Задание №514

Упростите выражение:
1) (x + 1)(x − 1) − (x + 5)(x − 5) + (x + 1)(x − 5);
2) 81 a8 − ( 3 a2 − b3 ) ( 9 a4 + b6 ) ( 3 a2 + b3 ).

Решение:

1) ( x + 1 ) ( x − 1 ) − ( x + 5 ) ( x − 5 ) + ( x + 1 ) ( x − 5 ) = x2 − 1 − ( x2 − 25 ) + ( x2 + x − 5 x − 5 ) = x2 − 1 − x2 + 25 + x2 + x − 5 x − 5 = ( x2 − x2 + x2 ) + ( x − 5 x ) + ( − 1 + 25 − 5 ) = x2 − 4 x + 19

2) 81 a8 − ( 3 a2 − b3 ) ( 9 a4 + b6 ) ( 3 a2 + b3 ) = 81 a8 − ( 9 a4 − b6 ) ( 9 a4 + b6 ) = 81 a8 − ( 81 a8 − b12 ) = 81 a8 − 81 a8 + b12 = b12

Задание №515

Решите уравнение:
1) 8x(3 + 2x) − (4x + 3)(4x − 3) = 9x − 6;
2) 7x − 4x(x − 5) = (8 − 2x)(8x + 2x) + 27x;
3) (6x + 7)(6x − 7) + 12x = 12x(3x + 1) − 49;
4) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x2 + 4 ) ( x4 + 16 ) = x8 + 10 x.

Решение:

1) 8x(3 + 2x) − (4x + 3)(4x − 3) = 9x − 6
24 x + 16 x2 − ( 16 x2 − 9 ) = 9 x − 6
24 x + 16 x2 − 16 x2 + 9 = 9 x − 6
24x − 9x = −6 − 9
15x = −15
x = −15 : 15
x = −1

2) 7x − 4x(x − 5) = (8 − 2x)(8x + 2x) + 27x
7 x − 4 x2 + 20 x = 64 − 4 x2 + 27 x
7 x − 4 x2 + 20 x + 4 x2 − 27 x = 64
7x + 20x − 27x = 64
0 ≠ 64,
уравнение не имеет корней.

3) (6x + 7)(6x − 7) + 12x = 12x(3x + 1) − 49
36x2 − 49 + 12x = 36x2 + 12x − 49
0 = 0,
корнем уравнения является любое число.

4) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x2 + 4 ) ( x4 + 16 ) = x8 + 10 x
( x2 − 4 ) ( x2 + 4 ) ( x4 + 16 ) = x8 + 10 x
( x4 − 16 ) ( x4 + 16 ) = x8 + 10 x
x 8 − 256 = x8 + 10 x
x 8 − x8 − 10 x = 256 + 10 x
−10x = 256
x = 256 : (−10)
x = −25,6

Задание №516

Решите уравнение:
1) ( x − 17 ) ( x + 17 ) = x2 + 6 x − 49;
2) (1,2x − 4)(1,2x + 4) − (1,3x − 2)(1,3x + 2) = 0,5x(8 − 0,5x).

Решение:

1) ( x − 17 ) ( x + 17 ) = x2 + 6 x − 49
x2 − 289 = x2 + 6 x − 49
x2 − x2 − 6 x = 289 − 49
−6x = 240
x = 240 : (−6)
x = −40

2) (1,2x − 4)(1,2x + 4) − (1,3x − 2)(1,3x + 2) = 0,5x(8 − 0,5x)
1, 44 x2 − 16 − ( 1, 69 x2 − 4 ) = 4 x − 0, 25 x2
1, 44 x2 − 16 − 1, 69 x2 + 4 = 4 x − 0, 25 x2
1, 44 x2 − 1, 69 x2 + 0, 25 x2 − 4 x = 16 − 4
1, 44 x2 − 1, 69 x2 + 0, 25 x2 − 4 x = 16 − 4
−4x = 12
−4x = 12 : (−4)
x = −3

Задание №517

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
1) (x − 9)(x + 9) − (x + 19)(x − 19);
2) (2a − b)(2a + b) + (b − c)(b + c) + (c − 2a)(c + 2a).

Решение:

1) ( x − 9 ) ( x + 9 ) − ( x + 19 ) ( x − 19 ) = x2 − 81 − ( x2 − 361 ) = x2 − 81 − x2 + 361 = 280,
следовательно при любом значении переменной значение выражения будет равно 280.

2) ( 2 a − b ) ( 2 a + b ) + ( b − c ) ( b + c ) + ( c − 2 a ) ( c + 2 a ) = 4 a2 − b2 + b2 − c2 + c2 − 4 a2 = 0,
следовательно при любых значениях переменных значение выражения будет равно 0.

