Готовые домашние задания к урокам математики за восьмой класс к учебнику авторов Мерзляк, Полонский, Якир представляем вам в этом разделе ГДЗ на 7 гуру. Если для вас алгебра по УМК Мерзляк до этого года была простой, то в восьмом классе вы так не скажете. Многоэтажные дроби, уравнения с двумя неизвестными, системы уравнений - все это заготовили для вас авторы учебника в 8 классе. Нужно быть предельно внимательными не то что при решении, но и даже при списывании, потому что писанины будет ой как много. Сразу подготовьте тетради потолще.

Готовые домашние задания к учебнику алгебры за 8 класс могут стать для вас незаменимы, даже если вы никогда не списываете. И правильно делаете. Списывать не нужно. Нужно прорешать домашнее задание, а затем свериться с ГДЗ. Наш решебник поможет утвердиться в своей правоте.

К нашему сожалению, в учебнике очень мало заданий, подразумевающих тренировку устного счета в широких пределах, поэтому советуем вам дополнительно заниматься на тренажере устного счета, его вы тоже найдете у нас на 7 гуру.

Ответы на задания проверены учителем математики.

ГДЗ к учебнику математики за 8 класс Мерзляк

  Готовые домашние задания к урокам математики за восьмой класс к учебнику авторов Мерзляк, Полонский, Якир представляем вам в этом разделе ГДЗ на 7 гуру. Если для вас алгебра по УМК Мерзляк до этого года была простой, то в восьмом классе вы так не скажете. Многоэтажные дроби, уравнения с двумя неизвестными, системы уравнений - все это заготовили для вас авторы учебника в 8 классе. Нужно быть предельно внимательными не то что при решении, но и даже при списывании, потому что писанины будет ой как много. Сразу подготовьте тетради потолще.

Готовые домашние задания к учебнику алгебры за 8 класс могут стать для вас незаменимы, даже если вы никогда не списываете. И правильно делаете. Списывать не нужно. Нужно прорешать домашнее задание, а затем свериться с ГДЗ. Наш решебник поможет утвердиться в своей правоте.

К нашему сожалению, в учебнике очень мало заданий, подразумевающих тренировку устного счета в широких пределах, поэтому советуем вам дополнительно заниматься на тренажере устного счета, его вы тоже найдете у нас на 7 гуру.

Ответы на задания проверены учителем математики.

ГДЗ к учебнику математики за 8 класс Мерзляк

Страница 7

Ответы к странице 7

ГЛАВА 1. Рациональные выражения

§1. Рациональные дроби

Вопросы

1. Чем отличаются дробные выражения от целых?

Ответ:

Дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными.

2. Как вместе называют целые и дробные выражения?

Ответ:

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

3. Какие значения переменных называют допустимыми?

Ответ:

Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

4. Какие дроби называют рациональными?

Ответ:

Дроби, у которых и числитель и знаменатель являются многочленами, называются рациональными.

5. Отдельным видом каких выражений являются рациональные дроби?

Ответ:

Рациональные дроби являются отдельным видом рационального выражения.

6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби?

Ответ:

Знаменателем рациональной дроби не может быть нулевой многочлен, то есть многочлен, который равен нулю.

Упражнения

1. Какие из выражений
$\frac{3a^2}{4b^3}$,
$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}$,
$\frac{8}{6n + 1}$,
$3a - \frac{b^2}{c^4}$,
$\frac{t^2 - 6t + 15}{2t}$,
$\frac{x - 2}{x + 2}$,
$\frac{1}{6}m^3n^5$,
$(y - 4)^3 + \frac{1}{y}$,
$\frac{m^2 - 3mn}{18}$
являются:
1) целыми выражениями;
2) дробными выражениями;
3) рациональными дробями?

Решение:

1) целыми выражениями являются:
$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}; \frac{1}{6}m^3n^5; \frac{m^2 - 3mn}{18}$.

2) дробными выражениями являются:
$\frac{3a^2}{4b^3}; \frac{8}{6n + 1}; 3a - \frac{b^2}{c^4}; \frac{t^2 - 6t + 15}{2t}, \frac{x - 2}{x + 2}, (y - 4)^3 + \frac{1}{y}$.

3) рациональными выражениями являются:
$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}; \frac{1}{6}m^3n^5; \frac{m^2 - 3mn}{18}, \frac{3a^2}{4b^3}; \frac{8}{6n + 1}; 3a - \frac{b^2}{c^4}; \frac{t^2 - 6t + 15}{2t}, \frac{x - 2}{x + 2}, (y - 4)^3 + \frac{1}{y}$

2. Чему равно значение дроби $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$, если:
1) c = −3;
2) c = 0?

Решение:

1) $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$
при c = −3:
$\frac{(-3)^2 - 4 * (-3)}{2 * (-3) + 1} = \frac{9 + 12}{-6 + 1} = \frac{21}{-5} = -4\frac{1}{5}$

2) $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$
при c = 0:
$\frac{0^2 - 4 * 0}{2 * 0 + 1} = \frac{0 - 0}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$

3. Найдите значение выражения $\frac{2m - n}{3m + 2n}$, если:
1) m = −1, n = 1;
2) m = 4, n = −5.

Решение:

1) $\frac{2 * (-1) - 1}{3 * (-1) + 2 * 1} = \frac{-2 - 1}{-3 + 2} = \frac{-3}{-1} = 3$

2) $\frac{2m - n}{3m + 2n}$
при m = 4, n = −5:
$\frac{2 * 4 - (-5)}{3 * 4 + 2 * (-5)} = \frac{8 + 5}{12 - 10} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$

4. Чему равно значение выражения:
1) $\frac{a^2 - 1}{a - 5}$ при a = −4;
2) $\frac{x + 3}{y} - \frac{y}{x + 2}$ при x = −5, y = 6?

Решение:

1) $\frac{a^2 - 1}{a - 5}$
при a = −4:
$\frac{(-4)^2 - 1}{-4 - 5} = \frac{16 - 1}{-9} = \frac{15}{-9} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$

2) $\frac{x + 3}{y} - \frac{y}{x + 2}$
при x = −5, y = 6:
$\frac{-5 + 3}{6} - \frac{6}{-5 + 2} = \frac{-2}{6} - \frac{6}{-3} = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + 1\frac{3}{3} = 1\frac{2}{3}$

8

Ответы к странице 8

5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение:
1) 2x − 5;
2) $\frac{18}{m}$;
3) $\frac{9}{x - 5}$;
4) $\frac{x - 5}{9}$;
5) $\frac{2 + y}{1 + y}$;
6) $\frac{1}{x^2 + 4}$;
7) $\frac{5}{x^2-4}$;
8) $\frac{5}{|x| - 4}$;
9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$;
10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$;
11) $\frac{x}{|x| + 1}$;
12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$.

Решение:

1) 2x − 5
x − любое число

2) $\frac{18}{m}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
m ≠ 0
m − любое число, кроме 0.

3) $\frac{9}{x - 5}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
x − любое число, кроме 5

4) $\frac{x - 5}{9}$
x − любое число

5) $\frac{2 + y}{1 + y}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
1 + y ≠ 0
y ≠ − 1
y − любое число, кроме −1

6) $\frac{1}{x^2 + 4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$x^2 + 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ -4$
т.к. квадрат любого числа, всегда число положительное, значит $x^2$ не может бытьт равен −4, следовательно x в знаменателе дроби может быть любым числом.

7) $\frac{5}{x^2-4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$x^2 - 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ 4$
$x ≠ ±2$
x − любое число, кроме −2 и 2.

8) $\frac{5}{|x| - 4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| − 4 ≠ 0
|x| ≠ 4
x ≠ ±4
x − любое число, кроме −4 и 4.

9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
x − любое число, кроме −1 и 2.

10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x(x − 6) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
x − любое число, кроме 0 и 6.

11) $\frac{x}{|x| + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| + 1 ≠ 0
|x| ≠ −1
модуль любого числа всегда число положительное, а значит |x| не может быть равен −1, следовательно x в знаменателе дроби может быть любым числом.

12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
(x − 3)(x + 5) ≠ 0
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
x − любое число, кроме −5 и 3.

6. При каких значениях переменных имеет смысл выражение:
1) $\frac{9}{y}$;
2) $\frac{x + 7}{x + 9}$;
3) $\frac{m - 1}{m^2 - 9}$;
4) $\frac{x}{|x| - 3}$;
5) $\frac{4}{x - 8} + \frac{1}{x - 1}$;
6) $\frac{2x - 3}{(x + 2)(x - 10)}$?

Решение:

1) $\frac{9}{y}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y ≠ 0
Выражение имеет смысл при любых y, кроме 0.

2) $\frac{x + 7}{x + 9}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x + 9 ≠ 0
x ≠ −9
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −9.

3) $\frac{m - 1}{m^2 - 9}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$m^2 - 9 ≠ 0$
$m^2 ≠ 9$
$m ≠ ±3$
Выражение имеет смысл при любых m, кроме −3 и 3.

4) $\frac{x}{|x| - 3}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| − 3 ≠ 0
|x| ≠ 3
x ≠ ±3
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −3 и 3.

5) $\frac{4}{x - 8} + \frac{1}{x - 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 1 и 8.

6) $\frac{2x - 3}{(x + 2)(x - 10)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
(x + 2)(x − 10) ≠ 0
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −2 и 10.

7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную x и имеет смысл при всех значениях x, кроме:
1) x = 7;
2) x = −1;
3) x = 0 и x = 4.

Решение:

1) $\frac{2x + 1}{x - 7}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 7 ≠ 0
x ≠ 7
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 7.

2) $\frac{3x}{x + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −1.

3) $\frac{5x - 2}{x(x - 4)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x(x − 4) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 0 и 4.

8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную y, допустимыми значениями которой являются:
1) все числа, кроме 5;
2) все числа, кроме −2 и 0;
3) все числа, кроме 3, −3 и 6;
4) все числа.

Решение:

1) $\frac{2y}{y - 5}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y − 5 ≠ 0
y ≠ 5
Выражение имеет смысл при любых y, кроме 5.

2) $\frac{3y + 1}{y(y + 2)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y ≠ 0
и
y + 2 ≠ 0
y ≠ −2
Выражение имеет смысл при любых y, кроме −2 и 0.

3) $\frac{7y}{(y - 3)(y + 3)(y - 6)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y − 3 ≠ 0
y ≠ 3
и
y + 3 ≠ 0
y ≠ −3
и
y − 6 ≠ 0
y ≠ 6
Выражение имеет смысл при любых y, кроме −3, 3 и 6.

4) $\frac{9y + 10}{2}$
Выражение имеет смысл при любых y.

9. Автомобиль проехал по шоссе a км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге b км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при a = 150, b = 20.

Решение:

Дано:

                        v            t      S
По шоссе       75 км/ч  ?    a км
По грунтовой
дороге            40 км/ч  ?    b км

Решение:
1) составим выражение:
$\frac{a}{75} + \frac{b}{40}$
2) при a = 150, b = 20:
$\frac{150}{75} + \frac{20}{40} = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$ ч = 2 ч 30 мин − время за которое автомобиль проехал весь путь.
Ответ: за 2 ч 30 мин.

10. Ученик купил ручки по 58 р., заплатив за них m р., и по 45 р., заплатив за них n р. Сколько ручек купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при m = 174, n = 180.

Решение:

Дано:

                 цена      сумма количество
Ручки №1 58 руб.   m руб.      ?
Ручки №2 45 руб.   n руб.      ?

Решение:
1) составим выражение:
$\frac{m}{58} + \frac{n}{45}$
2) при m = 174, n = 180:
$\frac{174}{58} + \frac{180}{45} = 3 + 4 = 7$ (ручек) − купил ученик.
Ответ: 7 ручек.

11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:
1) $\frac{1}{x^2}$ положительное;
2) $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ отрицательное.

Решение:

1) $\frac{1}{x^2}$
Рассмотрим числитель:
1 > 0 − число положительное.
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа, всегда число положительное.
Следовательно:
$\frac{1}{x^2} > 0$ − число положительное, так как частное двух положительных чисел, есть число положительное.

2) $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$
Рассмотрим числитель:
$x^2 + 1 > 0$ − число положительное, так как $x^2 > 0$ − число положительное и 1 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Рассмотрим знаменатель:
$6x - 9 - x^2 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$ − число отрицательное, так как $(x - 3)^2$ − число положительное, так как является квадратом числа.
Следовательно:
$\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2} > 0$ − число отрицательное, так как частное положительного и отрицательного чисел, есть число отрицательное.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:
1) $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$ неположительное;
2) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$ неотрицательное.

Решение:

1) $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$
Рассмотрим числитель:
$-x^2 < 0$ − число отрицательное, так как $x^2 > 0$ − число положительное, так как является квадратом числа. Либо $-x^2 = 0$, при x = 0.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$-x^2 = 0$
$x^2 = 0$
x = 0
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 + 5$ − число положительное, так как $x^2 > 0$ − число положительное и 5 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Следовательно:
$\frac{-x^2}{x^2 + 5} ≤ 0$ − число неположительное:
$\frac{-x^2}{x^2 + 5} = 0$ при x = 0
и
$\frac{-x^2}{x^2 + 5} < 0$ при x ≠ 0

2) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$
Рассмотрим числитель:
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$(x + 2)^2 = 0$
x + 2 = 0
x = −2
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$(x - 1)^2 ≠ 0$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Следовательно:
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1} ≥ 0$ − число неотрицательное:
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1} = 0$ при x = −2
и
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1} > 0$ при x ≠ −2 и x ≠ 1

13. Известно, что 5x − 15y = 1. Найдите значение выражения:
1) x − 3y;
2) $\frac{8}{2x - 6y}$;
3) $\frac{18y - 6x}{9}$;
4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}$.

Решение:

1) 5x − 15y = 1
5(x − 3y) = 1
$x - 3y = \frac{1}{5}$

2) $\frac{8}{2x - 6y} = \frac{8}{2(x - 3y)}$
т.к. $x - 3y = \frac{1}{5}$, то:
$\frac{8}{2 * \frac{1}{5}} = \frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 * \frac{5}{2} = 4 * 5 = 20$

3) $\frac{18y - 6x}{9} = \frac{6(3y - x)}{9} = -\frac{6(x - 3y)}{9}$
т.к. $x - 3y = \frac{1}{5}$, то:
$-\frac{6 * \frac{1}{5}}{9} = -\frac{\frac{6}{5}}{9} = -(\frac{6}{5} * \frac{1}{9}) = -(\frac{2}{5} * \frac{1}{3}) = -\frac{2}{15}$

4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2} = \frac{1}{(x - 3y)^2}$
т.к. $x - 3y = \frac{1}{5}$, то:
$\frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$

9

Ответы к странице 9

14. Известно, что 4a + 8b = 10. Найдите значение выражения:
1) 2b + a;
2) $\frac{5}{a + 2b}$;
3) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{2a + 4b}$.

Решение:

1) 4a + 8b = 10
4(a + 2b) = 10
$2b + a = \frac{10}{4}$
$2b + a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

2) $\frac{5}{a + 2b}$
т.к. $2b + a = a + 2b = \frac{5}{2}$, то:
$\frac{5}{\frac{5}{2}} = 5 * \frac{2}{5} = 2$

3) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{2a + 4b} = \frac{(a + 2b)^2}{2(a + 2b)} = \frac{a + 2b}{2}$
т.к. $2b + a = a + 2b = \frac{5}{2}$, то:
$\frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{2} * \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

15. Найдите область определения функции:
1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$;
2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$.

Решение:

1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{4}{x} ≠ 0$
x ≠ 0 * 4
x ≠ 0
и
$4 - \frac{4}{x} ≠ 0$
$\frac{4}{x} ≠ 4$
$x ≠ \frac{4}{4}$
x ≠ 1
Ответ: областью определения функции являются все значения x, кроме x = 0 и x = 1.

2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{1}{x} ≠ 0$
x ≠ 0 * 1
x ≠ 0
и
$x - \frac{1}{x} ≠ 0$
$x = \frac{1}{x}$
$x^2 ≠ 1$
x ≠ ±1
Ответ: областью определения функции являются все значения x, кроме x = −1, x = 0, x = 1.

16. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) $\frac{x}{x - \frac{9}{x}}$;
2) $\frac{10}{2 + \frac{6}{x}}$.

Решение:

1) $\frac{x}{x - \frac{9}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{9}{x} ≠ 0$
x ≠ 9 * 0
x ≠ 0
и
$x - \frac{9}{x} ≠ 0$
$x ≠ \frac{9}{x}$
$x^2 ≠ 9$
x ≠ ±3
Ответ: выражение имеет смысл при любых х, кроме x = −3, x = 0 и x = 3.

2) $\frac{10}{2 + \frac{6}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{6}{x} ≠ 0$
x ≠ 6 * 0
x ≠ 0
и
$2 + \frac{6}{x} ≠ 0$
$\frac{6}{x} ≠ -2$
$x ≠ -\frac{6}{2}$
x ≠ −3
Ответ: выражение имеет смысл при любых х, кроме x = −3 и x = 0.

17. Сократите дробь:
1) $\frac{5}{15}$;
2) $\frac{12}{18}$;
3) $\frac{27}{45}$;
4) $\frac{30}{48}$.

Решение:

1) $\frac{5}{15} = \frac{5}{5 * 3} = \frac{1}{3}$

2) $\frac{12}{18} = \frac{6 * 2}{6 * 3} = \frac{2}{3}$

3) $\frac{27}{45} = \frac{9 * 3}{9 * 5} = \frac{3}{5}$

4) $\frac{30}{48} = \frac{6 * 5}{6 * 8} = \frac{5}{8}$

18. Приведите дробь:
1) $\frac{3}{7}$ к знаменателю 14;
2) $\frac{8}{15}$ к знаменателю 60.

Решение:

1) 14 : 7 = 2, тогда:
$\frac{3}{7} = \frac{3 * 2}{7 * 2} = \frac{6}{14}$

2) 60 : 15 = 4, тогда:
$\frac{8}{15} = \frac{8 * 4}{15 * 4} = \frac{32}{60}$

19. Представьте в виде степени с основанием a выражение:
1) $a^5a^3$;
2) $(a^5)^3$;
3) $a^5 : a^3$;
4) $(a^8)^4 : (a^2)^8$.

Решение:

1) $a^5a^3 = a^{5 + 3} = a^8$

2) $(a^5)^3 = a^{5 * 3} = a^{15}$

3) $a^5 : a^3 = a^{5 - 3} = a^2$

4) $(a^8)^4 : (a^2)^8 = a^{8 * 4} : a^{2 * 8} = a^{32} : a^{16} = a^{32 - 16} = a^{16}$

20. Разложите на множители:
1) 6a − 15b;
2) 2a + ab;
3) 7am + 7bn;
4) $4x^2 - 12xy$;
5) $a^6 + a^2$;
6) $12m^2n - 4mn$;
7) $2x^2 - 4x^3 + 10x^4$;
8) $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2$.

Решение:

1) 6a − 15b = 3(2a − 5b)

2) 2a + ab = a(2 + b)

3) 7am + 7bn = 7(am + bn)

4) $4x^2 - 12xy = 4x(x - 3y)$

5) $a^6 + a^2 = a^2(a^4 + 1)$

6) $12m^2n - 4mn = 4mn(3m - 1)$

7) $2x^2 - 4x^3 + 10x^4 = 2x^2(1 - 2x + 5x^2)$

8) $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2 = 5ab(2a^2b - 3a + 5b)$

21. Представьте в виде произведения выражение:
1) ab − ac + bd − cd;
2) 3m + 3n − mx − nx;
3) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2$;
4) $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b$.

Решение:

1) ab − ac + bd − cd = (ab − ac) + (bd − cd) = a(b − c) + d(b − c) = (b − c)(a + d)

2) 3m + 3n − mx − nx = (3m + 3n) − (mx + nx) = 3(m + n) − x(m + n) = (m + n)(3 − x)

3) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2 = (a^5 + a^3) + (2a^2 + 2) = a^3(a^2 + 1) + 2(a^2 + 1) = (a^2 + 1)(a^3 + 2)$

4) $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b = (8a^2b - 2a^2) - (4b^2 - b) = 2a^2(4b - 1) - b(4b - 1) = (4b - 1)(2a^2 - b)$

22. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
1) $a^2 - 8a + 16$;
2) $9x^2 + 6x + 1$;
3) $40xy + 16x^2 + 25y^2$;
4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2$.

Решение:

1) $a^2 - 8a + 16 = a^2 - 2 * 4a + 4^2 = (a - 4)^2$

2) $9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 * 3x + 1^2 = (3x + 1)^2$

3) $40xy + 16x^2 + 25y^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2x * 4 * 5y + (5y)^2 = (4x + 5y)^2$

4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2 = (a^4)^2 - 2 * a^4 * 2b + (2b)^2 = (a^4 - 2b)^2$

23. Разложите на множители:
1) $x^2 - 9$;
2) $25 - 4y^2$;
3) $36m^2 - 49n^2$;
4) $a^2b^2 - 81$;
5) $100m^6 - 1$;
6) $a^{10} - b^6$;
7) $c^3 - d^3$;
8) $a^3 + 8$;
9) $27m^6 - n^9$.

Решение:

1) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$

2) $25 - 4y^2 = 5^2 - (2y)^2 = (5 - 2y)(5 + 2y)$

3) $36m^2 - 49n^2 = (6m)^2 - (7n)^2 = (6m - 7n)(6m + 7n)$

4) $a^2b^2 - 81 = (ab)^2 - 9^2 = (ab - 9)(ab + 9)$

5) $100m^6 - 1 = (10m^3)^2 - 1^2 = (10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$

6) $a^{10} - b^6 = (a^5)^2 - (b^3)^2 = (a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$

7) $c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$

8) $a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$

9) $27m^6 - n^9 = (3m^2)^3 - (n^3)^3 = (3m^2 - n^3)((3m^2)^2 + 3m^2n^3 + (n^3)^2) = (3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$

24. Разложите на множители:
1) $7a^2 - 7$;
2) $3b^3 - 3b$;
3) $2x^3 - 2xy^2$;
4) $-8a^5 + 8a^3 - 2a$;
5) $x - 4y + x^2 - 16y^2$;
6) $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4$.

Решение:

1) $7a^2 - 7 = 7(a^2 - 1) = 7(a - 1)(a + 1)$

2) $3b^3 - 3b = 3b(b^2 - 1) = 3b(b - 1)(b + 1)$

3) $2x^3 - 2xy^2 = 2x(x^2 - y^2) = 2x(x - y)(x + y)$

4) $-8a^5 + 8a^3 - 2a = -2a(4a^4 - 4a^2 + 1) = -2a(2a^2 - 1)^2 = -2a(2a^2 - 1)(2a^2 - 1)$

5) $x - 4y + x^2 - 16y^2 = (x - 4y) + (x^2 - 16y^2) = (x - 4y) + (x - 4y)(x + 4y) = (x - 4y)(1 + x + 4y)$

6) $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4 = (ab^6 - ab^4) - (b^6 - b^4) = ab^4(b^2 - 1) - b^4(b^2 - 1) = (b^2 - 1)(ab^4 - b^4) = b^4(b^2 - 1)(a - 1) = b^4(b - 1)(b + 1)(a - 1)$

10

Ответы к странице 10

25. Какое из равенств является тождеством:
1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$;
2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m - 5mn + 25n^2)$?

Решение:

1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$
Преобразим левую часть равенства:
$3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x^2 - 12xy + 36y^2) = 3(x^2 - 2 * x * 6y + (6y)^2) = 3(x - 6y)^2$
$3(x - 6y)^2 = 3(x - 6y)^2$ − равенство является тождеством.

2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m - 5mn + 25n^2)$
Преобразим левую часть равенства:
$4m^3 - 500n^6 = 4(m^3 - 125n^6) = 4(m^3 - (5n^2)^3) = 4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4)$
$4(m^3 - (5n^2)^3) = 4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4) ≠ 4(m - 5n)(m - 5mn + 25n^2)$ − равенство не является тождеством.

26. Даны два числа:
$a = \underbrace{44...4}_{m-цифр}$,
$b = \underbrace{33...3}_{n-цифр}$.
Можно ли подобрать такие m и n, чтобы:
1) число a было делителем числа b;
2) число b было делителем числа a?

Решение:

Из условия видно, что a − четное число (заканчивается на 4), b − нечетное (заканчивается на 3).
Нечетное на четное разделить нацело нельзя, следовательно число a не может быть делителем числа b.
Число b может быть делителем числа a, например при m = 6 и n = 2:
444444 : 33 = 13468
Ответ:
1) не может;
2) может.

14

Ответы к странице 14

§2. Основное свойство рациональной дроби

Вопросы

1. Какие выражения называют тождественно равными?

Ответ:

Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.

2. Что называют тождеством?

Ответ:

Равенство, которое выполняется при любых допустимых значения входящих в него переменных, называют тождеством.

3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.

Ответ:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.

Упражнения

27. Какому из приведенных выражений тождественно равна дробь $\frac{6a^2}{24a}$:
1) $\frac{a^2}{4}$;
2) $\frac{a}{4}$;
3) $\frac{12a^3}{48a}$;
4) $\frac{3a^4}{12a^2}$?

Решение:

1) $\frac{a^2}{4} = \frac{6 * a^2}{6 * 4} = \frac{6a^2}{24} ≠ \frac{6a^2}{24a}$
2) $\frac{a}{4} = \frac{6a * a}{6a * 4} = \frac{6a^2}{24a}$
3) $\frac{12a^3}{48a} = \frac{6a^2 * 2a}{24 * 2a} = \frac{6a^2}{24} ≠ \frac{6a^2}{24a}$
4) $\frac{3a^4}{12a^2} = \frac{3a^2 * a^2}{3a^2 * 4} = \frac{a^2}{4} = \frac{6 * a^2}{6 * 4} = \frac{6a^2}{24} ≠ \frac{6a^2}{24a}$
Ответ: дробь $\frac{6a^2}{24a}$ тождественно равна выражению 2) $\frac{a}{4}$

28. Является ли тождеством равенство:
1\ $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$;
2) $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$;
3) $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$;
4) $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$?

Решение:

1) $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$
$\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m * m}{7 * m} = \frac{3m}{7}$
Равенство является тождеством.

2) $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$
$\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{4x^4 * x^4}{4x^4 * 4} = \frac{x^4}{4} ≠ \frac{x^2}{4}$
Равенство не является тождеством.

3) $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$
$\frac{2b}{5c^3} = \frac{4 * 2b}{4 * 5c^3} = \frac{8b}{20c^3} ≠ \frac{8b}{20c^5}$
Равенство не является тождеством.

4) $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$
$\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^2 * m^3}{9n * m^3} = \frac{8m^5}{9nm^3}$
Равенство является тождеством.

29. Сократите дробь:
1) $\frac{14a^3}{21a}$;
2) $\frac{8b^3c^2}{12bc^3}$;
3) $\frac{5x}{20x}$;
4) $\frac{24x^2y^2}{32xy}$;
5) $\frac{4abc}{16ab^4}$;
6) $\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}}$;
7) $\frac{-10n^{10}}{5n^4}$;
8) $\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7}$.

Решение:

1) $\frac{14a^3}{21a} = \frac{7a * 2a^2}{7a * 3} = \frac{2a^2}{3}$

2) $\frac{8b^3c^2}{12bc^3} = \frac{4bc^2 * 2b^2}{4bc^2 * 3c} = \frac{2b^2}{3c}$

3) $\frac{5x}{20x} = \frac{5x * 1}{5x * 4} = \frac{1}{4}$

4) $\frac{24x^2y^2}{32xy} = \frac{8xy * 3xy}{8xy * 4} = \frac{3xy}{4}$

5) $\frac{4abc}{16ab^4} = \frac{4ab * c}{4ab * 4b^3} = \frac{c}{4b^3}$

6) $\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}} = \frac{2m^5n^7 * 28}{2m^5n^7 * 21n^{3}} = \frac{28}{21n^{3}}$

7) $\frac{-10n^{10}}{5n^4} = -\frac{5n^4 * 2n^{6}}{5n^4 * 1} = -2n^6$

8) $\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7} = -\frac{3p^4q^6 * 1}{3p^4q^6 * 3p^4q} = -\frac{1}{3p^4q}$

30. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:
1) $6a : (18a^5)$;
2) $16b^7 : (48b^4)$;
3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8)$.

Решение:

1) $6a : (18a^5) = \frac{6a}{18a^5} = \frac{6a * 1}{6a * 3a^4} = \frac{1}{3a^4}$

2) $16b^7 : (48b^4) = \frac{16b^4 * b^3}{16b^4 * 3} = \frac{b^3}{3}$

3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8) = -\frac{7a^6b^6 * 5a^2}{7a^6b^6 * 7b^2} = -\frac{5a^2}{7b^2}$

31. Сократите дробь:
1) $\frac{3x}{21y}$;
2) $\frac{5x^2}{6x}$;
3) $\frac{5c^4}{10c^5}$;
4) $\frac{2m^4}{m^3}$;
5) $\frac{16ab^4}{40ab^2}$;
6) $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$;
7) $\frac{12a^8}{-42a^2}$;
8) $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.

Решение:

1) $\frac{3x}{21y} = \frac{3 * x}{3 * 7y} = \frac{x}{7y}$

2) $\frac{5x^2}{6x} = \frac{x * 5x}{x * 6} = \frac{5x}{6}$

3) $\frac{5c^4}{10c^5} = \frac{5c^4 * 1}{5c^4 * 2c} = \frac{1}{2c}$

4) $\frac{2m^4}{m^3} = \frac{m^3 * 2m}{m^3 * 1} = 2m$

5) $\frac{16ab^4}{40ab^2} = \frac{8ab^2 * 2b^2}{8ab^2 * 5} = \frac{2b^2}{5}$

6) $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5} = \frac{21x^4y^4 * 3x}{21x^4y^4 * 2y} = \frac{3x}{2y}$

7) $\frac{12a^8}{-42a^2} = -\frac{6a^2 * 2a^6}{6a^2 * 7} = -\frac{2a^6}{7}$

8) $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3} = -\frac{13a^4b^3 * ab^2}{13a^4b^3 * 2} = -\frac{ab^2}{2}$

15

Ответы к странице 15

32. Упростите выражение:
1) $\frac{-a}{-b}$;
2) $-\frac{-a}{b}$;
3) $-\frac{a}{-b}$;
4) $-\frac{-a}{-b}$.

Решение:

1) $\frac{-a}{-b} = \frac{-1 * a}{-1 * b} = \frac{a}{b}$

2) $-\frac{-a}{b} = -1 * (-1) * \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

3) $-\frac{a}{-b} = -1 * (-1) * \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

4) $-\frac{-a}{-b} = -\frac{-1 * a}{-1 * b} = -\frac{a}{b}$

33. Восстановите равенства:
1) $\frac{a}{3} = \frac{}{6a} = \frac{}{9a^3} = \frac{}{15b} = \frac{4a^2c^3}{}$;
2) $\frac{m}{n} = \frac{4m}{} = \frac{}{2n^2} = \frac{}{mnp} = \frac{3m^4n^3}{}$.

Решение:

1) $\frac{a}{3} = \frac{}{6a} = \frac{}{9a^3} = \frac{}{15b} = \frac{4a^2c^3}{}$
$\frac{6a}{3} = 2a$, тогда:
$\frac{2a * a}{2a * 3} = \frac{2a^2}{6a}$
$\frac{9a^3}{6a} = \frac{3a^2}{2}$, тогда:
$\frac{\frac{3a^2}{2} * 2a^2}{\frac{3a^2}{2} * 6a} = \frac{3a^4}{9a^3}$
$\frac{15b}{9a^3} = \frac{5b}{3a^3}$, тогда:
$\frac{\frac{5b}{3a^3} * 3a^4}{\frac{5b}{3a^3} * 9a^3} = \frac{5ab}{15b}$
$\frac{4a^2c^3}{5ab} = \frac{4ac^3}{5b}$, тогда:
$\frac{\frac{4ac^3}{5b} * 5ab}{\frac{4ac^3}{5b} * 15b} = \frac{4a^2c^3}{12ac^3}$
Ответ:
$\frac{a}{3} = \frac{2a^2}{6a} = \frac{3a^4}{9a^3} = \frac{5ab}{15b} = \frac{4a^2c^3}{12ac^3}$

2) $\frac{m}{n} = \frac{4m}{} = \frac{}{2n^2} = \frac{}{mnp} = \frac{3m^4n^3}{}$
$\frac{4m}{m} = 4$, тогда:
$\frac{4 * m}{4 * n} = \frac{4m}{4n}$
$\frac{2n^2}{4n} = \frac{n}{2}$, тогда:
$\frac{\frac{n}{2} * 4m}{ \frac{n}{2} * 4n} = \frac{2mn}{2n^2}$
$\frac{mnp}{2n^2} = \frac{mp}{2n}$, тогда:
$\frac{\frac{mp}{2n} * 2mn}{\frac{mp}{2n} * 2n^2} = \frac{m^2p}{mnp}$
$\frac{3m^4n^3}{m^2p} = \frac{3m^2n^3}{p}$, тогда:
$\frac{\frac{3m^2n^3}{p} * m^2p}{\frac{3m^2n^3}{p} * mnp} = \frac{3m^4n^3}{3m^3n^4}$
Ответ:
$\frac{m}{n} = \frac{4m}{4n} = \frac{2mn}{2n^2} = \frac{m^2p}{mnp} = \frac{3m^4n^3}{3m^3n^4}$

34. Приведите дробь:
1) $\frac{a}{b^3}$ к знаменателю $b^5$;
2) $\frac{m}{9n}$ к знаменателю $27n^4$;
3) $\frac{6}{7x^2y}$ к знаменателю $35x^3y^2$;
4) $\frac{5k}{6p^5}$ к знаменателю $24p^9c$.

Решение:

1) $\frac{b^5}{b^3} = b^2$, тогда:
$\frac{a}{b^3} = \frac{b^2 * a}{b^2 * b^3} = \frac{ab^2}{b^5}$

2) $\frac{27n^4}{9n} = 3n^3$, тогда:
$\frac{m}{9n} = \frac{3n^3 * m}{3n^3 * 9n} = \frac{3mn^3}{27n^4}$

3) $\frac{35x^3y^2}{7x^2y} = 5xy$, тогда:
$\frac{6}{7x^2y} = \frac{5xy * 6}{5xy * 7x^2y} = \frac{30xy}{35x^3y^2}$

4) $\frac{24p^9c}{6p^5} = 4p^4c$, тогда:
$\frac{5k}{6p^5} = \frac{4p^4c * 5k}{4p^4c * 6p^5} = \frac{20kp^4c}{24p^9c}$

35. Приведите дробь:
1) $\frac{x}{y^2}$ к знаменателю $y^8$;
2) $\frac{a}{3b}$ к знаменателю $6b^3$;
3) $\frac{9}{4m^2n}$ к знаменателю $12m^3n^2$;
4) $\frac{11c}{15d^6}$ к знаменателю $30bd^7$.

Решение:

1) $\frac{y^8}{y^2} = y^6$, тогда:
$\frac{x}{y^2} = \frac{y^6 * x}{y^6 * y^2} = \frac{xy^6}{y^8}$

2) $\frac{6b^3}{3b} = 2b^2$, тогда:
$\frac{a}{3b} = \frac{2b^2 * a}{2b^2 * 3b} = \frac{2ab^2}{6b^3}$

3) $\frac{12m^3n^2}{4m^2n} = 3mn$, тогда:
$\frac{9}{4m^2n} = \frac{3mn * 9}{3mn * 4m^2n} = \frac{27mn}{12m^3n^2}$

4) $\frac{30bd^7}{15d^6} = 2bd$, тогда:
$\frac{11c}{15d^6} = \frac{2bd * 11c}{2bd * 15d^6} = \frac{22bcd}{30bd^7}$

36. Сократите дробь:
1) $\frac{a(x + 2)}{b(x + 2)}$;
2) $\frac{4(a - 6)^2}{(a - 6)^3}$;
3) $\frac{c^3(c - 4)^5}{c^6(c - 4)^3}$;
4) $\frac{2a + 2b}{7(a + b)}$;
5) $\frac{7x - 21y}{5x - 15y}$;
6) $\frac{4a - 20b}{12ab}$;
7) $\frac{6x + 12}{6x}$;
8) $\frac{a - 5b}{a^2 - 5ab}$;
9) $\frac{y^2 - 25}{10 + 2y}$;
10) $\frac{a^2 + 4a + 4}{9a + 18}$;
11) $\frac{c^2 - 6c + 9}{c^2 - 9}$;
12) $\frac{m^3 + 1}{m^2 - m + 1}$.

Решение:

1) $\frac{a(x + 2)}{b(x + 2)} = \frac{a}{b}$

2) $\frac{4(a - 6)^2}{(a - 6)^3} = \frac{4}{a - 6}$

3) $\frac{c^3(c - 4)^5}{c^6(c - 4)^3} = \frac{(c - 4)^2}{c^3}$

4) $\frac{2a + 2b}{7(a + b)} = \frac{2(a + b)}{7(a + b)} = \frac{2}{7}$

5) $\frac{7x - 21y}{5x - 15y} = \frac{7(x - 3y)}{5(x - 3y)} = \frac{7}{5}$

6) $\frac{4a - 20b}{12ab} = \frac{4(a - 5b)}{12ab} = \frac{a - 5b}{3ab}$

7) $\frac{6x + 12}{6x} = \frac{6(x + 2)}{6x} = \frac{x + 2}{x}$

8) $\frac{a - 5b}{a^2 - 5ab} = \frac{a - 5b}{a(a - 5b)} = \frac{1}{a}$

9) $\frac{y^2 - 25}{10 + 2y} = \frac{(y - 5)(y + 5)}{2(y + 5)} = \frac{y - 5}{2}$

10) $\frac{a^2 + 4a + 4}{9a + 18} = \frac{(a + 2)^2}{9(a + 2)} = \frac{a + 2}{9}$

11) $\frac{c^2 - 6c + 9}{c^2 - 9} = \frac{(c - 3)^2}{(c - 3)(c + 3)} = \frac{c - 3}{c + 3}$

12) $\frac{m^3 + 1}{m^2 - m + 1} = \frac{m^3 + 1}{m^2 - m + 1} = \frac{(m + 1)(m^2 - m + 1)}{m^2 - m + 1} = m + 1$

37. Сократите дробь:
1) $\frac{a - b}{2(b - a)}$;
2) $\frac{3x - 6y}{4y - 2x}$;
3) $\frac{m^2 - 5mn}{15n - 3m}$;
4) $\frac{7a^4 - a^3b}{b^4 - 7ab^3}$;
5) $\frac{x^2 - 25}{5x^2 - x^3}$;
6) $\frac{y^2 - 12y + 36}{36 - y^2}$.

Решение:

1) $\frac{a - b}{2(b - a)} = -\frac{a - b}{2(a - b)} = -\frac{1}{2}$

2) $\frac{3x - 6y}{4y - 2x} = -\frac{3x - 6y}{2x - 4y} = -\frac{3(x - 2y)}{2(x - 2y)} = -\frac{3}{2}$

3) $\frac{m^2 - 5mn}{15n - 3m} = -\frac{m^2 - 5mn}{3m - 15n} = -\frac{m(m - 5n)}{3(m - 5n)} = -\frac{m}{3}$

4) $\frac{7a^4 - a^3b}{b^4 - 7ab^3} = -\frac{7a^4 - a^3b}{7ab^3 - b^4} = -\frac{a^3(7a - b)}{b^3(7a - b)} = -\frac{a^3}{b^3}$

5) $\frac{x^2 - 25}{5x^2 - x^3} = -\frac{x^2 - 25}{x^3 - 5x^2} = -\frac{(x - 5)(x + 5)}{x^2(x - 5)} = -\frac{x + 5}{x^2}$

6) $\frac{y^2 - 12y + 36}{36 - y^2} = -\frac{y^2 - 12y + 36}{y^2 - 36} = -\frac{(y - 6)^2}{(y - 6)(y + 6)} = -\frac{y - 6}{y + 6}$

38. Сократите дробь:
1) $\frac{3m - 3n}{7m - 7n}$;
2) $\frac{5a + 25b}{2a^2 + 10ab}$;
3) $\frac{4x - 16y}{16y}$;
4) $\frac{x^2 - 49}{6x + 42}$;
5) $\frac{12a^2 - 6a}{3 - 6a}$;
6) $\frac{9b^2 - 1}{9b^2 + 6b + 1}$;
7) $\frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6}$;
8) $\frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1}$;
9) $\frac{64 - x^2}{3x^2 - 24x}$.

Решение:

1) $\frac{3m - 3n}{7m - 7n} = \frac{3(m - n)}{7(m - n)} = \frac{3}{7}$

2) $\frac{5a + 25b}{2a^2 + 10ab} = \frac{5(a + 5b)}{2a(a + 5b)} = \frac{5}{2a}$

3) $\frac{4x - 16y}{16y} = \frac{4(x - 4y)}{16y} = \frac{x - 4y}{4y}$

4) $\frac{x^2 - 49}{6x + 42} = \frac{(x - 7)(x + 7)}{6(x + 7)} = \frac{x - 7}{6}$

5) $\frac{12a^2 - 6a}{3 - 6a} = \frac{6a(2a - 1)}{3(1 - 2a)} = -\frac{6a(2a - 1)}{3(2a - 1)} = -\frac{6a}{3} = -2a$

6) $\frac{9b^2 - 1}{9b^2 + 6b + 1} = \frac{(3b - 1)(3b + 1)}{(3b + 1)^2} = \frac{3b - 1}{3b + 1}$

7) $\frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6} = \frac{b^4(b - 1)}{b^5(1 - b)} = -\frac{b^4(b - 1)}{b^5(b - 1)} = -\frac{b^4}{b^5} = -\frac{1}{b}$

8) $\frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1} = \frac{7(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m^2 + m + 1)} = \frac{7}{m - 1}$

9) $\frac{64 - x^2}{3x^2 - 24x} = \frac{(8 - x)(8 + x)}{3x(x - 8)} = -\frac{(8 - x)(8 + x)}{3x(8 - x)} = -\frac{8 + x}{3x}$

16

Ответы к странице 16

39. Приведите дробь:
1) $\frac{a}{a + 2}$ к знаменателю 4a + 8;
2) $\frac{m}{m - 3n}$ к знаменателю $m^2 - 9n^2$;
3) $\frac{x}{2x - y}$ к знаменателю 7y − 14x;
4) $\frac{5b}{2a + 3b}$ к знаменателю $4a^2 + 12ab + 9b^2$;
5) $\frac{x + 1}{x^2 + x + 1}$ к знаменателю $x^3 - 1$.

Решение:

1) $\frac{4a + 8}{a + 2} = \frac{4(a + 2)}{a + 2} = 4$, тогда:
$\frac{a}{a + 2} = \frac{4 * a}{4 * (a + 2)} = \frac{4a}{4a + 8}$

2) $\frac{m^2 - 9n^2}{m - 3n} = \frac{(m - 3n)(m + 3n)}{m - 3n} = m + 3n$, тогда:
$\frac{m}{m - 3n} = \frac{(m + 3n) * m}{(m + 3) * (m - 3n)} = \frac{m^2 + 3mn}{m^2 - 9n^2}$

3) $\frac{7y - 14x}{2x - y} = \frac{7(y - 2x)}{2x - y} = -\frac{7(2x - y)}{2x - y} = -7$, тогда:
$\frac{x}{2x - y} = \frac{-7 * x}{-7 * (2x - y)} = \frac{-7x}{-14x + 7y} = -\frac{7x}{7y - 14x}$

4) $\frac{4a^2 + 12ab + 9b^2}{2a + 3b} = \frac{(2a + 3b)^2}{2a + 3b} = 2a + 3b$, тогда:
$\frac{5b}{2a + 3b} = \frac{(2a + 3b) * 5b}{(2a + 3b) * (2a + 3b)} = \frac{10ab + 15b^2}{(2a + 3b)^2} = \frac{10ab + 15b^2}{4a^2 + 12ab + 9b^2}$

5) $\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} = x - 1$, тогда:
$\frac{x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x - 1) * (x + 1)}{(x - 1) * (x^2 + x + 1)} = \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$

40. Представьте выражение x − 5y в виде дроби со знаменателем:
1) 2;
2) x;
3) $4y^3$;
4) $x^2 - 25y^2$.

Решение:

1) $x - 5y = \frac{x - 5y}{1} = \frac{2 * (x - 5y)}{2 * 1} = \frac{2x - 10y}{2}$

2) $x - 5y = \frac{x - 5y}{1} = \frac{x * (x - 5y)}{x * 1} = \frac{x^2 - 5xy}{x}$

3) $x - 5y = \frac{x - 5y}{1} = \frac{4y^3 * (x - 5y)}{4y^3 * 1} = \frac{4xy^3 - 20y^4}{4y^3}$

4) $x - 5y = \frac{(x^2 - 25y^2) * (x - 5y)}{(x^2 - 25y^2) * 1} = \frac{(x - 5y)(x + 5y)(x - 5y)}{x^2 - 25y^2} = \frac{(x - 5y)^2(x + 5y)}{x^2 - 25y^2}$

41. Приведите дробь $\frac{6}{b - 4}$ к знаменателю:
1) 5b − 20;
2) 12 − 3b;
3) $b^2 - 4b$;
4) $b^2 - 16$.

Решение:

1) $\frac{5b - 20}{b - 4} = \frac{5(b - 4)}{b - 4} = 5$, тогда:
$\frac{6}{b - 4} = \frac{5 * 6}{5 * (b - 4)} = \frac{30}{5b - 20}$

2) $\frac{12 - 3b}{b - 4} = \frac{3(4 - b)}{b - 4} = -\frac{3(b - 4)}{b - 4} = -3$, тогда:
$\frac{6}{b - 4} = \frac{-3 * 6}{-3 * (b - 4)} = \frac{-18}{-3b + 12} = -\frac{18}{12 - 3b}$

3) $\frac{b^2 - 4b}{b - 4} = \frac{b(b - 4)}{b - 4} = b$, тогда:
$\frac{6}{b - 4} = \frac{b * 6}{b * (b - 4)} = \frac{6b}{b^2 - 4b}$

4) $\frac{b^2 - 16}{b - 4} = \frac{(b - 4)(b + 4)}{b - 4} = b + 4$, тогда:
$\frac{6}{b - 4} = \frac{(b + 4) * 6}{(b + 4) * (b - 4)} = \frac{6b + 24}{b^2 - 16}$

42. Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
1\ $\frac{1}{8ab}$ и $\frac{1}{2a^3}$;
2) $\frac{3x}{7m^3n^3}$ и $\frac{4y}{3m^2n^4}$;
3) $\frac{a + b}{a - b}$ и $\frac{2}{a^2 - b^2}$;
4) $\frac{3d}{m - n}$ и $\frac{8p}{(m - n)^2}$;
5) $\frac{x}{2x + 1}$ и $\frac{x}{3x - 2}$;
6) $\frac{a - b}{3a + 3b}$ и $\frac{a}{a^2 - b^2}$;
7) $\frac{3a}{4a - 4}$ и $\frac{2a}{5 - 5a}$;
8) $\frac{7a}{b - 3}$ и $\frac{c}{9 - b^2}$.

Решение:

1) $\frac{1}{8ab} = \frac{1 * a^2}{8ab * a^2} = \frac{a^2}{8a^3b}$
$\frac{1}{2a^3} = \frac{1 * 4b}{2a^3 * 4b} = \frac{4b}{8a^3b}$

2) $\frac{3x}{7m^3n^3} = \frac{3x * 3n}{7m^3n^3 * 3n} = \frac{9nx}{21m^3n^4}$
$\frac{4y}{3m^2n^4} = \frac{4y * 7m}{3m^2n^4 * 7m} = \frac{28my}{21m^3n^4}$

3) $\frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + b) * (a + b)}{(a - b) * (a + b)} = \frac{(a + b)^2}{a^2 - b^2}$
$\frac{2}{a^2 - b^2}$

4) $\frac{3d}{m - n} = \frac{3d * (m - n)}{(m - n) * (m - n)} = \frac{3d(m - n)}{(m - n)^2}$
$\frac{8p}{(m - n)^2}$

5) $\frac{x}{2x + 1} = \frac{x(3x - 2)}{(2x + 1)(3x - 2)} = \frac{3x^2 - 2x}{6x^2 + 3x - 4x - 2} = \frac{3x^2 - 2x}{6x^2 - x - 2}$
$\frac{x}{3x - 2} = \frac{x(2x + 1)}{(3x - 2)(2x + 1)} = \frac{2x^2 + x}{6x^2 + 3x - 4x - 2} = \frac{2x^2 + x}{6x^2 - x - 2}$

6) $\frac{a - b}{3a + 3b} = \frac{a - b}{3(a + b)} = \frac{(a - b)(a - b)}{3(a + b)(a - b)} = \frac{(a - b)^2}{3(a^2 - b^2)}$
$\frac{a}{a^2 - b^2} = \frac{a}{(a - b)(a + b)} = \frac{3a}{3(a - b)(a + b)} = \frac{3a}{3(a^2 - b^2)}$

7) $\frac{3a}{4a - 4} = \frac{3a}{4(a - 1)} = \frac{5 * 3a}{5 * 4(a - 1)} = \frac{15a}{20(a - 1)}$
$\frac{2a}{5 - 5a} = \frac{2a}{5(1 - a)} = -\frac{4 * 2a}{4 * 5(a - 1)} = -\frac{8a}{20(a - 1)}$

8) $\frac{7a}{b - 3} = -\frac{7a}{3 - b} = -\frac{7a(3 + b)}{(3 - b)(3 + b)} = -\frac{7a(3 + b)}{9 - b^2}$
$\frac{c}{9 - b^2}$

43. Приведите к общему знаменателю дроби:
1) $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$;
2) $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$;
3) $\frac{x}{y - 5}$ и $\frac{z}{y^2 - 25}$;
4) $\frac{m + n}{m^2 - mn}$ и $\frac{2m - 3n}{m^2 - n^2}$;
5) $\frac{x + 1}{x^2 - xy}$ и $\frac{y - 1}{xy - y^2}$;
6) $\frac{6a}{a - 2b}$ и $\frac{3a}{a + b}$;
7) $\frac{1 + c^2}{c^2 - 16}$ и $\frac{c}{4 - c}$;
8) $\frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25}$ и $\frac{m}{m - 5}$.

Решение:

1) $\frac{4}{15x^2y^2} = \frac{4 * 2x}{15x^2y^2 * 2x} = \frac{8x}{30x^3y^2}$
$\frac{1}{10x^3y} = \frac{1 * 3y}{10x^3y * 3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}$

2) $\frac{c}{6a^4b^5} = \frac{c * 3}{6a^4b^5 * 3} = \frac{3c}{18a^4b^5}$
$\frac{d}{9ab^2} = \frac{d * 2a^3b^3}{9ab^2 * 2a^3b^3} = \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$

3) $\frac{x}{y - 5} = \frac{x(y + 5)}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{x(y + 5)}{y^2 - 25}$
$\frac{z}{y^2 - 25}$

4) $\frac{m + n}{m^2 - mn} = \frac{m + n}{m(m - n)} = \frac{(m + n)(m + n)}{m(m - n)(m + n)} = \frac{(m + n)^2}{m(m^2 - n^2)}$
$\frac{2m - 3n}{m^2 - n^2} = \frac{2m - 3n}{(m - n)(m + n)} = \frac{m(2m - 3n)}{m(m^2 - n^2)}$

5) $\frac{x + 1}{x^2 - xy} = \frac{x + 1}{x(x - y)} = \frac{y(x + 1)}{xy(x - y)}$
$\frac{y - 1}{xy - y^2} = \frac{y - 1}{y(x - y)} = \frac{x(y - 1)}{xy(x - y)}$

6) $\frac{6a}{a - 2b} = \frac{6a(a + b)}{(a - 2b)(a + b)}$
$\frac{3a}{a + b} = \frac{3a(a - 2b)}{(a - 2b)(a + b)}$

7) $\frac{1 + c^2}{c^2 - 16} = \frac{1 + c^2}{(c - 4)(c + 4)} = \frac{1 + c^2}{c^2 - 16}$
$\frac{c}{4 - c} = -\frac{c}{c - 4} = -\frac{c(c + 4)}{(c - 4)(c + 4)} = -\frac{c(c + 4)}{c^2 - 16}$

8) $\frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} = \frac{(m - 5)(2m + 9)}{(m - 5)(m^2 + 5m + 25)} = \frac{(m - 5)(2m + 9)}{m^3 - 125}$
$\frac{m}{m - 5} = \frac{m(m^2 + 5m + 25)}{(m - 5)(m^2 + 5m + 25)} = \frac{m(m^2 + 5m + 25)}{m^3 - 125}$

44. Сократите:
1) $\frac{(3a + 3b)^2}{a + b}$;
2) $\frac{(6x - 18y)^2}{x^2 - 9y^2}$;
3) $\frac{xy + x - 5y - 5}{4y + 4}$;
4) $\frac{a^2 - ab + 2b - 2a}{a^2 - 4a + 4}$.

Решение:

1) $\frac{(3a + 3b)^2}{a + b} = \frac{9(a + b)^2}{a + b} = 9(a + b)$

2) $\frac{(6x - 18y)^2}{x^2 - 9y^2} = \frac{36(x - 3y)^2}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{36(x - 3y)}{x + 3y}$

3) $\frac{xy + x - 5y - 5}{4y + 4} = \frac{(xy + x) - (5y + 5)}{4(y + 1)} = \frac{(x(y + 1) - 5(y + 1)}{4(y + 1)} = \frac{(y + 1)(x - 5)}{4(y + 1)} = \frac{x - 5}{4}$

4) $\frac{a^2 - ab + 2b - 2a}{a^2 - 4a + 4} = \frac{(a^2 - ab) + (2b - 2a)}{(a - 2)^2} = \frac{a(a - b) + 2(b - a)}{(a - 2)^2} = \frac{a(a - b) - 2(a - b)}{(a - 2)^2} = \frac{(a - b)(a - 2)}{(a - 2)^2} = \frac{a - b}{a - 2}$

17

Ответы к странице 17

45. Сократите дробь:
1) $\frac{2m^2 - 72n^2}{(4m + 24n)^2}$;
2) $\frac{a^3 - 8}{ab - a - 2b + 2}$;
3) $\frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 - ab^2}$.

Решение:

1) $\frac{2m^2 - 72n^2}{(4m + 24n)^2} = \frac{2(m^2 - 36n^2)}{16(m + 6n)^2} = \frac{2(m - 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} = \frac{m - 6n}{8(m + 6n)}$

2) $\frac{a^3 - 8}{ab - a - 2b + 2} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(ab - a) - (2b - 2)} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{a(b - 1) - 2(b - 1)} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(b - 1)(a - 2)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{b - 1}$

3) $\frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 - ab^2} = \frac{a(a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 - b^2)} = \frac{a(a + b)^2}{a(a - b)(a + b)} = \frac{a + b}{a - b}$

46. Найдите значение дроби, предварительно сократив ее:
1) $\frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2}$, если a = −2, b = 0,4;
2) $\frac{9b^2 - 4c^2}{12b^2c - 8bc^2}$, если $b = \frac{1}{3}$, c = −6;
3) $\frac{36x^2 - 12xy + y^2}{y^2 - 36x^2}$, если x = 1,2, y = −3;
4) $\frac{a^8 - a^6}{a^9 + a^8}$, если a = −0,1.

Решение:

1) $\frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2} = \frac{5a(3a + 2b)}{b(3a + 2b)} = \frac{5a}{b}$
при a = −2, b = 0,4:
$\frac{5 * (-2)}{0,4} = \frac{-10}{\frac{4}{10}} = -10 * \frac{10}{4} = -5 * 5 = -25$

2) $\frac{9b^2 - 4c^2}{12b^2c - 8bc^2} = \frac{(3b - 2c)(3b + 2c)}{4bc(3b - 2c)} = \frac{3b + 2c}{4bc}$
при $b = \frac{1}{3}$, c = −6:
$\frac{3 * \frac{1}{3} + 2 * (-6)}{4 * \frac{1}{3} * (-6)} = \frac{1 - 12}{4 * (-2)} = \frac{-11}{-8} = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8}$

3) $\frac{36x^2 - 12xy + y^2}{y^2 - 36x^2} = \frac{(6x - y)^2}{(y - 6x)(y + 6x)} = \frac{(y - 6x)^2}{(y - 6x)(y + 6x)} = \frac{y - 6x}{y + 6x}$
при x = 1,2, y = −3:
$\frac{-3 - 6 * 1,2}{-3 + 6 * 1,2} = \frac{-3 - 7,2}{-3 + 7,2} = \frac{-10,2}{4,2} = -\frac{102}{42} = -\frac{17}{7} = -2\frac{3}{7}$

4) $\frac{a^8 - a^6}{a^9 + a^8} = \frac{a^6(a^2 - 1)}{a^8(a + 1)} = \frac{a^6(a - 1)(a + 1)}{a^8(a + 1)} = \frac{a - 1}{a^2}$
при a = −0,1:
$\frac{-0,1 - 1}{(-0,1)^2} = \frac{-1,1}{0,01} = -110$

47. Найдите значение выражения:
1) $\frac{16x^2 - 4y^2}{6x - 3y}$ при x = 2,5, y = −2;
2) $\frac{49c^2 - 9}{49c^2 + 42c + 9}$ при c = −4.

Решение:

1) $\frac{16x^2 - 4y^2}{6x - 3y} = \frac{(4x - 2y)(4x + 2y)}{3(2x - y)} = \frac{2 * 2(2x - y)(2x + y)}{3(2x - y)} = \frac{4(2x + y)}{3}$
при x = 2,5, y = −2:
$\frac{4(2 * 2,5 - 2)}{3} = \frac{4(5 - 2)}{3} = \frac{4 * 3}{3} = 4$

2) $\frac{49c^2 - 9}{49c^2 + 42c + 9} = \frac{(7c - 3)(7c + 3)}{(7c + 3)^2} = \frac{7c - 3}{7c + 3}$
при c = −4:
$\frac{7 * (-4) - 3}{7 * (-4) + 3} = \frac{-28 - 3}{-28 + 3} = \frac{-31}{-25} = 1\frac{6}{25}$

48. Приведите к общему знаменателю дроби:
1) $\frac{2p}{5p - 15}$ и $\frac{1}{p^3 - 27}$;
2) $\frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1}$ и $\frac{a - 2}{9a^2 - 1}$;
3) $\frac{a}{a^2 - 7a}$ и $\frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49}$;
4) $\frac{2x}{x^2 - 1}, \frac{3x}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{4}{x^2 + 2x + 1}$;
5) $\frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc}, \frac{b}{2a - 2b}$ и $\frac{ab}{4a - 4c}$.

Решение:

1) $\frac{2p}{5p - 15} = \frac{2p}{5(p - 3)} = \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p^3 - 27)}$
$\frac{1}{p^3 - 27} = \frac{1}{(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{5}{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{5}{5(p^3 - 27)}$

2) $\frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1} = \frac{3a + 1}{(3a - 1)^2} = \frac{(3a + 1)(3a + 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} = \frac{(3a + 1)^2}{(3a - 1)^2(3a + 1)}$
$\frac{a - 2}{9a^2 - 1} = \frac{a - 2}{(3a - 1)(3a + 1)} = \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)(3a + 1)(3a - 1)} = \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)}$

3) $\frac{a}{a^2 - 7a} = \frac{a}{a(a - 7)} = \frac{a - 7}{(a - 7)(a - 7)} = \frac{a - 7}{(a - 7)^2}$
$\frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49} = \frac{a + 3}{(a - 7)^2} = \frac{a(a + 3)}{a(a - 7)^2} = \frac{a + 3}{(a - 7)^2}$

4) $\frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x(x^2 - 1)}{(x - 1)^2(x + 1)^2}$
$\frac{3x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{3x}{(x - 1)^2} = \frac{3x(x + 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)^2}$
$\frac{4}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4}{(x + 1)^2} = \frac{4(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)^2}$

5) $\frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc} = \frac{a^2}{(a^2 - ab) - (ac - bc)} = \frac{a^2}{a(a - b) - c(a - b)} = \frac{a^2}{(a - b)(a - c)} = \frac{4a^2}{4(a - b)(a - c)}$
$\frac{b}{2a - 2b} = \frac{b}{2(a - b)} = \frac{2 * b(a - c)}{2 * 2(a - b)(a - c)} = \frac{2b(a - c)}{4(a - b)(a - c)}$
$\frac{ab}{4a - 4c} = \frac{ab}{4(a - c)} = \frac{ab(a - b)}{4(a - b)(a - c)}$

49. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
1) $\frac{3a}{3a - 2}, \frac{a}{9a + 6}$ и $\frac{a^2}{9a^2b - 4b}$;
2) $\frac{1}{a - 5b}, \frac{1}{a^2 + 7ac}$ и $\frac{1}{a^2 + 7ac - 5ab - 35bc}$.

Решение:

1) $\frac{3a}{3a - 2} = \frac{3a * 3b(3a + 2)}{3b(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{9ab(3a + 2)}{3b(9a^2 - 4)}$
$\frac{a}{9a + 6} = \frac{a}{3(3a + 2)} = \frac{a * b(3a - 2)}{3b(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{ab(3a - 2)}{3b(9a^2 - 4)}$
$\frac{a^2}{9a^2b - 4b} = \frac{a^2}{b(9a^2 - 4)} = \frac{a^2}{b(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{3a^2}{3b(9a^2b - 4b)}$

2) $\frac{1}{a - 5b} = \frac{a(a + 7c)}{a(a - 5b)(a + 7c)}$
$\frac{1}{a^2 + 7ac} = \frac{1}{a(a + 7c)} = \frac{a - 5b}{a(a - 5b)(a + 7c)}$
$\frac{1}{a^2 + 7ac - 5ab - 35bc} = \frac{1}{(a^2 + 7ac) - (5ab + 35bc)} = \frac{1}{a(a + 7c) - 5b(a + 7c)} = \frac{a}{a(a + 7c)(a - 5b)}$

50. Найдите значение выражения
$\frac{2xy - y^2}{3xy + x^2}$, если $\frac{x}{y} = 2$.

Решение:

$\frac{2xy - y^2}{3xy + x^2} = \frac{y(2x - y)}{x(3y + x)} = \frac{y}{x} * \frac{2x - y}{3y + x}$
при $\frac{x}{y} = 2$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$
x = 2y:
$\frac{y}{x} * \frac{2x - y}{3y + x} = \frac{1}{2} * \frac{2 * 2y - y}{3y + 2y} = \frac{1}{2} * \frac{4y - y}{5y} = \frac{3y}{10y} = 0,3$

51. Найдите значение выражения
$\frac{4a^2 - ab}{ab + 14b^2}$, если $\frac{a}{b} = 5$.

Решение:

$\frac{4a^2 - ab}{ab + 14b^2} = \frac{a(4a - b)}{b(a + 14b)} = \frac{a}{b} * \frac{4a - b}{a + 14b}$
при $\frac{a}{b} = 5$
a = 5b
$5 * \frac{4 * 5b - b}{5b + 14b} = 5 * \frac{20b - b}{19b} = 5 * \frac{19b}{19b} = 5 * 1 = 5$

52. Известно, что 2a − 6b = 1. Найдите значение выражения:
1) $\frac{8}{a - 3b}$;
2) $\frac{a^2 - 9b^2}{0,5a + 1,5b}$.

Решение:

1) 2a − 6b = 1
2(a − 3b) = 1
$a - 3b = \frac{1}{2}$, тогда:
$\frac{8}{a - 3b} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 * 2 = 16$

2) $\frac{a^2 - 9b^2}{0,5a + 1,5b} = \frac{(a - 3b)(a + 3b)}{0,5(a + 3b)} = \frac{a - 3b}{\frac{1}{2}} = 2(a - 3b) = 2a - 6b = 1$

18

Ответы к странице 18

53. Найдите значение выражения
$\frac{2m - 1,5n}{32m^2 - 18n^2}$, если 4m + 3n = 8.

Решение:

$\frac{2m - 1,5n}{32m^2 - 18n^2} = \frac{0,5(4m - 3n)}{2(16m^2 - 9n^2)} = \frac{0,5(4m - 3n)}{2(4m - 3n)(4m + 3n)} = \frac{\frac{1}{2}}{2(4m + 3n)} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2(4m + 3n)} = \frac{1}{4(4m + 3n)}$
при 4m + 3n = 8:
$\frac{1}{4 * 8} = \frac{1}{32}$

54. Существует ли такое значение a, при котором дробь
$\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1}$
принимает отрицательное значение?

Решение:

$\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} = \frac{(a^3 - a^2) - (a - 1)}{(a^3 + a^2) + (a + 1)} = \frac{a^2(a - 1) - (a - 1)}{a^2(a + 1) + (a + 1)} = \frac{(a - 1)(a^2 - 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = \frac{(a - 1)(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = \frac{(a - 1)^2}{a^2 + 1} ≥ 0$, так как:
$(a - 1)^2 ≥ 0$, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным;
$a^2 + 1 > 0$, так как сумма двух положительных чисел всегда больше 0.
Ответ: не существует такого значения a, при котором дробь принимает отрицательное значение.

55. Постройте график функции:
1) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;
2) $y = \frac{x - 3}{3 - x}$;
3) $y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 - 4x}{x}$;
4) $y = \frac{2}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}$.

Решение:

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
х 4 5
у 2 3


2) $y = \frac{x - 3}{3 - x} = -\frac{x - 3}{x - 3} = -1$
3 − x ≠ 0
x ≠ 3


3) $y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 - 4x}{x} = \frac{(x - 5)^2}{x - 5} - \frac{2x(x - 2)}{x} = x - 5 - 2(x - 2) = x - 5 - 2x + 4 = -x - 1$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
и
x ≠ 0
х 2 3
у -3 -4


4) $y = \frac{2}{x + 4} - \frac{2}{x + 4} = 0$
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4

56. Постройте график функции:
1) $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4}$;
2) $y = x - \frac{x}{x}$;
3) $y = \frac{x^2 - 3x}{x} - \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Решение:

1) $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4} = \frac{(x - 4)^2}{x - 4} = x - 4$
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
х 5 6
у 1 2


2) $y = x - \frac{x}{x} = x - 1$
x ≠ 0
х 5 6
у 4 5


3) $y = \frac{x^2 - 3x}{x} - \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1} = \frac{x(x - 3)}{x} - \frac{2(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = x - 3 - 2 = x - 5$
x ≠ 0
и
$x^2 - 1 ≠ 0$
$x^2 ≠ 1$
x ≠ ±1
х 5 6
у 0 1

57. Постройте график функции:
1) $y = \frac{|x|}{x}$;
2) $y = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$.

Решение:

1) $y = \frac{|x|}{x}$
$y = \begin{equation*} \begin{cases} 1, x > 0 &\\ -1, x < 0 & \end{cases} \end{equation*}$
x ≠ 0


2) $y = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{|x| - 1}$
$y = \begin{equation*} \begin{cases} x + 1, x ≥ 0 &\\ 1 - x, x < 0 & \end{cases} \end{equation*}$
|x| − 1 ≠ 0
|x| ≠ 1
x ≠ ±1
y = x + 1
х 2 3
у 3 4
y = 1 − x
х 2 3
у -1 -2

58. Решите уравнение:
1) $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$;
2) $\frac{x^2 - 25}{x - 5} = 10$;
3) $\frac{x + 6}{|x| - 6} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$
1 = 1
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
Ответ: x − любое число, кроме x = −1

2) $\frac{x^2 - 25}{x - 5} = 10$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = 10$
x + 5 = 10
x = 10 − 5
x = 5 − не подходит.
Ответ: нет корней

3) $\frac{x + 6}{|x| - 6} = 0$
|x| − 6 ≠ 0
|x| ≠ 6
x ≠ ±6
при x > 0:
x + 6 = 0
x = −6 − не подходит
при x < 0:
$\frac{x + 6}{-(x + 6)} = 0$
−1 ≠ 0
Ответ: нет корней

59. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$;
2) $\frac{|x| - 7}{x - 7} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$
x + 4 ≠ 0
x ≠ − 4
$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = -8$
x − 4 = −8
x = −8 + 4
x = −4 − не подходит.
Ответ: нет корней

2) $\frac{|x| - 7}{x - 7} = 0$
x − 7 ≠ 0
x ≠ 7
при x > 0:
$\frac{x - 7}{x - 7} = 0$
1 ≠ 0
при x < 0:
$\frac{-x - 7}{x - 7} = 0$
−x − 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7

60. Для каждого значения a решите уравнение:
1) ax = 1;
2) ax = a;
3) $(a - 6)x = a^2 - 12a + 36$;
4) $(a^2 - 4)x = a - 2$.

Решение:

1) ax = 1
при a = 0:
0x = 1
0 ≠ 1 − корней нет
при a ≠ 0:
$x = \frac{1}{a}$

2) ax = a
при a = 0:
0x = 0
0 = 0, x − любое число.
при a ≠ 0:
$x = \frac{a}{a} = 1$

3) $(a - 6)x = a^2 - 12a + 36$
$(a - 6)x = (a - 6)^2$
при a = 6:
$(6 - 6)x = (6 - 6)^2$
0x = 0
0 = 0, x − любое число.
при a ≠ 6:
$x = \frac{(a - 6)^2}{a - 6} = a - 6$

4) $(a^2 - 4)x = a - 2$
(a − 2)(a + 2)x = a − 2
при a = 2:
(2 − 2)(2 + 2)x = 2 − 2
0x = 0
0 = 0, x − любое число.
при a = −2:
(−2 − 2)(−2 + 2)x = −2 − 2
0x = −4
0 ≠ −4 − нет корней.
при a ≠ ±2:
$x = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a + 2}$

61. Для каждого значения a решите уравнение:
1) (a + 3)x = 3;
2) $(a^2 - 9a)x = a^2 - 18a + 81$.

Решение:

1) (a + 3)x = 3
при a = −3:
(−3 + 3)x = 3
0x = 3
0 ≠ 3 − нет корней.
при a ≠ −3:
$x = \frac{3}{a + 3}$

2) $(a^2 - 9a)x = a^2 - 18a + 81$
$a(a - 9)x = (a - 9)^2$
при a = 0:
$0(0 - 9)x = (0 - 9)^2$
0x = 81
0 ≠ 81 − нет корней.
при 9 = 0:
$9(9 - 9)x = (9 - 9)^2$
0x = 0
0 = 0, x − любое число.
при a ≠ 0, a ≠ 9:
$x = \frac{(a - 9)^2}{a(a - 9)} = \frac{a - 9}{a}$

62. Упростите выражение:
1) (x + 2)(x − 9) − 3x(3 − 2x);
2) (a + 5)(a − 2) + (a + 4)(a − 5);
3) (y − 8)(2y + 1) − (3y + 1)(y − 6);
4) (2x − 3y)(2x + 3y) + (3x + 2y)(3x − 2y);
5) $(x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3)$;
6) $(y - 4)(y + 3) - (y - 6)^2$.

Решение:

1) $(x + 2)(x - 9) - 3x(3 - 2x) = x^2 + 2x - 9x - 18 - 9x + 6x^2 = 7x^2 - 16x - 18$

2) $(a + 5)(a - 2) + (a + 4)(a - 5) = a^2 + 5a - 2a - 10 + a^2 + 4a - 5a - 20 = 2a^2 + 2a - 30$

3) $(y - 8)(2y + 1) - (3y + 1)(y - 6) = 2y^2 - 16y + y - 8 - (3y^2 + y - 18y - 6) = 2y^2 - 15y - 8 - (3y^2 - 17y - 6) = 2y^2 - 15y - 8 - 3y^2 + 17y + 6 = -y^2 + 2y - 2$

4) $(2x - 3y)(2x + 3y) + (3x + 2y)(3x - 2y) = 4x^2 - 9y^2 + 9x^2 - 4y^2 = 13x^2 - 13y^2$

5) $(x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3) = x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 9) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 9 = 2x + 10$

6) $(y - 4)(y + 3) - (y - 6)^2 = y^2 - 4y + 3y - 12 - (y^2 - 12y + 36) = y^2 - y - 12 - y^2 + 12y - 36 = 11y - 48$

63. Постройте график функции:
1) y= 2;
2) y = 2x;
3) y = 2x − 1.

Решение:

1)


2)
х 2 3
у 4 6


3)
х 2 3
у 3 5

19

Ответы к странице 19

64. Какое наименьшее значение и при каких значениях a и b принимает выражение (a − 2)(a + 2) + 4b(b − a)?

Решение:

$(a - 2)(a + 2) + 4b(b - a) = a^2 - 4 + 4b^2 - 4ab = (a^2 - 4ab + 4b^2) - 4 = (a - 2b)^2 - 4$
наименьшее значение при:
a − 2b = 0
a = 2b
тогда:
$(a - 2b)^2 - 4 = (2b - 2b)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$
Ответ: наименьшее значение −4 при a = 2b.

65. Расстояние от села Вишневое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишневое до станции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причем скорость автомобиля на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса и скорость легкового автомобиля.

Решение:

45 мин = $\frac{45}{60} ч = \frac{3}{4} ч$ − время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишневое до станции;
(45 + 5) мин = 50 мин = $\frac{50}{60} ч = \frac{5}{6} ч$ − время, за которое автомобиль преодолевает расстояние от села Яблоневое до станции.
Пусть x км/ч − скорость автобуса, тогда
                       v                  t                S
Автобус        x км/ч          $\frac{3}{4}$ ч   $\frac{3}{4}x$ км
Автомобиль x + 12 км/ч $\frac{5}{6}$ ч   $\frac{5}{6}(x + 12)$ км

Зная, что расстояние от села Вишневое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции, можно составить уравнение:
$\frac{5}{6}(x + 12) - \frac{3}{4}x = 14$
$\frac{5}{6}x + 10 - \frac{3}{4}x = 14$
$\frac{10}{12}x - \frac{9}{12}x = 14 - 10$
$\frac{1}{12}x = 4$
x = 4 * 12
x = 48 (км/ч) − скорость автобуса;
x + 12 = 60 (км/ч) − скорость автомобиля.
Ответ:
48 (км/ч) − скорость автобуса;
60 (км/ч) − скорость автомобиля.

66. Выполните действия:
1) $\frac{7}{18} + \frac{5}{18}$;
2) $\frac{9}{16} + \frac{7}{16}$;
3) $\frac{23}{32} - \frac{15}{32}$;
4) $4 - 1\frac{3}{11}$.

Решение:

1) $\frac{7}{18} + \frac{5}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

2) $\frac{9}{16} + \frac{7}{16} = \frac{16}{16} = 1$

3) $\frac{23}{32} - \frac{15}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

4) $4 - 1\frac{3}{11} = 3\frac{11}{11} - 1\frac{3}{11} = 2\frac{8}{11}$

67. На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата.

Решение:

Обозначим 4 натуральных числа буквами a, b, c, d.

Пусть a, b, c, d - числа, написанные на сторонах квадрата. Тогда аd, ab, bc, cd - произведения этих чисел в углах квадрата, а сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55.
Составим уравнение:
ad + ab + bc + cd = 55
(ad + ab) + (bc + cd) = 55
a(d + b) + c(b + d) = 55
(a + c)(b + d) = 55
Так как число 55 равно произведению только двух натуральных чисел (a + c) и (b + d), то этими числами могут быть только 5 и 11.
Значит,  (a + c) + (b + d) = 5 + 11 = 16 − сумма чисел, записанных на сторонах квадрата.
Ответ: 16.

21

Ответы к странице 21

§3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Вопросы

1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Ответ:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

2. Как вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Ответ:

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же.

Упражнения

68. Выполните действия:
1) $\frac{x}{6} + \frac{y}{6}$;
2) $\frac{a}{3} - \frac{b}{3}$;
3) $\frac{m}{n} + \frac{4m}{n}$;
4) $\frac{6c}{d} - \frac{2c}{d}$;
5) $\frac{m + n}{6} - \frac{m - 2n}{6}$;
6) $\frac{2a - 3b}{6ab} + \frac{9b - 2a}{6ab}$;
7) $-\frac{5c + 4d}{cd} + \frac{4d + 9c}{cd}$;
8) $\frac{8m + 3}{10m^2} - \frac{2m + 3}{10m^2}$.

Решение:

1) $\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = \frac{x + y}{6}$

2) $\frac{a}{3} - \frac{b}{3} = \frac{a - b}{3}$

3) $\frac{m}{n} + \frac{4m}{n} = \frac{m + 4m}{n} = \frac{5m}{n}$

4) $\frac{6c}{d} - \frac{2c}{d} = \frac{6c - 2c}{d} = \frac{4c}{d}$

5) $\frac{m + n}{6} - \frac{m - 2n}{6} = \frac{m + n - (m - 2n)}{6} = \frac{m + n - m + 2n}{6} = \frac{3n}{6} = \frac{n}{2}$

6) $\frac{2a - 3b}{6ab} + \frac{9b - 2a}{6ab} = \frac{2a - 3b + 9b - 2a}{6ab} = \frac{6b}{6ab} = \frac{1}{a}$

7) $-\frac{5c + 4d}{cd} + \frac{4d + 9c}{cd} = \frac{-(5c + 4d) + 4d + 9c}{cd} = \frac{-5c - 4d + 4d + 9c}{cd} = \frac{4c}{cd} = \frac{4}{d}$

8) $\frac{8m + 3}{10m^2} - \frac{2m + 3}{10m^2} = \frac{8m + 3 - (2m + 3)}{10m^2} = \frac{8m + 3 - 2m - 3}{10m^2} = \frac{6m}{10m^2} = \frac{3}{5m}$

69. Представьте в виде дроби выражение:
1) $\frac{7k}{18p} - \frac{4k}{18p}$;
2) $\frac{a - b}{2b} - \frac{a}{2b}$;
3) $-\frac{a - 12b}{27a} + \frac{a + 15b}{27a}$;
4) $\frac{x - 7y}{xy} - \frac{x - 4y}{xy}$;
5) $\frac{10a + 6b}{11a^3} - \frac{6b - a}{11a^3}$;
6) $\frac{x^2 - xy}{x^2y} + \frac{2xy - 3x^2}{x^2y}$.

Решение:

1) $\frac{7k}{18p} - \frac{4k}{18p} = \frac{7k - 4k}{18p} = \frac{3k}{18p} = \frac{k}{6p}$

2) $\frac{a - b}{2b} - \frac{a}{2b} = \frac{a - b - a}{2b} = \frac{-b}{2b} = -\frac{1}{2}$

3) $-\frac{a - 12b}{27a} + \frac{a + 15b}{27a} = \frac{-(a - 12b) + a + 15b}{27a} = \frac{-a + 12b + a + 15b}{27a} = \frac{27b}{27a} = \frac{b}{a}$

4) $\frac{x - 7y}{xy} - \frac{x - 4y}{xy} = \frac{x - 7y - (x - 4y)}{xy} = \frac{x - 7y - x + 4y}{xy} = \frac{-3y}{xy} = -\frac{3}{x}$

5) $\frac{10a + 6b}{11a^3} - \frac{6b - a}{11a^3} = \frac{10a + 6b - (6b - a)}{11a^3} = \frac{10a + 6b - 6b + a}{11a^3} = \frac{11a}{11a^3} = \frac{1}{a^2}$

6) $\frac{x^2 - xy}{x^2y} + \frac{2xy - 3x^2}{x^2y} = \frac{x^2 - xy + 2xy - 3x^2}{x^2y} = \frac{xy - 2x^2}{x^2y} = \frac{x(y - 2x)}{x^2y} = \frac{y - 2x}{xy}$

70. Упростите выражение:
1) $\frac{a^2}{a + 3} - \frac{9}{a + 3}$;
2) $\frac{t}{t^2 - 16} - \frac{4}{t^2 - 16}$;
3) $\frac{m^2}{(m - 5)^2} - \frac{25}{(m - 5)^2}$;
4) $\frac{5x + 9}{x^2 - 1} - \frac{4x + 8}{x^2 - 1}$;
5) $\frac{b^2}{b + 10} + \frac{20b + 100}{b + 10}$;
6) $\frac{c^2}{c - 7} - \frac{14c - 49}{c - 7}$.

