Задание № 306

Найдите сумму многочленов:
1) − 5 x 2 − 4 и 8 x 2 − 6;
2) 2 x + 16 и − x 2 − 6 x − 20.

Решение:

1) $(-5x^2-4)+(8x^2-6)=-5x^2-4+8x^2-6=(-5x^2+8x^2)+(-4-6)=3x^2+(-10)=3x^2-10$

2) $(2x+16)+(-x^2-6x-20)=2x+16+-x^2-6x-20=-x^2+(2x-6x)+(16-20)=-x^2-4x-4$

Задание № 307

Найдите разность многочленов:
1) x 2 + 8 x и 4 − 3 x;
2) 2 x 2 + 5 x и 4 x 2 − 2 x;
3) 4 x 2 − 7 x + 3 и x 2 − 8 x + 11;
4) 9 m 2 − 5 m + 4 и − 10 m + m 3 + 5.

Решение:

1) $(x^2+8x)-(4-3x)=x^2+8x-4+3x=x^2+(8x+3x)-4=x^2+11x-4$

2) $(2x^2+5x)-(4x^2-2x)=2x^2+5x-4x^2+2x=(2x^2-4x^2)+(5x+2x)=-2x^2+7x$

3) $(4x^2-7x+3)-(x^2-8x+11)=4x^2-7x+3-x^2+8x-11=(4x^2-x^2)+(-7x+8x)+(3-11)=3x^2+x-8$

4) $(9m^2-5m+4)-(-10m+m^3+5)=9m^2-5m+4+10m-m^3-5=9m^2-m^3+(-5m+10m)+(4-5)=9m^2-m^3+5m-1$

Задание № 308

Упростите выражение:
1) ( 5 a 4 + 3 a 2 b − b 3 ) − ( 3 a 4 − 4 a 2 b − b 2 );
2) ( 12 x y − 10 x 2 + 9 y 2 ) − ( − 14 x 2 + 9 x y − 14 y 2 );
3) ( 7 a b 2 − 8 a b + 4 a 2 b ) + ( 10 a b − 7 a 2 b );
4) ( 2 c 2 + 3 c ) + ( − c 2 + c ) − ( c 2 + 4 c − 1 ).

Решение:

1) $(5a^4+3a^2b-b^3)-(3a^4-4a^2b-b^2)=5a^4+3a^2b-b^3-3a^4+4a^2b+b^2=(5a^4-3a^4)+(3a^2b+4a^2b)-b^3+b^2=2a^4+7a^2b-b^3+b^2$

2) $(12xy-10x^2+9y^2)-(-14x^2+9xy-14y^2)=12xy-10x^2+9y^2+14x^2-9xy+14y^2=(12xy-9xy)+(-10x^2+14x^2)+(9y^2+14y^2)=3xy+4x^2+23y^2$

3) $(7ab^2-8ab+4a^2b)+(10ab-7a^2b)=7ab^2-8ab+4a^2b+10ab-7a^2b=(-7a^2b+4a^2b)+(10ab-8ab)+7ab^2=-3a^2b+2ab+7ab^2$

4) $(2c^2+3c)+(-c^2+c)-(c^2+4c-1)=2c^2+3c-c^2+c-c^2-4c+1=(2c^2-c^2-c^2)+(3c+c-4c)+1=0+0+1=1$

Задание № 309

Упростите выражение:
1) ( 3 x 2 − 2 x ) + ( − x 2 + 3 x );
2) ( 4 c 2 − 2 c d ) − ( 10 c 2 + 8 c d );
3) ( 12 m 2 − 7 n − 3 m n ) − ( 6 m n − 10 n + 14 m 2 );
4) ( 3 n 3 − 2 m n + 4 m 3 ) − ( 2 m n + 3 n 3 ).

Решение:

1) $(3x^2-2x)+(-x^2+3x)=3x^2-2x-x^2+3x=(3x^2-x^2)+(-2x+3x)=2x^2+x=x(2x+1)$

2) $(4c^2-2cd)-(10c^2+8cd)=4c^2-2cd-10c^2-8cd=(4c^2-10c^2)+(-2cd-8cd)=-6c^2-10cd=-2c(3c+5d)$

3) $(12m^2-7n-3mn)-(6mn-10n+14m^2)=12m^2-7n-3mn-6mn+10n-14m^2=(12m^2-14m^2)+(-3mn-6mn)+(-7n+10n)=-2m^2-9mn+3n$

4) $(3n^3-2mn+4m^3)-(2mn+3n^3)=3n^3-2mn+4m^3-2mn-3n^3=(3n^3-3n^3)+(-2mn-2mn)+4m^3=0+0+4m^3=4m^3$

Задание № 310

Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену, чтобы их сумма была тождественно равна нулю:
1) a + b;
2) a − b;
3) −a − b?

