Задание №463
Вынесите за скобки общий множитель (n − натуральное число):
1) a n + 1 + a n;
2) b n − b n − 3, n > 3;
3) c n + 2 + c n − 4, n > 4;
4) d2 n − d n;
5) 2 n + 3 + 3 ∗ 2 n + 2 − 5 ∗ 2 n + 1;
6) 9 n + 1 + 3 n + 2.
Решение:
1) a n + 1 + a n = a n ( a + 1 )
2) b n − b n − 3 = b n − 3 ( b3 − 1 )
3) c n + 2 + c n − 4 = c n − 4 ( c6 + 1 )
4) d2 n − d n = d n ( d n − 1 )
5) 2 n + 3 + 3 ∗ 2 n + 2 − 5 ∗ 2 n + 1 = 2 n + 1 ( 2 2 + 3 ∗ 2 1 − 5 ) = 2 n + 1 ∗ 5
6) 9 n + 1 + 3 n + 2 = ( 3 2 ) n + 1 + 3 n + 2 = 3 2 n + 2 + 3 n + 2 = 3 n + 2 ( 3 n + 1 )
Задание №464
Разложите на множители (n − натуральное число):
1) a n + 2 − a n;
2) 3 b n + 2 − 2 b n + 1 + b n;
3) 32 b n + 16 b2 n + 1.
Решение:
1) a n + 2 − a n = a n ( a2 − 1 )
2) 3 b n + 2 − 2 b n + 1 + b n = b n ( 3 b2 − 2 b + 1 )
3) 32 b n + 16 b2 n + 1 = ( 2 5 ) n + ( 2 4 )2 n + 1 = 2 5 n + 2 8 n + 4 = 2 5 n ( 1 + 2 3 n + 4 )
Задание №465
Известно, что значение выражения
y2 − 4 y + 2 равно 6. Найдите значение выражения:
1) 5 y2 − 20 y + 10;
2) y2 ( y2 − 4 y + 2 ) − 4 y ( y2 − 4 y + 2 );
3) 3 y2 − 12 y + 8.
Решение:
1) 5 y2 − 20 y + 10 = 5 ( y2 − 4 y + 2 ) = 5 ∗ 6 = 30
2) y2 ( y2 − 4 y + 2 ) − 4 y ( y2 − 4 y + 2 ) = ( y2 − 4 y + 2 ) ( y2 − 4 y ) = 6 ( y2 − 4 y ), так как:
y2 − 4 y + 2 = 6, то:
y2 − 4 y = 6 − 2
y2 − 4 y = 4, следовательно 6 ( y2 − 4 y ) = 6 ∗ 4 = 24.
3) 3 y2 − 12 y + 8 = 3 ( y2 − 4 y ) + 8 так как:
y2 − 4 y + 2 = 6, то:
y2 − 4 y = 6 − 2
y2 − 4 y = 4, следовательно 3 ( y2 − 4 y ) + 8 = 3 ∗ 4 + 8 = 12 + 8 = 20.
Задание №466
Известно, что значение выражения
a 2 + 2 a − 5 равно −4. Найдите значение выражения:
1) − 2 a2 − 4 a + 10;
2) a2 ( a2 + 2 a − 5 ) + 2 a ( a2 + 2 a − 5 );
3) 4 a2 + 8 a − 16.
Решение:
1) − 2 a2 − 4 a + 10 = − 2 ( a2 + 2 a − 5 ) = − 2 ∗ ( − 4 ) = 8
2) a2 ( a2 + 2 a − 5 ) + 2 a ( a2 + 2 a − 5 ) = ( a2 + 2 a − 5 ) ( a2 + 2 a ) = − 4 ( a2 + 2 a ), так как:
a2 + 2 a − 5 = − 4, то:
a2 + 2 a = − 4 + 5
a2 + 2 a = 1, следовательно − 4 ( a2 + 2 a ) = − 4 ∗ 1 = − 4.
3) 4 a2 + 8 a − 16 = 4 ( a2 + 2 a ) − 16, так как:
a2 + 2 a − 5 = − 4, то:
a2 + 2 a = − 4 + 5
a2 + 2 a = 1, следовательно 4 ( a2 + 2 a ) − 16 = 4 ∗ 1 − 16 = − 12.
Задание №467
При каком значении a не имеет корней уравнение:
1) (x + 1)(x − 3) − x(x − 3) = ax;
2) x(5x − 1) − (x − a)(5x − 1) = 4x − 2a;
3) (2x − 5)(x + a) − (2x + 3)(x + 1) = 4.
Решение:
1) (x + 1)(x − 3) − x(x − 3) = ax
x2 + x − 3 x − 3 − x2 + 3 x = a x
x − 3 = ax
x − ax = 3
x(1 − a) = 3
При a = 1 уравнение принимает вид:
x(1 − 1) = 3
0x = 3
0 ≠ 3
2) x(5x − 1) − (x − a)(5x − 1) = 4x − 2a
5 x2 − x − 5 x2 + 5 a x + x − a = 4 x − 2 a
5ax − a = 4x − 2a
5ax − a − 4x + 2a = 0
5ax − 4x + a = 0
5ax − 4x = −a
x(5a − 4) = −a
5a − 4 = 0
5a = 4
a = 4 : 5
a = 0,8, то есть при a = 0,8 уравнение примет вид:
x(5 * 0,8 − 4) = −0,8
x(4 − 4) = −0,8
0 ≠ −0,8
3) (2x − 5)(x + a) − (2x + 3)(x + 1) = 4
2 x2 − 5 x + 2 a x − 5 a − 2 x2 − 3 x − 2 x − 3 = 4
− 10 x + 2 a x − 5 a − 3 = 4
− 2 x ( 5 − a ) = 4 + 3 + 5 a
− 2 x ( 5 − a ) = 7 + 5 a
5 − a = 0
−a = −5
a = 5, то есть при a = 5 уравнение примет вид:
− 2 x ( 5 − 5 ) = 7 + 5 ∗ 5
− 2 x ∗ 0 = 7 + 25
0 ≠ 32
Задание №468
При каком значении a имеет бесконечно много корней уравнение:
1) (x − 4)(x + a) − (x + 2)(x − a) = −6;
2) x(3x − 2) − (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6?