Решение:

1) $\frac{a^2}{a + 3} - \frac{9}{a + 3} = \frac{a^2 - 9}{a + 3} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} = a - 3$

2) $\frac{t}{t^2 - 16} - \frac{4}{t^2 - 16} = \frac{t - 4}{t^2 - 16} = \frac{t - 4}{(t - 4)(t + 4)} = \frac{1}{t + 4}$

3) $\frac{m^2}{(m - 5)^2} - \frac{25}{(m - 5)^2} = \frac{m^2 - 25}{(m - 5)^2} = \frac{(m - 5)(m + 5)}{(m - 5)^2} = \frac{m + 5}{m - 5}$

4) $\frac{5x + 9}{x^2 - 1} - \frac{4x + 8}{x^2 - 1} = \frac{5x + 9 - (4x + 8)}{x^2 - 1} = \frac{5x + 9 - 4x - 8}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$

5) $\frac{b^2}{b + 10} + \frac{20b + 100}{b + 10} = \frac{b^2 + 20b + 100}{b + 10} = \frac{(b + 10)^2}{b + 10} = b + 10$

6) $\frac{c^2}{c - 7} - \frac{14c - 49}{c - 7} = \frac{c^2 - (14c - 49)}{c - 7} = \frac{c^2 - 14c + 49}{c - 7} = \frac{(c - 7)^2}{c - 7} = c - 7$

71. Упростите выражение:
1) $\frac{c^2}{c - 9} - \frac{81}{c - 9}$;
2) $\frac{a^2}{(a - 6)^2} - \frac{36}{(a - 6)^2}$;
3) $\frac{3x + 5}{x^2 - 4} - \frac{2x + 7}{x^2 - 4}$;
4) $\frac{y^2}{y - 2} - \frac{4y - 4}{y - 2}$.

Решение:

1) $\frac{c^2}{c - 9} - \frac{81}{c - 9} = \frac{c^2 - 81}{c - 9} = \frac{(c - 9)(c + 9)}{c - 9} = c + 9$

2) $\frac{a^2}{(a - 6)^2} - \frac{36}{(a - 6)^2} = \frac{a^2 - 36}{(a - 6)^2} = \frac{(a - 6)(a + 6)}{(a - 6)^2} = \frac{a^2 - 36}{(a - 6)^2} = \frac{a + 6}{a - 6}$

3) $\frac{3x + 5}{x^2 - 4} - \frac{2x + 7}{x^2 - 4} = \frac{3x + 5 - (2x + 7)}{x^2 - 4} = \frac{3x + 5 - 2x - 7}{x^2 - 4} = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$

4) $\frac{y^2}{y - 2} - \frac{4y - 4}{y - 2} = \frac{y^2 - (4y - 4)}{y - 2} = \frac{y^2 - 4y + 4}{y - 2} = \frac{(y - 2)^2}{y - 2} = y - 2$

72. Выполните действия:
1) $\frac{a + b}{c - 7} + \frac{a}{7 - c}$;
2) $\frac{5m}{m - n} + \frac{5n}{n - m}$;
3) $\frac{2x - 4y}{x - 3y} - \frac{4x - 14y}{3y - x}$;
4) $\frac{81b^2}{9b - a} + \frac{a^2}{a - 9b}$;
5) $\frac{t^2}{3t - 6} + \frac{4}{6 - 3t}$;
6) $\frac{y^2}{y - 1} - \frac{1 - 2y}{1 - y}$.

Решение:

1) $\frac{a + b}{c - 7} + \frac{a}{7 - c} = \frac{a + b}{c - 7} - \frac{a}{c - 7} = \frac{a + b - a}{c - 7} = \frac{b}{c - 7}$

2) $\frac{5m}{m - n} + \frac{5n}{n - m} = \frac{5m}{m - n} - \frac{5n}{m - n} = \frac{5m - 5n}{m - n} = \frac{5(m - n)}{m - n} = 5$

3) $\frac{2x - 4y}{x - 3y} - \frac{4x - 14y}{3y - x} = \frac{2x - 4y}{x - 3y} + \frac{4x - 14y}{x - 3y} = \frac{2x - 4y + 4x - 14y}{x - 3y} = \frac{6x - 18y}{x - 3y} = \frac{6(x - 3y)}{x - 3y} = 6$

4) $\frac{81b^2}{9b - a} + \frac{a^2}{a - 9b} = \frac{81b^2}{9b - a} - \frac{a^2}{9b - a} = \frac{81b^2 - a^2}{9b - a} = \frac{(9b - a)(9b + a)}{9b - a} = 9b + a$

5) $\frac{t^2}{3t - 6} + \frac{4}{6 - 3t} = \frac{t^2}{3t - 6} - \frac{4}{3t - 6} = \frac{t^2 - 4}{3t - 6} = \frac{(t - 2)(t + 2)}{3(t - 2)} = \frac{t + 2}{3}$

6) $\frac{y^2}{y - 1} - \frac{1 - 2y}{1 - y} = \frac{y^2}{y - 1} + \frac{1 - 2y}{y - 1} = \frac{y^2 + 1 - 2y}{y - 1} = \frac{y^2 - 2y + 1}{y - 1} = \frac{(y - 1)^2}{y - 1} = y - 1$

21

Ответы к странице 21

73. Упростите выражение:
1) $\frac{x}{y - 1} + \frac{2}{1 - y}$;
2) $\frac{3c}{c - d} + \frac{3d}{d - c}$;
3) $\frac{3m + 2n}{2m - 3n} - \frac{m - 8n}{3n - 2m}$;
4) $\frac{b^2}{2b - 14} + \frac{49}{14 - 2b}$.

Решение:

1) $\frac{x}{y - 1} + \frac{2}{1 - y} = \frac{x}{y - 1} - \frac{2}{y - 1} = \frac{x - 2}{y - 1}$

2) $\frac{3c}{c - d} + \frac{3d}{d - c} = \frac{3c}{c - d} - \frac{3d}{c - d} = \frac{3c - 3d}{c - d} = \frac{3(c - d)}{c - d} = 3$

3) $\frac{3m + 2n}{2m - 3n} - \frac{m - 8n}{3n - 2m} = \frac{3m + 2n}{2m - 3n} + \frac{m - 8n}{2m - 3n} = \frac{3m + 2n + m - 8n}{2m - 3n} = \frac{4m - 6n}{2m - 3n} = \frac{2(2m - 3n)}{2m - 3n} = 2$

4) $\frac{b^2}{2b - 14} + \frac{49}{14 - 2b} = \frac{b^2}{2b - 14} - \frac{49}{2b - 14} = \frac{b^2 - 49}{2b - 14} = \frac{(b - 7)(b + 7)}{2(b - 7)} = \frac{b + 7}{2}$

74. Найдите значение выражения:
1) $\frac{a^2 - 48}{a - 8} - \frac{16}{a - 8}$ при a = 32;
2) $\frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} + \frac{c + 3}{8 - c^3}$ при c = −3.

Решение:

1) $\frac{a^2 - 48}{a - 8} - \frac{16}{a - 8} = \frac{a^2 - 48 - 16}{a - 8} = \frac{a^2 - 64}{a - 8} = \frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 8} = a + 8$
при a = 32:
a + 8 = 32 + 8 = 40

2) $\frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} + \frac{c + 3}{8 - c^3} = \frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} - \frac{c + 3}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 3c + 7 - (c + 3)}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 3c + 7 - c - 3}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 2c + 4}{(c - 2)(c^2 + 2c + 4)} = \frac{1}{c - 2}$
при c = −3:
$\frac{1}{c - 2} = \frac{1}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

75. Найдите значение выражения:
1) $\frac{5x + 3}{x^2 - 16} + \frac{6x - 1}{16 - x^2}$ при x = −4,1;
2) $\frac{a^2 + a}{a^2 - 9} - \frac{7a - 9}{a^2 - 9}$ при a = 7.

Решение:

1) $\frac{5x + 3}{x^2 - 16} + \frac{6x - 1}{16 - x^2} = \frac{5x + 3}{x^2 - 16} - \frac{6x - 1}{x^2 - 16} = \frac{5x + 3 - (6x - 1)}{x^2 - 16} = \frac{5x + 3 - 6x + 1}{x^2 - 16} = \frac{-x + 4}{x^2 - 16} = \frac{-(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{-1}{x + 4} = -\frac{1}{x + 4}$
при x = −4,1:
$-\frac{1}{x + 4} = -\frac{1}{-4,1 + 4} = -\frac{1}{-0,1} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$

2) $\frac{a^2 + a}{a^2 - 9} - \frac{7a - 9}{a^2 - 9} = \frac{a^2 + a - (7a + 9)}{a^2 - 9} = \frac{a^2 + a - 7a - 9}{a^2 - 9} = \frac{a^2 - 6a - 9}{a^2 - 9} = \frac{(a - 3)^2}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{a + 3}$
при a = 7:
$\frac{a - 3}{a + 3} = \frac{7 - 3}{7 + 3} = \frac{4}{10} = 0,4$

76. Упростите выражение:
1) $\frac{5n - 1}{20n} - \frac{7n - 8}{20n} - \frac{8n + 7}{20n}$;
2) $\frac{9m + 2}{m^2 - 4} - \frac{m - 9}{4 - m^2} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4}$;
3) $\frac{3k}{k^3 - 1} + \frac{4k + 1}{1 - k^3} + \frac{k^2}{1 - k^3}$.

Решение:

1) $\frac{5n - 1}{20n} - \frac{7n - 8}{20n} - \frac{8n + 7}{20n} = \frac{5n - 1 - (7n - 8) - (8n + 7)}{20n} = \frac{5n - 1 - 7n + 8 - 8n - 7}{20n} = \frac{-10n}{20n} = -\frac{1}{2}$

2) $\frac{9m + 2}{m^2 - 4} - \frac{m - 9}{4 - m^2} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4} = \frac{9m + 2}{m^2 - 4} + \frac{m - 9}{m^2 - 4} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4} = \frac{9m + 2 + m - 9 + 1 - 7m}{m^2 - 4} = \frac{3m - 6}{m^2 - 4} = \frac{3(m - 2)}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{3}{m + 2}$

3) $\frac{3k}{k^3 - 1} + \frac{4k + 1}{1 - k^3} + \frac{k^2}{1 - k^3} = \frac{3k}{k^3 - 1} - \frac{4k + 1}{k^3 - 1} - \frac{k^2}{k^3 - 1} = \frac{3k - (4k + 1) - k^2}{k^3 - 1} = \frac{3k - 4k - 1 - k^2}{k^3 - 1} = \frac{-k^2 - k - 1}{(k - 1)(k^2 + k + 1)} = \frac{-(k^2 + k + 1)}{(k - 1)(k^2 + k + 1)} = \frac{-1}{k - 1} = -\frac{1}{k - 1} = \frac{1}{1 - k}$

77. Упростите выражение:
1) $\frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} + \frac{-2a - 2}{8 - 16a}$;
2) $\frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} + \frac{8a - 9}{25 - a^2} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25}$.

Решение:

1) $\frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} + \frac{-2a - 2}{8 - 16a} = \frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} - \frac{-2a - 2}{16a - 8} = \frac{6a - 1 + 4a - 7 - (-2a - 2)}{16a - 8} = \frac{6a - 1 + 4a - 7 + 2a + 2}{16a - 8} = \frac{12a - 6}{16a - 8} = \frac{6(2a - 1)}{8(2a - 1)} = \frac{3}{4}$

2) $\frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} + \frac{8a - 9}{25 - a^2} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25} = \frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} - \frac{8a - 9}{a^2 - 25} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25} = \frac{2a^2 + 12a - (8a - 9) - (a^2 + 14a - 16)}{a^2 - 25} = \frac{2a^2 + 12a - 8a + 9 - a^2 - 14a + 16}{a^2 - 25} = \frac{a^2 - 10a + 25}{a^2 - 25} = \frac{(a - 5)^2}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{a - 5}{a + 5}$

78. Представьте в виде дроби выражение:
1) $\frac{15 - 8a}{(a - 1)^2} - \frac{14 - 7a}{(1 - a)^2}$;
2) $\frac{3b^2 + 12}{(b - 2)^3} + \frac{12b}{(2 - b)^3}$;
3) $\frac{m^2 - 8n}{(m - 2)(n - 5)} - \frac{2m - 8n}{(2 - m)(5 - n)}$.

Решение:

1) $\frac{15 - 8a}{(a - 1)^2} - \frac{14 - 7a}{(1 - a)^2} = \frac{15 - 8a}{(a - 1)^2} - \frac{14 - 7a}{(a - 1)^2} = \frac{15 - 8a - (14 - 7a)}{(a - 1)^2} = \frac{15 - 8a - 14 + 7a}{(a - 1)^2} = \frac{1 - a}{(1 - a)^2} = \frac{1}{1 - a}$

2) $\frac{3b^2 + 12}{(b - 2)^3} + \frac{12b}{(2 - b)^3} = \frac{3b^2 + 12}{(b - 2)^3} - \frac{12b}{(b - 2)^3} = \frac{3b^2 + 12 - 12b}{(b - 2)^3} = \frac{3(b^2 - 4b + 4)}{(b - 2)^3} = \frac{3(b - 2)^2}{(b - 2)^3} = \frac{3}{b - 2}$

3) $\frac{m^2 - 8n}{(m - 2)(n - 5)} - \frac{2m - 8n}{(2 - m)(5 - n)} = \frac{m^2 - 8n}{(m - 2)(n - 5)} - \frac{2m - 8n}{(m - 2)(n - 5)} = \frac{m^2 - 8n - (2m - 8n)}{(m - 2)(n - 5)} = \frac{m^2 - 8n - 2m + 8n}{(m - 2)(n - 5)} = \frac{m^2 - 2m}{(m - 2)(n - 5)} = \frac{m(m - 2)}{(m - 2)(n - 5)} = \frac{m}{n - 5}$

79. Упростите выражение:
1) $\frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(7 - x)^4}$;
2) $\frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(2 + y)}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(7 - x)^4} = \frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(x - 7)^4} = \frac{x^2 - 16x + 2x + 49}{(x - 7)^4} = \frac{x^2 - 14x + 49}{(x - 7)^4} = \frac{(x - 7)^2}{(x - 7)^4} = \frac{1}{(x - 7)^2}$

2) $\frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(2 + y)} = \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} - \frac{y + 36}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 + y - y - 36}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 - 36}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{(y - 6)(y + 6)}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y + 6}{y + 2}$

80. Докажите тождество:
1) $\frac{(a + b)^2}{4ab} - \frac{(a - b)^2}{4ab} = 1$;
2) $\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a - b)^2}{a^2 + b^2} = 2$.

Решение:

1) $\frac{(a + b)^2}{4ab} - \frac{(a - b)^2}{4ab} = 1$
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{4ab} = 1$
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{4ab} = 1$
$\frac{4ab}{4ab} = 1$
1 = 1

2) $\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a - b)^2}{a^2 + b^2} = 2$
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = 2$
$\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = 2$
$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2$
2 = 2

81. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение выражения $\frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15}$ не зависит от значения x.

Решение:

$\frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15} = \frac{12x - 25 + 8x + 10}{20x - 15} = \frac{20x - 15}{20x - 15} = 1$, следовательно при всех допустимых значениях переменной x значение выражения не зависит от значения x и будет равно 1.

82. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной y значение выражения $\frac{17y + 5}{21y - 3} - \frac{9 - 11y}{21y - 3}$ не зависит от значения y.

Решение:

$\frac{17y + 5}{21y - 3} - \frac{9 - 11y}{21y - 3} = \frac{17y + 5 - (9 - 11y)}{21y - 3} = \frac{17y + 5 - 9 + 11y}{21y - 3} = \frac{28y - 4}{21y - 3} = \frac{4(7y - 1)}{3(7y - 1)} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, следовательно при всех допустимых значениях переменной y значение выражения не зависит от значения y и будет равно $1\frac{1}{3}$.

83. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{a^2 - 6}{(a - 2)^4} - \frac{7a - 4}{(a - 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a - 2)^4}$ принимает положительные значения.

Решение:

$\frac{a^2 - 6}{(a - 2)^4} - \frac{7a - 4}{(a - 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a - 2)^4} = \frac{a^2 - 6 - (7a - 4) + 3a + 6}{(a - 2)^4} = \frac{a^2 - 6 - 7a + 4 + 3a + 6}{(a - 2)^4} = \frac{a^2 - 4a + 4}{(a - 2)^4} = \frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4} = \frac{1}{(a - 2)^2}$
$(a - 2)^2 ≠ 0$
a − 2 ≠ 0
a ≠ 2
так как числитель больше нуля (1 > 0) и знаменатель больше нуля ($(a - 2)^2 > 0$, при a ≠ 2), то выражение при любом допустимом значении переменной принимает положительные значения.

23

Ответы к странице 23

84. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6}$ принимает отрицательные значения.

Решение:

$\frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{2 - b^2 - (7 - 3b) + 7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{2 - b^2 - 7 + 3b + 7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{-b^2 + 10b - 25}{(b - 5)^6} = \frac{-(b^2 - 10b + 25)}{(b - 5)^6} = \frac{-(b - 5)^2}{(b - 5)^6} = -\frac{1}{(b - 5)^4}$
$(b - 5)^6 ≠ 0$
b − 5 ≠ 0
b ≠ 5
так как числитель больше нуля (1 > 0) и знаменатель больше нуля ($(b - 5)^4 > 0$, при b ≠ 5), то дробь $\frac{1}{(b - 5)^4}$при любом допустимом значении переменной принимает положительные значения, следовательно значение выражения $-\frac{1}{(b - 5)^4}$ принимает отрицательные значения.

85. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений:
1) $\frac{x + 3}{x}$;
2) $\frac{a^2 - 2a - 5}{a - 2}$.

Решение:

1) $\frac{x + 3}{x} = \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{x}$

2) $\frac{a^2 - 2a - 5}{a - 2} = \frac{(a^2 - 2a) - 5}{a - 2} = \frac{a(a - 2) - 5}{a - 2} = \frac{a(a - 2)}{a - 2} - \frac{5}{a - 2} = a - \frac{5}{a - 2}$

86. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений:
1) $\frac{4a - b}{a}$;
2) $\frac{b^2 + 7b + 3}{b + 7}$.

Решение:

1) $\frac{4a - b}{a} = \frac{4a}{a} - \frac{b}{a} = 4 - \frac{b}{a}$

2) $\frac{b^2 + 7b + 3}{b + 7} = \frac{(b^2 + 7b) + 3}{b + 7} = \frac{b(b + 7) + 3}{b + 7} = \frac{b(b + 7)}{b + 7} + \frac{3}{b + 7} = b + \frac{3}{b + 7}$

87. Известно, что $\frac{x}{y} = 4$. Найдите значение выражения:
1) $\frac{y}{x}$;
2) $\frac{2x - 3y}{y}$;
3) $\frac{x^2 + y^2}{xy}$.

Решение:

1) т.к. $\frac{x}{y} = 4$, тогда:
$\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$

2) $\frac{2x - 3y}{y} = \frac{2x}{y} - \frac{3y}{y} = 2\frac{x}{y} - 3$
т.к. $\frac{x}{y} = 4$, тогда:
$2\frac{x}{y} - 3 = 2 * 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

3) $\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
т.к. $\frac{x}{y} = 4$, тогда:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$

88. Известно, что $\frac{a}{b} = -2$. Найдите значение выражения:
1) $\frac{a - b}{a}$;
2) $\frac{4a + 5b}{b}$;
3) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$.

Решение:

1) $\frac{a - b}{a} = \frac{a}{a} - \frac{b}{a} = 1 - \frac{b}{a}$
т.к. $\frac{a}{b} = -2$, тогда:
$1 - \frac{b}{a} = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$

2) $\frac{4a + 5b}{b} = \frac{4a}{b} + \frac{5b}{b} = 4\frac{a}{b} + 5$
т.к. $\frac{a}{b} = -2$, тогда:
$4\frac{a}{b} + 5 = 4 * (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$

3) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{a^2}{ab} - \frac{2ab}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a}$
т.к. $\frac{a}{b} = -2$, тогда:
$\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a} = -2 - 2 + (-\frac{1}{2}) = -4 - \frac{1}{2} = -4\frac{1}{2}$

89. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) $\frac{n + 6}{n}$;
2) $\frac{3n^2 - 4n - 14}{n}$;
3) $\frac{4n + 7}{2n - 3}$.

Решение:

1) $\frac{n + 6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{n + 6}{n}$ − будет целым числом, если 6 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 3; 6.

2) $\frac{3n^2 - 4n - 14}{n} = \frac{(3n^2 - 4n) - 14}{n} = \frac{n(3n - 4) - 14}{n} = \frac{n(3n - 4)}{n} - \frac{14}{n} = 3n - 4 - \frac{14}{n}$ − будет целым числом, если 14 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 7; 14.

3) $\frac{4n + 7}{2n - 3} = \frac{4n - 6 + 6 + 7}{2n - 3} = \frac{(4n - 6) + (6 + 7)}{2n - 3} = \frac{(4n - 6) + 13}{2n - 3} = \frac{2(2n - 3) + 13}{2n - 3} = \frac{2(2n - 3)}{2n - 3} + \frac{13}{2n - 3} = 2 + \frac{13}{2n - 3}$ − будет целым числом, если 13 делится нацело на 2n − 3, то есть 2n − 3 равно либо ±1, либо ±13.
Тогда:
2n − 3 = −13
2n = −13 + 3
2n = −10
n = −5 − не подходит, так как −5 не является натуральным числом −5 ∉ N.

2n − 3 = −1
2n = −1 + 3
2n = 2
n = 1

2n − 3 = 1
2n = 1 + 3
2n = 4
n = 2

2n − 3 = 13
2n = 13 + 3
2n = 16
n = 8
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 8.

90. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) $\frac{8n - 9}{n}$;
2) $\frac{n^2 + 2n - 8}{n}$;
3) $\frac{9n - 4}{3n - 5}$.

Решение:

1) $\frac{8n - 9}{n} = \frac{8n}{n} - \frac{9}{n} = 8 - \frac{9}{n}$ − будет целым числом, если 9 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 3; 9.

2) $\frac{n^2 + 2n - 8}{n} = \frac{n^2 + 2n - 8}{n} = \frac{(n^2 + 2n) - 8}{n} = \frac{n(n + 2) - 8}{n} = \frac{n(n + 2)}{n} - \frac{8}{n} = n + 2 - \frac{8}{n}$ − будет целым числом, если 8 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 4; 8.

3) $\frac{9n - 4}{3n - 5} = \frac{9n - 15 + 15 + 4}{3n - 5} = \frac{(9n - 15) + (15 - 4)}{3n - 5} = \frac{3(3n - 5) + 11}{3n - 5} = \frac{3(3n - 5)}{3n - 5} + \frac{11}{3n - 5} = 3 + \frac{11}{3n - 5}$ − будет целым числом, если 11 делится нацело на 3n − 5, то есть 3n − 5 равно либо ±1, либо ±11.
Тогда:
3n − 5 = −11
3n = −11 + 5
3n = −6
n = −2 − не подходит, так как −2 не является натуральным числом −2 ∉ N.

3n − 5 = −1
3n − 5 = −1 + 5
3n = 4
$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $1\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $1\frac{1}{3}$ ∉ N.

3n − 5 = 1
3n = 1 + 5
3n = 6
n = 2

3n − 5 = 11
3n = 11 + 5
3n = 16
$n = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $5\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $5\frac{1}{3}$ ∉ N.
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 2.

91. Из двух сел, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу дргу другу выехали два велосипедиста и встретились через 20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение:

Пусть:
x (км/ч) − скорость первого велосипедиста;
y (км/ч) − скорость второго велосипедиста.
Тогда:
$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ (ч) − ехали велосипедисты при встречном движении.

При встречном движении:

                                    V          t             S
Велосипедист №1 x км/ч $\frac{1}{3}$ ч $\frac{1}{3}x$ км
Велосипедист №2 y км/ч $\frac{1}{3}$ ч $\frac{1}{3}y$ км

При движении в одном направлении:

                                  V        t       S
Велосипедист №1 x км/ч  3 ч  3x км
Велосипедист №2 y км/ч  3 ч  3y км

Так как, и в первом и во втором случае велосипедисты до встречи сократили между собой расстояние в 9 км, составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y = 9 |* 3 &\\ 3x - 3y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 27 &\\ 3x - 3y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 27 - y &\\ 3x - 3y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
3(27 − y) − 3y = 9
81 − 3y − 3y = 9
−6y = 9 − 81
−6y = −72
y = 12 (км/ч) − скорость второго велосипедиста.
x = 27 − y = 27 − 12 = 15 − (км/ч) − скорость первого велосипедиста.
Ответ: 15 км/ч и 12 км/ч.

92. Решите уравнение:
1) 1 − 4(x + 1) = 1,8 − 1,6x;
2) 3(0,5x − 4) + 8,5x = 10x − 11.

Решение:

1) 1 − 4(x + 1) = 1,8 − 1,6x
1 − 4x − 4 = 1,8 − 1,6x
−4x + 1,6x = 1,8 − 1 + 4
−2,4x = 4,8
x = −2

2) 3(0,5x − 4) + 8,5x = 10x − 11
1,5x − 12 + 8,5x = 10x − 11
10x − 10x = −11 + 12
0 = 1
Уравнение не имеет решений.

93. Докажите, что выражение (a + 4)(a − 8) + 4(2a + 9) при всех значениях a принимает неотрицательные значения.

Решение:

$(a + 4)(a - 8) + 4(2a + 9) = a^2 + 4a - 8a - 32 + 8a + 36 = a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 ≥ 0$, следовательно при всех значениях a выражение принимает неотрицательные значения.

24

Ответы к странице 24

94. Вместо звездочки запишите такой одночлен, чтобы выполнялось равенство:
1) $a^2b ⋅ * = a^2b^2$;
2) $5xy^3 ⋅ * = 10x^4y^6$;
3) $6x^5 ⋅ * = 12x^{10}$.

Решение:

1) $a^2b ⋅ * = a^2b^2$
$* = \frac{a^2b^2}{a^2b} = b$
Ответ: $a^2b ⋅ b = a^2b^2$

2) $5xy^3 ⋅ * = 10x^4y^6$
$* = \frac{10x^4y^6}{5xy^3} = 2x^3y^3$
Ответ: $5xy^3 ⋅ 2x^3y^3 = 10x^4y^6$

3) $6x^5 ⋅ * = 12x^{10}$
$* = \frac{12x^{10}}{6x^5} = 2x^5$
Ответ: $6x^5 ⋅ 2x^5 = 12x^{10}$

95. Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:
1) $* ⋅ (a - b) = (a + b)(a - b)^2$;
2) $(a + 10b) ⋅ * = a^3 - 100ab^2$.

Решение:

1) $* ⋅ (a - b) = (a + b)(a - b)^2$
$* = \frac{(a + b)(a - b)^2}{a - b} = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Ответ: $(a^2 - b^2) ⋅ (a - b) = (a + b)(a - b)^2$

2) $(a + 10b) ⋅ * = a^3 - 100ab^2$
$* = \frac{a^3 - 100ab^2}{a + 10b} = \frac{a(a^2 - 100b^2)}{a + 10b} = \frac{a(a - 10b)(a + 10b)}{a + 10b} = a(a - 10b)$
Ответ: $(a + 10b) ⋅ a(a - 10b) = a^3 - 100ab^2$

96. Приведите к общему знаменателю дроби:
1) $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{3b}$;
2) $\frac{4m}{p^3q^2}$ и $\frac{3n}{p^2q^3}$;
3) $\frac{5}{m - n}$ и $\frac{6}{m + n}$;
4) $\frac{6x}{x - 2y}$ и $\frac{y}{x + y}$;
5) $\frac{y}{6y - 36}$ и $\frac{1}{y^2 - 6y}$;
6) $\frac{1}{a^2 - 1}$ и $\frac{1}{a^2 + a}$.

Решение:

1) $\frac{1}{3a} = \frac{1 * b}{3a * b} = \frac{b}{3ab}$
$\frac{2}{3b} = \frac{2 * a}{3b * a} = \frac{2a}{3ab}$

2) $\frac{4m}{p^3q^2} = \frac{4m * q}{p^3q^2 * q} = \frac{4mq}{p^3q^3}$
$\frac{3n}{p^2q^3} = \frac{3n * p}{p^2q^3 * p} = \frac{3np}{p^3q^3}$

3) $\frac{5}{m - n} = \frac{5(m + n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{5(m + n)}{m^2 - n^2}$
$\frac{6}{m + n} = \frac{6(m - n)}{(m + n)(m - n)} = \frac{6(m - n)}{m^2 - n^2}$

4) $\frac{6x}{x - 2y} = \frac{6x(x + y)}{(x - 2y)(x + y)}$
$\frac{y}{x + y} = \frac{y(x - 2y)}{(x - 2y)(x + y)}$

5) $\frac{y}{6y - 36} = \frac{y}{6(y - 6)} = \frac{y * y}{6(y - 6) * y} = \frac{y^2}{6y(y - 6)}$
$\frac{1}{y^2 - 6y} = \frac{1}{y(y - 6)} = \frac{1 * 6}{y(y - 6) * 6} = \frac{6}{6y(y - 6)}$

6) $\frac{1}{a^2 - 1} = \frac{1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{a(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{a(a^2 - 1)}$
$\frac{1}{a^2 + a} = \frac{1}{a(a + 1)} = \frac{a - 1}{a(a + 1)(a - 1)} = \frac{a - 1}{a(a^2 - 1)}$

97. Может ли четное число иметь нечетных делителей больше, чем четных?

Решение:

Пусть n − четное число; k − нечетное число.
Тогда возможны варианты: nk − четное число; nn − четное число; kk − нечетное число.
Произведение четного и нечетного чисел − четное число;
произведение четного и четного чисел − четное число;
произведение нечетного и нечетного чисел − нечетное число.
Получается, чтобы получить четное произведение каждому нечетному делителю обязательно должен соответствовать четный делитель. Следовательно нечетных делителей не может быть больше, чем четных.
Ответ: нет, не может.

26

Ответы к странице 26

§4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Вопросы

1. Как выполнить сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?

Ответ:

Чтоб сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно привести данные дроби к общему знаменателю и выполнить сложение и вычитание дробей с общими знаменателями.

2. Что является суммой и разностью двух рациональных дробей?

Ответ:

Суммой и разностью рациональных дробей является рациональная дробь.

Упражнения

98. Выполните действия:
1) $\frac{x}{4} + \frac{2x}{3}$;
2) $\frac{5b}{14} - \frac{b}{7}$;
3) $\frac{m}{8} - \frac{n}{6}$;
4) $\frac{4}{x} - \frac{3}{y}$;
5) $\frac{m}{4n} + \frac{m}{6n}$;
6) $\frac{c}{b} - \frac{d}{3b}$;
7) $\frac{a}{b^2} + \frac{1}{ab^4}$;
8) $\frac{11}{5a} - \frac{2c}{15ab}$;
9) $\frac{m}{abc} + \frac{c}{abm}$.

Решение:

1) $\frac{x}{4} + \frac{2x}{3} = \frac{x * 3 + 2x * 4}{12} = \frac{3x + 8x}{12} = \frac{11x}{12}$

2) $\frac{5b}{14} - \frac{b}{7} = \frac{5b - b * 2}{14} = \frac{5b - 2b}{14} = \frac{3b}{14}$

3) $\frac{m}{8} - \frac{n}{6} = \frac{m * 3 - n * 4}{24} = \frac{3m - 4n}{24}$

4) $\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = \frac{4y - 3x}{xy}$

5) $\frac{m}{4n} + \frac{m}{6n} = \frac{3m + 2m}{12n} = \frac{5m}{12n}$

6) $\frac{c}{b} - \frac{d}{3b} = \frac{3c - d}{3b}$

7) $\frac{a}{b^2} + \frac{1}{ab^4} = \frac{a * ab^2 + 1}{ab^4} = \frac{a^2b^2 + 1}{ab^4}$

8) $\frac{11}{5a} - \frac{2c}{15ab} = \frac{11 * 3b - 2c}{15ab} = \frac{33b - 2c}{15ab}$

9) $\frac{m}{abc} + \frac{c}{abm} = \frac{m * m + c * c}{abcm} = \frac{m^2 + c^2}{abcm}$

99. Представьте в виде дроби выражение:
1) $\frac{x}{8} - \frac{y}{12}$;
2) $\frac{4a}{7} + \frac{a}{4}$;
3) $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$;
4) $\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x}$;
5) $\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp}$;
6) $\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2}$.

Решение:

1) $\frac{x}{8} - \frac{y}{12} = \frac{3x - 2y}{24}$

2) $\frac{4a}{7} + \frac{a}{4} = \frac{4a * 4 + a * 7}{28} = \frac{16a + 7a}{28} = \frac{23a}{28}$

3) $\frac{m}{n} - \frac{n}{m} = \frac{m * m - n * n}{mn} = \frac{m^2 - n^2}{mn}$

4) $\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x} = \frac{x^2 * 4x + y * y}{8xy} = \frac{4x^3 + y^2}{8xy}$

5) $\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp} = \frac{7p + dk}{cdp}$

6) $\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2} = \frac{6a * 2 - 9b * 5c^3}{70c^5} = \frac{12a - 45bc^3}{70c^5}$

100. Упростите выражение:
1) $\frac{a + 7}{12} + \frac{a - 4}{9}$;
2) $\frac{2b - 7c}{6} - \frac{3b + 2c}{15}$;
3) $\frac{3x - 2}{x} - \frac{3y - 1}{y}$;
4) $\frac{6p + 1}{p} - \frac{2p + 8}{3p}$;
5) $\frac{5m - n}{14m} - \frac{m - 6n}{7m}$;
6) $\frac{x + 4}{11x} - \frac{y - 3}{11y}$;
7) $\frac{a + b}{ab} + \frac{a - c}{ac}$;
8) $\frac{2}{p^2} + \frac{p - 1}{p}$;
9) $\frac{k + 4}{k} - \frac{3k - 4}{k^2}$;
10) $\frac{x - y}{x^3} - \frac{y - x^2}{x^2y}$;
11) $\frac{2m - 3n}{m^2n} + \frac{7m - 2n}{mn^2}$;
12) $\frac{c + d}{cd^4} - \frac{c^2 - 8d}{c^3d^3}$.

Решение:

1) $\frac{a + 7}{12} + \frac{a - 4}{9} = \frac{3(a + 7) + 4(a - 4)}{36} = \frac{3a + 21 + 4a - 16}{36} = \frac{7a + 5}{36}$

2) $\frac{2b - 7c}{6} - \frac{3b + 2c}{15} = \frac{5(2b - 7c) - 2(3b + 2c)}{30} = \frac{10b - 35c - 6b - 4c}{30} = \frac{4b - 39c}{30}$

3) $\frac{3x - 2}{x} - \frac{3y - 1}{y} = \frac{y(3x - 2) - x(3y - 1)}{xy} = \frac{3xy - 2y - 3xy + x}{xy} = \frac{x - 2y}{xy}$

4) $\frac{6p + 1}{p} - \frac{2p + 8}{3p} = \frac{3(6p + 1) - (2p + 8)}{3p} = \frac{18p + 3 - 2p - 8}{3p} = \frac{16p - 5}{3p}$

5) $\frac{5m - n}{14m} - \frac{m - 6n}{7m} = \frac{5m - n - 2(m - 6n)}{14m} = \frac{5m - n - 2m + 12n}{14m} = \frac{3m + 11n}{14m}$

6) $\frac{x + 4}{11x} - \frac{y - 3}{11y} = \frac{y(x + 4) - x(y - 3)}{11xy} = \frac{xy + 4y - xy + 3x}{11xy} = \frac{4y + 3x}{11xy}$

7) $\frac{a + b}{ab} + \frac{a - c}{ac} = \frac{c(a + b) + b(a - c)}{abc} = \frac{ac + bc + ab - bc}{abc} = \frac{ac + ab}{abc} = \frac{a(b + c)}{abc} = \frac{b + c}{bc}$

8) $\frac{2}{p^2} + \frac{p - 1}{p} = \frac{2 + p(p - 1)}{p^2} = \frac{p^2 - p + 2}{p^2}$

9) $\frac{k + 4}{k} - \frac{3k - 4}{k^2} = \frac{k(k + 4) - (3k - 4)}{k^2} = \frac{k^2 + 4k - 3k + 4}{k^2} = \frac{k^2 + k + 4}{k^2}$

10) $\frac{x - y}{x^3} - \frac{y - x^2}{x^2y} = \frac{y(x - y) - x(y - x^2)}{x^3y} = \frac{xy - y^2 - xy + x^3}{x^3y} = \frac{x^3 - y^2}{x^3y}$

11) $\frac{2m - 3n}{m^2n} + \frac{7m - 2n}{mn^2} = \frac{n(2m - 3n) + m(7m - 2n)}{m^2n^2} = \frac{2mn - 3n^2 + 7m^2 - 2mn}{m^2n^2} = \frac{7m^2 - 3n^2}{m^2n^2}$

12) $\frac{c + d}{cd^4} - \frac{c^2 - 8d}{c^3d^3} = \frac{c^2(c + d) - d(c^2 - 8d)}{c^3d^4} = \frac{c^3 + c^2d - c^2d + 8d^2}{c^3d^4} = \frac{c^3 + 8d^2}{c^3d^4}$

101. Выполните сложение или вычитание дробей:
1) $\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c}$;
2) $\frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d}$;
3) $\frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k}$;
4) $\frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np}$;
5) $\frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b}$;
6) $\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5}$;
7) $\frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5}$;
8) $\frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd}$.

Решение:

1) $\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c} = \frac{c(9 - 5b) - b(7 - 5c)}{bc} = \frac{9c - 5bc - 7b + 5bc}{bc} = \frac{9c - 7b}{bc}$

2) $\frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d} = \frac{6(4d + 7) - 7(d - 6)}{42d} = \frac{24d + 42 - 7d + 42}{42d} = \frac{17d + 84}{42d}$

3) $\frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k} = \frac{k(5 - k) - p(p + 10)}{5kp} = \frac{5k - k^2 - p^2 - 10p}{5kp}$

4) $\frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np} = \frac{p(m - n) - m(p - n)}{mnp} = \frac{mp - np - mp + mn}{mnp} = \frac{mn - np}{mnp} = \frac{n(m - p)}{mnp} = \frac{m - p}{mp}$

5) $\frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b} = \frac{a(6a + 2) - (2a + 4)}{a^2b} = \frac{6a^2 + 2a - 2a - 4}{a^2b} = \frac{6a^2 - 4}{a^2b}$

6) $\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5} = \frac{c^2 - 16 - c(c - 9)}{c^6} = \frac{c^2 - 16 - c^2 + 9c}{c^6} = \frac{9c - 16}{c^6}$

7) $\frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5} = \frac{x^2 - (1 + x^2)}{x^5} = \frac{x^2 - 1 - x^2}{x^5} = \frac{-1}{x^5} = -\frac{1}{x^5}$

8) $\frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd} = \frac{d(1 - ab) - b(1 - ad)}{abcd} = \frac{d - abd - b + abd}{abcd} = \frac{d - b}{abcd}$

27

Ответы к странице 27

102. Выполните действия:
1) $\frac{2}{x} + \frac{3x - 2}{x + 1}$;
2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m + n}$;
3) $\frac{a}{a - 3} - \frac{3}{a + 3}$;
4) $\frac{c}{3c - 1} - \frac{c}{3c + 1}$;
5) $\frac{x}{2y + 1} - \frac{x}{3y - 2}$;
6) $\frac{a - b}{b} - \frac{a - b}{a + b}$.

Решение:

1) $\frac{2}{x} + \frac{3x - 2}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + x(3x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{2x + 2 + 3x^2 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x^2 + 2}{x(x + 1)}$

2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m + n} = \frac{m(m + n) - mn}{n(m + n)} = \frac{m^2 + mn - mn}{n(m + n)} = \frac{m^2}{n(m + n)}$

3) $\frac{a}{a - 3} - \frac{3}{a + 3} = \frac{a(a + 3) - 3(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^2 + 3a - 3a + 9}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^2 + 9}{a^2 - 9}$

4) $\frac{c}{3c - 1} - \frac{c}{3c + 1} = \frac{c(3c + 1) - c(3c - 1)}{(3c - 1)(3c + 1)} = \frac{3c^2 + c - 3c^2 + c}{(3c - 1)(3c + 1)} = \frac{2c}{9c^2 - 1}$

5) $\frac{x}{2y + 1} - \frac{x}{3y - 2} = \frac{x(3y - 2) - x(2y + 1)}{(2y + 1)(3y - 2)} = \frac{3xy - 2x - 2xy - x}{(2y + 1)(3y - 2)} = \frac{xy - 3x}{(2y + 1)(3y - 2)}$

6) $\frac{a - b}{b} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b) - b(a - b)}{b(a + b)} = \frac{a^2 - b^2 - ab + b^2}{b(a + b)} = \frac{a^2 - ab}{b(a + b)}$

103. Представьте в виде дроби выражение:
1) $\frac{a}{a - b} + \frac{a}{b}$;
2) $\frac{4}{x} - \frac{5x + 4}{x + 2}$;
3) $\frac{b}{b - 2} - \frac{2}{b + 2}$.

Решение:

1) $\frac{a}{a - b} + \frac{a}{b} = \frac{ab + a(a - b)}{b(a - b)} = \frac{ab + a^2 - ab}{b(a - b)} = \frac{a^2}{b(a - b)}$

2) $\frac{4}{x} - \frac{5x + 4}{x + 2} = \frac{4(x + 2) - x(5x + 4)}{x(x + 2)} = \frac{4x + 8 - 5x^2 - 4x}{x(x + 2)} = \frac{8 - 5x^2}{x(x + 2)}$

3) $\frac{b}{b - 2} - \frac{2}{b + 2} = \frac{b(b + 2) - 2(b - 2)}{(b - 2)(b + 2)} = \frac{b^2 + 2b - 2b + 4}{(b - 2)(b + 2)} = \frac{b^2 + 4}{b^2 - 4}$

104. Упростите выражение:
1) $\frac{1}{b(a - b)} - \frac{1}{a(a - b)}$;
2) $\frac{5}{a} + \frac{30}{a(a - 6)}$;
3) $\frac{3}{x - 2} - \frac{2x + 2}{x(x - 2)}$;
4) $\frac{y}{2(y + 3)} - \frac{y}{5(y + 3)}$;
5) $\frac{5m + 3}{2(m + 1)} - \frac{7m + 4}{3(m + 1)}$;
6) $\frac{c - a}{a(a + b)} + \frac{c + b}{b(a + b)}$.

Решение:

1) $\frac{1}{b(a - b)} - \frac{1}{a(a - b)} = \frac{a - b}{ab(a - b)} = \frac{1}{ab}$

2) $\frac{5}{a} + \frac{30}{a(a - 6)} = \frac{5(a - 6) + 30}{a(a - 6)} = \frac{5a - 30 + 30}{a(a - 6)} = \frac{5a}{a(a - 6)} = \frac{5}{a - 6}$

3) $\frac{3}{x - 2} - \frac{2x + 2}{x(x - 2)} = \frac{3x - (2x + 2)}{x(x - 2)} = \frac{3x - 2x - 2}{x(x - 2)} = \frac{x - 2}{x(x - 2)} = \frac{1}{x}$

4) $\frac{y}{2(y + 3)} - \frac{y}{5(y + 3)} = \frac{5y - 2y}{10(y + 3)} = \frac{3y}{10(y + 3)}$

5) $\frac{5m + 3}{2(m + 1)} - \frac{7m + 4}{3(m + 1)} = \frac{3(5m + 3) - 2(7m + 4)}{6(m + 1)} = \frac{15m + 9 - 14m - 8}{6(m + 1)} = \frac{m + 1}{6(m + 1)} = \frac{1}{6}$

6) $\frac{c - a}{a(a + b)} + \frac{c + b}{b(a + b)} = \frac{b(c - a) + a(c + b)}{ab(a + b)} = \frac{bc - ab + ac + ab}{ab(a + b)} = \frac{bc + ac}{ab(a + b)} = \frac{c(a + b)}{ab(a + b)} = \frac{c}{ab}$

105. Выполните действия:
1) $\frac{1}{a(a + b)} + \frac{1}{b(a + b)}$;
2) $\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b + 2)}$;
3) $\frac{x}{5(x + 7)} - \frac{x}{6(x + 7)}$;
4) $\frac{4n + 2}{3(n - 1)} - \frac{5n + 3}{4(n - 1)}$.

Решение:

1) $\frac{1}{a(a + b)} + \frac{1}{b(a + b)} = \frac{b + a}{ab(a + b)} = \frac{1}{ab}$

2) $\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b + 2)} = \frac{4(b + 2) - 8}{b(b + 2)} = \frac{4b + 8 - 8}{b(b + 2)} = \frac{4b}{b(b + 2)} = \frac{4}{b + 2}$

3) $\frac{x}{5(x + 7)} - \frac{x}{6(x + 7)} = \frac{6x - 5x}{30(x + 7)} = \frac{x}{30(x + 7)}$

4) $\frac{4n + 2}{3(n - 1)} - \frac{5n + 3}{4(n - 1)} = \frac{4(4n + 2) - 3(5n + 3)}{12(n - 1)} = \frac{16n + 8 - 15n - 9}{12(n - 1)} = \frac{n - 1}{12(n - 1)} = \frac{1}{12}$

106. Выполните сложение или вычитание дробей:
1) $\frac{a}{a - 2} - \frac{3a + 1}{3a - 6}$;
2) $\frac{18}{b^2 + 3b} - \frac{6}{b}$;
3) $\frac{2}{c + 1} - \frac{c - 1}{c^2 + c}$;
4) $\frac{d - 1}{2d - 8} + \frac{d}{d - 4}$;
5) $\frac{m + 1}{3m - 15} - \frac{m - 1}{2m - 10}$;
6) $\frac{m - 2n}{6m + 6n} - \frac{m - 3n}{4m + 4n}$;
7) $\frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} - \frac{a + 4}{2a + 4}$;
8) $\frac{3x - 4y}{x^2 - 2xy} - \frac{3y - x}{xy - 2y^2}$.

Решение:

1) $\frac{a}{a - 2} - \frac{3a + 1}{3a - 6} = \frac{a}{a - 2} - \frac{3a + 1}{3(a - 2)} = \frac{3a - (3a + 1)}{3(a - 2)} = \frac{3a - 3a - 1}{3(a - 2)} = \frac{-1}{3(a - 2)} = -\frac{1}{3(a - 2)}$

2) $\frac{18}{b^2 + 3b} - \frac{6}{b} = \frac{18}{b(b + 3)} - \frac{6}{b} = \frac{18 - 6(b + 3)}{b(b + 3)} = \frac{18 - 6b - 18}{b(b + 3)} = \frac{-6b}{b(b + 3)} = -\frac{6}{b + 3}$

3) $\frac{2}{c + 1} - \frac{c - 1}{c^2 + c} = \frac{2}{c + 1} - \frac{c - 1}{c(c + 1)} = \frac{2c - (c - 1)}{c(c + 1)} = \frac{2c - (c - 1)}{c(c + 1)} = \frac{2c - c + 1}{c(c + 1)} = \frac{c + 1}{c(c + 1)} = \frac{1}{c}$

4) $\frac{d - 1}{2d - 8} + \frac{d}{d - 4} = \frac{d - 1}{2(d - 4)} + \frac{d}{d - 4} = \frac{d - 1 + 2d}{2(d - 4)} = \frac{3d - 1}{2(d - 4)}$

5) $\frac{m + 1}{3m - 15} - \frac{m - 1}{2m - 10} = \frac{m + 1}{3(m - 5)} - \frac{m - 1}{2(m - 5)} = \frac{2(m + 1) - 3(m - 1)}{6(m - 5)} = \frac{2m + 2 - 3m + 3}{6(m - 5)} = \frac{5 - m}{6(m - 5)} = -\frac{m - 5}{6(m - 5)} = -\frac{1}{6}$

6) $\frac{m - 2n}{6m + 6n} - \frac{m - 3n}{4m + 4n} = \frac{m - 2n}{6(m + n)} - \frac{m - 3n}{4(m + n)} = \frac{2(m - 2n) - 3(m - 3n)}{12(m + n)} = \frac{2m - 4n - 3m + 9n}{12(m + n)} = \frac{5n - m}{12(m + n)}$

7) $\frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} - \frac{a + 4}{2a + 4} = \frac{a^2 + 2}{a(a + 2)} - \frac{a + 4}{2(a + 2)} = \frac{2(a^2 + 2) - a(a + 4)}{2a(a + 2)} = \frac{2a^2 + 4 - a^2 - 4a}{2a(a + 2)} = \frac{a^2 - 4a + 4}{2a(a + 2)} = \frac{(a - 2)^2}{2(a + 2)}$

8) $\frac{3x - 4y}{x^2 - 2xy} - \frac{3y - x}{xy - 2y^2} = \frac{3x - 4y}{x(x - 2y)} - \frac{3y - x}{y(x - 2y)} = \frac{y(3x - 4y) - x(3y - x)}{xy(x - 2y)} = \frac{3xy - 4y^2 - 3xy + x^2}{xy(x - 2y)} = \frac{x^2 - 4y^2}{xy(x - 2y)} = \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{xy(x - 2y)} = \frac{x + 2y}{xy}$

107. Упростите выражение:
1) $\frac{b}{b - 5} - \frac{4b - 1}{4b - 20}$;
2) $\frac{2}{m} - \frac{16}{m^2 + 8m}$;
3) $\frac{a - 2}{2a - 6} - \frac{a - 1}{3a - 9}$;
4) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b}$;
5) $\frac{b + 4}{ab - b^2} - \frac{a + 4}{a^2 - ab}$;
6) $\frac{c - 4}{4c + 24} + \frac{4c + 9}{c^2 + 6c}$.

Решение:

1) $\frac{b}{b - 5} - \frac{4b - 1}{4b - 20} = \frac{b}{b - 5} - \frac{4b - 1}{4(b - 5)} = \frac{4b - (4b - 1)}{4(b - 5)} = \frac{4b - 4b + 1}{4(b - 5)} = \frac{1}{4(b - 5)}$

2) $\frac{2}{m} - \frac{16}{m^2 + 8m} = \frac{2}{m} - \frac{16}{m(m + 8)} = \frac{2(m + 8) - 16}{m(m + 8)} = \frac{2m + 16 - 16}{m(m + 8)} = \frac{2m}{m(m + 8)} = \frac{2}{m + 8}$

3) $\frac{a - 2}{2a - 6} - \frac{a - 1}{3a - 9} = \frac{a - 2}{2(a - 3)} - \frac{a - 1}{3(a - 3)} = \frac{3(a - 2) - 2(a - 1)}{6(a - 3)} = \frac{3a - 6 - 2a + 2}{6(a - 3)} = \frac{a - 4}{6(a - 3)}$

4) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{2a(a + b)} = \frac{a + b}{2a}$

5) $\frac{b + 4}{ab - b^2} - \frac{a + 4}{a^2 - ab} = \frac{b + 4}{b(a - b)} - \frac{a + 4}{a(a - b)} = \frac{a(b + 4) - b(a + 4)}{ab(a - b)} = \frac{ab + 4a - ab - 4b)}{ab(a - b)} = \frac{4a - 4b}{ab(a - b)} = \frac{4(a - b)}{ab(a - b)} = \frac{4}{ab}$

6) $\frac{c - 4}{4c + 24} + \frac{4c + 9}{c^2 + 6c} = \frac{c - 4}{4(c + 6)} + \frac{4c + 9}{c(c + 6)} = \frac{c(c - 4) + 4(4c + 9)}{4c(c + 6)} = \frac{c^2 - 4c + 16c + 36}{4c(c + 6)} = \frac{c^2 + 12c + 36}{4c(c + 6)} = \frac{(c + 6)^2}{4c(c + 6)} = \frac{c + 6}{4c}$

28

Ответы к странице 28

108. Выполните действия:
1) $\frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{x^2 - 9}$;
2) $\frac{a^2}{a^2 - 64} - \frac{a}{a - 8}$;
3) $\frac{6b}{9b^2 - 4} - \frac{1}{3b - 2}$;
4) $\frac{3a + b}{a^2 - b^2} + \frac{1}{a + b}$;
5) $\frac{m}{m + 5} - \frac{m^2}{m^2 + 10m + 25}$;
6) $\frac{b}{a + b} - \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab}$.

Решение:

1) $\frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{x^2 - 9} = \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3(x - 3) + x + 4}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x - 9 + x + 4}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{4x - 5}{x^2 - 9}$

2) $\frac{a^2}{a^2 - 64} - \frac{a}{a - 8} = \frac{a^2}{(a - 8)(a + 8)} - \frac{a}{a - 8} = \frac{a^2 - a(a + 8)}{(a - 8)(a + 8)} = \frac{a^2 - a^2 - 8a}{a^2 - 64} = -\frac{8a}{a^2 - 64} = \frac{8a}{64 - a^2}$

3) $\frac{6b}{9b^2 - 4} - \frac{1}{3b - 2} = \frac{6b}{(3b - 2)(3b + 2)} - \frac{1}{3b - 2} = \frac{6b - (3b + 2)}{(3b - 2)(3b + 2)} = \frac{6b - 3b - 2}{(3b - 2)(3b + 2)} = \frac{3b - 2}{(3b - 2)(3b + 2)} = \frac{1}{3b + 2}$

4) $\frac{3a + b}{a^2 - b^2} + \frac{1}{a + b} = \frac{3a + b}{(a - b)(a + b)} + \frac{1}{a + b} = \frac{3a + b + a - b}{(a - b)(a + b)} = \frac{4a}{a^2 - b^2}$

5) $\frac{m}{m + 5} - \frac{m^2}{m^2 + 10m + 25} = \frac{m}{m + 5} - \frac{m^2}{(m + 5)^2} = \frac{m(m + 5) - m^2}{(m + 5)^2} = \frac{m^2 + 5m - m^2}{(m + 5)^2} = \frac{5m}{(m + 5)^2}$

6) $\frac{b}{a + b} - \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab} = \frac{b}{a + b} - \frac{b^2}{(a + b)^2} = \frac{b(a + b) - b^2}{(a + b)^2} = \frac{ab + b^2 - b^2}{(a + b)^2} = \frac{ab}{(a + b)^2}$

109. Упростите выражение:
1) $\frac{4x - y}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x - y}$;
2) $\frac{y^2}{y^2 - 81} - \frac{y}{y + 9}$;
3) $\frac{10a}{25a^2 - 9} - \frac{1}{5a + 3}$;
4) $\frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{n^2 - 14n + 49}$.

Решение:

1) $\frac{4x - y}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x - y} = \frac{4x - y}{(x - y)(x + y)} + \frac{1}{x - y} = \frac{4x - y + x + y}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{x^2 - y^2}$

2) $\frac{y^2}{y^2 - 81} - \frac{y}{y + 9} = \frac{y^2}{(y - 9)(y + 9)} - \frac{y}{y + 9} = \frac{y^2 - y(y - 9)}{(y - 9)(y + 9)} = \frac{y^2 - y^2 + 9y}{y^2 - 81} = \frac{9y}{y^2 - 81}$

3) $\frac{10a}{25a^2 - 9} - \frac{1}{5a + 3} = \frac{10a}{(5a - 3)(5a + 3)} - \frac{1}{5a + 3} = \frac{10a - (5a - 3)}{(5a - 3)(5a + 3)} = \frac{10a - 5a + 3}{(5a - 3)(5a + 3)} = \frac{5a + 3}{(5a - 3)(5a + 3)} = \frac{1}{5a - 3}$

4) $\frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{n^2 - 14n + 49} = \frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{(n - 7)^2} = \frac{n(n - 7) - n^2}{(n - 7)^2} = \frac{n^2 - 7n - n^2}{(n - 7)^2} = \frac{-7n}{(n - 7)^2} = -\frac{7n}{(n - 7)^2}$

110. Представьте в виде дроби выражение:
1) $\frac{a}{b} + 1$;
2) $\frac{x}{y} - x$;
3) $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2$;
4) $\frac{9}{p^2} - \frac{4}{p} + 3$;
5) $2 - \frac{3b + 2a}{a}$;
6) $\frac{3b + 4}{b - 2} - 3$;
7) $6m - \frac{12m^2 + 1}{2m}$;
8) $\frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - 10b$.

Решение:

1) $\frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a + b}{b}$

2) $\frac{x}{y} - x = \frac{x}{y} - \frac{xy}{y} = \frac{x - xy}{y}$

3) $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 = \frac{m * m + n * n + 2mn}{mn} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2}{mn}$

4) $\frac{9}{p^2} - \frac{4}{p} + 3 = \frac{9 - 4p + 3p^2}{p^2}$

5) $2 - \frac{3b + 2a}{a} = \frac{2a - (3b + 2a)}{a} = \frac{2a - 3b - 2a}{a} = -\frac{3b}{a}$

6) $\frac{3b + 4}{b - 2} - 3 = \frac{3b + 4 - 3(b - 2)}{b - 2} = \frac{3b + 4 - 3b + 6}{b - 2} = \frac{10}{b - 2}$

7) $6m - \frac{12m^2 + 1}{2m} = \frac{6m * 2m - (12m^2 + 1)}{2m} = \frac{12m^2 - 12m^2 - 1}{2m} = \frac{-1}{2m} = -\frac{1}{2m}$

8) $\frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - 10b = \frac{20b^2 + 5 - 10b(2b - 1)}{2b - 1} = \frac{20b^2 + 5 - 20b^2 + 10b}{2b - 1} = \frac{10b + 5}{2b - 1}$

111. Выполните действия:
1) $a - \frac{4}{a}$;
2) $\frac{1}{x} + x - 2$;
3) $\frac{m}{n^3} - \frac{1}{n} + m$;
4) $\frac{2k^2}{k - 5} - k$;
5) $3n - \frac{9n^2 - 2}{3n}$;
6) $5 - \frac{4y - 12}{y - 2}$.

Решение:

1) $a - \frac{4}{a} = \frac{a^2 - 4}{a}$

2) $\frac{1}{x} + x - 2 = \frac{1 + x^2 - 2x}{x} = \frac{(x - 1)^2}{x}$

3) $\frac{m}{n^3} - \frac{1}{n} + m = \frac{m - n^2 + mn^3}{n^3}$

4) $\frac{2k^2}{k - 5} - k = \frac{2k^2 - k(k - 5)}{k - 5} = \frac{2k^2 - k^2 + 5k}{k - 5} = \frac{k^2 + 5k}{k - 5}$

5) $3n - \frac{9n^2 - 2}{3n} = \frac{3n * 3n - (9n^2 - 2)}{3n} = \frac{9n^2 - 9n^2 + 2}{3n} = \frac{2}{3n}$

6) $5 - \frac{4y - 12}{y - 2} = \frac{5(y - 2) - (4y - 12)}{y - 2} = \frac{5y - 10 - 4y + 12}{y - 2} = \frac{y + 2}{y - 2}$

112. Упростите выражение:
1) $\frac{a^2 + 1}{a^2 - 2a + 1} + \frac{a + 1}{a - 1}$;
2) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a - b}{a + b}$;
3) $\frac{c + 7}{c - 7} + \frac{28c}{49 - c^2}$;
4) $\frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 - 3a}{a^2 - 9}$;
5) $\frac{a}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a + 4}{a^2 - 4}$;
6) $\frac{2p}{p - 5} - \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 - p^2}$;
7) $\frac{1}{y} - \frac{y + 8}{16 - y^2} - \frac{2}{y - 4}$;
8) $\frac{2b - 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 - 1} + \frac{2b + 1}{3 - 6b}$.

Решение:

1) $\frac{a^2 + 1}{a^2 - 2a + 1} + \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{a^2 + 1}{(a - 1)^2} + \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{a^2 + 1 + (a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^2} = \frac{a^2 + 1 + a^2 - 1}{(a - 1)^2} = \frac{2a^2}{(a - 1)^2}$

2) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2 - (a - b)(a + b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + b^2 - (a^2 - b^2)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + b^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2b^2}{a^2 - b^2}$

3) $\frac{c + 7}{c - 7} + \frac{28c}{49 - c^2} = \frac{c + 7}{c - 7} - \frac{28c}{c^2 - 49} = \frac{c + 7}{c - 7} - \frac{28c}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{(c + 7)(c + 7) - 28c}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{(c + 7)^2 - 28c}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c^2 + 14c + 49 - 28c}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c^2 - 14c + 49}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{(c - 7)^2}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c - 7}{c + 7}$

4) $\frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 - 3a}{a^2 - 9} = \frac{5a + 3}{2a(a + 3)} + \frac{6 - 3a}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{(5a + 3)(a - 3) + 2a(6 - 3a)}{2a(a - 3)(a + 3)} = \frac{5a^2 + 3a - 15a - 9 + 12a - 6a^2}{2a(a - 3)(a + 3)} = \frac{-a^2 - 9}{2a(a^2 - 9)}$

5) $\frac{a}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a + 4}{a^2 - 4} = \frac{a}{(a - 2)^2} - \frac{a + 4}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a(a + 2) - (a + 4)(a - 2)}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{a^2 + 2a - (a^2 + 4a - 2a - 8)}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{a^2 + 2a - a^2 - 4a + 2a + 8}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{8}{(a - 2)^2(a + 2)}$

6) $\frac{2p}{p - 5} - \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 - p^2} = \frac{2p}{p - 5} - \frac{5}{p + 5} - \frac{2p^2}{p^2 - 25} = \frac{2p}{p - 5} - \frac{5}{p + 5} - \frac{2p^2}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{2p(p + 5) - 5(p - 5) - 2p^2}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{2p^2 + 10p - 5p + 25 - 2p^2}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{5p + 25}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{5(p + 5)}{(p - 5)(p + 5)} = \frac{5}{p - 5}$

7) $\frac{1}{y} - \frac{y + 8}{16 - y^2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{1}{y} + \frac{y + 8}{y^2 - 16} - \frac{2}{y - 4} = \frac{1}{y} + \frac{y + 8}{(y - 4)(y + 4)} - \frac{2}{y - 4} = \frac{y^2 - 16 + y(y + 8) - 2y(y + 4)}{y(y - 4)(y + 4)} = \frac{y^2 - 16 + y^2 + 8y - 2y^2 - 8y}{y(y - 4)(y + 4)} = \frac{-16}{y(y^2 - 16)} = \frac{16}{y(16 - y^2)}$

8) $\frac{2b - 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 - 1} + \frac{2b + 1}{3 - 6b} = \frac{2b - 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 - 1} - \frac{2b + 1}{6b - 3} = \frac{2b - 1}{2(2b + 1)} + \frac{4b}{(2b - 1)(2b + 1)} - \frac{2b + 1}{3(2b - 1)} = \frac{3(2b - 1)(2b - 1) + 6 * 4b - 2(2b + 1)(2b + 1)}{6(2b - 1)(2b + 1)} = \frac{3(2b - 1)^2 + 24b - 2(2b + 1)^2}{6(2b - 1)(2b + 1)} = \frac{3(4b^2 - 4b + 1) + 24b - 2(4b^2 + 4b + 1)}{6(2b - 1)(2b + 1)} = \frac{12b^2 - 12b + 3 + 24b - 8b^2 - 8b - 2}{6(2b - 1)(2b + 1)} = \frac{4b^2 + 4b + 1}{6(2b - 1)(2b + 1)} = \frac{(2b + 1)^2}{6(2b - 1)(2b + 1)} = \frac{2b + 1}{6(2b - 1)}$

29

Ответы к странице 29

113. Упростите выражение:
1) $\frac{m + n}{m - n} - \frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$;
2) $\frac{x - y}{x + y} + \frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2}$;
3) $\frac{2a}{4a^2 - 1} - \frac{a + 4}{2a^2 + a}$;
4) $\frac{b - 2}{b^2 + 6b + 9} - \frac{b}{b^2 - 9}$;
5) $\frac{x - 6}{x^2 + 3x} + \frac{x}{x + 3} - \frac{x - 3}{x}$;
6) $\frac{y + 2}{y - 2} - \frac{y - 2}{y + 2} - \frac{16}{y^2 - 4}$.

Решение:

1) $\frac{m + n}{m - n} - \frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} = \frac{m + n}{m - n} - \frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} = \frac{(m + n)(m + n) - (m^2 + n^2)}{(m - n)(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - (m^2 + n^2)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - m^2 - n^2}{(m - n)(m + n)} = \frac{2mn}{m^2 - n^2}$

2) $\frac{x - y}{x + y} + \frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2} = \frac{x - y}{x + y} + \frac{y^2}{(x + y)^2} = \frac{(x - y)(x + y) + y^2}{(x + y)^2} = \frac{x^2 - y^2 + y^2}{(x + y)^2} = \frac{x^2}{(x + y)^2}$

3) $\frac{2a}{4a^2 - 1} - \frac{a + 4}{2a^2 + a} = \frac{2a}{(2a - 1)(2a + 1)} - \frac{a + 4}{a(2a + 1)} = \frac{2a * a - (2a - 1)(a + 4)}{a(2a - 1)(2a + 1)} = \frac{2a^2 - (2a^2 - a + 8a - 4)}{a(2a - 1)(2a + 1)} = \frac{2a^2 - 2a^2 + a - 8a + 4}{a(2a - 1)(2a + 1)} = \frac{4 - 7a}{a(4a^2 - 1)}$

4) $\frac{b - 2}{b^2 + 6b + 9} - \frac{b}{b^2 - 9} = \frac{b - 2}{(b + 3)^2} - \frac{b}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{(b - 2)(b - 3) - b(b + 3)}{(b + 3)^2(b - 3)} = \frac{b^2 - 2b - 3b + 6 - b^2 - 3b}{(b + 3)^2(b - 3)} = \frac{6 - 8b}{(b + 3)^2(b - 3)}$

5) $\frac{x - 6}{x^2 + 3x} + \frac{x}{x + 3} - \frac{x - 3}{x} = \frac{x - 6}{x(x + 3)} + \frac{x}{x + 3} - \frac{x - 3}{x} = \frac{x - 6 + x * x - (x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x - 6 + x^2 - (x^2 - 9)}{x(x + 3)} = \frac{x - 6 + x^2 - x^2 + 9}{x(x + 3)} = \frac{x + 3}{x(x + 3)} = \frac{1}{x}$

6) $\frac{y + 2}{y - 2} - \frac{y - 2}{y + 2} - \frac{16}{y^2 - 4} = \frac{y + 2}{y - 2} - \frac{y - 2}{y + 2} - \frac{16}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{(y + 2)(y + 2) - (y - 2)(y - 2) - 16}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{(y + 2)^2 - (y - 2)^2 - 16}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{y^2 + 4y + 4 - (y^2 - 4y + 4) - 16}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{y^2 + 4y + 4 - y^2 + 4y - 4 - 16}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{8y - 16}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{8(y - 2)}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{8}{y + 2}$

114. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:
1) $\frac{2x + 1}{2x - 4} + \frac{2x - 1}{6 - 3x} - \frac{x + 7}{6x - 12}$;
2) $\frac{24 - 2a}{a^2 - 16} - \frac{a}{2a - 8} + \frac{4}{a + 4}$.

Решение:

1) $\frac{2x + 1}{2x - 4} + \frac{2x - 1}{6 - 3x} - \frac{x + 7}{6x - 12} = \frac{2x + 1}{2x - 4} - \frac{2x - 1}{3x - 6} - \frac{x + 7}{6x - 12} = \frac{2x + 1}{2(x - 2)} - \frac{2x - 1}{3(x - 2)} - \frac{x + 7}{6(x - 2)} = \frac{3(2x + 1) - 2(2x - 1) - (x + 7)}{6(x - 2)} = \frac{6x + 3 - 4x + 2 - x - 7}{6(x - 2)} = \frac{x - 2}{6(x - 2)} = \frac{1}{6}$

2) $\frac{24 - 2a}{a^2 - 16} - \frac{a}{2a - 8} + \frac{4}{a + 4} = \frac{24 - 2a}{(a - 4)(a + 4)} - \frac{a}{2(a - 4)} + \frac{4}{a + 4} = \frac{2(24 - 2a) - a(a + 4) + 4 * 2(a - 4)}{2(a - 4)(a + 4)} = \frac{48 - 4a - a^2 - 4a + 8a - 32}{2(a - 4)(a + 4)} = \frac{16 - a^2}{2(a - 4)(a + 4)} = -\frac{a^2 - 16}{2(a - 4)(a + 4)} = -\frac{(a^2 - 16)}{2(a^2 - 16)} = -\frac{1}{2}$

115. Представьте в виде дроби выражение:
1) $1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2}$;
2) $\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + 3a - b$;
3) $\frac{c^2 + 9}{c - 3} - c - 3$;
4) $\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1$.

Решение:

1) $1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2} = \frac{a + 2 - a(a + 2) + a^2 - 2}{a + 2} = \frac{a + 2 - a^2 - 2a + a^2 - 2}{a + 2} = \frac{-a}{a + 2} = -\frac{a}{a + 2}$

2) $\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + 3a - b = \frac{a^2 - b^2 + 3a(3a + b) - b(3a + b)}{3a + b} = \frac{a^2 - b^2 + 9a^2 + 3ab - 3ab - b^2}{3a + b} = \frac{10a^2 - 2b^2}{3a + b}$

3) $\frac{c^2 + 9}{c - 3} - c - 3 = \frac{c^2 + 9 - c(c - 3) - 3(c - 3)}{c - 3} = \frac{c^2 + 9 - c^2 + 3c - 3c + 9}{c - 3} = \frac{18}{c - 3}$

4) $\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1 = \frac{8m^2 - 2m(4m - 3) - (4m - 3)}{4m - 3} = \frac{8m^2 - 8m^2 + 6m - 4m + 3}{4m - 3} = \frac{2m + 3}{4m - 3}$

116. Упростите выражение:
1) $b + 7 - \frac{14b}{b + 7}$;
2) $5c - \frac{10 - 29c + 10c^2}{2c - 5} + 2$.

Решение:

1) $b + 7 - \frac{14b}{b + 7} = \frac{b(b + 7) + 7(b + 7) - 14b}{b + 7} = \frac{b^2 + 7b + 7b + 49 - 14b}{b + 7} = \frac{b^2 + 49}{b + 7}$

2) $5c - \frac{10 - 29c + 10c^2}{2c - 5} + 2 = \frac{5c(2c - 5) - (10 - 29c + 10c^2) + 2(2c - 5)}{2c - 5} = \frac{10c^2 - 25c - 10 + 29c - 10c^2 + 4c - 10}{2c - 5} = \frac{8c - 20}{2c - 5} = \frac{4(2c - 5)}{2c - 5} = 4$

117. Упростите выражение и найдите его значение:
1) $\frac{7}{2a - 4} - \frac{12}{a^2 - 4} - \frac{3}{a + 2}$, если a = 5;
2) $\frac{2c + 3}{2c^2 - 3c} + \frac{2c - 3}{2c^2 + 3c} - \frac{16c}{4c^2 - 9}$, если c = −0,8;
3) $\frac{m^2 + 16n^2}{m^2 - 16n^2} - \frac{m + 4n}{2m - 8n}$, если m = 3, n = 0,5.

Решение:

1) $\frac{7}{2a - 4} - \frac{12}{a^2 - 4} - \frac{3}{a + 2} = \frac{7}{2(a - 2)} - \frac{12}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{3}{a + 2} = \frac{7(a + 2) - 2 * 12 - 2 * 3(a - 2)}{2(a - 2)(a + 2)} = \frac{7a + 14 - 24 - 6a + 12}{2(a - 2)(a + 2)} = \frac{a + 2}{2(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{2(a - 2)}$
при a = 5:
$\frac{1}{2(a - 2)} = \frac{1}{2(5 - 2)} = \frac{1}{2 * 3} = \frac{1}{6}$

2) $\frac{2c + 3}{2c^2 - 3c} + \frac{2c - 3}{2c^2 + 3c} - \frac{16c}{4c^2 - 9} = \frac{2c + 3}{с(2с - 3)} + \frac{2c - 3}{с(2с + 3)} - \frac{16c}{(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{(2c + 3)(2c + 3) + (2c - 3)(2c - 3) - 16c * c}{c(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{(2c + 3)^2 + (2c - 3)^2 - 16c^2}{c(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{4c^2 + 12c + 9 + 4c^2 - 12c + 9 - 16c^2}{c(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{-8c^2 + 18}{c(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{-(8c^2 - 18)}{c(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{-(8c^2 - 18)}{c(2с - 3)(2с + 3)} = \frac{-2(4c^2 - 9)}{c(4c^2 - 9)} = \frac{-2}{c}$
при c = −0,8:
$\frac{-2}{c} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{2}{\frac{8}{10}} = 2 * \frac{5}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

3) $\frac{m^2 + 16n^2}{m^2 - 16n^2} - \frac{m + 4n}{2m - 8n} = \frac{m^2 + 16n^2}{(m - 4n)(m + 4n)} - \frac{m + 4n}{2(m - 4n)} = \frac{2(m^2 + 16n^2) - (m + 4n)(m + 4n)}{2(m - 4n)(m + 4n)} = \frac{2m^2 + 32n^2 - (m + 4n)^2}{2(m - 4n)(m + 4n)} = \frac{2m^2 + 32n^2 - (m^2 + 8n + 16n^2)}{2(m - 4n)(m + 4n)} = \frac{2m^2 + 32n^2 - m^2 - 8n - 16n^2}{2(m - 4n)(m + 4n)} = \frac{m^2 - 8n + 16n^2}{2(m - 4n)(m + 4n)} = \frac{(m - 4n)^2}{2(m - 4n)(m + 4n)} = \frac{m - 4n}{2(m + 4n)}$
при m = 3, n = 0,5:
$\frac{m - 4n}{2(m + 4n)} = \frac{3 - 4 * 0,5}{2(3 + 4 * 0,5)} = \frac{3 - 2}{2(3 + 2)} = \frac{1}{2 * 5} = \frac{1}{10} = 0,1$

118. Найдите значение выражения:
1) $\frac{6}{5x - 20} - \frac{x - 5}{x^2 - 8x + 16}$, если x = 5;
2) $\frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{2y - 4y^2}$, если $y = -2\frac{3}{7}$.

Решение:

1) $\frac{6}{5x - 20} - \frac{x - 5}{x^2 - 8x + 16} = \frac{6}{5(x - 4)} - \frac{x - 5}{(x - 4)^2} = \frac{6(x - 4) - 5(x - 5)}{5(x - 4)^2} = \frac{6x - 24 - 5x + 25}{5(x - 4)^2} = \frac{x + 1}{5(x - 4)^2}$
при x = 5:
$\frac{x + 1}{5(x - 4)^2} = \frac{5 + 1}{5(5 - 4)^2} = \frac{6}{5 * 1^2} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

2) $\frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{2y - 4y^2} = \frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} + \frac{1}{4y^2 - 2y} = \frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} + \frac{1}{2y(2y - 1)} = \frac{(2y - 1)^2 - 2y * 2y + 1}{2y(2y - 1)} = \frac{4y^2 - 4y + 1 - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)} = \frac{-4y + 2}{2y(2y - 1)} = \frac{-2(2y - 1)}{2y(2y - 1)} = -\frac{1}{y}$
при $y = -2\frac{3}{7}$:
$\frac{1}{y} = -\frac{1}{-2\frac{3}{7}} = -\frac{1}{-\frac{17}{7}} = \frac{7}{17}$

119. Докажите тождество:
1) $\frac{a + b}{a} - \frac{a}{a - b} + \frac{b^2}{a^2 - ab} = 0$;
2) $\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{6}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$;
3) $\frac{2a^2 + 4}{a^2 - 1} - \frac{a - 2}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{1}{a - 1}$.

Решение:

1) $\frac{a + b}{a} - \frac{a}{a - b} + \frac{b^2}{a^2 - ab} = 0$
$\frac{a + b}{a} - \frac{a}{a - b} + \frac{b^2}{a(a - b)} = 0$
$\frac{(a + b)(a - b) - a * a + b^2}{a(a - b)} = 0$
$\frac{a^2 - b^2 - a^2 + b^2}{a(a - b)} = 0$
$\frac{0}{a(a - b)} = 0$
0 = 0

2) $\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{6}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$
$\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{6}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{2}{a^2 - 1}$
$\frac{(a + 3)(a - 1) - (a + 1)(a + 1) + 6}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{2}{a^2 - 1}$
$\frac{a^2 + 3a - a - 3 - (a^2 + 2a + 1) + 6}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{2}{a^2 - 1}$
$\frac{a^2 + 2a - 3 - a^2 - 2a - 1 + 6}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{2}{a^2 - 1}$
$\frac{2}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$

3) $\frac{2a^2 + 4}{a^2 - 1} - \frac{a - 2}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{1}{a - 1}$
$\frac{2a^2 + 4}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{a - 2}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{1}{a - 1}$
$\frac{2a^2 + 4 - (a - 2)(a - 1) - (a + 1)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a - 1}$
$\frac{2a^2 + 4 - (a^2 - 2a - a + 2) - (a^2 + a + a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a - 1}$
$\frac{2a^2 + 4 - a^2 + 2a + a - 2 - a^2 - a - a - 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a - 1}$
$\frac{a + 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a - 1}$
$\frac{1}{a - 1} = \frac{1}{a - 1}$

30

Ответы к странице 30

120. Докажите тождество:
1) $\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} - \frac{3a}{4b^2 - 9a^2} = \frac{1}{3a - 2b}$;
2) $\frac{c + 2}{c^2 + 3c} - \frac{1}{3c + 9} - \frac{2}{3c} = 0$.

Решение:

1) $\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} - \frac{3a}{4b^2 - 9a^2} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} + \frac{3a}{9a^2 - 4b^2} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{1}{2(3a - 2b)} - \frac{1}{2(3a + 2b)} + \frac{3a}{(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{3a + 2b - (3a - 2b) + 2 * 3a}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{3a + 2b - 3a + 2b + 6a}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{6a + 4b}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{2(3a + 2b)}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a - 2b}$
$\frac{1}{3a - 2b} = \frac{1}{3a - 2b}$

2) $\frac{c + 2}{c^2 + 3c} - \frac{1}{3c + 9} - \frac{2}{3c} = 0$
$\frac{c + 2}{c(c + 3)} - \frac{1}{3(c + 3)} - \frac{2}{3c} = 0$
$\frac{3(c + 2) - c - 2(c + 3)}{3c(c + 3)} = 0$
$\frac{3c + 6 - c - 2c - 6}{3c(c + 3)} = 0$
$\frac{0}{3c(c + 3)} = 0$
0 = 0

121. Найдите разность дробей:
1) $\frac{a + 1}{a^3 - 1} - \frac{1}{a^2 + a + 1}$;
2) $\frac{1}{b + 3} - \frac{b^2 - 6b}{b^3 + 27}$.

Решение:

1) $\frac{a + 1}{a^3 - 1} - \frac{1}{a^2 + a + 1} = \frac{a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1}{a^2 + a + 1} = \frac{a + 1 - (a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a + 1 - a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{2}{a^3 - 1}$

2) $\frac{1}{b + 3} - \frac{b^2 - 6b}{b^3 + 27} = \frac{1}{b + 3} - \frac{b^2 - 6b}{(b + 3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{b^2 - 3b + 9 - (b^2 - 6b)}{(b + 3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{b^2 - 3b + 9 - b^2 + 6b}{(b + 3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{3b + 9}{(b + 3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{3(b + 3)}{(b + 3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{3}{b^2 - 3b + 9}$

122. Упростите выражение:
1) $\frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n}$;
2) $1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1}$.

Решение:

1) $\frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n} = \frac{(3m + n)(9m^2 - 3mn + n^2) - (3m - n)(9m^2 + 3mn + n^2)}{(3m - n)(3m + n)} = \frac{81m^3 + n^3 - (81m^3 - n^3)}{(3m - n)(3m + n)} = \frac{81m^3 + n^3 - 81m^3 + n^3}{(3m - n)(3m + n)} = \frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$

2) $1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1) - (2b - 1)(2b + 1) - 2b(4b^2 - 2b + 1)}{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)} = \frac{8b^3 + 1 - (4b^2 - 1) - 8b^3 + 4b^2 - 2b}{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)} = \frac{8b^3 + 1 - 4b^2 + 1 - 8b^3 + 4b^2 - 2b}{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)} = \frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$

123. Докажите тождество:
$\frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$.

Решение:

$\frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$
$\frac{3a^2 + 24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$
$\frac{3a^2 + 24 - 6(a + 2) - (a^2 - 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2}$
$\frac{3a^2 + 24 - 6a - 12 - a^2 + 2a - 4}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2}$
$\frac{2a^2 - 4a + 8}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2}$
$\frac{2(a^2 - 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2}$
$\frac{2}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$

124. Упростите выражение:
1) $\frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab}$;
2) $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3}$;
3) $\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$;
4) $\frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2}$.

