Задание № 278

Представьте одночлен 64 a6 b12 в виде:
1) произведения двух одночленов, один из которых равен 2 a2 b8;
2) квадрата одночлена стандартного вида;
3) куба одночлена стандартного вида.

Решение:

1) 64 a6 b12 : 2 a2 b8 = 32 a4 b4, следовательно:
64 a6 b12 = 2 a2 b8 ∗ 32 a4 b4.

2) 64 a6 b12 = ( 8 a3 b6 )2 или 64 a6 b12 = ( − 8 a3 b6 )2

3) 64 a6 b12 = ( 4 a2 b4 )3

Задание № 279

Представьте одночлен

81 m 4 n 16 в виде:
1) произведения двух одночленов, один из которых равен − 1/3 m n14;
2) квадрата одночлена стандартного вида;
3) четвертой степени одночлена стандартного вида.

Решение:

1) $81m^4n^{16}:-\frac13mn^{14}=(-243m^3n^2)$, следовательно:
$81m^4n^{16}=-\frac13mn^{14}\ast(-243m^3n^2)$.

2) 81 m4 n16 = ( 9 m2 n8 )2 или 81 m4 n16 = ( − 9 m2 n8 )2

3) 81 m4 n16 = ( 3 m n4 )4 или 81 m4 n16 = ( − 3 m n4 )4

Задание № 280

Упростите выражение:
1) 2 a 3 ∗ ( − 5 a 4 b 5 ) 2;
2) ( − x 6 y ) 3 ∗ 11 x 4 y 5;
3) ( − 0,6 a 3 b 5 c 6 ) 2 ∗ 3 a 2 c 8;
4) − 1 3/11 m 4 n 9 ∗ ( − 1/7 m n 3 ) 2;
5) 1 7/9 x 7 y 2 ∗ ( 3/4 x 2 y 9 ) 4;
6) − ( − 2 c 2 d 5 ) 7 ∗ ( − 1/2 c 4 d 5 ) 4.

Решение:

1) $2a^3\ast(-5a^4b^5)^2=2a^3\ast25a^8b^{10}=50a^{11}b^{10}$

2) $(-x^6y)^3\ast11x^4y^5=(-1)^3x^{18}y^3\ast11x^4y^5=-11x^{22}y^8$

3) $(-0,6a^3b^5c^6)^2\ast3a^2c^8=0,36a^6b^{10}c^{12}\ast3a^2c^8=1,08a^8b^{10}c^{20}$

4) $-1\frac3{11}m^4n^9\ast(-\frac17mn^3)^2=-\frac{14}{11}m^4n^9\ast\frac1{49}m^2n^6=(-\frac{14}{11}\ast\frac1{49})m^6n^{15}=(-\frac2{11}\ast\frac17)m^6n^{15}=-\frac2{77}m^6n^{15}$

5) $1\frac79x^7y^2\ast(\frac34x^2y^9)^4=\frac{16}9x^7y^2\ast\frac{81}{256}x^8y^{36}=(\frac{16}9\ast\frac{81}{256})x^{15}y^{38}=(\frac11\ast\frac9{16})x^{15}y^{38}=\frac9{16}x^{15}y^{38}$

6) $-(-2c^2d^5)^7\ast(-\frac12c^4d^5)^4=-(-128c^{14}d^{35})\ast\frac1{16}c^{16}d^{20}=128c^{14}d^{35}\ast\frac1{16}c^{16}d^{20}=8c^{30}d^{55}$

Задание № 281

Упростите выражение:
1) 20 a 8 ∗ ( 9 a ) 2;
2) ( − b 5 ) 4 ∗ 12 b 6;
3) ( 3 m 6 n 3 ) 4 ∗ ( − 1/81 m 9 n );
4) ( 0,2 x 7 y 8 ) 3 ∗ 6 x 2 y 2;
5) ( − 1/2 a b 4 ) 3 ∗ ( 4 a 6 ) 2;
6) ( − 2/3 x 2 y ) 5 ∗ ( − 3/4 x y 2 ) 2.

Решение:

1) $20a^8\ast(9a)^2=20\ast a^8\ast9^2\ast a^2=20\ast81\ast a^{10}=1620a^{10}$

2) $(-b^5)^4\ast12b^6=(-b)^{20}\ast12b^6=-12b^{26}$

3) $(3m^6n^3)^4\ast(-\frac1{81}m^9n)=3^4m^{24}n^{12}\ast(-\frac1{81}m^9n)=(81\ast-\frac1{81})m^{33}n^{13}=-m^{33}n^{13}$

4) $(0,2x^7y^8)^3\ast6x^2y^2=0,008x^{21}y^{24}\ast6x^2y^2=0,048x^{23}y^{26}$

5) $(-\frac12ab^4)^3\ast(4a^6)^2=(-\frac18)a^3b^{12}\ast16a^{12}=-2a^{15}b^{12}$

6) $(-\frac23x^2y)^5\ast(-\frac34xy^2)^2=(-\frac{32}{243})x^{10}y^5\ast(-\frac9{16})x^2y^4=(-\frac{32}{243}\ast\frac9{16})x^{12}y^9=(-\frac2{27}\ast\frac11)x^{12}y^9=-\frac2{27}x^{12}y^9$

Задание № 282

Замените звездочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:
1) ( ∗ ) 2 • ( ∗ ) 3 = 9 a 2 b 3 c 5;
2) ( ∗ ) 3 • ( ∗ ) 4 = 16 a 7 b 6 c 8;
3) ( ∗ ) 3 • ( ∗ ) 2 = − 72 m 8 n 11;
4) ( ∗ ) 2 • ( ∗ ) 5 = 32 x 29 y 21 z 9.

