/80 га - площадь второго участка, а общая площадь двух участков равна 100 га.
Составим уравнение:
$\frac{x+2200}{90}+\frac x{80}=100$
$\frac{8(x+2200)+9x}{720}=100$
8(x + 2200) + 9x = 100 * 720
8x + 17600 + 9x = 72000
17x = 72000 − 17600
17x = 54400
x = 54400 : 17
x = 3200 т собрали со второго участка, тогда:
$\frac{x+2200}{90}=\frac{3200+2200}{90}=\frac{5400}{90}=60$ га площадь первого участка;
$\frac x{80}=\frac{3200}{80}=40$ га площадь второго участка.
Ответ: 60 га и 40 га.