Решение:

1) $\frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab} = \frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} - \frac{a + b}{ab - b^2} = \frac{4b}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{a(a + b)} - \frac{a + b}{b(a - b)} = \frac{4b * ab + b(a - b)(a - b) - a(a + b)(a + b)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{4ab^2 + b(a - b)^2 - a(a + b)^2}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{4ab^2 + b(a^2 - 2ab + b^2) - a(a^2 + 2ab + b^2)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{4ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 - a^3 - 2a^2b - ab^2}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{ab^2 - a^2b + b^3 - a^3}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{(ab^2 - a^2b) + (b^3 - a^3)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{ab(b - a) + (b - a)(b^2 + ab + a^2)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{(b - a)(ab + b^2 + ab + a^2}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{-(a - b)(a^2 + 2ab + b^2)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{-(a - b)(a + b)^2}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{-(a + b)}{ab} = -\frac{a + b}{ab}$

2) $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{x^2 + 4}{2x^3 - 8x} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x^2 - 4)} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x(x + 2) + 2x(x - 2) - 2x * x - (x^2 + 4)}{2x(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x - 2x^2 - x^2 - 4}{2x(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)} = \frac{1}{2x}$

3) $\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} = \frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{(a - 5b)(a + 5b)} + \frac{1}{(a + 5b)^2} = \frac{(a + 5b)^2 - 2(a^2 - 25b^2) + (a - 5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} = \frac{a^2 + 10ab + 25b^2 - 2a^2 + 50b^2 + a^2 - 10ab + 25b^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} = \frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

4) $\frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2} = \frac{x^2 + 9x + 18}{(xy + 3y) - (2x + 6)} - \frac{x + 5}{y - 2} = \frac{x^2 + 9x + 18}{y(x + 3) - 2(x + 3)} - \frac{x + 5}{y - 2} = \frac{x^2 + 9x + 18}{(x + 3)(y - 2)} - \frac{x + 5}{y - 2} = \frac{x^2 + 9x + 18 - (x + 3)(x + 5)}{(x + 3)(y - 2)} = \frac{x^2 + 9x + 18 - (x^2 + 3x + 5x + 15)}{(x + 3)(y - 2)} = \frac{x^2 + 9x + 18 - x^2 - 3x - 5x - 15}{(x + 3)(y - 2)} = \frac{x + 3}{(x + 3)(y - 2)} = \frac{1}{y - 2}$

125. Докажите тождество:
1) $\frac{a + 3}{a^2 - 3a} + \frac{a - 3}{3a + 9} + \frac{12}{9 - a^2} = \frac{a - 3}{3a}$;
2) $\frac{b - 4}{2a - 1} - \frac{b^2 - 2b - 24}{2ab - 4 - b + 8a} = \frac{2}{2a - 1}$.

Решение:

1) $\frac{a + 3}{a^2 - 3a} + \frac{a - 3}{3a + 9} + \frac{12}{9 - a^2} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{a + 3}{a^2 - 3a} + \frac{a - 3}{3a + 9} - \frac{12}{a^2 - 9} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{a + 3}{a(a - 3)} + \frac{a - 3}{3(a + 3)} - \frac{12}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{3(a + 3)^2 + a(a - 3)^2 - 3a * 12}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{3(a^2 + 6a + 9) + a(a^2 - 6a + 9) - 36a}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{3a^2 + 18a + 27 + a^3 - 6a^2 + 9a - 36a}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{a^3 - 3a^2 - 9a + 27}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{(a^3 - 3a^2) - (9a - 27)}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{a^2(a - 3) - 9(a - 3)}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{(a - 3)(a^2 - 9)}{3a(a^2 - 9)} = \frac{a - 3}{3a}$
$\frac{a - 3}{3a} = \frac{a - 3}{3a}$

2) $\frac{b - 4}{2a - 1} - \frac{b^2 - 2b - 24}{2ab - 4 - b + 8a} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{b - 4}{2a - 1} - \frac{b^2 - 2b - 24}{(2ab - b) + (8a - 4)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{b - 4}{2a - 1} - \frac{b^2 - 2b - 24}{b(2a - 1) + 4(2a - 1)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{b - 4}{2a - 1} - \frac{b^2 - 2b - 24}{(2a - 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{(b - 4)(b + 4) - (b^2 - 2b - 24)}{(2a - 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{b^2 - 4b + 4b - 16 - b^2 + 2b + 24}{(2a - 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{2b + 8}{(2a - 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{2(b + 4)}{(2a - 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a - 1}$
$\frac{2}{2a - 1} = \frac{2}{2a - 1}$

126. Докажите тождество:
$\frac{1}{(a - b)(a - c)} - \frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0$

Решение:

$\frac{1}{(a - b)(a - c)} - \frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0$
$\frac{1}{(a - b)(a - c)} - \frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(a - c)(b - c)} = 0$
$\frac{b - c - (a - c) + a - b}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 0$
$\frac{b - c - a + c + a - b}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 0$
$\frac{0}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 0$
0 = 0

127. Докажите тождество:
$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{ac}{(b - a)(b - c)} + \frac{ab}{(c - a)(c - b)} = 1$

Решение:

$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{ac}{(b - a)(b - c)} + \frac{ab}{(c - a)(c - b)} = 1$
$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{ac}{(a - b)(b - c)} + \frac{ab}{(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{bc(b - c) - ac(a - c) + ab(a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(b^2c - ab^2) - (bc^2 - a^2b) - (a^2c - ac^2)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{b^2(c - a) - b(c^2 - a^2) - ac(a - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{b^2(c - a) - b(c - a)(c + a) + ac(c - a)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(c - a)(b^2 - b(c + a) + ac)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(c - a)(b^2 - bc - ab + ac)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(c - a)((b^2 - bc) - (ab - ac))}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(c - a)(b(b - c) - a(b - c))}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(c - a)(b - c)(b - a)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
$\frac{(a - c)(b - c)(a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 1$
1 = 1

128. Упростите выражение:
$\frac{1}{(a - 1)(a - 2)} + \frac{1}{(a - 2)(a - 3)} + \frac{1}{(a - 3)(a - 4)}$.

Решение:

$\frac{1}{(a - 1)(a - 2)} + \frac{1}{(a - 2)(a - 3)} + \frac{1}{(a - 3)(a - 4)} = \frac{(a - 3)(a - 4) + (a - 1)(a - 4) + (a - 1)(a - 2)}{(a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4)} = \frac{a^2 - 3a - 4a + 12 + a^2 - a - 4a + 4 + a^2 - a - 2a + 2}{(a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4)} = \frac{3a^2 - 15a + 18}{(a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4)} = \frac{3(a^2 - 5a + 6)}{(a - 1)(a^2 - 2a - 3a + 6)(a - 4)} = \frac{3(a^2 - 5a + 6)}{(a - 1)(a^2 - 5a + 6)(a - 4)} = \frac{3}{(a - 1)(a - 4)}$

31

Ответы к странице 31

129. Упростите выражение:
$\frac{1}{(a - 1)(a - 3)} + \frac{1}{(a - 3)(a - 5)} + \frac{1}{(a - 5)(a - 7)}$.

Решение:

$\frac{1}{(a - 1)(a - 3)} + \frac{1}{(a - 3)(a - 5)} + \frac{1}{(a - 5)(a - 7)} = \frac{(a - 5)(a - 7) + (a - 1)(a - 7) + (a - 1)(a - 3)}{(a - 1)(a - 3)(a - 5)(a - 7)} = \frac{a^2 - 5a - 7a + 35 + a^2 - a - 7a + 7 + a^2 - a - 3a + 3}{(a - 1)(a - 3)(a - 5)(a - 7)} = \frac{3a^2 - 24a + 45}{(a - 1)(a - 3)(a - 5)(a - 7)} = \frac{3(a^2 - 8a + 15)}{(a - 1)(a^2 - 3a - 5a + 15)(a - 7)} = \frac{3(a^2 - 8a + 15)}{(a - 1)(a^2 - 8a + 15)(a - 7)} = \frac{3}{(a - 1)(a - 7)}$

130. Докажите тождество:
$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 + a} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$.

Решение:

$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 + a} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{1 + a + 1 - a}{(1 - a)(1 + a)} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{2}{1 - a^2} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{2(1 + a^2) + 2(1 - a^2)}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{2 + 2a^2 + 2 - 2a^2}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{4}{1 - a^4} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{4(1 + a^4) + 4(1 - a^4)}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{4 + 4a^4 + 4 - 4a^4}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{8}{1 - a^8} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{8(1 + a^8) + 8(1 - a^8)}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{8 + 8a^8 + 8 - 8a^8}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{16}{1 - a^{16}} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{16(1 + a^{16}) + 16(1 - a^{16})}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{16 + 16a^{16} + 16 - 16a^{16}}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{32}{1 - a^{32}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$

131. Докажите тождество:
$\frac{3}{1 - a^2} + \frac{3}{1 + a^2} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$

Решение:

$\frac{3}{1 - a^2} + \frac{3}{1 + a^2} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{3(1 + a^2) + 3(1 - a^2)}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{3 + 3a^2 + 3 - 3a^2}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{6}{1 - a^4} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{6(1 + a^4) + 6(1 - a^4)}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{6 + 6a^4 + 6 - 6a^4}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{12}{1 - a^8} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{12(1 + a^8) + 12(1 - a^8)}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{12 + 12a^8 + 12 - 12a^8}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{24}{1 - a^{16}} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{24(1 + a^{16}) + 24(1 - a^{16})}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{24 + 24a^{16} + 24 - 24a^{16}}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{48}{1 - a^{32}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$

132. Докажите, что если $\frac{a - c}{b + c} + \frac{b - a}{a + c} + \frac{c - b}{a + b} = 1$, то $\frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + c} + \frac{a + c}{a + b} = 4$.

Решение:

$\frac{a - c}{b + c} + \frac{b - a}{a + c} + \frac{c - b}{a + b} = 1$
$\frac{a - c}{b + c} + 1 + \frac{b - a}{a + c} + 1 + \frac{c - b}{a + b} + 1 = 1 + 3$
$\frac{a - c + b + c}{b + c} + \frac{b - a + a + c}{a + c} + \frac{c - b + a + b}{a + b} = 4$
$\frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + c} + \frac{c + a}{a + b} = 4$

133. Найдите корень уравнения:
1) $\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4$;
2) $\frac{x - 4}{2} - \frac{x - 1}{5} = 3$.

Решение:

1) $\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4$ |* 6
2x + 3(x − 1) = 24
2x + 3x − 3 = 24
5x = 24 + 3
5x = 27
$x = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5}$
Ответ: $x = 5\frac{2}{5}$

2) $\frac{x - 4}{2} - \frac{x - 1}{5} = 3$ |* 30
15(x − 4) − 6(x − 1) = 90
15x − 60 − 6x + 6 = 90
9x = 90 + 60 − 6
9x = 144
x = 16
Ответ: x = 16

134. Решите систему уравнений:
1)
$\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 8 &\\ 3x - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
2)
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x + 5y = 13 &\\ 3x - 5y = -13 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 8 &\\ 3x - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ 3(8 - y) - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ 24 - 3y - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ -5y = 9 - 24 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ -5y = -15 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - 3 &\\ y = 3 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 5 &\\ y = 3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: (5; 3)

2) $\begin{equation*} \begin{cases} 2x + 5y = 13 &\\ 3x - 5y = -13 & \end{cases} \end{equation*}$
2x + 5y + 3x − 5y = 13 − 13
5x = 0
x = 0
2 * 0 + 5y = 13
5y= 13
$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 0 &\\ y = 2\frac{3}{5} = 2,6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: (0; 2,6)

135. За первый день трехдневной гонки велосипедисты проехали $\frac{4}{15}$ всего маршрута, за второй день − $\frac{2}{5}$ всего маршрута, а за третий − оставшиеся 90 км. Какое расстояние проехали велосипедисты за три дня?

Решение:

Пусть x (км) − весь маршрут, тогда:
$\frac{4}{15}x$ (км) − проехали велосипедисты в первый день;
$\frac{2}{5}x$ (км) − проехали велосипедисты во второй день.
Так как, известно, сколько проехали велосипедисты в каждый из трех дней составим уравнение:
$\frac{4}{15}x + \frac{2}{5}x + 90 = x$ |* 15
4x + 6x + 1350 = 15x
10x − 15x = −1350
−5x = −1350
x = 270 (км) − проехали велосипедисты за три дня.
Ответ: 270 км

136. (Из болгарского фольклора) Пятеро братьев хотели разделить 20 овец так, чтобы каждый из них получил нечетное количество овец. Возможно ли это?

Решение:

Пусть 2n + 1 − нечетное число, n ∈ N, тогда по условию:
5 * (2n + 1) = 20
10n + 5 = 20
10n = 20 − 5
10n = 15
n = 1,5 − не подходит, так как 1,5 ∉ N.
Следовательно, пятеро братьев не могут разделить 20 овец так, чтобы каждый из них получил нечетное количество овец.
Ответ: нет, невозможно.

137. Верно ли утверждение, что при любом натуральном n значение выражения $(5n + 7)^2 - (n - 1)^2$ делится нацело на 48?

Решение:

$(5n + 7)^2 - (n - 1)^2 = (5n + 7 - (n - 1))(5n + 7 + n - 1) = (5n + 7 - n + 1)(6n + 6) = (4n + 8)(6n + 6) = 4(n + 2) * 6(n + 1) = 24(n + 2)(n + 1)$ − так как один из множителей n + 2 или n + 1 будет четным, а при умножении четного числа на 24 получится число которое делится на 48.

138. Укажите число, обратное числу:
1) $\frac{5}{8}$;
2) 7;
3) $-3\frac{5}{6}$;
4) $\frac{1}{14}$;
5) 0,12.

Решение:

1) $1 : \frac{5}{8} = 1 * \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$ − число обратное числу $1\frac{3}{5}$

2) $1 : 7 = \frac{1}{7}$ − число обратное числу 7

3) $1 : (-3\frac{5}{6}) = 1 : (-\frac{23}{6}) = 1 * (-\frac{6}{23}) = -\frac{6}{23}$ − число обратное числу $-3\frac{5}{6}$

4) $1 : \frac{1}{14} = 1 * \frac{14}{1} = 14$ − число обратное числу $\frac{1}{14}$

5) $1 : 0,12 = 1 : \frac{12}{100} = 1 : \frac{3}{25} = 1 * \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$ − число обратное числу 0,12.

139. Найдите произведение:
1) $\frac{5}{6} * \frac{3}{20}$;
2) $6 * \frac{7}{18}$;
3) $\frac{3}{8} * (-2\frac{2}{3})$.

Решение:

1) $\frac{5}{6} * \frac{3}{20} = \frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

2) $6 * \frac{7}{18} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

3) $\frac{3}{8} * (-2\frac{2}{3}) = \frac{3}{8} * (-\frac{8}{3}) = \frac{1}{1} * (-\frac{1}{1}) = -1$

32

Ответы к странице 32

140. Выполните деление:
1) $\frac{5}{18} : (-\frac{25}{27})$;
2) $8 : \frac{4}{17}$;
3) $-\frac{8}{15} : (-24)$;
4) $1\frac{3}{5} : 5\frac{1}{3}$.

Решение:

1) $\frac{5}{18} : (-\frac{25}{27}) = \frac{5}{18} * (-\frac{27}{25}) = \frac{1}{2} * (-\frac{3}{5}) = -\frac{3}{10}$

2) $8 : \frac{4}{17} = 8 * \frac{17}{4} = 2 * 17 = 34$

3) $-\frac{8}{15} : (-24) = -\frac{8}{15} * (-\frac{1}{24}) = \frac{1}{15} * \frac{1}{3} = \frac{1}{45}$

4) $1\frac{3}{5} : 5\frac{1}{3} = \frac{8}{5} : \frac{16}{3} = \frac{8}{5} * \frac{3}{16} = \frac{1}{5} * \frac{3}{2} = \frac{3}{10}$

141. Найдите значение степени:
1) $(\frac{1}{3})^5$;
2) $(\frac{2}{5})^3$;
3) $(-2\frac{2}{3})^2$;
4) $(-3\frac{1}{3})^3$.

Решение:

1) $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3 * 3 * 3 * 3 * 3} = \frac{1}{243}$

2) $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2 * 2 * 2}{5 * 5 * 5} = \frac{8}{125}$

3) $(-2\frac{2}{3})^2 = (-\frac{8}{3})^2 = \frac{8 * 8}{3 * 3} = \frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}$

4) $(-3\frac{1}{3})^3 = (-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10 * 10 * 10}{3 * 3 * 3} = -\frac{1000}{27} = -\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27}$

142. Два парома одновременно отплывают от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянные, но разные. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от одного из берегов, после чего продолжают движение. Достигнув берегов, паромы сразу начинают двигаться обратно и через некоторое время встречаются на расстоянии 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение:

Общее расстояние, пройденное паромами до 1-й встречи, равно ширине реки. Расстояние, которое они потом прошли до берегов, так же равно ширине реки. И расстояние от берегов до второй встречи равно ширине реки.
Значит, расстояние, пройденное от начала пути до 2-й встречи, в 3 раза больше ширины реки; а каждый паром прошел в 3 раза больше пути, чем до первой встречи.
3) 720 * 3 = 2160 (м) − прошел один из паромов до второй встречи;
4) 2600 − 400 = 1760 (м) − ширина реки.
Ответ: 1760 метров.

33-34

Ответы к странице 33-34

Задание №1 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Какое из данных выражений является целым?
А) $\frac{m + n}{m}$
Б) $\frac{m + n}{7}$
В) $\frac{m + n}{7m}$
Г) $m + \frac{n}{7m}$

Решение:

Ответ: Б) $\frac{m + n}{7}$ − целое выражение

2. При каком значении переменной не имеет смысла выражение $\frac{3a}{2a - 10}$?
А) 0
Б) 10
В) 5
Г) 0; 5

Решение:

$\frac{3a}{2a - 10}$
2a − 10 ≠ 0
2a ≠ 10
a ≠ 5
Ответ: В) 5

3. При каких значениях аргумента функция $y = \frac{x + 2}{x^2 - 1}$ не определена?
А) −1; 1
Б) 1
В) −2; −1; 1
Г) −2; 1

Решение:

$y = \frac{x + 2}{x^2 - 1}$
$x^2 - 1 ≠ 0$
$x^2 ≠ 1$
x ≠ ±1
Ответ: А) −1; 1.

4. Сократите дробь $\frac{21a^6}{14a^3}$.
А) $\frac{3a^3}{2}$
Б) $\frac{3a^2}{2}$
В) $\frac{3}{2a^3}$
Г) $\frac{3}{2a^2}$

Решение:

$\frac{21a^6}{14a^3} = \frac{7a^3 * 3a^3}{7a^3 * 2} = \frac{3a^3}{2}$
Ответ: А) $\frac{3a^3}{2}$

5. Какой из данных дробей тождественно равна дробь $\frac{5b - 15}{b^2 - 9}$?
А) $\frac{b - 3}{5}$
Б) $\frac{b + 3}{5}$
В) $\frac{5}{b - 3}$
Г) $\frac{5}{b + 3}$

Решение:

$\frac{5b - 15}{b^2 - 9} = \frac{5(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{5}{b + 3}$
Ответ: Г) $\frac{5}{b + 3}$

6. Сократите дробь $\frac{12c^2 - 4c}{3c - 1}$.
А) 4c
Б) −4c
В) $\frac{1}{4c}$
Г) $-\frac{1}{4c}$

Решение:

$\frac{12c^2 - 4c}{3c - 1} = \frac{4c(3c - 1)}{3c - 1} = 4c$
Ответ: А) 4c

7. Выполните вычитание:
$\frac{5x}{x - 2} - \frac{10}{x - 2}$.
А) $\frac{x + 2}{x - 2}$
Б) $\frac{5x + 10}{x - 2}$
В) 5
Г) −5

Решение:

$\frac{5x}{x - 2} - \frac{10}{x - 2} = \frac{5x - 10}{x - 2} = \frac{5(x - 2)}{x - 2} = 5$
Ответ: В) 5

8. Выполните сложение:
$\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m}$.
А) $\frac{m - 1}{m - 3}$
Б) $\frac{1 - 3m}{m - 3}$
В) 3
Г) −3

Решение:

$\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m} = \frac{4 - m}{m - 3} - \frac{2m - 5}{m - 3} = \frac{4 - m - (2m - 5)}{m - 3} = \frac{4 - m - 2m + 5}{m - 3} = \frac{-3m + 9}{m - 3} = \frac{-3(m - 3)}{m - 3} = -3$
Ответ: Г) −3

9. Представьте в виде дроби выражение $\frac{3n^2}{n - 6} - 3n$.
А) $\frac{3n}{n - 4}$
Б) $\frac{3n}{4 - n}$
В) $\frac{18n}{n - 6}$
Г) $\frac{18}{6 - n}$

Решение:

$\frac{3n^2}{n - 6} - 3n = \frac{3n^2 - 3n(n - 6)}{n - 6} = \frac{3n^2 - 3n^2 - 18n}{n - 6} = \frac{-18n}{n - 6} = \frac{18n}{6 - n}$
Ответ: Г) $\frac{18}{6 - n}$

10. Упростите выражение $\frac{2m + 1}{3m - 2} - \frac{3m^2 + m - 2}{9m^2 - 12m + 4}$.
А) $\frac{1}{(3m - 2)^2}$
Б) $\frac{1}{3m - 2}$
В) $\frac{m}{(3m - 2)^2}$
Г) $\frac{m}{3m - 2}$

Решение:

$\frac{2m + 1}{3m - 2} - \frac{3m^2 + m - 2}{9m^2 - 12m + 4} = \frac{2m + 1}{3m - 2} - \frac{3m^2 + m - 2}{(3m - 2)^2} = \frac{(2m + 1)(3m - 2) - (3m^2 + m - 2)}{(3m - 2)^2} = \frac{6m^2 + 3m - 4m - 2 - 3m^2 - m + 2}{(3m - 2)^2} = \frac{3m^2 - 2m}{(3m - 2)^2} = \frac{m(3m - 2)}{(3m - 2)^2} = \frac{m}{3m - 2}$
Ответ: Г) $\frac{m}{3m - 2}$

11. Упростите выражение $\frac{a - 12}{a^2 + 4a} - \frac{a - 4}{a} + \frac{a}{a + 4}$.
А) $\frac{4}{a}$
Б) $\frac{1}{a}$
В) a
Г) a + 4

Решение:

$\frac{a - 12}{a^2 + 4a} - \frac{a - 4}{a} + \frac{a}{a + 4} = \frac{a - 12}{a(a + 4)} - \frac{a - 4}{a} + \frac{a}{a + 4} = \frac{a - 12 - (a - 4)(a + 4) + a * a}{a(a + 4)} = \frac{a - 12 - (a^2 - 16) + a^2}{a(a + 4)} = \frac{a - 12 - a^2 + 16 + a^2}{a(a + 4)} = \frac{a + 4}{a(a + 4)} = \frac{1}{a}$
Ответ: Б) $\frac{1}{a}$

12. На каком рисунке изображен график функции $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$?

Решение:

$y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)^2}{x - 2} = x - 2$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
Ответ: В

36

Ответы к странице 36

§5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень.

Вопросы

1. Что является произведением двух рациональных дробей?

Ответ:

Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель − произведению их знаменателей.

2. Что является частным двух рациональных дробей?

Ответ:

Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель − произведению знаменателя делимого и числителя делителя.

3. Как возвести рациональную дробь в степень?

Ответ:

Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй − как знаменатель дроби.

Упражнения

143. Какому из данных выражений равно произведение $\frac{a^3}{c^8} * \frac{c^4}{a^3}$?
1) $\frac{1}{c^2}$;
2) $\frac{a}{c^2}$;
3) $\frac{1}{c^4}$;
4) $\frac{a}{c^4}$.

Решение:

$\frac{a^3}{c^8} * \frac{c^4}{a^3} = \frac{1}{c^4}$
Ответ: 3) $\frac{1}{c^4}$

37

Ответы к странице 37

144. Выполните умножение:
1) $\frac{3a^2}{c} * \frac{a^2}{c}$;
2) $\frac{2a}{b} * \frac{b}{8a}$;
3) $\frac{x}{yz} * \frac{y^4}{5x}$;
4) $\frac{3m}{16n^2} * 8n^6$;
5) $14m^9 * \frac{n^2}{7m^3}$;
6) $\frac{15a^4}{b^{12}} * \frac{b^6}{10a^2}$;
7) $\frac{48ab}{17c^4} * \frac{51bc^5}{40a^4}$;
8) $\frac{21c^3}{13p^2} * \frac{39p}{28c^2}$.

Решение:

1) $\frac{3a^2}{c} * \frac{a^2}{c} = \frac{3a^2 * a^2}{c * c} = \frac{3a^4}{c^2}$

2) $\frac{2a}{b} * \frac{b}{8a} = \frac{1}{1} * \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

3) $\frac{x}{yz} * \frac{y^4}{5x} = \frac{1}{z} * \frac{y^3}{5} = \frac{y^3}{5z}$

4) $\frac{3m}{16n^2} * 8n^6 = \frac{3m}{2} * n^4 = \frac{3mn^4}{2}$

5) $14m^9 * \frac{n^2}{7m^3} = 2m^6 * \frac{n^2}{1} = 2m^6n^2$

6) $\frac{15a^4}{b^{12}} * \frac{b^6}{10a^2} = \frac{3a^2}{b^{6}} * \frac{1}{2} = \frac{3a^2}{2b^{6}}$

7) $\frac{48ab}{17c^4} * \frac{51bc^5}{40a^4} = \frac{6b}{1} * \frac{3bc}{5a^3} = \frac{18b^2c}{5a^3}$

8) $\frac{21c^3}{13p^2} * \frac{39p}{28c^2} = \frac{3c}{p} * \frac{3}{4} = \frac{9c}{4p}$

145. Упростите выражение:
1) $\frac{a^2}{b^6} * \frac{b^2}{a^2}$;
2) $\frac{4m^2}{k^5} * \frac{mk^5}{12}$;
3) $\frac{a}{2b} * 2a$;
4) $15x^{12} * \frac{y^2}{5x^4}$;
5) $\frac{11x^3}{y^8} * \frac{y^5}{33x^7}$;
6) $\frac{7k^8}{9mp} * \frac{27m^3}{56k^6p^2}$.

Решение:

1) $\frac{a^2}{b^6} * \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{b^4} * \frac{1}{1} = \frac{1}{b^4}$

2) $\frac{4m^2}{k^5} * \frac{mk^5}{12} = \frac{m^2}{1} * \frac{m}{3} = \frac{m^3}{3}$

3) $\frac{a}{2b} * 2a = \frac{a}{b} * a = \frac{a^2}{b}$

4) $15x^{12} * \frac{y^2}{5x^4} = 3x^{8} * \frac{y^2}{1} = 3x^{8}y^2$

5) $\frac{11x^3}{y^8} * \frac{y^5}{33x^7} = \frac{1}{y^3} * \frac{1}{3x^4} = \frac{1}{3x^4y^3}$

6) $\frac{7k^8}{9mp} * \frac{27m^3}{56k^6p^2} = \frac{k^2}{p} * \frac{3m^2}{8p^2} = \frac{3k^2m^2}{8p^3}$

146. Упростите выражение:
1) $\frac{a - b}{3b} * \frac{3}{a - b}$;
2) $\frac{2mn + n^2}{6m} * \frac{2m}{n}$;
3) $\frac{7a + 7b}{b^6} * \frac{b^3}{a + b}$;
4) $\frac{32a}{a^2 - 9} * \frac{a - 3}{8a}$;
5) $\frac{c - 1}{c + 6} * \frac{c + 6}{c^2 - 2c + 1}$;
6) $\frac{m - 2}{m^2 - 49} * \frac{m + 7}{m - 2}$;
7) $(a + 4) * \frac{a}{2a + 8}$;
8) $\frac{x - 9}{4x + 8} * \frac{x^2 + 2x}{x - 9}$;
9) $\frac{4a^2 - 4a + 1}{3a + 3} * \frac{a + 1}{2a - 1}$;
10) $\frac{a^2 - 25}{4a} * \frac{4a^2}{a^2 - 5a}$.

Решение:

1) $\frac{a - b}{3b} * \frac{3}{a - b} = \frac{1}{b} * \frac{1}{1} = \frac{1}{b}$

2) $\frac{2mn + n^2}{6m} * \frac{2m}{n} = \frac{n(2m + n)}{6m} * \frac{2m}{n} = \frac{2m + n}{3} * \frac{1}{1} = \frac{2m + n}{3}$

3) $\frac{7a + 7b}{b^6} * \frac{b^3}{a + b} = \frac{7(a + b)}{b^6} * \frac{b^3}{a + b} = \frac{7}{b^3} * \frac{1}{1} = \frac{7}{b^3}$

4) $\frac{32a}{a^2 - 9} * \frac{a - 3}{8a} = \frac{32a}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a - 3}{8a} = \frac{4}{a + 3} * \frac{1}{1} = \frac{4}{a + 3}$

5) $\frac{c - 1}{c + 6} * \frac{c + 6}{c^2 - 2c + 1} = \frac{c - 1}{c + 6} * \frac{c + 6}{(c - 1)^2} = \frac{1}{1} * \frac{1}{c - 1} = \frac{1}{c - 1}$

6) $\frac{m - 2}{m^2 - 49} * \frac{m + 7}{m - 2} = \frac{m - 2}{(m - 7)(m + 7)} * \frac{m + 7}{m - 2} = \frac{1}{m - 7} * \frac{1}{1} = \frac{1}{m - 7}$

7) $(a + 4) * \frac{a}{2a + 8} = (a + 4) * \frac{a}{2(a + 4)} = 1 * \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$

8) $\frac{x - 9}{4x + 8} * \frac{x^2 + 2x}{x - 9} = \frac{x - 9}{4(x + 2)} * \frac{x(x + 2)}{x - 9} = \frac{1}{4} * \frac{x}{1} = \frac{x}{4}$

9) $\frac{4a^2 - 4a + 1}{3a + 3} * \frac{a + 1}{2a - 1} = \frac{(2a - 1)^2}{3(a + 1)} * \frac{a + 1}{2a - 1} = \frac{2a - 1}{3} * \frac{1}{1} = \frac{2a - 1}{3}$

10) $\frac{a^2 - 25}{4a} * \frac{4a^2}{a^2 - 5a} = \frac{(a - 5)(a + 5)}{4a} * \frac{4a^2}{a(a - 5)} = \frac{(a - 5)(a + 5)}{4a} * \frac{4a}{a - 5} = \frac{a + 5}{1} * \frac{1}{1} = a + 5$

147. Выполните умножение:
1) $\frac{3a + b}{4c} * \frac{c}{3a + b}$;
2) $\frac{ab - b^2}{8} * \frac{4a}{b^4}$;
3) $\frac{5x - 5y}{x^6} * \frac{x^3}{x - y}$;
4) $\frac{18b}{b^2 - 16} * \frac{b + 4}{3b}$;
5) $\frac{6}{m^2 - 9n^2} * (m - 3n)$;
6) $\frac{3c - 9}{9c^2 + 6c + 1} * \frac{3c + 1}{c - 3}$.

Решение:

1) $\frac{3a + b}{4c} * \frac{c}{3a + b} = \frac{1}{4} * \frac{1}{1} = \frac{1}{4}$

2) $\frac{ab - b^2}{8} * \frac{4a}{b^4} = \frac{b(a - b)}{8} * \frac{4a}{b^4} = \frac{a - b}{2} * \frac{a}{b^3} = \frac{a(a - b)}{2b^3}$

3) $\frac{5x - 5y}{x^6} * \frac{x^3}{x - y} = \frac{5(x - y)}{x^6} * \frac{x^3}{x - y} = \frac{5}{x^3} * \frac{1}{1} = \frac{5}{x^3}$

4) $\frac{18b}{b^2 - 16} * \frac{b + 4}{3b} = \frac{18b}{(b - 4)(b + 4)} * \frac{b + 4}{3b} = \frac{6}{b - 4} * \frac{1}{1} = \frac{6}{b - 4}$

5) $\frac{6}{m^2 - 9n^2} * (m - 3n) = \frac{6}{(m - 3n)(m + 3n)} * (m - 3n) = \frac{6}{m + 3n} * 1 = \frac{6}{m + 3n}$

6) $\frac{3c - 9}{9c^2 + 6c + 1} * \frac{3c + 1}{c - 3} = \frac{3(c - 3)}{(3c + 1)^2} * \frac{3c + 1}{c - 3} = \frac{3}{3c + 1} * \frac{1}{1} = \frac{3}{3c + 1}$

148. Какому из данных выражений равно частное $\frac{3}{c^3} : \frac{12}{c^9}$?
1) $\frac{c^3}{4}$;
2) $\frac{c^6}{4}$;
3) $4c^3$;
4) $4c^6$.

Решение:

$\frac{3}{c^3} : \frac{12}{c^9} = \frac{3}{c^3} * \frac{c^9}{12} = \frac{1}{1} * \frac{c^6}{4} = \frac{c^6}{4}$
Ответ: 2) $\frac{c^6}{4}$

149. Выполните деление:
1) $\frac{8m}{n} : \frac{4m}{n}$;
2) $\frac{3b}{8} : b$;
3) $\frac{7c^2}{d} : \frac{c}{d^3}$;
4) $\frac{6a}{5b} : \frac{3a^2}{20b^2}$;
5) $-\frac{9a}{b^5} : \frac{18a^4}{b^3}$;
6) $a^2 : \frac{a}{b^2c}$;
7) $24a^3 : \frac{12a^2}{b}$;
8) $\frac{36a}{c^3} : (4a^2c)$.

Решение:

1) $\frac{8m}{n} : \frac{4m}{n} = \frac{8m}{n} * \frac{n}{4m} = \frac{2}{1} * \frac{1}{1} = 2$

2) $\frac{3b}{8} : b = \frac{3b}{8} * \frac{1}{b} = \frac{3}{8} * \frac{1}{1} = \frac{3}{8}$

3) $\frac{7c^2}{d} : \frac{c}{d^3} = \frac{7c^2}{d} * \frac{d^3}{c} = \frac{7c}{1} * \frac{d^2}{1} = 7cd^2$

4) $\frac{6a}{5b} : \frac{3a^2}{20b^2} = \frac{6a}{5b} * \frac{20b^2}{3a^2} = \frac{2}{1} * \frac{4b}{a} = \frac{8b}{a}$

5) $-\frac{9a}{b^5} : \frac{18a^4}{b^3} = -\frac{9a}{b^5} * \frac{b^3}{18a^4} = -\frac{1}{b^2} * \frac{1}{2a^3} = -\frac{1}{2a^3b^2}$

6) $a^2 : \frac{a}{b^2c} = a^2 * \frac{b^2c}{a} = a * \frac{b^2c}{1} = ab^2c$

7) $24a^3 : \frac{12a^2}{b} = 24a^3 * \frac{b}{12a^2} = 2a * \frac{b}{1} = 2ab$

8) $\frac{36a}{c^3} : (4a^2c) = \frac{36a}{c^3} * \frac{1}{4a^2c} = \frac{9}{c^3} * \frac{1}{ac} = \frac{9}{ac^4}$

38

Ответы к странице 38

150. Найдите частное:
1) $\frac{7}{a^2} : \frac{28}{a^8}$;
2) $\frac{b^9}{8} : \frac{b^3}{48}$;
3) $\frac{27}{m^6} : \frac{36}{m^7n^2}$;
4) $\frac{6x^{10}}{y^8} : (30x^5y^2)$;
5) $49m^4 : \frac{21m}{n^2}$;
6) $\frac{16x^3y^8}{33z^5} : (-\frac{10x^2}{55z^6})$.

Решение:

1) $\frac{7}{a^2} : \frac{28}{a^8} = \frac{7}{a^2} * \frac{a^8}{28} = \frac{1}{1} * \frac{a^6}{4} = \frac{a^6}{4}$

2) $\frac{b^9}{8} : \frac{b^3}{48} = \frac{b^9}{8} * \frac{48}{b^3} = \frac{b^6}{1} * \frac{6}{1} = 6b^6$

3) $\frac{27}{m^6} : \frac{36}{m^7n^2} = \frac{27}{m^6} * \frac{m^7n^2}{36} = \frac{3}{1} * \frac{mn^2}{4} = \frac{3mn^2}{4}$

4) $\frac{6x^{10}}{y^8} : (30x^5y^2) = \frac{6x^{10}}{y^8} * \frac{1}{30x^5y^2} = \frac{x^{5}}{y^8} * \frac{1}{5y^2} = \frac{x^{5}}{5y^{10}}$

5) $49m^4 : \frac{21m}{n^2} = 49m^4 * \frac{n^2}{21m} = 7m^3 * \frac{n^2}{3} = \frac{7m^3n^2}{3}$

6) $\frac{16x^3y^8}{33z^5} : (-\frac{10x^2}{55z^6}) = \frac{16x^3y^8}{33z^5} * (-\frac{55z^6}{10x^2}) = \frac{8xy^8}{3} * (-\frac{5z}{5}) = \frac{8xy^8}{3} * (-\frac{z}{1}) = -\frac{8xy^8z}{3}$

151. Упростите выражение:
1) $\frac{a - b}{7a} : \frac{a - b}{7b}$;
2) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5}$;
3) $\frac{c - 5}{c^2 - 4c} : \frac{c - 5}{5c - 20}$;
4) $\frac{x - y}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{3xy}$;
5) $\frac{a^2 - 25}{a + 7} : \frac{a - 5}{a + 7}$;
6) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$;
7) $(p^2 - 16k^2) : \frac{p + 4k}{p}$;
8) $\frac{a^2 - ab}{a^2} : \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$.

Решение:

1) $\frac{a - b}{7a} : \frac{a - b}{7b} = \frac{a - b}{7a} * \frac{7b}{a - b} = \frac{1}{a} * \frac{b}{1} = \frac{b}{a}$

2) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5} = \frac{(x - y)(x + y)}{x^2} : \frac{6(x + y)}{x^5} = \frac{(x - y)(x + y)}{x^2} * \frac{x^5}{6(x + y)} = \frac{x - y}{1} * \frac{x^3}{6} = \frac{x^3(x - y)}{6}$

3) $\frac{c - 5}{c^2 - 4c} : \frac{c - 5}{5c - 20} = \frac{c - 5}{c(c - 4)} : \frac{c - 5}{5(c - 4)} = \frac{c - 5}{c(c - 4)} * \frac{5(c - 4)}{c - 5} = \frac{1}{c} * \frac{5}{1} = \frac{5}{c}$

4) $\frac{x - y}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{3xy} = \frac{x - y}{xy} : \frac{(x - y)(x + y)}{3xy} = \frac{x - y}{xy} * \frac{3xy}{(x - y)(x + y)} = \frac{1}{1} * \frac{3}{x + y} = \frac{3}{x + y}$

5) $\frac{a^2 - 25}{a + 7} : \frac{a - 5}{a + 7} = \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 7} : \frac{a - 5}{a + 7} = \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 7} * \frac{a + 7}{a - 5} = \frac{a + 5}{1} * \frac{1}{1} = a + 5$

6) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2) = \frac{(a - 2)^2}{a + 2} : (a - 2) = \frac{(a - 2)^2}{a + 2} * \frac{1}{a - 2} = \frac{a - 2}{a + 2} * \frac{1}{1} = \frac{a - 2}{a + 2}$

7) $(p^2 - 16k^2) : \frac{p + 4k}{p} = (p - 4k)(p + 4k) : \frac{p + 4k}{p} = (p - 4k)(p + 4k) * \frac{p}{p + 4k} = (p - 4k) * \frac{p}{1} = p(p - 4k)$

8) $\frac{a^2 - ab}{a^2} : \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{a(a - b)}{a^2} : \frac{(a - b)^2}{ab} = \frac{a(a - b)}{a^2} * \frac{ab}{(a - b)^2} = \frac{a - b}{a} * \frac{ab}{(a - b)^2} = \frac{1}{1} * \frac{b}{a - b} = \frac{b}{a - b}$

152. Выполните деление:
1) $\frac{5m - 2n}{10k} : \frac{5m - 2n}{10k^2}$;
2) $\frac{p + 3}{p^2 - 2p} : \frac{p + 3}{4p - 8}$;
3) $\frac{a^2 - b^2}{2ab} : \frac{a + b}{ab}$;
4) $\frac{a^2 - 16}{a - 3} : \frac{a + 4}{a - 3}$;
5) $\frac{y - 9}{y - 8} : \frac{y^2 - 81}{y^2 - 16y + 64}$;
6) $(x^2 - 49y^2) : \frac{x - 7y}{x}$.

Решение:

1) $\frac{5m - 2n}{10k} : \frac{5m - 2n}{10k^2} = \frac{5m - 2n}{10k} * \frac{10k^2}{5m - 2n} = \frac{1}{1} * \frac{k}{1} = k$

2) $\frac{p + 3}{p^2 - 2p} : \frac{p + 3}{4p - 8} = \frac{p + 3}{p(p - 2)} : \frac{p + 3}{4(p - 2)} = \frac{p + 3}{p(p - 2)} * \frac{4(p - 2)}{p + 3} = \frac{1}{p} * \frac{4}{1} = \frac{4}{p}$

3) $\frac{a^2 - b^2}{2ab} : \frac{a + b}{ab} = \frac{(a - b)(a + b)}{2ab} : \frac{a + b}{ab} = \frac{(a - b)(a + b)}{2ab} * \frac{ab}{a + b} = \frac{a - b}{2} * \frac{1}{1} = \frac{a - b}{2}$

4) $\frac{a^2 - 16}{a - 3} : \frac{a + 4}{a - 3} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 3} : \frac{a + 4}{a - 3} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 3} * \frac{a - 3}{a + 4} = \frac{a - 4}{1} * \frac{1}{1} = a - 4$

5) $\frac{y - 9}{y - 8} : \frac{y^2 - 81}{y^2 - 16y + 64} = \frac{y - 9}{y - 8} : \frac{(y - 9)(y + 9)}{(y - 8)^2} = \frac{y - 9}{y - 8} * \frac{(y - 8)^2}{(y - 9)(y + 9)} = \frac{1}{1} * \frac{y - 8}{y + 9} = \frac{y - 8}{y + 9}$

6) $(x^2 - 49y^2) : \frac{x - 7y}{x} = (x - 7y)(x + 7y) : \frac{x - 7y}{x} = (x - 7y)(x + 7y) * \frac{x}{x - 7y} = (x + 7y) * \frac{x}{1} = x(x + 7y)$

153. Выполните возведение в степень:
1) $(\frac{a}{b})^9$;
2) $(\frac{m}{n^2})^8$;
3) $(\frac{c}{2d})^5$;
4) $(\frac{5a^6}{b^5})^2$;
5) $(-\frac{3m^4}{2n^3})^3$;
6) $(-\frac{6a^6}{b^7})^2$.

Решение:

1) $(\frac{a}{b})^9 = \frac{a^9}{b^9}$

2) $(\frac{m}{n^2})^8 = \frac{m^8}{n^{2 * 8}} = \frac{m^8}{n^{16}}$

3) $(\frac{c}{2d})^5 = \frac{c^5}{(2d)^5} = \frac{c^5}{32d^5}$

4) $(\frac{5a^6}{b^5})^2 = \frac{(5a^6)^2}{(b^5)^2} = \frac{5^2a^{6 * 2}}{b^{5 * 2}} = \frac{25a^{12}}{b^{10}}$

5) $(-\frac{3m^4}{2n^3})^3 = -\frac{(3m^4)^3}{(2n^3)^3} = -\frac{3^3m^{4 * 3}}{2^3n^{3 * 3}} = -\frac{27m^{12}}{8n^{9}}$

6) $(-\frac{6a^6}{b^7})^2 = \frac{(6a^6)^2}{b^{7 * 2}} = \frac{6^2a^{6 * 2}}{b^{14}} = \frac{36a^{12}}{b^{14}}$

154. Представьте в виде дроби выражение:
1) $(\frac{a^6}{b^3})^{10}$;
2) $(-\frac{4m}{9n^3})^2$;
3) $(-\frac{10c^7}{3d^5})^3$;
4) $(\frac{2m^3n^2}{kp^8})^6$.

Решение:

1) $(\frac{a^6}{b^3})^{10} = \frac{a^{6 * 10}}{b^{3 * 10}} = \frac{a^{60}}{b^{30}}$

2) $(-\frac{4m}{9n^3})^2 = \frac{4^2m^2}{9^2n^{3 * 2}} = \frac{16m^2}{81n^{6}}$

3) $(-\frac{10c^7}{3d^5})^3 = -\frac{10^3c^{7 * 3}}{3^3d^{5 * 3}} = -\frac{1000c^{21}}{27d^{15}}$

4) $(\frac{2m^3n^2}{kp^8})^6 = \frac{2^6m^{3 * 6}n^{2 * 6}}{k^6p^{8 * 6}} = \frac{64m^{18}n^{12}}{k^6p^{48}}$

155. Упростите выражение:
1) $\frac{6a^4b^2}{35c^3} * \frac{14b^2}{a^7c^5} * \frac{5a^3c^8}{18b^4}$;
2) $\frac{33m^8}{34n^8} : \frac{88m^4}{51n^4} : \frac{21m^6}{16n^2}$;
3) $\frac{36x^6}{49y^5} : \frac{24x^9}{25y^4} * \frac{7x^2}{30y}$;
4) $(\frac{m^5n}{3p^3})^3 : \frac{m^{10}n^5}{54p^8}$;
5) $(\frac{2a^5}{y^6})^4 : (\frac{4a^6}{y^8})^3$;
6) $(-\frac{27x^3}{16y^5})^2 * (\frac{8y^3}{9x^2})^3$.

Решение:

1) $\frac{6a^4b^2}{35c^3} * \frac{14b^2}{a^7c^5} * \frac{5a^3c^8}{18b^4} = \frac{1}{1} * \frac{2}{1} * \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2) $\frac{33m^8}{34n^8} : \frac{88m^4}{51n^4} : \frac{21m^6}{16n^2} = \frac{33m^8}{34n^8} * \frac{51n^4}{88m^4} * \frac{16n^2}{21m^6} = \frac{1}{n^2} * \frac{3}{1} * \frac{1}{7m^2} = \frac{3}{7m^2n^2}$

3) $\frac{36x^6}{49y^5} : \frac{24x^9}{25y^4} * \frac{7x^2}{30y} = \frac{36x^6}{49y^5} * \frac{25y^4}{24x^9} * \frac{7x^2}{30y} = \frac{1}{7y} * \frac{5}{2x} * \frac{1}{2y} = \frac{5}{28xy^2}$

4) $(\frac{m^5n}{3p^3})^3 : \frac{m^{10}n^5}{54p^8} = (\frac{m^5n}{3p^3})^3 * \frac{54p^8}{m^{10}n^5} = \frac{m^{15}n^3}{27p^9} * \frac{54p^8}{m^{10}n^5} = \frac{m^{5}}{p} * \frac{2}{n^2} = \frac{2m^{5}}{n^2p}$

5) $(\frac{2a^5}{y^6})^4 : (\frac{4a^6}{y^8})^3 = \frac{16a^{20}}{y^{24}} : \frac{64a^{18}}{y^{24}} = \frac{16a^{20}}{y^{24}} * \frac{y^{24}}{64a^{18}} = \frac{a^{2}}{1} * \frac{1}{4} = \frac{a^{2}}{4}$

6) $(-\frac{27x^3}{16y^5})^2 * (\frac{8y^3}{9x^2})^3 = \frac{(3^3)^2x^6}{(2^4)^2y^{10}} * \frac{(2^3)^3y^9}{(3^2)^3x^6} = \frac{3^6x^6}{2^8y^{10}} * \frac{2^9y^9}{3^6x^6} = \frac{1}{y} * \frac{2}{1} = \frac{2}{y}$

39

Ответы к странице 39

156. Упростите выражение:
1) $\frac{3a^4b^3}{10c^5} * \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3}$;
2) $\frac{3a^2}{2b^2c^2} : \frac{7c^8}{6b^3} : \frac{9ab}{14c^{12}}$;
3) $(\frac{5a^3}{b^4})^4 * \frac{b^{18}}{50a^{16}}$;
4) $(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (\frac{3x^6}{y^8})^3$.

Решение:

1) $\frac{3a^4b^3}{10c^5} * \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3} = \frac{3a^4b^3}{10c^5} * \frac{4b^4c^2}{27a^7} * \frac{9a^3c^3}{5b^7} = \frac{1}{5} * \frac{2}{1} * \frac{1}{5} = \frac{2}{25}$

2) $\frac{3a^2}{2b^2c^2} : \frac{7c^8}{6b^3} : \frac{9ab}{14c^{12}} = \frac{3a^2}{2b^2c^2} * \frac{6b^3}{7c^8} * \frac{14c^{12}}{9ab} = \frac{a}{1} * \frac{1}{1} * \frac{2c^{2}}{1} = 2ac^2$

3) $(\frac{5a^3}{b^4})^4 * \frac{b^{18}}{50a^{16}} = \frac{5^4a^{12}}{b^{16}} * \frac{b^{18}}{2 * 5^2a^{16}} = \frac{5^2}{1} * \frac{b^{2}}{2a^{4}} = \frac{25b^2}{2a^4}$

4) $(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (\frac{3x^6}{y^8})^3 = \frac{3^4x^{28}}{y^{40}} : \frac{3^3x^{18}}{y^{24}} = \frac{3^4x^{28}}{y^{40}} * \frac{y^{24}}{3^3x^{18}} = \frac{3x^{10}}{y^{16}} * \frac{1}{1} = \frac{3x^{10}}{y^{16}}$

157. Замените переменную x таким выражением, чтобы получилось тождество:
1) $(\frac{4a^2}{b^3})^2 * x = \frac{6a}{b^2}$;
2) $(\frac{2b^4}{3c})^3 : x = \frac{b^6}{12}$.

Решение:

1) $(\frac{4a^2}{b^3})^2 * x = \frac{6a}{b^2}$
$x = \frac{6a}{b^2} : (\frac{4a^2}{b^3})^2 = \frac{6a}{b^2} : \frac{16a^4}{b^6} = \frac{6a}{b^2} * \frac{b^6}{16a^4} = \frac{3}{1} * \frac{b^4}{8a^3} = \frac{3b^4}{8a^3}$
Ответ: $(\frac{4a^2}{b^3})^2 * \frac{3b^4}{8a^3} = \frac{6a}{b^2}$

2) $(\frac{2b^4}{3c})^3 : x = \frac{b^6}{12}$
$x = (\frac{2b^4}{3c})^3 : \frac{b^6}{12} = \frac{8b^{12}}{27c^3} : \frac{b^6}{12} = \frac{8b^{12}}{27c^3} * \frac{12}{b^6} = \frac{8b^{6}}{9c^3} * \frac{4}{1} = \frac{32b^{6}}{9c^3}$
Ответ: $(\frac{2b^4}{3c})^3 : \frac{32b^{6}}{9c^3} = \frac{b^6}{12}$

158. Выполните умножение и деление дробей:
1) $\frac{4 - a}{8a^3} * \frac{12a^5}{a^2 - 16}$;
2) $\frac{4c - d}{c^2 + cd} * \frac{2c^2 - 2d^2}{4c^2 - cd}$;
3) $\frac{b^2 - 6b + 9}{b^2 - 3b + 9} * \frac{b^3 + 27}{5b - 15}$;
4) $\frac{a^3 - 16a}{3a^2b} * \frac{12ab^2}{4a + 16}$;
5) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - b^2} * \frac{7a - 7b}{a^2 - ab + b^2}$;
6) $\frac{x^2 - 9}{x + y} * \frac{5x + 5y}{x^2 - 3x}$;
7) $\frac{m + 2n}{2 - 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 - 2m}$;
8) $\frac{a^3 + 8}{16 - a^4} : \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 + 4}$;
9) $\frac{x^2 - 12x + 36}{3x + 21} * \frac{x^2 - 49}{4x - 24}$;
10) $\frac{3a + 15b}{a^2 - 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 - 18ab + 81b^2}$.

Решение:

1) $\frac{4 - a}{8a^3} * \frac{12a^5}{a^2 - 16} = \frac{4 - a}{2} * \frac{3a^2}{(a - 4)(a + 4)} = -\frac{a - 4}{2} * \frac{3a^2}{(a - 4)(a + 4)} = -\frac{1}{2} * \frac{3a^2}{a + 4} = -\frac{3a^2}{2(a + 4)}$

2) $\frac{4c - d}{c^2 + cd} * \frac{2c^2 - 2d^2}{4c^2 - cd} = \frac{4c - d}{c(c + d)} * \frac{2(c^2 - d^2)}{c(4c - d)} = \frac{1}{c(c + d)} * \frac{2(c - d)(c + d)}{c} = \frac{1}{c} * \frac{2(c - d)}{c} = \frac{2(c - d)}{c^2}$

3) $\frac{b^2 - 6b + 9}{b^2 - 3b + 9} * \frac{b^3 + 27}{5b - 15} = \frac{(b - 3)^2}{b^2 - 3b + 9} * \frac{(b + 3)(b^2 - 3b + 9)}{5(b - 3)} = \frac{b - 3}{1} * \frac{b + 3}{5} = \frac{b^2 - 9}{5}$

4) $\frac{a^3 - 16a}{3a^2b} * \frac{12ab^2}{4a + 16} = \frac{a(a^2 - 16)}{a} * \frac{4b}{4(a + 4)} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{1} * \frac{b}{a + 4} = \frac{a - 4}{1} * \frac{b}{1} = b(a - 4)$

5) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - b^2} * \frac{7a - 7b}{a^2 - ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a - b)(a + b)} * \frac{7(a - b)}{a^2 - ab + b^2} = \frac{1}{1} * \frac{7}{1} = 7$

6) $\frac{x^2 - 9}{x + y} * \frac{5x + 5y}{x^2 - 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + y} * \frac{5(x + y)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{1} * \frac{5}{x} = \frac{5(x + 3)}{x}$

7) $\frac{m + 2n}{2 - 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 - 2m} = \frac{m + 2n}{2 - 3m} : \frac{(m + 2n)^2}{m(3m - 2)} = -\frac{m + 2n}{3m - 2n} * \frac{m(3m - 2)}{(m + 2n)^2} = -\frac{1}{1} * \frac{m}{m + 2n} = -\frac{m}{m + 2n}$

8) $\frac{a^3 + 8}{16 - a^4} : \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 + 4} = \frac{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}{(4 - a^2)(4 + a^2)} : \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 + 4} = \frac{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}{(2 - a)(2 + a)(4 + a^2)} : \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 + 4} = \frac{a^2 - 2a + 4}{(2 - a)(4 + a^2)} * \frac{a^2 + 4}{a^2 - 2a + 4} = \frac{1}{2 - a} * \frac{1}{1} = \frac{1}{2 - a}$

9) $\frac{x^2 - 12x + 36}{3x + 21} * \frac{x^2 - 49}{4x - 24} = \frac{(x - 6)^2}{3(x + 7)} * \frac{(x - 7)(x + 7)}{4(x - 6)} = \frac{x - 6}{3} * \frac{x - 7}{4} = \frac{(x - 6)(x - 7)}{12}$

10) $\frac{3a + 15b}{a^2 - 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 - 18ab + 81b^2} = \frac{3(a + 5b)}{(a - 9b)(a + 9b)} : \frac{4(a + 5b)}{(a - 9b)^2} = \frac{3(a + 5b)}{(a - 9b)(a + 9b)} * \frac{(a - 9b)^2}{4(a + 5b)} = \frac{3}{a + 9b} * \frac{a - 9b}{4} = \frac{3(a - 9b)}{4(a + 9b)}$

159. Упростите выражение:
1) $\frac{7a^2}{a^2 - 25} * \frac{5 - a}{a}$;
2) $\frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3} * \frac{b - a}{b + a}$;
3) $\frac{a^4 - 1}{a^3 - a} * \frac{a}{1 + a^2}$;
4) $\frac{a^2 - 8ab}{12b} : \frac{8b^2 - ab}{24a}$;
5) $\frac{5m^2 - 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n - 15m}{4m^2 + 4n^2}$;
6) $\frac{mn^2 - 36m}{m^3 - 8} : \frac{2n + 12}{6m - 12}$;
7) $\frac{a^4 - 1}{a^2 - a + 1} : \frac{a - 1}{a^3 + 1}$;
8) $\frac{4x^2 - 100}{6x} : (2x^2 - 20x + 50)$.

Решение:

1) $\frac{7a^2}{a^2 - 25} * \frac{5 - a}{a} = \frac{7a}{(a - 5)(a + 5)} * \frac{5 - a}{1} = -\frac{7a}{(5 - a)(a + 5)} * \frac{5 - a}{1} = -\frac{7a}{a + 5} * \frac{1}{1} = -\frac{7a}{a + 5}$

2) $\frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3} * \frac{b - a}{b + a} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} * (-\frac{a - b}{a + b}) = \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} * (-\frac{1}{1}) = -\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2}$

3) $\frac{a^4 - 1}{a^3 - a} * \frac{a}{1 + a^2} = \frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)}{a(a^2 - 1)} * \frac{a}{1 + a^2} = \frac{1}{1} * \frac{1}{1} = 1$

4) $\frac{a^2 - 8ab}{12b} : \frac{8b^2 - ab}{24a} = \frac{a(a - 8b)}{12b} : \frac{b(8b - a)}{24a} = \frac{a(a - 8b)}{12b} * \frac{24a}{b(8b - a)} = \frac{a(a - 8b)}{12b} * (-\frac{24a}{b(a - 8b)}) = \frac{a}{b} * (-\frac{2a}{b}) = -\frac{2a^2}{b^2}$

5) $\frac{5m^2 - 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n - 15m}{4m^2 + 4n^2} = \frac{5(m^2 - n^2)}{m^2 + n^2} : \frac{15(n - m)}{4(m^2 + n^2)} = \frac{5(m - n)(m + n)}{m^2 + n^2} : (-\frac{15(m - n)}{4(m^2 + n^2)}) = \frac{5(m - n)(m + n)}{m^2 + n^2} * (-\frac{4(m^2 + n^2)}{15(m - n)}) = \frac{m + n}{1} * (-\frac{4}{3}) = -\frac{4(m + n)}{3}$

6) $\frac{mn^2 - 36m}{m^3 - 8} : \frac{2n + 12}{6m - 12} = \frac{m(n^2 - 36)}{(m - 2)(m^2 + 2m + 4)} : \frac{2(n + 6)}{6(m - 2)} = \frac{m(n - 6)(n + 6)}{(m - 2)(m^2 + 2m + 4)} * \frac{6(m - 2)}{2(n + 6)} = \frac{m(n - 6)}{m^2 + 2m + 4} * \frac{3}{1} = \frac{3m(n - 6)}{m^2 + 2m + 4}$

7) $\frac{a^4 - 1}{a^2 - a + 1} : \frac{a - 1}{a^3 + 1} = \frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)}{a^2 - a + 1} : \frac{a - 1}{(a + 1)(a^2 - a + 1)} = \frac{(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)}{a^2 - a + 1} * \frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a - 1} = \frac{(a + 1)(a^2 + 1)}{1} * \frac{a + 1}{1} = (a + 1)^2(a^2 + 1)$

8) $\frac{4x^2 - 100}{6x} : (2x^2 - 20x + 50) = \frac{4(x^2 - 25)}{6x} : 2(x^2 - 10x + 25) = \frac{2(x - 5)(x + 5)}{3x} : 2(x - 5)^2 = \frac{2(x - 5)(x + 5)}{3x} * \frac{1}{2(x - 5)^2} = \frac{x + 5}{3x} * \frac{1}{x - 5} = \frac{x + 5}{3x(x - 5)}$

160. Упростите выражение и найдите его значение:
1) $\frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} : \frac{a - 9}{a^2 - 64}$, если a = −4;
2) $\frac{x}{4x^2 - 4y^2} : \frac{1}{6x + 6y}$, если x = 4,2, y = −2,8;
3) $(3a^2 - 18a + 27) : \frac{3a - 9}{4a}$, если a = 0,5;
4) $\frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} : \frac{a^5 + a^4}{9a^2 - 9a}$, если a = 0,8.

Решение:

1) $\frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} : \frac{a - 9}{a^2 - 64} = \frac{(a - 9)(a + 9)}{a(a - 8)} : \frac{a - 9}{(a - 8)(a + 8)} = \frac{(a - 9)(a + 9)}{a(a - 8)} * \frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 9} = \frac{a + 9}{a} * \frac{a + 8}{1} = \frac{(a + 9)(a + 8)}{a}$
при a = −4:
$\frac{(a + 9)(a + 8)}{a} = \frac{(-4 + 9)(-4 + 8)}{-4} = \frac{5 * 4}{-4} = -5$

2) $\frac{x}{4x^2 - 4y^2} : \frac{1}{6x + 6y} = \frac{x}{(2x - 2y)(2x + 2y)} : \frac{1}{3(2x + 2y)} = \frac{x}{(2x - 2y)(2x + 2y)} * \frac{3(2x + 2y)}{1} = \frac{x}{2x - 2y} * \frac{3}{1} = \frac{3x}{2(x - y)}$
при x = 4,2, y = −2,8:
$\frac{3x}{2(x - y)} = \frac{3 * 4,2}{2(4,2 - (-2,8))} = \frac{12,6}{2(4,2 + 2,8)} = \frac{12,6}{2 * 7} = \frac{12,6}{14} = \frac{126}{140} = \frac{9}{10} = 0,9$

3) $(3a^2 - 18a + 27) : \frac{3a - 9}{4a} = 3(a^2 - 6a + 9) : \frac{3(a - 3)}{4a} = 3(a - 3)^2 * \frac{4a}{3(a - 3)} = (a - 3) * \frac{4a}{1} = 4a(a - 3)$
при a = 0,5:
4a(a − 3) = 4 * 0,5(0,5 − 3) = 2 * (−2,5) = −5

4) $\frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} : \frac{a^5 + a^4}{9a^2 - 9a} = \frac{a^5(a + 1)}{9(a - 1)^2} : \frac{a^4(a + 1)}{9a(a - 1)} = \frac{a^5(a + 1)}{9(a - 1)^2} * \frac{9a(a - 1)}{a^4(a + 1)} = \frac{a}{a - 1} * \frac{a}{1} = \frac{a^2}{a - 1}$
при a = 0,8:
$\frac{a^2}{a - 1} = \frac{0,8^2}{0,8 - 1} = \frac{0,64}{-0,2} = -\frac{64}{20} = -\frac{32}{10} = -3,2$

40

Ответы к странице 40

161. Найдите значение выражения:
1) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{b^2 - a^2}$, если $a = 2\frac{1}{3}, b = -\frac{3}{7}$;
2) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a - 6b}$, если a = 4, b = −5.

Решение:

1) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{b^2 - a^2} = \frac{1}{a(a - b)} : \frac{b}{(b - a)(b + a)} = \frac{1}{a(a - b)} : (-\frac{b}{(a - b)(a + b)}) = \frac{1}{a(a - b)} * (-\frac{(a - b)(a + b)}{b}) = \frac{1}{a} * (-\frac{a + b}{b}) = -\frac{a + b}{ab}$
при $a = 2\frac{1}{3}, b = -\frac{3}{7}$:
$-\frac{2\frac{1}{3} - \frac{3}{7}}{2\frac{1}{3} * (-\frac{3}{7})} = \frac{\frac{7}{3} - \frac{3}{7}}{\frac{7}{3} * \frac{3}{7}} = \frac{\frac{49 - 9}{21}}{\frac{1}{1} * \frac{1}{1}} = \frac{40}{21} = 1\frac{19}{21}$

2) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a - 6b} = \frac{(a + 2b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)} : \frac{3(a + 2b)}{2(a - 3b)} = \frac{(a + 2b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)} * \frac{2(a - 3b)}{3(a + 2b)} = \frac{a + 2b}{a + 3b} * \frac{2}{3} = \frac{2(a + 2b)}{3(a + 3b)}$
при a = 4, b = −5:
$\frac{2(a + 2b)}{3(a + 3b)} = \frac{2(4 + 2 * (-5))}{3(4 + 3 * (-5))} = \frac{2(4 - 10)}{3(4 - 15)} = \frac{2 * (-6)}{3 * (-11)} = \frac{2 * (-2)}{-11} = \frac{-4}{-11} = \frac{4}{11}$

162. Известно, что $x - \frac{1}{x} = 9$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Решение:

$x - \frac{1}{x} = 9$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 9^2$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 81$
$x^2 - 2x * \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 81$
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 81$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 81 + 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 83$
Ответ: 83

163. Известно, что $3x + \frac{1}{x} = -4$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Решение:

$3x + \frac{1}{x} = -4$
$(3x + \frac{1}{x})^2 = (-4)^2$
$(3x + \frac{1}{x})^2 = 16$
$9x^2 + 6x * \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$
$9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2} = 16$
$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 6$
$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$
Ответ: 10

164. Дано: $x^2 + \frac{16}{x^2} = 41$. Найдите значение выражения $x + \frac{4}{x}$.

Решение:

$x^2 + \frac{16}{x^2} = 41$
$x^2 + (\frac{4}{x})^2 = 41$
$(x^2 + 2x * \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2) - 2x * \frac{4}{x} = 41$
$(x + \frac{4}{x})^2 - 8 = 41$
$(x + \frac{4}{x})^2 = 41 + 8$
$(x + \frac{4}{x})^2 = 49$
$x + \frac{4}{x} = ±7$
Ответ: ±7

165. Дано: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Найдите значение выражения $x - \frac{1}{x}$.

Решение:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$
$x^2 + (\frac{1}{x})^2 = 6$
$(x^2 - 2x * \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2) + 2x * \frac{1}{x} = 6$
$(x - \frac{1}{x})^2 + 2 = 6$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 6 - 2$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 4$
$x - \frac{1}{x} = ±2$
Ответ: ±2

166. Упростите выражение:
1) $\frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2}$;
2) $\frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} : \frac{a^2 - a - ab + b}{a^2 - a + ab - b}$.

Решение:

1) $\frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a - 6)(a + 6)}{(a^2 + ab) - (6a + 6b)} : \frac{(a^2 + ab) + (6a + 6b)}{(a + b)^2} = \frac{(a - 6)(a + 6)}{a(a + b) - 6(a + b)} : \frac{a(a + b) + 6(a + b)}{(a + b)^2} = \frac{(a - 6)(a + 6)}{(a + b)(a - 6)} : \frac{(a + b)(a + 6)}{(a + b)^2} = \frac{a + 6}{a + b} : \frac{a + 6}{a + b} = \frac{a + 6}{a + b} * \frac{a + b}{a + 6} = \frac{1}{1} * \frac{1}{1} = 1$

2) $\frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} : \frac{a^2 - a - ab + b}{a^2 - a + ab - b} = \frac{(a^2 + a) - (ab + b)}{(a^2 + a) + (ab + b)} : \frac{(a^2 - a) - (ab - b)}{(a^2 - a) + (ab - b)} = \frac{a(a + 1) - b(a + 1)}{a(a + 1) + b(a + 1)} : \frac{a(a - 1) - b(a - 1)}{a(a - 1) + b(a - 1)} = \frac{(a + 1)(a - b)}{(a + 1)(a + b)} : \frac{(a - 1)(a - b)}{(a - 1)(a + b)} = \frac{a - b}{a + b} : \frac{a - b}{a + b} = \frac{a - b}{a + b} * \frac{a + b}{a - b} = \frac{1}{1} * \frac{1}{1} = 1$

167. Упростите выражение:
1) $\frac{25 - 5a + 5b - ab}{25 + 5a - 5b - ab} * \frac{ab - 5a - 5b + 25}{ab + 5a + 5b + 25}$;
2) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} : \frac{a^2 - ab + 4a - 4b}{a^2 - 16}$.

Решение:

1) $\frac{25 - 5a + 5b - ab}{25 + 5a - 5b - ab} * \frac{ab - 5a - 5b + 25}{ab + 5a + 5b + 25} = \frac{(25 - 5a) + (5b - ab)}{(25 + 5a) - (5b + ab)} * \frac{(ab - 5a) - (5b - 25)}{(ab + 5a) + (5b + 25)} = \frac{5(5 - a) + b(5 - a)}{5(5 + a) - b(5 + a)} * \frac{a(b - 5) - 5(b - 5)}{a(b + 5) + 5(b + 5)} = \frac{(5 - a)(5 + b)}{(5 + a)(5 - b)} * \frac{(b - 5)(a - 5)}{(b + 5)(a + 5)} = \frac{5 - a}{(5 + a)(5 - b)} * \frac{(b - 5)(a - 5)}{a + 5} = -\frac{5 - a}{(5 + a)(b - 5)} * \frac{(b - 5)(a - 5)}{a + 5} = -\frac{5 - a}{5 + a} * \frac{a - 5}{a + 5} = \frac{a - 5}{a + 5} * \frac{a - 5}{a + 5} = \frac{(a - 5)^2}{(a + 5)^2}$

2) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} : \frac{a^2 - ab + 4a - 4b}{a^2 - 16} = \frac{(a - b)^2}{(a^2 - ab) - (4a - 4b)} : \frac{(a^2 - ab) + (4a - 4b)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{(a - b)^2}{a(a - b) - 4(a - b)} : \frac{a(a - b) + 4(a - b)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{(a - b)^2}{(a - b)(a - 4)} : \frac{(a - b)(a + 4)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{a - b}{a - 4} : \frac{a - b}{a - 4} = \frac{a - b}{a - 4} * \frac{a - 4}{a - b} = \frac{1}{1} * \frac{1}{1} = 1$

168. Докажите тождество:
$\frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{a^2 - 9b^2} * \frac{3a}{4a + 12b} = 1$.

Решение:

$\frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{a^2 - 9b^2} * \frac{3a}{4a + 12b} = 1$
$\frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{(a - 3b)(a + 3b)} * \frac{3a}{4(a + 3b)} = 1$
$\frac{8a^2}{a - 3b} * \frac{(a - 3b)(a + 3b)}{6a^3} * \frac{3a}{4(a + 3b)} = 1$
$\frac{1}{1} * \frac{1}{1} * \frac{1}{1} = 1$
1 = 1

169. Докажите тождество:
$\frac{a^2 + a}{2a - 12} * \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} = \frac{1}{6}$

Решение:

$\frac{a^2 + a}{2a - 12} * \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} = \frac{1}{6}$
$\frac{a(a + 1)}{2(a - 6)} * \frac{6(a + 1)}{2(a + 6)} : \frac{9a(a^2 + 2a + 1)}{(a - 6)(a + 6)} = \frac{1}{6}$
$\frac{a(a + 1)}{2(a - 6)} * \frac{3(a + 1)}{a + 6} : \frac{9a(a + 1)^2}{(a - 6)(a + 6)} = \frac{1}{6}$
$\frac{a(a + 1)}{2(a - 6)} * \frac{3(a + 1)}{a + 6} * \frac{(a - 6)(a + 6)}{9a(a + 1)^2} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{2} * \frac{1}{1} * \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

170. Решите уравнение:
1) $(2x + 3)^2 - 2x(5 + 2x) = 10$;
2) (x − 2)(x − 3) − (x − 6)(x + 1) = 12.

Решение:

1) $(2x + 3)^2 - 2x(5 + 2x) = 10$
$4x^2 + 12x + 9 - 10x - 4x^2 = 10$
12x − 10x = 10 − 9
2x = 1
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) (x − 2)(x − 3) − (x − 6)(x + 1) = 12
$x^2 - 2x - 3x + 6 - (x^2 - 6x + x - 6) = 12$
$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 6x - x + 6 = 12$
0x = 12 − 12
0x = 0
0 = 0
Ответ: x − любое число

171. Докажите, что уравнение $\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 4}{2} = \frac{x + 5}{6}$ не имеет корней.

Решение:

$\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 4}{2} = \frac{x + 5}{6}$|* 6
2(2x + 1) − 3(x − 4) = x + 5
4x + 2 − 3x + 12 = x + 5
x − x = 5 − 2 − 12
0x = −9
0 ≠ −9
Ответ: уравнение не имеет корней

172. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 192 км, со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист. Через 30 мин навстречу ему из пункта B со скоростью 75 км/ч выехал второй мотоциклист. Сколько времени ехал второй мотоциклист до встречи с первым?

Решение:

30 мин = $\frac{30}{60}$ ч = $\frac{1}{2}$ ч
Пусть x (ч) − ехал второй мотоциклист до встречи с первым, тогда:

                                 t       v         S
Мотоциклист №1 $x + \frac{1}{2}$ ч 60 км/ч $60(x + \frac{1}{2})$ км
Мотоциклист №2 x ч 75 км/ч 75x км

Так как, суммарно до встречи мотоциклисты проехали 192 км, составим уравнение:
$60(x + \frac{1}{2}) + 75x = 192$
60x + 30 + 75x = 192
135x = 192 − 30
135x = 162
$x = \frac{162}{135} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1\frac{12}{60}$ (ч) = 1 ч 12 минут ехал второй мотоциклист до встречи с первым.
Ответ: 1 ч 12 мин.

41

Ответы к странице 41

173. В двух бидонах находится 80 л молока. Если из одного бидона перелить 20% молока в другой бидон, то в обоих бидонах молока станет поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

Решение:

Пусть x (л) − молока было в первом бидоне, тогда:
                   Было молоко Стало молока
Бидон №1        x л              x − 0,2x л
Бидон №2     80 − x л      80 − (x − 0,2x) л
Так как, в обоих бидонах вместе было 80 литров и стало 80 литров, составим уравнение:
x − 0,2x = 80 − (x − 0,2x)
0,8x = 80 − x + 0,2x
0,8x = 80 − 0,8x
0,8x + 0,8x = 80
1,6x = 80
16x = 800
x = 50 (л) − молока было в первом бидоне;
80 − x = 80 − 50 = 30 (л) − молока было во втором бидоне.
Ответ: 50 литров и 30 литров

174. (Из учебника "Арифметика" Л.Ф.Магницкого.) Двенадцать людей несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина − по половине хлеба, а ребенок − по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Решение:

Пусть было:
x − мужчин;
y − женщин.
Тогда:
12 − x − y − было детей;
2x (хлебов) − несли мужчины;
$\frac{1}{2}y$ (хлебов) − несли женщины;
$\frac{1}{4}(12 - x - y)$ (хлебов) − несли дети.
Так как, всего люди несли 12 хлебов, составим уравнение:
$2x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}(12 - x - y) = 12 |*4$
8x + 2y + 12 − x − y = 48
7x + y = 48 − 12
7x + y = 36
7x = 36 − y
$x = \frac{36 - y}{7}$ (мужчин) − несли хлеб.
По условию x + y < 12, тогда женщин может быть либо 1, либо 8.
Если y = 1, то:
$x = \frac{36 - 1}{7} = \frac{35}{7} = 5$ (мужчин) − несли хлеб;
12 − 5 − 1 = 6 (детей) − несли хлеб.
Если y = 8, то:
$x = \frac{36 - 8}{7} = \frac{28}{7} = 4$ (мужчины) − несли хлеб;
12 − 4 − 8 = 0 (детей) − несли хлеб, что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 5 мужчин, 1 женщина, 6 детей.

175. Вася и Петя по очереди заменяют в уравнении $x^4 + *x^3 + *x^2 + *x + * = 0$ один знак * на некоторое число. Первым замену делает Вася. Петя хочет получить уравнение, которое имеет корень. Может ли Вася ему помешать?

Решение:

Петя сделает замену последним. Значит, он может написать вместо звездочки такое число, чтобы слагаемое было противоположно по знаку предыдущей сумме. В этом случае уравнение будет иметь корень. Легче всего считать, если принять х за единицу.
Ответ: Вася не может помешать Пете.

Проверить можно, приняв х за 1 и подставив вместо трех из звездочек абсолютно любые числа, даже отрицательные. Считаем сумму без учета слагаемого с оставшейся звездочкой. Подставляем вместо последней звездочки число, противоположное по знаку, получаем в общей сумме 0. 0=0

43

Ответы к странице 43

§6. Тождественные преобразования рациональных выражений

Упражнения

176. Упростите выражение:
1) $(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}) * \frac{6}{a^2}$;
2) $\frac{a^2b}{a - b} * (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$;
3) $(1 + \frac{a}{b}) : (1 - \frac{a}{b})$;
4) $(\frac{a^2}{b^2} - \frac{2a}{b} + 1) * \frac{b}{a - b}$;
5) $\frac{a^2 - ab}{b^2 - 1} * \frac{b + 1}{a} - \frac{a}{b - 1}$;
6) $(\frac{5}{m - n} - \frac{4}{m + n}) : \frac{m + 9n}{m + n}$;
7) $\frac{x - 2}{x + 2} * (x - \frac{x^2}{x - 2})$;
8) $\frac{x^2 + x}{4} : \frac{x^2}{4} + \frac{x - 1}{x}$;
9) $\frac{6c^2}{c^2 - 1} : (\frac{1}{c - 1} + 1)$;
10) $(\frac{x}{x + y} + \frac{y}{x - y}) * \frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2}$.

Решение:

1) $(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}) * \frac{6}{a^2} = \frac{4a + 3a}{12} * \frac{6}{a^2} = \frac{7a}{12} * \frac{6}{a^2} = \frac{7}{2} * \frac{1}{a} = \frac{7}{2a}$

2) $\frac{a^2b}{a - b} * (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) = \frac{a^2b}{a - b} * \frac{a - b}{ab} = \frac{a}{1} * \frac{1}{1} = a$

3) $(1 + \frac{a}{b}) : (1 - \frac{a}{b}) = \frac{b + a}{b} : \frac{b - a}{b} = \frac{b + a}{b} * \frac{b}{b - a} = \frac{b + a}{1} * \frac{1}{b - a} = \frac{b + a}{b - a}$

4) $(\frac{a^2}{b^2} - \frac{2a}{b} + 1) * \frac{b}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{b^2} * \frac{b}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{b^2} * \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{b} * \frac{1}{1} = \frac{a - b}{b}$

5) $\frac{a^2 - ab}{b^2 - 1} * \frac{b + 1}{a} - \frac{a}{b - 1} = \frac{a(a - b)}{(b - 1)(b + 1)} * \frac{b + 1}{a} - \frac{a}{b - 1} = \frac{a - b}{b - 1} * \frac{1}{1} - \frac{a}{b - 1} = \frac{a - b - a}{b - 1} = \frac{-b}{b - 1} = \frac{b}{1 - b}$

6) $(\frac{5}{m - n} - \frac{4}{m + n}) : \frac{m + 9n}{m + n} = \frac{5(m + n) - 4(m - n)}{(m - n)(m + n)} : \frac{m + 9n}{m + n} = \frac{5m + 5n - 4m + 4n}{(m - n)(m + n)} : \frac{m + 9n}{m + n} = \frac{m + 9n}{(m - n)(m + n)} * \frac{m + n}{m + 9n} = \frac{1}{m - n} * \frac{1}{1} = \frac{1}{m - n}$

7) $\frac{x - 2}{x + 2} * (x - \frac{x^2}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x + 2} * \frac{x(x - 2) - x^2}{x - 2} = \frac{x - 2}{x + 2} * \frac{x^2 - 2x - x^2}{x - 2} = \frac{1}{x + 2} * \frac{-2x}{1} = \frac{-2x}{x + 2} = -\frac{2x}{x + 2}$

8) $\frac{x^2 + x}{4} : \frac{x^2}{4} + \frac{x - 1}{x} = \frac{x(x + 1)}{4} : \frac{x^2}{4} + \frac{x - 1}{x} = \frac{x(x + 1)}{4} * \frac{4}{x^2} + \frac{x - 1}{x} = \frac{x + 1}{1} * \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x} = \frac{x + 1}{x} + \frac{x - 1}{x} = \frac{x + 1 + x - 1}{x} = \frac{2x}{x} = 2$

9) $\frac{6c^2}{c^2 - 1} : (\frac{1}{c - 1} + 1) = \frac{6c^2}{(c - 1)(c + 1)} : \frac{1 + c - 1}{c - 1} = \frac{6c^2}{(c - 1)(c + 1)} : \frac{c}{c - 1} = \frac{6c^2}{(c - 1)(c + 1)} * \frac{c - 1}{c} = \frac{6c}{c+ 1} * \frac{1}{1} = \frac{6c}{c + 1}$

10) $(\frac{x}{x + y} + \frac{y}{x - y}) * \frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2} = \frac{x(x - y) + y(x + y)}{(x + y)(x - y)} * \frac{x(x + y)}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - xy + xy + y^2}{x - y} * \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x - y} * \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x - y} * \frac{x}{1} = \frac{x}{x - y}$

44

Ответы к странице 44

177. Упростите выражение:
1) $(x + \frac{x}{y}) : (x - \frac{x}{y})$;
2) $(\frac{a}{b} + \frac{a + b}{a - b}) * \frac{ab^2}{a^2 + b^2}$;
3) $(\frac{m}{m - 1} - 1) : \frac{m}{mn - n}$;
4) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) * \frac{4ab}{a - b}$;
5) $\frac{a}{b} - \frac{a^2 - b^2}{b^2} : \frac{a + b}{b}$;
6) $\frac{7x}{x + 2} - \frac{x - 8}{3x + 6} * \frac{84}{x^2 - 8x}$;
7) $(a - \frac{9a - 9}{a + 3}) : \frac{a^2 - 3a}{a + 3}$;
8) $(\frac{a}{a + 2} - \frac{8}{a + 8}) * \frac{a^2 + 8a}{a - 4}$.