Задание №518

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (7n + 8)(7n − 8) − (5n + 10)(5n − 10) делится нацело на 12.

Решение:

( 7 n + 8 ) ( 7 n − 8 ) − ( 5 n + 10 ) ( 5 n − 10 ) = 49 n2 − 64 − ( 25 n2 − 100 ) = 49 n2 − 64 − 25 n2 + 100 = ( 49 n2 − 25 n2 ) + ( − 64 + 100 ) = 24 n2 + 36 = 12 ( 2 n2 + 3 ),
следовательно при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 12.

Задание №519

Докажите, что не существует такого натурального числа n, при котором значение выражения (4n + 3)(9n − 4) − (6n − 5)(6n + 5) − 3(n − 2) делится нацело на 8.

Решение:

( 4 n + 3 ) ( 9 n − 4 ) − ( 6 n − 5 ) ( 6 n + 5 ) − 3 ( n − 2 ) = 36 n2 + 27 n − 16 n − 12 − ( 36 n2 − 25 ) − 3 n + 6 = 36 n2 + 27 n − 16 n − 12 − 36 n2 + 25 − 3 n + 6 = ( 36 n2 − 36 n2 ) + ( 27 n − 16 n − 3 n ) + ( 25 + 6 − 12 ) = 0 + 8 n + 19 = 8 n + 16 + 3 = 8 ( n + 2 ) + 3, следовательно при любом значении n, значение данного выражения не будет нацело делится на 8, всегда будет оставаться остаток 3.

Задание №520

Докажите, что при любом натуральном n значение выражение (9n − 4)(9n + 4) − (8n − 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) делится нацело на 7.

Решение:

( 9 n − 4 ) ( 9 n + 4 ) − ( 8 n − 2 ) ( 4 n + 3 ) + 5 ( 6 n + 9 ) = 81 n2 − 16 − ( 32 n2 − 8 n + 24 n − 6 ) + 30 n + 45 = 81 n2 − 16 − 32 n2 + 8 n − 24 n + 6 + 30 n + 45 = ( 81 n2 − 32 n2 ) + ( 8 n − 24 n + 30 n ) + ( − 16 + 6 + 45 ) = 49 n2 + 14 n + 35 = 7 ( 7 n2 + 2 n + 5 ), следовательно при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 7.

Задание №521

Найдите значение выражения:
1) 3 20 ∗ 6 20 − ( 18 10 − 2 ) ( 18 10 + 2 );
2) ( 5 + 28 17 ) ( 5 − 28 17 ) + 14 34 ∗ 2 34;
3) 7 36 ∗ 8 12 − ( 14 18 + 3 ) ( 14 18 − 3 );
4) ( 3 2 − 1 ) ( 3 2 + 1 ) ( 3 4 + 1 ) ( 3 8 + 1 ) ( 3 16 + 1 ) ( 3 32 + 1 ) − 3 64;
5) ( 2 + 1 ) ( 2 2 + 1 ) ( 2 4 + 1 ) ( 2 8 + 1 ) ( 2 16 + 1 ) − 2 32.

Решение:

1) 3 20 ∗ 6 20 − ( 18 10 − 2 ) ( 18 10 + 2 ) = ( 3 ∗ 6 )20 − ( ( 18 10 )2 − 2 2 ) = 18 20 − ( 18 10 )2 + 2 2 = 18 20 − 18 20 + 4 = 4

2) ( 5 + 28 17 ) ( 5 − 28 17 ) + 14 34 ∗ 2 34 = 5 2 − ( 28 17 )2 + ( 14 ∗ 2 ) 34 = 25 − 28 34 + 28 34 = 25

3) 7 36 ∗ 8 12 − ( 14 18 + 3 ) ( 14 18 − 3 ) = 7 36 ∗ ( 2 3 )12 − ( ( 14 18 )2 − 3 2 ) = 7 36 ∗ 2 36 − ( 14 18 )2 + 3 2 = ( 7 ∗ 2 ) 36 − 14 36 + 9 = 14 36 − 14 36 + 9 = 9

4) ( 3 2 − 1 ) ( 3 2 + 1 ) ( 3 4 + 1 ) ( 3 8 + 1 ) ( 3 16 + 1 ) ( 3 32 + 1 ) − 3 64 = ( 3 4 − 1 ) ( 3 4 + 1 ) ( 3 8 + 1 ) ( 3 16 + 1 ) ( 3 32 + 1 ) − 3 64 = ( 3 8 − 1 ) ( 3 8 + 1 ) ( 3 16 + 1 ) ( 3 32 + 1 ) − 3 64 = ( 3 16 − 1 ) ( 3 16 + 1 ) ( 3 32 + 1 ) − 3 64 = ( 3 32 − 1 ) ( 3 32 + 1 ) − 3 64 = 3 64 − 1 − 3 64 = − 1

