Задание 192. а) На участке железнодорожного пути старые 8−метровые рельсы меняют на новые 12−метровые. Снято 180 старых рельсов. На сколько меньше потребуется новых рельсов, чтобы заменить старые?
б) двигаясь со скоростью 50 км/ч, электропоезд прошел перегон за 12 мин. На сколько надо увеличить скорость, чтобы сократить время прохождения этого перегона на 2 мин?
Решение
а) Пусть x (новых рельсов) − потребуется.
8−метровые рельсы − 180 рельсов
12−метровые рельсы − x рельсов
Обратная пропорциональность.
$\frac{8}{12} = \frac{x}{18}$
$x = \frac{8 * 180}{12} = 8 * 15 = 120$ (новых рельсов) − потребуется;
180 − 120 = на 60 (новых рельсов) − потребуется меньше.
Ответ: на 60 новых рельсов.
б) Пусть на x (км/ч) − нужно увеличить скорость электропоезда.
50 км/ч − 12 мин
(50 + x) км/ч − (12 − 2) мин
Обратная пропорциональность.
$\frac{50}{50 + x} = \frac{10}{12}$
$50 + x = \frac{50 * 12}{10}$
50 + x = 60
x = 60 − 50 = на 10 (км/ч) − нужно увеличить скорость.
Ответ: на 10 км/ч.
Задание 193. Чтобы связать шарф размером 20×100 см, потребуется 125 г шерсти. Сколько такой же шерсти нужно, чтобы связать шарф размером 12×80 см? 24×120 см?
Решение
20 * 100 = 2000 $(см^2)$ − площадь первого шарфа;
12 * 80 = 960 $(см^2)$ − площадь второго шарфа;
Пусть x (г) − шерсти потребуется для второго шарфа.
2000 $см^3$ − 125 г шерсти
960 $см^2$ − x г шерсти
Прямая пропорциональность.
$\frac{2000}{960} = \frac{125}{x}$
$x = \frac{125 * 960}{2000} = 60$ (г) − шерсти потребуется для второго шарфа;
24 * 120 = 2880 $(см^2)$ − площадь третьего шарфа;
2000 $см^3$ − 125 г шерсти
2880 $см^3$ − x г шерсти
Прямая пропорциональность.
$\frac{2000}{2880} = \frac{125}{x}$
$x = \frac{125 * 2880}{2000} = 180$ (г) − шерсти потребуется для третьего шарфа.
Ответ: 60 г; 180 г.
Задание 194. Проехав 40% всего пути за 2,4 ч, водитель автомобиля сделал остановку. Следующую остановку он планирует сделать в пункте, после которого ему останется проехать четверть всего пути. Через какое время он сделает вторую остановку, если будет ехать с той же скоростью?
Решение от 7 гуру
Пусть весь путь равен 1, тогда:
0,4 (км) − путь до остановки;
$(1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} = 0,75$ (пути) − вторая остановка;
x (ч) − время от начала пути, через которое автомобиль сделает вторую остановку.
0,4 пути − 2,4 ч
0,75 пути − x ч
$\frac{0,4}{0,75} = \frac{2,4}{x}$
$x = \frac{0,75 * 2,4}{0,4} = 0,75 * 6 = 5,5$ (ч) − время от начала пути, через которое автомобиль сделает вторую остановку;
5,5 − 2,4 = 3,1 (ч) − время после первой остановки, через которое водитель сделает вторую остановку.
Ответ: через 3,1 часа.
Задание 195. а) Девять рабочих, работая с одинаковой производительностью, могут выполнить работы за 10 ч. Сколько еще нужно рабочих, чтобы эта работа была выполнена за 6 ч?
б) Через две трубы вода из бассейна выливается за 3 ч. Сколько еще надо подключить труб, чтобы вода вылилась за 2 ч?
Решение задач
а) Пусть x (рабочих) − еще нужно.
9 рабочих − 10 ч
(9 + ч) рабочих − 6 ч
Обратная пропорциональность.
$\frac{9}{9 + x} = \frac{6}{10}$
$9 + x = \frac{9 * 10}{6}$
9 + x = 15
x = 15 − 9
x = 6 (рабочих) − еще нужно.