Решение:

1) $(x + \frac{x}{y}) : (x - \frac{x}{y}) = \frac{xy + x}{y} : \frac{xy - x}{y} = \frac{x(y + 1)}{y} : \frac{x(y - 1)}{y} = \frac{x(y + 1)}{y} * \frac{y}{x(y - 1)} = \frac{y + 1}{1} * \frac{1}{y - 1} = \frac{y + 1}{y - 1}$

2) $(\frac{a}{b} + \frac{a + b}{a - b}) * \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a(a - b) + b(a + b)}{b(a - b)} * \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{b(a - b)} * \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{b(a - b)} * \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{1}{a - b} * \frac{ab}{1} = \frac{ab}{a - b}$

3) $(\frac{m}{m - 1} - 1) : \frac{m}{mn - n} = \frac{m - (m - 1)}{m - 1} : \frac{m}{n(m - 1)} = \frac{m - m + 1}{m - 1} : \frac{m}{n(m - 1)} = \frac{1}{m - 1} * \frac{n(m - 1)}{m} = \frac{1}{1} * \frac{n}{m} = \frac{n}{m}$

4) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) * \frac{4ab}{a - b} = \frac{a * a - b * b}{ab} * \frac{4ab}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{1} * \frac{4}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{1} * \frac{4}{a - b} = \frac{a + b}{1} * \frac{4}{1} = 4(a + b)$

5) $\frac{a}{b} - \frac{a^2 - b^2}{b^2} : \frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} - \frac{(a - b)(a + b)}{b^2} * \frac{b}{a + b} = \frac{a}{b} - \frac{a - b}{b} * \frac{1}{1} = \frac{a - (a - b)}{b} = \frac{a - a + b}{b} = \frac{b}{b} = 1$

6) $\frac{7x}{x + 2} - \frac{x - 8}{3x + 6} * \frac{84}{x^2 - 8x} = \frac{7x}{x + 2} - \frac{x - 8}{3(x + 2)} * \frac{84}{x(x - 8)} = \frac{7x}{x + 2} - \frac{1}{x + 2} * \frac{28}{x} = \frac{7x}{x + 2} - \frac{28}{x(x + 2)} = \frac{7x * x - 28}{x(x + 2)} = \frac{7x^2 - 28}{x(x + 2)} = \frac{7(x^2 - 4)}{x(x + 2)} = \frac{7(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{7(x - 2)}{x}$

7) $(a - \frac{9a - 9}{a + 3}) : \frac{a^2 - 3a}{a + 3} = \frac{a(a + 3) - (9a - 9)}{a + 3} : \frac{a(a - 3)}{a + 3} = \frac{a^2 + 3a - 9a + 9}{a + 3} * \frac{a + 3}{a(a - 3)} = \frac{a^2 - 6a + 9}{1} * \frac{1}{a(a - 3)} = \frac{(a - 3)^2}{a(a - 3)} = \frac{a - 3}{a}$

8) $(\frac{a}{a + 2} - \frac{8}{a + 8}) * \frac{a^2 + 8a}{a - 4} = \frac{a(a + 8) - 8(a + 2)}{(a + 2)(a + 8)} * \frac{a(a + 8)}{a - 4} = \frac{a^2 + 8a - 8a - 16}{a + 2} * \frac{a}{a - 4} = \frac{a^2 - 16}{a + 2} * \frac{a}{a - 4} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a + 2} * \frac{a}{a - 4} = \frac{a + 4}{a + 2} * \frac{a}{1} = \frac{a(a + 4)}{a + 2}$

178. Выполните действия:
1) $\frac{a + 2}{a^2 - 2a + 1} : \frac{a^2 - 4}{3a - 3} - \frac{3}{a - 2}$;
2) $\frac{b^2 + 3b}{b^3 + 9b} * (\frac{b - 3}{b + 3} + \frac{b + 3}{b - 3})$;
3) $(\frac{3c + 1}{3c - 1} - \frac{3c - 1}{3c + 1}) : \frac{2c}{6c + 2}$;
4) $(\frac{1}{a^2 - 4ab + 4b^2} - \frac{1}{4b^2 - a^2}) : \frac{2a}{a^2 - 4b^2}$;
5) $(\frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25} - \frac{a}{a^2 - 25}) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2}$;
6) $(\frac{2x + 1}{x^2 + 6x + 9} - \frac{x - 2}{x^2 + 3x}) : \frac{x^2 + 6}{x^3 - 9x}$.

Решение:

1) $\frac{a + 2}{a^2 - 2a + 1} : \frac{a^2 - 4}{3a - 3} - \frac{3}{a - 2} = \frac{a + 2}{(a - 1)^2} : \frac{(a - 2)(a + 2)}{3(a - 1)} - \frac{3}{a - 2} = \frac{a + 2}{(a - 1)^2} * \frac{3(a - 1)}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{3}{a - 2} = \frac{1}{a - 1} * \frac{3}{a - 2} - \frac{3}{a - 2} = \frac{3}{(a - 1)(a - 2)} - \frac{3}{a - 2} = \frac{3 - 3(a - 1)}{(a - 1)(a - 2)} = \frac{3 - 3a + 3}{(a - 1)(a - 2)} = \frac{6 - 3a}{(a - 1)(a - 2)} = \frac{3(2 - a)}{(a - 1)(a - 2)} = -\frac{3(a - 2)}{(a - 1)(a - 2)} = -\frac{3}{a - 1} = \frac{3}{1 - a}$

2) $\frac{b^2 + 3b}{b^3 + 9b} * (\frac{b - 3}{b + 3} + \frac{b + 3}{b - 3}) = \frac{b(b + 3)}{b(b^2 + 9)} * \frac{(b - 3)^2 + (b + 3)^2}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b + 3}{b^2 + 9} * \frac{b^2 - 6b + 9 + b^2 + 6b + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{1}{b^2 + 9} * \frac{2b^2 + 18}{b - 3} = \frac{1}{b^2 + 9} * \frac{2(b^2 + 9)}{b - 3} = \frac{1}{1} * \frac{2}{b - 3} = \frac{2}{b - 3}$

3) $(\frac{3c + 1}{3c - 1} - \frac{3c - 1}{3c + 1}) : \frac{2c}{6c + 2} = \frac{(3c + 1)^2 - (3c - 1)^2}{(3c - 1)(3c + 1)} : \frac{2c}{2(3c + 1)} = \frac{9c^2 + 6c + 1 - (9c^2 - 6c + 1)}{(3c - 1)(3c + 1)} * \frac{2(3c + 1)}{2c} = \frac{12c}{3c - 1} * \frac{2}{2c} = \frac{6}{3c - 1} * \frac{2}{1} = \frac{12}{3c - 1}$

4) $(\frac{1}{a^2 - 4ab + 4b^2} - \frac{1}{4b^2 - a^2}) : \frac{2a}{a^2 - 4b^2} = (\frac{1}{(a - 2b)^2} - \frac{1}{(2b - a)(2b + a)}) : \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} = (\frac{1}{(2b - a)^2} - \frac{1}{(2b - a)(2b + a)}) : \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{2b + a - (2b - a)}{(2b - a)^2(2b + a)} * \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{2a} = \frac{2b + a - 2b + a}{(a - 2b)^2(a + 2b)} * \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{2a} = \frac{2a}{(a - 2b)^2(a + 2b)} * \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{2a} = \frac{1}{a - 2b} * \frac{1}{1} = \frac{1}{a - 2b}$

5) $(\frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25} - \frac{a}{a^2 - 25}) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = (\frac{a - 8}{(a - 5)^2} - \frac{a}{(a - 5)(a + 5)}) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = \frac{(a - 8)(a + 5) - a(a - 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} * \frac{(a - 5)^2}{a - 20} = \frac{a^2 - 8a + 5a - 40 - a^2 + 5a}{a + 5} * \frac{1}{a - 20} = \frac{2a - 40}{a + 5} * \frac{1}{a - 20} = \frac{2(a - 20)}{a + 5} * \frac{1}{a - 20} = \frac{2}{a + 5}$

6) $(\frac{2x + 1}{x^2 + 6x + 9} - \frac{x - 2}{x^2 + 3x}) : \frac{x^2 + 6}{x^3 - 9x} = (\frac{2x + 1}{(x + 3)^2} - \frac{x - 2}{x(x + 3)}) : \frac{x^2 + 6}{x(x^2 - 9)} = \frac{x(2x + 1) - (x - 2)(x + 3)}{x(x + 3)^2} : \frac{x^2 + 6}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{2x^2 + x - (x^2 - 2x + 3x - 6)}{x(x + 3)^2} * \frac{x(x - 3)(x + 3)}{x^2 + 6} = \frac{2x^2 + x - x^2 + 2x - 3x + 6}{x(x + 3)} * \frac{x(x - 3)}{x^2 + 6} = \frac{x^2 + 6}{x(x + 3)} * \frac{x(x - 3)}{x^2 + 6} = \frac{1}{x + 3} * \frac{x - 3}{1} = \frac{x - 3}{x + 3}$

179. Выполните действия:
1) $\frac{b + 4}{b^2 - 6b + 9} : \frac{b^2 - 16}{2b - 6} - \frac{2}{b - 4}$;
2) $(\frac{m - 1}{m + 1} - \frac{m + 1}{m - 1}) : \frac{4m}{m^2 - 1}$;
3) $\frac{2x}{x^2 - y^2} : (\frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{1}{y^2 - x^2})$;
4) $(\frac{2a - 3}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a - 1}{a^2 - 2a}) : \frac{a^2 - 2}{a^3 - 4a}$.

Решение:

1) $\frac{b + 4}{b^2 - 6b + 9} : \frac{b^2 - 16}{2b - 6} - \frac{2}{b - 4} = \frac{b + 4}{(b - 3)^2} : \frac{(b - 4)(b + 4)}{2(b - 3)} - \frac{2}{b - 4} = \frac{b + 4}{(b - 3)^2} * \frac{2(b - 3)}{(b - 4)(b + 4)} - \frac{2}{b - 4} = \frac{1}{b - 3} * \frac{2}{b - 4} - \frac{2}{b - 4} = \frac{2}{b - 4}(\frac{1}{b - 3} - 1) = \frac{2}{b - 4} * \frac{1 - (b - 3)}{b - 3} = \frac{2}{b - 4} * \frac{1 - b + 3}{b - 3} = \frac{2}{b - 4} * \frac{4 - b}{b - 3} = \frac{2}{b - 4} * \frac{b - 4}{3 - b} = \frac{2}{1} * \frac{1}{3 - b} = \frac{2}{3 - b}$

2) $(\frac{m - 1}{m + 1} - \frac{m + 1}{m - 1}) : \frac{4m}{m^2 - 1} = \frac{(m - 1)^2 - (m + 1)^2}{(m - 1)(m + 1)} : \frac{4m}{m^2 - 1} = \frac{m^2 - 2m + 1 - (m^2 + 2m + 1)}{m^2 - 1} * \frac{m^2 - 1}{4m} = \frac{m^2 - 2m + 1 - m^2 - 2m - 1}{1} * \frac{1}{4m} = \frac{-4m}{4m} = -1$

3) $\frac{2x}{x^2 - y^2} : (\frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{1}{y^2 - x^2}) = \frac{2x}{x^2 - y^2} : (\frac{1}{(x + y)^2} + \frac{1}{x^2 - y^2}) = \frac{2x}{x^2 - y^2} : (\frac{1}{(x + y)^2} + \frac{1}{(x - y)(x + y)}) = \frac{2x}{x^2 - y^2} : \frac{x - y + x + y}{(x + y)^2(x - y)} = \frac{2x}{x^2 - y^2} : \frac{2x}{(x + y)^2(x - y)} = \frac{2x}{(x - y)(x + y)} * \frac{(x + y)^2(x - y)}{2x} = \frac{1}{1} * \frac{x + y}{1} = x + y$

4) $(\frac{2a - 3}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a - 1}{a^2 - 2a}) : \frac{a^2 - 2}{a^3 - 4a} = (\frac{2a - 3}{(a - 2)^2} - \frac{a - 1}{a(a - 2)}) : \frac{a^2 - 2}{a(a^2 - 4)} = \frac{a(2a - 3) - (a - 1)(a - 2)}{a(a - 2)^2} : \frac{a^2 - 2}{a(a - 2)(a + 2)} = \frac{2a^2 - 3a - (a^2 - a - 2a + 2)}{a(a - 2)^2} * \frac{a(a - 2)(a + 2)}{a^2 - 2} = \frac{2a^2 - 3a - a^2 + a + 2a - 2}{a - 2} * \frac{a + 2}{a^2 - 2} = \frac{a^2 - 2}{a - 2} * \frac{a + 2}{a^2 - 2} = \frac{1}{a - 2} * \frac{a + 2}{1} = \frac{a + 2}{a - 2}$

180. Упростите выражение:
1) $(\frac{15}{x - 7} - x - 7) * \frac{7 - x}{x^2 - 16x + 64}$;
2) $(a - \frac{5a - 16}{a - 3}) : (2a - \frac{2a}{a - 3})$;
3) $(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}) * \frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{2}{b - a}$;
4) $(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2}) : \frac{a^2 + a}{(a - 1)^2}$;
5) $(\frac{x + 2y}{x - 2y} - \frac{x - 2y}{x + 2y} - \frac{16y^2}{x^2 - 4y^2}) : \frac{4y}{x + 2y}$;
6) $(\frac{3a - 8}{a^2 - 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} - \frac{4a - 28}{a^3 + 8}) * \frac{a^2 - 4}{4}$.

Решение:

1) $(\frac{15}{x - 7} - x - 7) * \frac{7 - x}{x^2 - 16x + 64} = \frac{15 - x(x - 7) - 7(x - 7))}{x - 7} * \frac{7 - x}{(x - 8)^2} = \frac{15 - x^2 + 7x - 7x + 49}{x - 7} * \frac{7 - x}{(x - 8)^2} = \frac{64 - x^2}{x - 7} * \frac{7 - x}{(x - 8)^2} = \frac{x^2 - 64}{7 - x} * \frac{7 - x}{(x - 8)^2} = \frac{(x - 8)(x + 8)}{1} * \frac{1}{(x - 8)^2} = \frac{x + 8}{x - 8}$

2) $(a - \frac{5a - 16}{a - 3}) : (2a - \frac{2a}{a - 3}) = \frac{a(a - 3) - (5a - 16)}{a - 3} : \frac{2a(a - 3) - 2a}{a - 3} = \frac{a^2 - 3a - 5a + 16}{a - 3} : \frac{2a^2 - 6a - 2a}{a - 3} = \frac{a^2 - 8a + 16}{a - 3} : \frac{2a^2 - 8a}{a - 3} = \frac{(a - 4)^2}{a - 3} : \frac{2a(a - 4)}{a - 3} = \frac{(a - 4)^2}{a - 3} * \frac{a - 3}{2a(a - 4)} = \frac{a - 4}{1} * \frac{1}{2a} = \frac{a - 4}{2a}$

3) $(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}) * \frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{2}{b - a} = \frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab^2} * \frac{ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{2}{b - a} = \frac{(a + b)^2}{ab^2} * \frac{ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{2}{b - a} = \frac{a + b}{b} * \frac{1}{a - b} + \frac{2}{b - a} = \frac{a + b}{b(a - b)} - \frac{2}{a - b} = \frac{a + b - 2b}{b(a - b)} = \frac{a - b}{b(a - b)} = \frac{1}{b}$

4) $(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2}) : \frac{a^2 + a}{(a - 1)^2} = (\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} + \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1}) : \frac{a^2 + a}{(a - 1)^2} = (\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} + \frac{a^2 + 1}{(a - 1)(a + 1)}) : \frac{a^2 + a}{(a - 1)^2} = \frac{a(a + 1) - a(a - 1) + a^2 + 1}{(a - 1)(a + 1)} : \frac{a(a + 1)}{(a - 1)^2} = \frac{a^2 + a - a^2 + a + a^2 + 1}{(a - 1)(a + 1)} : \frac{a(a + 1)}{(a - 1)^2} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)} : \frac{a(a + 1)}{(a - 1)^2} = \frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} * \frac{(a - 1)^2}{a(a + 1)} = \frac{1}{1} * \frac{a - 1}{a} = \frac{a - 1}{a}$

5) $(\frac{x + 2y}{x - 2y} - \frac{x - 2y}{x + 2y} - \frac{16y^2}{x^2 - 4y^2}) : \frac{4y}{x + 2y} = (\frac{x + 2y}{x - 2y} - \frac{x - 2y}{x + 2y} - \frac{16y^2}{(x - 2y)(x + 2y)}) : \frac{4y}{x + 2y} = \frac{(x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 - 16y^2}{(x - 2y)(x + 2y)} * \frac{x + 2y}{4y} = \frac{(x + 2y - (x - 2y))(x + 2y + x - 2y) - 16y^2}{x - 2y} * \frac{1}{4y} = \frac{2x(x + 2y - x + 2y) - 16y^2}{x - 2y} * \frac{1}{4y} = \frac{2x * 4y - 16y^2}{x - 2y} * \frac{1}{4y} = \frac{4y(2x - 4y)}{x - 2y} * \frac{1}{4y} = \frac{2x - 4y}{x - 2y} = \frac{2(x - 2y)}{x - 2y} = 2$

6) $(\frac{3a - 8}{a^2 - 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} - \frac{4a - 28}{a^3 + 8}) * \frac{a^2 - 4}{4} = (\frac{3a - 8}{a^2 - 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} - \frac{4a - 28}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}) * \frac{a^2 - 4}{4} = \frac{(3a - 8)(a + 2) + a^2 - 2a + 4 - (4a - 28)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} * \frac{a^2 - 4}{4} = \frac{3a^2 - 8a + 6a - 16 + a^2 - 2a + 4 - 4a + 28}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} * \frac{a^2 - 4}{4} = \frac{4a^2 - 8a + 16}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} * \frac{(a - 2)(a + 2)}{4} = \frac{4(a^2 - 2a + 4)}{a^2 - 2a + 4} * \frac{a - 2}{4} = \frac{1}{1} * \frac{a - 2}{1} = a - 2$

45

Ответы к странице 45

181. Упростите выражение:
1) $\frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : (\frac{13}{x + 6} - x + 6)$;
2) $(c - \frac{2c - 9}{c + 8}) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c}$;
3) $(\frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x}) : \frac{6}{3 - x}$;
4) $(\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2}) * \frac{y^2 - 4}{18}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : (\frac{13}{x + 6} - x + 6) = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 - x(x + 6) + 6(x + 6)}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 - x^2 - 6x + 6x + 36}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{-x^2 + 49}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} * \frac{x + 6}{49 - x^2} = \frac{(x + 7)^2}{1} * \frac{1}{(7 - x)(7 + x)} = \frac{7 + x}{7 - x}$

2) $(c - \frac{2c - 9}{c + 8}) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c} = \frac{c(c + 8) - (2c - 9)}{c + 8} : \frac{c(c + 3)}{(c - 8)(c + 8)} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 8c - 2c + 9}{c + 8} * \frac{(c - 8)(c + 8)}{c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 6c + 9}{1} * \frac{c - 8}{c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{(c + 3)^2}{1} * \frac{c - 8}{c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{c + 3}{1} * \frac{c - 8}{c} + \frac{24}{c} = \frac{(c + 3)(c - 8)}{c} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 3c - 8c - 24 + 24}{c} = \frac{c^2 - 5c}{c} = \frac{c(c - 5)}{c} = c - 5$

3) $(\frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x}) : \frac{6}{3 - x} = (\frac{36}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} + \frac{3 + x}{x - 3}) * \frac{3 - x}{6} = \frac{36 - (x - 3)^2 + (x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} * (-\frac{x - 3}{6}) = \frac{36 - (x^2 - 6x + 9) + x^2 + 6x + 9}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = \frac{36 - x^2 + 6x - 9 + x^2 + 6x + 9}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = \frac{12x + 36}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = \frac{12(x + 3)}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = -2$

4) $(\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2}) * \frac{y^2 - 4}{18} = (\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} + \frac{1}{y - 2}) * \frac{(y - 2)(y + 2)}{18} = \frac{(2y - 1)(y - 2) + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} * \frac{(y - 2)(y + 2)}{18} = \frac{2y^2 - y - 4y + 2 + 11y + 10 + y^2}{y^2 + 2y + 4} * \frac{y + 2}{18} = \frac{3y^2 + 6y + 12}{y^2 + 2y + 4} * \frac{y + 2}{18} = \frac{3(y^2 + 2y + 4)}{y^2 + 2y + 4} * \frac{y + 2}{18} = \frac{y + 2}{6}$

182. Докажите тождество:
1) $(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4}$;
2) $(\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2}) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$;
3) $(\frac{3}{36 - c^2} + \frac{1}{c^2 - 12c + 36}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$.

Решение:

1) $(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4}$
$(\frac{ab}{a^2 - b^2} - \frac{b}{2a - 2b}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4}$
$(\frac{ab}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{2(a - b)}) : \frac{2b}{(a - b)(a + b)} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{2ab - b(a + b)}{2(a - b)(a + b)} * \frac{(a - b)(a + b)}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{2ab - ab - b^2}{2} * \frac{1}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{ab - b^2}{2} * \frac{1}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{b(a - b)}{2} * \frac{1}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{a - b}{2} * \frac{1}{2} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{a - b}{4} = \frac{a - b}{4}$

2) $(\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2}) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$(\frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} - \frac{a - 2}{a + 2}) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{8a - (a - 2)(2 - a)}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{8a - (2a - 4 - a^2 + 2a)}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{8a - 2a + 4 + a^2 - 2a}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a^2 + 4a + 4}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{(a + 2)^2}{(2 - a)(a + 2)} * \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a + 2}{(2 - a)(a + 2)} * \frac{a}{1} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a(a + 2)}{(2 - a)(a + 2)} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a(a + 2)}{(2 - a)(a + 2)} - \frac{2}{2 - a} = -1$
$\frac{a(a + 2) - 2(a + 2)}{(2 - a)(a + 2)} = -1$
$\frac{(a + 2)(a - 2)}{(2 - a)(a + 2)} = -1$
$-\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = -1$
−1 = −1

3) $(\frac{3}{36 - c^2} + \frac{1}{c^2 - 12c + 36}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$(\frac{3}{(6 - c)(6 + c)} + \frac{1}{(c - 6)^2}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$(\frac{3}{(6 - c)(6 + c)} + \frac{1}{(6 - c)^2}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{3(6 - c) + 6 + c}{(6 - c)^2(6 + c)} * \frac{(6 - c)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{18 - 3c + 6 + c}{6 + c} * \frac{1}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{24 - 2c}{6 + c} * \frac{1}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{2(12 - c)}{6 + c} * \frac{1}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{12 - c}{6 + c} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{12 - c + 3c}{6 + c} = 2$
$\frac{12 + 2c}{6 + c} = 2$
$\frac{2(6 + c)}{6 + c} = 2$
2 = 2

183. Докажите тождество:
1) $(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b}$;
2) $\frac{(a - b)^2}{a} * (\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}) + \frac{3a + b}{a + b} = 3$.

Решение:

1) $(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b}$
$(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} + \frac{a}{ab - b^2}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b}$
$(\frac{b}{a(a - b)} - \frac{2}{a - b} + \frac{a}{b(a - b)}) * \frac{4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{b^2 - 2ab + a^2}{ab(a - b)} * \frac{4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{(b - a)^2}{ab(a - b)} * \frac{4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{(a - b)^2}{ab(a - b)} * \frac{4ab}{(a - b)(a +b)} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{1}{ab} * \frac{4ab}{a + b} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{4}{a + b} = \frac{4}{a + b}$

2) $\frac{(a - b)^2}{a} * (\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}) + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{(a - b)^2}{a} * (\frac{a}{(b - a)^2} + \frac{a}{(b - a)(b + a)}) + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{(b - a)^2}{a} * \frac{a(b + a) + a(b - a)}{(b - a)^2(b + a)} + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{1}{a} * \frac{a(b + a + b - a)}{b + a} + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{2b}{a + b} + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{2b + 3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{3a + 3b}{a + b} = 3$
$\frac{3(a + b)}{a + b} = 3$
3 = 3

184. Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной:
1) $(\frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}) : \frac{3a + 3}{a^2 - a}$;
2) $(\frac{a}{a^2 - 49} - \frac{1}{a + 7}) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} - \frac{2}{a - 7}$?

Решение:

1) $(\frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}) : \frac{3a + 3}{a^2 - a} = (\frac{a + 3}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{1}{a(a + 1)}) : \frac{3(a + 1)}{a(a - 1)} = \frac{a(a + 3) - (a - 1)}{a(a - 1)(a + 1)} * \frac{a(a - 1)}{3(a + 1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a + 1} * \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{a + 1} * \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{(a + 1)^2}{a + 1} * \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{1}{3}$
Ответ: значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) $(\frac{a}{a^2 - 49} - \frac{1}{a + 7}) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} - \frac{2}{a - 7} = (\frac{a}{(a - 7)(a + 7)} - \frac{1}{a + 7}) : \frac{7a}{(a + 7)^2} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a - (a - 7)}{(a - 7)(a + 7)} * \frac{(a + 7)^2}{7a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a - a + 7}{a - 7} * \frac{a + 7}{7a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{7}{a - 7} * \frac{a + 7}{7a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{1}{a - 7} * \frac{a + 7}{a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a + 7}{a(a - 7)} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a + 7 - 2a}{a(a - 7)} = \frac{7 - a}{a(a - 7)} = -\frac{a - 7}{a(a - 7)} = -\frac{1}{a}$
Ответ: значение выражения зависит от значения входящей в него переменной.

185. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной:
1) $\frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} * (\frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3})$;
2) $\frac{3}{2a - 3} - \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} * (\frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9})$.

Решение:

1) $\frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} * (\frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3}) = \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} * \frac{(6x + 1)(x + 3) + (6x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} * \frac{6x^2 + x + 18x + 3 + 6x^2 - x - 18x + 3}{x^2 - 9} = \frac{3}{2(2x^2 + 1)} * \frac{12x^2 + 6}{1} = \frac{3}{2(2x^2 + 1)} * \frac{6(2x^2 + 1)}{1} = \frac{3}{1} * \frac{3}{1} = 9$
Ответ: значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) $\frac{3}{2a - 3} - \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} * (\frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9}) = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a(4a^2 - 9)}{4a^2 + 9} * (\frac{2a}{(2a - 3)^2} - \frac{3}{(2a - 3)(2a + 3)}) = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a(2a - 3)(2a + 3)}{4a^2 + 9} * \frac{2a(2a + 3) - 3(2a - 3)}{(2a - 3)^2(2a + 3)} = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{4a^2 + 9} * \frac{4a^2 + 6a - 6a + 9}{2a - 3} = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{4a^2 + 9} * \frac{4a^2 + 9}{2a - 3} = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{2a - 3} = \frac{3 - 2a}{2a - 3} = -\frac{2a - 3}{2a - 3} = -1$
Ответ: значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

46

Ответы к странице 46

186. Упростите выражение:
1) $\frac{a - \frac{a^2}{a + 1}}{a - \frac{a}{a + 1}}$;
2) $\frac{a - \frac{6a - 9}{a}}{1 - \frac{3}{a}}$;
3) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}}}$;
4) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} + \frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1}$.

Решение:

1) $\frac{a - \frac{a^2}{a + 1}}{a - \frac{a}{a + 1}} = \frac{\frac{a(a + 1) - a^2}{a + 1}}{\frac{a(a + 1) - a}{a + 1}} = \frac{\frac{a^2 + a - a^2}{a + 1}}{\frac{a^2 + a - a}{a + 1}} = \frac{\frac{a}{a + 1}}{\frac{a^2}{a + 1}} = \frac{a}{a + 1} * \frac{a + 1}{a^2} = \frac{1}{1} * \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$

2) $\frac{a - \frac{6a - 9}{a}}{1 - \frac{3}{a}} = \frac{\frac{a^2 - (6a - 9)}{a}}{\frac{a - 3}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 6a + 9}{a}}{\frac{a - 3}{a}} = \frac{\frac{(a - 3)^2}{a}}{\frac{a - 3}{a}} = \frac{(a - 3)^2}{a} * \frac{a}{a - 3} = \frac{a - 3}{1} * \frac{1}{1} = a - 3$

3) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a + 1}{a}}} = \frac{1}{1 - \frac{a}{a + 1}} = \frac{1}{\frac{a + 1 - a}{a + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{a + 1}} = a + 1$

4) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} + \frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1} = \frac{\frac{2a - b + b}{b}}{\frac{2a + b - b}{b}} + \frac{\frac{3a - b}{a}}{\frac{3a - b}{b}} = \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} + \frac{\frac{3a - b}{a}}{\frac{3a - b}{b}} = 1 +\frac{3a - b}{a} * \frac{b}{3a - b} = 1 + \frac{b}{a} = \frac{a + b}{a}$

187. Упростите выражение:
1) $\frac{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a}}$;
2) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a + 1}}}$.

Решение:

1) $\frac{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a}} = \frac{\frac{a(a - b) + b(a + b)}{a(a + b)}}{\frac{a^2 - (a - b)(a + b)}{a(a + b)}} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a^2 - (a^2 - b^2)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{b^2}$

2) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a + 1}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a + 1 - 1}{a + 1}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a}{a + 1}}} = \frac{1}{1 - \frac{a + 1}{a}} = \frac{1}{\frac{a - (a + 1)}{a}} = \frac{1}{\frac{a - a - 1}{a}} = \frac{1}{\frac{-1}{a}} = \frac{a}{-1} = -a$

188. Упростите выражение:
1) $(\frac{a^2}{b^3 - ab^2} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{a + b} + \frac{6a^2}{a^2 - b^2})$;
2) $(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}) : (\frac{1}{1 - 2a})^2 - \frac{8a - 1}{2a^2 + a}$.

Решение:

1) $(\frac{a^2}{b^3 - ab^2} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{a + b} + \frac{6a^2}{a^2 - b^2}) = (\frac{a^2}{b^2(b - a)} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{b + a} - \frac{6a^2}{b^2 - a^2}) = \frac{a^2 + (a - b)(b - a) - b(b - a)}{b^2(b - a)} : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{b + a} - \frac{6a^2}{(b - a)(b + a)}) = \frac{a^2 + ab - b^2 - a^2 + ab - b^2 + ab}{b^2(b - a)} : \frac{(a + b)(a + b) - (b - a)(b - a) - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{3ab - 2b^2}{b^2(b - a)} : \frac{a^2 + 2ab + b^2 - (b^2 - 2ab + a^2) - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{b(3a - 2b)}{b^2(b - a)} : \frac{a^2 + 2ab + b^2 - b^2 + 2ab - a^2 - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{3a - 2b}{b(b - a)} : \frac{4ab - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{3a - 2b}{b(b - a)} : \frac{2a(2b - 3a)}{(b - a)(b + a)} = \frac{3a - 2b}{b(b - a)} * \frac{(b - a)(b + a)}{2a(2b - 3a)} = \frac{3a - 2b}{b} * (-\frac{b + a}{2a(3a - 2b)}) = \frac{1}{b} * (-\frac{b + a}{2a}) = -\frac{a + b}{2ab}$

2) $(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}) : (\frac{1}{1 - 2a})^2 - \frac{8a - 1}{2a^2 + a} = (\frac{a + 2}{a(4a^2 - 4a + 1)} + \frac{2 - a}{8a^3 - 1} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a + 1)}) : (\frac{1}{1 - 2a})^2 - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = (\frac{a + 2}{a(4a^2 - 4a + 1)} + \frac{2 - a}{(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a + 1)}) : \frac{1}{(1 - 2a)^2} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = (\frac{a + 2}{a(4a^2 - 4a + 1)} + \frac{2 - a}{2a - 1} * \frac{1}{a(2a + 1)}) : \frac{1}{(1 - 2a)^2} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = (\frac{a + 2}{a(2a - 1)^2} + \frac{2 - a}{a(2a - 1)(2a + 1)}) : \frac{1}{(1 - 2a)^2} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{(a + 2)(2a + 1) + (2 - a)(2a - 1)}{a(2a - 1)^2(2a + 1)} * \frac{(1 - 2a)^2}{1} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{2a^2 + 4a + a + 2 + 4a - 2a^2 - 2 + a}{a(2a + 1)} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{10a}{a(2a + 1)} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{10a - (8a - 1)}{a(2a + 1)} = \frac{10a - 8a + 1}{a(2a + 1)} = \frac{2a + 1}{a(2a + 1)} = \frac{1}{a}$

189. Упростите выражение:
$(\frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : (1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1})$.

Решение:

$(\frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : (1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1}) = (\frac{18y^2 + 3y}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : \frac{y(3y - 1) - (3y - 1)^2 - y(5 - 6y)}{y(3y - 1)} = \frac{18y^2 + 3y - (3y - 1)(3y + 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} : \frac{3y^2 - y - (9y^2 - 6y + 1) - 5y + 6y^2}{y(3y - 1)} = \frac{18y^2 + 3y - (9y^2 - 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} : \frac{3y^2 - y - 9y^2 + 6y - 1 - 5y + 6y^2}{y(3y - 1)} = \frac{18y^2 + 3y - 9y^2 + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} : \frac{-1}{y(3y - 1)} = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} * (-\frac{y(3y - 1)}{1}) = \frac{1}{1} * (-\frac{y}{1}) = -y$

190. Докажите тождество:
1) $\frac{16}{(a - 2)^4} : (\frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a^2 - 4)} + \frac{1}{(a + 2)^2}) - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$;
2) $\frac{a + 11}{a + 9} - (\frac{a + 5}{a^2 - 81} + \frac{a + 7}{a^2 - 18a + 81}) : (\frac{a + 3}{a - 9})^2 = 1$.

Решение:

1) $\frac{16}{(a - 2)^4} : (\frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a^2 - 4)} + \frac{1}{(a + 2)^2}) - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : (\frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a - 2)(a + 2)} + \frac{1}{(a + 2)^2}) - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{(a + 2)^2 - 2(a - 2)(a + 2) + (a - 2)^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{(a + 2 - (a - 2))^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{(a + 2 - a + 2)^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{4^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} * \frac{(a - 2)^2(a + 2)^2}{16} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{1}{(a - 2)^2} * \frac{(a + 2)^2}{1} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{(a + 2)^2 - 8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{a^2 + 4a + 4 - 8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{a^2 - 4a + 4}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^2} = 1$
1 = 1

2) $\frac{a + 11}{a + 9} - (\frac{a + 5}{a^2 - 81} + \frac{a + 7}{a^2 - 18a + 81}) : (\frac{a + 3}{a - 9})^2 = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - (\frac{a + 5}{(a - 9)(a + 9)} + \frac{a + 7}{(a - 9)^2}) : \frac{(a + 3)^2}{(a - 9)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{(a + 5)(a - 9) + (a + 7)(a + 9)}{(a - 9)^2(a + 9)} * \frac{(a - 9)^2}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{a^2 + 5a - 9a - 45 + a^2 + 7a + 9a + 63}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2a^2 + 12a + 18}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2(a^2 + 6a + 9)}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2(a + 3)^2}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2}{a + 9} = 1$
$\frac{a + 11 - 2}{a + 9} = 1$
$\frac{a + 9}{a + 9} = 1$
1 = 1

191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение
$\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + (\frac{b + 3}{b - 3})^2 * (\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b})$
принимает положительные значения.

Решение:

$\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + (\frac{b + 3}{b - 3})^2 * (\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b}) = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * (\frac{1}{b - 3} - \frac{6}{b^2 - 9} - \frac{3}{b(b + 3)}) = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * (\frac{1}{b - 3} - \frac{6}{(b - 3)(b + 3)} - \frac{3}{b(b + 3)}) = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{b(b + 3) - 6b - 3(b - 3)}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{b^2 + 3b - 6b - 3b + 9}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{b^2 - 6b + 9}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{(b - 3)^2}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{b + 3}{1} * \frac{1}{b(b - 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{b + 3}{b(b - 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} - \frac{b + 3}{b(3 - b)} = \frac{b^2 + 9 - b(b + 3)}{b^2(3 - b)} = \frac{b^2 + 9 - b^2 - 3b}{b^2(3 - b)} = \frac{9 - 3b}{b^2(3 - b)} = \frac{3(3 - b)}{b^2(3 - b)} = \frac{3}{b^2}$
Ответ: выражение принимает положительные значения при любом b, так как 3 > 0 и $b^2 > 0$, так как квадрат любого числа больше или равен нулю. А частное двух положительных чисел есть число положительное.

192. Подставьте вместо x данное выражение и упростите полученное выражение:
1) $\frac{x - a}{x - b}$, если $x = \frac{ab}{a + b}$;
2) $\frac{a - bx}{b + ax}$, если $x = \frac{a - b}{a + b}$.

Решение:

1) $\frac{x - a}{x - b}$, если $x = \frac{ab}{a + b}$:
$\frac{\frac{ab}{a + b} - a}{\frac{ab}{a + b} - b} = \frac{\frac{ab - a(a + b)}{a + b}}{\frac{ab - b(a + b)}{a + b}} = \frac{ab - a(a + b)}{ab - b(a + b)} = \frac{ab - a^2 - ab}{ab - ab - b^2} = \frac{-a^2}{-b^2} = \frac{a^2}{b^2}$

2) $\frac{a - bx}{b + ax}$, если $x = \frac{a - b}{a + b}$:
$\frac{a - b * \frac{a - b}{a + b}}{b + a * \frac{a - b}{a + b}} = \frac{a - \frac{b(a - b)}{a + b}}{b + \frac{a(a - b)}{a + b}} = \frac{\frac{a(a + b) - b(a - b)}{a + b}}{\frac{b(a + b) + a(a - b)}{a + b}} = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{b(a + b) + a(a - b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{ab + b^2 + a^2 - ab} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$

47

Ответы к странице 47

193. Решите уравнение:
1) (3x − 1)(4x + 5) − (2x + 3)(6x + 1) = 4;
2) $8x(2x + 7) - (4x + 3)^2 = 15$.

Решение:

1) (3x − 1)(4x + 5) − (2x + 3)(6x + 1) = 4
$12x^2 - 4x + 15x - 5 - (12x^2 + 18x + 2x + 3) = 4$
$12x^2 + 11x - 5 - 12x^2 - 18x - 2x - 3 = 4$
−9x − 8 = 4
−9x = 4 + 8
−9x = 12
$x = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

2) $8x(2x + 7) - (4x + 3)^2 = 15$
$16x^2 + 56x - (16x^2 + 24x + 9) = 15$
$16x^2 + 56x - 16x^2 - 24x - 9 = 15$
32x = 15 + 9
32x = 24
$x = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

194. Докажите, что значение выражения $2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$ делится нацело на 11.

Решение:

$2^{14} - 2^{12} - 2^{10} = 2^{10}(2^4 - 2^2 - 1) = 2^{10}(16 - 4 - 1) = 2^{10} * 11$ − так как один из множителей в произведении делится на 11, то и все выражение делится на 11.

195. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения $3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Решение:

$3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^n - 2^n = (3^{n + 2} + 3^n) - (2^{n + 2} + 2^n) = 3^n(3^2 + 1) - 2^n(2^2 + 1) = 3^n(9 + 1) - 2^n(4 + 1) = 3^n * 10 - 2^n * 5 = 10(3^n - 2^n * \frac{1}{2}) = 10(3^n - 2^{n - 1})$ − так как один из множителей в произведении делится на 10, то и все выражение делится на 10.

196. На первом складе было картофеля в 3 раза больше, чем на втором. Когда с первого склада вывезли 400 кг картофеля, то на нем осталось картофеля в 2 раза меньше, чем было на втором. Сколько килограммов картофеля было на первом складе первоначально?

Решение:

Пусть x (кг) − картофеля было на втором складе, тогда:
                   Было    Стало
Склад №1   3x кг    3x − 400 кг
Склад №2   x кг      x + 400 кг
Так как, на первом складе осталось картофеля в 2 раза меньше, чем было на втором, составим уравнение:
2(3x − 400) = x
6x − 800 = x
6x − x = 800
5x = 800
x = 160 (кг) − картофеля было на втором складе;
3x = 160 * 3 = 480 (кг) − картофеля было на первом складе.
Ответ: 480 кг

197. Кастрюля стоила на 510 р. меньше, чем сковорода. Во время распродажи кастрюля подешевела на 10%, а сковорода − на 20%, после чего кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р. Какова первоначальная цена кастрюли и какова − сковороды?

Решение:

Пусть x (рублей) − стоила кастрюля, тогда:

Стоили (руб.) Стали стоить (руб.)
Кастрюля x x − 0,1x
Сковорода x + 510 x + 510 − 0,2(x + 510)
Так как, во время распродажи кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р, можно составить уравнение:
x − 0,1x + x + 510 − 0,2(x + 510) = 1156
1,9x + 510 − 0,2x − 102 = 1156
1,7x + 408 = 1156
1,7x = 1156 − 408
1,7x = 748
17x = 7480
x = 440 (рублей) − первоначальная стоимость кастрюли;
x + 510 = 440 + 510 = 950 (рублей) − первоначальная стоимость сковороды.
Ответ: 440 рублей стоила кастрюля и 950 рублей стоила сковорода.

198. Из пункта A в пункт B автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а возвращался из пункта B в пункт A со скоростью 70 км/ч другой дорогой, которая на 15 км короче первой. На обратный путь автомобиль затратил на 30 мин меньше, чем на путь из пункта A в пункт B. За какое время он доехал из пункта A в пункт B?

Решение:

30 (мин) = $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ (ч) − меньше затратил автомобиль на обратный путь.
Пусть x (ч) − ехал автомобиль из пункта A в пункт B, тогда:

v (км/ч) t (ч) S (км)
Из A в B 60 x 60x
Из B в A 70 $x - \frac{1}{2}$ $70(x - \frac{1}{2})$
Зная, что обратная дорога на 15 км короче первой, можно составить уравнение:
$60x - 70(x - \frac{1}{2}) = 15$
60x − 70x + 35 = 15
−10x = 15 − 35
−10x = −20
x = 2 (ч) − ехал автомобиль из пункта A в пункт B.
Ответ: за 2 часа

199. Рабочий должен был изготовлять ежедневно 10 деталей. Однако он изготовлял ежедневно 12 деталей, и уже за два дня до окончания срока работы ему осталось изготовить 6 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Решение:

Пусть x (дней) − должен был работать рабочий, тогда:

деталей в день деталей всего кол−во дней
по плану 10 10x x
по факту 12 12(x − 2) x − 2
Зная, что за два дня до окончания срока работы рабочему осталось изготовить 6 деталей, можно составить уравнение:
10x − 12(x − 2) = 6
10x − 12x + 24 = 6
10x − 12x = 6 − 24
−2x = −18
x = 9 (дней) − должен был работать рабочий.
10x = 10 * 9 = 90 (деталей) − должен был изготовить рабочий.
Ответ: 90 деталей

200. (Из русского фольклора). За 30 монет купили 30 птиц. Сколько купили птиц каждого вида, если за трех воробьев платили одну монету, за двух голубей − тоже одну монету, а за одну горлицу − две монеты, при этом купили хотя бы одну птичку каждого вида?

Решение:

Пусть купили:
x (воробьев);
y (горлиц).
Тогда:
30 − x − y (горлиц) − купили;
$\frac{x}{3}$ (монет) − заплатили за воробьев;
$\frac{y}{2}$ (монет) − заплатили за голубей;
2(30 − x − y) (монет) − заплатили за горлиц.
Зная, что за всех птиц заплатили 30 монет, можно составить уравнение:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2(30 - x - y) = 30$|* 6
2x + 3y + 12(30 − x − y) = 180
2x + 3y + 360 − 12x − 12y = 180
−10x − 9y = 180 − 360
−10x − 9y = −180
10x + 9y = 180
10x = 180 − 9y
$x = 18 - \frac{9}{10}y$
Зная, что x и y − натуральные числа, значит y должен делиться на 10, тогда:
при y = 10:
$x = 18 - \frac{9}{10} * 10 = 18 - 9 = 9$ (воробьев) − купили;
при y = 20:
$x = 18 - \frac{9}{10} * 20 = 18 - 9 * 2 = 18 - 18 = 0$ (воробьев) − купили, чего быть не может по условию задачи. Значит купили:
y = 10 (голубей);
x = 9 (воробьев);
30 − x − y = 30 − 9 − 10 = 11 (горлиц) − купили.
Ответ: 9 воробьев, 10 голубей и 11 горлиц.

201. Решите уравнение:
1) $\frac{2x + 7}{4} = \frac{x + 5}{3}$;
2) $x^2 + 6x = 0$;
3) $0,21x - 0,7x^2 = 0$;
4) $x^2 - 16 = 0$;
5) $25x^2 - 36 = 0$;
6) $x^2 + 4 = 0$.

Решение:

1) $\frac{2x + 7}{4} = \frac{x + 5}{3}|*12$
3(2x + 7) = 4(x + 5)
6x + 21 = 4x + 20
6x − 4x = 20 − 21
2x = −1
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$

2) $x^2 + 6x = 0$
x(x + 6) = 0
x = 0
или
x + 6 = 0
x = −6
Ответ: x = 0; x = −6.

3) $0,21x - 0,7x^2 = 0$
0,7x(0,3 − x) = 0
0,7x = 0
x = 0
или
0,3 − x = 0
x = 0,3
Ответ: x = 0; x = 0,3.

4) $x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
x = ±4
Ответ: x = ±4

5) $25x^2 - 36 = 0$
$25x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{25}$
$x^2 = ±\frac{6}{5} = ±1\frac{1}{5}$
Ответ: $x = ±1\frac{1}{5}$

6) $x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
Ответ: нет корней

48

Ответы к странице 48

202. При каком значении переменной не имеет смысла выражение:
1) $\frac{6}{3x - 9}$;
2) $\frac{x^2 + 1x}{x^2 - 1}$;
3) $\frac{x + 4}{3x^2 + 12x}$;
4) $\frac{8}{x + 7} + \frac{4}{x - 2}$;
5) $\frac{x}{x^2 - 10x + 25}$;
6) $\frac{x + 2}{(x + 10)(x - 12)}$?

Решение:

1) $\frac{6}{3x - 9}$
3x − 9 ≠ 0
3x ≠ 9
x ≠ 3
Ответ: при x = 3 выражение не имеет смысла.

2) $\frac{x^2 + 1x}{x^2 - 1}$
$x^2 - 1 ≠ 0$
$x^2 ≠ 1$
x ≠ ±1
Ответ: при x = ±1 выражение не имеет смысла.

3) $\frac{x + 4}{3x^2 + 12x}$
$3x^2 + 12x ≠ 0$
3x(x + 4) ≠ 0
3x ≠ 0
x ≠ 0
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
Ответ: при x = −4 и x = 0 выражение не имеет смысла.

4) $\frac{8}{x + 7} + \frac{4}{x - 2}$
x + 7 ≠ 0
x ≠ −7
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
Ответ: при x = −7 и x = 2 выражение не имеет смысла.

5) $\frac{x}{x^2 - 10x + 25}$
$x^2 - 10x + 25 ≠ 0$
$(x - 5)^2 ≠ 0$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
Ответ: при x = 5 выражение не имеет смысла.

6) $\frac{x + 2}{(x + 10)(x - 12)}$
(x + 10)(x − 12) ≠ 0
x + 10 ≠ 0
x ≠ −10
и
x − 12 ≠ 0
x ≠ 12
Ответ: при x = −10 и x = 12 выражение не имеет смысла.

203. При каком значении переменной значение дроби равно нулю:
1) $\frac{x - 8}{9}$;
2) $\frac{x - 2}{x + 2}$;
3) $\frac{4}{x - 5}$?

Решение:

1) $\frac{x - 8}{9} = 0$
x − 8 = 0
x = 8
Ответ: при x = 8 значение дроби равно нулю.

2) $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: при x = 2 значение дроби равно нулю.

3) $\frac{4}{x - 5}$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
4 ≠ 0
Ответ: нет таких значений переменной при которой значение дроби равно нулю.

204. На доске написаны многочлены x + 2 и 2x + 1. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов. Может ли на доске появится многочлен $2x^3 + x + 5$?

Решение:

В каждом из написанных многочленов х в первой степени. При их сложении или вычитании не может появиться х в какой-то другой степени.
Например, сумма: (x + 2) + (2x +1) = x + 2 + 2x + 1 = 3x + 3
Разность: (x + 2) − (2x +1) = x + 2 − 2x − 1 = −x + 1
При умножении многочленов х умножается на х, значит может появиться х2, но никак не х3
Например $(x + 2)(2x + 1) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2$
Ответ: на доске не может появится $2x^3 + x + 5$

49-50

Ответы к странице 49-50

Задание №2 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Представьте в виде дроби выражение $\frac{12m^4}{n^{10}} * \frac{n^5}{36m^8}$.
А) $\frac{1}{3m^2n^2}$
Б) $\frac{1}{3m^4n^5}$
В) $\frac{3}{m^2n^2}$
Г) $\frac{3}{m^4n^5}$

Решение:

$\frac{12m^4}{n^{10}} * \frac{n^5}{36m^8} = \frac{1}{n^{5}} * \frac{1}{3m^4} = \frac{1}{3m^4n^5}$
Ответ: Б) $\frac{1}{3m^4n^5}$

2. Выполните умножение:
$(a + 5b) * \frac{8}{a^2 - 25b^2}$.
А) 8(a − 5b)
Б) 8(a + 5b)
В) $\frac{8}{a + 5b}$
Г) $\frac{8}{a - 5b}$

Решение:

$(a + 5b) * \frac{8}{a^2 - 25b^2} = (a + 5b) * \frac{8}{(a - 5b)(a + 5b)} = \frac{8}{a - 5b}$
Ответ: Г) $\frac{8}{a - 5b}$

3. Упростите выражение:
$\frac{b^2 - 6b + 9}{b - 7} * \frac{b - 7}{b - 3}$.
А) b + 3
Б) b − 3
В) $\frac{1}{b - 3}$
Г) $\frac{1}{b + 3}$

Решение:

$\frac{b^2 - 6b + 9}{b - 7} * \frac{b - 7}{b - 3} = \frac{(b - 3)^2}{b - 7} * \frac{b - 7}{b - 3} = \frac{b - 3}{1} * \frac{1}{1} = b - 3$
Ответ: Б) b − 3

4. Выполните деление:
$\frac{5a^6}{b^8} : (10a^3b^2)$.
А) $\frac{2a^9}{b^6}$
Б) $\frac{b^6}{2a^9}$
В) $\frac{2b^{10}}{a^3}$
Г) $\frac{a^3}{2b^{10}}$

Решение:

$\frac{5a^6}{b^8} : (10a^3b^2) = \frac{5a^6}{b^8} * \frac{1}{10a^3b^2} = \frac{a^3}{b^8} * \frac{1}{2b^2} = \frac{a^3}{2b^{10}}$
Ответ: Г) $\frac{a^3}{2b^{10}}$

5. Упростите выражение:
$\frac{3x + 9}{x^2 - 2x} : \frac{x + 3}{4x - 8}$.
А) $\frac{12}{x}$
Б) $\frac{x}{12}$
В) 12
Г) x

Решение:

$\frac{3x + 9}{x^2 - 2x} : \frac{x + 3}{4x - 8} = \frac{3(x + 3)}{x(x - 2)} : \frac{x + 3}{4(x - 2)} = \frac{3(x + 3)}{x(x - 2)} * \frac{4(x - 2)}{x + 3} = \frac{3}{x} * \frac{4}{1} = \frac{12}{x}$
Ответ: А) $\frac{12}{x}$

6. Представьте в виде дроби выражение
$\frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{64n^2 + 16n + 1}$.
А) $\frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)}$
Б) $\frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 - 3n + 9)}$
В) $\frac{8n - 1}{(8n + 1)(n^2 + 3n + 9)}$
Г) $\frac{8n - 1}{(8n + 1)(n^2 - 3n + 9)}$

Решение:

$\frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{64n^2 + 16n + 1} = \frac{n(n - 3)}{(8n - 1)(8n + 1)} : \frac{n(n^3 - 27)}{(8n + 1)^2} = \frac{n(n - 3)}{(8n - 1)(8n + 1)} : \frac{n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)}{(8n + 1)^2} = \frac{n(n - 3)}{(8n - 1)(8n + 1)} * \frac{(8n + 1)^2}{n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)} = \frac{1}{8n - 1} * \frac{8n + 1}{n^2 + 3n + 9} = \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)}$
Ответ: А) $\frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)}$

7. Выполните возведение в степень: $(-\frac{2a^2}{b^3})^4$.
А) $\frac{8a^8}{b^{12}}$
Б) $-\frac{8a^8}{b^{12}}$
В) $\frac{16a^8}{b^{12}}$
Г) $-\frac{16a^8}{b^{12}}$

Решение:

$(-\frac{2a^2}{b^3})^4 = \frac{(2a^2)^4}{(b^3)^4} = \frac{2^4a^{2 * 4}}{b^{3 * 4}} = \frac{16a^{8}}{b^{12}}$
Ответ: В) $\frac{16a^8}{b^{12}}$

8. Упростите выражение $(\frac{1}{a - 6} - \frac{1}{a + 6}) : \frac{2}{a + 6}$.
А) $\frac{6}{a + 6}$
Б) $\frac{6}{a - 6}$
В) 6(a − 6)
Г) 6(a + 6)

Решение:

$(\frac{1}{a - 6} - \frac{1}{a + 6}) : \frac{2}{a + 6} = \frac{a + 6 - (a - 6)}{(a - 6)(a + 6)} * \frac{a + 6}{2} = \frac{a + 6 - a + 6}{a - 6} * \frac{1}{2} = \frac{12}{a - 6} * \frac{1}{2} = \frac{6}{a - 6} * \frac{1}{2} = \frac{6}{a - 6}$
Ответ: Б) $\frac{6}{a - 6}$

9. Какому числу при всех допустимых значениях a равно значение выражения $(\frac{30a}{9a^2 - 25} + \frac{5}{5 - 3a}) : (\frac{3a - 5}{3a + 5} - 1)$?
А) $\frac{1}{2}$
Б) 2
В) $-\frac{1}{2}$
Г) −2

Решение:

$(\frac{30a}{9a^2 - 25} + \frac{5}{5 - 3a}) : (\frac{3a - 5}{3a+ 5} - 1) = (\frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{5}{3a - 5}) : \frac{3a - 5 - (3a + 5)}{3a + 5} = \frac{30a - 5(3a + 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} : \frac{3a - 5 - 3a - 5}{3a + 5} = \frac{30a - 15a - 25}{(3a - 5)(3a + 5)} : \frac{-10}{3a + 5} = \frac{15a - 25}{(3a - 5)(3a + 5)} * (-\frac{3a + 5}{10}) = \frac{5(3a - 5)}{3a - 5} * (-\frac{1}{10}) = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$
Ответ: В) $-\frac{1}{2}$

10. Чему равно значение выражения $\frac{a^2 - 4ab}{b^2}$, если 3a − 5b = 0,2(2a + b)?
А) 4
Б) −4
В) 3
Г) −3

Решение:

3a − 5b = 0,2(2a + b)
3a − 5b = 0,4a + 0,2b
3a − 0,4a = 5b + 0,2b
2,6a = 5,2b
a = 2b
Тогда:
$\frac{a^2 - 4ab}{b^2} = \frac{(2b)^2 - 4 * 2b * b}{b^2} = \frac{4b^2 - 8b^2}{b^2} = \frac{-4b^2}{b^2} = -4$
Ответ: Б) −4

11. Известно, что $x + \frac{1}{x} = 6$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$
А) 36
Б) 38
В) 34
Г) 35

Решение:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + (\frac{1}{x})^2 = (x^2 + 2x * \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) - 2x * \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
$x + \frac{1}{x} = 6$, тогда:
$(x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$
Ответ: В) 34

12. Упростите выражение $\frac{\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2}}{\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}}$.
А) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$
Б) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$
В) $\frac{a^2 + b^2}{ab^2(a^2 - b^2)}$
Г) $\frac{ab(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$

Решение:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2}}{\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}} = \frac{\frac{b^2 + a^2}{ab^2}}{\frac{a^2 - b^2}{ab^2}} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$
Ответ: А) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

55

Ответы к странице 55

§7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Вопросы

1. Какие два уравнения называют равносильными?

Ответ:

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

2. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, ему равносильное?

Ответ:

Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Если какое−либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и тоже отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

3. Какое уравнение называют рациональным?

Ответ:

Уравнение, левая и правая часть которого являются рациональными выражениями, называют рациональными.

4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю.

Ответ:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

5. Опишите алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где A и B − многочлены.

Ответ:

Чтобы решить уравнение вида $\frac{A}{B} = 0$, нужно потребовать одновременного выполнения двух условий: A = 0 и B ≠ 0. Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким алгоритмом:
• решить уравнение A = 0;
• проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию B ≠ 0;
• корни, удовлетворяющие условию B ≠ 0, включить в ответ.

Упражнения

205. Истинным или ложным является высказывание:
1) уравнения x + 2 = 10 и 3x = 24 равносильны;
2) уравнения −2x = −6 и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;
3) уравнения x − 5 = 0 и x(x − 5) = 0 равносильны;
4) уравнения (3x − 12)(x + 2) = 0 и (0,4 − 0,1x)(7x + 14) = 0 равносильны;
5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;
6) уравнения x + 1 = 1 + x и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?

Решение:

1) x + 2 = 10
x = 10 − 2
x = 8

3x = 24
x = 8
Ответ: уравнения равносильны

2) −2x = −6
x = 3

$\frac{1}{3}x = 1$
x = 1 * 3
x = 3
Ответ: уравнения равносильны

3) x − 5 = 0
x = 5

x(x − 5) = 0
x = 0
Ответ: уравнения не равносильны

4) (3x − 12)(x + 2) = 0
3x − 12 = 0
3x = 12
x = 4
и
x + 2 = 0
x = −2

(0,4 − 0,1x)(7x + 14) = 0
0,4 − 0,1x = 0
−0,1x = −0,4
x = 4
и
7x + 14 = 0
7x = −14
x = −2
Ответ: уравнения равносильны

5) $\frac{6}{x} = 0$
x ≠ 0
6 ≠ 0
нет корней

$x^2 = -4$
нет корней
Ответ: уравнения равносильны

6) x + 1 = 1 + x
x − x = 1 − 1
0 = 0
x − любое число

$\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$
1 = 1
x − любое число
Ответ: уравнения равносильны.

56

Ответы к странице 56

206. Составьте уравнение, равносильное данному:
1) 2x − 3 = 4;
2) |x| = 1;
3) x + 6 = x − 2.

Решение:

1) 2x − 3 = 4
Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Равносильное уравнение:
(2x − 3) + 5 = 4 + 5
2x − 3 + 5 = 9
2x + 2 = 9

Проверка:
2x − 3 = 4
2x = 4 + 3
2x = 7
x = 3,5

2x + 2 = 9
2x = 9 − 2
2x = 7
x = 3,5

2) |x| = 1
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
|x| : 5 = 1 : 5
$\frac{|x|}{5} = \frac{1}{5}$

Проверка:
|x| = 1
x = ±1

$\frac{|x|}{5} = \frac{1}{5} |*5$
|x| = 1
x = ±1

3) x + 6 = x − 2
Если какое−либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
x = x − 2 − 6
x = x − 8

Проверка:
x + 6 = x − 2
x − x = −2 − 6
0 ≠ −8 − нет корней

x = x − 8
x − x = −8
0 ≠ −8 − нет корней

207. Решите уравнение:
1) $\frac{x - 6}{x - 4} = 0$;
2) $\frac{x - 2}{x^2 - 4} = 0$;
3) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$;
4) $\frac{x - 2}{x - 2} = 1$;
5) $\frac{2x^2 + 18}{x^2 + 9} = 2$;
6) $\frac{x}{x - 5} + \frac{2x - 9}{x - 5} = 0$;
7) $\frac{5x - 7}{x + 1} - \frac{x - 5}{x + 1} = 0$;
8) $\frac{2x + 16}{x + 3} - \frac{1 - 3x}{x + 3} = 0$;
9) $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = 0$;
10) $\frac{3}{x - 2} = \frac{4}{x + 3}$;
11) $\frac{x}{x - 6} = 2$;
12) $\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{2x + 1}{2x - 1}$;
13) $\frac{x + 8}{x} - \frac{6}{x - 2} = 0$;
14) $\frac{2x}{x - 5} - \frac{x^2 + 15x}{x^2 - 25} = 0$;
15) $3 - \frac{2x^2 - 5x}{x^2 - 3x} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x - 6}{x - 4} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 6 = 0 &\\ x - 4 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 6 &\\ x ≠ 4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 6

2) $\frac{x - 2}{x^2 - 4} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 2 = 0 &\\ x^2 - 4 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 2 &\\ x^2 ≠ 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 2 &\\ x ≠ ±2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: нет корней

3) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 - 4 = 0 &\\ x - 2 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 = 4 &\\ x ≠ 2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = ±2 &\\ x ≠ 2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −2

4) $\frac{x - 2}{x - 2} = 1$
1 = 1
$\begin{equation*} \begin{cases} 1 = 1 &\\ x - 2 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 1 = 1 &\\ x ≠ 2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x − любое число, кроме 2.

5) $\frac{2x^2 + 18}{x^2 + 9} = 2$
$\frac{2(x^2 + 9)}{x^2 + 9} = 2$
2 = 2
$\begin{equation*} \begin{cases} 2 = 2 &\\ x^2 + 9 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2 = 2 &\\ x^2 ≠ -9 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x − любое число.

6) $\frac{x}{x - 5} + \frac{2x - 9}{x - 5} = 0$
$\frac{x + 2x - 9}{x - 5} = 0$
$\frac{3x - 9}{x - 5} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x - 9 = 0 &\\ x - 5 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x = 9 &\\ x ≠ 5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 3 &\\ x ≠ 5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 3

7) $\frac{5x - 7}{x + 1} - \frac{x - 5}{x + 1} = 0$
$\frac{5x - 7 - (x - 5)}{x + 1} = 0$
$\frac{5x - 7 - x + 5}{x + 1} = 0$
$\frac{4x - 2}{x + 1} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 4x - 2 = 0 &\\ x + 1 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 4x = 2 &\\ x ≠ -1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 0,5 &\\ x ≠ -1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 0,5

8) $\frac{2x + 16}{x + 3} - \frac{1 - 3x}{x + 3} = 0$
$\frac{2x + 16 - (1 - 3x)}{x + 3} = 0$
$\frac{2x + 16 - 1 + 3x}{x + 3} = 0$
$\frac{5x + 15}{x + 3} = 0$
$\frac{5(x + 3)}{x + 3} = 0$
5 ≠ 0
Ответ: нет корней

9) $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = 0$
$\frac{2(x + 1) + x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{2x + 2 + x - 1}{x^2 - 1} = 0$
$\frac{3x + 1}{x^2 - 1} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x + 1 = 0 &\\ x^2 - 1 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x = -1 &\\ x^2 ≠ 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = -\frac{1}{3} &\\ x ≠ ±1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$

10) $\frac{3}{x - 2} = \frac{4}{x + 3}$
$\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 3} = 0$
$\frac{3(x + 3) - 4(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = 0$
$\frac{3x + 9 - 4x + 8}{(x - 2)(x + 3)} = 0$
$\frac{17 - x}{(x - 2)(x + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 2 ≠ 0 &\\ x + 3 ≠ 0 &\\ 17 - x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -3 &\\ x = 17 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 17

11) $\frac{x}{x - 6} = 2$
$\frac{x}{x - 6} - 2 = 0$
$\frac{x - 2(x - 6)}{x - 6} = 0$
$\frac{x - 2x + 12}{x - 6} = 0$
$\frac{12 - x}{x - 6} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 12 - x = 0 &\\ x - 6 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 12 &\\ x ≠ 6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 12

12) $\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{2x + 1}{2x - 1}$
$\frac{x - 4}{x - 3} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = 0$
$\frac{(x - 4)(2x - 1) - (2x + 1)(x - 3)}{(x - 3)(2x - 1)} = 0$
$\frac{2x^2 - 8x - x + 4 - (2x^2 + x - 6x - 3)}{(x - 3)(2x - 1)} = 0$
$\frac{2x^2 - 9x + 4 - (2x^2 - 5x - 3)}{(x - 3)(2x - 1)} = 0$
$\frac{2x^2 - 9x + 4 - 2x^2 + 5x + 3}{(x - 3)(2x - 1)} = 0$
$\frac{7 - 4x}{(x - 3)(2x - 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 3 ≠ 0 &\\ 2x - 1 ≠ 0 &\\ 7 - 4x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 3 &\\ 2x ≠ 1 &\\ 4x = 7 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 3 &\\ x ≠ \frac{1}{2} &\\ x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $x = 1\frac{3}{4}$

13) $\frac{x + 8}{x} - \frac{6}{x - 2} = 0$
$\frac{(x + 8)(x - 2) - 6x}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{x^2 + 8x - 2x - 16 - 6x}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{x^2 - 16}{x(x - 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 2 ≠ 0 &\\ x^2 - 16 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 2 &\\ x^2 = 16 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 2 &\\ x = ±4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = ±4

14) $\frac{2x}{x - 5} - \frac{x^2 + 15x}{x^2 - 25} = 0$
$\frac{2x}{x - 5} - \frac{x^2 + 15x}{(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2x(x + 5) - (x^2 + 15x)}{(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2x^2 + 10x - x^2 - 15x}{(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{x^2 - 5x}{(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{x(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{x}{x + 5} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 0 &\\ x + 5 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 0 &\\ x ≠ -5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 0

15) $3 - \frac{2x^2 - 5x}{x^2 - 3x} = 0$
$\frac{3(x^2 - 3x) - (2x^2 - 5x)}{x^2 - 3x} = 0$
$\frac{3x^2 - 9x - 2x^2 + 5x}{x^2 - 3x} = 0$
$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 3x} = 0$
$\frac{x(x - 4)}{x(x - 3)} = 0$
$\frac{x - 4}{x - 3} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 4 = 0 &\\ x - 3 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 4 &\\ x ≠ 3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 4

208. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0$;
2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = 0$;
3) $\frac{x + 7}{x - 7} - \frac{2x - 3}{x - 7} = 0$;
4) $\frac{10 - 3x}{x + 8} + \frac{5x + 6}{x + 8} = 0$;
5) $\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 8}{x} = 0$;
6) $\frac{2x - 4}{x} - \frac{3x + 1}{x} + \frac{x + 5}{x} = 0$;
7) $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x^2 + 6x} = 0$;
8) $\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x = 1$;
9) $\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} = 1$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0$
$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = 0$
$\frac{x + 1}{x - 1} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 1 = 0 &\\ x - 1 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = -1 &\\ x ≠ 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −1

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = 0$
$\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{x - 1}{x + 1} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 1 = 0 &\\ x^2 - 1 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 1 &\\ x^2 ≠ 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 1 &\\ x ≠ ±1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: нет корней

3) $\frac{x + 7}{x - 7} - \frac{2x - 3}{x - 7} = 0$
$\frac{x + 7 - (2x - 3)}{x - 7} = 0$
$\frac{x + 7 - 2x + 3}{x - 7} = 0$
$\frac{10 - x}{x - 7} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 10 - x = 0 &\\ x - 7 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 10 &\\ x ≠ 7 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 10

4) $\frac{10 - 3x}{x + 8} + \frac{5x + 6}{x + 8} = 0$
$\frac{10 - 3x + 5x + 6}{x + 8} = 0$
$\frac{2x + 16}{x + 8} = 0$
$\frac{2(x + 8)}{x + 8} = 0$
2 ≠ 0
Ответ: нет корней

5) $\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 8}{x} = 0$
$\frac{x(x - 6) - (x - 8)(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{x^2 - 6x - (x^2 - 8x - 2x + 16)}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{x^2 - 6x - x^2 + 8x + 2x - 16}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{4x - 16}{x(x - 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 4x - 16 = 0 &\\ x - 2 ≠ 0 &\\ x ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 4x = 16 &\\ x ≠ 2 &\\ x ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 4 &\\ x ≠ 2 &\\ x ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 4

6) $\frac{2x - 4}{x} - \frac{3x + 1}{x} + \frac{x + 5}{x} = 0$
$\frac{2x - 4 - (3x + 1) + x + 5}{x} = 0$
$\frac{2x - 4 - 3x - 1 + x + 5}{x} = 0$
$\frac{0}{x} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 0 = 0 &\\ x ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x − любое число, кроме 0.

7) $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x^2 + 6x} = 0$
$\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x(x + 6)} = 0$
$\frac{x^2 - 36}{x(x + 6)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 - 36 = 0 &\\ x ≠ 0 &\\ x + 6 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 = 36 &\\ x ≠ 0 &\\ x ≠ -6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = ±6 &\\ x ≠ 0 &\\ x ≠ -6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 6

8) $\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x = 1$
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - x(2x + 1)}{2x + 1} = 1$
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - 2x^2 - x}{2x + 1} = 1$
$\frac{2x + 1}{2x + 1} = 1$
1 = 1
$\begin{equation*} \begin{cases} 1 = 1 &\\ 2x + 1 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 1 = 1 &\\ 2x ≠ -1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 1 = 1 &\\ x ≠ -0,5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x − любое число, кроме −0,5.

9) $\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} = 1$
$\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} - 1 = 0$
$\frac{4(x + 1) - 4(x - 1) - (x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{4x + 4 - 4x + 4 - (x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{8 - x^2 +1}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{9 - x^2}{x^2 - 1} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 9 - x^2 = 0 &\\ x^2 - 1 ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 = 9 &\\ x^2 ≠ 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = ±3 &\\ x ≠ ±1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = ±3

209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $\frac{15}{19}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{2}{3}$?

Решение:

$\frac{15 - x}{19 - x} = \frac{2}{3}$
$\frac{15 - x}{19 - x} - \frac{2}{3} = 0$
$\frac{3(15 - x) - 2(19 - x)}{3(19 - x)} = 0$
$\frac{45 - 3x - 38 + 2x}{3(19 - x)} = 0$
$\frac{7 - x}{3(19 - x)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 7 - x = 0 &\\ 3(19 - x) ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 7 &\\ 19 - x ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 7 &\\ x ≠ 19 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 7

210. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби $\frac{25}{32}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{5}{6}$?

Решение:

$\frac{25 + x}{32 + x} = \frac{5}{6}$
$\frac{25 + x}{32 + x} - \frac{5}{6} = 0$
$\frac{6(25 + x) - 5(32 + x)}{6(32 + x)} = 0$
$\frac{150 + 6x - 160 - 5x}{6(32 + x)} = 0$
$\frac{x - 10}{6(32 + x)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 10 = 0 &\\ 6(32 + x) ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 10 &\\ 32 + x ≠ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 10 &\\ x ≠ -32 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 10

57

Ответы к странице 57

211. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:
1) имеет один корень;
2) имеет два корня;
3) имеет бесконечно много корней;
4) не имеет корней.

Решение:

1) Первое уравнение:
x + 8 = 10
x = 10 − 8
x = 2
Второе уравнение:
(x + 8) + 5 = 10 + 5
x + 13 = 15
x = 15 − 13
x = 2
Ответ:
x + 8 = 10 и x + 13 = 15

2) Первое уравнение:
$x^2 + x = 0$
x(x + 1) = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
Второе уравнение:
$(x^2 + x) * 2 = 0 * 2$
$2x^2 + 2x = 0$
2x(x + 1) = 0
2x = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
Ответ:
$x^2 + x = 0$ и $2x^2 + 2x = 0$

3) Первое уравнение:
2(x + 4) = 6x − 4(x − 2)
2x + 8 = 6x − 4x + 8
2x + 8 = 2x + 8
2x − 2x = 8 − 8
0 = 0
x − любое число
Второе уравнение:
2(x + 4) + 8x = 6x − 4(x − 2) + 8x
2x + 8 + 8x = 6x − 4x + 8 + 8x
10x + 8 = 10x + 8
10x − 10x = 8 − 8
0 = 0
x − любое число
Ответ:
2(x + 4) = 6x − 4(x − 2) и 2(x + 4) + 8x = 6x − 4(x − 2) + 8x

4) Первое уравнение:
$2x(x - 8) = x^2 - 16x - 9$
$2x^2 - 16x = x^2 - 16x - 9$
$2x^2 - x^2 - 16x + 16x = -9$
$x^2 = -9$
нет корней
Второе уравнение:
$x^2 - 9 - (x - 3)(x +3) = 5$
$x^2 - 9 - (x^2 - 9) = 5$
$x^2 - 9 - x^2 + 9 = 5$
0 ≠ 5
нет корней
Ответ:
$2x(x - 8) = x^2 - 16x - 9$ и $x^2 - 9 - (x - 3)(x +3) = 5$

212. Решите уравнение:
1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$;
2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$;
3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$;
4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$;
5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$;
6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$;
7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$;
8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$.

Решение:

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$
$\frac{5}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2x}{x + 2} - 2 = 0$
$\frac{5 + 2x(x - 2) - 2(x^2 - 4)}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{2x^2 - 4x + 5 - 2x^2 + 8}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{13 - 4x}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 2 ≠ 0 &\\ x + 2 ≠ 0 &\\ 13 - 4x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ 4x = 13 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ x = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $x = 3\frac{1}{4}$

2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$
$\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} - \frac{30x + 9}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
$\frac{2(6x - 1) + 3(6x + 1) - (30x + 9)}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
$\frac{12x - 2 + 18x + 3 - 30x - 9}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
$\frac{-8}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
−8 ≠ 0
Ответ: нет корней

3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$
$\frac{6x + 14}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{7}{x(x + 3)} - \frac{6}{x - 3} = 0$
$\frac{x(6x + 14) + 7(x - 3) - 6x(x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)} = 0$
$\frac{6x^2 + 14x + 7x - 21 - 6x^2 - 18x}{x(x - 3)(x + 3)} = 0$
$\frac{3x - 21}{x(x - 3)(x + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ x + 3 ≠ 0 &\\ 3x - 21 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ 3x = 21 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ x = 7 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 7

4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$
$\frac{-(2y^2 + 5)}{y^2 - 1} + \frac{y + 1}{y - 1} - \frac{4}{y + 1} = 0$
$\frac{-2y^2 - 5}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{y + 1}{y - 1} - \frac{4}{y + 1} = 0$
$\frac{-2y^2 - 5 + (y + 1)^2 - 4(y - 1)}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-2y^2 - 5 + y^2 + 2y + 1 - 4y + 4}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-y^2 - 2y}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-(y^2 + 2y)}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-y(y + 2)}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} y - 1 ≠ 0 &\\ y + 1 ≠ 0 &\\ -y = 0 &\\ y + 2 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 1 &\\ y ≠ -1 &\\ y = 0 &\\ y = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: y = −2, y = 0.

5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$
$\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{4}{1 - 4x^2} = 0$
$\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{4x^2 - 1} = 0$
$\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{(2x - 1)^2 - (2x + 1)^2 + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{4x^2 - 4x + 1 - (4x^2 + 4x + 1) + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 4x - 1 + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{-8x + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x - 1 ≠ 0 &\\ 2x + 1 ≠ 0 &\\ -8x + 4 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x ≠ 1 &\\ 2x ≠ -1 &\\ -8x = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0,5 &\\ x ≠ -0,5 &\\ x = 0,5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: нет корней

6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$
$\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} - \frac{3}{(x + 2)^2} = 0$
$\frac{7(x + 2)(x - 3) - 4(x + 2)^2 - 3(x - 3)^2}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{7(x^2 + 2x - 3x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) - 3(x^2 - 6x + 9)}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{7(x^2 - x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) - 3(x^2 - 6x + 9)}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{7x^2 - 7x - 42 - 4x^2 - 16x - 16 - 3x^2 + 18x - 27}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{-5x - 85}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 2 ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ -5x - 85 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -2 &\\ x ≠ 3 &\\ -5x = 85 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -2 &\\ x ≠ 3 &\\ x = -17 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −17

7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$
$\frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4} - \frac{6x + 64}{(x - 4)(x + 4)} - 4 = 0$
$\frac{(2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4) - (6x + 64) - 4(x^2 - 16)}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\frac{2x^2 - x - 8x + 4 + 3x^2 - x + 12x - 4 - 6x - 64 - 4x^2 + 64}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\frac{x^2 - 4x}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\frac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 4 ≠ 0 &\\ x + 4 ≠ 0 &\\ x = 0 &\\ x - 4 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 4 &\\ x ≠ -4 &\\ x = 0 &\\ x = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 0

8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$
$\frac{2x - 6}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{x - 3}{x(x - 6)} - \frac{x - 1}{x(x + 6)} = 0$
$\frac{x(2x - 6) - (x - 3)(x + 6) - (x - 1)(x - 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{2x^2 - 6x - (x^2 - 3x + 6x - 18) - (x^2 - x - 6x + 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{2x^2 - 6x - x^2 + 3x - 6x + 18 - x^2 + x + 6x - 6}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{-2x + 12}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{-2(x - 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{-2}{x(x + 6)} = 0$
−2 ≠ 0
Ответ: нет корней

213. Решите уравнение:
1) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1}$;
2) $\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} = \frac{6}{1 - 9x^2}$;
3) $\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x - 2}$;
4) $\frac{2x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \frac{6}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 2}$;
5) $\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{x + 4}{x^2 - 4}$;
6) $\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1}{x - 5} + \frac{x - 5}{x}$.

Решение:

1) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1}$
$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{5}{x - 1} - \frac{x^2 + 27}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{(x - 2)(x - 1) + 5(x + 1) - (x^2 + 27)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{x^2 - 2x - x + 2 + 5x + 5 - x^2 - 27}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{2x - 20}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 1 ≠ 0 &\\ x + 1 ≠ 0 &\\ 2x - 20 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ 2x = 20 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ x = 10 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 10

2) $\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} = \frac{6}{1 - 9x^2}$
$\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} - \frac{6}{1 - 9x^2} = 0$
$\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} + \frac{6}{9x^2 - 1} = 0$
$\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} + \frac{6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{(3x + 1)^2 - (3x - 1)^2 + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{9x^2 + 6x + 1 - (9x^2 - 6x + 1) + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 6x - 1 + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{12x + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x - 1 ≠ 0 &\\ 3x + 1 ≠ 0 &\\ 12x + 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x ≠ 1 &\\ 3x ≠ -1 &\\ 12x = -6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ \frac{1}{3} &\\ x ≠ -\frac{1}{3} &\\ x = -\frac{1}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$

3) $\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x - 2}$
$\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} - \frac{5}{x - 2} = 0$
$\frac{4x(x - 2) + (x - 3)(x - 2) - 5x(x - 3)}{x(x - 3)(x - 2)} = 0$
$\frac{4x^2 - 8x + x^2 - 3x - 2x + 6 - 5x^2 + 15x}{x(x - 3)(x - 2)} = 0$
$\frac{2x + 6}{x(x - 3)(x - 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ x - 2 ≠ 0 &\\ 2x + 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ 2 &\\ 2x = -6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ 2 &\\ x = -3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −3

4) $\frac{2x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \frac{6}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 2}$
$\frac{2x^2 - 2x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{6}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = 0$
$\frac{2x^2 - 2x + 6(x - 2) - (x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{2x^2 - 2x + 6x - 12 - (x^2 + 4x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{2x^2 + 4x - 12 - x^2 - 4x - 4}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{x^2 - 16}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 2 ≠ 0 &\\ x + 2 ≠ 0 &\\ x^2 - 16 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ x^2 = 16 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ x = ±4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = ±4

5) $\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{x + 4}{x^2 - 4}$
$\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} - \frac{x + 4}{x^2 - 4} = 0$
$\frac{7}{x(x + 2)} + \frac{x + 1}{x(x - 2)} - \frac{x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{7(x - 2) + (x + 1)(x + 2) - x(x + 4)}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{7x - 14 + x^2 + x + 2x + 2 - x^2 - 4x}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{6x - 12}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{6(x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{6}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
6 ≠ 0
Ответ: нет корней

6) $\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1}{x - 5} + \frac{x - 5}{x}$
$\frac{x^2 - 9x + 50}{x(x - 5)} - \frac{x + 1}{x - 5} - \frac{x - 5}{x} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 50 - x(x + 1) - (x - 5)^2}{x(x - 5)} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 50 - x^2 - x - (x^2 - 10x + 25)}{x(x - 5)} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 50 - x^2 - x - x^2 + 10x - 25}{x(x - 5)} = 0$
$\frac{-x^2 + 25}{x(x - 5)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 5 ≠ 0 &\\ -x^2 + 25 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 5 &\\ x^2 = 25 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 5 &\\ x = ±5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −5

214. Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч.

