Задание №504

Упростите выражение:
1) ( 2 a − b ) ( 2 a + b ) + b2;
2) 10 x2 + ( y − 5 x ) ( y + 5 x );
3) 64 m2 − ( 8 m + 9 ) ( 8 m − 9 );
4) ( 4 x − 7 y ) ( 4 x + 7 y ) + ( 7 x − 4 y ) ( 7 x + 4 y );
5) ( a − 2 ) ( a + 3 ) + ( 6 − a ) ( a + 6 );
6) 3 a ( a − b ) − ( 3 a + 2 b ) ( 3 a − 2 b ).

Решение:

1) ( 2 a − b ) ( 2 a + b ) + b2 = 4 a2 − b2 + b2 = 4 a2

2) 10 x2 + ( y − 5 x ) ( y + 5 x ) = 10 x2 + y2 − 25 x2 = y2 − 15 x2

3) 64 m2 − ( 8 m + 9 ) ( 8 m − 9 ) = 64 m2 − ( 64 m2 − 81 ) = 64 m2 − 64 m2 + 81 = 81

4) ( 4 x − 7 y ) ( 4 x + 7 y ) + ( 7 x − 4 y ) ( 7 x + 4 y ) = 16 x2 − 49 y2 + 49 x2 − 16 y2 = 65 x2 − 65 y2 = 65 ( x2 − y2 )

5) ( a − 2 ) ( a + 3 ) + ( 6 − a ) ( a + 6 ) = a2 − 2 a + 3 a − 6 + 36 − a2 = a + 30

6) 3 a ( a − b ) − ( 3 a + 2 b ) ( 3 a − 2 b ) = 3 a2 − 3 a b − ( 9 a2 − 4 b2 ) = 3 a2 − 3 a b − 9 a2 + 4 b2 = − 6 a2 + 4 b2 − 3 a b

Задание №505

Упростите выражение:
1) ( 9 a − 2 ) ( 9 a + 2 ) + 18 a2;
2) 25 m2 − ( 5 m − 7 ) ( 5 m + 7 );
3) ( b + 7 ) ( b − 4 ) + ( 2 b − 6 ) ( 2 b + 6 );
4) 4 x ( 3 x − 10 y ) − ( 4 x + y ) ( 4 x − y ).

Решение:

1) ( 9 a − 2 ) ( 9 a + 2 ) − 18 a2 = 81 a2 − 4 − 18 a2 = 63 a2 − 4

2) 25 m2 − ( 5 m − 7 ) ( 5 m + 7 ) = 25 m2 − ( 25 m2 − 49 ) = 25 m2 − 25 m2 + 49 = 49

3) ( b + 7 ) ( b − 4 ) + ( 2 b − 6 ) ( 2 b + 6 ) = b2 + 7 b − 4 b − 28 + 4 b2 − 36 = 5 b2 + 3 b − 64

4) 4 x ( 3 x − 10 y ) − ( 4 x + y ) ( 4 x − y ) = 12 x2 − 40 x y − ( 16 x2 − y2 ) = 12 x2 − 40 x y − 16 x2 + y2 = − 4 x2 − 40 x y + y2

Задание №506

На какое выражение надо умножить двучлен

0, 3 x3 − x y2, чтобы произведение было равно двучлену 0, 09 x6 − x2 y4?

Решение:

( 0, 09 x6 − x2 y4 ) : ( 0, 3 x3 − x y2 ) = 0, 3 x3 + x y2

Задание №507

На какое выражение надо умножить многочлен

7 t4 + 9 p5, чтобы произведение было равно многочлену 49 t8 − 81 p10?

Решение:

( 49 t8 − 81 p10 ) : ( 7 t4 + 9 p5 ) = 7 t4 − 9 p5

Задание №508

Какие одночлены надо поставить вместо звездочек, чтобы выполнялось тождество:
1) ( ∗ − 12 a ) ( ∗ + ∗ ) = 9 b2 − ∗;
2) ( ∗ − 5 c ) ( ∗ + 5 c ) = 16 d2 − ∗;
3) ( 0, 7 p + ∗ ) ( ∗ − 0, 7 p ) = 1/9 m8 − 0, 49 p2;
4) ( 3 m2 + ∗ ) ( ∗ − ∗ ) = 9 m4 − n6?

Решение:

1) ( 3 b − 12 a ) ( 3 b + 12 a ) = 9 b2 − 144 a2

2) ( 4 d − 5 c ) ( 4 d + 5 c ) = 16 d2 − 25 c2

3) $(0,7p+\frac13m^4)(\frac13m^4-0,7p)=\frac19m^8-0,49p^2$

4) ( 3 m2 + n3 ) ( 3 m2 − n3 ) = 9 m4 − n6

Задание №509

Подставьте вместо звездочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:
1) ( 8 a2 − ∗ ) ( 8 a2 + ∗ ) = ∗ − 25 c6;
2) ( ∗ − 1/12 x4 y5 ) ( 1/15 a2 + ∗ ) = 1/225 a4 − 1/144 x8 y10.

Решение:

1) ( 8 a2 − 5 c3 ) ( 8 a2 + 5 c3 ) = 64 a4 − 25 c6

2) $(\frac1{15}a^2-\frac1{12}x^4y^5)(\frac1{15}a^2+\frac1{12}x^4y^5)=\frac1{225}a^4-\frac1{144}x^8y^{10}$

Задание №510

Представьте в виде многочлена выражение:
1) a(a − 2)(a + 2);
2) −3(x + 3)(x − 3);
3) 7 b2 ( b + 4 ) ( 4 − b );
4) ( c − d ) ( c + d ) ( c2 + d2 );
5) ( 2 a − 1 ) ( 2 a + 1 ) ( 4 a2 + 1 );
6) ( c3 − 5 ) ( c3 + 5 ) ( c6 + 25 ).