Решение:
1) (x − 4)(x + a) − (x + 2)(x − a) = −6
x2 − 4 x + a x − 4 a − x2 − 2 x + a x + 2 a = − 6
−6x + 2ax − 2a = −6
2ax − 6x = 2a − 6
2x(a − 3) = 2(a − 3)
a − 3 = 0
a = 3
при a = 3 уравнение примет вид:
2x(3 − 3) = 2(3 − 3)
0 = 0
2) x(3x − 2) − (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6
3 x2 − 2 x − 3 x2 − 6 a x − 2 x − 4 a = 5 a + 6
−4x − 6ax − 4a = 5a + 6
−4x − 6ax = 5a + 6 + 4a
−2x(2 + 3a) = 9a + 6
2 + 3a = 0
3a = −2
a = − 2/3
при a = − 2/3 уравнение примет вид:
− 2 x ( 2 + 3 ∗ ( − 2/3 ) ) = 9 ∗ ( − 2/3 ) + 6
−2x(2 − 2) = −6 + 6
0 = 0
Задание №469
Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1.
Решение:
10a + b − искомое число, тогда:
10a + b = (a + 1)(b + 1)
10a + b = ab + b + a + 1
10a + b = ab + b + a + 1
10a + b − a − b − 1 = ab
9a − 1 = ab
b = (9 a − 1) : a, где а натуральное число от 1 до 9.
a = 1 − единственное значение, при котором значение b будет целое однозначное число.
b = (9 ∗ 1 − 1) : 1 = 8, следовательно условию задачи будет удовлетворять число 10a + b = 10 * 1 + 8 = 10 + 8 = 18.
Задание №470
Упростите выражение:
1) 0, 42 a c3 ∗ 1 3/7 a4 c 2;
2) 1, 2 x y z ∗ 2 1/6 x5 y 6;
3) − 2 1/3 m2 n p3 ∗ ( 3/7 n p4 )2;
4) ( 1 1/2 x2 y3 )5 ∗ 16/27 x8 y 2.
Решение:
1) $0,42ac^3\ast1\frac37a^4c^2=\frac{42}{100}ac^3\ast\frac{10}7a^4c^2=\frac{21}{50}\ast\frac{10}7a^5c^5=\frac35\ast\frac11a^5c^5=0,6a^5c^5$
2) $1,2xyz\ast2\frac16x^5y^6=\frac{12}{10}xyz\ast\frac{13}6x^5y^6=\frac65\ast\frac{13}6x^6y^7z=\frac15\ast\frac{13}1x^6y^7z=\frac{13}5x^6y^7z=2,6x^6y^7z$
3) $-2\frac13m^2np^3\ast(\frac37np^4)^2=-\frac73m^2np^3\ast\frac9{49}n^2p^8=-\frac11\ast\frac37m^2n^3p^{11}=-\frac37m^2n^3p^{11}$
4) $(1\frac12x^2y^3)^5\ast\frac{16}{27}x^8y^2=\frac{243}{32}x^{10}y^{15}\ast\frac{16}{27}x^8y^2=\frac92\ast\frac11x^{18}y^{17}=4,5x^{18}y^{17}$
Задание №471
Содержание соли в морской воде составляет 5%. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в полученном растворе составило 3%?
Решение:
5% = 0,05
30 * 0,05 = 1,5 (кг) - соли в 30 кг морской воды;
1,5 кг - 3%
х кг - 100%
1,5 * 100 : 3 = 50 (кг) - масса трехпроцентного раствора соли
50 − 30 = 20 (кг) - пресной воды необходимо добавить
Ответ: 20 кг.
Задание №472
Для ремонта школы купили краску. В первый день потратили на 2 банки краски больше, чем половина всей краски, а во второй − 5/8 количества банок краски, потраченной в первый день. После этого осталось 2 банки. Сколько банок краски купили?
Решение:
Пусть x банок краски купили, тогда 1/2 x - половина банок купленной краски, (1/2 x + 2) банок краски потратили в первый день, 5/8 ( 1/2 x + 2 ) банок краски потратили во второй день, а после двух дней осталось 2 банки краски.
Составим уравнение:
x − ( 1/2 x + 2 ) − 5/8 ( 1/2 x + 2 ) = 2
x − 1/2 x − 2 − 5/16 x − 5/4 = 2
$\frac{16-8-5}{16}x=2+2+\frac54$
3/16 x = 21/4
x = 21/4 : 3/16
x = 21/4 ∗ 16/3
x = 7/1 ∗ 4/1
x = 28
Значит, всего было куплено 28 банок краски.
Ответ: 28 банок