Решение:

54 (мин) = $\frac{54}{60}$ (ч) = $\frac{9}{10}$ (ч)
Пусть x (км/ч) − скорость течения реки, тогда:

v (км/ч) t (ч)
по течению 18 + x $\frac{8}{18 + x}$
против течения 18 − x $\frac{8}{18 - x}$
Зная, что моторная лодка на весь путь затратила 54 мин, можно составить уравнение:
$\frac{8}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = \frac{9}{10}$
$\frac{8(18 - x) + 8(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} - \frac{9}{10} = 0$
$\frac{144 - 8x + 144 + 8x}{(18 + x)(18 - x)} - \frac{9}{10} = 0$
$\frac{288}{(18 + x)(18 - x)} - \frac{9}{10} = 0$
$\frac{288 * 10 - 9(324 - x^2)}{10(18 + x)(18 - x)} = 0$
$\frac{2880 - 2916 + 9x^2}{10(18 + x)(18 - x)} = 0$
$\frac{9x^2 - 36}{(18 + x)(18 - x)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 18 + x ≠ 0 &\\ 18 - x ≠ 0 &\\ 9x^2 - 36 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -18 &\\ x ≠ 18 &\\ 9x^2 = 36 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -18 &\\ x ≠ 18 &\\ x^2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -18 &\\ x ≠ 18 &\\ x = ±2 & \end{cases} \end{equation*}$
x = − 2 − не подходит, так как скорость течения реки не может быть отрицательной, тогда:
x = 2 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 2 км/ч.

215. Теплоход прошел 28 км против течения реки и вернулся обратно, потратив на обратный путь на 4 мин меньше. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Решение:

4 (мин) = $\frac{4}{60}$ (ч) = $\frac{1}{15}$ (ч)
Пусть x (км/ч) − скорость теплохода в стоячей воде, тогда:

v (км/ч) t (ч)
по течению x + 1 $\frac{28}{x + 1}$
против течения x − 1 $\frac{28}{x - 1}$
Зная, что теплоход потратил на обратный путь на 4 минуты меньше, можно составить уравнение:
$\frac{28}{x - 1} - \frac{28}{x + 1} = \frac{1}{15}$
$\frac{28}{x - 1} - \frac{28}{x + 1} - \frac{1}{15} = 0$
$\frac{28 * 15(x + 1) - 28 * 15(x - 1) - (x - 1)(x + 1)}{15(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{420(x + 1) - 420(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{420x + 420 - 420x + 420 - x^2 + 1}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{841 - x^2}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 1 ≠ 0 &\\ x + 1 ≠ 0 &\\ 841 - x^2 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ x^2 = 841 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ x = ±29 & \end{cases} \end{equation*}$
x = −29 − не подходит, так как скорость теплохода не может быть отрицательной, тогда:
x = 29 (км/ч) − скорость теплохода в стоячей воде.
Ответ: 29 км/ч.

216. Лодка прошла 6 км против течения реки и 12 км по течению, потратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость лодки в стоячей воде, тогда:

v (км/ч) t (ч)
по течению x + 3 $\frac{12}{x + 3}$
против течения x − 3 $\frac{6}{x - 3}$
Зная, что лодка потратила на весь путь 2 ч, можно составить уравнение:
$\frac{12}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} = 2$
$\frac{12}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} - 2 = 0$
$\frac{12(x - 3) + 6(x + 3) - 2(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{12(x - 3) + 6(x + 3) - 2(x^2 - 9)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{12x - 36 + 6x + 18 - 2x^2 + 18}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{18x - 2x^2}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{2x(9 - x)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 3 ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ 2x = 0 &\\ 9 - x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -3 &\\ x ≠ 3 &\\ x = 0 &\\ x = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
x = 0 − не подходит, так как скорость лодки не может быть равна 0, тогда:
x = 9 (км/ч) − скорость лодки в стоячей воде.
Ответ: 9 км/ч.

58

Ответы к странице 58

217. Решите уравнение:
1) $\frac{x + 5}{x^2 - 5x} - \frac{x - 5}{2x^2 + 10x} = \frac{x + 25}{2x^2 - 50}$;
2) $\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$;
3) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$.

Решение:

1) $\frac{x + 5}{x^2 - 5x} - \frac{x - 5}{2x^2 + 10x} = \frac{x + 25}{2x^2 - 50}$
$\frac{x + 5}{x^2 - 5x} - \frac{x - 5}{2x^2 + 10x} - \frac{x + 25}{2x^2 - 50} = 0$
$\frac{x + 5}{x(x - 5)} - \frac{x - 5}{2x(x + 5)} - \frac{x + 25}{2(x^2 - 25)} = 0$
$\frac{x + 5}{x(x - 5)} - \frac{x - 5}{2x(x + 5)} - \frac{x + 25}{2(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2(x + 5)^2 - (x - 5)^2 - x(x + 25)}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2(x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25) - x^2 - 25x}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2x^2 + 20x + 50 - x^2 + 10x - 25 - x^2 - 25x}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{5x + 25}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{5(x + 5)}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{5}{2x(x - 5)} = 0$
5 ≠ 0
Ответ: нет корней

2) $\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$
$\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} - \frac{3}{2x^2 + 6x} = 0$
$\frac{2}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{1}{2(x^2 - 6x + 9)} - \frac{3}{2x(x + 3)} = 0$
$\frac{2}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{1}{2(x - 3)^2} - \frac{3}{2x(x + 3)} = 0$
$\frac{2 * 2x(x - 3) - x(x + 3) - 3(x - 3)^2}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\frac{4x^2 - 12x - x^2 - 3x - 3(x^2 - 6x + 9)}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\frac{3x^2 - 15x - 3x^2 + 18x - 27}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\frac{3x - 27}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ x + 3 ≠ 0 &\\ 3x - 27 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ 3x = 27 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ x = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 9

3) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$
$\frac{9x + 12}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x^2 + 4x + 16} = 0$
$\frac{9x + 12 - (x^2 + 4x + 16) - (x - 4)}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{9x + 12 - x^2 - 4x - 16 - x + 4}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{4x - x^2}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{x(4 - x)}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{-x(x - 4)}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{-x}{x^2 + 4x + 16} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 + 4x + 16 ≠ 0 &\\ -x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 + 4x + 16 ≠ 0 &\\ x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 0

218. Решите уравнение:
1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$;
2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$.

Решение:

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$
$\frac{4y + 24}{5(y^2 - 9)} + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} - \frac{y - 3}{y(y + 3)} = 0$
$\frac{4y + 24}{5(y - 3)(y + 3)} + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} - \frac{y - 3}{y(y + 3)} = 0$
$\frac{y(4y + 24) + (y + 3)^2 - 5(y - 3)^2}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\frac{4y^2 + 24y + y^2 + 6y + 9 - 5(y^2 - 6y + 9)}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\frac{4y^2 + 24y + y^2 + 6y + 9 - 5y^2 + 30y - 45}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\frac{60y - 36}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 5y ≠ 0 &\\ y - 3 ≠ 0 &\\ y + 3 ≠ 0 &\\ 60y - 36 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 0 &\\ y ≠ 3 &\\ y ≠ -3 &\\ 60y = 36 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 0 &\\ y ≠ 3 &\\ y ≠ -3 &\\ y = \frac{36}{60} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 0 &\\ y ≠ 3 &\\ y ≠ -3 &\\ y = \frac{3}{5} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $y = \frac{3}{5}$

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$
$\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} - \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2} = 0$
$\frac{y + 2}{(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y + 1)} - \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{2(y + 2) - (4y^2 - 2y + 1) - (2y + 1)(y + 3)}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 - (2y^2 + y + 6y + 3)}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{4y + 3 - 4y^2 - 2y^2 - y - 6y - 3}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{-6y^2 - 3y}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{-3y(2y + 1)}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{-3y}{2(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2(4y^2 - 2y + 1) ≠ 0 &\\ -3y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 4y^2 - 2y + 1≠ 0 &\\ y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: y = 0

219. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $\frac{x - 1}{x - a} = 0$;
2) $\frac{x - a}{x + 5} = 0$;
3) $\frac{a(x - a)}{x - 3} = 0$;
4) $\frac{(x - a)(x - 6)}{x - 7} = 0$;
5) $\frac{(x - 4)(x + 2)}{x - a} = 0$;
6) $\frac{x - a}{(x - 4)(x + 2)} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x - 1}{x - a} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - a ≠ 0 &\\ x - 1 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ a &\\ x = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 1, x = 1;
при a = 1, корней нет.

2) $\frac{x - a}{x + 5} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 5 ≠ 0 &\\ x - a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -5 &\\ x = a & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ −5, x = a;
при a = −5, корней нет.

3) $\frac{a(x - a)}{x - 3} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 3 ≠ 0 &\\ a = 0 &\\ x - a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 3 &\\ a = 0 &\\ x = a & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a = 0, x − любое число, кроме x = 3;
при a ≠ 3 и при a ≠ 0, x = a;
при a = 3, нет корней.

4) $\frac{(x - a)(x - 6)}{x - 7} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 7 ≠ 0 &\\ x - a = 0 &\\ x - 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 7 &\\ x = a &\\ x = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 7, x = a или x = 6;
при a = 7, x = 6.

5) $\frac{(x - 4)(x + 2)}{x - a} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - a ≠ 0 &\\ x - 4 = 0 &\\ x + 2 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ a &\\ x = 4 &\\ x = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = 4 или x = −2;
при a = 4, x = −2;
при a = −2, x = 4.

6) $\frac{x - a}{(x - 4)(x + 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 4 ≠ 0 &\\ x + 2 ≠ 0 &\\ x - a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 4 &\\ x ≠ -2 &\\ x = a & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = a;
при a = 4 и a = −2, нет корней.

220. При каких значениях a уравнение $\frac{x + a}{x^2 - 4} = 0$ не имеет корней?

Решение:

$\frac{x + a}{x^2 - 4} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 - 4 ≠ 0 &\\ x + a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 ≠ 4 &\\ x = -a & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ ±2 &\\ x = -a & \end{cases} \end{equation*}$
Значит уравнение не имеет корней при a = −2 или a = 2.

221. При каких значениях a уравнение $\frac{(x - a)(x - 3a)}{x + 9} = 0$ имеет один корень?

Решение:

$\frac{(x - a)(x - 3a)}{x + 9} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 9 ≠ 0 &\\ x - a = 0 &\\ x - 3a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -9 &\\ x = a &\\ x = 3a & \end{cases} \end{equation*}$
Значит, при a = −9, a= −3 или a = 0 уравнение будет иметь один корень.
Ответ: при a = 9, a = −3 или a = 0.

222. На конец года численность населения города составляла 72100 жителей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3%.

Решение:

Пусть x (жителей) − было в городе на начало года, тогда:
0,03x (жителей) − составил прирост в течении года.
Зная, что на конец года численность населения города составляла 72100 жителей, можно составить уравнение:
x + 0,03x = 72100
1,03x = 72100
x = 70000 (жителей) − было в городе на начало года.
Ответ: 70000 жителей.

223. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдет это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?

Решение:

45 мин = $\frac{45}{60}$ (ч) = $\frac{3}{4}$ (ч)
40 мин = $\frac{40}{60}$ (ч) = $\frac{2}{3}$ (ч)
Пусть x (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:

t (ч) v (км/ч) S (км)
Фактическое $\frac{3}{4}$ x $\frac{3}{4}x$
Планируемое $\frac{2}{3}$ x + 10 $\frac{2}{3}(x + 10)$
Зная, что в любом случае электропоезд пройдет одинаковое расстояние, можно составить уравнение:
$\frac{3}{4}x = \frac{2}{3}(x + 10) |*12$
3 * 3x = 4 * 2(x + 10)
9x = 8x + 80
9x − 8x = 80
x = 80 (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:
$\frac{3}{4}x = \frac{3}{4} * 80 = 3 * 20 = 60$ (км) − расстояние между станциями.
Ответ: 60 км

224. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:
1) $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$;
2) $(a - b)(a - b - 8) + 16$.

Решение:

1) $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1 = (a - 5)^2 - 2 * 1 * (a - 5) + 1^2 = ((a - 5) - 1)^2 = (a - 5 - 1)^2 = (a - 6)^2$
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.

2) $(a - b)(a - b - 8) + 16 = a^2 - ab - ab + b^2 - 8a - 8b + 16 = a^2 - 2ab + b^2 - 8a - 8b + 16 = (a^2 - 2ab + b^2) - (8a - 8b) + 16 = (a - b)^2 - 8(a - b) + 16 = (a - b)^2 - 2 * 4 * (a - b) + 4^2 = ((a - b) - 4)^2 = (a - b - 4)^2$
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.

59

Ответы к странице 59

225. Найдите значение функции ƒ(x) = 3x − 7 при:
1) x = −3;
2) $x = 2\frac{1}{3}$.
При каком значении аргумента значение функции равно 0,2?

Решение:

1) ƒ(x) = 3x − 7
при x = −3:
ƒ(−3) = 3 * (−3) − 7 = −9 − 7 = −16

2) ƒ(x) = 3x − 7
при $x = 2\frac{1}{3}$:
$ƒ(2\frac{1}{3}) = 3 * 2\frac{1}{3} - 7 = 3 * \frac{7}{3} - 7 = 7 - 7 = 0$

3) ƒ(x) = 3x − 7
при ƒ(x) = 0,2:
0,2 = 3x − 7
3x = 7 + 0,2
3x = 7,2
$x = \frac{7,2}{3} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$

226. Найдите значение выражения:
1) $4^3 + 3^4$;
2) $(-8)^2 - (-1)^{12}$;
3) $9 * (-\frac{2}{9})^2$;
4) $(2,8 - 3,1)^3 * (-1\frac{2}{3})^2$.

Решение:

1) $4^3 + 3^4 = 64 + 81 = 145$

2) $(-8)^2 - (-1)^{12} = 64 - 1 = 63$

3) $9 * (-\frac{2}{9})^2 = 9 * \frac{4}{81} = \frac{4}{9}$

4) $(2,8 - 3,1)^3 * (-1\frac{2}{3})^2 = (-0,3)^3 * (\frac{5}{3})^2 = -0,027 * \frac{25}{9} = -0,003 * 25 = -0,075$

227. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
1) $(-5,7)^2$ и 0;
2) 0 и $(-6,9)^3$;
3) $(-23)^5$ и $(-2)^4$;
4) $-8^8$ и $(-8)^8$.

Решение:

1) $(-5,7)^2 > 0$, так как $(-5,7)^2$ − число положительное.

2) $0 < (-6,9)^3$, так как $(-6,9)^3$ − число отрицательное.

3) $(-23)^5 < (-2)^4$, так как $(-23)^5$ − число отрицательное, а $(-2)^4$ − число положительное.

4) $-8^8 < (-8)^8$, так как $-8^8$ − число отрицательное, а $(-8)^8$ − число положительное.

228. Представьте в виде степени:
1) с основанием 2 числа 4; 8; 16; 32; 64;
2) с основанием 10 числа 100; 1000; 10000; 1000000.

Решение:

1) $4 = 2 * 2 = 2^2$
$8 = 2 * 2 * 2 = 2^3$
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2^4$
$32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5$
$64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6$

2) $100 = 10 * 10 = 10^2$
$1000 = 10 * 10 * 10 = 10^3$
$10000 = 10 * 10 * 10 * 10 = 10^4$
$1000000 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 10^6$

229. Найдите значение выражения:
1) $18a^2$, если $a = -\frac{1}{6}$;
2) $(18a)^2$, если $a = -\frac{1}{6}$;
3) $6 + b^4$, если b = −2;
4) $(6 + b)^4$, если b = −2.

Решение:

1) $18a^2$, если $a = -\frac{1}{6}$:
$18 * (-\frac{1}{6})^2 = 18 * \frac{1}{36} = 1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2) $(18a)^2$, если $a = -\frac{1}{6}$:
$(18 * (-\frac{1}{6}))^2 = (3 * (-\frac{1}{1}))^2 = (-3)^2 = 9$

3) $6 + b^4$, если b = −2:
$6 + (-2)^4 = 6 + 16 = 22$

4) $(6 + b)^4$, если b = −2:
$(6 + (-2))^4 = (6 - 2)^4 = 4^4 = 256$

№ 230. Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 − кубом натурального числа?

Решение:

Пусть n − число, удовлетворяющее условию задачи.
Тогда, при умножении данного числа на 2 будет $2n = a^2$, а при умножении его на 3 будет $3n = b^3$.
Если число 2n разложить на множители, то минимум двоек будет 3, так как должно быть нечетное количество двоек:
2n = 2 * 2 * 2 * ...
Если число 3n разложить на множители, то минимум троек будет 2, так как должно быть четное количество троек:
3n = 3 * 3 * ...
Можем получить число:
2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 8 * 9 = 72
Проверка:
$72 * 2 = 144 = 12^2$
$72 * 3 = 216 = 6^3$
Ответ: такое число существует, это 72.

62

Ответы к странице 62

§8. Степень с целым отрицательным показателем

Вопросы

1. Чему равно $a^{-n}$ для любого отличного от нуля числа a и натурального числа n?

Ответ:

Для любого числа a, не равного нулю, и натурального числа n
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

2. Чему равна нулевая степень любого отличного от нуля числа?

Ответ:

Для любого числа a, не равного нулю, $a^0 = 1$.

3. Что называют стандартным видом числа?

Ответ:

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a * 10^n$, где 1 ≤ a < 10 и n − целое число.

4. Как в записи числа в стандартном виде $a * 10^n$ называют число n?

Ответ:

Число n называют порядком числа, записанного в стандартном виде.

Упражнения

231. Какому из выражений равно выражение $a^{-6}$:
1) $-a^{6}$;
2) $\frac{1}{a^{-6}}$;
3) $\frac{1}{a^6}$;
4) $-\frac{1}{a^6}$?

Решение:

$a^{-6} = \frac{1}{a^6}$
Ответ: 3) $\frac{1}{a^6}$

232. Представьте степень в виде дроби:
1) $3^{-8}$;
2) $5^{-6}$;
3) $a^{-9}$;
4) $d^{-3}$;
5) $12^{-1}$;
6) $m^{-1}$;
7) $(a - b)^{-2}$;
8) $(2x - 3y)^{-4}$.

Решение:

1) $3^{-8} = \frac{1}{3^8}$

2) $5^{-6} = \frac{1}{5^6}$

3) $a^{-9} = \frac{1}{a^9}$

4) $d^{-3} = \frac{1}{d^3}$

5) $12^{-1} = \frac{1}{12^1}$

6) $m^{-1} = \frac{1}{m^1}$

7) $(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$

8) $(2x - 3y)^{-4} = \frac{1}{(2x - 3y)^4}$

233. Замените степень дробью:
1) $14^{-4}$;
2) $p^{-20}$;
3) $(m + n)^{-1}$;
4) $(4c - 5d)^{-10}$.

Решение:

1) $14^{-4} = \frac{1}{14^4}$

2) $p^{-20} = \frac{1}{p^{20}}$

3) $(m + n)^{-1} = \frac{1}{(m + n)^1}$

4) $(4c - 5d)^{-10} = \frac{1}{(4c - 5d)^{10}}$

234. Представьте дробь в виде степени с целым отрицательным показателем или в виде произведения степеней:
1) $\frac{1}{7^2}$;
2) $\frac{1}{x^5}$;
3) $\frac{1}{c}$;
4) $\frac{m}{n^3}$;
5) $\frac{a}{b}$;
6) $\frac{x^6}{y^7}$;
7) $\frac{(a + b)^5}{(c - d)^8}$;
8) $\frac{(x - y)^2}{x + y}$.

Решение:

1) $\frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

2) $\frac{1}{x^5} = x^{-5}$

3) $\frac{1}{c} = c^{-1}$

4) $\frac{m}{n^3} = mn^{-3}$

5) $\frac{a}{b} = ab^{-1}$

6) $\frac{x^6}{y^7} = x^6y^{-7}$

7) $\frac{(a + b)^5}{(c - d)^8} = (a + b)^5(c - d)^{-8}$

8) $\frac{(x - y)^2}{x + y} = (x - y)^2(x + y)^{-1}$

235. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем или произведением степеней:
1) $\frac{1}{11^{11}}$;
2) $\frac{1}{k^4}$;
3) $\frac{x^2}{y}$;
4) $\frac{m^6}{n^6}$;
5) $\frac{(2x - y)^3}{(x - 2y)^9}$.

Решение:

1) $\frac{1}{11^{11}} = 11^{-11}$

2) $\frac{1}{k^4} = k^{-4}$

3) $\frac{x^2}{y} = x^2y^{-1}$

4) $\frac{m^6}{n^6} = m^6n^{-6}$

5) $\frac{(2x - y)^3}{(x - 2y)^9} = (2x - y)^3(x - 2y)^{-9}$

63

Ответы к странице 63

236. Представьте числа $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$ в виде степени с основанием:
1) 2;
2) $\frac{1}{2}$.

Решение:

1) $1 = 2^0$
$2 = 2^1$
$4 = 2 * 2 = 2^2$
$8 = 2 * 2 * 2 = 2^3$
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2^4$
$32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5$
$64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6$
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2 * 2} = 2^{-2}$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2 * 2 * 2} = 2^{-3}$
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-4}$
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2 * 2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-5}$
$\frac{1}{64} = \frac{1}{2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-6}$

2) $1 = (\frac{1}{2})^0$
$2 = (\frac{1}{2})^{-1}$
$4 = (\frac{1}{2})^{-2}$
$8 = (\frac{1}{2})^{-3}$
$16 = (\frac{1}{2})^{-4}$
$32 = (\frac{1}{2})^{-5}$
$64 = (\frac{1}{2})^{-6}$
$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3$
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4$
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^5$
$\frac{1}{64} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^6$

237. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь:
1) $\frac{1}{49}$;
2) $\frac{1}{216}$;
3) $\frac{1}{625}$;
4) $\frac{1}{128}$.

Решение:

1) $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

2) $\frac{1}{216} = \frac{1}{6^3} = 6^{-3}$

3) $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$

4) $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$

238. Представьте в виде степени с основанием 10 число:
1) 0,1;
2) 0,01;
3) 0,0001;
4) 0,000001.

Решение:

1) $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$

2) $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$

3) $0,0001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$

4) $0,000001 = \frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}$

239. Представьте числа $1, 3, 9, 27, 81, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}$ в виде степени с основанием:
1) 3;
2) $\frac{1}{3}$.

Решение:

1) $1 = 3^0$
$3 = 3^1$
$9 = 3 * 3 = 3^2$
$27 = 3 * 3 * 3 = 3^3$
$81 = 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4$
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

2) $1 = (\frac{1}{3})^0$
$3 = (\frac{1}{3})^{-1}$
$9 = 3^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$
$27 = 3^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$
$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$
$\frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^{1}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^{2}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^{3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^{4}$

240. Вычислите:
1) $5^{-2}$;
2) $2^{-4}$;
3) $(-9)^{-2}$;
4) $0,2^{-3}$;
5) $1^{-24}$;
6) $(-1)^{-16}$;
7) $(-1)^{-17}$;
8) $(\frac{7}{8})^{0}$;
9) $(\frac{2}{3})^{-3}$;
10) $(-1\frac{1}{6})^{-2}$.

Решение:

1) $5^{-2} = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$

2) $2^{-4} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

3) $(-9)^{-2} = (\frac{1}{-9})^2 = \frac{1}{81}$

4) $0,2^{-3} = (\frac{2}{10})^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$

5) $1^{-24} = 1^{24} = 1$

6) $(-1)^{-16} = 1^{16} = 1$

7) $(-1)^{-17} = (-1)^{17} = -1$

8) $(\frac{7}{8})^{0} = 1$

9) $(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$

10) $(-1\frac{1}{6})^{-2} = (-\frac{7}{6})^{-2} = (-\frac{6}{7})^2 = \frac{36}{49}$

241. Найдите значение выражения:
1) $20^{-2}$;
2) $0,3^{-1}$;
3) $(-6)^{-3}$;
4) $(\frac{4}{7})^{-2}$;
5) $(-\frac{1}{6})^{-3}$;
6) $(3\frac{1}{3})^{-2}$.

Решение:

1) $20^{-2} = (\frac{1}{20})^2 = \frac{1}{400}$

2) $0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = (\frac{10}{3})^1 = 3\frac{1}{3}$

3) $(-6)^{-3} = (\frac{1}{-6})^3 = -\frac{1}{216}$

4) $(\frac{4}{7})^{-2} = (\frac{7}{4})^{2} = \frac{49}{16} = 3\frac{1}{16}$

5) $(-\frac{1}{6})^{-3} = (-6)^3 = -216$

6) $(3\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{10}{3})^{-2} = (\frac{3}{10})^{2} = \frac{9}{100}$

242. Вычислите значение выражения:
1) $3^{-1} - 4^{-1}$;
2) $2^{-3} + 6^{-2}$;
3) $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$;
4) $9 * 0,1^{-1}$;
5) $0,5^{-2} * 4^{-1}$;
6) $(2^{-1} - 8^{-1} * 16)^{-1}$.

Решение:

1) $3^{-1} - 4^{-1} = (\frac{1}{3})^1 - (\frac{1}{4})^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$

2) $2^{-3} + 6^{-2} = (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{36} = \frac{9 + 2}{72} = \frac{11}{72}$

3) $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2} = (\frac{7}{2})^1 + 1 - (\frac{1}{5})^2 = \frac{7}{2} + 1 - \frac{1}{25} = \frac{7 * 25 + 50 - 2}{50} = \frac{175 + 50 - 2}{50} = \frac{223}{50} = 4\frac{23}{50}$

4) $9 * 0,1^{-1} = 9 * (\frac{1}{10})^{-1} = 9 * 10 = 90$

5) $0,5^{-2} * 4^{-1} = (\frac{5}{10})^{-2} * (\frac{1}{4})^1 = (\frac{1}{2})^{-2} * \frac{1}{4} = 2^2 * \frac{1}{4} = 4 * \frac{1}{4} = 1$

6) $(2^{-1} - 8^{-1} * 16)^{-1} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8} * 16)^{-1} = (\frac{1}{2} - 2)^{-1} = (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})^{-1} = (-\frac{3}{2})^{-1} = -\frac{2}{3}$

243. Чему равно значение выражения:
1) $2^{-2} + 2^{-1}$;
2) $3^{-2} - 6^{-1}$;
3) $0,03^0 + 0,7^0$;
4) $(9 * 3^{-3} - 12^{-1})^{-1}$?

Решение:

1) $2^{-2} + 2^{-1} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 1}{4} = \frac{3}{4}$

2) $3^{-2} - 6^{-1} = (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{6})^1 = \frac{1}{9} - \frac{1}{6} = \frac{2 - 3}{18} = \frac{-1}{18} = -\frac{1}{18}$

3) $0,03^0 + 0,7^0 = 1 + 1 = 2$

4) $(9 * 3^{-3} - 12^{-1})^{-1} = (9 * (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{12})^1)^{-1} = (9 * \frac{1}{27} - \frac{1}{12})^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{12})^{-1} = (\frac{4 - 1}{12})^{-1} = (\frac{3}{12})^{-1} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$

244. Какое из данных чисел записано в стандартном виде:
1) $12 * 10^4$;
2) $1,2 * 10^4$;
3) $0,12 * 10^4$?

Решение:

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a * 10^n$, где 1 ≤ a < 10 и n − целое число.
Тогда:
1) $12 * 10^4$ − нестандартный вид, так как 12 > 10;
2) $1,2 * 10^4$ − стандартный вид, так как 1 ≤ 1,2 < 10;
3) $0,12 * 10^4$ − нестандартный вид, так как 0,12 > 1.
Ответ: 2) $1,2 * 10^4$

245. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 3400;
2) 15;
3) 0,0046;
4) 0,000008;
5) 0,73;
6) $250 * 10^2$;
7) $0,86 * 10^3$;
8) $0,23 * 10^4$;
9) $9300 * 10^5$.

Решение:

1) $3400 = 3,4 * 1000 = 3,4 * 10^3$
3 − порядок числа

2) $15 = 1,5 * 10 = 1,5 * 10^1$
1 − порядок числа

3) $0,0046 = 4,6 : 1000 = 4,6 * \frac{1}{1000} = 4,6 * \frac{1}{10^3} = 4,6 * 10^{-3}$
−3 − порядок числа

4) $0,000008 = 8 : 1000000 = 8 * \frac{1}{1000000} = 8 * \frac{1}{10^6} = 8 * 10^{-6}$
−6 − порядок числа

5) $0,73 = 7,3 : 10 = 7,3 * \frac{1}{10} = 7,3 * \frac{1}{10^1} = 7,3 * 10^{-1}$
−1 − порядок числа

6) $250 * 10^2 = 2,5 * 100 * 100 = 2,5 * 10000 = 2,5 * 10^4$
4 − порядок числа

7) $0,86 * 10^3 = 8,6 : 10 * 1000 = 8,6 * \frac{1}{10} * 1000 = 8,6 * 100 = 8,6 * 10^2$
2 − порядок числа

8) $0,23 * 10^4 = 2,3 : 10 * 10000 = 2,3 * \frac{1}{10} * 10000 = 2,3 * 1000 = 2,3 * 10^3$
3 − порядок числа

9) $9300 * 10^5 = 9,3 * 1000 * 100000 = 9,3 * 100000000 = 9,3 * 10^8$
8 − порядок числа

246. Запишите числовые значения величин в стандартном виде:
1) скорость света в вакууме равна 300000 км/с;
2) длина реки Лена, самой протяженной реки России, равна 4400 км;
3) площадь озера Байкал составляет 32000 $км^2$;
4) расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн.км;
5) атмосферное давление на высоте 100 км составляет 0,032 Па;
6) диаметр молекулы воды равен 0,00000028 мм.

Решение:

1) $300000 = 3 * 100000 = 3 * 10^5$
Ответ: скорость света в вакууме равна $3 * 10^5$ км/с

2) $4400 = 4,4 * 1000 = 4,4 * 10^3$
Ответ: длина реки Лена, самой протяженной реки России, равна $4,4 * 10^3$ км

3) $32000 = 3,2 * 10000 = 3,2 * 10^4$
Ответ: площадь озера Байкал составляет $3,2 * 10^4$ $км^2$

4) 149,6 млн.км = 149,6 * 1000000 км = 1,496 * 100 * 1000000 км = 1,496 * 100000000 км = $1,496 * 10^8$ км
Ответ: расстояние от Земли до Солнца составляет $1,496 * 10^8$ км

5) $0,032 = 3,2 : 100 = 3,2 * \frac{1}{100} = 3,2 * \frac{1}{10^2} = 3,2 * 10^{-2}$
Ответ: атмосферное давление на высоте 100 км составляет $3,2 * 10^{-2}$ Па

6) $0,00000028 = 2,8 : 10000000 = 2,8 * \frac{1}{10000000} = 2,8 * \frac{1}{10^7} = 2,8 * 10^{-7}$
Ответ: диаметр молекулы воды равен $2,8 * 10^{-7}$ мм.

64

Ответы к странице 64

247. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 45000;
2) 260;
3) 0,00024;
4) 0,032;
5) $0,059 * 10^8$;
6) $526 * 10^4$.

Решение:

1) $45000 = 4,5 * 10000 = 4,5 * 10^4$
4 − порядок числа

2) $260 = 2,6 * 100 = 2,6 * 10^2$
2 − порядок числа

3) $0,00024 = 2,4 : 10000 = 2,4 * \frac{1}{10000} = 2,4 * \frac{1}{10^4} = 2,4 * 10^{-4}$
−4 − порядок числа

4) $0,032 = 3,2 : 100 = 3,2 * \frac{1}{100} = 3,2 * \frac{1}{10^2} = 3,2 * 10^{-2}$
−2 − порядок числа

5) $0,059 * 10^8 = 5,9 : 100 * 100000000 = 5,9 * \frac{1}{100} * 100000000 = 5,9 * 1000000 = 5,9 * 10^6$
6 − порядок числа

6) $526 * 10^4 = 5,26 * 100 * 10000 = 5,26 * 1000000 = 5,26 * 10^6$
6 − порядок числа

248. Запишите значение выражения в виде натурального числа или десятичной дроби:
1) $1,6 * 10^3$;
2) $5,7 * 10^6$;
3) $2,1 * 10^{-2}$;
4) $1,1 * 10^{-5}$.

Решение:

1) $1,6 * 10^3 = 1,6 * 1000 = 1600$

2) $5,7 * 10^6 = 5,7 * 1000000 = 5700000$

3) $2,1 * 10^{-2} = 2,1 * \frac{1}{10^2} = 2,1 : 100 = 0,021$

4) $1,1 * 10^{-5} = 1,1 * \frac{1}{10^5} = 1,1 : 100000 = 0,000011$

249. Запишите значение выражения в виде натурального числа или десятичной дроби:
1) $2,4 * 10^2$;
2) $4,8 * 10^5$;
3) $1,4 * 10^{-3}$;
4) $8,6 * 10^{-4}$.

Решение:

1) $2,4 * 10^2 = 2,4 * 100 = 240$

2) $4,8 * 10^5 = 4,8 * 100000 = 480000$

3) $1,4 * 10^{-3} = 1,4 * \frac{1}{10^3} = 1,4 : 1000 = 0,0014$

4) $8,6 * 10^{-4} = 8,6 * \frac{1}{10^4} = 8,6 : 10000 = 0,00086$

250. Докажите, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$

Решение:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}} = \frac{1}{a^n} * \frac{b^n}{1} = \frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$

251. Найдите значение выражения:
1) $(-\frac{1}{3})^{-1} * 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + (\frac{2}{9})^{-2} * (-1,5)^{-3}$;
2) $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + (1\frac{2}{3})^{-3} + 0,1^{-1}$.

Решение:

1) $(-\frac{1}{3})^{-1} * 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + (\frac{2}{9})^{-2} * (-1,5)^{-3} = -3 * \frac{1}{10} + 1 - (-8) + (\frac{9}{2})^2 * (-\frac{3}{2})^{-3} = -\frac{3}{10} + 1 + 8 + \frac{81}{4} * (-\frac{2}{3})^{3} = -\frac{3}{10} + 9 + \frac{81}{4} * (-\frac{8}{27}) = -\frac{3}{10} + 8\frac{10}{10} + \frac{3}{1} * (-\frac{2}{1}) = 8\frac{7}{10} - 6 = 2\frac{7}{10}$

2) $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + (1\frac{2}{3})^{-3} + 0,1^{-1} = (\frac{5}{2})^{-2} - 1 + (\frac{5}{3})^{-3} + (\frac{1}{10})^{-1} = (\frac{2}{5})^{2} - 1 + (\frac{3}{5})^{3} + 10 = \frac{4}{25} - 1 + \frac{27}{125} + 10 = \frac{20}{125} - 1 + \frac{27}{125} + 10 = 9\frac{47}{125}$

252. Расположите в порядке убывания:
1) $(\frac{1}{2})^3, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^{-1}, (\frac{1}{2})^{-2}$;
2) $4^{-1}, 4^3, 4^0, 4^{-2}$.

Решение:

1) $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
$(\frac{1}{2})^0 = 1$
$(\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$
$4 > 2 > 1 > \frac{1}{8}$
Ответ:
$(\frac{1}{2})^{-2} > (\frac{1}{2})^{-1} > (\frac{1}{2})^0 > (\frac{1}{2})^3$

2) $4^{-1} = \frac{1}{4}$
$4^3 = 64$
$4^0 = 1$
$4^{-2} = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$
$64 > 1 > \frac{1}{4} > \frac{1}{16}$
Ответ:
$4^3 > 4^0 > 4^{-1} > 4^{-2}$

253. Расположите в порядке возрастания:
1) $7^{-2}, 7^2, 7^{-1}, 7^{0}$;
2) $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^{0}, (\frac{1}{3})^{-1}$.

Решение:

1) $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$
$7^2 = 49$
$7^{-1} = \frac{1}{7}$
$7^{0} = 1$
$\frac{1}{49} < \frac{1}{7} < 1 < 49$
Ответ:
$7^{-2} < 7^{-1} < 7^{0} < 7^2$

2) $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$(\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$
$(\frac{1}{3})^{0} = 1$
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$\frac{1}{9} < 1 < 3 < 27$
Ответ:
$(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^{0} < (\frac{1}{3})^{-1} < (\frac{1}{3})^{-3}$

254. Сравните значения выражений:
1) $12^{0}$ и $(-6)^{0}$;
2) $0,2^{3}$ и $0,2^{-3}$;
3) $4^{6}$ и $0,25^{-6}$;
4) $3^{-1} * 7^{-1}$ и $21^{-1}$;
5) $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$;
6) $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1}$ и $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$.

Решение:

1) $12^{0}$ и $(-6)^{0}$
$12^{0} = 1$
$(-6)^{0} = 1$
1 = 1
Ответ:
$12^{0} = (-6)^{0}$

2) $0,2^{3}$ и $0,2^{-3}$
$0,2^{3}= (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$
$0,2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$
$\frac{1}{125} < 125$
Ответ:
$0,2^{3} < 0,2^{-3}$

3) $4^{6}$ и $0,25^{-6}$
$4^{6}$
$0,25^{-6} = (\frac{25}{100})^{-6} = (\frac{1}{4})^{-6} = 4^6$
$4^{6} = 4^6$
Ответ:
$4^{6} = 0,25^{-6}$

4) $3^{-1} * 7^{-1}$ и $21^{-1}$
$3^{-1} * 7^{-1} = \frac{1}{3} * \frac{1}{7} = \frac{1}{21}$
$21^{-1} = \frac{1}{21}$
$\frac{1}{21} = \frac{1}{21}$
Ответ:
$3^{-1} * 7^{-1} = 21^{-1}$

5) $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$
$5^{-1} - 7^{-1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 5}{35} = \frac{2}{35}$
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{35} < \frac{1}{2}$
Ответ:
$5^{-1} - 7^{-1} < 2^{-1}$

6) $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1}$ и $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$
$(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} = 3 + 2 = 5$
$(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1} = (\frac{2 + 3}{6})^{-1} = (\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$
$5 > 1\frac{1}{5}$
Ответ:
$(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} > (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$

255. Сравните значения выражений:
1) $3^{-2}$ и $(-3)^{0}$;
2) $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$;
3) $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.

Решение:

1) $3^{-2}$ и $(-3)^{0}$
$3^{-2} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$(-3)^{0} = 1$
$\frac{1}{9} < 1$
Ответ:
$3^{-2} < (-3)^{0}$

2) $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$
$3^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} = \frac{25}{30}$
$5^{-1} = \frac{1}{5} = \frac{6}{30}$
$\frac{25}{30} > \frac{6}{30}$
Ответ:
$3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}$

3) $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$
$(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} = 4^2 - 5^2 = 16 - 25 = -9$
$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5 - 4}{20})^{-2} = (\frac{1}{20})^{-2} = 20^2 = 400$
−9 < 400
Ответ:
$(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} < (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$

256. Представьте в виде дроби выражение:
1) $ab^{-1} + a^{-1}b$;
2) $3a^{-1} + ab^{-2}$;
3) $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3})$;
4) $(a + b)^{-1} * (a^{-1} + b^{-1})$;
5) $(c^{-2} - d^{-2}) : (c + d)$;
6) $(xy^{-2} + x^{-2}y) * (\frac{x^2 - xy + y^2}{x})^{-1}$.

Решение:

1) $ab^{-1} + a^{-1}b = a * \frac{1}{b} + \frac{1}{a}b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

2) $3a^{-1} + ab^{-2} = 3 * \frac{1}{a} + a * \frac{1}{b^2} = \frac{3}{a} + \frac{a}{b^2} = \frac{3b^2 + a^2}{ab^2}$

3) $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3}) = m^2n^2 * (\frac{1}{m^3} - \frac{1}{n^3}) = m^2n^2 * \frac{n^3 - m^3}{m^3n^3} = \frac{n^3 - m^3}{mn}$

4) $(a + b)^{-1} * (a^{-1} + b^{-1}) = \frac{1}{a + b} * (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{1}{a + b} * \frac{b + a}{ab} = \frac{1}{ab}$

5) $(c^{-2} - d^{-2}) : (c + d) = (\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2}) * \frac{1}{c + d} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2} * \frac{1}{c + d} = \frac{(d - c)(d + c)}{c^2d^2} * \frac{1}{c + d} = \frac{d - c}{c^2d^2}$

6) $(xy^{-2} + x^{-2}y) * (\frac{x^2 - xy + y^2}{x})^{-1} = (x * \frac{1}{y^2} + \frac{1}{x^2} * y) * \frac{x}{x^2 - xy + y^2} = (\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}) * \frac{x}{x^2 - xy + y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2} * \frac{x}{x^2 - xy + y^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{xy^2} * \frac{1}{x^2 - xy + y^2} = \frac{x + y}{xy^2}$

65

Ответы к странице 65

257. Представьте в виде дроби выражение:
1) $a^{-2} + a^{-3}$;
2) $mn^{-4} + m^{-4}n$;
3) $(c^{-1} - d^{-1}) * (c - d)^{-2}$;
4) $(x^{-2} + y^{-2}) * (x^{2} + y^{2})^{-1}$.

Решение:

1) $a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = \frac{a + 1}{a^3}$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n = m * \frac{1}{n^4} + \frac{1}{m^4} * n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4} = \frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

3) $(c^{-1} - d^{-1}) * (c - d)^{-2} = (\frac{1}{c} - \frac{1}{d}) * \frac{1}{(c - d)^2} = \frac{d - c}{cd} * \frac{1}{(d - c)^2} = \frac{1}{cd} * \frac{1}{d - c} = \frac{1}{cd(d - c)}$

4) $(x^{-2} + y^{-2}) * (x^{2} + y^{2})^{-1} = (\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}) * \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2} * \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2y^2}$

258. Порядок некоторого натурального числа равен 4. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение:

Пусть x − натуральное число, тогда:
$x * 10^4$ − стандартный вид числа с порядком равным 4, следовательно:
$x * 10^4 = x0000$ − десятичная запись данного числа.
Ответ: 5 цифр

259. Десятичная запись некотрого натурального числа состоит из семи цифр. Чему равен порядок этого числа?

Решение:

Пусть x000000 − десятичная запись числа, тогда:
$x * 10^6$ − стандартный вид числа.
Ответ: 6 − порядок числа

260. Какое число больше:
1) $9,7 * 10^{11}$ или $1,2 * 10^{12}$;
2) $3,6 * 10^{-5}$ или $4,8 * 10^{-6}$;
3) $2,34 * 10^{6}$ или $0,23 * 10^{7}$;
4) $42,7 * 10^{-9}$ или $0,072 * 10^{-7}$?

Решение:

1) $9,7 * 10^{11}$ или $1,2 * 10^{12}$
$9,7 * 10^{11}$
$1,2 * 10^{12}= 12 * 10^{11}$
$9,7 * 10^{11} < 12 * 10^{11}$
Ответ:
$9,7 * 10^{11} < 1,2 * 10^{12}$

2) $3,6 * 10^{-5}$ или $4,8 * 10^{-6}$
$3,6 * 10^{-5}$
$4,8 * 10^{-6} = 0,48 * 10^{-5}$
$0,36 * 10^{-6} > 0,48 * 10^{-5}$
Ответ:
$3,6 * 10^{-5} > 4,8 * 10^{-6}$

3) $2,34 * 10^{6}$ или $0,23 * 10^{7}$
$2,34 * 10^{6}$
$0,23 * 10^{7} = 2,3 * 10^{6}$
$2,34 * 10^{6} > 2,3 * 10^{6}$
Ответ:
$2,34 * 10^{6} > 0,23 * 10^{7}$

4) $42,7 * 10^{-9}$ или $0,072 * 10^{-7}$
$42,7 * 10^{-9} = 0,427 * 10^{-7}$
$0,427 * 10^{-7} > 0,072 * 10^{-7}$
Ответ:
$42,7 * 10^{-9} > 0,072 * 10^{-7}$

261. Какое число меньше:
1) $6,1 * 10^{19}$ или $6,15 * 10^{18}$;
2) $1,5 * 10^{-9}$ или $0,9 * 10^{-8}$?

Решение:

1) $6,1 * 10^{19}$ или $6,15 * 10^{18}$
$6,1 * 10^{19} = 61 * 10^{18}$
$6,15 * 10^{18}$
$61 * 10^{18} > 6,15 * 10^{18}$
Ответ:
$6,1 * 10^{19} > 6,15 * 10^{18}$

2) $1,5 * 10^{-9}$ или $0,9 * 10^{-8}$
$1,5 * 10^{-9} = 0,15 * 10^{-8}$
$0,9 * 10^{-8}$
$0,15 * 10^{-8} < 0,9 * 10^{-8}$
Ответ:
$1,5 * 10^{-9} < 0,9 * 10^{-8}$

262. В таблице приведены расстояния от Солнца до планет Солнечной системы.

Планета Расстояние, км
Венера $1,082 * 10^8$
Земля $1,495 * 10^8$
Марс $2,280 * 10^8$
Меркурий $5,790 * 10^7$
Нептун $4,497 * 10^9$
Сатурн $1,427 * 10^9$
Уран $2,871 * 10^9$
Юпитер $7,781 * 10^8$
1) Какая планета находится на наименьшем расстоянии от Солнца, а какая − на наибольшем?
2) Какая из планет, Марс или Сатурн, находится дальше от Солнца?
3) Составьте таблицу, записав в левом столбце названия планет в порядке увеличения расстояния от них до Солнца, а в правом − расстояния от них до Солнца, выраженные в миллионах километров.

Решение:

Приведем расстояния от Солнца до планет Солнечной системы к единому порядку:

Планета Расстояние, км Расстояние в едином порядке, км
Венера $1,082 * 10^8$ $1,082 * 10^8$
Земля $1,495 * 10^8$ $1,495 * 10^8$
Марс $2,280 * 10^8$ $2,280 * 10^8$
Меркурий $5,790 * 10^7$ $0,5790 * 10^8$
Нептун $4,497 * 10^9$ $44,97 * 10^8$
Сатурн $1,427 * 10^9$ $14,27 * 10^8$
Уран $2,871 * 10^9$ $28,71 * 10^8$
Юпитер $7,781 * 10^8$ $7,781 * 10^8$
Расстояния от Солнца до планет Солнечной системы в порядке убывания:
$44,97 * 10^8 > 28,71 * 10^8 > 14,27 * 10^8 > 7,781 * 10^8 > 2,280 * 10^8 > 1,495 * 10^8 > 1,082 * 10^8 > 0,5790 * 10^8$
Тогда:
1)
Нептун − находится на наибольшем расстоянии от Солнца ($44,97 * 10^8$ км).
Меркурий − находится на наименьшем расстоянии от Солнца. ($0,5790 * 10^8$ км)
2)
Сатурн находится дальше от Солнца, чем Марс.
$14,27 * 10^8 > 2,280 * 10^8$
3)

Планета Расстояние, км Расстояние, млн.км
Меркурий $5,790 * 10^7$ $57,90 * 10^6$
Венера $1,082 * 10^8$ $108,2 * 10^6$
Земля $1,495 * 10^8$ $149,5 * 10^6$
Марс $2,280 * 10^8$ $228 * 10^6$
Юпитер $7,781 * 10^8$ $778,1 * 10^6$
Сатурн $1,427 * 10^9$ $1427 * 10^6$
Уран $2,871 * 10^9$ $2871 * 10^6$
Нептун $4,497 * 10^9$ $4497 * 10^6$

263. В таблице приведены массы атомов некоторых химических элементов.
1) Масса атома какого из данных элементов наименьшая, а какого − наибольшая?
2) Масса атома какого из элементов, меди или натрия, больше?

Элемент Масса атома, кг
Азот $2,32 * 10^{-26}$
Алюминий $4,48 * 10^{-26}$
Водород $1,66 * 10^{-27}$
Гелий $6,64 * 10^{-27}$
Железо $9,28 * 10^{-26}$
Золото $3,27 * 10^{-25}$
Медь $1,05 * 10^{-25}$
Натрий $3,81 * 10^{-26}$
Олово $1,97 * 10^{-25}$
Уран $3,95 * 10^{-25}$
3) Составьте таблицу, упорядочив элементы в порядке уменьшения массы их атомов.

Решение:

Приведем массы атомов некоторых химических элементов к единому порядку:

Элемент Масса атома, кг Масса атома в едином порядке, кг
Азот $2,32 * 10^{-26}$ $2,32 * 10^{-26}$
Алюминий $4,48 * 10^{-26}$ $4,48 * 10^{-26}$
Водород $1,66 * 10^{-27}$ $0,166 * 10^{-26}$
Гелий $6,64 * 10^{-27}$ $0,664 * 10^{-26}$
Железо $9,28 * 10^{-26}$ $9,28 * 10^{-26}$
Золото $3,27 * 10^{-25}$ $32,7 * 10^{-26}$
Медь $1,05 * 10^{-25}$ $10,5 * 10^{-26}$
Натрий $3,81 * 10^{-26}$ $3,81 * 10^{-26}$
Олово $1,97 * 10^{-25}$ $19,7 * 10^{-26}$
Уран $3,95 * 10^{-25}$ $39,5 * 10^{-26}$
Массы атомов некоторых химических элементов в порядке убывания:
$39,5 * 10^{-26} > 32,7 * 10^{-26} > 19,7 * 10^{-26} > 10,5 * 10^{-26} > 9,28 * 10^{-26} > 4,48 * 10^{-26} > 3,81 * 10^{-26} > 2,32 * 10^{-26} > 0,664 * 10^{-26} > 0,166 * 10^{-26}$
Тогда:
1)
Масса атома водорода наименьшая ($0,166 * 10^{-26}$ кг).
Масса атома урана наибольшая. ($39,5 * 10^{-26}$ кг).
2)
Масса атома меди больше, чем масса атома натрия.
$10,5 * 10^{-26} > 3,81 * 10^{-26}$
3)

Элемент Масса атома, кг Масса атома в едином порядке, кг
Уран $3,95 * 10^{-25}$ $39,5 * 10^{-26}$
Золото $3,27 * 10^{-25}$ $32,7 * 10^{-26}$
Олово $1,97 * 10^{-25}$ $19,7 * 10^{-26}$
Медь $1,05 * 10^{-25}$ $10,5 * 10^{-26}$
Железо $9,28 * 10^{-26}$ $9,28 * 10^{-26}$
Алюминий $4,48 * 10^{-26}$ $4,48 * 10^{-26}$
Натрий $3,81 * 10^{-26}$ $3,81 * 10^{-26}$
Азот $2,32 * 10^{-26}$ $2,32 * 10^{-26}$
Гелий $6,64 * 10^{-27}$ $0,664 * 10^{-26}$
Водород $1,66 * 10^{-27}$ $0,166 * 10^{-26}$

66

Ответы к странице 66

264. В таблице приведены запасы некоторых веществ в минеральных ресурсах мира.

Вещество      Запасы, т
Алюминий   $1,1 * 10^{9}$
Вольфрам   $1,3 * 10^{6}$
Железо        $8,8 * 10^{10}$
Золото         $1,1 * 10^{4}$
Марганец    $6,35 * 10^{8}$
Медь           $2,8 * 10^{9}$
Никель        $6,8 * 10^{7}$
Олово         $4,76 * 10^{6}$
Ртуть          $1,15 * 10^{5}$
Фосфаты    $1,98 * 10^{10}$
Хром           $4,4 * 10^{9}$
Цинк            $1,12 * 10^{8}$
1) Запасы какого из данных веществ наибольшие, а какого − наименьшие?
2) Запасы какого из веществ, никеля или цинка, больше?
3) Составьте таблицу минеральных ресурсов, разместив вещества в порядке уменьшения их запасов.

Решение:

Приведем запасы некоторых веществ в минеральных ресурсах мира к единому порядку:

Вещество Запасы, т Запасы в едином порядке, т
Алюминий $1,1 * 10^{9}$ $110 * 10^{7}$
Вольфрам $1,3 * 10^{6}$ $0,13 * 10^{7}$
Железо $8,8 * 10^{10}$ $8800 * 10^{7}$
Золото $1,1 * 10^{4}$ $0,0011 * 10^{7}$
Марганец $6,35 * 10^{8}$ $63,5 * 10^{7}$
Медь $2,8 * 10^{9}$ $280 * 10^{7}$
Никель $6,8 * 10^{7}$ $6,8 * 10^{7}$
Олово $4,76 * 10^{6}$ $0,476 * 10^{7}$
Ртуть $1,15 * 10^{5}$ $0,0115 * 10^{7}$
Фосфаты $1,98 * 10^{10}$ $1980 * 10^{7}$
Хром $4,4 * 10^{9}$ $440 * 10^{7}$
Цинк $1,12 * 10^{8}$ $11,2 * 10^{7}$
Запасы некоторых веществ в минеральных ресурсах мира в порядке убывания:
$8800 * 10^{7} > 1980 * 10^{7} > 440 * 10^{7} > 280 * 10^{7} > 110 * 10^{7} > 63,5 * 10^{7} > 11,2 * 10^{7} > 6,8 * 10^{7} > 0,476 * 10^{7} > 0,13 * 10^{7} > 0,0115 * 10^{7} > 0,0011 * 10^{7}$
Тогда:
1)
Запасы железа наибольшие. ($8800 * 10^{7}$ т)
Запасы золота наименьшие. ($0,0011 * 10^{7}$ т)
2)
Запасы цинка больше, чем запасы никеля.
$11,2 * 10^{7} > 6,8 * 10^{7}$
3)

Вещество Запасы, т Запасы в едином порядке, т
Железо $8,8 * 10^{10}$ $8800 * 10^{7}$
Фосфаты $1,98 * 10^{10}$ $1980 * 10^{7}$
Хром $4,4 * 10^{9}$ $440 * 10^{7}$
Медь $2,8 * 10^{9}$ $280 * 10^{7}$
Алюминий $1,1 * 10^{9}$ $110 * 10^{7}$
Марганец $6,35 * 10^{8}$ $63,5 * 10^{7}$
Цинк $1,12 * 10^{8}$ $11,2 * 10^{7}$
Никель $6,8 * 10^{7}$ $6,8 * 10^{7}$
Олово $4,76 * 10^{6}$ $0,476 * 10^{7}$
Вольфрам $1,3 * 10^{6}$ $0,13 * 10^{7}$
Ртуть $1,15 * 10^{5}$ $0,0115 * 10^{7}$
Золото $1,1 * 10^{4}$ $0,0011 * 10^{7}$

265. Масса чугунной болванки 16 кг. Какое наименьшее количество болванок потребуется, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая?

Решение:

1) 41 * 12 = 492 (кг) − масса 41 детали;
2) 492 : 16 = 30,75 ≈ 31 (болванка) − потребуется минимум, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая.
Ответ: 31 болванка

266. В некотором городе на сегодняшний день проживает 88200 жителей. Сколько жителей было в этом городе 2 года назад, если ежегодный прирост населения составлял 5%?

Решение:

Пусть x (жителей) − было в городе 2 года назад, тогда:
0,05x (жителей) − прибавилось в первый год;
0,05x + x = 1,05x (жителей) − проживало в городе на конец первого года;
0,05 * 1,05x = 0,0525x (жителей) − прибавилось во второй год.
Зная, что на сегодняшний день в городе проживает 88200 жителей, можно составить уравнение:
x + 0,05x + 0,0525x = 88200
1,1025x = 88200
x = 80000 (жителей) − было в городе 2 года назад.
Ответ: 80000 жителей.

67

Ответы к странице 67

267. Дима ходит из дома на стадион пешком со скоростью 4 км/ч. Если он поедет на стадион на велосипеде со скоростью 12 км/ч, то приедет на 20 мин раньше, чем обычно. На каком расстоянии от дома Димы находится стадион?

Решение:

20 (мин) = $\frac{20}{60}$ (ч) = $\frac{1}{3}$ (ч)
Пусть x (ч) − идет Дима из дома на стадион, тогда:

v, км/ч t, ч S, км
Пешком 4 x 4x
На велосипеде 12 $x - \frac{1}{3}$ $12(x - \frac{1}{3})$
Зная, что и пешком и на велосипеде Дима преодолеет одно и то же расстояние, можно составить уравнение:
$4x = 12(x - \frac{1}{3})$
4x = 12x − 4
4x − 12x = −4
−8x = −4
x = 0,5 (ч) − идет Дима из дома на стадион;
4x = 4 * 0,5 = 2 (км) − расстояние от дома Димы до стадиона.
Ответ: 2 км

268. Упростите выражение
$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2}$.

Решение:

$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2} = \frac{2a^2 + 2}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3(a - 1)}{2(a + 1)} = \frac{2(2a^2 + 2) - 2(a + 1)^2 + 3(a - 1)^2}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a^2 + 4 - 2(a^2 + 2a + 1) + 3(a^2 - 2a + 1)}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a^2 + 4 - 2a^2 - 4a - 2 + 3a^2 - 6a + 3}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a^2 - 10a + 5}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5(a^2 - 2a + 1)}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5(a - 1)^2}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5(a - 1)}{2(a + 1)}$

269. Можно ли утверждать, что при любом натуральном n значение выражения $(5n + 6,5)^2 - (2n + 0,5)^2$ кратно 42?

Решение:

$(5n + 6,5)^2 - (2n + 0,5)^2 = (5n + 6,5 - (2n + 0,5))(5n + 6,5 + 2n + 0,5) = (5n + 6,5 - 2n - 0,5)(7n + 7) = (3n + 6)(7n + 7) = 3(n + 2) * 7(n + 1) = 21(n + 2)(n + 1)$
Из двух множителей (n + 2) и (n + 1) один обязательно является четным, а значит будет кратен 2. А так как 21 * 2 = 42, значит можно утверждать, что при любом натуральном n значение данного выражения кратно 42.
Ответ: да, можно.

270. Представьте в виде степени с основанием a выражение:
1) $a^7 * a^5$;
2) $a^7 : a^5$;
3) $(a^7)^5$;
4) $\frac{(a^3)^6 * a^4}{a^{16}}$.

Решение:

1) $a^7 * a^5 = a^{7 + 5} = a^{12}$

2) $a^7 : a^5 = a^{7 - 5} = a^{2}$

3) $(a^7)^5 = a^{7 * 5} = a^{35}$

4) $\frac{(a^3)^6 * a^4}{a^{16}} = \frac{a^{3 * 6} * a^4}{a^{16}} = \frac{a^{18} * a^4}{a^{16}} = \frac{a^{18 + 4}}{a^{16}} = \frac{a^{22}}{a^{16}} = a^{22 - 16} = a^6$

271. Упростите выражение:
1) $-4m^3n^5 * 5m^4n^2$;
2) $(-2m^7n^2)^4$;
3) $8x^3y^4 * (-\frac{1}{2}x^2y^5)^3$.

Решение:

1) $-4m^3n^5 * 5m^4n^2 = (-4 * 5)m^{3 + 4}n^{5 + 2} = -20m^7n^7$

2) $(-2m^7n^2)^4 = (-2)^4m^{7 * 4}n^{2 * 4} = 16m^{28}n^{8}$

3) $8x^3y^4 * (-\frac{1}{2}x^2y^5)^3 = 8x^3y^4 * (-\frac{1}{2})^3x^{2 * 3}y^{5 * 3} = 8x^3y^4 * (-\frac{1}{8})x^{6}y^{15} = -x^{3 + 6}y^{4 + 15} = -x^{9}y^{19}$

272. Найдите значение выражения:
1) $\frac{3^{10} * 27^3}{9^9}$;
2) $(5\frac{1}{3})^7 * (\frac{3}{16})^8$.

Решение:

1) $\frac{3^{10} * 27^3}{9^9} = \frac{3^{10} * (3^3)^3}{(3^2)^9} = \frac{3^{10} * 3^9}{3^{18}} = \frac{3^{19}}{3^{18}} = 3$

2) $(5\frac{1}{3})^7 * (\frac{3}{16})^8 = (\frac{16}{3})^7 * (\frac{3}{16})^8 = \frac{16^7}{3^7} * \frac{3^8}{16^8} = \frac{3}{16}$

№273. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причем у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Может ли взрослых быть больше, чем детей?

Решение:

Супружеская пара - это двое взрослых (мама и папа).
Так как у каждого мальчика есть сестра, значит у каждой пары взрослых минимум двое детей.
Так как мальчиков больше, чем девочек, то в каких-то семьях детей больше двух.
Значит, взрослых не может быть больше, чем детей.
Ответ: не может.

70

Ответы к странице 70

§9. Свойства степени с целым показателем

Вопросы

1. Сформулируйте свойства степени с целым показателем.

Решение:

1) $a^m * a^n = a^{m + n}$;
2) $(a^m)^n = a^{mn}$;
3) $(ab)^n = a^nb^n$;
4) $a^m : a^n = a^{m - n}$;
5) $(\frac{a}{n})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Упражнения

274. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниям:
1) $a^{-6} * a^{9}$;
2) $a^{5} * a^{-8}$;
3) $a^{-5} * a^{10} * a^{-12}$;
4) $a^{-2} : a^{6}$;
5) $a^{7} : a^{-3}$;
6) $a^{-3} : a^{-15}$;
7) $a^{12} * a^{-20} : a^{-9}$;
8) $(a^{-5})^{4}$;
9) $(a^{-6})^{-8}$;
10) $(a^{2})^{-4} * (a^{-3})^{-2} : (a^{-8})^3$;
11) $(a^{4}b^{-2}c^3)^{-10}$;
12) $(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}})^{-2}$.

Решение:

1) $a^{-6} * a^{9} = a^{-6 + 9} = a^{3}$

2) $a^{5} * a^{-8} = a^{5 - 8} = a^{-3}$

3) $a^{-5} * a^{10} * a^{-12} = a^{-5 + 10 - 12} = a^{-7}$

4) $a^{-2} : a^{6} = a^{-2 - 6} = a^{-8}$

5) $a^{7} : a^{-3} = a^{7 - (-3)} = a^{7 + 3} = a^{10}$

6) $a^{-3} : a^{-15} = a^{-3 - (-15)} = a^{-3 + 15} = a^{12}$

7) $a^{12} * a^{-20} : a^{-9} = a^{12 - 20 - (-9)} = a^{-8 + 9} = a^{1}$

8) $(a^{-5})^{4} = a^{(-5) * 4} = a^{-20}$

9) $(a^{-6})^{-8} = a^{-6 * (-8)} = a^{48}$

10) $(a^{2})^{-4} * (a^{-3})^{-2} : (a^{-8})^3 = a^{2 * (-4) + (-3) * (-2) - (-8) * 3} = a^{-8 + 6 + 24} = a^{22}$

11) $(a^{4}b^{-2}c^3)^{-10} = a^{4 * (-10)}b^{-2 * (-10)}c^{3 * (-10)} = a^{-40}b^{20}c^{-30}$

12) $(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}})^{-2} = \frac{a^{10 * (-2)}b^{-7 * (-2)}}{c^{6 * (-2)}d^{-14 * (-2)}} = \frac{a^{-20}b^{14}}{c^{-12}d^{28}} = a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28}$

275. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниями:
1) $a^{6} * a^{-10}$;
2) $a^{4} : a^{7}$;
3) $a^{-5} : a^{-9}$;
4) $(a^{-2})^6$;
5) $(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4}$;
6) $(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3}$;
7) $a^{-16} * a^8 : a^{-4}$;
8) $(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 * (a^{-7})^{-4}$.

Решение:

1) $a^{6} * a^{-10} = a^{6 - 10} = a^{-4}$

2) $a^{4} : a^{7} = a^{4 - 7} = a^{-3}$

3) $a^{-5} : a^{-9} = a^{-5 - (-9)} = a^{-5 + 9} = a^{4}$

4) $(a^{-2})^6 = a^{-2 * 6} = a^{-12}$

5) $(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4} = a^{-3 * (-4)}b^{-1 * (-4)}c^{7 * (-4)} = a^{12}b^{4}c^{-28}$

6) $(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3} = \frac{a^{2 * (-3)}}{b^{-3}c^{-1 * (-3)}} = \frac{a^{-6}}{b^{-3}c^{3}} = a^{-6}b^{3}c^{-3}$

7) $a^{-16} * a^8 : a^{-4} = a^{-16 + 8 - (-4)} = a^{-8 + 4} = a^{-4}$

8) $(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 * (a^{-7})^{-4} = a^{-3 * 8 - (-1) * 7 + (-7) * (-4)} = a^{-24 + 7 + 28} = a^{11}$

276. Найдите значение выражения:
1) $9^5 * 9^{-7}$;
2) $10^{-8} * 10^{12}$;
3) $3^{-18} : 3^{-21}$;
4) $2^{-9} * 2^{-12} : 2^{-22}$;
5) $(17^4)^{-12} * (17^{-6})^{-8}$;
6) $\frac{6^{-5} * (6^{-3})4}{(6^{-7})^2 * 6^{-3}}$;
7) $3^{-3} * (\frac{2}{3})^{-3}$;
8) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}}$.

Решение:

1) $9^5 * 9^{-7} = 9^{5 - 7} = 9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$

2) $10^{-8} * 10^{12} = 10^{-8 + 12} = 10^4 = 10000$

3) $3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18 - (-21)} = 3^{-18 + 21} = 3^3 = 27$

4) $2^{-9} * 2^{-12} : 2^{-22} = 2^{-9 - 12 - (-22)} = 2^{-21 + 22} = 2^1 = 2$

5) $(17^4)^{-12} * (17^{-6})^{-8} = 17^{4 * (-12) + (-6) * (-8)} = 17^{-48 + 48} = 17^0 = 1$

6) $\frac{6^{-5} * (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 * 6^{-3}} = 6^{(-5 - 3 * 4) - (-7 * 2 - 3)} = 6^{(-5 - 12) - (-14 - 3)} = 6^{-17 - (-17)} = 6^{-17 + 17} = 6^0 = 1$

7) $3^{-3} * (\frac{2}{3})^{-3} = 3^{-3} * \frac{2^{-3}}{3^{-3}} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

8) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}} = \frac{(2 * 7)^{-5}}{7^{-5}} = \frac{2^{-5} * 7^{-5}}{7^{-5}} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

277. Найдите значение выражения:
1) $6^{-9} * 6^6$;
2) $7^{-16} : 7^{-18}$;
3) $5^{-7} : 5^{-6} * 5^3$;
4) $\frac{4^{-7} * (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7}$;
5) $0,8^{-4} * (1\frac{1}{4})^{-4}$;
6) $\frac{11^{-2}}{22^{-2}}$.

Решение:

1) $6^{-9} * 6^6 = 6^{-9 + 6} = 6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$

2) $7^{-16} : 7^{-18} = 7^{-16 - (-18)} = 7^{-16 + 18} = 7^2 = 49$

3) $5^{-7} : 5^{-6} * 5^3 = 5^{-7 - (-6) + 3} = 5^{-7 + 6 + 3} = 5^2 = 25$

4) $\frac{4^{-7} * (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7} = \frac{4^{-7 - 5 * 3}}{4^{-3 * 7}} = \frac{4^{-7 - 15}}{4^{-21}} = \frac{4^{-22}}{4^{-21}} = 4^{-22 - (-21)} = 4^{-22 + 21} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$

5) $0,8^{-4} * (1\frac{1}{4})^{-4} = (\frac{8}{10})^{-4} * (\frac{5}{4})^{-4} = (\frac{4}{5})^{-4} * (\frac{5}{4})^{-4} = \frac{4^{-4}}{5^{-4}} * \frac{5^{-4}}{4^{-4}} = 1$

6) $\frac{11^{-2}}{22^{-2}} = \frac{11^{-2}}{(2 * 11)^{-2}} = \frac{11^{-2}}{2^{-2} * 11^{-2}} = \frac{1}{2^{-2}} = 2^2 = 4$

278. Упростите выражение:
1) $3a^{-3} * 4a^{-4}$;
2) $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}}$;
3) $(2c^{-6})^{4}$;
4) $m^{-2}n * mn^{-2}$;
5) $abc^{-1} * ab^{-1}c$;
6) $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4}$;
7) $(c^{-6}d^2)^{-7}$;
8) $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} * \frac{6}{7}a^{7}b^{4}$;
9) $0,2c^{-3}d^5 * 1,5c^{-2}d^{-5}$;
10) $4x^8 * (-3x^{-2}y^4)^{-2}$;
11) $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} * \frac{27n}{26m^2}$;
12) $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6}$.

Решение:

1) $3a^{-3} * 4a^{-4} = 12a^{-3 - 4} = 12a^{-7}$

2) $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}} = \frac{2}{3b^{-1}} = \frac{2}{3}b$

3) $(2c^{-6})^{4} = 2^4c^{-6 * 4} = 16c^{-24}$

4) $m^{-2}n * mn^{-2} = m^{-2 + 1}n^{1 - 2}= m^{-1}n^{-1}$

5) $abc^{-1} * ab^{-1}c = a^{1 + 1}b^{1 - 1}c^{-1 + 1} = a^2b^0c^0 = a^2$

6) $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4} = \frac{1}{k^3p^{4 + 6}} = \frac{1}{k^3p^{10}}$

7) $(c^{-6}d^2)^{-7} = c^{-6 * (-7)}d^{2 * (-7)} = c^{42}d^{-14}$

8) $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} * \frac{6}{7}a^{7}b^{4} = (\frac{1}{3} * \frac{6}{7})a^{-3 + 7}b^{-6 * 4} = \frac{2}{7}a^4b^{-2}$

9) $0,2c^{-3}d^5 * 1,5c^{-2}d^{-5} = (0,2 * 1,5)c^{-3 - 2}d^{5 - 5} = 0,3c^{-5}d^{0} = 0,3c^{-5}$

10) $4x^8 * (-3x^{-2}y^4)^{-2} = 4x^8 * \frac{1}{(-3x^{-2}y^4)^2} = 4x^8 * \frac{1}{(-3)^2x^{-2 * 2}y^{4 * 2}} = 4x^8 * \frac{1}{9x^{-4}y^{8}} = \frac{4x^{8 - (-4)}}{9y^{8}} = \frac{4x^{8 + 4}}{9y^{8}} = \frac{4x^{12}}{9y^{8}}$

11) $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} * \frac{27n}{26m^2} = \frac{m^{-10}}{4n^{-8}} * \frac{9n}{2m^2} = \frac{n^{8}}{4m^{10}} * \frac{9n}{2m^2} = \frac{9n^{8 + 1}}{8m^{10 + 2}} = \frac{9n^{9}}{8m^{12}}$

12) $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6} = \frac{18p^{-6}k^2}{7} * \frac{p^6}{15k^{-2}} = \frac{18k^2}{7p^{6}} * \frac{k^{2}p^6}{15} = \frac{6k^2}{7} * \frac{k^{2}}{5} = \frac{6k^4}{35}$

71

Ответы к странице 71

279. Упростите выражение:
1) $2a^{-5}b^2 * 3a^{-2}b^{-5}$;
2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2}$;
3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}}$;
4) $0,8a^{-6}b^8 * 5a^{10}b^{-8}$;
5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} * \frac{y^{4}}{5x^{-7}}$;
6) $28c^3d^{-2} * (2cd^{-1})^{-2}$.

Решение:

1) $2a^{-5}b^2 * 3a^{-2}b^{-5} = (2 * 3)a^{-5 - 2}b^{2 - 5} = 6a^{-7}b^{-3}$

2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2}m^{-2}n^{-3 * (-2)} = 2^2m^{-2}n^6 = 4m^{-2}n^6$

3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}} = \frac{4b^{1 - (-3)}}{a} = \frac{4b^{1 + 3}}{a} = \frac{4b^{4}}{a}$

4) $0,8a^{-6}b^8 * 5a^{10}b^{-8} = (0,8 * 5)a^{-6 + 10}b^{8 - 8}= 4a^4b^0 = 4a^4$

5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} * \frac{y^{4}}{5x^{-7}} = \frac{25y^4}{x^3} * \frac{x^7y^{4}}{5} = \frac{5y^4}{1} * \frac{x^4y^{4}}{1} = 5x^4y^8$

6) $28c^3d^{-2} * (2cd^{-1})^{-2} = 28c^3d^{-2} * \frac{c^{-2}d^2}{2^2} = \frac{28c^{3 - 2}d^{-2 + 2}}{4} = \frac{7c^{1}d^{0}}{1} = 7c$

280. Найдите значение выражения:
1) $8^{-3} * 2^7$;
2) $27^{-2} : 9^{-4}$;
3) $100^{-2} : 1000^{-5} * 0,01^6$;
4) $(2\frac{1}{4})^{-4} * ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$;
5) $25^{-4} : (0,2^{-3})^{-2}$;
6) $\frac{(-36)^{-3} * 6^8}{216^{-5} * (-6)^{18}}$;
7) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} * 16^{-3}}$;
8) $\frac{14^5 * 2^{-7}}{28^{-2} * 7^8}$.

Решение:

1) $8^{-3} * 2^7 = (2^3)^{-3} * 2^7 = 2^{-9} * 2^{7} = 2^{-9 + 7} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

2) $27^{-2} : 9^{-4} = (3^3)^{-2} : (3^2)^{-4} = 3^{-6} : 3^{-8} = 3^{-6 - (-8)} = 3^{-6 + 8} = 3^2 = 9$

3) $100^{-2} : 1000^{-5} * 0,01^6 = (10^2)^{-2} : (10^3)^{-5} * (10^{-2})^6 = 10^{-4} : 10^{-15} * 10^{-12} = 10^{-4 - (-15) - 12} = 10^{-4 + 15 - 12} = 10^{-1} = 0,1$

4) $(2\frac{1}{4})^{-4} * ((\frac{2}{3})^3)^{-3} = (\frac{9}{4})^{-4} * (\frac{2}{3})^{-9} = (\frac{4}{9})^{4} * (\frac{3}{2})^{9} = (\frac{2^2}{3^2})^{4} * (\frac{3}{2})^{9} = \frac{2^8}{3^8} * \frac{3^9}{2^9} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

5) $25^{-4} : (0,2^{-3})^{-2} = \frac{1}{25^4} : ((\frac{1}{5})^{-3})^{-2} = \frac{1}{(5^2)^4} : (\frac{1}{5})^{6} = \frac{1}{5^8} * 5^6 = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

6) $\frac{(-36)^{-3} * 6^8}{216^{-5} * (-6)^{18}} = \frac{(-6^2)^{-3} * 6^8}{(6^3)^{-5} * (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{-6} * 6^8}{6^{-15} * (-6)^{18}} = \frac{6^{-6} * 6^8}{6^{-15} * 6^{18}} = \frac{6^2}{6^3} = \frac{1}{6}$

7) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} * 16^{-3}} = \frac{81^{2} * 16^{3}}{6^{10}} = \frac{(3^4)^{2} * (2^4)^{3}}{(2 * 3)^{10}} = \frac{3^8 * 2^{12}}{2^{10} * 3^{10}} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9}$

8) $\frac{14^5 * 2^{-7}}{28^{-2} * 7^8} = \frac{14^5 * 28^{2}}{2^{7} * 7^8} = \frac{(2 * 7)^5 * (2^2 * 7)^{2}}{2^{7} * 7^8} = \frac{2^5 * 7^5 * 2^4 * 7^{2}}{2^{7} * 7^8} = \frac{2^9 * 7^7}{2^{7} * 7^8} = \frac{2^2}{7} = \frac{4}{7}$

281. Найдите значение выражения:
1) $9^{-4} * 27^2$;
2) $32^{-5} : 64^{-4}$;
3) $(2\frac{7}{9})^{-7} * ((\frac{3}{5})^{-3})^{5}$;
4) $8^{-2} : 0,5^4$;
5) $\frac{22^6 * 2^{-8}}{44^{-3} * 11^9}$;
6) $\frac{10^{-2} * 15^{-4}}{30^{-6}}$.

Решение:

1) $9^{-4} * 27^2 = (3^2)^{-4} * (3^3)^2 = 3^{-8} * 3^6 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

2) $32^{-5} : 64^{-4} = (2^5)^{-5} : (2^6)^{-4} = 2^{-25} : 2^{-24} = 2^{-25 - (-24)} = 2^{-25 + 24} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

3) $(2\frac{7}{9})^{-7} * ((\frac{3}{5})^{-3})^{5} = (\frac{25}{9})^{-7} * (\frac{3}{5})^{-15} = (\frac{9}{25})^{7} * (\frac{5}{3})^{15} = (\frac{3^2}{5^2})^{7} * \frac{5^{15}}{3^{15}} = \frac{3^{14}}{5^{14}} * \frac{5^{15}}{3^{15}} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

4) $8^{-2} : 0,5^4 = (2^3)^{-2} : (2^{-1})^4 = 2^{-6} : 2^{-4} = 2^{-6 - (-4)} = 2^{-6 + 4} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

5) $\frac{22^6 * 2^{-8}}{44^{-3} * 11^9} = \frac{22^6 * 44^{3}}{2^{8} * 11^9} = \frac{(2 * 11)^6 * (2^2 * 11)^{3}}{2^{8} * 11^9} = \frac{2^6 * 11^6 * (2^2)^3 * 11^{3}}{2^{8} * 11^9} = \frac{2^6 * 2^6 * 11^{9}}{2^{8} * 11^9} = \frac{2^{12}}{2^{8}} = 2^4 = 16$

6) $\frac{10^{-2} * 15^{-4}}{30^{-6}} = \frac{30^{6}}{10^{2} * 15^{4}} = \frac{(2 * 3 * 5)^{6}}{(2 * 5)^{2} * (3 * 5)^{4}} = \frac{2^6 * 3^6 * 5^{6}}{2^2 * 5^{2} * 3^4 * 5^{4}} = \frac{2^4 * 3^2}{1} = 16 * 9 = 144$

282. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:
1) $-2,4a^{-4}b^3 * (-2a^{-3}c^{-5})^{-3}$;
2) $(-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} * (0,1yz^{-4})^{-2}$;
3) $1\frac{7}{9}m^{-6}n * (1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3}$;
4) $(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} * (-6a^2b^9)^{-2}$;
5) $(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} * 49m^{-6}n^4$;
6) $(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} * (16x^{-6}y^4)^2$.

Решение:

1) $-2,4a^{-4}b^3 * (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = -2,4a^{-4}b^3 * (-\frac{a^9c^{15}}{8}) = 0,3a^5b^3c^{15}$

2) $(-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} * (0,1yz^{-4})^{-2} = 0,01x^4y^{-2}z^{16} * 100y^{-2}z^8 = x^4y^{-4}z^{24} = \frac{x^4z^{24}}{y^{4}}$

3) $1\frac{7}{9}m^{-6}n * (1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = \frac{16}{9}m^{-6}n * (\frac{4}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = \frac{2^4}{3^2}m^{-6}n * (\frac{2^2}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = \frac{2^4}{3^2}m^{-6}n * \frac{3^{3}}{(2^2)^{3}}m^{3}n^{12} = \frac{2^4}{3^2}m^{-6}n * \frac{3^3}{2^{6}}m^{3}n^{12} = \frac{3}{2^{2}}m^{-3}n^{13} = \frac{3n^{13}}{4m^{3}}$

4) $(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} * (-6a^2b^9)^{-2}= -6^3a^9b^{18} * 6^{-2}a^{-4}b^{-18} = -6a^5$

5) $(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} * 49m^{-6}n^4 = (\frac{5k^{-1}}{7p^{-3}})^{2} * 7^2m^{-6}n^4 = \frac{5^2k^{-2}}{7^2p^{-6}} * 7^2m^{-6}n^4 = \frac{5^2p^{6}}{7^2k^{2}} * 7^2m^{-6}n^4 = \frac{25n^4p^{6}}{k^{2}m^{6}}$

6) $(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} * (16x^{-6}y^4)^2 = \frac{(2^2)^{-3}x^{15}}{3^{-3}y^{6}} * (2^4)^2x^{-12}y^8 = \frac{2^{-6}x^{15}}{3^{-3}y^{6}} * 2^8x^{-12}y^8 = \frac{3^{3}x^{15}}{2^{6}y^{6}} * 2^8x^{-12}y^8 = \frac{3^{3}x^{3}}{1} * 2^2y^2 = 27 * 4x^3y^2 = 108x^3y^2$

283. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:
1) $3,6a^{-8}b^4 * (-3a^{-3}b^{-7})^{-2}$;
2) $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 * (1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3}$;
3) $(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} * 125m^{-10}n^{2}$;
4) $(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} * (a^{-4}b)^4$.

