Ответы к странице 67 №341-348 ГДЗ к учебнику Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Задание № 341

Докажите, что:
1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5;
2) сумма трех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 6;
3) сумма четырех последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 8;
4) сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4;
5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.

Решение:

1) Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3;
пятое число = n + 4.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 = 5(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 5, очевидно, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5.

2) Пусть первое четное натуральное число равно 2n, тогда:
второе число = 2n + 2;
третье число = 2n + 4.
Найдем сумму:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1), так как выражение n + 1 умножается на 6, очевидно, что сумма трех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 6.

3) Пусть первое нечетное натуральное число равно 2n + 1, тогда:
второе число = 2n + 3;
третье число = 2n + 5;
четвертое число = 2n + 7.
Найдем сумму:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 8, очевидно, что сумма четырех последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 8.

4) Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 = (4n + 4) + 2 = 4(n + 1) + 2, сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4, а остаток при делении будет равен 2.

5) Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3;
пятое число = n + 4;
шестое число = n + 5.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 6n + 15 = (6n + 12) + 3 = 6(n + 2) + 3, следовательно остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.

Задание № 342

Докажите, что:
1) сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3;
2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7;
3) сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 4;
4) сумма пяти последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 10.

Решение:

1) Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 6 = 3(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 3, очевидно, что сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3.

2) Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3;
пятое число = n + 4;
шестое число = n + 5;
седьмое число = n + 6.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 n + 6 = 7n + 21 = 7(n + 3), так как выражение n + 3 умножается на 7, очевидно, что сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

3) Пусть первое четное натуральное число равно 2n, тогда:
второе число = 2n + 2;
третье число = 2n + 4;
четвертое число = 2n + 6.
Найдем сумму:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 8n + 12 = 4(2n + 3), так как выражение 2n + 3 умножается на 4, очевидно, что сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 4.

4) Пусть первое четное натуральное число равно 2n, тогда:
второе число = 2n + 2;
третье число = 2n + 4;
четвертое число = 2n + 6;
пятое число = 2n + 8.
Найдем сумму:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 10, очевидно, что сумма пяти последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 10.

Задание № 343

Докажите, что:
1) сумма чисел
a b  , b c  и c a  делится нацело на 11;
2) разность чисел a b c  и c b a  делится нацело на 99.

Решение:

    __     __     __
1) a b + b c + c a = ( 10 a + b ) + ( 10 b + c ) + ( 10 c + a ) = ( 10 a + a ) + ( 10 b + b ) + ( 10 c + c ) = 11 a + 11 b + 11 c = 11 ( a + b + c ),
так как выражение a + b + c умножается на 11, очевидно, что сумма этих чисел делится нацело на 11.
    ____     ____
2) a b c  − c b a  = ( 100 a + 10 b + c ) − ( 100 c + 10 b + a ) = 100 a + 10 b + c − 100 c − 10 b − a = ( 100 a − a ) + ( 10 b − 10 b ) + ( − 100 c + c ) = 99 a + 0 + ( − 99 c ) = 99 a − 99 c = 99 ( a − c ), так как выражение a − c умножается на 99, очевидно, что разность этих чисел делится нацело на 99.

Задание № 344

Докажите, что:
1) сумма чисел       
a b c  , b c a  и c a b  кратна 111;
2) разность числа a b c  и суммы его цифр делится нацело на 9.

Решение:

   ____      ____    ____
1) a b c  + b c a  + c a b  = ( 100 a + 10 b + c ) + ( 100 b + 10 c + a ) + ( 100 c + 10 a + b ) = ( 100 a + a + 10 a ) + ( 10 b + 100 b + b ) + ( c + 10 c + 100 c ) = 111 a + 111 b + 111 c = 111 ( a + b + c ),
так как выражение a + b + c умножается на 111, очевидно, что сумма  кратна 111.
    ____
2) a b c  − ( a + b + c ) = ( 100 a + 10 b + c ) − ( a + b + c ) = 100 a + 10 b + c − a − b − c = ( 100 a − a ) + ( 10 b − b ) + ( c − c ) = 99 a + 9 b = 9 ( 11 a + b ),
так как выражение 11a + b умножается на 9, очевидно, что разность  делится нацело на 9.

Задание № 345

Докажите, что не существует таких значений x и y, при которых многочлены

5 x ² − 6 x y − 7 y ² и − 3 x ² + 6 x y + 8 y ², одновременно принимали бы отрицательные значения.

Решение:

Найдем сумму многочленов:
$(5x^2-6xy-7y^2)+(-3x^2+6xy+8y^2)=5x^2-6xy-7y^2-3x^2+6xy+8y^2=(5x^2-3x^2)+(-6xy+6xy)+(8y^2-7y^2)=2x^2+y^2$
Получается, что сумма многочленов всегда будет положительной, так как переменные возводятся в квадрат, следовательно не существует таких значений x и y, при которых многочлены принимали бы отрицательные значения, так как сумма двух отрицательных значений не может быть положительной.

Задание № 346

Расставьте скобки так, чтобы равенство стало тождеством:
1) x ² − 2 x + 1 − x ² − 2 x − 1 = 2;
2) x ² − 2 x + 1 − x ² − 2 x − 1 = − 2;
3) x ² − 2 x + 1 − x ² − 2 x − 1 = 0.

Решение:

1) ( x² − 2 x + 1 ) − ( x² − 2 x − 1 ) = 2
x² − 2 x + 1 − x² + 2 x + 1 = 2
( x² − x² ) + ( 2 x − 2 x ) + ( 1 + 1 ) = 2
2 = 2

2) x² − ( 2 x + 1 ) − ( x² − 2 x ) − 1 = − 2
x² − 2 x − 1 − x² + 2 x − 1 = − 2
( x² − x² ) + ( 2 x − 2 x ) + ( − 1 − 1 ) = − 2
−2 = −2

3) x² − 2 x + 1 − ( x² − 2 x ) − 1 = 0
x² − 2 x + 1 − x² + 2 x − 1 = 0
( x² − x² ) + ( 2 x − 2 x ) + ( 1 − 1 ) = 0
0 = 0

Задание № 347

Некоторое число сначала увеличили на 20%, а потом уменьшили результат на 20%. Установите, больше или меньше исходного полученное число и на сколько процентов.

Решение:

Пусть x − начальное число, тогда:
x + 0,2x = 1,2x − число после увеличения;
1,2x − 0,2 * 1,2x = 1,2x − 0,24x = 0,96x − число после уменьшения;
$\frac{x-0,96x}x$ * 100% = 0,04 * 100% = 4%, то есть после двух изменений число уменьшилось на 4%.

Задание № 348

Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую − за 6 ч. Сначала 2 ч была открыта первая труба, потом ее закрыли, но открыли вторую. За сколько часов был наполнен бассейн.

Решение:

Пусть вся вода в бассейне равна 1, тогда
1/3 часть бассейна наполняет первая труба за 1 ч;
1/6 часть бассейна наполняет вторая труба за 1 ч;
1/3 ∗ 2 = 2/3 (часть) бассейна наполнила водой первая труба за 2 ч;
1 − 2/3 = 1/3 (часть) бассейна осталось наполнить второй трубе;
1/3 : 1/6 = 1/3 ∗ 6/1 = 2 (часа) наполняла вторая труба бассейн;
2 + 2 = 4 (ч) потребовалось, чтобы наполнить бассейн.
Ответ: 4 часа.