Решение:

1) $(3ac)^2\ast(bc)^3=9a^2c^2\ast b^3c^3=9a^2b^3c^5$

2) $(ab^2)^3\ast(2ac^2)^4=a^3b^6\ast16a^4c^8=16a^7b^6c^8$

3) $(-2n^3)^3\ast(3m^4n)^2=-8n^9\ast9m^8n^2=-72m^8n^{11}$

4) $(x^2y^3z^2)^2\ast(2x^5y^3z)^5=x^4y^6z^4\ast32x^{25}y^{15}z^5=32x^{29}y^{21}z^9$

Задание № 283

Значения переменных x и y таковы, что

5 x 2 y 4 = 6. Найдите значение выражения:
1) 1,5 x 2 y 4;
2) 25 x 4 y 8;
3) − 25 x 6 y 12.

Решение:

1) 5 x2 y4 = 6
    x2 y4 = 6 : 5
    x2 y4 = 1,2, тогда:
    1,5 x2 y4 = 1 , 5 ∗ 1 , 2
    1,5 x2 y4 = 1 , 8

2) 25 x4 y8 = ( 5 x2 y4 ) 2 = 62 = 36

3) 5 x2 y4 = 6
    x2 y4 = 6 : 5
    x2 y4 = 1 , 2, тогда:
   − 25 x4 y8 = − ( 5 x2 y4 )2 ∗ x2 y4 = − ( 6 ∗ 6 ) ∗ 1 , 2 = − 36 ∗ 1 , 2 = − 43 , 2

Задание № 284

Значения переменных a и b таковы, что

3 a b 3 = 4. Найдите значение выражения:
1) − 1,2 a b 3;
2) 27 a 3 b 9;
3) − 2/3 a 2 b 6.

Решение:

1) 3 a b3 = 4
a b3 = 4/3, тогда:
$-1,2ab^3=-1,2\ast\frac43=-\frac65\ast\frac43=-\frac25\ast\frac41=-\frac85=-1,6$

2) 27 a3 b9 = ( 3 a b3 )3 = 43 = 64

3) 3 a b3 = 4
a b3 = 4/3, тогда:
$-\frac23a^2b^6=-\frac23\ast(ab^3)^2=-\frac23\ast(\frac43)^2=-\frac23\ast\frac{16}9=-\frac23\ast\frac{16}9=-\frac{32}{27}=-\frac5{27}$

Задание № 285

Значения переменных a, b и c таковы, что

2 a 2 b = 7,   a 3 c 2 = 2. Найдите значение выражения:
1) 6 a 5 b c 2;
2) a 7 b 2 c 2;
3) 2 1/7 a 8 b c 4.

Решение:

1) 2 a2 b = 7
a2 b = 7/2;
a3 c2 = 2, тогда:
6 a5 b c2 = 6 ∗ a2 b ∗ a3 c2 = 6 ∗ 7/2 ∗ 2 = 6 ∗ 7 = 42

2) 2 a2 b = 7
a2 b = 7/2;
a3 c2 = 2, тогда:
a7 b2 c2 = a2 b ∗ a2 b ∗ a3 c2 = 7/2 ∗ 7/2 ∗ 2 = 49/2 = 24,5

3) 2 a2 b = 7
a2 b = 7/2;
a3 c2 = 2, тогда:
$2\frac17a^8bc^4=\frac{15}7\ast a^2b\ast a^3c^2\ast a^3c^2=\frac{15}7\ast\frac72\ast2\ast2=15\ast2=30$

Задание № 286

Значения переменных m, n и p таковы, что

m 3 n 2 = 3 , 1/3 n 3 p 2 = 5. Найдите значение выражения:
1) m 3 n 5 p 2;
2) 2 m 3 n 8 p 4;
3) − 0,4 m 12 n 11 p 2.

Решение:

1) m3 n2 = 3;
    1/3 n3 p2 = 5
    n3 p2 = 5 : 1/3
    n3 p2 = 15, тогда:
    m3 n5 p2 = m3 n2 ∗ n3 p2 = 3 ∗ 15 = 45

2) m3 n2 = 3;
    1/3 n3 p2 = 5
    n3 p2 = 5 : 1/3
    n3 p2 = 15, тогда:
    2 m3 n8 p4 = 2 ∗ m3 n2 ∗ ( n3 p2 )2 = 2 ∗ 3 ∗ 152 = 6 ∗ 225 = 1350

3) m3 n2 = 3;
    1/3 n3 p2 = 5
    n3 p2 = 5 : 1/3
    n3 p2 = 15, тогда:
    $-0,4m^{12}n^{11}p^2=-0,4\ast m^3n^2\ast m^3n^2\ast m^3n^2\ast m^3n^2\ast n^3p^2=-0,4\ast3\ast3\ast3\ast3\ast15=-0,4\ast81\ast15=32,4\ast15=486$