Решение:

1) $3,6a^{-8}b^4 * (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = 3,6a^{-8}b^4 * \frac{1}{9}a^{6}b^{14} = 0,4a^{-2}b^{18} = \frac{2b^{18}}{5a^2}$

2) $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 * (1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3} = \frac{25}{16}x^{-6}y^2 * (\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3} = \frac{5^2}{2^4}x^{-6}y^2 * \frac{4^3}{5^3}x^3y^9 = \frac{5^2}{2^4}x^{-3}y^{11} * \frac{(2^2)^3}{5^3} = \frac{1}{2^4}x^{-3}y^{11} * \frac{2^6}{5} = \frac{2^2y^{11}}{5x^3} = \frac{4y^{11}}{5x^3}$

3) $(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} * 125m^{-10}n^{2} = \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} * 5^3m^{-10}n^{2} = \frac{6^{3}m^{12}}{5^{3}n^{3}} * 5^3m^{-10}n^{2} = \frac{6^{3}m^{2}}{n} = \frac{216m^{2}}{n}$

4) $(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} * (a^{-4}b)^4 = \frac{7^{-2}a^{12}}{b^{-10}} * a^{-16}b^4 = \frac{a^{12}b^{10}}{7^2} * a^{-16}b^4 = \frac{a^{-4}b^{14}}{49} = \frac{b^{14}}{49a^4}$

284. Вынесите за скобки степень с основанием a и наименьшим из данных показателей:
1) $a^3 - 2a^4$;
2) $a^{-3} - 2a^{-4}$;
3) $a^3 - 2a^{-4}$.

Решение:

1) $a^3 - 2a^4 = a^3 * 1 - a^3 * 2a = a^3(1 - 2a)$

2) $a^{-3} - 2a^{-4} = a^{-4} * a - a^{-4} * 2 = a^{-4}(a - 2)$

3) $a^3 - 2a^{-4} = a^{-4} * a^7 - a^{-4} * 2 = a^{-4}(a^7 - 2)$

72

Ответы к странице 72

285. Вынесите за скобки степень с основанием b и наименьшим из данных показателей:
1) $b^3 + 3b^2$;
2) $b^{-3} + 3b^{-2}$;
3) $b^{-3} + 3b^{2}$.

Решение:

1) $b^3 + 3b^2 = b^2 * b + b^2 * 3 = b^2(b + 3)$

2) $b^{-3} + 3b^{-2}= b^{-3} * 1 + b^{-3} * 3b = b^{-3}(1 + 3b)$

3) $b^{-3} + 3b^{2} = b^{-3} * 1 + b^{-3} * 3b^5 = b^{-3}(1 + 3b^5)$

286. Представьте в виде произведения выражение:
1) $a^{-2} - 4$;
2) $a^{-4}b^{-6} - 1$;
3) $25x^{-8}y^{-12} - z^{-2}$;
4) $a^{-3} + b^{-3}$;
5) $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2}$;
6) $a^{-8} - 49a^{-2}$.

Решение:

1) $a^{-2} - 4 = (a^{-1})^2 - 2^2 = (a^{-1} - 2)(a^{-1} + 2)$

2) $a^{-4}b^{-6} - 1 = (a^{-2}b^{-3})^2 - 1^2 = (a^{-2}b^{-3} - 1)(a^{-2}b^{-3} + 1)$

3) $25x^{-8}y^{-12} - z^{-2} = (5x^{-4}y^{-6})^2 - (z^{-1})^2 = (5x^{-4}y^{-6} - z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1})$

4) $a^{-3} + b^{-3} = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = (a^{-1} + b^{-1})((a^{-1})^2 - a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2) = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$

5) $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2} = (m^{-2})^2 - 2 * m^{-2} * 3p^{-1} + (3p^{-1})^2 = (m^{-2} - 3p^{-1})^2 = (m^{-2} - 3p^{-1})(m^{-2} - 3p^{-1})$

6) $a^{-8} - 49a^{-2} = (a^{-4})^2 - (7a^{-1})^2 = (a^{-4} - 7a^{-1})(a^{-4} + 7a^{-1})$

287. Представьте в виде произведения выражение:
1) $x^{-4} - 25$;
2) $m^{-6} - 8n^{-3}$;
3) $a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14}$;
4) $a^{-4} - a^{-2}$.

Решение:

1) $x^{-4} - 25 = (x^{-2})^2 - 5^2 = (x^{-2} - 5)(x^{-2} + 5)$

2) $m^{-6} - 8n^{-3} = (m^{-2})^3 - (2n^{-1})^3 = (m^{-2} - 2n^{-1})((m^{-2})^2 + 2m^{-2}n^{-1} + (2n^{-1})^2) = (m^{-2} - 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2})$

3) $a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} = (a^{-5})^2 + 2 * a^{-5} * 4b^{-7} + (4b^{-7})^2 = (a^{-5} + 4b^{-7})^2 = (a^{-5} + 4b^{-7})(a^{-5} + 4b^{-7})$

4) $a^{-4} - a^{-2} = (a^{-2})^2 - (a^{-1})^2 = (a^{-2} - a^{-1})(a^{-2} + a^{-1})$

288. Докажите тождество:
$a^{-8} - b^{-8} = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4})$.

Решение:

$a^{-8} - b^{-8} = (a^{-4})^2 - (b^{-4})^2 = (a^{-4} - b^{-4})(a^{-4} + b^{-4}) = ((a^{-2})^2 - (b^{-2})^2)(a^{-4} + b^{-4}) = (a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4}) = ((a^{-1})^2 - (b^{-1})^2)(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4}) = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4})$

289. Упростите выражение:
1) $(a^{-4} + 3)(a^{-4} - 3) - (a^{-4} + 2)^2$;
2) $\frac{m^{-2} - n^{-2}}{m^{-1} + n^{-1}}$;
3) $\frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} - 3x^{-1}y^{-1}} - \frac{x^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}}$;
4) $\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}}$.

Решение:

1) $(a^{-4} + 3)(a^{-4} - 3) - (a^{-4} + 2)^2 = ((a^{-4})^2 - 3^2) - (a^{-4} + 2)^2 = a^{-8} - 9 - (a^{-8} + 4a^{-4} + 4) = a^{-8} - 9 - a^{-8} - 4a^{-4} - 4 = -4^{-4} - 13$

2) $\frac{m^{-2} - n^{-2}}{m^{-1} + n^{-1}} = \frac{(m^{-1} - n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})}{m^{-1} + n^{-1}} = m^{-1} - n^{-1}$

3) $\frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} - 3x^{-1}y^{-1}} - \frac{x^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} = \frac{2x^{-2} + y^{-2} - 3x^{-1} * x^{-1}}{3x^{-1}(x^{-1} - y^{-1})} = \frac{2x^{-2} + y^{-2} - 3x^{-2}}{3x^{-1}(x^{-1} - y^{-1})} = \frac{y^{-2} - x^{-2}}{3x^{-1}(x^{-1} - y^{-1})} = -\frac{(y^{-1} - x^{-1})(y^{-1} + x^{-1})}{3x^{-1}(y^{-1} - x^{-1})} = -\frac{x^{-1} + y^{-1}}{3x^{-1}}$

4) $\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}} = \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} * \frac{a^{-4}}{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}} = \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-2}} * \frac{1}{a^{-3}(b^{-5} + a^{-5})} = \frac{1}{a^{-5}} = a^5$

290. Упростите выражение:
1) $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4)$;
2) $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}}$;
3) $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$;
4) $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} * \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}$.

Решение:

1) $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4) = x^{-4} - 2x^{-2} + 1 - (x^{-4} - 16) = x^{-4} - 2x^{-2} + 1 - x^{-4} + 16 = 17 - 2x^{-2}$

2) $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}} = \frac{(a^{-1} - 5b^{-1})^2}{a^{-1} - 5b^{-1}} = a^{-1} - 5b^{-1}$

3) $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} = \frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} = \frac{5m^{-2} + n^{-2} - 4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{1}{4m^{-1}} = \frac{m}{4}$

4) $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} * \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}} = \frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} * \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})} = \frac{1}{c^{-2}} * \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}} = c^2 * b^2c^2 = b^2c^4$

291. Порядок числа a равен −4. определите порядок числа:
1) 10a;
2) 0,1a;
3) 100a;
4) 0,001a;
5) 10000a;
6) 1000000a.

Решение:

1) $10a = 10 * 10^{-4} = 1 * 10^1 * 10^{-4} = 10^{-3}$
Ответ: −3 − порядок числа

2) $0,1a = 0,1 * 10^{-4} = 1 * 10^{-1} * 10^{-4} = 10^{-5}$
Ответ: −5 − порядок числа

3) $100a = 100 * 10^{-4} = 1 * 10^2 * 10^{-4} = 10^{-2}$
Ответ: −2 − порядок числа

4) $0,001a = 1 * 10^{-3} * 10^{-4} = 10^{-7}$
Ответ: −7 − порядок числа

5) $10000a = 1 * 10^4 * 10^{-4} = 10^0$
Ответ: 0 − порядок числа

6) $1000000a = 1 * 10^{6} * 10^{-4} = 10^{2}$
Ответ: 2 − порядок числа

292. Порядок числа b равен 3. Определите порядок числа:
1) 10b;
2) 0,01b;
3) 0,0001b;
4) 1000b.

Решение:

1) $10b = 1 * 10^1 * 10^3 = 10^4$

2) $0,01b = 1 * 10^{-2} * 10^3 = 10^1$

3) $0,0001b = 1 * 10^{-4} * 10^3 = 10^{-1}$

4) $1000b = 1 * 10^3 * 10^3 = 10^6$

293. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:
1) $(1,8 * 10^4) * (6 * 10^3)$;
2) $(3 * 10^6) * (5,2 * 10^{-9})$;
3) $\frac{5,4 * 10^5}{9 * 10^8}$;
4) $\frac{1,7 * 10^{-6}}{3,4 * 10^{-4}}$.

Решение:

1) $(1,8 * 10^4) * (6 * 10^3) = (1,8 * 6) * (10^4 * 10^3) = 10,8 * 10^7 = 1,08 * 10^8$

2) $(3 * 10^6) * (5,2 * 10^{-9}) = (3 * 5,2) * (10^6 * 10^{-9}) = 15,6 * 10{-3} = 1,56 * 10^{-2}$

3) $\frac{5,4 * 10^5}{9 * 10^8} = \frac{0,6}{10^3} = 0,6 * 10^{-3} = 6 * 10^{-4}$

4) $\frac{1,7 * 10^{-6}}{3,4 * 10^{-4}} = \frac{10^{-6}}{2 * 10^{-4}} = \frac{10^{-6} * 10^4}{2} = \frac{10^{-2}}{2} = \frac{1}{2 * 10^2} = \frac{1}{200}= 0,005 = 5 * 10^{-3}$

294. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:
1) $(1,6 * 10^{-5}) * (4 * 10^7)$;
2) $(5 * 10^{-3}) * (1,8 * 10^{-1})$;
3) $\frac{7 * 10^{-4}}{1,4 * 10^{-6}}$;
4) $\frac{6,4 * 10^{3}}{8 * 10^{-2}}$.

Решение:

1) $(1,6 * 10^{-5}) * (4 * 10^7)= (1,6 * 4) * (10^{-5} * 10^7) = 6,4 * 10^2$

2) $(5 * 10^{-3}) * (1,8 * 10^{-1}) = (5 * 1,8) * (10^{-3} * 10^{-1}) = 9 * 10^{-4}$

3) $\frac{7 * 10^{-4}}{1,4 * 10^{-6}} = \frac{10^{-4} * 10^6}{0,2} = \frac{10^{2}}{\frac{1}{5}} = 5 * 10^2$

4) $\frac{6,4 * 10^{3}}{8 * 10^{-2}} = 0,8 * 10^{3} * 10^{2} = 0,8 * 10^{5} = 8 * 10^4$

295. Расстояние от Земли до Солнца равно $1,5 * 10^8$ км, а скорость света − $3 * 10^8$ м/с. За сколько минут свет от Солнца дойдет до Земли? Ответ округлите до единиц.

Решение:

1) $1,5 * 10^8 = 1,5 * 10^8 * 10^3 = 1,5 * 10^{11}$ (м) − расстояние от Земли до Солнца;
2) $\frac{1,5 * 10^{11}}{3 * 10^8} = \frac{15 * 10^{10}}{3 * 10^8} = 5 * 10^2 = 500$ (с) = $\frac{500}{60} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} ≈ 8$ (мин) − свет от Солнца дойдет до Земли.
Ответ: за 8 минут.

73

Ответы к странице 73

296. Плотность меди равна $8,9 * 10^3$ $кг/м^3$. Найдите массу медной плитки, длина которой $2,5 * 10^{-1}$ м, ширина − 12 см, а высота − 0,02 м.

Решение:

1) 12 (см) = $12 * 10^{-2}$ (м) = $1,2 * 10^{-1}$ (м) − ширина медной плитки в метрах;
2) 0,02 (м) = 2 * 10^{−2} (м) − высота медной плитки в стандартном виде;
3) $2,5 * 10^{-1} * 1,2 * 10^{-1} * 2 * 10^{-2} = (2,5 * 1,2 * 2) * (10^{-1} * 10^{-1} * 10^{-2}) = 6 * 10^{-4} (м^3)$ − объем медной плитки;
4) $8,9 * 10^3 * 6 * 10^{-4} = (8,9 * 6) * (10^3 * 10^{-4}) = 53,4 * 10^{-1} = 5,34$ (кг) − масса медной плитки.
Ответ: 5,34 кг

297. Масса Земли равна $6 * 10^{24}$ кг, а Луны − $7,4 * 10^{22}$ кг. Во сколько раз масса Луны меньше массы земли? Ответ округлите до единицы.

Решение:

$\frac{6 * 10^{24}}{7,4 * 10^{22}} = \frac{60 * 10^{2}}{74} = \frac{6000}{74} = \frac{3000}{37} = 81\frac{3}{37} ≈ 81$ (раз) − масса Луны меньше массы земли.
Ответ: в 81 раз.

298. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:
1) $(\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}}) : (\frac{b}{a^2})^{-1}$;
2) $\frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} * \frac{1}{b^{-2} - 2}$;
3) $\frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} * \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}}$;
4) $(\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16}) * \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4}$.

Решение:

1) $(\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}}) : (\frac{b}{a^2})^{-1} = \frac{(a^{-1})^2 - (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} : \frac{a^2}{b} = \frac{a^{-2} - (a^{-2} - b^{-2})}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} * \frac{b}{a^2} = \frac{a^{-2} - a^{-2} + b^{-2}}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} * \frac{b}{a^2} = \frac{b^{-2}}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} * \frac{b}{a^2} = \frac{b^{-1}}{a(a^{-1} + b^{-1})} = \frac{b^{-1}}{ab^{-1}} = \frac{1}{a}$

2) $\frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} * \frac{1}{b^{-2} - 2} = \frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{(b^{-2} - 2)(b^{-2} + 2)}{b^{-2}} * \frac{1}{b^{-2} - 2} = \frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-2} + 2}{b^{-2}} = \frac{b^{-2} - 2 - (b^{-2} + 2)}{b^{-2}} = \frac{b^{-2} - 2 - b^{-2} - 2}{b^{-2}} = \frac{-4}{b^{-2}} = -4b^2$

3) $\frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} * \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2(c^{-3} - 3)} * \frac{90}{c^{-3}(c^{-3} + 6)} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{1}{c^{-3} - 3} * \frac{45}{c^{-3}} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{45}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5c^{-6} - 45}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5(c^{-6} - 9)}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5(c^{-3} - 3)(c^{-3} + 3)}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5(c^{-3} + 3)}{c^{-3}} = 5c^3(c^{-3} + 3) = 5 + 15c^3$

4) $(\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16}) * \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = (\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2}) * \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}(m^{-4} - 4) - 3m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-8} - 4m^{-4} - 3m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-8} - 7m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}(m^{-4} - 7)}{(4 - m^{-4})^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}}{4 - m^{-4}} * \frac{4 + m^{-4}}{1} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}(m^{-4} + 4)}{4 - m^{-4}} - \frac{8m^{-4}}{4 - m^{-4}} = \frac{m^{-8} + 4m^{-4} - 8m^{-4}}{4 - m^{-4}} = \frac{m^{-8} - 4m^{-4}}{4 - m^{-4}} = -\frac{m^{-4}(m^{-4} - 4)}{m^{-4} - 4} = -m^{-4} = -\frac{1}{m^4}$

299. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательнм показателем:
1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$;
2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) * (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1}$.

Решение:

1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{a^{-2} + 5}{(a^{-2} - 3)^2} : \frac{(a^{-2} - 5)(a^{-2} + 5)}{4(a^{-2} - 3)} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{a^{-2} + 5}{(a^{-2} - 3)^2} * \frac{4(a^{-2} - 3)}{(a^{-2} - 5)(a^{-2} + 5)} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{1}{a^{-2} - 3} * \frac{4}{a^{-2} - 5} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{4}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{4 - 2(a^{-2} - 3)}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{4 - 2a^{-2} + 6}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{-2a^{-2} + 10}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{-2(a^{-2} - 5)}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{-2}{a^{-2} - 3} = -\frac{2}{\frac{1}{a^2} - 3} = -\frac{2}{\frac{1 - 3a^2}{a^2}} = -\frac{2a^2}{1 - 3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2 - 1}$

2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) * (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1} = \frac{b^{-1}(b^{-1} - 7) - (5b^{-1} - 36)}{b^{-1} - 7} * (\frac{2b^{-1}(b^{-1} - 7) + 2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1} = \frac{b^{-2} - 7b^{-1} - 5b^{-1} + 36}{b^{-1} - 7} * \frac{b^{-1} - 7}{2b^{-2} - 14b^{-1} + 2b^{-1}} = \frac{b^{-2} - 12b^{-1} + 36}{1} * \frac{1}{2b^{-2} - 12b^{-1}} = \frac{(b^{-1} - 6)^2}{2b^{-1}(b^{-1} - 6)} = \frac{b^{-1} - 6}{2b^{-1}} = \frac{\frac{1}{b} - 6}{2b^{-1}} = \frac{b * \frac{1 - 6b}{b}}{2} = \frac{1 - 6b}{2}$

300. Порядок числа a равен −4, а порядок числа b равен 3. Каким может быть порядок значения выражения:
1) ab;
2) a + b;
3) a + 10b;
4) 10a + 0,1b?

Решение:

1) $ab = 10^{-4} * 10^3$
$10^{-1} ≤ ab < 10^1$
Ответ: порядок значения выражения может быть −1 или 0.

2) $a + b = 10^{-4} + 10^3$
$10^{-4} + 10^3 ≤ a + b < 10^{-3} + 10^4$
Ответ: порядок значения выражения может быть 3 или 4.

3) $a + 10b = 10^{-4} + 10 * 10^3 = 10^{-4} + 10^4$
$10^{-4} + 10^4 ≤ a + 10b < 10^5 + 10^{-3}$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

4) $10a + 0,1b = 10 * 10^{-4} + 10^{-1} * 10^3 = 10^{-3} + 10^2$
$10^{-3} + 10^2 ≤ 10a + 0,1b < 10^3 + 10^{-2}$
Ответ: порядок значения выражения может быть 2 или 3.

301. Порядок числа m равен 2, а порядок числа n равен 4. Каким может быть порядок значения выражения:
1) mn;
2) 0,01mn;
3) 100m + n;
4) 0,01m + n?

Решение:

1) $mn = 10^2 * 10^4 = 10^6$
$10^{6} ≤ ab < 10^8$
Ответ: порядок значения выражения может быть 6 или 7.

2) $0,01mn = 10^-2 * 10^2 * 10^4 = 10^4$
$10^{4} ≤ 0,01mn < 10^6$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

3) $100m + n = 10^2 * 10^2 + 10^4 = 10^4 + 10^4$
$10^{4} + 10^4 ≤ 100m + n < 10^5 + 10^5$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

4) $0,01m + n = 10^{-2} * 10^2 + 10^4 = 10^0 + 10^4$
$10^{0} + 10^4 ≤ 0,01m + n < 10 + 10^5$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

302. Среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18. При делении большего из этих чисел на меньшее получим неполное частное 3 и остаток 4. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть:
x − меньшее число;
y − большее число.
Тогда:
y : x = 3 (ост.4)
или
3x + 4 = y
Зная, что среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18, составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{x + y}{2} = 18 |* 2 &\\ 3x + 4 = y & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 36 &\\ 3x + 4 = y & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 36 - y &\\ 3x + 4 = y & \end{cases} \end{equation*}$
3(36 − y) + 4 = y
108 − 3y + 4 = y
−3y − y = −108 − 4
−4y = −112
y = 28
x = 36 − y = 36 − 28 = 8
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 &\\ y = 28 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 8 и 28

303. Благодаря мероприятиям по экономии электроэнергии за первый месяц ее расход был уменьшен на 20%, за второй − на 10% по сравнению с предыдущим, а за третий − на 5% по сравнению с предыдущим. На сколько процентов в итоге был уменьшен расход электроэнергии?

Решение:

Примем расход электроэнергии до мероприятий по ее экономии за единицу, тогда:
1) 1 − 0,2 = 0,8 − составил расход электроэнергии после первого месяца;
2) 0,8 − 0,1 * 0,8 = 0,8− 0,08 = 0,72 − составил расход электроэнергии после второго месяца;
3) 0,72 − 0,05 * 0,72 = 0,72 − 0,036 = 0,684 − составил расход электроэнергии после второго месяца;
4) (1 − 0,684) * 100% = 0,316 * 100% = 31,6% − в итоге был уменьшен расход электроэнергии.
Ответ: на 31,6%

74

Ответы к странице 74

304. Для откачивания воды из затопленного помещения были задействованы три насоса. Первый из них может выкачать всю воду за 12 ч, второй − за 15 ч, а третий − за 20 ч. Сначала в течении 3 ч работали первый и второй насосы, а затем подключили третий насос. За какое время была откачана вся вода?

Решение:

Примем весь объем работы за единицу, тогда:
1) $\frac{1}{12}$ (работы/час) − производительность первого насоса;
2) $\frac{1}{15}$ (работы/час) − производительность второго насоса;
3) $\frac{1}{20}$ (работы/час) − производительность третьего насоса;
4) $\frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5 + 4}{60} = \frac{9}{60}$ (работы/час) − производительность первого и второго насоса вместе;
5) $\frac{9}{60} + \frac{1}{20} = \frac{9 + 3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ (работы/час) − производительность трех насосов вместе;
6) $3 * \frac{9}{60} = \frac{9}{20}$ (работы) − было выполнено за первые 3 часа;
7) $1 - \frac{9}{20} = \frac{20 - 9}{20} = \frac{11}{20}$ (работы) − осталось выполнить;
8) $\frac{11}{20} : \frac{1}{5} = \frac{11}{20} * \frac{5}{1} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ (ч) − работали вместе все три насоса;
9) $3 + 2\frac{3}{4} = 5\frac{3}{4}$ (ч) = $5\frac{45}{60}$ (ч) = 5 ч 45 мин − время, за которое была откачана вся вода.
Ответ: за 5 ч 45 мин

305. Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца − только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительно размена денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.

Решение:

Чтобы покупатель смог рассчитаться за тетради без дополнительного размена денег, необходимо, чтобы сдача была четной суммой, тогда:
1) 5 * 5 = 25 (рублей) − должен заплатить покупатель отдав продавцу 5 монет по 5 рублей;
2) 25 − 19 = 6 (рублей) − составит сдача;
3) 6 : 2 = 3 (монеты) − по 2 рубля должен сдать продавец покупателю.
Ответ: Да, может. Для этого необходимо, чтобы у покупателя как минимум было 5 монет по 5 рублей, а у продавца 3 монеты по 2 рубля.

306. Найдите значение функции, $y = -\frac{14}{x}$, если:
1) x = 2;
2) x = −1;
3) x = 3,5;
4) x = −6.

Решение:

1) $y = -\frac{14}{x}$
при x = 2:
$y = -\frac{14}{2} = -7$

2) $y = -\frac{14}{x}$
при x = −1:
$y = -\frac{14}{-1} = 14$

3) $y = -\frac{14}{x}$
при x = 3,5:
$y = -\frac{14}{3,5} = \frac{140}{35} = -4$

4) $y = -\frac{14}{x}$
при x = −6:
$y = -\frac{14}{-6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

307. Функция задана формулой $y = \frac{x + 2}{x - 6}$. Какова область определения данной функции? Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

x −3 −2 −1 0 1 2 3
y
Решение
$y = \frac{x + 2}{x - 6}$
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
Область определения функции являются любые значения x, кроме x = 6.
$y = \frac{x + 2}{x - 6}$
при x = −3:
$y = \frac{-3 + 2}{-3 - 6} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9}$
при x = −2:
$y = \frac{-2 + 2}{-2 - 6} = \frac{0}{-8} = 0$
при x = −1:
$y = \frac{-1 + 2}{-1 - 6} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$
при x = 0:
$y = \frac{0 + 2}{0 - 6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
при x = 1:
$y = \frac{1 + 2}{1 - 6} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$
при x = 2:
$y = \frac{2 + 2}{2 - 6} = \frac{4}{-4} = -1$
при x = 3:
$y = \frac{3 + 2}{3 - 6} = \frac{5}{-3} = -1\frac{2}{3}$

x −3 −2 −1 0 1 2 3
y $\frac{1}{9}$ 0 $-\frac{1}{7}$ $-\frac{1}{3}$ $-\frac{3}{5}$ −1 $-1\frac{2}{3}$

308. Постройте график функции y = 2x − 1. Проходит ли этот график через точку:
1) A(30;59);
2) B(−15;−29)?

Решение:

y = 2x − 1
х 0 1
у -1 1

1)
A(30;59)
59 = 2 * 30 − 1
59 = 60 − 1
59 = 59
График функции y = 2x − 1 проходит через точку A(30;59).
2)
B(−15;−29)
−29 = 2 * (−15) − 1
−29 = −30 − 1
−29 ≠ −31
График функции y = 2x − 1 не проходит через точку B(−15;−29).

309. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 2,7x − 8 и y = 1,2x + 7.

Решение:

2,7x − 8 = 1,2x + 7
2,7x − 1,2x = 7 + 8
1,5x = 15
15x = 150
x = 10
y = 2,7x − 8 = 2,7 * 10 − 8 = 27 − 8 = 19
Ответ: точка пересечения графиков (10;19)

310. Решите графически систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x - y = 3 &\\ 3x + y = 7 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

$\begin{equation*} \begin{cases} 2x - y = 3 &\\ 3x + y = 7 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = 2x - 3 &\\ y = 7 - 3x & \end{cases} \end{equation*}$
y = 2x − 3
х 0 1
у -3 -1
y = 7 − 3x
х 0 1
у 7 4

Ответ: (2;1)

№311. По окончании теннисного турнира, который проводился по олимпийской системе (проигравший выбывает), оказалось, что только 32 участника выиграли больше встреч, чем проиграли. Сколько теннисистов принимало участие в турнире?

Решение:

В первом круге половина сразу проиграла и отсеялась. Во втором круге отсеялась еще половина от той половины или четверть от общего количества (у них 1 победа и 1 поражение). Оставшаяся четверть -  те, у кого 2 победы и ни одного поражения (выиграли больше встреч, чем проиграли) - это 32 человека.
32 * 4 = 128 (т.) - принимало участие в турнире.
Ответ: 128 теннисистов.

Вариант решения через х:

Пусть x теннисистов принимало участие в турнире, тогда
1) $\frac{1}{2}x$ теннисистов осталось в турнире после первого круга, причем выбывшие участники проиграли по одной встрече и не выиграли ни одной;
2) $\frac{1}{2} * \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x$ теннисистов осталось в турнире после второго круга, причем выбывшие участники проиграли по одной встрече и выиграли по одной.
Следовательно, оставшиеся участники уже выиграли по две встречи и даже после возможного проигрыша в следующем круге у оставшихся теннисистов будет выигрышных встреч больше, чем проигранных.
Только 32 участника выиграли больше встреч, чем проиграли.
Составим уравнение:
$\frac{1}{4}x = 32$
x = 32 * 4
x = 128 (теннисистов) − принимало участие в турнире.
Ответ: 128 теннисистов.

79

Ответы к странице 79

§10. Функция y = k/x и ее график

Вопросы

1. Какую функцию называют обратной пропорциональностью?

Ответ:

Функцию, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где k ≠ 0, называют обратной пропорциональностью.

2. Что является областью определения функции $y = \frac{k}{x}$, где k ≠ 0?

Ответ:

Областью определения функции $y = \frac{k}{x}$, где k ≠ 0, являются все числа, кроме нуля.

3. Как называют фигуру, которая является графиком обратной пропорциональности?

Ответ:

Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

4. Как называют функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает противоположные значения?

Ответ:

Функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает противоположные значения, называют нечетной.

5. Что является областью значений функции $y = \frac{k}{x}$, где k ≠ 0?

Ответ:

Областью значений функции $y = \frac{k}{x}$, где k ≠ 0, являются все числа, кроме нуля.

6. В каких координатных четвертях расположен график функции $y = \frac{k}{x}$, если k > 0; если k < 0?

Ответ:

Если k > 0, то график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен в I и III четвертях.
Если k < 0, то график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен в II и IV четвертях.

7. Объясните, в чем заключается графический метод решения уравнений.

Ответ:

Графический метод решения уравнений, заключается в построении графиков функций, при этом точки пересечения данных графиков будут являться корнями уравнения.

Упражнения

312. Автомобиль проезжает некоторое расстояние за 10 ч. За какое время он проедет это же расстояние, если его скорость:
1) увеличится в 2 раза;
2) уменьшится в 1,2 раза?

Решение:

1) Пусть v (км/ч) − была скорость автомобиля, тогда:
1) 10v (км) − проезжал автомобиль за 10 часов;
2) 2v (км/ч) − стала скорость автомобиля;
3) $\frac{10v}{2v} = 5$ (ч) − время, за которое стал проезжать автомобиль это же расстояние с увеличенной скоростью.
Ответ: за 5 ч.

2) Пусть v (км/ч) − была скорость автомобиля, тогда:
1) 10v (км) − проезжал автомобиль за 10 часов;
2) $\frac{v}{1,2} = \frac{10v}{12} = \frac{5v}{6}$ (км/ч) − стала скорость автомобиля;
3) $10v : \frac{5v}{6} = 10v * \frac{6}{5v} = 2 * 6 = 12$ (ч) − время, за которое стал проезжать автомобиль это же расстояние с увеличенной скоростью.
Ответ: за 12 ч.

80

Ответы к странице 80

313. Длина прямоугольника равна 30 см. Какой станет его длина, если при той же самой площади ширину прямоугольника:
1) увеличить в 1,5 раза;
2) уменьшить в 3,2 раза?

Решение:

1) Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
1) 30x $(см^2)$ − площадь прямоугольника;
2) 1,5x (см) − стала ширина прямоугольника;
3) $\frac{30x}{1,5x} = \frac{300x}{15x} = 20$ (см) − стала длина прямоугольника.
Ответ: 20 см.

2) Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
1) 30x $(см^2)$ − площадь прямоугольника;
2) $\frac{x}{3,2} = \frac{10x}{32} = \frac{5x}{16}$ (см) − стала ширина прямоугольника;
3) $30x : \frac{5x}{16} = 30x * \frac{16}{5x} = 6 * 16 = 96$ (см) − стала длина прямоугольника.
Ответ: 96 см.

314. За некоторую сумму денег купили 40 м ткани. Сколько метров ткани купили бы за ту же сумму, если бы цена за 1 м:
1) уменьшить в 2,6 раза;
2) увеличить в 1,6 раза?

Решение:

1) Пусть x (рублей) − цена 1 метра ткани, тогда:
1) 40x (рублей) − стоимость 40 метров ткани;
2) $\frac{x}{2,6} = \frac{10x}{26} = \frac{5x}{13}$ (рублей) − новая цена 1 метра ткани;
3) $40x : \frac{5x}{13} = 40x * \frac{13}{5x} = 8 * 13 = 104$ (м) − ткани купили бы за ту же сумму по новой цене.
Ответ: 104 метра.

2) Пусть x (рублей) − цена 1 метра ткани, тогда:
1) 40x (рублей) − стоимость 40 метров ткани;
2) 1,6x (рублей) − новая цена 1 метра ткани;
3) $\frac{40x}{1,6x} = \frac{400x}{16x} = 25$ (м) − ткани купили бы за ту же сумму по новой цене.
Ответ: 25 метров.

315. Пешеход прошел 12 км. Заполните таблицу, в первой строке которой указана скорость, а во второй − время движения.

v, км/ч 5 2,4
t, ч 3 $3\frac{1}{3}$
Задайте формулой зависимость t от v.

Решение:

S = vt
12 = vt
$t = \frac{12}{v}$
$v = \frac{12}{t}$
Тогда:
1) $t = \frac{12}{5} = \frac{24}{10} = 2,4$ (ч);
2) $v = \frac{12}{3} = 4$ (км/ч);
3) $t = \frac{12}{2,4} = \frac{120}{24} = 5$ (ч);
4) $v = 12 : 3\frac{1}{3} = 12 : \frac{10}{3} = 12 * \frac{3}{10} = \frac{36}{10} = 3,6$ (км/ч).

v, км/ч 5 4 2,4 3,6
t, ч 2,4 3 5 $3\frac{1}{3}$

316. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 48 $см^3$. Заполните таблицу, в первой строке которой указана площадь его основания, а во второй − высота.

S, $см^2$ 16 240
h, см 8 4,8
Задайте формулой зависимость h от S.

Решение:

V = Sh
48 = Sh
$S = \frac{48}{h}$
$h = \frac{48}{S}$
Тогда:
1) $h = \frac{48}{16} = 3$ (см);
2) $S = \frac{48}{h} = 6 (см^2)$;
3) $h = \frac{48}{240} = \frac{2}{10} = 0,2$ (см);
4) $S = \frac{48}{4,8} = \frac{480}{48} = 10 (см^2)$.

S, $см^2$ 16 6 240 10
h, см 3 8 0,2 4,8

317. Бригада из семи рабочих с одинаковой производительностью труда может выполнить некоторое производственное задание за 12 дней. Сколько потребуется рабочих с такой же производительностью труда, чтобы выполнить это задание за 4 дня?

Решение:

1) 12 : 4 = 3 (раза) − быстрее нужно выполнить задание, а значит в три раза больше нужно рабочих;
2) 7 * 3 = 21 (рабочий) − потребуется, чтобы выполнить задание за 4 дня.
Ответ: 21 рабочий

318. Заготовленных кормов хватит для 24 лошадей на 18 дней. На сколько дней хватит этих кормов для 36 лошадей?

Решение:

1) $36 : 24 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ (раза) − больше лошадей, значит в это же количество раз нужно больше кормов, а значит и во столько же раз меньше дней хватит этих кормов;
2) $18 : \frac{3}{2} = 18 * \frac{2}{3} = 6 * 2 = 12$ (дней) − хватит кормов для 36 лошадей.
Ответ: на 12 дней.

319. Среди данных функций укажите обратные пропорциональности:
1) y = 2x;
2) $y = \frac{x}{2}$;
3) $y = \frac{2}{x}$;
4) $y = -\frac{1}{x}$;
5) $y = -\frac{0,8}{x}$;
6) $y = \frac{2x}{3}$;
7) $y = \frac{1}{2x}$;
8) $y = \frac{2}{3x}$.

Решение:

Обратные пропорциональности:
3) $y = \frac{2}{x}$;
4) $y = -\frac{1}{x}$;
5) $y = -\frac{0,8}{x}$;
7) $y = \frac{1}{2x}$;
8) $y = \frac{2}{3x}$.

320. Задана функция $y = \frac{24}{x}$. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: −3; 6; 0,2;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 12; −6; 100.

Решение:

1) $y = \frac{24}{x}$
при x = −3:
$y = \frac{24}{-3} = -8$
при x = 6:
$y = \frac{24}{6} = 4$
при x = 0,2:
$y = \frac{24}{0,2} = \frac{240}{2} = 120$

2) $y = \frac{24}{x}$
$x = \frac{24}{y}$
при y = 12:
$x = \frac{24}{12} = 2$
при y = −6:
$x = \frac{24}{-6} = -4$
при y = 100:
$x = \frac{24}{100} = 0,24$

81

Ответы к странице 81

321. Задана функции $y = -\frac{36}{x}$. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: −4; 0,9; 18;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 6; −0,3; 8.

Решение:

1) $y = -\frac{36}{x}$
при x = −4:
$y = -\frac{36}{-4} = 9$
при x = 0,9:
$y = -\frac{36}{0,9} = -\frac{360}{9}= -40$
при x = 18:
$y = -\frac{36}{18} = -2$

2) $y = -\frac{36}{x}$
$x = -\frac{36}{y}$
при y = 6:
$x = -\frac{36}{6} = -6$
при y = −0,3:
$x = -\frac{36}{-0,3} = \frac{360}{3} = 120$
при y = 8:
$x = -\frac{36}{8} = -\frac{9}{2} = -4,5$

322. Постройте график функции $y = -\frac{8}{x}$. Пользуясь графиком, найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; −1;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2; −8;
3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Решение:

1) $y = -\frac{8}{x}$
х -8 -4 -2 -1 1 2 4 8
у 1 2 4 8 -8 -4 -2 -1

при x = 4: y = −2;
при x = −1: y = 8.

2) при y = 2: x = −4;
при y = −8: x = 1.

3) при y > 0: x ∈ (−∞; 0).

323. Постройте график функции $y = \frac{10}{x}$. Пользуясь графиком, найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; −10;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 5; −2;
3) значение аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Решение:

1) х -10 -5 -2 -1 1 2 5 10
у -1 -2 -5 -10 10 5 2 1

при x = 2: y = 5;
при x = −10: y = −1.

2) при y = 5: x = 2;
при y = −2: x = −5.

3) при y < 0: x ∈ (−∞; 0).

324. Не выполняя построения графика функции $y = \frac{28}{x}$, определите, проходит ли график через точку:
1) A(−4;−7);
2) B(14;−2);
3) C(0,5;14);
4) D(0,2;140).

Решение:

1) $y = \frac{28}{x}$
A(−4;−7)
$-7 = \frac{28}{-4}$
−7 = −7
Ответ: график функции $y = \frac{28}{x}$ проходит через точку A(−4;−7)

2) $y = \frac{28}{x}$
B(14;−2)
$-2 = \frac{28}{14}$
−2 ≠ 2
Ответ: график функции $y = \frac{28}{x}$ не проходит через точку B(14;−2)

3) $y = \frac{28}{x}$
C(0,5;14)
$14 = \frac{28}{0,5}$
$14 = \frac{280}{5}$
14 ≠ 56
Ответ: график функции $y = \frac{28}{x}$ не проходит через точку C(0,5;14)

4) $y = \frac{28}{x}$
D(0,2;140)
$140 = \frac{28}{0,2}$
$140 = \frac{280}{2}$
140 = 140
Ответ: график функции $y = \frac{28}{x}$ проходит через точку D(0,2;140)

325. Истинным или ложным является высказывание: график функции $y = -\frac{48}{x}$ проходит через точку:
1) A(−6;−8);
2) B(12;−4);
3) C(0,3;−16);
4) D(0,4;−120)?

Решение:

1) $y = -\frac{48}{x}$
A(−6;−8)
$-8 = -\frac{48}{-6}$
−8 ≠ 8
Ответ: график функции $y = -\frac{48}{x}$ не проходит через точку A(−6;−8)

2) $y = -\frac{48}{x}$
B(12;−4)
$-4 = -\frac{48}{12}$
−4 = −4
Ответ: график функции $y = -\frac{48}{x}$ проходит через точку B(12;−4)

3) $y = -\frac{48}{x}$
C(0,3;−16)
$-16 = -\frac{48}{0,3}$
$-16 = -\frac{480}{3}$
−16 ≠ −160
Ответ: график функции $y = -\frac{48}{x}$ не проходит через точку C(0,3;−16)

4) $y = -\frac{48}{x}$
D(0,4;−120)
$-120 = -\frac{48}{0,4}$
$-120 = -\frac{480}{4}$
−120 = −120
Ответ: график функции $y = -\frac{48}{x}$ проходит через точку D(0,4;−120)

326. На рисунке 8 изображен график зависимости времени t движения из пункта A в пункт B от скорости v движения. Пользуясь графиком, определите:
1) за какое время можно добраться из пункта A в пункт B, если двигаться со скоростью 8 км/ч; 24 км/ч;
2) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы добраться из пункта A в пункт B за 3 ч; за 4 ч;
3) чему равно расстояние между пунктами A и B.

Решение:

1) Если двигаться со скоростью 8 км/ч, то из пункта A в пункт B можно добраться за 6 часов.
Если двигаться со скоростью 24 км/ч, то из пункта A в пункт B можно добраться за 2 часа.

2) Чтобы добраться из пункта A в пункт B за 3 ч, нужно двигаться со скоростью 16 км/ч.
Чтобы добраться из пункта A в пункт B за 4 ч, нужно двигаться со скоростью 12 км/ч.

3) Чтобы добраться из пункта A в пункт B за 4 ч, нужно двигаться со скоростью 12 км/ч, тогда:
4 * 12 = 48 (км) − расстояние между пунктами A и B.

82

Ответы к странице 82

327. Проволочный реостат (рис.9) подключен к блоку питания. Сопротивление реостата R зависит от положения ползунка и может изменяться в пределах от 0 до 6 Ом. Пользуясь графиком зависимости силы тока I от сопротивления R (рис.10), при условии, что напряжение на концах реостата остается неизменным, определите:
1) чему равна сила тока, если сопротивление равно 2 Ом;
2) при каком значении сопротивления сила тока равна 3 А;
3) сколько вольт составляет напряжение на концах реостата.

Решение:

1) При сопротивлении 2 Ом, сила тока равна 6 А.

2) При силе тока 3 А, сопротивление равно 4 Ом.

3) При силе тока 3 А, сопротивление равно 4 Ом, тогда:
3 * 4 = 12 (Вольт) − составляет напряжение на концах реостата.

328. Найдите значение k, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку:
1) A(−5; 4);
2) $B(\frac{1}{6}; -2)$;
3) C(1,5; −8).

Решение:

1) $y = \frac{k}{x}$
A(−5; 4)
$4 = \frac{k}{-5}$
k = 4 * (−5)
k = −20

2) $y = \frac{k}{x}$
$B(\frac{1}{6}; -2)$
$-2 = \frac{k}{\frac{1}{6}}$
$k = -2 * \frac{1}{6}$
$k = -\frac{1}{3}$

3) $y = \frac{k}{x}$
C(1,5; −8)
$-8 = \frac{k}{1,5}$
k = 1,5 * (−8)
k = −12

329. График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A(10;1,6). Проходит ли график этой функции через точку:
1) B(−1;−16);
2) C(−2;8)?

Решение:

$y = \frac{k}{x}$
A(10;1,6)
$1,6 = \frac{k}{10}$
k = 10 * 1,6
k = 16, значит функция равна $y = \frac{16}{x}$, тогда:

1)
$y = \frac{16}{x}$
B(−1;−16)
$-16 = \frac{16}{-1}$
−16 = −16, значит график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку B(−1;−16).

2)
$y = \frac{16}{x}$
C(−2;8)
$8 = \frac{16}{-2}$
8 ≠ −8, значит график функции $y = \frac{k}{x}$ не проходит через точку C(−2;8).

330. Постройте в одной системе координат график функций $y = \frac{4}{x}$ и y = x и определите координаты точек их пересечения.

Решение:

$y = \frac{4}{x}$
х -4 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 4
у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1

y = x
х 1 2
у 1 2


Ответ: графики данных функций пересекаются в точках A(2; 2) и B(−2; −2)

331. Решите графически уравнение:
1) $\frac{4}{x} = 4 - x$;
2) $x - 2 = \frac{3}{x}$;
3) $x + 2 = -\frac{5}{x}$.

Решение:

1) $\frac{4}{x} = 4 - x$
$y = \frac{4}{x}$
х -4 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 4
у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1

y = 4 − x
х 1 2
у 3 2


Ответ: x = 2

2) $x - 2 = \frac{3}{x}$
y = x − 2
х 1 2
у -1 2

$y = \frac{3}{x}$
х -3 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 3
у -1 -1,5 -3 -6 6 3 1,5 1


Ответ: x = −1 и x = 3

3) $x + 2 = -\frac{5}{x}$
y = x + 2
х 1 2
у 3 4
$y = -\frac{5}{x}$
х -5 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 5
у 1 2,5 5 10 10 -5 -2,5 -1


Ответ: нет корней

332. Решите графически уравнение:
1) $\frac{8}{x} = 6 - x$;
2) $2x = \frac{2}{x}$;
3) $\frac{7}{x} = -x$.

Решение:

1) $\frac{8}{x} = 6 - x$
$y = \frac{8}{x}$
х -8 -4 -2 -1 1 2 4 8
у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1

y = 6 − x
х 1 2
у 5 4


Ответ: x = 2 и x = 4

2) $2x = \frac{2}{x}$
y = 2x
х 1 2
у 2 4

$y = \frac{2}{x}$
х -2 -1 -0,5 -0,25 0,25 0,5 1 2
у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1


Ответ: x = −1 и x = 1

3) $\frac{7}{x} = -x$
$y = \frac{7}{x}$
х -7 -3,5 -2 -1 1 2 3,5 7

y = −x
х 1 2
у -1 -2

Ответ: нет корней

333. Решите графически систему уравнений:
1)
$\begin{equation*} \begin{cases} xy = 4 &\\ 4y = x & \end{cases} \end{equation*}$
2)
$\begin{equation*} \begin{cases} x - y = 1 &\\ xy = 2 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $\begin{equation*} \begin{cases} xy = 4 &\\ 4y = x & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = \frac{4}{x} &\\ y = \frac{x}{4} & \end{cases} \end{equation*}$

$y = \frac{4}{x}$

$y = \frac{x}{4}$


Ответ: (−4; −1); (4; 1).

2) $\begin{equation*} \begin{cases} x - y = 1 &\\ xy = 2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x - 1 &\\ y = \frac{2}{x} & \end{cases} \end{equation*}$

y = x − 1

$y = \frac{2}{x}$


Ответ: (−1; −2); (2; 1).

83

Ответы к странице 83

334. Решите графически систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} xy = 5 &\\ y - x = 4 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

$\begin{equation*} \begin{cases} xy = 5 &\\ y - x = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = \frac{5}{x} &\\ y = x + 4 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = \frac{5}{x}$

y = x + 4


Ответ: (−5; −1); (1; 5).

335. Определите графически количество решений системы уравнений:
1)  $\begin{equation*} \begin{cases} xy = -1 &\\ x + 3y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
2)  $\begin{equation*} \begin{cases} xy = -1 &\\ x - 3y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
3)  $\begin{equation*} \begin{cases} xy = 6 &\\ 3x - 2y = 6 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $\begin{equation*} \begin{cases} xy = -1 &\\ x + 3y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = -\frac{1}{x} &\\ 3y = -x & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = -\frac{1}{x} &\\ y = -\frac{x}{3} & \end{cases} \end{equation*}$

$y = -\frac{1}{x}$

$y = -\frac{x}{3}$


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

2) $\begin{equation*} \begin{cases} xy = -1 &\\ x - 3y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = -\frac{1}{x} &\\ 3y = x & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = -\frac{1}{x} &\\ y = \frac{x}{3} & \end{cases} \end{equation*}$

$y = -\frac{1}{x}$

$y = \frac{x}{3}$


Ответ: система уравнений не имеет решений

3) $\begin{equation*} \begin{cases} xy = 6 &\\ 3x - 2y = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = \frac{6}{x} &\\ 2y = 3x - 6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = \frac{6}{x} &\\ y = 1,5x - 3 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = \frac{6}{x}$

y = 1,5x − 3


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

336. Определите графически количество решений системы уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} xy = -8 &\\ 2x + 3y = 6 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

$\begin{equation*} \begin{cases} xy = -8 &\\ 2x + 3y = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = -\frac{8}{x} &\\ 3y = 6 - 2x & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = -\frac{8}{x} &\\ y = 2 - \frac{2}{3}x & \end{cases} \end{equation*}$

$y = -\frac{8}{x}$

$y = 2 - \frac{2}{3}x$


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

337. Найдите координаты всех точек графика функции $y = \frac{64}{x}$, у которых абсцисса и ордината равны.

Решение:

$y = \frac{64}{x}$
x = y
Тогда:
$x = \frac{64}{x}$
$x - \frac{64}{x} = 0 |* x$
$x^2 - 64 = 0$
$x^2 = 64$
x = ±8
при x = 8: $y = \frac{64}{8} = 8$;
при x = −8: $y = \frac{64}{-8} = -8$.
Ответ: (−8; −8) и (8; 8).

338. Найдите координаты всех точек графика функции $y = -\frac{25}{x}$, у которых абсцисса и ордината − противоположные числа.

Решение:

$y = -\frac{25}{x}$
y = −x
Тогда:
$-x = -\frac{25}{x}$
$-x + \frac{25}{x} = 0 |* x$
$-x^2 + 25 = 0$
$x^2 = 25$
x = ±5
при x = −5: $y = -\frac{25}{-5} = 5$;
при x = 5: $y = -\frac{25}{5} = -5$.
Ответ: (−5; 5) и (5; −5)

339. Постройте график функции $y = \frac{6}{|x|}$.

Решение:

$y = \frac{6}{|x|}$
$y = \begin{equation*} \begin{cases} \frac{6}{x}, x > 0 &\\ \frac{6}{-x}, x < 0 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = \frac{6}{|x|}$

340. Постройте график функции:
1)
$y = \begin{equation*} \begin{cases} -\frac{2}{x}, если\;x ≤ -1 &\\ x + 3, если\;x > - 1 & \end{cases} \end{equation*}$
2)
$y = \begin{equation*} \begin{cases} -2x + 10, если\;x ≤ 2 &\\ \frac{12}{x}, если\;2 < x < 4 &\\ 3, если\;x ≥ 4 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $y = \begin{equation*} \begin{cases} -\frac{2}{x}, если\;x ≤ -1 &\\ x + 3, если\;x > - 1 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = -\frac{2}{x}$

y = x + 3



2) $y = \begin{equation*} \begin{cases} -2x + 10, если\;x ≤ 2 &\\ \frac{12}{x}, если\;2 < x < 4 &\\ 3, если\;x ≥ 4 & \end{cases} \end{equation*}$

y = −2x + 10, если x ≤ 2

$y = \frac{12}{x}$, если 2 < x < 4

341. Постройте график функции:
$y = \begin{equation*} \begin{cases} -\frac{4}{x}, если\;x < -2 &\\ 2, если\;-2 ≤ x ≤ 2 &\\ \frac{4}{x}, если\;x > 2 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

$y = \begin{equation*} \begin{cases} -\frac{4}{x}, если\;x < -2 &\\ 2, если\;-2 ≤ x ≤ 2 &\\ \frac{4}{x}, если\;x > 2 & \end{cases} \end{equation*}$

$-\frac{4}{x}$, если x < −2

$\frac{4}{x}$, если x > 2

342. Постройте график функции:
1) $y = \frac{9x - 18}{x^2 - 2x}$;
2) $y = \frac{5x^2 - 5}{x - x^3}$.

Решение:

1) $y = \frac{9x - 18}{x^2 - 2x} = \frac{9(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{9}{x}$
x(x − 2) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2



2) $y = \frac{5x^2 - 5}{x - x^3} = \frac{5(x^2 - 1)}{x(1 - x^2)} = -\frac{5(x^2 - 1)}{x(x^2 - 1)} = -\frac{5}{x}$
$x(x^2 - 1) ≠ 0$
x ≠ 0
и
$x^2 - 1 ≠ 0$
$x^2 ≠ 1$
x ≠ ±1

343. Постройте график функции
$y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$

Решение:

$y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x} = \frac{10(x^2 - 4)}{x(x^2 - 4)} = \frac{10}{x}$
$x(x^2 - 4) ≠ 0$
x ≠ 0
и
$x^2 - 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ 4$
x ≠ ±2

344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений a и b:
$\frac{a^2 - b^2}{a + 3b} * (\frac{a + b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}) - \frac{b}{a - b}$.

Решение:

$\frac{a^2 - b^2}{a + 3b} * (\frac{a + b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}) - \frac{b}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + 3b} * (\frac{a + b}{(a - b)^2} + \frac{b}{(a - b)(a + b)}) - \frac{b}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + 3b} * \frac{(a + b)^2 + b(a - b)}{(a - b)^2(a + b)} - \frac{b}{a - b} = \frac{1}{a + 3b} * \frac{a^2 + 2ab + b^2 + ab - b^2}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{1}{a + 3b} * \frac{a^2 + 3ab}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{1}{a + 3b} * \frac{a(a + 3b)}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1$, следовательно значение выражения не зависит от значения переменных.

84

Ответы к странице 84

345. Решите уравнение:
$\frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x - 10} = \frac{5}{x^2 - 25}$

Решение:

$\frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x - 10} = \frac{5}{x^2 - 25}$
$\frac{3}{5(x + 5)} + \frac{1}{2(x - 5)} = \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$
$\frac{3 * 2(x - 5) + 5(x + 5)}{10(x - 5)(x + 5)} = \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$
$\frac{6(x - 5) + 5(x + 5)}{10(x - 5)(x + 5)} = \frac{5 * 10}{10(x - 5)(x + 5)}$
$\frac{6x - 30 + 5x + 25}{10(x - 5)(x + 5)} = \frac{50}{10(x - 5)(x + 5)}$
10(x − 5)(x + 5) ≠ 0
(x − 5)(x + 5) ≠ 0
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
6x − 30 + 5x + 25 = 50
11x − 5 = 50
11x = 50 + 5
11x = 55
x = 5 − не является корнем уравнения
Ответ: нет корней

346. Цену шкафа снизили на 30%, а спустя некоторое время повысили на 30%. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по сравнению с первоначальной и на сколько процентов?

Решение:

Пусть x − первоначальная цена шкафа, тогда:
1) x − 0,3x = 0,7x − цена шкафа после снижения;
2) 0,7x + 0,7x * 0,3 = 0,7x + 0,21x = 0,91x − цена шкафа после повышения;
3) (x − 0,91x) * 100% = 0,09x * 100% = 9% * x − снижение цены.
Ответ: цена шкафа снизлась на 9%

347. (Задача Сунь−Цзы.) Двое мужчин получили монеты, которые они должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить $\frac{2}{3}$ монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил каждый из мужчин?

Решение:

Пусть:
x − монет получил первый мужчина;
y − монет получил второй мужчина.
Так как, если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить $\frac{2}{3}$ монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет, можно составить систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 48 |* (-2) &\\ \frac{2}{3}x + y = 48 |* 3 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} -2x - y = -96 &\\ 2x + 3y = 144 & \end{cases} \end{equation*}$
−2x − y + 2x + 3y = −96 + 144
2y = 48
y = 24
$x + \frac{1}{2}y = 48$
$x + \frac{1}{2} * 24 = 48$
x + 12 = 48
x = 48 − 12
x = 36
Ответ:
36 монет получил первый мужчина;
24 монеты получил второй мужчина.

348. Если лыжник будет двигаться со скоростью 10 км/ч, то доберется в пункт назначения на 1 ч позже запланированного времени прибытия, а если будет двигаться со скоростью 15 км/ч − то на 1 ч раньше. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время?

Решение:

Пусть x (ч) − запланированное время движения, тогда:
10(x + 1) (км) − расстояние до пункта назначения;
15(x − 1) (км) − расстояние до пункта назначения.
Так как, и в первом и во втором случае лыжник преодолеет одно и то же расстояние, можно составить уравнение:
10(x + 1) = 15(x − 1)
10x + 10 = 15x − 15
10x − 15x = −15 − 10
−5x = −25
x = 5 (ч) − запланированное время движения, тогда:
10(x + 1) = 10 * (5 + 1) = 10 * 6 = 60 (км) − расстояние до пункта назначения;
60 : 5 = 12 (км/ч) − необходимая скорость движения лыжника, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время.
Ответ: 12 км/ч

№349. Каждый из трех учеников написал 100 разных слов. После этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго − 68, а у третьего − 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.

Решение:

100 − 45 = 55 (слов) − вычеркнули у первого ученика;
100 − 68 = 32 (слова) − вычеркнули у второго ученика;
100 − 78 = 22 (слова) − вычеркнули у третьего ученика.
Вычеркнули слова, которые не менее двух раз встретились, значит вычеркнули слова которые встретились либо 2 раза, либо 3 раза.
Допустим, что все вычеркнутые слова встретились 2 раза, тогда вычеркнутые слова составили бы пары одинаковых слов, а значит общее количество вычеркнутых слов должно быть числом четным.
55 + 32 + 22 = 109 (слов) − вычеркнули всего.
109 − число нечетное, а значит по крайней мере одно слово встретилось 3 раза, то есть было написано каждым из учеников.

85-86

Ответы к странице 85-86

Задание №3 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Решите уравнение:
$\frac{x^2 - 100}{x - 10} = 0$
А) −10; 10
Б) 10
В) −10
Г) корней нет

Решение:

$\frac{x^2 - 100}{x - 10} = 0$
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
$x^2 - 100 = 0$
$x^2 = 100$
x = 10 − не подходит
x = −10
Ответ: В) −10

2. Решите уравнение:
$\frac{x - 10}{x^2 - 100} = 0$
А) −10; 10
Б) 10
В) −10
Г) корней нет

Решение:

$\frac{x - 10}{x^2 - 100} = 0$
$x^2 - 100 ≠ 0$
$x^2 ≠ 100$
x ≠ ±10
x − 10 = 0
x = 10 − не подходит
Ответ: Г) корней нет

3. Какое из данных равенств верно?
А) $10^{-3} = -1000$
Б) $(-1\frac{1}{3})^{-2} = -\frac{9}{16}$
В) $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$
Г) $\frac{1}{7^{-2}} = -49$

Решение:

А)
$10^{-3} = -1000$
$\frac{1}{10^3} = -1000$
$\frac{1}{1000} = -1000$ − неверно

Б)
$(-1\frac{1}{3})^{-2} = -\frac{9}{16}$
$(-\frac{4}{3})^{-2} = -\frac{9}{16}$
$(-\frac{3}{4})^{2} = -\frac{9}{16}$
$\frac{9}{16} = -\frac{9}{16}$ − неверно

В)
$(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$
$(-\frac{1}{2})^{3} = -\frac{1}{8}$
$-\frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$ − верно

Г)
$\frac{1}{7^{-2}} = -49$
$7^2 = -49$
49 = −49 − неверно

Ответ: В) $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$

4. Как записывают в стандартном виде число 42000?
А) $4,2 * 10^3$
Б) $4,2 * 10^4$
В) $0,42 * 10^5$
Г) $42 * 10^3$

Решение:

$4,2 * 10000 = 4,2 * 10^4$
Ответ: Б) $4,2 * 10^4$

5. Как записывают в виде десятичной дроби число $6,3 * 10^{-3}$?
А) 0,63
Б) 0,063
В) 0,0063
Г) 0,00063

Решение:

$6,3 * 10^{-3} = 6,3 * \frac{1}{10^3} = 6,3 * \frac{1}{1000} = 0,0063$
Ответ: В) 0,0063

6. Представьте число $\frac{1}{25}$ в виде степени с основанием 5.
А) $5^{-2}$
Б) $5^{2}$
В) $5^{-3}$
Г) $5^{3}$

Решение:

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$
Ответ: А) $5^{-2}$

7. Чему равно значение выражения
$(1,7 * 10^8) * (6 * 10^{-3})$?
А) $1,02 * 10^5$
Б) $1,02 * 10^6$
В) $10,2 * 10^6$
Г) $1,02 * 10^7$

Решение:

$(1,7 * 10^8) * (6 * 10^{-3}) = (1,7 * 6) * (10^8 * 10^{-3}) = 10,2 * 10^{8 - 3} = 10,2 * 10^5 = 1,02 * 10^6$
Ответ: Б) $1,02 * 10^6$

8. Найдите значение выражения $\frac{9^{-2} * 3^{-5}}{81 * 27^{-3}}$.
А) 81
Б) $\frac{1}{81}$
В) 27
Г) $\frac{1}{27}$

Решение:

$\frac{9^{-2} * 3^{-5}}{81 * 27^{-3}} = \frac{(3^2)^{-2} * 3^{-5}}{3^4 * (3^3)^{-3}} = \frac{3^{-4} * 3^{-5}}{3^4 * 3^{-9}} = \frac{3^{-9}}{3^{-5}} = 3^{-9 - (-5)} = 3^{-9 + 5} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$
Ответ: Б) $\frac{1}{81}$

9. Какая из данных функций не является обратной пропорциональностью?
А) $y = \frac{3}{x}$
Б) $y = -\frac{3}{x}$
В) $y = \frac{3}{2x}$
Г) $y = \frac{3x}{2}$

Решение:

Обратной пропорциональностью не является функция $y = \frac{3x}{2}$
Ответ: Г) $y = \frac{3x}{2}$

10. На одном из рисунков изображен график функции $y = -\frac{4}{x}$. Укажите этот рисунок.

Решение:

График функции $y = -\frac{4}{x}$ является гиперболой и расположен во II и IV четвертях
Ответ: А

11. При каком значении k график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A(−3; 0,6)?
А) −1,8
Б) −0,2
В) −2,4
Г) −3,6

Решение:

$y = \frac{k}{x}$
A(−3; 0,6)
$0,6 = \frac{k}{-3}$
k = −3 * 0,6
k = −1,8
Ответ: А) −1,8

12. Решите уравнение $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x + 1}{4 - x} = \frac{4x^2 + 8}{x^2 - 16}$.
А) 0; 4
Б) −4; 0
В) −4
Г) 0

Решение:

$\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x + 1}{4 - x} = \frac{4x^2 + 8}{x^2 - 16}$
$\frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x + 1}{x - 4} = \frac{4x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)}$
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
$\frac{(2x - 1)(x - 4) + (3x + 1)(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{4x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)} |* (x - 4)(x + 4)$
$2x^2 - x - 8x + 4 + 3x^2 + x + 12x + 4 = 4x^2 + 8$
$5x^2 + 4x + 8 - 4x^2 - 8 = 0$
$x^2 + 4x = 0$
x(x + 4) = 0
x = 0
или
x + 4 = 0
x = −4 − не подходит
Ответ: Г) 0

91

Ответы к странице 91

ГЛАВА 2. Квадратные корни. Действительные числа

§11. Функция y = x^2 и ее график

Вопросы

1. Что является областью определения функции $y = x^2$?

Ответ:

Областью определения функции $y = x^2$ являются все числа.

2. Что является областью значений функции $y = x^2$?

Ответ:

Областью значений функции $y = x^2$ являются все неотрицательные числа.

3. При каком значении аргумента значение функции $y = x^2$ равно нулю?

Ответ:

При x = 0 значение функции $y = x^2$ равно нулю.

4. Какая фигура является графиком функции $y = x^2$?

Ответ:

Графиком функции $y = x^2$ является парабола.

5. Как называют функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает равные значения?

Ответ:

Функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает равные значения, называют четной.

6. Какая прямая является осью симметрии параболы $y = x^2$?

Ответ:

Осью симметрии параболы $y = x^2$ является ось ординат.

Упражнения

350. Функция задана формулой $y = x^2$. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно:
−6; 0,8; −1,2; 150;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно:
49; 0; 2500; 0,04.

Решение:

1) $y = x^2$
при x = −6: $y = (-6)^2 = 36$;
при x = 0,8: $y = 0,8^2 = 0,64$;
при x = −1,2: $y = (-1,2)^2 = 1,44$;
при x = 150: $y = 150^2 = 2250$.

2) $y = x^2$
при y = 49:
$x^2 = 49$
x = ±7

при y = 0:
$x^2 = 0$
x = 0

при y = 2500:
$x^2 = 2500$
x = ±50

при y = 0,04:
$x^2 = 0,04$
x = ±0,2

351. Не выполняя построения графика функции $y = x^2$, определите, проходит ли этот график через точку:
1) A(−8; 64);
2) B(−9; −81);
3) C(0,5; 2,5);
4) D(0,1; 0,01).

Решение:

1) $y = x^2$
A(−8; 64)
$64 = (-8)^2$
64 = 64
Ответ: график функции $y = x^2$ проходит через точку A(−8; 64)

2) $y = x^2$
B(−9; −81)
$-81 = (-9)^2$
−81 ≠ 81
Ответ: график функции $y = x^2$ не проходит через точку B(−9; −81)

3) $y = x^2$
C(0,5; 2,5)
$2,5 = 0,5^2$
2,5 ≠ 0,25
Ответ: график функции $y = x^2$ не проходит через точку C(0,5; 2,5)

4) $y = x^2$
D(0,1; 0,01)
$0,01 = 0,1^2$
0,01 = 0,01
Ответ: график функции $y = x^2$ проходит через точку D(0,1; 0,01)

92

Ответы к странице 92

352. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и y = 4x − 4. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение:

$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = 4x - 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$y - y = x^2 - (4x - 4)$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
x − 2 = 0
x = 2
y = 4x − 4 = 4 * 2 − 4 = 8 − 4 = 4
Точка пересечения графиков функций $y = x^2$ и y = 4x − 4 имеет координаты (2;4)
$y = x^2$

y = 4x − 4

353. Решите графически уравнение:
1) $x^2 = x - 1$;
2) $x^2 - 2x - 3 = 0$;
3) $x^2 = \frac{8}{x}$.

Решение:

1) $x^2 = x - 1$
$y = x^2$

y = x − 1


Ответ: нет корней

2) $x^2 - 2x - 3 = 0$
$x^2 = 2x + 3$

$y = x^2$

y = 2x + 3


Ответ: x = −1 и x = 3

3) $x^2 = \frac{8}{x}$

$y = x^2$

$y = \frac{8}{x}$


Ответ: x = 2

354. Решите графически уравнение:
1) $x^2 = -4x - 3$;
2) $x^2 - 3x + 5 = 0$;
3) $x^2 + \frac{1}{x} = 0$.

Решение:

1) $x^2 = -4x - 3$

$y = x^2$

y = −4x − 3


Ответ: x = −3 и x = −1

2) $x^2 - 3x + 5 = 0$
$x^2 = 3x - 5$

$y = x^2$

y = 3x − 5


Ответ: нет корней

3) $x^2 + \frac{1}{x} = 0$
$x^2 = -\frac{1}{x}$

$y = x^2$

$y = -\frac{1}{x}$


Ответ: x = −1

355. Определите графически количество решений системы уравнений:
1)
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = 2 & \end{cases} \end{equation*}$
2)
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
3)
$\begin{equation*} \begin{cases} y - x^2 = 0 &\\ x - y + 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
4)
$\begin{equation*} \begin{cases} y - x^2 = 0 &\\ 2x + 5y = 10 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = 2 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = x^2$


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

2) $\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = -2 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = x^2$


Ответ: система уравнений не имеет решений

3) $\begin{equation*} \begin{cases} y - x^2 = 0 &\\ x - y + 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = x + 6 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = x^2$

y = x + 6


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

4) $\begin{equation*} \begin{cases} y - x^2 = 0 &\\ 2x + 5y = 10 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ 5y = 10 - 2x & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = 2 - \frac{2}{5}x & \end{cases} \end{equation*}$

$y = x^2$

$y = 2 - \frac{2}{5}x$


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

356. Определите графически количество решений системы уравнений:
1)
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ 3x + 2y = -6 & \end{cases} \end{equation*}$
2)
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ x - 3y = -3 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ 3x + 2y = -6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ 2y = -6 - 3x & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = -3 - \frac{3}{2}x & \end{cases} \end{equation*}$
$y = x^2$

$y = -3 - \frac{3}{2}x$


Ответ: система уравнения не имеет решений

2) $\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ x - 3y = -3 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ 3y = x + 3 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y = x^2 &\\ y = \frac{1}{3}x + 1 & \end{cases} \end{equation*}$

$y = x^2$

$ y = \frac{1}{3}x + 1$


Ответ: система уравнений имеет 2 решения

357. Функция ƒ задана следующим способом:
$f(x) = \begin{equation*} \begin{cases} 4, если\;x ≤ -2&\\ x^2, если\;-2 < x < 1&\\ 2x - 1, если\;x ≥ 1 & \end{cases} \end{equation*}$
1) Найдите ƒ(−3), ƒ(−2), ƒ(−1), ƒ(1), ƒ(3), ƒ(0,5).
2) Постройте график данной функции.

Решение:

1) ƒ(−3) = 4
ƒ(−2) = 4
$ƒ(-1) = (-1)^2 = 1$
ƒ(1) = 2 * 1 − 1 = 2 − 1 = 1
ƒ(3) = 2 * 3 − 1 = 6 − 1 = 5
$ƒ(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$

2) y = 4, если x ≤ −2 − прямая

$y = x^2$, если −2 < x < 1

y = 2x − 1, если x ≥ 1

358. Дана функция
$f(x) = \begin{equation*} \begin{cases} 2x + 3, если\;x ≤ -1&\\ x^2, если\;-1 < x < 2&\\ 4, если\;x ≥ 2 & \end{cases} \end{equation*}$
1) Найдите ƒ(−4), ƒ(−0,3), ƒ(1,9), ƒ(3), ƒ(−1), ƒ(2).
2) Постройте график данной функции.

Решение:

1) ƒ(−4) = 2 * (−4) + 3 = −8 + 3 = −5
$ƒ(-0,3) = (-0,3)^2 = 0,09$
$ƒ(1,9) = 1,9^2 = 3,61$
ƒ(3) = 4
ƒ(−1) = 2 * (−1) + 3 = −2 + 3 = 1
ƒ(2) = 4

2) y = 2x + 3, если x ≤ −1

$y = x^2$, если −1 < x < 2

y = 4, если x ≥ 2 − прямая

359. Дана функция
$f(x) = \begin{equation*} \begin{cases} x^2, если\;x ≤ 0 &\\ x + 1, если\; x > 0 & \end{cases} \end{equation*}$
1) Найдите ƒ(−7), ƒ(0), ƒ(2).
2) Постройте график данной функции.

Решение:

1) $ƒ(-7) = (-7)^2 = 49$
$ƒ(0) = 0^2 = 0$
ƒ(2) = 2 + 1 = 3

2) $y = x^2$, если x ≤ 0

y = x + 1, если x > 0

360. Дана функция
$f(x) = \begin{equation*} \begin{cases} -\frac{6}{x}, если\;x ≤ -1 &\\ x^2, если\; x > -1 & \end{cases} \end{equation*}$
1) Найдите ƒ(−12), ƒ(−1), ƒ(−0,9), ƒ(3), ƒ(0).
2) Постройте график данной функции.

Решение:

1) $ƒ(-12) = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}$
$ƒ(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$
$ƒ(-0,9) = (-0,9)^2 = 0,81$
$ƒ(3) = 3^2 = 9$
$ƒ(0) = 0^2 = 0$

2) $y = -\frac{6}{x}$, если x ≤ −1

$y = x^2$, если x > −1

93

Ответы к странице 93

361. Постройте график функции:
1) $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$;
2) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}$.

Решение:

1) $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1} = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1} = x^2$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1



2) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4} = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = x^2$
$x^2 - 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ 4$
x ≠ ±2

362. Постройте график функции $y = \frac{x^3}{x}$.

Решение:

$y = \frac{x^3}{x} = x^2$
x ≠ 0

363. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = -x^2$. Постройте график этой функции.

Решение:

$y = -x^2$
Область определения функции: все числа.
Область значений функции: все неположительные числа.
y = 0 при x = 0
x = 0 − нуль функции

364. Постройте график уравнения:
1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$;
2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$.

Решение:

1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$
$(x - 1)^2 ≥ 0$
$(y - 1)^2 ≥ 0$
тогда $(x - 1)^2 + (y - 1)^2$ может быть равно нулю, только если $(x - 1)^2 = 0$ и $(y - 1)^2 = 0$, значит:
$(x - 1)^2 ≠ 0$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$(y - 1)^2 ≠ 0$
y − 1 ≠ 0
y ≠ 1
Следовательно, точка с координатами (1;1) не принадлежит графику.

$y - x^2 = 0$
$y = x^2$



2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$
y ≠ x

$y - x^2 = 0$
$y = x^2$

365. Постройте график уравнения:
$\frac{x^2 - y}{(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0}$

Решение:

$\frac{x^2 - y}{(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0}$
$(x + 2)^2 ≥ 0$
$(y - 4)^2 ≥ 0$
тогда $(x + 2)^2 + (y - 4)^2$ может быть равно нулю, только если $(x + 2)^2 = 0$ и $(y - 4)^2 = 0$, значит:
$(x + 2)^2 ≠ 0$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
$(y - 4)^2 ≠ 0$
y − 4 ≠ 0
y ≠ 4
Следовательно, точка с координатами (−2;4) не принадлежит графику.

$y - x^2 = 0$
$y = x^2$

366. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображен на рисунке 15.

Решение:

а) $y = \begin{equation*} \begin{cases} x^2, при\;x ≤ 1 &\\ 1, при\;x > 1 & \end{cases} \end{equation*}$

б) $y = \begin{equation*} \begin{cases} 4, при\;x ≤ -2 &\\ x^2, при\;-2 < x ≤ 2 &\\ 4, при\;x > 2 & \end{cases} \end{equation*}$

367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображен на рисунке 16.

Решение:

$y = \begin{equation*} \begin{cases} -x, при\;x ≤ -1 &\\ x^2, при\;x > -1 & \end{cases} \end{equation*}$

94

Ответы к странице 94

368. Докажите тождество:
$\frac{(a + b)^2}{a - b} : (\frac{a}{a - b} + \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a}{a + b}) = a + b$

Решение:

$\frac{(a + b)^2}{a - b} : (\frac{a}{a - b} + \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a}{a + b}) = \frac{(a + b)^2}{a - b} : (\frac{a}{a - b} + \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{a}{a + b}) = \frac{(a + b)^2}{a - b} : \frac{a(a + b)+ a^2 + b^2 - a(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{a - b} : \frac{a^2 + ab+ a^2 + b^2 - a^2 + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{a - b} : \frac{a^2 + 2ab + b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{a - b} * \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} = a + b$

369. Решите уравнение:
$\frac{6}{x - 2} - \frac{x + 3}{x} = \frac{x + 6}{x^2 - 2x}$

Решение:

$\frac{6}{x - 2} - \frac{x + 3}{x} = \frac{x + 6}{x^2 - 2x}$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
x ≠ 0
$\frac{6}{x - 2} - \frac{x + 3}{x} = \frac{x + 6}{x^2 - 2x}$
$\frac{6x - (x + 3)(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 6}{x(x - 2)} |* x(x - 2)$
$6x - (x^2 + 3x - 2x - 6) = x + 6$
$6x - (x^2 + x - 6) = x + 6$
$6x - x^2 - x + 6 - x - 6 = 0$
$4x - x^2 = 0$
x(4 − x) = 0
x = 0 − не подходит
или
4 − x = 0
x = 4
Ответ: x = 4

370. Докажите, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48.

Решение:

$27^6 - 9^7 = (3^3)^6 - (3^2)^7 = 3^{18} - 3^{14} = 3^{14}(3^4- 1) = 3^{14} * 80 = (3 * 3^{13}) * (5 * 16) = (3 * 16) * (3^{13} * 5) = 48 * (3^{13} * 5)$
Так как в произведении один из множителей равен 48, значит значение выражения кратно 48.

371. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый из них вышел на 2 ч раньше второго, то они встретились бы через 4,5 ч после выхода первого. Найдите скорость каждого туриста.

Решение:

3 ч 45 мин = $3\frac{45}{60}$ ч = $3\frac{3}{4}$ ч = 3,75 ч
Пусть:
x (км/ч) − скорость первого туриста;
y (км/ч) − скорость второго туриста.
В первом случае каждый из туристов двигался 3,75 ч, тогда:
3,75x (км) − пройдет за 3 ч 45 мин первый турист;
3,75y (км) − пройдет за 3 ч 45 мин второй турист.
Так как суммарно туристы пройдут 30 км, можно составить уравнение:
3,75x + 3,75y = 30

Во втором случае первый турист двигался 4,5 ч, значит:
4,5 − 2 = 2,5 (ч) − двигался второй турист;
4,5x (км) − пройдет за 4,5 ч первый турист;
2,5y (км) − пройдет за 2 ч второй турист.
Так как суммарно туристы пройдут 30 км, можно составить уравнение:
4,5x + 2,5y = 30

Составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} 3,75x + 3,75y = 30 |* 4 &\\ 4,5x + 2,5y = 30 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 15x + 15y = 120 &\\ 4,5x + 2,5y = 30 |* 6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 15x + 15y = 120 &\\ 27x + 15y = 180 & \end{cases} \end{equation*}$
15x + 15y − (27x + 15y) = 120 − 180
15x + 15y − 27x − 15y = −60
−12x = −60
x = 5 (км/ч) − скорость первого туриста;
15x + 15y = 120
15 * 5 + 15y = 120
75 + 15y = 120
15y = 120 − 75
15y = 45
y = 3 (км/ч) − скорость второго туриста.
Ответ: 5 км/ч и 3 км/ч

372. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна:
1) 25 $см^2$;
2) 1600 $дм^2$;
3) 0,04 $м^2$.

Решение:

1) Пусть a (см) − сторона квадрата, тогда:
$S = a^2$
$25 = a^2$
$a^2 - 25 = 0$
(a − 5)(a + 5) = 0
a − 5 = 0
a = 5
или
a + 5 = 0
a = −5 − не подходит, так как сторона квадрата не может быть числом отрицательным.
Ответ: 5 см

2) Пусть a дм − сторона квадрата, тогда
$S = a^2$
$1600 = a^2$
$a^2 - 1600 = 0$
(a − 40)(a + 40) = 0
a − 40 = 0
a = 40
или
a + 40 = 0
a = −40 − не подходит, так как сторона квадрата не может быть числом отрицательным.
Ответ: 40 дм

3) Пусть a (м) − сторона квадрата, тогда
$S = a^2$
$0,04 = a^2$
$a^2 - 0,04 = 0$
(a − 0,2)(a + 0,2) = 0
a − 0,2 = 0
a = 0,2
или
a + 0,2 = 0
a = −0,2 − не подходит, так как сторона квадрата не может быть числом отрицательным.
Ответ: 0,2 м

373. Решите уравнение:
1) $x^2 = 9$;
2) $x^2 = \frac{36}{49}$.

Решение:

1) $x^2 = 9$
$x^2 - 9 = 0$
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = ±3

2) $x^2 = \frac{36}{49}$
$x^2 - \frac{36}{49} = 0$
$(x - \frac{6}{7})(x + \frac{6}{7}) = 0$
$x - \frac{6}{7} = 0$
$x = \frac{6}{7}$
или
$x + \frac{6}{7} = 0$
$x = -\frac{6}{7}$
Ответ: $x = ±\frac{6}{7}$

374. При каких значениях a уравнение $x^2 = a$ не имеет корней?

Решение:

Так как $x^2 ≥ 0$, то уравнение $x^2 = a$ не имеет корней при a < 0.

375. Постройте графики функций $y = x^2$ и y = 1 и найдите координаты их общих точек.

Решение:

$y = x^2$ − парабола

y = 1 − прямая

Ответ: (−1;1) и (1;1) − координаты общих точек.

№376. Натуральные числа x, y, z таковы, что значения выражений x + y, y + z, x + z − простые числа. Докажите, что среди чисел x, y, z есть по крайней мере два числа, равные 1.

Решение:

Все простые числа, кроме числа 2, нечетные.
Представим, что среди чисел x, y, z нет двух чисел равных 1, значит каждая из сумм будет больше 2, а значит будет числом нечетным.
Чтобы в сумме получить нечетное число, одно из слагаемых должно быть числом четным, а второе нечетным.
Допустим:
x − четное число, тогда:
y − будет нечетным числом,
z − будет четным числом.
Тогда сумма x + z будет четным числом, а значит не будет простым числом.
Допустим:
x − нечетное число, тогда:
y − будет четным числом,
z − будет нечетным числом.
Тогда сумма x + z будет четным числом, а значит не будет простым числом.
Поэтому, чтобы удовлетворялось условие задачи по крайней мере два числа должны быть равны 1.
Проверим, пусть:
x = 1, y = 1, тогда:
x + y = 2 − простое число;
z − может быть любым натуральным числом на 1 меньше любого простого, например 4 (5 − 1), тогда:
y + z = 1 + 4 = 5 − простое число;
x + z = 1 + 4 = 5 − простое число.