Решение:

1) a ( a − 2 ) ( a + 2 ) = a ( a2 − 4 ) = a3 − 4 a

2) − 3 ( x + 3 ) ( x − 3 ) = − 3 ( x2 − 9 ) = − 3 x2 + 27

3) 7 b2 ( b + 4 ) ( 4 − b ) = 7 b2 ( 16 − b2 ) = 112 b2 − 7 b4

4) ( c − d ) ( c + d ) ( c2 + d2 ) = ( c2 − d2 ) ( c2 + d2 ) = c4 − d4

5) ( 2 a − 1 ) ( 2 a + 1 ) ( 4 a2 + 1 ) = ( 4 a2 − 1 ) ( 4 a2 + 1 ) = 16 a4 − 1

6) ( c3 − 5 ) ( c3 + 5 ) ( c6 + 25 ) = ( c6 − 25 ) ( c6 + 25 ) = c12 − 625

Задание №511

Выполните умножение:
1) 5b(b − 1)(b + 1);
2) ( c + 2 ) ( c − 2 ) ∗ 8 c 2;
3) ( m − 10 ) ( m2 + 100 ) ( m + 10 );
4) ( a2 + 1 ) ( a2 − 1 ) ( a4 + 1 ).

Решение:

1) 5 b ( b − 1 ) ( b + 1 ) = 5 b ( b2 − 1 ) = 5 b3 − 5 b

2) ( c + 2 ) ( c − 2 ) ∗ 8 c2 = ( c2 − 4 ) ∗ 8 c2 = 8 c4 − 32 c2

3) ( m − 10 ) ( m2 + 100 ) ( m + 10 ) = ( m2 + 100 ) ( m2 − 100 ) = m4 − 10000

4) ( a2 + 1 ) ( a2 − 1 ) ( a4 + 1 ) = ( a4 − 1 ) ( a4 + 1 ) = a8 − 1

Задание №512

Выполните умножение двучленов (n − натуральное число):
1) ( a n − 4 ) ( a n + 4 );
2) ( b2n + c3n ) ( b2n − c3n );
3) ( x4n + yn + 2 ) ( yn + 2 − x4n );
4) ( a n + 1 − bn − 1 ) ( a n + 1 + bn − 1 ), n > 1.

Решение:

1) ( a n − 4 ) ( a n + 4 ) = ( a n )2 − 4 2 = a2n − 16

2) ( b2n + c3n ) ( b2n − c3n ) = ( b2n )2 − ( c3n )2 = b4n − c6n

3) ( x4n + yn + 2 ) ( yn + 2 − x4n ) = ( yn + 2 )2 − ( x4n )2 = y2n + 4 − x8n

4) ( an + 1 − bn − 1 ) ( an + 1 + bn − 1 ) = ( an + 1 )2 − ( bn − 1 )2 = a2n + 2 − b2n − 2

Задание №513

Упростите выражение:
1) (8a − 3)(8a + 3) − (7a + 4)(8a − 4);
2) 0,6m(2m − 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 − 5m);
3) (7 − 2x)(7 + 2x) − (x − 8)(x + 8) − (4 − 3x)(5 + 3x);
4) − b2 c ( 4 b − c2 ) ( 4 b + c2 ) + 16 b4 c.

Решение:

1) ( 8 a − 3 ) ( 8 a + 3 ) − ( 7 a + 4 ) ( 8 a − 4 ) = 64 a2 − 9 − ( 56 a2 + 32 a − 28 a − 16 ) = 64 a2 − 9 − 56 a2 − 32 a + 28 a + 16 = ( 64 a2 − 56 a2 ) + ( − 32 a + 28 a ) + ( − 9 + 16 ) = ( 8 a2 − 4 a ) + 7 = 4 a ( 2 a − 1 ) + 7

2) 0, 6 m ( 2 m − 1 ) ( 2 m + 1 ) + 0, 3 ( 6 + 5 m ) ( 6 − 5 m ) = 0, 6 ( 4 m2 − 1 ) + 0, 3 ( 36 − 25 m2 ) = 0, 3 ( 2 ( 4 m2 − 1 ) + 36 − 25 m2 ) = 0, 3 ( 8 m2 − 2 + 36 − 25 m2 ) = 0, 3 ( − 17 m2 + 34 ) = − 5, 1 m2 + 10, 2 = 5, 1 ( 2 − m2 )

3) ( 7 − 2 x ) ( 7 + 2 x ) − ( x − 8 ) ( x + 8 ) − ( 4 − 3 x ) ( 5 + 3 x ) = 49 − 4 x2 − ( x2 − 64 ) − ( 20 − 15 x + 12 x − 9 x2 ) = 49 − 4 x2 − x2 + 64 − 20 + 15 x − 12 x + 9 x2 = ( − 4 x2 − x2 + 9 x2 ) + ( 15 x − 12 x ) + ( 49 + 64 − 20 ) = 4 x2 + 3 x + 93

4) − b2 c ( 4 b − c2 ) ( 4 b + c2 ) + 16 b4 c = − b2 c ( 16 b2 − c4 ) + 16 b4 c = − 16 b4 c + b c4 + 16 b4 c = b c4