Ответы к параграфу 4.2 Корни уравнения

Вопросы

1. Что называется корнем уравнения? Определите, является ли число −2 корнем данного уравнения; обоснуйте ответ:
а) x$^2$ + x + 2 = 0;
б) x$^4$ + 4 = 20;
в) (x − 5)(x + 2) = 0;
г) |x| + 3 = 1.

Решение

Корнем уравнения называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
x = −2
а) x$^2$ + x + 2 = 0
(−2)$^2$ + (−2) + 2 = 0
4 − 2 + 2 = 0
4 ≠ 0 − число −2 не является корнем уравнения.

б) x$^4$ + 4 = 20
(−2)$^4$ + 4 = 20
16 + 4 = 20
20 = 20 − число −2 является корнем уравнения.

в) (x − 5)(x + 2) = 0
(−2 − 5)(−2 + 2) = 0
−7 * 0 = 0
0 = 0 − число −2 является корнем уравнения.

г) |x| + 3 = 1
|−2| + 3 = 1
2 + 3 = 1
5 ≠ 1 − число −2 не является корнем уравнения.

2. Прочитайте два предложения, разъясняющие смысл слов "решить уравнение". Объясните, почему они означают одно и то же.

Решение

Решить уравнение − значит найти все его корни или доказать, что корней у него нет.
Решить уравнение − значит найти множество корней.
Так как множество может быть пустым, то оба определения равносильны.

Задание 348

Докажите, что:
а) число 4 является корнем уравнения 2x − 7 = 5 − x;
б) число −3 является корнем уравнения x(x + 5) = −6;
в) число 4 является корнем уравнения x/2 − x/4 = 1;
г) число −2 является корнем уравнения уравнения x − 2(5x − 1) = −10x.

Решение

а) 2x − 7 = 5 − x
x = 4
2 * 4 − 7 = 5 − 4
8 − 7 = 1
1 = 1
Число 4 является корнем уравнения.

б) x(x + 5) = −6
x = −3
−3(−3 + 5) = −6
−3 * 2 = −6
−6 = −6
Число −3 является корнем уравнения.

в) $\frac x2-\frac x4=1$
x = 4
$\frac42-\frac44=1$
2 − 1 = 1
1 = 1
Число 4 является корнем уравнения.

г) x − 2(5x − 1) = −10x
x = −2
−2 − 2(5 * (−2) − 1) = −10 * (−2)
−2 − 2(−10 − 1) = 20
−2 − 2 * (−11) = 20
−2 + 22 = 20
20 = 20
Число −2 является корнем уравнения.

Задание 349

Является ли корнем уравнения
2x$^2$ − 5x − 3 = 0 число:
а) 3;
б) −4;
в) −1/2;
г) 1/2?

Решение

а) 2x$^2$ − 5x − 3 = 0
x = 3
2 ∗ 3$^2$ − 5 ∗ 3 − 3 = 0
2 * 9 − 15 − 3 = 0
18 − 18 = 0
0 = 0
Число 3 является корнем уравнения.

б) 2x$^2$ − 5x − 3 = 0
x = −4
2 ∗ (−4)$^2$ − 5 ∗ (−4) − 3 = 0
2 * 16 + 20 − 3 = 0
32 + 17 = 0
59 ≠ 0
Число −4 не является корнем уравнения.

в) 2x$^2$ − 5x − 3 = 0
$x=-\frac12$
$2\ast(-\frac12)^2-5\ast(-\frac12)-3=0$
$2\ast\frac14+\frac52-3=0$
$\frac12+(-\frac12)=0$
0 = 0
Число −1/2 является корнем уравнения.

г) 2x$^2$ − 5x − 3 = 0
$x=\frac12$
$2\ast(\frac12)^2-5\ast\frac12-3=0$
$2\ast\frac14-2,5-3=0$
0,5 − 5,5 = 0
−5 ≠ 0
Число 1/2 не является корнем уравнения.