99

Ответы к странице 99

§12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Вопросы

1. Что называют квадратным корнем из числа a?

Ответ:

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.

2. Что называют арифметическим квадратным корнем из числа a?

Ответ:

Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a.

3. Как обозначают арифметический квадратный корень из числа a?

Ответ:

Арифметический квадратный корень из числа a обозначают $\sqrt{a}$.

4. Как называют знак $\sqrt{}$?

Ответ:

Знак $\sqrt{}$ называют знаком квадратного корня или радикалом (от лат. radix — «корень»).

5. Как читают запись $\sqrt{a}$?

Ответ:

Запись $\sqrt{a}$ читают: «квадратный корень из a», опуская при чтении слово «арифметический».

6. Как называют выражение, стоящее под радикалом?

Ответ:

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением.

7. Какие значения может принимать подкоренное выражение?

Ответ:

Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

8. Как называют действие нахождения арифметического квадратного корня из числа?

Ответ:

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

9. Чему равно значение выражения $(\sqrt{a})^2$ для любого неотрицательного числа a?

Ответ:

Для любого неотрицательного числа a справедливо, что $\sqrt{a} ≥ 0$ и $(\sqrt{a})^2 = a$.

10. Сколько корней имеет уравнение $x^2 = a$ при a > 0? Чему они равны?

Ответ:

При a > 0, уравнение $x^2 = a$ имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

11. Имеет ли корни уравнение $x^2 = a$ при a = 0; при a < 0?

Ответ:

При a = 0 уравнение $x^2 = a$ имеет единственный корень x = 0.
При a < 0 уравнение $x^2 = a$ не имеет корней.

Упражнения

377. Чему равен квадратный корень из числа 16; из числа 1; из числа 0? Чему равен арифметический квадратный корень из этих чисел?

Решение:

Квадратный корень из числа 16 равен 4 и −4.
$4^2 = 16$
$(-4)^2 = 16$
Арифметический квадратный корень из числа 16 равен 4.
$\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4$

Квадратный корень из числа 1 равен 1 и −1.
$1^2 = 1$
$(-1)^2 = 1$
Арифметический квадратный корень из числа 1 равен 1.
$\sqrt{1} = \sqrt{1^2} = 1$

Квадратный корень из числа 0 равен 0.
$0^2 = 0$
Арифметический квадратный корень из числа 0 равен 0.
$\sqrt{0} = \sqrt{0^2} = 0$

378. Верно ли равенство (ответ обоснуйте):
1) $\sqrt{25} = 5$;
2) $\sqrt{0} = 0$;
3) $\sqrt{36} = -6$;
4) $\sqrt{0,4} = 0,2$;
5) $\sqrt{0,81} = 0,9$;
6) $\sqrt{10} = 100$?

Решение:

1) $\sqrt{25} = 5$
равенство верно, так как $5^2 = 25$ и 5 равенство верно, так как $5^2 = 25$ и 5 ≥ 0 0

2) $\sqrt{0} = 0$
равенство верно, так как $0^2 = 0$ и 0 ≥ 0

3) $\sqrt{36} = -6$
равенство неверно, так как −6 < 0

4) $\sqrt{0,4} = 0,2$
равенство неверно, так как $0,2^2 = 0,04 ≠ 0,4$

5) $\sqrt{0,81} = 0,9$
равенство верно, так как $0,9^2 = 0,81$ и 0,9 ≥ 0

6) $\sqrt{10} = 100$
равенство неверно, так как $100^2 = 10000 ≠ 10$

379. Найдите значение арифметического квадратного корня:
1) $\sqrt{9}$;
2) $\sqrt{49}$;
3) $\sqrt{100}$;
4) $\sqrt{225}$;
5) $\sqrt{0,25}$;
6) $\sqrt{0,01}$;
7) $\sqrt{1,21}$;
8) $\sqrt{1,96}$;
9) $\sqrt{400}$;
10) $\sqrt{3600}$;
11) $\sqrt{\frac{1}{64}}$;
12) $\sqrt{\frac{4}{9}}$;
13) $\sqrt{1\frac{9}{16}}$;
14) $\sqrt{3\frac{6}{25}}$;
15) $\sqrt{0,0004}$;
16) $\sqrt{0,000025}$.

Решение:

1) $\sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3$

2) $\sqrt{49} = \sqrt{7^2} = 7$

3) $\sqrt{100} = \sqrt{10^2} = 10$

4) $\sqrt{225} = \sqrt{15^2} = 15$

5) $\sqrt{0,25} = \sqrt{0,5^2} = 0,5$

6) $\sqrt{0,01} = \sqrt{0,1^2} = 0,1$

7) $\sqrt{1,21} = \sqrt{1,1^2} = 1,1$

8) $\sqrt{1,96} = \sqrt{1,4^2} = 1,4$

9) $\sqrt{400} = \sqrt{20^2} = 20$

10) $\sqrt{3600} = \sqrt{60^2} = 60$

11) $\sqrt{\frac{1}{64}} = \sqrt{(\frac{1}{8})^2} = \frac{1}{8}$

12) $\sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2} = \frac{2}{3}$

13) $\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \sqrt{(\frac{5}{4})^2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

14) $\sqrt{3\frac{6}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \sqrt{(\frac{9}{5})^2} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

15) $\sqrt{0,0004} = \sqrt{(0,02)^2} = 0,02$

16) $\sqrt{0,000025} = \sqrt{0,005^2} = 0,005$

100

Ответы к странице 100

380. Найдите значение арифметического квадратного корня:
1) $\sqrt{36}$;
2) $\sqrt{64}$;
3) $\sqrt{144}$;
4) $\sqrt{0,04}$;
5) $\sqrt{0,49}$;
6) $\sqrt{1,69}$;
7) $\sqrt{2500}$;
8) $\sqrt{10000}$;
9) $\sqrt{\frac{16}{121}}$;
10) $\sqrt{5\frac{4}{9}}$;
11) $\sqrt{0,0009}$;
12) $\sqrt{0,0196}$.

Решение:

1) $\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6$

2) $\sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8$

3) $\sqrt{144} = \sqrt{12^2} = 12$

4) $\sqrt{0,04} = \sqrt{0,2^2} = 0,2$

5) $\sqrt{0,49} = \sqrt{0,7^2} = 0,7$

6) $\sqrt{1,69} = \sqrt{1,3^2} = 1,3$

7) $\sqrt{2500} = \sqrt{50^2} = 50$

8) $\sqrt{10000} = \sqrt{100^2} = 100$

9) $\sqrt{\frac{16}{121}} = \sqrt{(\frac{4}{11})^2} = \frac{4}{11}$

10) $\sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \sqrt{(\frac{7}{3})^2} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

11) $\sqrt{0,0009} = \sqrt{0,03^2} = 0,03$

12) $\sqrt{0,0196} = \sqrt{0,14^2} = 0,14$

381. Имеет ли смысл выражение:
1) $\sqrt{2}$;
2) $-\sqrt{2}$;
3) $\sqrt{-2}$;
4) $\sqrt{(-2)^2}$;
5) $(\sqrt{-2})^2$?

Решение:

1) $\sqrt{2}$ − имеет смысл, так как 2 ≥ 0

2) $-\sqrt{2}$ − имеет смысл, так как 2 ≥ 0

3) $\sqrt{-2}$ − не имеет смысла, так как −2 < 0

4) $\sqrt{(-2)^2}$ − имеет смысл, так как $(-2)^2$ ≥ 0

5) $(\sqrt{-2})^2$ − не имеет смысла, так как −2 < 0

382. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен:
1) 4;
2) 0;
3) 0,8;
4) $2\frac{1}{4}$;
5) 1,6;
6) −9.

Решение:

1) $\sqrt{x} = 4$
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
x = 16

2) $\sqrt{x} = 0$
$(\sqrt{x})^2 = 0^2$
x = 0

3) $\sqrt{x} = 0,8$
$(\sqrt{x})^2 = 0,8^2$
x = 0,64

4) $\sqrt{x} = 2\frac{1}{4}$
$\sqrt{x} = \frac{9}{4}$
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{9}{4})^2$
$x = \frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$

5) $\sqrt{x} = 1,6$
$(\sqrt{x})^2 = 1,6^2$
x = 2,56

6) $\sqrt{x} = -9$
нет корней, так как −9 < 0

383. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, приведенной на форзаце, найдите:
1) $\sqrt{484}$;
2) $\sqrt{729}$
3) $\sqrt{1156}$
4) $\sqrt{5929}$
5) $\sqrt{5,76}$
6) $\sqrt{14,44}$
7) $\sqrt{68,89}$
8) $\sqrt{67600}$
9) $\sqrt{384400}$

Решение:

1) $\sqrt{484} = \sqrt{22^2} = 22$

2) $\sqrt{729} = \sqrt{27^2} = 27$

3) $\sqrt{1156} = \sqrt{34^2} = 34$

4) $\sqrt{5929} = \sqrt{77^2} = 77$

5) $\sqrt{5,76} = \sqrt{2,4^2} = 2,4$

6) $\sqrt{14,44} = \sqrt{3,8^2} = 3,8$

7) $\sqrt{68,89} = \sqrt{8,3^2} = 8,3$

8) $\sqrt{67600} = \sqrt{260^2} = 260$

9) $\sqrt{384400} = \sqrt{620^2} = 620$

384. Найдите:
1) $\sqrt{841}$;
2) $\sqrt{1296}$;
3) $\sqrt{9,61}$;
4) $\sqrt{10,24}$;
5) $\sqrt{72,25}$;
6) $\sqrt{672400}$.

Решение:

1) $\sqrt{841} = \sqrt{29^2} = 29$

2) $\sqrt{1296} = \sqrt{36^2} = 36$

3) $\sqrt{9,61} = \sqrt{3,1^2} = 3,1$

4) $\sqrt{10,24} = \sqrt{3,2^2} = 3,2$

5) $\sqrt{72,25} = \sqrt{8,5^2} = 8,5$

6) $\sqrt{672400} = \sqrt{820^2} = 820$

385. Пользуясь микрокалькулятором, найдите значение квадратного корня (результат округлите до сотых):
1) $\sqrt{2}$;
2) $\sqrt{7}$;
3) $\sqrt{34}$;
4) $\sqrt{1,8}$;
5) $\sqrt{2,439}$.

Решение:

1) $\sqrt{2} = 1,414... ≈ 1,41$

2) $\sqrt{7} = 2,645... ≈ 2,65$

3) $\sqrt{34} = 5,830... ≈ 5,83$

4) $\sqrt{1,8} = 1,341... ≈ 1,34$

5) $\sqrt{2,439} = 1,561... ≈ 1,56$

386. Пользуясь микрокалькулятором, найдите значение квадратного корня (результат округлите до сотых):
1) $\sqrt{3}$;
2) $\sqrt{5,1}$;
3) $\sqrt{40}$;
4) $\sqrt{12,56}$.

Решение:

1) $\sqrt{3} = 1,732... ≈ 1,73$

2) $\sqrt{5,1} = 2,258... ≈ 2,26$

3) $\sqrt{40} = 6,324... ≈ 6,32$

4) $\sqrt{12,56} = 3,544... ≈ 3,54$

387. Найдите значение выражения:
1) $(\sqrt{7})^2$;
2) $(\sqrt{4,2})^2$;
3) $(-\sqrt{11})^2$;
4) $-(\sqrt{10})^2$;
5) $(2\sqrt{3})^2$;
6) $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$;
7) $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2$;
8) $(\frac{1}{2}\sqrt{14})^2$;
9) $(-0,3\sqrt{2})^2$.

Решение:

1) $(\sqrt{7})^2 = 7$

2) $(\sqrt{4,2})^2 = 4,2$

3) $(-\sqrt{11})^2 = (-1)^2 * (\sqrt{11})^2 = 1 * 11 = 11$

4) $-(\sqrt{10})^2 = -1 * (\sqrt{10})^2 = -1 * 10 = -10$

5) $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 * (\sqrt{3})^2 = 4 * 3 = 12$

6) $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$

7) $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (-1)^2 * (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 * \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

8) $(\frac{1}{2}\sqrt{14})^2 = (\frac{1}{2})^2 * (\sqrt{14})^2 = \frac{1}{4} * 14 = \frac{1}{2} * 7 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

9) $(-0,3\sqrt{2})^2 = (-0,3)^2 * (\sqrt{2})^2 = 0,09 * 2 = 0,18$

388. Вычислите:
1) $(\sqrt{6})^2$;
2) $(-\sqrt{21})^2$;
3) $(3\sqrt{2})^2$;
4) $(-4\sqrt{5})^2$;
5) $(-\frac{\sqrt{6}}{3})^2$;
6) $(\frac{1}{4}\sqrt{26})^2$.

Решение:

1) $(\sqrt{6})^2 = 6$

2) $(-\sqrt{21})^2 = (-1)^2 * (\sqrt{21})^2 = 1 * 21 = 21$

3) $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 * (\sqrt{2})^2 = 9 * 2 = 18$

4) $(-4\sqrt{5})^2 = (-4)^2 * (\sqrt{5})^2 = 16 * 5 = 80$

5) $(-\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = (-1)^2 * \frac{(\sqrt{6})^2}{3^2} = 1 * \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

6) $(\frac{1}{4}\sqrt{26})^2 = (\frac{1}{4})^2 * (\sqrt{26})^2 = \frac{1}{16} * 26 = \frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$

101

Ответы к странице 101

389. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{16 + 9}$;
2) $\sqrt{16} + \sqrt{9}$;
3) $\sqrt{36} - \sqrt{49}$;
4) $\sqrt{36} * \sqrt{49}$;
5) $5\sqrt{4} - \sqrt{25}$;
6) $\sqrt{0,81} + \sqrt{0,01}$;
7) $\frac{1}{3}\sqrt{0,09} - 2$;
8) $-2\sqrt{0,16} + 0,7$;
9) $(\sqrt{13})^2 - 3 * (\sqrt{8})^2$;
10) $\frac{1}{6} * (\sqrt{18})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{24})^2$;
11) $50 * (-\frac{1}{5}\sqrt{2})^2$;
12) $\sqrt{4 * 5^2 - 6^2}$.

Решение:

1) $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

2) $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$

3) $\sqrt{36} - \sqrt{49} = 6 - 7 = -1$

4) $\sqrt{36} * \sqrt{49} = 6 * 7 = 42$

5) $5\sqrt{4} - \sqrt{25} = 5 * 2 - 5 = 10 - 5 = 5$

6) $\sqrt{0,81} + \sqrt{0,01} = 0,9 + 0,1 = 1$

7) $\frac{1}{3}\sqrt{0,09} - 2 = \frac{1}{3} * 0,3 - 2 = \frac{1}{3} * \frac{3}{10} - 2 = \frac{1}{10} - 2 = 0,1 - 2 = -1,9$

8) $-2\sqrt{0,16} + 0,7 = -2 * 0,4 + 0,7 = -0,8 + 0,7 = -0,1$

9) $(\sqrt{13})^2 - 3 * (\sqrt{8})^2 = 13 - 3 * 8 = 13 - 24 = -11$

10) $\frac{1}{6} * (\sqrt{18})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{24})^2 = \frac{1}{6} * 18 - (\frac{1}{2})^2 * (\sqrt{24})^2 = 3 - \frac{1}{4} * 24 = 3 - 6 = -3$

11) $50 * (-\frac{1}{5}\sqrt{2})^2 = 50 * (-\frac{1}{5})^2 * (\sqrt{2})^2 = 50 * \frac{1}{25} * 2 = 2 * 2 = 4$

12) $\sqrt{4 * 5^2 - 6^2} = \sqrt{4 * 25 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$

390. Вычислите значение выражения:
1) $\sqrt{3 + \sqrt{36}}$;
2) $\sqrt{72 - \sqrt{64}}$;
3) $\sqrt{16} * \sqrt{225}$;
4) $\frac{1}{3}\sqrt{900} + 0,2\sqrt{1600}$;
5) $(2\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{21})^2$;
6) $\sqrt{10^2 - 4 * 3^2}$.

Решение:

1) $\sqrt{3 + \sqrt{36}} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$

2) $\sqrt{72 - \sqrt{64}} = \sqrt{72 - 8} = \sqrt{64} = 8$

3) $\sqrt{16} * \sqrt{225} = 4 * 15 = 60$

4) $\frac{1}{3}\sqrt{900} + 0,2\sqrt{1600} = \frac{1}{3} * 30 + 0,2 * 40 = 10 + 8 = 18$

5) $(2\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{21})^2 = 2^2 * (\sqrt{6})^2 - 3 * (\sqrt{21})^2 = 4 * 6 - 3 * 21 = 24 - 63 = 39$

6) $\sqrt{10^2 - 4 * 3^2} = \sqrt{100 - 4 * 9} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$

391. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{12 + a}$, если a = 0,25;
2) $\sqrt{7 - 3b}$, если b = 2;
3) $\sqrt{2a - b}$, если a = 34, b = 19.

Решение:

1) $\sqrt{12 + a}$, если a = 0,25:
$\sqrt{12 + 0,25} = \sqrt{12,25} = 3,5$

2) $\sqrt{7 - 3b}$, если b = 2:
$\sqrt{7 - 3 * 2} = \sqrt{7 - 6} = \sqrt{1}$

3) $\sqrt{2a - b}$, если a = 34, b = 19:
$\sqrt{2 * 34 - 19} = \sqrt{68 - 19} = \sqrt{49} = 7$

392. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{27 + m}$, если m = 54;
2) $\sqrt{m - 3n}$, если m = 0,13, n = −0,04.

Решение:

1) $\sqrt{27 + m}$, если m = 54:
$\sqrt{27 + 54} = \sqrt{81} = 9$

2) $\sqrt{m - 3n}$, если m = 0,13, n = −0,04:
$\sqrt{0,13 - 3 * (-0,04)} = \sqrt{0,13 + 0,12} = \sqrt{0,25} = 0,5$

393. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x} = 9$;
2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$;
3) $\sqrt{x} - 0,2 = 0$;
4) $\sqrt{x} + 7 = 0$.

Решение:

1) $\sqrt{x} = 9$
$(\sqrt{x})^2 = 9^2$
x = 81
Ответ: 81

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$
$x = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$

3) $\sqrt{x} - 0,2 = 0$
$\sqrt{x} = 0,2$
$(\sqrt{x})^2 = 0,2^2$
x = 0,04
Ответ: 0,04

4) $\sqrt{x} + 7 = 0$
$\sqrt{x} = -7$ − нет корней
Ответ: нет корней

394. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x} = 20$;
2) $\sqrt{x} = -16$;
3) $\sqrt{x} - \frac{2}{3} = 0$.

Решение:

1) $\sqrt{x} = 20$
$(\sqrt{x})^2 = 20^2$
x = 400
Ответ: 400

2) $\sqrt{x} = -16$ − нет корней
Ответ: нет корней

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{3} = 0$
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{2}{3})^2$
$x = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

395. Решите уравнение:
1) $x^2 = 25$;
2) $x^2 = 0,49$;
3) $x^2 = 3$;
4) $x^2 = -25$.

Решение:

1) $x^2 = 25$
$x = ±\sqrt{25}$
x = ±5
Ответ: −5 и 5

2) $x^2 = 0,49$
$x = ±\sqrt{0,49}$
x = ±0,7
Ответ: −0,7 и 0,7

3) $x^2 = 3$
$x = ±\sqrt{3}$
Ответ: $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$

4) $x^2 = -25$ − нет корней
Ответ: нет корней

396. Решите уравнение:
1) $x^2 = 100$;
2) $x^2 = 0,81$;
3) $x^2 = 7$;
4) $x^2 = 3,6$.

Решение:

1) $x^2 = 100$
$x = ±\sqrt{100}$
x = ±10
Ответ: −10 и 10

2) $x^2 = 0,81$
$x = ±\sqrt{0,81}$
x = ±0,9
Ответ: −0,9 и 0,9

3) $x^2 = 7$
$x = ±\sqrt{7}$
Ответ: $-\sqrt{7}$ и $\sqrt{7}$

4) $x^2 = 3,6$
$x = ±\sqrt{3,6}$
Ответ: $-\sqrt{3,6}$ и $\sqrt{3,6}$

397. Найдите значение выражения:
1) $-0,06 * \sqrt{10000} + \frac{8}{\sqrt{256}} - 2,5\sqrt{3,24}$;
2) $\sqrt{64} * \sqrt{6,25} + \sqrt{2^3 + 17}$;
3) $\sqrt{1\frac{11}{25}} + 3\sqrt{7\frac{1}{9}} - 0,6\sqrt{3025}$;
4) $(\frac{1}{5}\sqrt{75})^2 + \sqrt{26^2 - 24^2}$;
5) $(3\sqrt{8})^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{24})^2$;
6) $\sqrt{144} : \sqrt{0,04} - \sqrt{2,56} * \sqrt{2500}$.

Решение:

1) $-0,06 * \sqrt{10000} + \frac{8}{\sqrt{256}} - 2,5\sqrt{3,24} = -0,06 * 100 + \frac{8}{16} - \frac{25}{10} * \frac{18}{10} = -6 + \frac{1}{2} - \frac{5}{2} * \frac{9}{5} = -5\frac{1}{2} - \frac{1}{2} * \frac{9}{1} = -5\frac{1}{2} - 4\frac{1}{2} = -10$

2) $\sqrt{64} * \sqrt{6,25} + \sqrt{2^3 + 17} = 8 * 2,5 + \sqrt{8 + 17} = 20 + \sqrt{25} = 20 + 5 = 25$

3) $\sqrt{1\frac{11}{25}} + 3\sqrt{7\frac{1}{9}} - 0,6\sqrt{3025} = \sqrt{\frac{36}{25}} + 3 * \sqrt{\frac{64}{9}} - 0,6 * 55 = \frac{6}{5} + 3 * \frac{8}{3} - \frac{3}{5} * 55 = \frac{6}{5} + 8 - 3 * 11 = 1\frac{1}{5} + 8 - 33 = 9\frac{1}{5} - 32\frac{5}{5} = -23\frac{4}{5}$

4) $(\frac{1}{5}\sqrt{75})^2 + \sqrt{26^2 - 24^2} = (\frac{1}{5})^2 * (\sqrt{75})^2 + \sqrt{(26 - 24)(26 + 24)} = \frac{1}{25} * 75 + \sqrt{2 * 50} = 3 + \sqrt{100} = 3 + 10 = 13$

5) $(3\sqrt{8})^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{24})^2 = 3^2 * (\sqrt{8})^2 + 8^2 * (\sqrt{3})^2 - 2 * 24 = 9 * 8 + 64 * 3 - 48 = 72 + 192 - 48 = 72 + 144 = 216$

6) $\sqrt{144} : \sqrt{0,04} - \sqrt{2,56} * \sqrt{2500} = 12 : 0,2 - 1,6 * 50 = 12 * \frac{5}{1} - 80 = 60 - 80 = -20$

102

Ответы к странице 102

398. Найдите значение выражения:
1) $0,15\sqrt{3600} - 0,18\sqrt{400} + (10\sqrt{0,08})^2$;
2) $\frac{95}{\sqrt{361}} - \frac{13}{14}\sqrt{1\frac{27}{169}} + \sqrt{8^2 + 15^2}$;
3) $(-8\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt{1,44}}{3} * \sqrt{12,25}) : (0,1\sqrt{13})^2$.

Решение:

1) $0,15\sqrt{3600} - 0,18\sqrt{400} + (10\sqrt{0,08})^2 = 0,15 * 60 - 0,18 * 20 + 10^2 * (\sqrt{0,08})^2 = 9 - 3,6 + 100 * 0,08 = 5,4 + 8 = 13,4$

2) $\frac{95}{\sqrt{361}} - \frac{13}{14}\sqrt{1\frac{27}{169}} + \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{95}{19} - \frac{13}{14} * \sqrt{\frac{196}{169}} + \sqrt{64 + 225} = 5 - \frac{13}{14} * \frac{14}{13} + \sqrt{289} = 5 - 1 + 17 = 4 + 17 = 21$

3) $(-8\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt{1,44}}{3} * \sqrt{12,25}) : (0,1\sqrt{13})^2 = (-8 * \frac{1}{2} + \frac{1,2}{3} * 3,5) : (0,1^2 * (\sqrt{13})^2) = (-4 + 0,4 * 3,5) : (0,01 * 13) = (-4 + 1,4) : 0,13 = -2,6 : 0,13 = -20$

399. При каких значениях x имеет смысл выражение:
1) $\sqrt{x}$;
2) $\sqrt{-x}$;
3) $\sqrt{x^2}$;
4) $\sqrt{-x^2}$;
5) $\sqrt{x - 8}$;
6) $\sqrt{8 - x}$;
7) $\sqrt{x^2 + 8}$;
8) $\sqrt{(x - 8)^2}$;
9) $\frac{1}{\sqrt{(x - 8)^2}}$;
10) $\frac{1}{\sqrt{x} - 3}$;
11) $\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$;
12) $\sqrt{x} * \sqrt{-x}$;
13) $\frac{1}{\sqrt{x} * \sqrt{-x}}$;
14) $\sqrt{|x|}$;
15) $\sqrt{-|x|}$;
16) $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$?

Решение:

1) $\sqrt{x}$
имеет смысл при x ≥ 0

2) $\sqrt{-x}$
имеет смысл при x ≤ 0

3) $\sqrt{x^2}$
имеет смысл при любом значении x

4) $\sqrt{-x^2}$
имеет смысл при x = 0

5) $\sqrt{x - 8}$
x − 8 ≥ 0
x ≥ 8
имеет смысл при x ≥ 8

6) $\sqrt{8 - x}$
8 − x ≥ 0
−x ≥ −8
x ≤ 8
имеет смысл при x ≤ 8

7) $\sqrt{x^2 + 8}$
имеет смысл при любом значении x

8) $\sqrt{(x - 8)^2}$
имеет смысл при любом значении x

9) $\frac{1}{\sqrt{(x - 8)^2}}$
$\sqrt{(x - 8)^2} ≠ 0$
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
имеет смысл при любом x, кроме x = 8

10) $\frac{1}{\sqrt{x} - 3}$
$\sqrt{x} - 3 ≠ 0$
$\sqrt{x} ≠ 3$
$(\sqrt{x})^2 ≠ 3^2$
x ≠ 9
имеет смысл при x ≥ 0, кроме x = 9

11) $\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$
имеет смысл при x ≥ 0

12) $\sqrt{x} * \sqrt{-x}$
имеет смысл при x = 0

13) $\frac{1}{\sqrt{x} * \sqrt{-x}}$
не имеет смысл ни при каких x

14) $\sqrt{|x|}$
имеет смысл при любом значении x

15) $\sqrt{-|x|}$
имеет смысл ни при x = 0

16) $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$
$|x| ≠ 0$
x ≠ 0
имеет смысл при любом x, кроме x = 0

400. При каких значениях y имеет смысл выражение:
1) $\sqrt{2y}$;
2) $\sqrt{-3y}$;
3) $\sqrt{y^3}$;
4) $\sqrt{-y^3}$;
5) $\sqrt{-y^4}$;
6) $\frac{1}{\sqrt{y}}$;
7) $\frac{1}{\sqrt{y} - 1}$;
8) $\frac{1}{\sqrt{y} + 1}$?

Решение:

1) $\sqrt{2y}$
имеет смысл при y ≥ 0

2) $\sqrt{-3y}$
имеет смысл при y ≤ 0

3) $\sqrt{y^3}$
имеет смысл при y ≥ 0

4) $\sqrt{-y^3}$
имеет смысл при y ≤ 0

5) $\sqrt{-y^4}$
имеет смысл при y = 0

6) $\frac{1}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{y} ≠ 0$
y ≠ 0
имеет смысл при y > 0

7) $\frac{1}{\sqrt{y} - 1}$
$\sqrt{y} - 1 ≠ 0$
$\sqrt{y} ≠ 1$
$(\sqrt{y})^2 ≠ 1^2$
y ≠ 1
имеет смысл при y ≥ 0, кроме y = 1

8) $\frac{1}{\sqrt{y} + 1}$
имеет смысл при y ≥ 0

401. Решите уравнение:
1) $\sqrt{5x} - 4 = 0$;
2) $\sqrt{5x - 4} = 0$;
3) $\sqrt{5x - 4} = 6$;
4) $\frac{42}{\sqrt{x}} = 6$;
5) $\frac{18}{\sqrt{x + 3}} = 9$;
6) $\sqrt{x^2 - 36} = 8$.

Решение:

1) $\sqrt{5x} - 4 = 0$
имеет смысл при x ≥ 0

$\sqrt{5x} = 4$
$(\sqrt{5x})^2 = 4^2$
5x = 16
x = 3,2
3,2 ≥ 0
Ответ: 3,2

2) $\sqrt{5x - 4} = 0$
имеет смысл при:
5x − 4 ≥ 0
5x ≥ 4
x ≥ 0,8

5x − 4 = 0
5x = 4
x = 0,8
0,8 ≥ 0,8
Ответ: 0,8

3) $\sqrt{5x - 4} = 6$
имеет смысл при:
5x − 4 ≥ 0
5x ≥ 4
x ≥ 0,8

$(\sqrt{5x - 4})^2 = 6^2$
5x − 4 = 36
5x = 36 + 4
5x = 40
x = 8
8 ≥ 0,8
Ответ: 8

4) $\frac{42}{\sqrt{x}} = 6$
имеет смысл при x ≥ 0

$(\frac{42}{\sqrt{x}})^2 = 6^2$
$\frac{1764}{x} = 36$
$x = \frac{1764}{36}$
x = 49
49 ≥ 0
Ответ: 49

5) $\frac{18}{\sqrt{x + 3}} = 9$
имеет смысл при:
x + 3 > 0
x > −3

$(\frac{18}{\sqrt{x + 3}})^2 = 9^2$
$\frac{324}{x + 3} = 81$
$x + 3 = \frac{324}{81}$
x + 3 = 4
x = 4 − 3
x = 1
1 > −3
Ответ: 1

6) $\sqrt{x^2 - 36} = 8$
имеет смысл при:
$x^2 - 36 ≥ 0$

$(\sqrt{x^2 - 36})^2 = 8^2$
$x^2 - 36 = 64$
$x^2 = 64 + 36$
$x^2 = 100$
x = ±10
$(±10)^2 - 36 ≥ 0$
100 − 36 ≥ 0
64 ≥ 0
Ответ: x = −10 и x = 10

402. Решите уравнение:
1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} - 2 = 0$;
2) $\sqrt{2x + 3} = 11$;
3) $\frac{4}{\sqrt{x - 5}} = 6$;
4) $\sqrt{130 - x^2} = 9$.

Решение:

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} - 2 = 0$
имеет смысл при x ≥ 0

$\frac{1}{3}\sqrt{x} = 2$
$(\frac{1}{3}\sqrt{x})^2 = 2^2$
$\frac{1}{9}x = 4$
x = 4 * 9
x = 36
36 ≥ 0
Ответ: 36

2) $\sqrt{2x + 3} = 11$
имеет смысл при:
2x + 3 ≥ 0
2x ≥ −3
x ≥ −1,5

$(\sqrt{2x + 3})^2 = 11^2$
2x + 3 = 121
2x = 121 − 3
2x = 118
x = 59
59 ≥ −1,5
Ответ: 59

3) $\frac{4}{\sqrt{x - 5}} = 6$
имеет смысл при:
x − 5 > 0
x > 5

$(\frac{4}{\sqrt{x - 5}})^2 = 6^2$
$\frac{16}{x - 5} = 36$
$x - 5 = \frac{16}{36}$
$x = \frac{4}{9} + 5$
$x = 5\frac{4}{9}$
$5\frac{4}{9} - 5 > 0$
$\frac{4}{9} > 0$
Ответ: $5\frac{4}{9}$

4) $\sqrt{130 - x^2} = 9$
имеет смысл при:
$130 - x^2 ≥ 0$

$(\sqrt{130 - x^2})^2 = 9^2$
$130 - x^2 = 81$
$x^2 = 130 - 81$
$x^2 = 49$
x = ±7
$130 - (±7)^2 ≥ 0$
$130 - 49 ≥ 0$
$81 ≥ 0$
Ответ: −7 и 7

403. Решите уравнение:
1) $(x + 6)^2 = 0$;
2) $(x + 6)^2 = 9$;
3) $(x + 6)^2 = 3$;
4) $(7x + 6)^2 = 5$.

Решение:

1) $(x + 6)^2 = 0$
x + 6 = 0
x = −6
Ответ: −6

2) $(x + 6)^2 = 9$
$(x + 6)^2 = (±3)^2$
x + 6 = −3
x = −3 − 6
x = −9
или
x + 6 = 3
x = 3 − 6
x = −3
Ответ: −9 и −3

3) $(x + 6)^2 = 3$
$x + 6 = ±\sqrt{3}$
$x + 6 = \sqrt{3}$
$x = \sqrt{3} - 6$
или
$x + 6 = -\sqrt{3}$
$x = -\sqrt{3} - 6$
Ответ: $-\sqrt{3} - 6$ и $\sqrt{3} - 6$

4) $(7x + 6)^2 = 5$
$7x + 6 = ±\sqrt{5}$
$7x + 6 = \sqrt{5}$
$7x = \sqrt{5} - 6$
$x = \frac{\sqrt{5} - 6}{7}$
или
$7x + 6 = -\sqrt{5}$
$7x = -\sqrt{5} - 6$
$x = \frac{-\sqrt{5} - 6}{7}$
Ответ: $\frac{-\sqrt{5} - 6}{7}$ и $\frac{\sqrt{5} - 6}{7}$

404. Решите уравнение:
1) $(2x - 3)^2 = 25$;
2) $(x - 3)^2 = 7$;
3) $(2x - 3)^2 = 7$.

Решение:

1) $(2x - 3)^2 = 25$
$(2x - 3)^2 = (±5)^2$
2x − 3 = −5
2x = −5 + 3
2x = −2
x = −1
или
2x − 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 4
Ответ: −1 и 4

2) $(x - 3)^2 = 7$
$x - 3 = ±\sqrt{7}$
$x - 3 = -\sqrt{7}$
$x = -\sqrt{7} + 3$
или
$x - 3 = \sqrt{7}$
$x = \sqrt{7} + 3$
Ответ: $-\sqrt{7} + 3$ и $\sqrt{7} + 3$

3) $(2x - 3)^2 = 7$
$2x - 3 = ±\sqrt{7}$
$2x - 3 = -\sqrt{7}$
$2x = -\sqrt{7} + 3$
$x = \frac{-\sqrt{7} + 3}{2}$
или
$2x - 3 = \sqrt{7}$
$2x = \sqrt{7} + 3$
$x = \frac{\sqrt{7} + 3}{2}$
Ответ: $\frac{-\sqrt{7} + 3}{2}$ и $\frac{\sqrt{7} + 3}{2}$

405. Решите уравнение:
1) $\sqrt{3 + \sqrt{2 + x}} = 4$;
2) $\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}}} = 3$;
3) $\sqrt{4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}}} = 2$.

Решение:

1) $\sqrt{3 + \sqrt{2 + x}} = 4$
имеет смысл при:
2 + x ≥ 0
x ≥ −2
$(\sqrt{3 + \sqrt{2 + x}})^2 = 4^2$
$3 + \sqrt{2 + x} = 16$
$\sqrt{2 + x} = 16 - 3$
$\sqrt{2 + x} = 13$
$(\sqrt{2 + x})^2 = 13^2$
2 + x = 169
x = 169 − 2
x = 167
167 ≥ −2
Ответ: 167

2) $\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}}} = 3$
имеет смысл при:
x ≥ 0
$(\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}}})^2 = 3^2$
$2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}} = 9$
$\sqrt{3 + \sqrt{x}} = 9 - 2$
$\sqrt{3 + \sqrt{x}} = 7$
$(\sqrt{3 + \sqrt{x}})^2 = 7^2$
$3 + \sqrt{x} = 49$
$\sqrt{x} = 49 - 3$
$\sqrt{x} = 46$
$(\sqrt{x})^2 = 46^2$
x = 2116
2116 ≥ 0
Ответ: 2116

3) $\sqrt{4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}}} = 2$
имеет смысл при:
x ≥ 0
$(\sqrt{4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$
$4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}} = 4$
$-\sqrt{10 + \sqrt{x}} = 4 - 4$
$-\sqrt{10 + \sqrt{x}} = 0$
$\sqrt{10 + \sqrt{x}} = 0$
$10 + \sqrt{x} = 0$
$\sqrt{x} = -10$ − нет корней
Ответ: нет корней

103

Ответы к странице 103

406. Решите уравнение:
1) $\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}} = 5$;
2) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 1$.

Решение:

1) $\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}} = 5$
имеет смысл при:
x ≥ 0
и
$\sqrt{x} - 6 ≥ 0$

$(\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}})^2 = 5^2$
$17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25$
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25 - 17$
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 8$
$(\sqrt{\sqrt{x} - 6})^2 = 8^2$
$\sqrt{x} - 6 = 64$
$\sqrt{x} = 64 + 6$
$\sqrt{x} = 70$
$(\sqrt{x})^2 = 70^2$
x = 4900
4900 ≥ 0
и
$\sqrt{4900} - 6 ≥ 0$
70 − 6 ≥ 0
64 ≥ 0
Ответ: 4900

2) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 1$
имеет смысл при:
x ≥ 0

$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 1^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 0$
$2 + \sqrt{x} = 0$
$\sqrt{x} = -2$ − нет корней
Ответ: нет корней

407. При каких значениях a и b имеет смысл выражение:
1) $\sqrt{ab}$;
2) $\sqrt{-ab}$;
3) $\sqrt{ab^2}$;
4) $\sqrt{a^2b^2}$;
5) $\sqrt{-a^2b}$?

Решение:

1) $\sqrt{ab}$
имеет смысл, если:
a и b − числа оба неотрицательные a ≥ 0 и b ≥ 0
или
a и b − числа оба неположительные a ≤ 0 и b ≤ 0

2) $\sqrt{-ab}$
имеет смысл, если a и b имеют разные знаки или равны нулю:
a ≥ 0 и b ≤ 0
или
a ≤ 0 и b ≥ 0

3) $\sqrt{ab^2}$
имеет смысл, если число a неотрицательно, а b − любое число:
a ≥ 0 и b − любое число.

4) $\sqrt{a^2b^2}$
имеет смысл, при любых значениях a и b

5) $\sqrt{-a^2b}$
имеет смысл, если число b неположительное, a − любое число:
a − любое число и b ≤ 0

408. Можно ли утверждать, что при любом значении x имеет смысл выражение:
1) $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$;
2) $\sqrt{x^2 - 4x + 5}$?

Решение:

1) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2}$
так как подкоренное выражение $(x - 2)^2 ≥ 0$, то можно утверждать, что выражение имеет смысл при любом значении x.

2) $\sqrt{x^2 - 4x + 5} = \sqrt{(x^2 - 4x + 4) + 1} = \sqrt{(x - 2)^2} + 1$
так как $(x - 2)^2 ≥ 0$ и 1 > 0, то подкоренное выражение $(x - 2)^2 + 1 ≥ 0$, значит можно утверждать, что выражение имеет смысл при любом значении x.

409. Докажите, что не существует такого значения x, при котором имеет смысл выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$.

Решение:

$\sqrt{-x^2 + 6x - 12} = \sqrt{-(x^2 - 6x + 12)} = \sqrt{-(x^2 - 6x + 9 + 3)} = \sqrt{-(x^2 - 6x + 9) - 3} = \sqrt{-(x - 3)^2 - 3}$
так как $(x - 3)^2 ≥ 0$, то $-(x - 3)^2 ≤ 0$, также −3 < 0, значит подкоренное выражение $-(x - 3)^2 - 3 ≤ 0$, следовательно не существует такого значения x, при котором имеет смысл выражение.

410. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении x:
1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$;
2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$?

Решение:

1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15} = \sqrt{x^2 + 8x + 16 - 1} = \sqrt{(x + 4)^2 - 1}$ − не имеет смысл при любом значении x, так как при $(x + 4)^2 < 1$, подкоренное выражение $(x + 4)^2 -1$ будет отрицательным.

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27} = \sqrt{x^2 - 10x + 25 + 2} = \sqrt{(x - 5)^2 + 2}$ − имеет смысл при любом значении x, так как $(x - 5)^2 ≥ 0$ и 2 > 0, значит подкоренное выражение будет всегда неотрицательным.

411. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x} = -x$;
2) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = 0$;
3) $\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{x - 1} = 0$;
4) $\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0$;
5) $(x - 1)\sqrt{x + 1} = 0$;
6) $(x + 1)\sqrt{x - 1} = 0$.

Решение:

1) $\sqrt{x} = -x$
имеет смысл при x ≥ 0

$\sqrt{x} + x = 0$
$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x}) = 0$
$\sqrt{x} = 0$
x = 0
или
$1 + \sqrt{x} = 0$
$\sqrt{x} = -1$ − нет корней
Ответ: 0

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при:
x ≥ 0
и
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

$\sqrt{x} = -\sqrt{x - 1}$
$(\sqrt{x})^2 = (-\sqrt{x - 1})^2$
x = x − 1
x − x = −1
0 = −1 − нет корней
Ответ: нет корней

3) $\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при:
$x^2 - x ≥ 0$
x(x − 1) ≥ 0
x ≥ 0
и
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

$\sqrt{x^2 - x} = -\sqrt{x - 1}$
$(\sqrt{x^2 - x})^2 = (-\sqrt{x - 1})^2$
$x^2 - x = x - 1$
$x^2 - x - x + 1= 0$
$x^2 - 2x + 1= 0$
$(x - 1)^2 = 0$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: 1

4) $\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0$
имеет смысл при:
$x^2 + 2x ≥ 0$
x(x + 2) ≥ 0
x ≥ 0
и
x + 2 ≥ 0
x ≥ −2
и
$x^2 - 4 ≥ 0$
$x^2 ≥ 4$
x ≥ ±2

$\sqrt{x^2 + 2x} = -\sqrt{x^2 - 4}$
$(\sqrt{x^2 + 2x})^2 = (-\sqrt{x^2 - 4})^2$
$x^2 + 2x = x^2 - 4$
$x^2 - x^2 + 2x + 4 = 0$
2x + 4 = 0
2x = −4
x = −2
Ответ: −2

5) $(x - 1)\sqrt{x + 1} = 0$
имеет смысл при
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1

x − 1 = 0
x = 1
или
$\sqrt{x + 1} = 0$
$(\sqrt{x + 1})^2 = 0^2$
x + 1 = 0
x = −1
Ответ: −1 и 1

6) $(x + 1)\sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

x + 1 = 0
x = −1 − не подходит
или
$\sqrt{x - 1} = 0$
$(\sqrt{x - 1})^2 = 0^2$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: 1

412. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 0$;
2) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1$;
3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$;
4) $(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0$.

Решение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 0$
имеет смысл при
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ -x ≥ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x ≤ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
следовательно уравнение имеет смысл только при x = 0.
Ответ: 0

2) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1$
имеет смысл при
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ -x ≥ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x ≤ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
следовательно уравнение имеет смысл только при x = 0, однако
$\sqrt{0} + \sqrt{0} = 1$
0 + 0 ≠ 1, значит уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней

3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$
$\sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$
имеет смысл при
$x^2 - 1 ≥ 0$
$x^2 ≥ 1$
x ≥ ±1

$\sqrt{(x - 1)^2} = -\sqrt{x^2 - 1}$
$(\sqrt{(x - 1)^2})^2 = (-\sqrt{x^2 - 1})^2$
$(x - 1)^2 = x^2 - 1$
$x^2 - 2x + 1 - x^2 = -1$
−2x = −1 − 1
−2x = −2
x = 1
Ответ: 1

4) $(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0$
имеет смысл при
x − 3 ≥ 0
x ≥ 3

x − 2 = 0
x = 2 − не подходит, так как 2 < 3
или
$\sqrt{x - 3} = 0$
x − 3 = 0
x = 3
Ответ: 3

413. При каком значении a уравнение $x^2 = a + 1$:
1) имеет два корня;
2) имеет один корень;
3) не имеет корней?

Решение:

$x^2 = a + 1$
1) уравнение имеет два корня, если a + 1 > 0, то есть при a > −1.
2) уравнение имеет один корень, если a + 1 = 0, то есть при a = −1.
3) уравнение не имеет корней, если a + 1 < 0, то есть при a < −1.

414. Постройте график функции:
1) $y = \sqrt{-x^2}$;
2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$;
3) $y = (\sqrt{x})^2$.

Решение:

1) $y = \sqrt{-x^2}$
имеет смысл при x = 0, тогда:
$y = \sqrt{0^2}$
y = 0
если x = 0, y = 0, то графиком данной функции является точка (0;0).


2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$
$y = \sqrt{-(x^2 + 4x + 4)} + 2$
$y = \sqrt{-(x + 2)^2} + 2$
имеет смысл при
$-(x + 2)^2 ≥ 0$
$(x + 2)^2 ≤ 0$
x + 2 ≤ 0
x ≤ −2
$y = \sqrt{-(-2 + 2)^2} + 2$
$y = \sqrt{0^2} + 2$
y = 2
если x = −2, y = 2, то графиком данной функции является точка (−2;2).


3) $y = (\sqrt{x})^2$
имеет смысл при
x ≥ 0
y = x

415. Постройте график функции $y = \sqrt{2x - 1 - x^2} - 1$.

Решение:

$y = \sqrt{2x - 1 - x^2} - 1$
$y = \sqrt{-x^2 + 2x - 1} - 1$
$y = \sqrt{-(x^2 - 2x + 1)} - 1$
$y = \sqrt{-(x - 1)^2} - 1$
имеет смысл при:
$-(x - 1)^2 ≥ 0$
$(x - 1)^2 ≤ 0$
x − 1 ≤ 0
x ≤ 1
$y = \sqrt{-(1 - 1)^2} - 1$
$y = \sqrt{0^2} - 1$
y = −1
если x = 1, y = −1, то графиком данной функции является точка (1;−1).

416. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $a\sqrt{x - 1} = 0$;
2) $\sqrt{(a - 1)x}$;
3) $a\sqrt{x - 1} = a$;
4) $\sqrt{x - 2} = a$.

Решение:

1) $a\sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
если a = 0, то:
$0 * \sqrt{x - 1} = 0$ при всех допустимых значениях x.
если a ≠ 0, то:
$\sqrt{x - 1} = 0$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ:
при a = 0: x ≥ 1;
при a ≠ 0: x = 1.

2) $\sqrt{(a - 1)x}$
имеет смысл при:
(a − 1)x ≥ 0
неравенство будет верным, если оба множителя будут либо неотрицательными, либо неположительными.
(a − 1)x = 0
a − 1 = 0
a = 1
или
x = 0
если a = 1, то:
(1 − 1)x = 0
0x = 0
0 = 0, значит x − любое число.
если a ≠ 1, то:
(a − 1)x = 0
x = 0
Ответ:
при a = 1: x − любое число;
при a ≠ 1: x = 0.

3) $a\sqrt{x - 1} = a$
имеет смысл при
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
если a = 0, то:
$0 * \sqrt{x - 1} = 0$
0 = 0, значит x ≥ 1
если a ≠ 0, то:
$a\sqrt{x - 1} = a$
$\sqrt{x - 1} = \frac{a}{a}$
$\sqrt{x - 1} = 1$
x − 1 = 1
x = 1 + 1
x = 2
Ответ:
при a = 0: x ≥ 1;
при a ≠ 0: x = 2.

4) $\sqrt{x - 2} = a$
имеет смысл при
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
если a < 0, то:
$\sqrt{x - 2} < 0$ − нет корней.
если a ≥ 0, то:
$\sqrt{x - 2} = a$
$(\sqrt{x - 2})^2 = a^2$
$x - 2 = a^2$
$x = a^2 + 2$
Ответ:
при a < 0: корней нет;
при a ≥ 0: $x = a^2 + 2$.

417. При каких значениях a уравнение $(\sqrt{x} - 1)(x - a) = 0$ имеет только один корень?

Решение:

$(\sqrt{x} - 1)(x - a) = 0$
$\sqrt{x} - 1 = 0$
$\sqrt{x} = 1$
x = 1
или
x − a = 0
x = a
уравнение имеет смысл при x ≥ 0, поэтому если a ≤ 0, то корень x = a не подходит, следовательно уравнение будет иметь один корень x = 1.
Ответ: уравнение имеет один корень при a = 1 или при a < 0.

104

Ответы к странице 104

418. Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1 до 24. Сколько раз цифра 1 встречается в нумерации домов?

Решение:

Цифра 1 встречается в числах:
1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21 − всего 13 раз.
Ответ: 13 раз

419. Упростите выражение:
$(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}) : (\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5)$.

Решение:

$(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}) : (\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5) = (\frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5}{a - 5} + \frac{1}{a + 5}) : \frac{28 - a^2 + a(a + 5) - 5(a + 5)}{a + 5} = \frac{a - 5(a + 5) + a - 5}{(a - 5)(a + 5)} : \frac{28 - a^2 + a^2 + 5a - 5a - 25}{a + 5} = \frac{a - 5a - 25 + a - 5}{(a - 5)(a + 5)} : \frac{3}{a + 5} = \frac{-3a - 30}{(a - 5)(a + 5)} : \frac{3}{a + 5} = \frac{3(-a - 10)}{(a - 5)(a + 5)} * \frac{a + 5}{3} = \frac{-a - 10}{a - 5} = -\frac{a + 10}{a - 5}$

420. Рабочий получил 4700 р. аванса купюрами по 100 р. и по 500 р. Сколько было купюр каждого достоинства, если всего была 31 купюра?

Решение:

Пусть:
x (купюр) − было по 100 рублей;
y (купюр) − было по 500 рублей.
Зная, что рабочий получил 4700 рублей и всего была 31 купюра, можно составить систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} 100x + 500y = 4700 &\\ x + y = 31 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 100x + 500y = 4700 &\\ x = 31 - y& \end{cases} \end{equation*}$
100(31 − y) + 500y = 4700
3100 − 100y + 500y = 4700
400y = 4700 − 3100
400y = 1600
y = 4 (купюры) − было по 500 рублей;
x = 31 − y = 31 − 4 = 27 (купюр) − было по 100 рублей.
Ответ: 27 купюр по 100 рублей и 4 купюры по 500 рублей.

№421. Найдите все трехзначные натуральные числа n такие, что сумма цифр числа n в 11 раз меньше самого числа n.

Решение:

Самое большое натуральное трехзначное число n = 999.
Сумма его цифр 9 + 9 + 9 = 27.
Поскольку сумма в 11 раз меньше самого числа, то максимальное число можно найти как
27 * 11 = 297 
Остается выбрать трехзначные числа меньше 297-ми и проверить удовлетворение условию задачи.
Кратны 11: 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297.
Выпишем и проверим все трехзначные числа, меньшие 287 и кратные 11.
n = 110:
сумма цифр равна: 1 + 1 = 2
2 * 11 = 22 ≠ 110 − не подходит.
n = 121:
сумма цифр равна: 1 + 2 + 1 = 4
4 * 11 = 44 ≠ 121 − не подходит.
n = 132:
сумма цифр равна: 1 + 3 + 2 = 6
6 * 11 = 66 ≠ 132 − не подходит.
n = 143:
сумма цифр равна: 1 + 4 + 3 = 8
8 * 11 = 88 ≠ 143 − не подходит.
n = 154:
сумма цифр равна: 1 + 5 + 4 = 10
10 * 11 = 110 ≠ 154 − не подходит.
n = 165:
сумма цифр равна: 1 + 6 + 5 = 12
12 * 11 = 132 ≠ 165 − не подходит.
n = 176:
сумма цифр равна: 1 + 7 + 6 = 14
14 * 11 = 154 ≠ 176 − не подходит.
n = 187:
сумма цифр равна: 1 + 8 + 7 = 16
16 * 11 = 176 ≠ 187 − не подходит.
n = 198:
сумма цифр равна: 1 + 9 + 8 = 18
18 * 11 = 198 = 198 − подходит.
n = 209:
сумма цифр равна: 2 + 0 + 9 = 11
11 * 11 = 121 ≠ 209 − не подходит.
n = 220:
сумма цифр равна: 2 + 2 + 0 = 4
4 * 11 = 44 ≠ 220 − не подходит.
n = 231:
сумма цифр равна: 2 + 3 + 1 = 6
6 * 11 = 66 ≠ 231 − не подходит.
n = 242:
сумма цифр равна: 2 + 4 + 2 = 8
8 * 11 = 88 ≠ 242 − не подходит.
n = 253:
сумма цифр равна: 2 + 5 + 3 = 10
10 * 11 = 110 ≠ 253 − не подходит.
n = 264:
сумма цифр равна: 2 + 6 + 4 = 12
12 * 11 = 132 ≠ 264 − не подходит.
n = 275:
сумма цифр равна: 2 + 7 + 5 = 14
14 * 11 = 154 ≠ 275 − не подходит.
n = 286:
сумма цифр равна: 2 + 8 + 6 = 16
16 * 11 = 176 ≠ 286 − не подходит.
n = 297:
сумма цифр равна: 2 + 9 + 7 = 18
18 * 11 = 198 ≠ 297 − не подходит.
Ответ: n = 198

107

Ответы к странице 107

§13. Множество и его элементы

Вопросы

1. Как обозначают множество и его элементы?

Ответ:

Как правило, множества обозначают прописными латинскими буквами: A, B, C, D и т. д.

2. Как обозначают множество натуральных чисел?

Ответ:

Множество натуральных чисел обозначают буквой N.

3. Как обозначают область определения и область значений функции?

Ответ:

Область определения функции обозначают D(f).
Область значения функции обозначают E(f).

4. Как записать, что элемент принадлежит (не принадлежит) множеству A?

Ответ:

b ∈ A − элемент b принадлежит множеству A
b ∉ A − элемент b не принадлежит множеству A

5. Какие множества называют равными?

Ответ:

Два множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества A принадлежит множеству B и наоборот — каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

6. Какие существуют способы задания множеств?

Ответ:

Чаще всего множество задают одним из двух следующих способов.
Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов.
Второй способ состоит в том, что указывается характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

7. Какое множество называют пустым? Как его обозначают?

Ответ:

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента.
Пустое множество обозначается символом ∅.

Упражнения

422. Как называют множество точек угла, равноудаленных от его сторон?

Решение:

Множество точек угла, равноудаленных от его сторон, называют биссектрисой угла.

423. Как называют множество волков, подчиняющихся одному вожаку?

Решение:

Множество волков, подчиняющихся одному вожаку, называют стаей.

424. Назовите какое−нибудь множество учеников вышей школы.

Решение:

Множество отличников школы.
Множество мальчиков школы.
Множество девятиклассников школы.
Множество девочек школы.
Множество первоклассников школы.
Множество учеников определенного класса школы.

425. Как называют множество учителей, работающих в одной школе?

Решение:

Множество учителей, работающих в одной школе, называется педагогический коллектив школы.

426. Поставьте вместо звездочки знак ∈ или ∉ так, чтобы получилось верное утверждение:
1) 5 * N;
2) 0 * N;
3) −5 * N.

Решение:

1) 5 ∈ N
число 5 принадлежит множеству натуральных чисел

2) 0 ∉ N
число 0 не принадлежит множеству натуральных чисел

3) −5 ∉ N
число −5 не принадлежит множеству натуральных чисел

427. Дана функция $f(x) = x^2$. Поставьте вместо звездочки знак ∈ или ∉ так, чтобы получилось верное утверждение:
1) 3 * D(ƒ);
2) 0 * D(ƒ);
3) 0 * E(ƒ);
4) $-\frac{1}{2}$ * E(ƒ).

Решение:

1) 3 ∈ D(ƒ)
число 3 принадлежит области определения функции

2) 0 ∈ D(ƒ)
число 0 принадлежит области определения функции

3) 0 ∈ E(ƒ)
число 0 принадлежит области значения функции

4) $-\frac{1}{2}$ ∉ E(ƒ)
число $-\frac{1}{2}$ не принадлежит области значения функции

428. Истинным или ложным является высказывание:
1) 1 ∈ {1, 2, 3};
2) 1 ∉ {1};
3) {1} ∈ {1, 2};
4) {1} ∈ {{1}};
5) ∅ ∉ {1, 2};
6) ∅ ∈ {∅}?

Решение:

1) 1 ∈ {1, 2, 3} − истинное

2) 1 ∉ {1} − ложное

3) {1} ∈ {1, 2} − ложное

4) {1} ∈ {{1}} − истинное

5) ∅ ∉ {1, 2} − истинное

6) ∅ ∈ {∅} − истинное

108

Ответы к странице 108

429. Запишите множество корней уравнения:
1) x(x − 1) = 0;
2) $(x - 2)(x^2 - 4) = 0$;
3) x = 2;
4) $x^2 + 3 = 0$.

Решение:

1) x(x − 1) = 0
x = 0
или
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: {0; 1}

2) $(x - 2)(x^2 - 4) = 0$
x − 2 = 0
x = 2
или
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
x = ±2
Ответ: {−2; 2}

3) x = 2
Ответ: {2}

4) $x^2 + 3 = 0$
$x^2 = -3$ − нет корней
Ответ: {∅}

430. Задайте с помощью перечисления элементов множество:
1) правильных дробей со знаменателем 7;
2) правильных дробей, знаменатель которых не больше 4;
3) букв слова "математика";
4) цифр числа 5555.

Решение:

1) {$\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}, \frac{7}{7}$}

2) {$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$}

3) {м, а, т, е, и, к}

4) {5}

431. Равны ли множества A и B, если:
1) A = {1, 2}, B = {2, 1};
2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)};
3) A = {1}, B = {{1}}?

Решение:

1) A = {1, 2}, B = {2, 1}
A = B

2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)}
A ≠ B

3) A = {1}, B = {{1}}
A ≠ B

432. Равны ли множества A и B, если:
1) A − множество корней уравнения |x| = x, B − множество неотрицательных чисел;
2) A − множество четырехугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; B − множество четырехугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам?

Решение:

1) |x| = x
x ≥ 0, следовательно A = B

2) A = B

433. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:
1) множество треугольников, сумма углов которых равна 181°;
2) множество горных вершин высотой более 8800 м;
3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена;
4) множество функций, графиками которых являются окружности?

Решение:

1) Пустое множество, так как сумма углов любого треугольника всегда равна 180°.

2) Не является пустым множеством, так как высота Джомолунгмы (Эвереста) равна 8848 м.

3) Не является пустым множеством, так как существуют такие остроугольные треугольники медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена.

4) Пустое множество, так как окружность не может быть графиком не одной из функций.

434. Упростите выражение:
1) $\frac{5b}{b - 3} - \frac{b + 6}{2b - 6} * \frac{90}{b^2 + 6b}$;
2) $\frac{b + 2}{b^2 - 2b + 1} : \frac{b^2 - 4}{3b - 3} - \frac{3}{b - 2}$.

Решение:

1) $\frac{5b}{b - 3} - \frac{b + 6}{2b - 6} * \frac{90}{b^2 + 6b} = \frac{5b}{b - 3} - \frac{b + 6}{2(b - 3)} * \frac{90}{b(b + 6)} = \frac{5b}{b - 3} - \frac{1}{b - 3} * \frac{45}{b} = \frac{5b}{b - 3} - \frac{45}{b(b - 3)} = \frac{5b^2 - 45}{b(b - 3)} = \frac{5(b^2 - 9)}{b(b - 3)} = \frac{5(b - 3)(b + 3)}{b(b - 3)} = \frac{5(b + 3)}{b}$

2) $\frac{b + 2}{b^2 - 2b + 1} : \frac{b^2 - 4}{3b - 3} - \frac{3}{b - 2} = \frac{b + 2}{(b - 1)^2} : \frac{(b - 2)(b + 2)}{3(b - 1)} - \frac{3}{b - 2} = \frac{b + 2}{(b - 1)^2} * \frac{3(b - 1)}{(b - 2)(b + 2)} - \frac{3}{b - 2} = \frac{1}{b - 1} * \frac{3}{b - 2} - \frac{3}{b - 2} = \frac{3}{b - 2}(\frac{1}{b - 1} - 1) = \frac{3}{b - 2} * \frac{1 - (b - 1)}{b - 1} = \frac{3}{b - 2} * \frac{1 - b + 1}{b - 1} = \frac{3}{b - 2} * \frac{2 - b}{b - 1} = -\frac{3}{2 - b} * \frac{2 - b}{b - 1} = -\frac{3}{b - 1} = \frac{3}{1 - b}$

435. Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за 3 ч и 36,8 км против течения за 4 ч. Какова скорость течения реки?

Решение:

1) 36 : 3 = 12 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
2) 36,8 : 4 = 9,2 (км/ч) − скорость лодки против течения реки;
3) 12 − 9,2 = 2,8 (км/ч) − удвоенная скорость течения реки;
4) 2,8 : 2 = 1,4 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 1,4 км/ч

436. В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей − красные, 16 карандашей − синие, а остальные − зеленые. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим?

Решение:

1/) 42 − (14 + 16) = 42 − 30 = 12 (карандашей) − зеленых (не красных и не синих);
2) $\frac{12}{42} = \frac{2}{7}$ − вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим.
Ответ: $\frac{2}{7}$

№437. Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день Петя записывает число 1, а Коля − число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой−то день Коля записать число, оканчивающееся на 101?

Решение:

Составим таблицу записей мальчиков:
день Петя Коля
1         1        1
2         1         2
3         1         5
4         1         11
5         1         23
6         1         47
7         1         95
8         1         191
Заметим, что начиная с третьего дня все числа, записанные Колей, являются нечётными. Действительно, если в некоторый день, начиная со второго, Коля записал число x, то на следующий день он запишет число 2x + 1.
Предположим, что в некоторый день Коля записал число, заканчивающееся на 101. Тогда в предыдущий день им было записано число, заканчивающееся на 50, а такое число является чётным. Получили противоречие.
Ответ: Коля не может записать число, оканчивающееся на 101.

113

Ответы к странице 113

§14. Подмножество. Операции над множествами

Вопросы

1. Какое множество называют подмножеством данного множества?

Ответ:

Множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.

2. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?

Ответ:

Соотношение между множествами записывают так: B ⊂ A или A ⊃ B (читают: «множество B — подмножество множества A» или «множество A содержит множество B»)
Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера.

3. Какое множество является подмножеством любого множества?

Ответ:

Пустое множество считают подмножеством любого множества.

4. Что называют пересечением двух множеств?

Ответ:

Пересечением множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству A, и множеству B.

5. Что называют объединением двух множеств?

Ответ:

Объединением множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству A, или множеству B.

Упражнения

438. Назовите несколько подмножеств учащихся вашего класса.

Решение:

Подмножества учащихся класса:
1) подмножество девочек класса;
2) подмножество мальчиков класса;
3) подмножество учеников с ростом выше 160 см;
4) подмножество учеников с именем Миша;
5) подмножество учеников у которых день рождения летом и т.д.

439. Назовите какие−нибудь геометрические фигуры, которые являются подмножествами:
1) множества точек прямой;
2) множества точек круга.

Решение:

1) Луч, отрезок, точка.

2) Радиус, диаметр, хорда, окружность.

440. Пусть A − множество букв слова "координата". Множества букв каких слов являются подмножествами множества A:
1) нора;
2) трактор;
3) картина;
4) крокодил;
5) нитки;
6) корка;
7) дар;
8) подарок;
9) ордината;
10) дорога;
11) корона;
12) кардинал?

Решение:

1) нора;
3) картина;
7) дар;
9) ордината;
11) корона.

114

Ответы к странице 114

441. Пусть A − множество цифр числа 1958. Является ли множество цифр числа x подмножеством A, если:
1) x = 98;
2) x = 9510;
3) x = 519;
4) x = 5858;
5) x = 195888;
6) x = 91258?

Решение:

1) x = 98 − является

2) x = 9510 − не является

3) x = 519 − является

4) x = 5858 − не является

5) x = 195888 − не является

6) x = 91258 − не является

442. Пусть A ≠ ∅. Какие два разных подмножества всегда имеет множество A?

Решение:

1) A ⊂ A;
2) A ⊂ ∅.

443. Найдите пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел:
1) 555288 и 82223;
2) 470713 и 400007.

Решение:

1) A = {2; 5; 8}
B = {2; 3; 8}
A∩B = {2; 8}

2) A = {0; 1; 3; 4; 7}
B = {0; 4; 7}
A∩B = {0; 4; 7}

444. Пусть A − множество двузначных чисел, B − множество простых чисел. Принадлежит ли множеству A∩B число: 5, 7, 11, 31, 57, 96?

Решение:

5 ∉ A∩B
7 ∉ A∩B
11 ∈ A∩B
31 ∈ A∩B
57 ∉ A∩B
96 ∉ A∩B

445. Найдите множество общих делителей чисел 30 и 45.

Решение:

делители числа 30:
A = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
делители числа 45:
B = {1; 3; 5; 9; 15; 45}
A∩B = {1; 3; 5; 15} − множество общих делителей чисел 30 и 45

446. Найдите объединение множеств цифр, используемых в записи чисел:
1) 27288 и 56383;
2) 55555 и 777777.

Решение:

1) A = {2; 7; 8}
B = {3; 5; 6; 8}
AUB = {2; 3; 5; 6; 7; 8}

2) A = {5}
B = {7}
AUB = {5; 7}

447. Запишите все подмножества множества {1, 2}.

Решение:

Подмножества:
{1}, {2}, {1; 2}, ∅.

448. Истинным или ложным является высказывание:
1) {a} ∈ {a, b};
2) {a} ⊂ {a, b};
3) a ⊂ {a, b};
4) {a, b} ∈ {a, b}?

Решение:

1) {a} ∈ {a, b} − верно

2) {a} ⊂ {a, b} − верно

3) a ⊂ {a, b} − неверно

4) {a, b} ∈ {a, b} − неверно

449. Докажите, что если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C.

Решение:

Так как A ⊂ B, то каждый элемент множества B является элементом множества A.
Так как B ⊂ C, то каждый элемент множества C является элементом множества B, следовательно каждый элемент множества C является элементом множества A, то есть A ⊂ C.

450. Разместите данные множества в такой последовательности, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего:
1) A − множество прямоугольников, B − множество четырехугольников, C − множество квадратов, D − множество параллелограммов;
2) A − множество млекопитающих, B − множество псовых, C − множество позвоночных, D − множество волков, E − множество хищных млекопитающих.

Решение:

1) B ⊂ D ⊂ A ⊂ C

2) C ⊂ A ⊂ E ⊂ B ⊂ D

451. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между множествами:
1) A − множество неотрицательных чисел; B = {0}; N − множество натуральных чисел;
2) N − множество натуральных чисел; A − множество натуральных чисел, кратных 6; B − множество натуральных чисел, кратных 3.

Решение:

1) 


2) 

452. Истинным или ложным является высказывание:
1) {a, b} ∩ {a} = a;
2) {a, b} ∩ {a} = {a, b};
3) {a, b} ∩ {a} = {a};
4) {a, b} ∩ {a} = {b}?

Решение:

1) {a, b} ∩ {a} = a − истинное

2) {a, b} ∩ {a} = {a, b} − ложное

3) {a, b} ∩ {a} = {a} − истинное

4) {a, b} ∩ {a} = {b} − ложное

453. Найдите пересечение множеств A и B, если:
1) A − множество равнобедренных треугольников, B − множество равносторонних треугольников;
2) A − множество прямоугольных треугольников, B − множество равносторонних треугольников;
3) A − множество двузначных чисел, B − множество натуральных чисел, кратных 19;
4) A − множество однозначных чисел, B − множество простых чисел.

Решение:

1) A∩B = B

2) A∩B = ∅

3) A∩B = {19; 38; 57; 76; 95}

4) A∩B = {2; 3; 5; 7}

115

Ответы к странице 115

454. Какие фигуры могут быть пересечением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Решение:

Пересечением двух лучей, лежащих на одной прямой, может быть:
1) точка

2) отрезок

3) луч

455. Какие из следующих утверждений верны:
1) {a, b} ∩ {b} = {a, b};
2) {a, b} ∩ {b} = {b};
3) {a, b} ∩ {a} = {a};
4) {a, b} ∩ {b} = {{b}}?

Решение:

1) {a, b} ∩ {b} = {a, b} − верно

2) {a, b} ∩ {b} = {b} − ложно

3) {a, b} ∩ {a} = {a} − ложно

4) {a, b} ∩ {b} = {{b}} − ложно

456. Найдите объединение множеств A и B, если:
1) A − множество равнобедренных треугольников, B − множество равносторонних треугольников;
2) A − множество простых чисел, B − множество составных чисел;
3) A − множество простых чисел, B − множество нечетных чисел.

Решение:

1) AUB = A − множество равнобедренных треугольников

2) AUB − множество всех натуральных чисел, кроме числа 1

3) AUB − множество нечетных чисел и число 2

457. Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Решение:

Объединением двух лучей, лежащих на одной прямой, могут быть прямая или луч.

458. Опишите на языке "необходимо и достаточно" принадлежность элемента x множествам:
1) A и B (рис.25,a);
2) A, B и C (рис.25,б,в).

Решение:

1) а) Чтобы элемент x принадлежал множеству B, достаточно, чтобы он принадлежал множеству A.

2) б) Чтобы элемент x принадлежал множеству C, необходимо, чтобы он принадлежал и множеству A и множеству B.
в) Чтобы элемент x принадлежал множеству A, достаточно, чтобы он принадлежал одному из множеств: A или B.

459. Вместо точек поставьте слово "необходимо" или "достаточно", чтобы образовалось верное утверждение:
1) для того чтобы треугольник был равносторонним, ..., чтобы два его угла были равны;
2) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..., чтобы две его стороны были параллельны;
3) для того чтобы число делилось нацело на 3, ..., чтобы оно делилось нацело на 9;
4) для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была нулем, ..., чтобы число было кратным 5.

Решение:

1) Для того чтобы треугольник был равносторонним, достаточно, чтобы два его угла были равны.

2) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы две его стороны были параллельны.

3) Для того чтобы число делилось нацело на 3, достаточно, чтобы оно делилось нацело на 9.

4) Для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была нулем, необходимо, чтобы число было кратным 5.

460. Упростите выражение:
1) $3a^{-6}b^2 * 0,4a^{-2}b^{-5}$;
2) $\frac{4,8a^2b^{-4}}{0,6a^3b^{-6}}$.

Решение:

1) $3a^{-6}b^2 * 0,4a^{-2}b^{-5} = (3 * 0,4) * a^{-6 - 2}b^{2 - 5} = 1,2a^{-8}b^{-3} = \frac{1,2}{a^8b^3} = \frac{6}{5a^8b^3}$

2) $\frac{4,8a^2b^{-4}}{0,6a^3b^{-6}} = \frac{4,8}{0,6}a^{2 - 3}b^{-4 - (-6)} = \frac{48}{6}a^{-1}b^{-4 + 6} = 8a^{-1}b^{-2} = \frac{8b^2}{a}$

116

Ответы к странице 116

461. В саду растет более 80, но менее 100 деревьев. Каждое третье дерево − яблоня, а каждое восьмое − груша. Сколько деревьев растет в саду?

Решение:

Общее количество деревьев кратно числу 24 (3 * 8), так как каждое третье дерево − яблоня, а каждое восьмое − груша.
Так как деревьев более 80 и менее 100, то среди данных чисел есть только одно число кратное 24, это число 96 = 24 * 4.
Ответ: 96 деревьев

462. Известно, что $\frac{a}{b} = 3$. Найдите значение выражения $\frac{2a - 3b}{a}$.

Решение:

$\frac{2a - 3b}{a} = \frac{2a}{a} - \frac{3b}{a} = 2 - 3 * \frac{b}{a} = 2 - 3 * \frac{1}{3} = 2 - 1 = 1$
Ответ: 1

463. Сравните:
1) 2,4578 и 2,4569;
2) −1,9806 и −1,981.

Решение:

1) 2,4578 > 2,4569

2) −1,9806 > −1,981

464. Прочитайте периодическую дробь и назовите ее период:
1) 0,(5);
2) 1,(32);
3) 8,4(65);
4) 3,424242... .

Решение:

1) 0,(5) − ноль целых пять в периоде
5 − период дроби

2) 1,(32) − одна целая тридцать два в периоде
32 − период дроби

3) 8,4(65) − восемь целых четыре десятых и шестьдесят пять в периоде
65 − период дроби

4) 3,424242... = 3,(42) − три целых сорок два в периоде
42 − период дроби

465. Преобразуйте в десятичную дробь:
1) $\frac{4}{5}$;
2) $\frac{3}{8}$;
3) $\frac{7}{16}$;
4) $\frac{97}{80}$;
5) $\frac{42}{15}$.

Решение:

1) $\frac{4}{5} = \frac{4 * 2}{5 * 2} = \frac{8}{10} = 0,8$

2) $\frac{3}{8}= \frac{3 * 125}{8 * 125} = \frac{375}{1000} = 0,375$

3) $\frac{7}{16} = \frac{7 * 625}{16 * 625} = \frac{4375}{10000} = 0,4375$

4) $\frac{97}{80} = 1\frac{17}{80} = 1 + \frac{17 * 125}{80 * 125} = 1 + \frac{2125}{10000} = 1 + 0,2125 = 1,2125$

5) $\frac{42}{15} = 2\frac{12}{15} = 2\frac{4}{5} = 2 + \frac{4 * 2}{5 * 2} = 2 + \frac{8}{10} = 2 + 0,8 = 2,8$

466. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и определите ее период:
1) $\frac{5}{6}$;
2) $\frac{11}{15}$;
3) $\frac{9}{11}$;
4) $\frac{31}{33}$.

Решение:

1) $\frac{5}{6} = 5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3)$
3 − период дроби

2) $\frac{11}{15} = 11 : 15 = 0,7333... = 0,7(3)$
3 − период дроби

3) $\frac{9}{11} = 9 : 11 = 0,8181... = 0,(81)$
81 − период дроби

4) $\frac{31}{33} = 31 : 33 = 0,9393... = 0,(93)$
93 − период дроби

№467. Попарно различные числа a, b, с удовлетворяют условию a2(b + c) = b2(c + a). Докажите, что a2(b + c) = c2(a + b).

Решение:

$a^2(b + c) = b^2(c + a)$
$a^2(b + c) - b^2(c + a) = 0$
$a^2b + a^2c - b^2c - b^2a = 0$
$(a^2c - b^2c) + (a^2b - b^2a) = 0$
$c(a^2 - b^2) + ab(a - b) = 0$
c(a − b)(a + b) + ab(a − b) = 0
(a − b)(c(a + b) + ab) = 0
(a − b)(cа + сb + ab) = 0

$a^2(b + c) = c^2(a + b)$
$a^2(b + c) - c^2(a + b) = 0$
$a^2b + a^2c - ac^2 - bc^2 = 0$
$(a^2b - bc^2) + (a^2c - ac^2) = 0$
$b(a^2 - c^2) + ac(a - c) = 0$
$b(a - c)(a + c) + ac(a - c) = 0$
(a − c)(b(a + c) + ac) = 0
(a − c)(bа + bc + ac) = 0

Поскольку a, b, с попарно различные, a − b ≠ 0, и a − c ≠ 0 значит
cа + сb + ab = 0  и
bа + bc + ac = 0

cа + сb + ab = bа + bc + ac
Утверждение доказано.

121

Ответы к странице 121

§15. Числовые множества

Вопросы

1. Какие числа образуют множество целых чисел?

Ответ:

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел.

2. Какой буквой обозначают множество целых чисел?

Ответ:

Множество целых чисел обозначают буквой Z.

3. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

Ответ:

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел.

4. Какой буквой обозначают множество рациональных чисел?

Ответ:

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

5. В виде какого отношения можно представить каждое рациональное число?

Ответ:

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения $\frac{m}{n}$, где m — целое число, а n — натуральное.

6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби?

Ответ:

Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

7. Как называют числа, не являющиеся рациональными?

Ответ:

Числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

8. Объединение каких множеств образует множество действительных чисел?

Ответ:

Объединение множеств иррациональных и рациональных чисел называют множеством действительных чисел.

9. Какой буквой обозначают множество действительных чисел?

Ответ:

Множество действительных чисел обозначают буквой R.

10. Как взаимосвязаны числовые множества N, Z, Q и R?

Ответ:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂R

Упражнения

468. Какое из данных утверждений неверно:
1) −3 − действительное число;
2) −3 − рациональное число;
3) −3 − целое число;
4) −3 − натуральное число?

Решение:

1) −3 − действительное число − верно;
2) −3 − рациональное число − верно;
3) −3 − целое число − верно;
4) −3 − натуральное число − неверно, так как −3 не является натуральным числом..
Ответ: 4) −3 − натуральное число

469. Верно ли утверждение:
1) 1 ∈ N;
2) 1 ∈ Z;
3) 1 ∈ Q;
4) 1 ∈ R;
5) −2,3 ∈ N;
6) −2,3 ∈ R;
7) $\sqrt{7}$ ∉ R;
8) $\sqrt{121}$ ∉ R;
9) $\frac{π}{3}$ ∈ R?

Решение:

1) 1 ∈ N − верно, так как 1 принадлежит множеству натуральных чисел.

2) 1 ∈ Z − верно, так как 1 принадлежит множеству целых чисел.

3) 1 ∈ Q − верно, так как 1 принадлежит множеству рациональных чисел.

4) 1 ∈ R − верно, так как 1 принадлежит множеству действительных чисел.

5) −2,3 ∈ N − неверно, так как −2,3 не принадлежит множеству натуральных чисел.

6) −2,3 ∈ R − верно, так как −2,3 принадлежит множеству действительных чисел.

7) $\sqrt{7}$ ∉ R − неверно, так как $\sqrt{7}$ принадлежит множеству действительных чисел.

8) $\sqrt{121}$ ∉ R − неверно, так как $\sqrt{121}$ принадлежит множеству действительных чисел.

9) $\frac{π}{3}$ ∈ R − верно, так как $\frac{π}{3}$ принадлежит множеству действительных чисел.

470. Верно ли утверждение:
1) 0 ∈ N;
2) 0 ∉ Z;
3) 0 ∈ R;
4) $-\frac{3}{7}$ ∈ Q;
5) $-\frac{3}{7}$ ∉ R;
6) $\sqrt{9}$ ∈ Q;
7) $\sqrt{9}$ ∈ Z;
8) $\sqrt{9}$ ∈ R?

Решение:

1) 0 ∈ N − неверно, так как 0 не принадлежит множеству натуральных чисел.

2) 0 ∉ Z − неверно, так как 0 принадлежит множеству целых чисел.

3) 0 ∈ R − верно, так как 0 принадлежит множеству действительных чисел.

4) $-\frac{3}{7}$ ∈ Q − верно, так как $-\frac{3}{7}$ принадлежит множеству рациональных чисел.

5) $-\frac{3}{7}$ ∉ R − неверно, так как $-\frac{3}{7}$ принадлежит множеству действительных чисел.

6) $\sqrt{9} = 3$ ∈ Q − верно, так как $\sqrt{9}$ принадлежит множеству рациональных чисел.

7) $\sqrt{9} = 3$ ∈ Z − верно, так как $\sqrt{9}$ принадлежит множеству целых чисел.

8) $\sqrt{9}$ ∈ R − верно, так как $\sqrt{9}$ принадлежит множеству действительных чисел.

471. Истинным или ложным является высказывание:
1) любое натуральное число является целым;
2) любое натуральное число является рациональным;
3) любое натуральное число является действительным;
4) любое рациональное число является целым;
5) любое действительно число является рациональным;
6) любое рациональное число является действительным;
7) любое иррациональное число является действительным;
8) любое действительное число является рациональным или иррациональным?

Решение:

1) любое натуральное число является целым − истинно

2) любое натуральное число является рациональным − истинно

3) любое натуральное число является действительным − истинно

4) любое рациональное число является целым − ложно, так как дробное число − рациональное, но не целое.

5) любое действительно число является рациональным − ложно, так как иррациональное число, также является действительным.

6) любое рациональное число является действительным − истинно

7) любое иррациональное число является действительным − истинно

8) любое действительное число является рациональным или иррациональным − истинно

122

Ответы к странице 122

472. Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие − иррациональных:
1) 0,(3);
2) 0,4(32);
3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?

Решение:

1) 0,(3) − рациональное;
2) 0,4(32) − рациональное;
3) 0,20200200020... − иррациональное.

