Задание 476. а) Объясните, почему число, равное сумме 5 * 29 + 5 * 17, делится на 5. Какие еще простые делители есть у этого числа? Назовите какие−нибудь его делители, являющиеся составными числами.
б) Объясните, почему число, равное разности 41 * 7 − 17 * 7, делится на 7. Какие еще простые делители есть у этого числа?
Решение
а) 5 * 29 + 5 * 17 = 5 * (29 + 17) − делится на 5
5 * 29 + 5 * 17 = 5 * (29 + 17) = 5 * 46 = 5 * (40 + 6) = 5 * 40 + 5 * 6 = 200 + 30 = 230
230 = 10 * 23 = 5 * 2 * 23
Простые делители: 2; 5; 23.
Составные делители: 10; 46.
б) 41 * 7 − 17 * 7 = 7 * (41 − 17) − делится на 7
41 * 7 − 17 * 7 = 7 * (41 − 17) = 7 * 24 = 7 * (20 + 4) = 7 * 20 + 7 * 4 = 140 + 28 = 168
168 = 2 * 84 = 2 * 21 * 4 = 2 * 7 * 3 * 2 * 2
Простые делители: 2, 3, 7.
Составные делители: 6, 21, 84.
Задание 477. 1) В каждом из следующих случаев рассмотрите числовые примеры и ответьте на поставленный вопрос. Каким числом − четным или нечетным − является:
а) сумма двух четных чисел;
б) сумма четного и нечетного чисел;
в) произведение четного и нечетного чисел?
2) Сформулируйте и запишите соответствующие утверждения и докажите их, опираясь на свойства делимости.
Решение
1) а)
4 + 6 = 2 * 2 + 2 * 3
Ответ: сумма двух четных чисел − число четное, так как оба слагаемых делятся на 2.
б) 4 + 5 = 9
Ответ: сумма четного и нечетного чисел − число нечетное.
в) 3 * 2 = 6
6 : 2 = 3
Ответ: так как один из множителей четное число (делится на 2), то и произведение будет делится на 2, а значит будет четным.
2) Сумма двух четных чисел является четным числом, так как каждое из слагаемых делится на 2.
Сумма двух нечетных чисел не является четным, так как оба числа на делятся на 2.
Сумма четного и нечетного чисел не является четным, так как одно из слагаемых не делится на 2.
Произведение четного и нечетного числа является четным, так как один из множителей делится на 2.
Задание 478. 1) Докажем, что число 217 не делится на 17. Для этого разобьем число 217 на слагаемые так, чтобы ответ на вопрос об их делимости на 17 был очевиден:
217 = 170 + 47.
Первое слагаемое делится на 17, а второе нет. Значит, и их сумма не делится на 17.
2) Докажите следующее утверждение, разбив данное число на слагаемые:
а) число 128 делится на 8;
б) число 238 не делится на 22;
в) число 385 делится на 11.
Решение
а) 128 = 80 + 48
80 : 8 = 10
48 : 8 = 6
б) 238 = 220 + 18
220 : 22 = 10
18 − не делится на 22
в) 385 = 330 + 55
330 : 11 = 30
55 : 11 = 5
Задание 479. Может ли:
а) сумма двух простых чисел быть простым числом; составным числом?
б) произведение двух простых чисел быть простым числом; составным числом?
Решение
а) Сумма двух простых чисел может быть простым числом, например 11 + 2 = 13
б) Произведение двух простых чисел не может быть простым числом, только составным, так как у произведения делителями являются 1, первый множитель, второй множитель и произведение.
Задание 480. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 2, 3 и 5;
б) 3, 9 и 18.
Решение
а) НОК(2;3;5) = 2 * 3 * 5 = 2 * 15 = 30
б) НОК(3;9;18) = 18
Задание 481. Является ли данный ряд чисел рядом кратных и если да, то какого числа:
а) 2, 4, 6, 8, 10, ...;
б) 1, 3, 5, 7, 9, ...;
в) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
г) 3, 6, 9, 12, 15, ...;
д) 5, 15, 25, 35, 45, ...;
е) 2, 4, 8, 16, 32, ...?
Решение
а) Числа 2, так как все числа четные.
б) Не является, так как есть простые числа в ряду.
в) Числа 4, так как все числа делятся на 4.
г) Числа 3, так как все числа делятся на 3.
д) Числа 5, так как все числа делятся на 5.
е) Числа 2, так как все числа четные и первое число равно 2.
Задание 482. В коробке лежат синие авторучки − всего 70 штук. Синих авторучек на 10 меньше, чем черных. Сколько черных авторучек в коробке?
Решение
1) 70 − 10 = 60 (ручек) − лежало бы в коробке, если бы авторучек было поровну;
2) 60 : 2 = 30 (синих) − авторучек было в коробке;
3) 30 + 10 = 40 (черных) − авторучек было в коробке.
Ответ: 40 черных авторучек.
Задание 483. Определите на глаз, есть ли в четырехугольнике, изображенном на рисунке 6.3, прямой угол, какой из его углов тупой, сколько у него острых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла четырехугольника. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.
Решение
∠B = 90° − прямой;
∠A = 120° − тупой;
∠C = 65° − острый;
∠D = 85° − острый.
AD = 21 см,
BC = 33 мм,
CD = 34 мм,
AB = 19 мм.
P = AD + BC + CD + AB = 21 + 33 + 34 + 19 = 21 + 19 + 33 + 34 = 40 + 67 = 107 мм.
Ответ: 107 мм.