Решение:

1) (a + b) + * = 0
* = 0 − (a + b)
* = −a − b

2) (a − b) + * = 0
* = 0 − (a − b)
* = −a + b

3) (−a − b) + * = 0
* = 0 − (−a − b)
* = a + b

Задание № 311

Решите уравнение:
1) 3 x 2 − ( 2 x 2 − 8 x ) − ( x 2 − 3 ) = x;
2) 12 − ( 6 − 9 x − x 2 ) = x 2 + 5 x − 14;
3) 4 y 3 − ( 4 y 3 − 8 y ) − ( 6 y + 3 ) = 7;
4) ( y 2 − 4 y − 17 ) − ( 6 y 2 − 3 y − 8 ) = 1 − y − 5 y 2.

Решение:

1) 3 x2 − ( 2 x2 − 8 x ) − ( x2 − 3 ) = x
3 x2 − 2 x2 + 8 x − x2 + 3 = x
( 3 x2 − 2 x2 − x2 ) + ( 8 x − x ) = − 3
0 + 7 x = − 3
x = − 3/7

2) 12 − ( 6 − 9 x − x2 ) = x2 + 5 x − 14
12 − 6 + 9 x + x2 = x2 + 5 x − 14
9 x + x2 − x2 − 5 x = − 14 − 12 + 6
9x − 5x = −20
4x = −20
x = − 20/4
x = −5

3) 4 y3 − ( 4 y3 − 8 y ) − ( 6 y + 3 ) = 7
4 y3 − 4 y3 + 8 y − 6 y − 3 = 7
8y − 6y = 7 + 3
2y = 10
y = 10 : 2
y = 5

4) ( y2 − 4 y − 17 ) − ( 6 y2 − 3 y − 8 ) = 1 − y − 5 y2
y2 − 4 y − 17 − 6 y2 + 3 y + 8 = 1 − y − 5 y2
y2 − 4 y − 6 y2 + 3 y + y + 5 y2 = 1 − 8 + 17
( y2 − 6 y2 + 5 y2 ) + ( − 4 y + 3 y + y ) = 10
0 ≠ 10, уравнение не имеет корней.

Задание № 312

Решите уравнение:
1) ( 5 x 2 − 3 ) − ( 2 x + 5 ) = 5 x 2;
2) x 2 − ( x + 1 ) − ( x 2 − 7 x + 32 ) = 3;
3) ( y 3 + 3 y − 8 ) − ( 5 y − y 3 + 7 ) = 2 y 3 − 2 y − 15.

Решение:

1) ( 5 x2 − 3 ) − ( 2 x + 5 ) = 5 x2
5 x2 − 3 − 2 x − 5 = 5 x2
5 x2 − 5 x2 − 2 x = 5 + 3
−2x = 8
x = 8 : (−2)
x = −4

2) x2 − ( x + 1 ) − ( x2 − 7 x + 32 ) = 3
x2 − x − 1 − x2 + 7 x − 32 = 3
x2 − x2 − x + 7 x = 3 + 1 + 32
6x = 36
x = 36 : 6
x = 6

3) ( y 3 + 3 y − 8 ) − ( 5 y − y3 + 7 ) = 2 y3 − 2 y − 15
y 3 + 3 y − 8 − 5 y + y3 − 7 = 2 y3 − 2 y − 15
y 3 + 3 y − 5 y + y3 − 2 y3 + 2 y = 8 + 7 + 15
( y3 + y3 − 2 y3 ) + ( 3 y − 5 y + 2 y ) = 30
0 + 0 ≠ 30
корней нет

Задание № 313

Докажите тождество:
1) ( a 2 + b 2 − c 2 ) − ( b 2 + c 2 − a 2 ) + ( c 2 − a 2 ) = a 2 − c 2;
2) ( 4 − 3 a 2 ) − a 2 + ( 7 + 2 a 2 ) − ( − 2 a 2 + 11 ) = 0;
3) ( x 3 + 4 x 2 ) − ( x + 6 ) + ( 1 + x − x 3 ) = 4 x 2 − 5.

Решение:

1) $(a^2+b^2-c^2)-(b^2+c^2-a^2)+(c^2-a^2)=a^2+b^2-c^2-b^2-c^2+a^2+c^2-a^2=(a^2+a^2-a^2)+(b^2-b^2)+(-c^2-c^2+c^2)=a^2+0-c^2=a^2-c^2$

2) $(4-3a^2)-a^2+(7+2a^2)-(-2a^2+11)=4-3a^2-a^2+7+2a^2+2a^2-11=(-3a^2-a^2+2a^2+2a^2)+(4+7-11)=0+0=0$

3) $(x^3+4x^2)-(x+6)+(1+x-x^3)=x^3+4x^2-x-6+1+x-x^3=(x^3-x^3)+4x^2+(-x+x)+(-6+1)=0+0-5=4x^2-5$