Ответ: 6 рабочих.
б) Пусть x (труб) − еще нужно подключить.
2 трубы − 3 ч
(2 + x) труб − 2 ч
Обратная пропорциональность.
$\frac{2}{2 + x} = \frac{2}{3}$
$2 + x = \frac{2 * 3}{2}$
2 + x = 3
x = 3 − 2
x = 1 (трубу) − еще нужно добавить.
Ответ: 1 трубу.
Задание 196. а) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 15 ч, а другая эту же рукопись − за 25 ч. Они вместе отпечатали рукопись, одновременно начав и закончив работу. Первая отпечатала 150 страниц. Сколько страниц отпечатала вторая машинистка и сколько страниц в рукописи?
б) Одно и то же расстояние один пешеход проходит за 2 ч, а другой − за 3 ч. Они одновременно вышли навстречу друг другу, первый из пункта A, второй из пункта B, и встретились в 3,6 км от пункта A. Чему равно расстояние между пунктами?
Решение
а) Пусть x (страниц) − в рукописи, тогда:
$\frac{x}{15}$ (стр./ч) − скорость работы одной машинистки;
$\frac{x}{25}$ (стр./ч) − скорость работы другой машинистки.
Пусть y (страниц) − отпечатала другая машинистка, работая вместе.
$\frac{x}{15}$ стр./ч − 150 страниц
$\frac{x}{25}$ стр./ч − y страниц
Прямая пропорциональность.
$\frac{\frac{x}{15}}{\frac{x}{25}} = \frac{150}{y}$
$\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{25}} = \frac{150}{y}$
$y = \frac{1}{25} * 150 : \frac{1}{15} = 6 * 15 = 90$ (страниц) − отпечатала другая машинистка;
250 + 90 = 340 (страниц) − в рукописи.
Ответ: 90 страниц; 340 страниц.
б) Пусть x (км) − расстояние между A и B, тогда:
$\frac{x}{2}$ (км/ч) − скорость первого пешехода;
$\frac{x}{3}$ (км/ч) − скорость второго пешехода.
$\frac{x}{2}$ км/ч − 3,6 км
$\frac{x}{3}$ км/ч − (x − 3,6) км/ч
Прямая пропорциональность.
$\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{3}} = \frac{3,6}{x - 3,6}$
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3,6}{x - 3,6}$
$x - 3,6 = 3,6 * \frac{1}{3} : \frac{1}{2}$
x − 3,6 = 1,2 * 2
x − 3,6 = 2,4
x = 2,4 + 3,6
x = 6 (км) − расстояние между A и B.
Ответ: 6 км
Задание 197. а) Дана пропорция 16 : 10 = 24 : 15. Убедитесь, что вы вновь получите пропорцию, если:
поменяете местами крайние члены;
поменяете местами средние члены;
замените каждое отношение обратным.
б) Используя пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, запишите три новые пропорции. (Убедитесь в том, что полученные равенства действительно являются пропорциями.) Сформулируйте соответствующие свойства пропорции.
в) Чему равно отношение a к b, если известно, что
a : 1,2 = b : 1,5;
0,9 : b = 2,7 : a?
Решение
а) 16 : 10 = 24 : 15
меняем крайние члены:
15 : 10 = 24 : 16
1,5 = 1,5 − верно.
меняем средние члены:
16 : 24 = 10 : 15
$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ − верно
обратное соотношение:
10 : 16 = 15 : 24
$\frac{5}{8} = \frac{5}{8}$ − верно
б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
по основному свойству пропорции ad = bc
меняем крайние члены:
$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
меняем средние члены:
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
обратное соотношение:
$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
воспользовались основным свойством пропорции bc = ad. В пропорции можно менять крайние члены, средние члены, записать обратное соотношение, и при этом пропорция останется верной.
в) a : 1,2 = b : 1,5;
$\frac{a}{b} = \frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
0,9 : b = 2,7 : a;
$\frac{a}{b} = \frac{2,7}{0,9} = \frac{27}{9} = 3$.