5) ( 2 + 1 ) ( 22 + 1 ) ( 24 + 1 ) ( 28 + 1 ) ( 216 + 1 ) − 232 = 3 ( 22 + 1 ) ( 24 + 1 ) ( 28 + 1 ) ( 216 + 1 ) − 232 = ( 22 - 1 )( 22 + 1 )( 24 + 1 ) ( 28 + 1 ) ( 216 + 1 ) − 232 = ( 24 - 1 )( 24 + 1 ) ( 28 + 1 ) ( 216 + 1 ) − 232 = ( 28 - 1 )( 28 + 1 )( 216 + 1 ) − 232 = ( 216 - 1 )( 216 + 1 ) − 232 = 232 − 1 − 232 = −1

Задание №522

Чему равно значение выражения:
1) 81 15 ∗ 8 20 − ( 6 30 + 1 ) ( 6 30 − 1 );
2) 5 24 − ( 5 3 − 2 ) ( 5 3 + 2 ) ( 5 6 + 4 ) ( 5 12 + 16 )?

Решение:

1) 81 15 ∗ 8 20 − ( 6 30 + 1 ) ( 6 30 − 1 ) = ( 3 4 )15 ∗ ( 2 3 )20 − ( 6 60 − 1 ) = 3 60 ∗ 2 60 − 6 60 + 1 = ( 3 ∗ 2 ) 60 − 6 60 + 1 = 6 60 − 6 60 + 1 = 1

2) 5 24 − ( 5 3 − 2 ) ( 5 3 + 2 ) ( 5 6 + 4 ) ( 5 12 + 16 ) = 5 24 − ( 5 6 − 4 ) ( 5 6 + 4 ) ( 5 12 + 16 ) = 5 24 − ( 5 12 − 16 ) ( 5 12 + 16 ) = 5 24 − ( 5 24 − 256 ) = 5 24 − 5 24 + 256 = 256

Задание №523

Сравните значение выражений, не вычисляя их:
1) 415 * 425 и 426 * 414;
2) 1234567 ∗ 1234569 и 1234568 2.

Решение:

1) 415 = 420 − 5;
425 = 420 + 5, следовательно:
415 ∗ 425 = ( 420 − 5 ) ( 420 + 5 ) = 4202 − 52.
426 = 420 + 6;
414 = 420 − 6, следовательно:
415 ∗ 425 = ( 420 − 6 ) ( 420 + 6 ) = 4202 − 62.
( 420 2 − 5 2 ) > ( 420 2 − 6 2 ), значит:
415 * 425 > 426 * 414.

2) 1234567 = 1234568 − 1;
1234569 = 1234568 + 1, следовательно:
1234567 ∗ 1234569 = ( 1234568 − 1 ) ( 1234568 + 1 ) = 12345682 − 1.
12345682 − 1 < 12345682, значит:
1234567 ∗ 1234569 < 12345682.

Задание №524

Сравните значение выражений, не вычисляя их:
1) 253 * 259 и 252 * 260;
2) 987654 2 и 987646 ∗ 987662.

Решение:

1) 253 = 256 − 3;
259 = 256 + 3, следовательно:
253 ∗ 259 = ( 256 − 3 ) ( 256 + 3 ) = 2562 − 32.
252 = 256 − 4;
260 = 256 + 4, следовательно:
252 ∗ 260 = ( 256 − 4 ) ( 256 + 4 ) = 2562 − 42.
( 2562 − 32 ) > ( 2562 − 42 ), значит:
253 * 259 > 252 * 260.

2) 9876542 и 987646 ∗ 987662
987646 = 987654 − 8;
987662 = 987654 + 8, следовательно:
987646 ∗ 987662 = ( 987654 − 8 ) ( 987654 + 8 ) = 9876542 − 82.
9876542 > 9876542 − 8 2, значит:
9876542 > 987646 ∗ 987662.

Задание №525

От села до станции Вася может доехать на велосипеде за 3 ч, а дойти пешком − за 7 ч. Скорость пешком на 8 км/ч меньше, чем скорость движения на велосипеде. С какой скоростью ездит Вася на велосипеде? На каком расстоянии находится село от станции?

Решение:

Пусть x км/ч − скорость Васи на велосипеде, тогда (x − 8) км/ч − скорость Васи пешком.
3x = 7(x − 8) км - расстояние от села до станции.
Составим уравнение:
3x = 7x − 56
3x − 7x = −56
−4x = −56
x = −56 : (−4)
x = 14
Значит, 14 км/ч − скорость Васи на велосипеде;
3x = 3 * 14 = 42 (км) - расстояние от села до станции.
Ответ: 42 км.