473. Сравните:
1) 6,542... и 6,452...;
2) −24,064... и −24,165... .

Решение:

1) 6,542... > 6,452..

2) −24,064... > −24,165...

474. Сравните:
1) 0,234... и 0,225...;
2) −1,333... и −1,345... .

Решение:

1) 0,234... > 0,225...

2) −1,333... > −1,345...

475. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение числа $\sqrt{3}$ с точностью до 0,01:
1) по недостатку;
2) по избытку.

Решение:

1) $\sqrt{3} = 1,73205... ≈ 1,73$

2) $\sqrt{3} = 1,73205... ≈ 1,74$

476. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение числа $\sqrt{5}$ с точностью до 0,01:
1) по недостатку;
2) по избытку.

Решение:

1) $\sqrt{5} = 2,23606... ≈ 2,23$

2) $\sqrt{5} = 2,23606... ≈ 2,24$

477. Укажите какое−нибудь значение a, при котором уравнение $x^2 = a$:
1) имеет два рациональных корня;
2) имеет два иррациональных корня;
3) не имеет корней.

Решение:

1) $x^2 = a$
при a = 16:
$x^2 = 16$
x = ±4
Ответ: при a = 16 уравнение имеет два рациональных корня: −4 и 4.

2) $x^2 = a$
при a = 3:
$x^2 = 3$
$x = ±\sqrt{3}$
Ответ: при a = 3 уравнение имеет два рациональных корня: $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.

3) $x^2 = a$
при a = −5:
$x^2 = -5$ − нет корней
Ответ: при a = −5 уравнение не имеет корней.

478. Сравните числа:
1) $\frac{43}{7}$ и 6,12;
2) 3,(24) и 3,24;
3) π и 3,(14);
4) −2,(36) и −2,36;
5) 7,(18) и 7,(17).

Решение:

1) $\frac{43}{7}$ и 6,12
$\frac{43}{7} = 6\frac{1}{7} = 6\frac{25}{175}$
$6,12 = 6\frac{12}{100} = 6\frac{21}{175}$
$6\frac{25}{175} > 6\frac{21}{175}$
$\frac{43}{7} > 6,12$

2) 3,(24) и 3,24
3,(24) = 3,242424...
3,24 = 3,24000...
3,242424... > 3,24000...
3,(24) > 3,24

3) π и 3,(14)
π = 3,14159...
3,(14) = 3,1414...
3,14159... > 3,1414...
π > 3,(14)

4) −2,(36) и −2,36
−2,(36) = −2,3636...
−2,36 = −2,3600...
−2,3636... < −2,3600...
−2,(36) < −2,36

5) 7,(18) и 7,(17)
7,(18) = 7,1818...
7,(17) = 7,1717...
7,1818... > 7,1717...
7,(18) > 7,(17)

479. Сравните числа:
1) $\frac{1}{6}$ и 0,2;
2) $\frac{7}{9}$ и 0,77;
3) −1,(645) и −1,(643).

Решение:

1) $\frac{1}{6}$ и 0,2
$\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = \frac{6}{30}$
$\frac{5}{30} < \frac{6}{30}$
$\frac{1}{6} < 0,2$

2) $\frac{7}{9}$ и 0,77
$\frac{7}{9} = \frac{700}{900}$
$0,77 = \frac{77}{100} = \frac{693}{900}$
$\frac{700}{900} > \frac{693}{900}$
$\frac{7}{9} > 0,77$

3) −1,(645) и −1,(643)
−1,(645) = −1,645645...
−1,(643) = −1,643643...
−1,645645... < −1,643643...
−1,(645) < −1,(643)

480. Запишите в порядке убывания числа:
3,(16); π; −1,82...; −0,08...; 2,(136).

Решение:

3,(16) = 3,1616...
π = 3,1415...
2,(136) = 2,136136...
3,1616... > 3,1415... > 2,136136... > −0,08... > −1,82...
Ответ:
3,(16) > π > 2,(136) > −0,08... > −1,82...

481. Запишите в порядке возрастания числа:
1,57; 1,571...; $\frac{π}{2}$; 1,(56); 1,(572).

Решение:

$\frac{π}{2} = \frac{3,1415...}{2} = 1,57075...$
1,(56) = 1,5656...
1,(572) = 1,572572...
1,5656... < 1,57 < 1,57075... < 1,571... < 1,572572...
Ответ: $1,(56) < 1,57 < \frac{π}{2} < 1,571... < 1,(572)$

482. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Решение:

Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где x − целое число, a y − натуральное число.
Возьмем два рациональных числа $\frac{m_1}{n_1}$ и $\frac{m_2}{n_2}$.
1)
$\frac{m_1}{n_1} + \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1n_2 + n_1m_2}{n_1n_2}$
$m_1n_2$ и $n_1m_2$ являются целыми числами, произведение $n_1n_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1n_2 + n_1m_2$ − целое число, так как является суммой двух целых чисел.
Поэтому дробь $\frac{m_1n_2 + n_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению является рациональным числом. Поэтому сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.
2)
$\frac{m_1}{n_1} - \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1n_2 - n_1m_2}{n_1n_2}$
$m_1n_2$ и $n_1m_2$ являются целыми числами, произведение $n_1n_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1n_2 - n_1m_2$ − целое число, так как является разностью двух целых чисел.
Поэтому дробь $\frac{m_1n_2 - n_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению является рациональным числом. Поэтому разность двух рациональных чисел является рациональным числом.
3)
$\frac{m_1}{n_1} * \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1m_2}{n_1n_2}$
Произведение $m_1m_2$ является целым числом, произведение $n_1n_2$ − натуральное число. Значит дробь $\frac{m_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
4)
$\frac{m_1}{n_1} : \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1}{n_1} * \frac{n_2}{m_2} = \frac{m_1n_2}{n_1m_2}$
Произведение $m_1n_2$ является целым числом, произведение $n_1m_2$ − натуральное число. Значит дробь $\frac{m_1n_2}{n_1m_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому частное двух рациональных чисел является рациональным числом.

483. Докажите, что сумма рационально и иррационального чисел является числом иррациональным.

Решение:

Сумма и разность двух рациональных числе есть число рациональное.
Пусть:
q − число рациональное;
i − число иррациональное.
Докажем, что q + i является иррациональным числом.
Предположим, что q + i не является иррациональным числом, то q + i = x − рациональное число.
i = x − q − является рациональным число, так как является разностью двух рациональных чисел, по условию i − число иррациональное. Получили противоречие, поэтому предположение неверно и x − иррациональное число.
Значит, сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.

123

Ответы к странице 123

484. Истинным или ложным является высказывание:
1) сумма двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является число иррациональным?

Решение:

1) Высказывание ложное, так как например:
$\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$ − число рациональное

2) Высказывание ложное, так как например:
$\sqrt{5} * \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$ − число рациональное

Решение e
Высказывание ложное, так как например:
$\sqrt{5} * 0 = 0$ − число рациональное

485. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома по восемь квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира № 186?

Решение:

1) 8 * 9 = 72 (квартиры) − находится в каждом подъезде;
2) $\frac{186}{72} = 2\frac{42}{72}$ − значит квартира № 186 находится в третьем подъезде и является 42−ой по счету;
3) $\frac{42}{8} = 5\frac{2}{8}$ − значит квартира № 186 находится на шестом этаже.
Ответ: квартира № 186 находится в третьем подъезде на шестом этаже.

486. Натуральные числа a и b таковы, что a − четное число, a b − нечетное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом:
1) $\frac{8b}{5a}$;
2) $\frac{a^2}{b^2}$;
3) $\frac{4a}{b}$;
4) $\frac{b^2}{a}$?

Решение:

Пусть:
a = 2n
b = 2m + 1
Тогда:
1)
$\frac{8b}{5a} = \frac{8(2m + 1)}{5 * 2n} = \frac{16m + 8}{10n} = \frac{2 * (8m + 4)}{2 * 5n} = \frac{8m + 4}{5n}$
при m = 2 и n = 2:
$\frac{8 * 2 + 4}{5 * 2} = \frac{20}{10} = 2$ − число натуральное.
2)
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(2n)^2}{(2m + 1)^2} = \frac{4n^2}{4m^2 + 4m + 1}$
при m = 0 n = 1:
$\frac{4 * 1^2}{4 * 0^2 + 4 * 0 + 1} = \frac{4}{1} = 4$ − число натуральное.
3)
$\frac{4a}{b} = \frac{4 * 2n}{2m + 1} = \frac{8n}{2m + 1}$
при m = 0 n = 1:
$\frac{8 * 1}{2 * 0 + 1} = \frac{8}{1} = 8$ − число натуральное.
4)
$\frac{b^2}{a} = \frac{(2m + 1)^2}{2n} = \frac{4m^2 + 4m + 1}{2n} = \frac{4m^2}{2n} + \frac{4m}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{2m^2}{n} + \frac{2m}{n} + \frac{1}{2n}$ − так как при любых значениях m и n число $\frac{1}{2n}$ всегда будет не натуральным, значит и сумма $\frac{2m^2}{n} + \frac{2m}{n} + \frac{1}{2n}$ всегда будет числом не натуральным. Следовательно значение $\frac{b^2}{a}$ не может быть натуральным числом.
Ответ: 4) $\frac{b^2}{a}$

487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения
$(\frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4}) * (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2}$
не зависит от значения a.

Решение:

$(\frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4}) * (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} = (\frac{3}{a^2 - 4a + 4} + \frac{2}{a^2 - 4}) * (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} = (\frac{3}{(a - 2)^2} + \frac{2}{(a - 2)(a + 2)}) * (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} = \frac{3(a + 2) + 2(a - 2)}{(a - 2)^2(a + 2)} * (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} = \frac{3a + 6 + 2a - 4}{a + 2} - \frac{2a - 4}{a + 2} = \frac{5a + 2}{a + 2} - \frac{2a - 4}{a + 2} = \frac{5a + 2 - (2a - 4)}{a + 2} = \frac{5a + 2 - 2a + 4}{a + 2} = \frac{3a + 6}{a + 2} = \frac{3(a + 2)}{a + 2} = 3$

488. В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нем останется на 14 л воды меньше, чем помещается. Если долить 4 л, то объем воды составит $\frac{2}{3}$ того, что помещается в ведре. Сколько литров воды помещается в ведре?

Решение:

Пусть x (л) − воды налито в ведро, тогда:
$\frac{1}{2}x$ (л) − воды останется в ведре, после того как отлили половину;
$\frac{1}{2}x + 14$ (л) − воды помещается в ведре;
x + 4 (л) − воды станет в ведре, после того как долили 4 литра;
$(x + 4) : \frac{2}{3}$ (л) − воды помещается в ведре.
Так как, вместимость ведра величина неизменная, можно составить уравнение:
$\frac{1}{2}x + 14 = (x + 4) : \frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}x + 14 = (x + 4) * \frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}x + 14 = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} * 4$
$\frac{1}{2}x + 14 = \frac{3}{2}x + 3 * 2$
$\frac{1}{2}x + 14 = \frac{3}{2}x + 6$
$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}x = 6 - 14$
$-\frac{2}{2}x = -8$
−x = −8
x = 8
$\frac{1}{2}x + 14 = \frac{1}{2} * 8 + 14 = 4 + 14 = 18$ (л) − воды помещается в ведре.
Ответ: 18 литров

489. Найдите значение выражения:
1) |−3,5| − |2,6|;
2) |−9,6| − |−32|.

Решение:

1) |−3,5| − |2,6| = 3,5 − 2,6 = 0,9

2) |−9,6| − |−32| = 9,6 − 32 = −22,4

490. Модуль какого числа равен 6?

Решение:

|−6| = 6
|6| = 6
Ответ: −6 и 6

491. Для каких чисел выполняется равенство:
1) |a| = a;
2) |a| = −a;
3) |a| = |−a|;
4) |a| = −|a|?

Решение:

1) |a| = a
при a ≥ 0

2) |a| = −a
при a ≤ 0

3) |a| = |−a|
при любом a

4) |a| = −|a|
при a = 0

492. Для каких чисел одновременно выполняются оба равенства |a| = a и |a| = −a?

Решение:

Равенства |a| = a и |a| = −a выполняются одновременно при a = 0.

493. Найдите значение каждого их выражений $a^2, (-a)^2, |a|^2$ при a = −8 и при a = 7. Сделайте вывод.

Решение:

при a = −8:
$a^2 = (-8)^2 = 64$
$(-a)^2 = (-(-8))^2 = 8^2 = 64$
$|a|^2 = |-8|^2 = 8^2 = 64$

при a = 7:
$a^2 = 7^2 = 49$
$(-a)^2 = (-7)^2 = 49$
$|a|^2 = |7|^2 = 7^2 = 49$

Вывод: при любом значении a выполняется равенство $a^2 = (-a)^2 = |a|^2$

124

Ответы к странице 124

494. Известно, что a > 0, c < 0. Сравните с нулем значение выражения:
1) $a^3c^4$;
2) $ac^5$.

Решение:

1) $a^3c^4$
$a^3 > 0$, $c^4 > 0$, следовательно $a^3c^4 > 0$

2) $ac^5$
$a > 0$, $c^5 < 0$, следовательно $ac^5 < 0$

№495. В роте 100 солдат. Каждую ночь на дежурство выходят три солдата. Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время каждый солдат побывал на дежурстве с каждым из остальных солдат ровно один раз?

Решение:

Каждый солдат дежурит с двумя другими, значит количество всех его спутников должно делиться на 2.
Но их 100-1 = 99.
99 на 2 нацело не делится.
Ответ: нельзя.

126

Ответы к странице 126

Когда сделаны уроки

1. Докажите, что число $\sqrt{3}$ − иррациональное.

Решение:

Проведем доказательство от противного. Допустим, что $\sqrt{3}$ рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где m и n − натуральные числа. Возведем предполагаемое равенство в квадрат:
$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$
$(\sqrt{3})^2 = (\frac{m}{n})^2$
$3 = \frac{m^2}{n^2}$
$n^2 = 3m^2$
Отсюда следует, что $m^2$ кратно 3, значит, и m кратно 3 (если бы m не было кратно 3, то и $m^2$ не было кратно 3). Пусть m = 3r, где r − натуральное число. Тогда
$(3r)^2 = 3n^2$
$9r^2 = 3n^3$
$n^2 = 3r^2$
Следовательно, $n^2$ кратно 3, значит, и n кратно 3. Мы получили, что m и n кратны 3, что противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{3}$ − иррациональное число.

2. Докажите, что если натуральное число n не является квадратом натурального числа, то число $\sqrt{n}$ − иррациональное.

Решение:

Предположим, что $\sqrt{n}$ − рациональное число, тогда его можно представить в виде $\sqrt{n} = \frac{a}{b}$
возведем данное равенство в квадрат:
$(\sqrt{n})^2 = (\frac{a}{b})^2$
$n = \frac{a^2}{b^2}$
$a^2 = nb^2$
$nb^2$ делится на n, поэтому $a^2$ также делится на n, значит и a делится на n. Аналогично и b делится на n. Поэтому, a и b имеют общий делитель n и дробь $\frac{a}{b}$ сократима, что противоречит условию.
Поэтому предположение, что $\sqrt{n}$ − рациональное число неверно и $\sqrt{n}$ − иррациональное число.

129

Ответы к странице 129

§16. Свойства арифметического квадратного корня

Вопросы

1. Какому выражению тождественно равно выражение $\sqrt{a^2}$?

Ответ:

Для любого действительного числа а выполняется равенство $\sqrt{a^2} = |a|$.

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

Ответ:

Для любого действительного числа а и любого натурального числа n выполняется равенство $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

Ответ:

Для любых действительных чисел а и b таких, что a ≥ 0 и b ≥ 0, выполняется равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b}$.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

Ответ:

Для любых действительных чисел а и b таких, что a ≥ 0 и b ≥ 0, выполняется равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$. Сравните значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$.

Ответ:

Для любых неотрицательных чисел $a_1$ и $a_2$ таких, что $a_1 > a_2$, выполняется неравенство $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.

Упражнения

496. Чему равно значение выражения:
1) $\sqrt{0,4^2}$;
2) $\sqrt{(-1,8)^2}$;
3) $2\sqrt{(-15)^2}$;
4) $3\sqrt{1,2^2}$;
5) $\sqrt{6^4}$;
6) $\sqrt{(-2)^{10}}$;
7) $5\sqrt{(-10)^4}$;
8) $-4\sqrt{(-1)^{14}}$;
9) $-10\sqrt{3^6}$?

Решение:

1) $\sqrt{0,4^2} = |0,4| = 0,4$

2) $\sqrt{(-1,8)^2} = |-1,8| = 1,8$

3) $2\sqrt{(-15)^2} = 2 * |-15| = 2 * 15 = 30$

4) $3\sqrt{1,2^2} = 3 * |1,2| = 3 * 1,2 = 3,6$

5) $\sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = |6^2| = |36| = 36$

6) $\sqrt{(-2)^{10}} = \sqrt{((-2)^{5})^2} = |(-2)^5| = |-32| = 32$

7) $5\sqrt{(-10)^4} = 5 * \sqrt{((-10)^2)^2} = 5 * |(-10)^2| = 5 * |100| = 5 * 100 = 500$

8) $-4\sqrt{(-1)^{14}} = -4 * \sqrt{((-1)^{7})^2} = -4 * |(-1)^7| = -4 * |-1| = -4 * 1 = -4$

9) $-10\sqrt{3^6} = -10 * \sqrt{(3^3)^2} = -10 * |3^3| = -10 * |27| = -10 * 27 = -270$

497. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{a^2}$, если a = 4,6; −18,6;
2) $\sqrt{b^4}$, если b = −3; 1,2;
3) $0,1\sqrt{c^6}$, если c = −2; 5.

Решение:

1) $\sqrt{a^2}$
$\sqrt{a^2} = |a|$
при a = 4,6:
$\sqrt{4,6^2} = |4,6| = 4,6$
при a = −18,6:
$\sqrt{-18,6^2} = |-18,6| = 18,6$

2) $\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2|$
при b = −3:
$\sqrt{(-3)^4} = \sqrt{((-3)^2)^2} = |(-3)^2| = |9| = 9$
при b = 1,2:
$\sqrt{1,2^4} = \sqrt{(1,2^2)^2} = |1,2^2| = |1,44| = 1,44$

3) $0,1\sqrt{c^6} = 0,1\sqrt{(c^3)^2} = 0,1 * |c^3|$
при c = −2:
$0,1\sqrt{(-2)^6} = 0,1\sqrt{((-2)^3)^2} = 0,1 * |(-2)^3| = 0,1 * |-8| = 0,1 * 8 = 0,8$
при c = 5:
$0,1\sqrt{5^6} = 0,1\sqrt{(5^3)^2} = 0,1 * |5^3| = 0,1 * 125 = 12,5$

130

Ответы к странице 130

498. Вычислите значение выражения:
1) $\sqrt{9 * 25}$;
2) $\sqrt{16 * 2500}$;
3) $\sqrt{0,64 * 36}$;
4) $\sqrt{400 * 1,44}$;
5) $\sqrt{0,09 * 0,04}$;
6) $\sqrt{6,25 * 0,16}$;
7) $\sqrt{6^2 * 3^4}$;
8) $\sqrt{7^2 * 2^8}$;
9) $\sqrt{25 * 64 * 0,36}$;
10) $\sqrt{0,01 * 0,81 * 2500}$;
11) $\sqrt{\frac{81}{100}}$;
12) $\sqrt{\frac{49}{256}}$;
13) $\sqrt{3\frac{13}{36}}$;
14) $\sqrt{3\frac{1}{16} * 2\frac{14}{25}}$;
15) $\sqrt{\frac{169}{36 * 81}}$;
16) $\sqrt{\frac{121 * 256}{25 * 100}}$.

Решение:

1) $\sqrt{9 * 25} = \sqrt{9} * \sqrt{25} = 3 * 5 = 15$

2) $\sqrt{16 * 2500} = \sqrt{16} * \sqrt{2500} = 4 * 50 = 200$

3) $\sqrt{0,64 * 36} = \sqrt{0,64} * \sqrt{36} = 0,8 * 6 = 4,8$

4) $\sqrt{400 * 1,44} = \sqrt{400} * \sqrt{1,44} = 20 * 1,2 = 24$

5) $\sqrt{0,09 * 0,04} = \sqrt{0,09} * \sqrt{0,04} = 0,3 * 0,2 = 0,06$

6) $\sqrt{6,25 * 0,16} = \sqrt{6,25} * \sqrt{0,16} = 2,5 * 0,4 = 1$

7) $\sqrt{6^2 * 3^4} = \sqrt{6^2} * \sqrt{3^4} = \sqrt{6^2} * \sqrt{(3^2)^2} = |6| * |3^2| = 6 * 9 = 54$

8) $\sqrt{7^2 * 2^8} = \sqrt{7^2} * \sqrt{(2^4)^2} = |7| * |2^4| = 7 * 16 = 112$

9) $\sqrt{25 * 64 * 0,36} = \sqrt{25} * \sqrt{64} * \sqrt{0,36} = 5 * 8 * 0,6 = 40 * 0,6 = 24$

10) $\sqrt{0,01 * 0,81 * 2500} = \sqrt{0,01} * \sqrt{0,81} * \sqrt{2500} = 0,1 * 0,9 * 50 = 0,9 * 5 = 4,5$

11) $\sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$

12) $\sqrt{\frac{49}{256}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{256}} = \frac{7}{16}$

13) $\sqrt{3\frac{13}{36}} = \sqrt{\frac{121}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$

14) $\sqrt{3\frac{1}{16} * 2\frac{14}{25}} = \sqrt{\frac{49}{16} * \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{49}{16}} * \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} * \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{4} * \frac{8}{5} = \frac{7}{1} * \frac{2}{5} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$

15) $\sqrt{\frac{169}{36 * 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36} * \sqrt{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36 * 81}} = \frac{13}{6 * 9} = \frac{13}{54}$

16) $\sqrt{\frac{121 * 256}{25 * 100}} = \frac{\sqrt{121 * 256}}{\sqrt{25 * 100}} = \frac{\sqrt{121} * \sqrt{256}}{\sqrt{25} * \sqrt{100}} = \frac{11 * 16}{5 * 10} = \frac{11 * 8}{5 * 5} = \frac{88}{25} = 3\frac{13}{25} $

499. Чему равно значение выражения:
1) $\sqrt{36 * 81}$;
2) $\sqrt{900 * 49}$;
3) $\sqrt{16 * 0,25}$;
4) $\sqrt{9 * 1,69}$;
5) $\sqrt{0,36 * 1,21}$;
6) $\sqrt{5^2 * 3^6}$;
7) $\sqrt{4^4 * 3^2}$;
8) $\sqrt{2^6 * 5^2}$;
9) $\sqrt{2,25 * 0,04 * 1600}$;
10) $\sqrt{13\frac{4}{9}}$;
11) $\sqrt{1\frac{7}{9} * \frac{4}{25}}$;
12) $\sqrt{\frac{1}{16} * \frac{9}{25}}$?

Решение:

1) $\sqrt{36 * 81} = \sqrt{36} * \sqrt{81} = 6 * 9 = 54$

2) $\sqrt{900 * 49} = \sqrt{900} * \sqrt{49} = 30 * 7 = 210$

3) $\sqrt{16 * 0,25} = \sqrt{16} * \sqrt{0,25} = 4 * 0,5 = 2$

4) $\sqrt{9 * 1,69} = \sqrt{9} * \sqrt{1,69} = 3 * 1,3 = 3,9$

5) $\sqrt{0,36 * 1,21} = \sqrt{0,36} * \sqrt{1,21} = 0,6 * 1,1 = 0,66$

6) $\sqrt{5^2 * 3^6} = \sqrt{5^2} * \sqrt{3^6} = \sqrt{5^2} * \sqrt{(3^3)^2} = |5| * |3^3| = 5 * |27| = 5 * 27 = 135$

7) $\sqrt{4^4 * 3^2} = \sqrt{4^4} * \sqrt{3^2} = \sqrt{(4^2)^2} * \sqrt{3^2} = |4^2| * |3| = |16| * 3 = 16 * 3 = 48$

8) $\sqrt{2^6 * 5^2} = \sqrt{2^6} * \sqrt{5^2} = \sqrt{(2^3)^2} * \sqrt{5^2} = |2^3| * |5| = |8| * 5 = 8 * 5 = 40$

9) $\sqrt{2,25 * 0,04 * 1600} = \sqrt{2,25} * \sqrt{0,04} * \sqrt{1600} = 1,5 * 0,2 * 40 = 0,3 * 40 = 12$

10) $\sqrt{13\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$

11) $\sqrt{1\frac{7}{9} * \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9}} * \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} * \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} * \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$

12) $\sqrt{\frac{1}{16} * \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{1}{16}} * \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} * \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{4} * \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$

500. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{12} * \sqrt{3}$;
2) $\sqrt{32} * \sqrt{2}$;
3) $\sqrt{18} * \sqrt{50}$;
4) $\sqrt{0,009} * \sqrt{1000}$;
5) $\sqrt{200} * \sqrt{0,18}$;
6) $\sqrt{13} * \sqrt{2} * \sqrt{26}$;
7) $\sqrt{2,4} * \sqrt{1\frac{2}{3}}$;
8) $\sqrt{\frac{2}{11}} * \sqrt{8} * \sqrt{\frac{1}{11}}$;
9) $\sqrt{2^3 * 3} * \sqrt{2^5 * 3^3}$.

Решение:

1) $\sqrt{12} * \sqrt{3} = \sqrt{12 * 3} = \sqrt{36} = 6$

2) $\sqrt{32} * \sqrt{2} = \sqrt{32 * 2} = \sqrt{64} = 8$

3) $\sqrt{18} * \sqrt{50} = \sqrt{18 * 50} = \sqrt{900} = 30$

4) $\sqrt{0,009} * \sqrt{1000} = \sqrt{0,009 * 1000} = \sqrt{9} = 3$

5) $\sqrt{200} * \sqrt{0,18} = \sqrt{200 * 0,18} = \sqrt{36} = 6$

6) $\sqrt{13} * \sqrt{2} * \sqrt{26} = \sqrt{13 * 2 * 26} = \sqrt{26 * 26} = \sqrt{26^2} = |26| = 26$

7) $\sqrt{2,4} * \sqrt{1\frac{2}{3}} = \sqrt{2,4 * 1\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{24}{10} * \frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12}{5} * \frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{4}{1} * \frac{1}{1}} = \sqrt{4} = 2$

8) $\sqrt{\frac{2}{11}} * \sqrt{8} * \sqrt{\frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11} * 8 * \frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{16}{11^2}} = \frac{4}{|11|} = \frac{4}{11}$

9) $\sqrt{2^3 * 3} * \sqrt{2^5 * 3^3} = \sqrt{2^3 * 3 * 2^5 * 3^3} = \sqrt{2^{3 + 5} * 3^{1 + 3}} = \sqrt{2^{8} * 3^{4}} = \sqrt{2^{8}} * \sqrt{3^{4}} = \sqrt{(2^4)^2} * \sqrt{(3^2)^2} = |2^4| * |3^2| = |16| * |9| = 144$

501. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{27} * \sqrt{3}$;
2) $\sqrt{18} * \sqrt{2}$;
3) $\sqrt{10} * \sqrt{12,1}$;
4) $\sqrt{0,5} * \sqrt{50}$;
5) $\sqrt{1\frac{3}{7}} * \sqrt{2,8}$;
6) $\sqrt{5 * 2^3} * \sqrt{5^3 * 2^3}$.

Решение:

1) $\sqrt{27} * \sqrt{3} = \sqrt{27 * 3} = \sqrt{81} = 9$

2) $\sqrt{18} * \sqrt{2} = \sqrt{18 * 2} = \sqrt{36} = 6$

3) $\sqrt{10} * \sqrt{12,1} = \sqrt{10 * 12,1} = \sqrt{121} = 11$

4) $\sqrt{0,5} * \sqrt{50} = \sqrt{0,5 * 50} = \sqrt{25} = 5$

5) $\sqrt{1\frac{3}{7}} * \sqrt{2,8} = \sqrt{1\frac{3}{7} * 2,8} = \sqrt{\frac{10}{7} * \frac{28}{10}} = \sqrt{\frac{1}{1} * \frac{4}{1}} = \sqrt{4} = 2$

6) $\sqrt{5 * 2^3} * \sqrt{5^3 * 2^3} = \sqrt{5 * 2^3 * 5^3 * 2^3} = \sqrt{5^{1 + 3} * 2^{3 + 3}} = \sqrt{5^{4} * 2^{6}} = \sqrt{5^4} * \sqrt{2^{6}} = \sqrt{(5^2)^2} * \sqrt{(2^3)^2} = |5^2| * |2^3| = |25| * |8| = 25 * 8 = 200$

502. Найдите значение выражения:
1) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;
2) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$;
3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$;
4) $\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}}$;
5) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}$;
6) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{147}}$;
7) $\frac{\sqrt{6} * \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$;
8) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} * \sqrt{15}}$.

Решение:

1) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$

2) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7$

3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}} = \sqrt{\frac{3}{48}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

4) $\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{3,2}{0,2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

5) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{72}{50}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

6) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{147}} = \sqrt{\frac{27}{147}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7}$

7) $\frac{\sqrt{6} * \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6 * 3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$

8) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} * \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3 * 15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{5}{45}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

131

Ответы к странице 131

503. Найдите значение выражения:
1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$;
2) $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$;
3) $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}}$;
4) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}}$;
5) $\frac{\sqrt{6} * \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Решение:

1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$

2) $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5$

3) $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}} = \sqrt{\frac{6,3}{0,7}} = \sqrt{\frac{63}{7}} = \sqrt{9} = 3$

4) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}} = \sqrt{\frac{98}{242}} = \sqrt{\frac{49}{121}} = \frac{7}{11}$

5) $\frac{\sqrt{6} * \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6 * 2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

504. При каких значения a выполняется равенство:
1) $\sqrt{a^2} = a$;
2) $\sqrt{a^2} = -a$?

Решение:

1) $\sqrt{a^2} = a$
$\sqrt{a^2} = |a| $, то есть равенство выполняется при любом неотрицательном a, значит при a ≥ 0.
Ответ: при a ≥ 0

2) $\sqrt{a^2} = -a$
$\sqrt{a^2} = |a|$, то есть равенство выполняется при любом неотрицательном a, тогда
−a ≥ 0
a ≤ 0
Ответ: при a ≤ 0

505. При каких значениях a и b выполняется равенство:
1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b}$;
2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} * \sqrt{-b}$;
3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} * \sqrt{-b}$?

Решение:

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b}$ при a ≥ 0 и b ≥ 0

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} * \sqrt{-b}$ при a ≤ 0 и b ≤ 0

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} * \sqrt{-b}$ при a ≥ 0 и b ≤ 0

506. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:
1) $\sqrt{18 * 32}$;
2) $\sqrt{8 * 98}$;
3) $\sqrt{3,6 * 14,4}$;
4) $\sqrt{75 * 48}$;
5) $\sqrt{288 * 50}$;
6) $\sqrt{4,5 * 72}$;
7) $\sqrt{2,7 * 1,2}$;
8) $\sqrt{80 * 45}$;
9) $\sqrt{33 * 297}$.

Решение:

1) $\sqrt{18 * 32} = \sqrt{9 * 2 * 2 * 16} = \sqrt{3^2 * 2^2 * 4^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{4^2} = 3 * 2 * 4 = 24$

2) $\sqrt{8 * 98} = \sqrt{2 * 2 * 2 * 49 * 2} = \sqrt{2^2 * 2^2 * 7^2} = \sqrt{2^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{7^2} = 2 * 2 * 7 = 28$

3) $\sqrt{3,6 * 14,4} = \sqrt{36 * 0,1 * 0,1 * 144} = \sqrt{6^2 * 0,1^2 * 12^2} = \sqrt{6^2} * \sqrt{0,1^2} * \sqrt{12^2} = 6 * 0,1 * 12 = 72 * 0,1 = 7,2$

4) $\sqrt{75 * 48} = \sqrt{25 * 3 * 3 * 16} = \sqrt{5^2 * 3^2 * 4^2} = \sqrt{5^2} * \sqrt{3^2} * \sqrt{4^2} = 5 * 3 * 4 = 60$

5) $\sqrt{288 * 50} = \sqrt{144 * 2 * 2 * 25} = \sqrt{12^2 * 2^2 * 5^2} = \sqrt{12^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{5^2} = 12 * 2 * 5 = 120$

6) $\sqrt{4,5 * 72} = \sqrt{4,5 * 2 * 36} = \sqrt{9 * 36} = \sqrt{3^2 * 6^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{6^2} = 3 * 6 = 18$

7) $\sqrt{2,7 * 1,2} = \sqrt{9 * 0,3 * 0,3 * 4} = \sqrt{3^2 * 0,3^2 * 2^2} = \sqrt{3^2 * 0,3^2 * 2^2} = 3 * 0,3 * 2 = 1,8$

8) $\sqrt{80 * 45} = \sqrt{16 * 5 * 5 * 9} = \sqrt{4^2 * 5^2 * 3^2} = \sqrt{4^2} * \sqrt{5^2} * \sqrt{3^2} = 4 * 5 * 3 = 60$

9) $\sqrt{33 * 297} = \sqrt{3 * 11 * 11 * 27} = \sqrt{11^2 * 81} = \sqrt{11^2 * 9^2} = \sqrt{11^2} * \sqrt{9^2} = 11 * 9 = 99$

507. Найдите значение выражение:
1) $\sqrt{18 * 200}$;
2) $\sqrt{3,6 * 0,4}$;
3) $\sqrt{14,4 * 0,9}$;
4) $\sqrt{13 * 52}$;
5) $\sqrt{12,5 * 32}$;
6) $\sqrt{108 * 27}$.

Решение:

1) $\sqrt{18 * 200} = \sqrt{9 * 2 * 2 * 100} = \sqrt{3^2 * 2^2 * 10^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{10^2} = 3 * 2 * 10 = 60$

2) $\sqrt{3,6 * 0,4} = \sqrt{36 * 0,1 * 0,1 * 4} = \sqrt{6^2 * 0,1^2 * 2^2} = \sqrt{6^2} * \sqrt{0,1^2} * \sqrt{2^2} = 6 * 0,1 * 2 = 1,2$

3) $\sqrt{14,4 * 0,9} = \sqrt{144 * 0,1 * 0,1 * 9} = \sqrt{12^2 * 0,1^2 * 3^2} = \sqrt{12^2} * \sqrt{0,1^2} * \sqrt{3^2} = 12 * 0,1 * 3 = 3,6$

4) $\sqrt{13 * 52} = \sqrt{13 * 4 * 13} = \sqrt{13^2 * 2^2} = \sqrt{13^2} * \sqrt{2^2} = 13 * 2 = 26$

5) $\sqrt{12,5 * 32} = \sqrt{12,5 * 2 * 16} = \sqrt{25 * 16} = \sqrt{5^2 * 4^2} = \sqrt{5^2} * \sqrt{4^2} = 5 * 4 = 20$

6) $\sqrt{108 * 27} = \sqrt{36 * 3 * 3 * 9} = \sqrt{6^2 * 3^2 * 3^2} = \sqrt{6^2} * \sqrt{3^2} * \sqrt{3^2} = 6 * 3 * 3 = 54$

508. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{41^2 - 40^2}$;
2) $\sqrt{145^2 - 144^2}$;
3) $\sqrt{8,5^2 - 7,5^2}$;
4) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$;
5) $\sqrt{\frac{155^2 - 134^2}{84}}$;
6) $\sqrt{\frac{139^2 - 86^2}{98,5^2 - 45,5^2}}$.

Решение:

1) $\sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41 - 40)(41 + 40)} = \sqrt{1 * 81} = \sqrt{81} = 9$

2) $\sqrt{145^2 - 144^2} = \sqrt{(145 - 144)(145 + 144)} = \sqrt{1 * 289} = \sqrt{289} = 17$

3) $\sqrt{8,5^2 - 7,5^2} = \sqrt{(8,5 - 7,5)(8,5 + 7,5)} = \sqrt{1 * 16} = \sqrt{16} = 4$

4) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 * 40} = \sqrt{3,6 * 4 * 10} = \sqrt{36 * 4} = \sqrt{36} * \sqrt{4} = 6 * 2 = 12$

5) $\sqrt{\frac{155^2 - 134^2}{84}} = \sqrt{\frac{(155 - 134)(155 + 134)}{84}} = \sqrt{\frac{21 * 289}{84}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2}$

6) $\sqrt{\frac{139^2 - 86^2}{98,5^2 - 45,5^2}} = \sqrt{\frac{(139 - 86)(139 + 86)}{(98,5 - 45,5)(98,5 + 45,5)}} = \sqrt{\frac{53 * 225}{53 * 144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

509. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;
2) $\sqrt{98,5^2 - 97,5^2}$;
3) $\sqrt{\frac{98}{228^2 - 164^2}}$.

Решение:

1) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 * 10} = \sqrt{36} = 6$

2) $\sqrt{98,5^2 - 97,5^2} = \sqrt{(98,5 - 97,5)(98,5 + 97,5)} = \sqrt{1 * 196} = \sqrt{196} = 14$

3) $\sqrt{\frac{98}{228^2 - 164^2}} = \sqrt{\frac{98}{(228 - 164)(228 + 164)}} = \sqrt{\frac{98}{64 * 392}} = \sqrt{\frac{1}{64 * 4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64 * 4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64} * \sqrt{4}} = \frac{1}{8 * 2} = \frac{1}{16}$

510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
1) $\sqrt{b^2}$;
2) $-0,4\sqrt{c^2}$;
3) $\sqrt{a^6}$;
4) $\sqrt{m^8}$.

Решение:

1) $\sqrt{b^2} = |b|$

2) $-0,4\sqrt{c^2} = -0,4 * |c|$

3) $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$

4) $\sqrt{m^8} = \sqrt{(m^4)^2} = |m^4| = m^4$

511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
1) $1,2\sqrt{x^2}$;
2) $\sqrt{y^4}$;
3) $\sqrt{n^{10}}$.

Решение:

1) $1,2\sqrt{x^2} = 1,2 * |x|$

2) $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2| = y^2$

3) $\sqrt{n^{10}} = \sqrt{(n^{5})^2} = |n^5|$

512. Упростите выражение:
1) $\sqrt{m^2}$, если m > 0;
2) $\sqrt{n^2}$, если n < 0;
3) $\sqrt{16p^2}$, если p ≥ 0;
4) $\sqrt{0,36k^2}$, если k ≤ 0;
5) $\sqrt{c^{12}}$;
6) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если b ≤ 0;
7) $\sqrt{81x^4y^2}$, если y ≥ 0;
8) $\sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если a ≤ 0, b ≥ 0;
9) $-1,2x\sqrt{64x^{18}}$, если x ≤ 0;
10) $\frac{\sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}}}{a^4b^8c^{10}}$, если b < 0;
11) $\frac{3,3a^4}{b^3}\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}}$, если a < 0;
12) $-0,5m^5\sqrt{1,96m^6n^8}$, если m ≤ 0.

Решение:

1) $\sqrt{m^2} = |m| = m$, если m > 0

2) $\sqrt{n^2} = |n| = -n$, если n < 0

3) $\sqrt{16p^2} = |4p| = 4p$, если p ≥ 0

4) $\sqrt{0,36k^2} = |0,6k| = -0,6k$, если k ≤ 0

5) $\sqrt{c^{12}} = \sqrt{(c^{6})^2} = |c^6| = c^6$

6) $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5b^7)^2} = |0,5b^7| = -0,5b^7$, если b ≤ 0

7) $\sqrt{81x^4y^2} = \sqrt{(9x^2y)^2} = |9x^2y| = 9x^2y$, если y ≥ 0

8) $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2} = |0,1a^3b^5| = 0,1 * (-a^3) * b^5 = -0,1a^3b^5$, если a ≤ 0, b ≥ 0

9) $-1,2x\sqrt{64x^{18}} = -1,2x\sqrt{(8x^{9})^2} = -1,2x * |8x^9| = -1,2x * (-8x^9) = 9,6x^{10}$, если x ≤ 0

10) $\frac{\sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}}}{a^4b^8c^{10}} = \frac{\sqrt{(a^{6}b^{11}c^{18})^2}}{a^4b^8c^{10}} = \frac{|a^{6}b^{11}c^{18}|}{a^4b^8c^{10}} = \frac{a^{6} * (-b^{11}) * c^{18}}{a^4b^8c^{10}} = -a^2b^3c^8$, если b < 0

11) $\frac{3,3a^4}{b^3}\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{\sqrt{b^{24}}}{\sqrt{121a^{26}}} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{\sqrt{(b^{12})^2}}{\sqrt{(11a^{13})^2}} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{|b^{12}|}{|11a^{13}|} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{b^{12}}{-11a^{13}} = -\frac{33a^4}{10b^3} * \frac{b^{12}}{11a^{13}} = -\frac{3}{10} * \frac{b^{9}}{a^{9}} = -0,3\frac{b^{9}}{a^{9}}$, если a < 0

12) $-0,5m^5\sqrt{1,96m^6n^8} = -0,5m^5\sqrt{(1,4m^3n^4)^2} = -0,5m^5 * |1,4m^3n^4| = -0,5m^5 * (-1,4m^3n^4) = 0,7m^8n^4$, если m ≤ 0

132

Ответы к странице 132

513. Упростите выражение:
1) $\sqrt{9a^{16}}$;
2) $\sqrt{0,81d^6}$, если d ≥ 0;
3) $-5\sqrt{4x^2}$, если x ≤ 0;
4) $-0,1\sqrt{100z^{10}}$, если z ≥ 0;
5) $\sqrt{p^6q^8}$, если p ≥ 0;
6) $\sqrt{25m^{34}n^{38}}$, если m ≤ 0, n ≤ 0;
7) $ab^2\sqrt{a^4b^{18}c^{22}}$, если b ≥ 0, c ≤ 0;
8) $-\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}}$, если m <0, k > 0.

Решение:

1) $\sqrt{9a^{16}} = \sqrt{(3a^{8})^2} = |3a^8| = 3a^8$

2) $\sqrt{0,81d^6} = \sqrt{(0,9d^3)^2}= |0,9d^3| = 0,9d^3$, если d ≥ 0

3) $-5\sqrt{4x^2} = -5\sqrt{(2x)^2} = -5 * |2x| = -5 * (-2x) = 10x$, если x ≤ 0

4) $-0,1\sqrt{100z^{10}} = -0,1\sqrt{(10z^{5})^2} = -0,1 * |10z^5| = -0,1 * 10z^5 = -z^5$, если z ≥ 0

5) $\sqrt{p^6q^8} = \sqrt{(p^3q^4)^2} = |p^3q^4| = p^3q^4$, если p ≥ 0

6) $\sqrt{25m^{34}n^{38}} = \sqrt{(5m^{17}n^{19})^2} = |5m^{17}n^{19}| = 5 * (-m^17) * (-n^19) = 5m^{17}n^{19}$, если m ≤ 0, n ≤ 0

7) $ab^2\sqrt{a^4b^{18}c^{22}} = ab^2\sqrt{(a^2b^{9}c^{11})^2} = ab^2 * |a^2b^{9}c^{11}| = ab^2 * a^2b^9 * (-c^{11}) = -a^3b^{11}c^{11}$, если b ≥ 0, c ≤ 0

8) $-\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}} = -\frac{8m^3p^4}{k^2} * \frac{\sqrt{625k^{30}p^{40}}}{\sqrt{144m^6}} = -\frac{8m^3p^4}{k^2} * \frac{\sqrt{(25k^{15}p^{20})^2}}{\sqrt{(12m^3)^2}} = -\frac{8m^3p^4}{k^2} * \frac{|25k^{15}p^{20}|}{|12m^3|} = -\frac{8m^3p^4}{k^2} * \frac{25k^{15}p^{20}}{-12m^3} = \frac{2p^4}{1} * \frac{25k^{13}p^{20}}{3} = \frac{50k^{13}p^{24}}{3}$, если m <0, k > 0

514. Каких из данных равенств выполняются при всех действительных значениях a:
1) $\sqrt{a^2} = a$;
2) $\sqrt{a^4} = a^2$;
3) $\sqrt{a^6} = a^3$;
4) $\sqrt{a^8} = a^4$?

Решение:

1)
$\sqrt{a^2} = a$
$\sqrt{a^2} = |a| = a$
выполняется при a ≥ 0
2)
$\sqrt{a^4} = a^2$
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$
выполняется при любых значениях a
3)
$\sqrt{a^6} = a^3$
$\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3| = a^3$
выполняется при a ≥ 0
4)
$\sqrt{a^8} = a^4$
$\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4$
выполняется при любых значениях a
Ответ: при любых значениях a выполняются равенства 2 и 4

515. При каких значениях a выполняется равенство:
1) $\sqrt{a^{10}} = a^5$;
2) $\sqrt{a^{10}} = -a^5$;
3) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$;
4) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$?

Решение:

1) $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^{5})^2} = |a^5| = a^5$ − выполняется при a ≥ 0

2) $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^{5})^2} = |a^5| = -a^5$ − выполняется при a ≤ 0

3) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$
подкоренное выражение должно быть неотрицательным, тогда:
a ≥ 0, значит равенство выполняется при a ≥ 0

4) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$
подкоренное выражение должно быть неотрицательным, тогда:
−a ≥ 0
a ≤ 0, значит равенство выполняется при a ≤ 0

516. Постройте график функции:
1) $y = \sqrt{x^{2}} - x$, если x ≤ 0;
2) $y = 2x + \sqrt{x^{2}}$;
3) $y = \sqrt{x} * \sqrt{x}$;
4) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$.

Решение:

1) $y = \sqrt{x^{2}} - x$, если x ≤ 0
$y = \sqrt{x^{2}} - x = |x| - x = -x - x = -2x$
y = −2x
х -1 0
у 2 0


2) $y = 2x + \sqrt{x^{2}} = 2x + |x|$
если x ≥ 0, то:
y = 2x + x = 3x
х 0 1
у 0 3
если x < 0, то:
y = 2x − x = x
х -2 -1
у -2 -1


3) $y = \sqrt{x} * \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$ при x ≥ 0
y = x
х 1 2
у 1 2


4) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3 = \frac{x^2}{|x|} + 3$ при x ≠ 0
если x > 0, то:
$y = \frac{x^2}{x} + 3 = x + 3$
х 1 2
у 4 5
если x < 0, то:
$y = \frac{x^2}{-x} + 3 = -x + 3$
х -2 -1
у 5   4

517. Постройте график функции:
1) $y = \sqrt{x^2} - 2x$, если x ≥ 0;
2) $y = \sqrt{-x} - \sqrt{-x}$.

Решение:

1) $y = \sqrt{x^2} - 2x = |x| - 2x$
если x ≥ 0, то:
$y = |x| - 2x = x - 2x = -x$
y = −x
х 0 1
у 0 -1


2) $y = \sqrt{-x} - \sqrt{-x} = (\sqrt{-x})^2 = -x$ при x ≤ 0
y = −x
х 0 -1
у 0 1

518. При каком значении x выполняется равенство:
1) $\sqrt{x^2} = x - 4$;
2) $\sqrt{x^2} = 6 - x$;
3) $2\sqrt{x^2} = x + 3$?

Решение:

1) $\sqrt{x^2} = x - 4$
|x| = x − 4
x − 4 ≥ 0
x ≥ 4
при x ≥ 0:
x = x − 4
x − x = −4
0 = −4 − нет корней
при x < 0:
−x = x − 4
−x − x = −4
−2x = −4
x = 2 < 4 − нет корней
Ответ: нет корней

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x$
|x| = 6 − x
6 − x ≥ 0
−x ≥ −6
x ≤ 6
при x ≥ 0:
x = 6 − x
x + x = 6
2x = 6
x = 3 ≤ 6
при x < 0:
−x = 6 − x
−x + x = 6
0 = 6 − нет корней
Ответ: при x = 3

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3$
2 * |x| = x + 3
|x| = 0,5x + 1,5
0,5x + 1,5 ≥ 0
0,5x ≥ −1,5
x ≥ −3
при x ≥ 0:
2x = x + 3
2x − x = 3
x = 3 ≥ −3
при x < 0:
2 * (−x) = x + 3
−2x = x + 3
−2x − x = 3
−3x = 3
x = −1 ≥ −3
Ответ: при x = −1 и при x = 3

519. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x^2} = x + 8$;
2) $\sqrt{x^2} = 6x - 10$.

Решение:

1) $\sqrt{x^2} = x + 8$
|x| = x + 8
x + 8 ≥ 0
x ≥ −8
при x ≥ 0:
x = x + 8
x − x = 8
0 = 8 − нет корней
при x < 0:
−x = x + 8
−x − x = 8
−2x = 8
x = −4 ≥ −8
Ответ: при x = −4

2) $\sqrt{x^2} = 6x - 10$
|x| = 6x − 10
6x − 10 ≥ 0
6x ≥ 10
$x ≥ \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$
при x ≥ 0:
x = 6x − 10
x − 6x = −10
−5x = −10
$x = 2 ≥ 1\frac{2}{3}$
при x < 0:
−x = 6x − 10
−x − 6x = −10
−7x = −10
$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} ≤ 1\frac{2}{3}$ − нет корней
Ответ: при x = 2

520. Найдите значение выражения:
$(\frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25}) : \frac{125 - a^3}{5 + a}$
при a = 4,5.

Решение:

$(\frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25}) : \frac{125 - a^3}{5 + a} = (\frac{a(a - 5)}{(a - 5)^2} + \frac{25}{(a - 5)(a + 5)}) : \frac{125 - a^3}{a + 5} = (\frac{a}{a - 5} + \frac{25}{(a - 5)(a + 5)}) * \frac{a + 5}{125 - a^3} = \frac{a(a + 5) + 25}{(a - 5)(a + 5)} * \frac{a + 5}{125 - a^3} = \frac{a^2 + 5a + 25}{a - 5} * \frac{1}{(5 - a)(25 + 5a + a^2)} = \frac{1}{a - 5} * \frac{1}{5 - a} = \frac{1}{a - 5} * (-\frac{1}{a - 5}) = -\frac{1}{(a - 5)^2}$
при a = 4,5:
$-\frac{1}{(4,5 - 5)^2} = -\frac{1}{(-0,5)^2} = -\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$

133

Ответы к странице 133

521. Тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Однако из−за плохой погоды он засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы и поэтому выполнил работу за 10 дней. Какова площадь поля?

Решение:

Пусть x (га) − в день должен был засеивать тракторист;
8x (га) − площадь поля;
x − 3 (га) − в день засеивал тракторист;
10(x − 3) (га) − площадь поля.
Так как площадь поля и при одной и при второй норме работы одинакова, можно составить уравнение:
8x = 10(x − 3)
8x = 10x − 30
8x − 10x = −30
−2x = −30
x = 15 (га) − в день должен был засеивать тракторист;
8x = 8 * 15 = 120 (га) − площадь поля.
Ответ: 120 га

522. Число a − четное, а число b − нечетное. Значением какого из данных выражений обязательно является четное число:
1) (a + b)b;
2) $\frac{ab}{2}$;
3) $\frac{a^2b}{2}$;
4) $\frac{ab^2}{2}$?

Решение:

1)
(a + b)b − нечетное число, так как a + b − нечетное число, как сумма четного и нечетного числа, а произведение двух нечетных чисел является нечетным числом.
2)
$\frac{ab}{2}$ − может быть как четным, так и нечетным числом, так как ab − число четное (произведение четного и нечетного чисел.)
3)
$\frac{a^2b}{2}$ − четное число, так как a и $a^2$ − четные числа, $a^2b$ − четное число, так как является произведением четного и нечетного чисел, при делении четного числа на 2 получится четное число.
4)
$\frac{ab^2}{2}$ − может быть как четным, так и нечетным числом, так как $\frac{a}{2}$ − может быть как четным, так и нечетным числом, $b^2$ − нечетное число.

№523. На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух чисел)?

Решение:

Решение. Пусть n, n + 1, n + 2, …, n + 100, n + 101 − данные 102 последовательных натуральных чисел. Покажем, что сумма этих чисел является числом нечётным. Для этого не обязательно использовать формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии (на этом этапе обучения она ещё не знакома учащимся). Достаточно представить сумму n + (n + 1) + (n + 2) + … + (n + 100) + (n + 101) в виде 51 нечётного слагаемого. Имеем:
n + (n + 1) + (n + 2) + … + (n + 100) + (n + 101) = (n + (n + 1)) + ((n + 2) + n + 3) + … + ((n + +100) + (n + 101)) = (2n + 1) + (2n + 5) + … + (2n + 201). Если предположить, что указанное в условии разбиение на две группы возможно, то сумма чисел в одной из групп является чётным числом, а значит, равна 2. Однако число 2 нельзя представить в виде суммы двух различных натуральных чисел. Получили противоречие.
Ответ: нельзя.

136

Ответы к странице 136

§17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Упражнения

524. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{8}$;
2) $\sqrt{12}$;
3) $\sqrt{32}$;
4) $\sqrt{54}$;
5) $\sqrt{490}$;
6) $\sqrt{500}$;
7) $\sqrt{275}$;
8) $\sqrt{108}$;
9) $\sqrt{0,72}$;
10) $\sqrt{0,48}$;
11) $\sqrt{450}$;
12) $\sqrt{36300}$.

Решение:

1) $\sqrt{8} = \sqrt{4 * 2} = \sqrt{4} * \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

2) $\sqrt{12} = \sqrt{4 * 3} = \sqrt{4} * \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

3) $\sqrt{32} = \sqrt{16 * 2} = \sqrt{16} * \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

4) $\sqrt{54} = \sqrt{9 * 6} = \sqrt{9} * \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

5) $\sqrt{490} = \sqrt{49 * 10} = \sqrt{49} * \sqrt{10} = 7\sqrt{10}$

6) $\sqrt{500} = \sqrt{100 * 5} = \sqrt{100} * \sqrt{5} = 10\sqrt{5}$

7) $\sqrt{275} = \sqrt{25 * 11} = \sqrt{25} * \sqrt{11} = 5\sqrt{11}$

8) $\sqrt{108} = \sqrt{36 * 3} = \sqrt{36} * \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

9) $\sqrt{0,72} = \sqrt{0,36 * 2} = \sqrt{0,36} * \sqrt{2} = 0,6\sqrt{2}$

10) $\sqrt{0,48} = \sqrt{0,16 * 3} = \sqrt{0,16} * \sqrt{3} = 0,4\sqrt{3}$

11) $\sqrt{450} = \sqrt{225 * 2} = \sqrt{225} * \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

12) $\sqrt{36300} = \sqrt{100 * 363} = \sqrt{100 * 121 * 3} = \sqrt{100} * \sqrt{121} * \sqrt{3} = 10 * 11 * \sqrt{3} = 110\sqrt{3}$

525. Упростите выражение:
1) $\frac{2}{3}\sqrt{45}$;
2) $\frac{1}{2}\sqrt{128}$;
3) $\frac{1}{10}\sqrt{200}$;
4) $-0,05\sqrt{4400}$.

Решение:

1) $\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3}\sqrt{9 * 5} = \frac{2}{3}\sqrt{9} * \sqrt{5} = \frac{2}{3} * 3 * \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

2) $\frac{1}{2}\sqrt{128} = \frac{1}{2}\sqrt{64 * 2} = \frac{1}{2} * \sqrt{64} * \sqrt{2} = \frac{1}{2} * 8 * \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

3) $\frac{1}{10}\sqrt{200} = \frac{1}{10}\sqrt{100 * 2} = \frac{1}{10} * \sqrt{100} * \sqrt{2} = \frac{1}{10} * 10 * \sqrt{2} = \sqrt{2}$

4) $-0,05\sqrt{4400} = -0,05\sqrt{100 * 44} = -0,05\sqrt{100 * 4 * 11} = -0,05 * \sqrt{100} * \sqrt{4} * \sqrt{11} = -0,05 * 10 * 2 * \sqrt{11} = -0,5 * 2 * \sqrt{11} = -\sqrt{11}$

526. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{27}$;
2) $\sqrt{24}$;
3) $\sqrt{20}$;
4) $\sqrt{125}$;
5) $\frac{1}{8}\sqrt{96}$;
6) $0,4\sqrt{250}$;
7) $-2\sqrt{0,18}$;
8) $\frac{4}{9}\sqrt{63}$;
9) $0,8\sqrt{1250}$;
10) $\frac{3}{7}\sqrt{98}$;
11) $10\sqrt{0,03}$;
12) $0,7\sqrt{1000}$.

Решение:

1) $\sqrt{27} = \sqrt{9 * 3} = \sqrt{9} * \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

2) $\sqrt{24} = \sqrt{4 * 6} = \sqrt{4} * \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

3) $\sqrt{20} = \sqrt{4 * 5} = \sqrt{4} * \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

4) $\sqrt{125} = \sqrt{25 * 5} = \sqrt{25} * \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

5) $\frac{1}{8}\sqrt{96} = \frac{1}{8}\sqrt{16 * 6} = \frac{1}{8} * \sqrt{16} * \sqrt{6} = \frac{1}{8} * 4 * \sqrt{6} = \frac{1}{2}\sqrt{6}$

6) $0,4\sqrt{250} = 0,4\sqrt{25 * 10} = 0,4 * \sqrt{25} * \sqrt{10} = 0,4 * 5 * \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

7) $-2\sqrt{0,18} = -2\sqrt{0,09 * 2} = -2 * \sqrt{0,09} * \sqrt{2} = -2 * 0,3 * \sqrt{2} = -0,6\sqrt{2}$

8) $\frac{4}{9}\sqrt{63} = \frac{4}{9}\sqrt{9 * 7} = \frac{4}{9} * \sqrt{9} * \sqrt{7} = \frac{4}{9} * 3 * \sqrt{7} = \frac{4}{3}\sqrt{7} = 1\frac{1}{3}\sqrt{7}$

9) $0,8\sqrt{1250} = 0,8\sqrt{625 * 2} = 0,8 * \sqrt{625} * \sqrt{2} = 0,8 * 25 * \sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

10) $\frac{3}{7}\sqrt{98} = \frac{3}{7}\sqrt{49 * 2} = \frac{3}{7} * \sqrt{49} * \sqrt{2} = \frac{3}{7} * 7 * \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

11) $10\sqrt{0,03} = 10\sqrt{0,01 * 3} = 10 * \sqrt{0,01} * \sqrt{3} = 10 * 0,1 * \sqrt{3} = \sqrt{3}$

12) $0,7\sqrt{1000} = 0,7\sqrt{100 * 10} = 0,7 * \sqrt{100} * \sqrt{10} = 0,7 * 10 * \sqrt{10} = 7\sqrt{10}$

137

Ответы к странице 137

527. Внесите множитель под знак корня:
1) $7\sqrt{2}$;
2) $3\sqrt{13}$;
3) $-2\sqrt{17}$;
4) $-10\sqrt{14}$;
5) $5\sqrt{8}$;
6) $6\sqrt{a}$;
7) $\frac{1}{4}\sqrt{32}$;
8) $-\frac{2}{3}\sqrt{54}$;
9) $\frac{1}{8}\sqrt{128a}$;
10) $-0,3\sqrt{10b}$;
11) $3\sqrt{\frac{1}{3}}$;
12) $\frac{2}{9}\sqrt{\frac{27}{28}}$.

Решение:

1) $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2} * \sqrt{2} = \sqrt{49} * \sqrt{2} = \sqrt{49 * 2} = \sqrt{98}$

2) $3\sqrt{13} = \sqrt{3^2} * \sqrt{13} = \sqrt{9} * \sqrt{13} = \sqrt{9 * 13} = \sqrt{117}$

3) $-2\sqrt{17} = -\sqrt{2^2} * \sqrt{17} = -\sqrt{4} * \sqrt{17} = -\sqrt{4 * 17} = -\sqrt{68}$

4) $-10\sqrt{14} = -\sqrt{10^2} * \sqrt{14} = -\sqrt{100} * \sqrt{14} = -\sqrt{100 * 14} = -\sqrt{1400}$

5) $5\sqrt{8} = \sqrt{5^2} * \sqrt{8} = \sqrt{25} * \sqrt{8} = \sqrt{25 * 8} = \sqrt{200}$

6) $6\sqrt{a} = \sqrt{6^2} * \sqrt{a} = \sqrt{36} * \sqrt{a} = \sqrt{36a}$

7) $\frac{1}{4}\sqrt{32} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2} * \sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{16}} * \sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{16} * 32} = \sqrt{2}$

8) $-\frac{2}{3}\sqrt{54} = -\sqrt{(\frac{2}{3})^2} * \sqrt{54} = -\sqrt{\frac{4}{9}} * \sqrt{54} = -\sqrt{\frac{4}{9} * 54} = -\sqrt{4 * 6} = -\sqrt{24}$

9) $\frac{1}{8}\sqrt{128a} = \sqrt{(\frac{1}{8})^2} * \sqrt{128a} = \sqrt{\frac{1}{64}} * \sqrt{128a} = \sqrt{\frac{1}{64} * 128a} = \sqrt{2a}$

10) $-0,3\sqrt{10b} = -\sqrt{0,3^2} * \sqrt{10b} = -\sqrt{0,09} * \sqrt{10b} = -\sqrt{0,09 * 10b} = -\sqrt{0,9b}$

11) $3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3^2} * \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{9} * \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{9 * \frac{1}{3}} = \sqrt{3}$

12) $\frac{2}{9}\sqrt{\frac{27}{28}} = \sqrt{(\frac{2}{9})^2} * \sqrt{\frac{27}{28}} = \sqrt{\frac{4}{81}} * \sqrt{\frac{27}{28}} = \sqrt{\frac{4}{81} * \frac{27}{28}} = \sqrt{\frac{1}{3} * \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{1}{21}}$

528. Внесите множитель под знак корня:
1) $2\sqrt{6}$;
2) $9\sqrt{2}$;
3) $-11\sqrt{3}$;
4) $12\sqrt{b}$;
5) $-7\sqrt{3c}$;
6) $-10\sqrt{0,7m}$;
7) $8\sqrt{\frac{n}{8}}$;
8) $-\frac{1}{3}\sqrt{18p}$.

Решение:

1) $2\sqrt{6} = \sqrt{2^2} * \sqrt{6} = \sqrt{4} * \sqrt{6} = \sqrt{4 * 6} = \sqrt{24}$

2) $9\sqrt{2} = \sqrt{9^2} * \sqrt{2} = \sqrt{81} * \sqrt{2} = \sqrt{81 * 2} = \sqrt{162}$

3) $-11\sqrt{3} = -\sqrt{11^2} * \sqrt{3} = -\sqrt{121} * \sqrt{3} = -\sqrt{121 * 3} = -\sqrt{363}$

4) $12\sqrt{b} = \sqrt{12^2} * \sqrt{b} = \sqrt{144} * \sqrt{b} = \sqrt{144b}$

5) $-7\sqrt{3c} = -\sqrt{7^2} * \sqrt{3c} = -\sqrt{49} * \sqrt{3c} = -\sqrt{49 * 3c} = -\sqrt{147c}$

6) $-10\sqrt{0,7m} = -\sqrt{10^2} * \sqrt{0,7m} = -\sqrt{100} * \sqrt{0,7m} = -\sqrt{100 * 0,7m} = -\sqrt{70m}$

7) $8\sqrt{\frac{n}{8}} = \sqrt{8^2} * \sqrt{\frac{n}{8}} = \sqrt{64} * \sqrt{\frac{n}{8}} = \sqrt{64 * \frac{n}{8}} = \sqrt{8n}$

8) $-\frac{1}{3}\sqrt{18p} = -\sqrt{(\frac{1}{3})^2} * \sqrt{18p} = -\sqrt{\frac{1}{9}} * \sqrt{18p} = -\sqrt{\frac{1}{9} * 18p} = -\sqrt{2p}$

529. Упростите выражение:
1) $4\sqrt{a} + 3\sqrt{a} - 5\sqrt{a}$;
2) $6\sqrt{b} + 2\sqrt{b} - 8\sqrt{b}$;
3) $5\sqrt{c} + 3\sqrt{d} - \sqrt{c} + 3\sqrt{d}$;
4) $\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5}$.

Решение:

1) $4\sqrt{a} + 3\sqrt{a} - 5\sqrt{a} = \sqrt{a}(4 + 3 - 5) = 2\sqrt{a}$

2) $6\sqrt{b} + 2\sqrt{b} - 8\sqrt{b} = \sqrt{b}(6 + 2 - 8) = 0\sqrt{b} = 0$

3) $5\sqrt{c} + 3\sqrt{d} - \sqrt{c} + 3\sqrt{d} = (5\sqrt{c} - \sqrt{c}) + (3\sqrt{d} + 3\sqrt{d}) = \sqrt{c}(5 - 1) + \sqrt{d}(3 + 3) = 4\sqrt{c} + 6\sqrt{d}$

4) $\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = \sqrt{5}(1 + 7 - 4) = 4\sqrt{5}$

530. Упростите выражение:
1) $3\sqrt{a} - 2\sqrt{a}$;
2) $\sqrt{c} + 10\sqrt{c} - 14\sqrt{c}$;
3) $9\sqrt{6} - 2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 3\sqrt{6}$.

Решение:

1) $3\sqrt{a} - 2\sqrt{a} = \sqrt{a}(3 - 2) = \sqrt{a}$

2) $\sqrt{c} + 10\sqrt{c} - 14\sqrt{c} = \sqrt{c}(1 + 10 - 14) = -3\sqrt{c}$

3) $9\sqrt{6} - 2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 3\sqrt{6} = (9\sqrt{6} - 3\sqrt{6}) + (-2\sqrt{3} + 8\sqrt{3}) = \sqrt{6}(9 - 3) - \sqrt{3}(2 - 8) = 6\sqrt{6} + 6\sqrt{3} = 6(\sqrt{6} + \sqrt{3})$

531. Упростите выражение:
1) $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a}$;
2) $\sqrt{64b} - \frac{1}{6}\sqrt{36b}$;
3) $2\sqrt{0,04c} - 0,3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0,81c}$;
4) $0,4\sqrt{100m} + 15\sqrt{\frac{4}{9}m} - 1,2\sqrt{2,25m}$.

Решение:

1) $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a} = \sqrt{9} * \sqrt{a} + \sqrt{25} * \sqrt{a} - \sqrt{49} * \sqrt{a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} - 7\sqrt{a} = \sqrt{a}(3 + 5 - 7) = \sqrt{a}$

2) $\sqrt{64b} - \frac{1}{6}\sqrt{36b} = \sqrt{64} * \sqrt{b} - \frac{1}{6} * \sqrt{36} * \sqrt{b} = 8\sqrt{b} - \frac{1}{6} * 6 * \sqrt{b} = 8\sqrt{b} - \sqrt{b} = \sqrt{b}(8 - 1) = 7\sqrt{b}$

3) $2\sqrt{0,04c} - 0,3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0,81c} = 2 * \sqrt{0,04} * \sqrt{c} - 0,3 * \sqrt{16} * \sqrt{c} + \frac{1}{3} * \sqrt{0,81} * \sqrt{c} = 2 * 0,2 * \sqrt{c} - 0,3 * 4 * \sqrt{c} + \frac{1}{3} * 0,9 * \sqrt{c} = 0,4\sqrt{c} - 1,2\sqrt{c} + 0,3\sqrt{c} = \sqrt{c}(0,4 - 1,2 + 0,3) = -0,5\sqrt{c}$

4) $0,4\sqrt{100m} + 15\sqrt{\frac{4}{9}m} - 1,2\sqrt{2,25m} = 0,4 * \sqrt{100} * \sqrt{m} + 15 * \sqrt{\frac{4}{9}} * \sqrt{m} - 1,2 * \sqrt{2,25} * \sqrt{m} = 0,4 * 10 * \sqrt{m} + 15 * \frac{2}{3} * \sqrt{m} - 1,2 * 1,5 * \sqrt{m} = 4\sqrt{m} + 5 * 2\sqrt{m} - 1,8\sqrt{m} = 4\sqrt{m} + 10\sqrt{m} - 1,8\sqrt{m} = \sqrt{m}(4 + 10 - 1,8) = 12,2\sqrt{m}$

532. Упростите выражение:
1) $2\sqrt{4x} + 6\sqrt{16x} - \sqrt{625x}$;
2) $3\sqrt{0,09y} - 0,6\sqrt{144y} + \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y}$.

Решение:

1) $2\sqrt{4x} + 6\sqrt{16x} - \sqrt{625x} = 2 * \sqrt{4} * \sqrt{x} + 6 * \sqrt{16} * \sqrt{x} - \sqrt{625} * \sqrt{x} = 2 * 2 * \sqrt{x} + 6 * 4 * \sqrt{x} - 25 * \sqrt{x} = 4\sqrt{x} + 24\sqrt{x} - 25\sqrt{x} = \sqrt{x}(4 + 24 - 25) = 3\sqrt{x}$

2) $3\sqrt{0,09y} - 0,6\sqrt{144y} + \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y} = 3 * \sqrt{0,09} * \sqrt{y} - 0,6 * \sqrt{144} * \sqrt{y} + \frac{18}{11} * \sqrt{\frac{121}{36}} * \sqrt{y} = 3 * 0,3 * \sqrt{y} - 0,6 * 12 * \sqrt{y} + \frac{18}{11} * \frac{11}{6} * \sqrt{y} = 0,9\sqrt{y} - 7,2\sqrt{y} + 3\sqrt{y} = \sqrt{y}(0,9 - 7,2 + 3) = -3,3\sqrt{y}$

533. Упростите выражение:
1) $8\sqrt{2} - \sqrt{32}$;
2) $6\sqrt{3} - \sqrt{27}$;
3) $\sqrt{96} - 3\sqrt{6}$;
4) $2\sqrt{500} - 8\sqrt{5}$;
5) $5\sqrt{7} - \sqrt{700} - 0,5\sqrt{28}$;
6) $2\sqrt{20} - \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,6\sqrt{125}$.

Решение:

1) $8\sqrt{2} - \sqrt{32} = 8\sqrt{2} - \sqrt{16 * 2} = 8\sqrt{2} - \sqrt{16} * \sqrt{2} = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}(8 - 4) = 4\sqrt{2}$

2) $6\sqrt{3} - \sqrt{27} = 6\sqrt{3} - \sqrt{9 * 3} = 6\sqrt{3} - \sqrt{9} * \sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}(6 - 3) = 3\sqrt{3}$

3) $\sqrt{96} - 3\sqrt{6} = \sqrt{16 * 6} - 3\sqrt{6} = \sqrt{16} * \sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 4\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = \sqrt{6}(4 - 3) = \sqrt{6}$

4) $2\sqrt{500} - 8\sqrt{5} = 2 * \sqrt{100 * 5} - 8\sqrt{5} = 2 * \sqrt{100} * \sqrt{5} - 8\sqrt{5} = 2 * 10 * \sqrt{5} - 8\sqrt{5} = 20\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = \sqrt{5}(20 - 8) = 12\sqrt{5}$

5) $5\sqrt{7} - \sqrt{700} - 0,5\sqrt{28} = 5\sqrt{7} - \sqrt{100 * 7} - 0,5\sqrt{4 * 7} = 5\sqrt{7} - \sqrt{100} * \sqrt{7} - 0,5 * \sqrt{4} * \sqrt{7} = 5\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - 0,5 * 2 * \sqrt{7} = 5\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - \sqrt{7} = \sqrt{7}(5 - 10 - 1) = -6\sqrt{7}$

6) $2\sqrt{20} - \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,6\sqrt{125} = 2 * \sqrt{4 * 5} - \frac{1}{3} * \sqrt{9 * 5} - 0,6 * \sqrt{25 * 5} = 2 * \sqrt{4} * \sqrt{5} - \frac{1}{3} * \sqrt{9} * \sqrt{5} - 0,6 * \sqrt{25} * \sqrt{5} = 2 * 2 * \sqrt{5} - \frac{1}{3} * 3 * \sqrt{5} - 0,6 * 5 * \sqrt{5} = 4\sqrt{5} - \sqrt{5} - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}(4 - 1 - 3) = 0 * \sqrt{5} = 0$

534. Рациональным или иррациональным является значение выражения:
1) $\sqrt{48} - 6 - 4\sqrt{3}$;
2) $\sqrt{162} - 9\sqrt{2} + \sqrt{27}$?

Решение:

1) $\sqrt{48} - 6 - 4\sqrt{3} = \sqrt{16 * 3} - 6 - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 6 - 4\sqrt{3} = -6$ − рациональное число

2) $\sqrt{162} - 9\sqrt{2} + \sqrt{27} = \sqrt{81 * 2} - 9\sqrt{2} + \sqrt{9 * 3} = 9\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ − иррациональное число

535. Упростите выражение:
1) $4\sqrt{700} - 27\sqrt{7}$;
2) $\sqrt{75} - 6\sqrt{3}$;
3) $2\sqrt{50} - 8\sqrt{2}$;
4) $5\sqrt{12} - 7\sqrt{3}$;
5) $3\sqrt{72} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{98}$;
6) $\frac{1}{3}\sqrt{108} + \sqrt{363} - \frac{2}{9}\sqrt{243}$.

Решение:

1) $4\sqrt{700} - 27\sqrt{7} = 4\sqrt{100 * 7} - 27\sqrt{7} = 4 * 10\sqrt{7} - 27\sqrt{7} = 40\sqrt{7} - 27\sqrt{7} = 13\sqrt{7}$

2) $\sqrt{75} - 6\sqrt{3} = \sqrt{25 * 3} - 6\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$

3) $2\sqrt{50} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{25 * 2} - 8\sqrt{2} = 2 * 5\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

4) $5\sqrt{12} - 7\sqrt{3} = 5\sqrt{4 * 3} - 7\sqrt{3} = 5 * 2\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

5) $3\sqrt{72} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{98} = 3\sqrt{36 * 2} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{49 * 2} = 3 * 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 2 * 7\sqrt{2} = 18\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 14\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$

6) $\frac{1}{3}\sqrt{108} + \sqrt{363} - \frac{2}{9}\sqrt{243} = \frac{1}{3}\sqrt{36 * 3} + \sqrt{121 * 3} - \frac{2}{9}\sqrt{81 * 3} = \frac{1}{3} * 6\sqrt{3} + 11\sqrt{3} - \frac{2}{9} * 9\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 11\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$

138

Ответы к странице 138

536. Упростите выражение:
1) $\sqrt{2}(\sqrt{50} + \sqrt{8})$;
2) $(\sqrt{3} - \sqrt{12}) * \sqrt{3}$;
3) $(3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) * \sqrt{5}$;
4) $2\sqrt{2}(3\sqrt{18} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + \sqrt{32})$.

Решение:

1) $\sqrt{2}(\sqrt{50} + \sqrt{8}) = \sqrt{2}(\sqrt{25 * 2} + \sqrt{4 * 2}) = \sqrt{2}(5\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2} * 7\sqrt{2} = 7 * 2 = 14$

2) $(\sqrt{3} - \sqrt{12}) * \sqrt{3} = (\sqrt{3} - \sqrt{4 * 3}) * \sqrt{3} = (\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) * \sqrt{3} = -\sqrt{3} * \sqrt{3} = -3$

3) $(3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) * \sqrt{5} = 3\sqrt{5} * \sqrt{5} - 4\sqrt{3} * \sqrt{5} = 3 * 5 - 4\sqrt{3 * 5} = 15 - 4\sqrt{15}$

4) $2\sqrt{2}(3\sqrt{18} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + \sqrt{32}) = 2\sqrt{2}(3\sqrt{9 * 2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + \sqrt{16 * 2}) = 2\sqrt{2}(3 * 3\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}(9\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} * 12\frac{3}{4}\sqrt{2} = 2 * 2 * \frac{51}{4} = 4 * \frac{51}{4} = 51$

537. Упростите выражение:
1) $\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{28})$;
2) $(\sqrt{18} + \sqrt{72}) * \sqrt{2}$;
3) $(4\sqrt{3} - \sqrt{75} + 4) * 3\sqrt{3}$;
4) $(\sqrt{600} + \sqrt{6} - \sqrt{24}) * \sqrt{6}$.

Решение:

1) $\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{28}) = \sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{4 * 7}) = \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) = \sqrt{7} * (-\sqrt{7}) = -7$

2) $(\sqrt{18} + \sqrt{72}) * \sqrt{2} = (\sqrt{9 * 2} + \sqrt{36 * 2}) * \sqrt{2} = (3\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) * \sqrt{2} = 9\sqrt{2} * \sqrt{2} = 9 * 2 = 18$

3) $(4\sqrt{3} - \sqrt{75} + 4) * 3\sqrt{3} = (4\sqrt{3} - \sqrt{25 * 3} + 4) * 3\sqrt{3} = (4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 4) * 3\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3}) * 3\sqrt{3} = 4 * 3\sqrt{3} - \sqrt{3} * 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 3 * 3 = 12\sqrt{3} - 9$

4) $(\sqrt{600} + \sqrt{6} - \sqrt{24}) * \sqrt{6} = (\sqrt{100 * 6} + \sqrt{6} - \sqrt{4 * 6}) * \sqrt{6} = (10\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6}) * \sqrt{6} = 9\sqrt{6} * \sqrt{6} = 9 * 6 = 54$

538. Выполните умножение:
1) $(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)$;
2) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$;
3) $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})$;
4) $(\sqrt{b} - \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})$;
5) $(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})$;
6) $(y - \sqrt{7})(y + \sqrt{7})$;
7) $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})$;
8) $(m + \sqrt{n})^2$;
9) $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$;
10) $(2 - 3\sqrt{3})^2$.

Решение:

1) $(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1) = 2 * \sqrt{3} + 2 * 1 - \sqrt{3} * \sqrt{3} - \sqrt{3} * 1 = 2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$

2) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5}) = \sqrt{2} * 2\sqrt{2} + \sqrt{2} * (-\sqrt{5}) + \sqrt{5} * 2\sqrt{2} + \sqrt{5} * (-\sqrt{5}) = 2 * 2 - \sqrt{2 * 5} + 2\sqrt{2 * 5} - 5 = 4 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - 5 = \sqrt{10} - 1$

3) $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$

4) $(\sqrt{b} - \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2 = b - c$

5) $(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = (4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$

6) $(y - \sqrt{7})(y + \sqrt{7}) = y^2 - (\sqrt{7})^2 = y^2 - 7$

7) $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}) = (4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = (4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 * 2 - 4 * 3 = 32 - 12 = 20$

8) $(m + \sqrt{n})^2 = m^2 + 2m\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = m^2 + 2m\sqrt{n} + n$

9) $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$

10) $(2 - 3\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 * 2 * 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 4 - 12\sqrt{3} + 9 * 3 = 4 - 12\sqrt{3} + 27 = 31 - 12\sqrt{3}$

539. Выполните умножение:
1) $(\sqrt{7} + 3)(3\sqrt{7} - 1)$;
2) $(4\sqrt{2} - \sqrt{3})(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})$;
3) $(\sqrt{p} - q)(\sqrt{p} + q)$;
4) $(6 - \sqrt{13})(6 + \sqrt{13})$;
5) $(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x)$;
6) $(\sqrt{19} + \sqrt{17})(\sqrt{19} - \sqrt{17})$;
7) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$;
8) $(3 - 2\sqrt{15})^2$.

Решение:

1) $(\sqrt{7} + 3)(3\sqrt{7} - 1) = \sqrt{7} * 3\sqrt{7} + \sqrt{7} * (-1) + 3 * 3\sqrt{7} + 3 * (-1) = 3 * 7 - \sqrt{7} + 9\sqrt{7} - 3 = 21 + 8\sqrt{7} - 3 = 18 + 8\sqrt{7}$

2) $(4\sqrt{2} - \sqrt{3})(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3}) = 4\sqrt{2} * 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} * 5\sqrt{3} - \sqrt{3} * 2\sqrt{2} - \sqrt{3} * 5\sqrt{3} = 8 * 2 + 20\sqrt{2 * 3} - 2\sqrt{2 * 3} - 5 * 3 = 16 + 20\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 15 = 1 + 18\sqrt{6}$

3) $(\sqrt{p} - q)(\sqrt{p} + q) = (\sqrt{p})^2 - q^2 = p - q^2$

4) $(6 - \sqrt{13})(6 + \sqrt{13}) = 6^2 - (\sqrt{13})^2 = 36 - 13 = 23$

5) $(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x) = (\sqrt{5})^2 - x^2 = 5 - x^2$

6) $(\sqrt{19} + \sqrt{17})(\sqrt{19} - \sqrt{17}) = (\sqrt{19} - \sqrt{17})(\sqrt{19} + \sqrt{17} = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{17})^2 = 19 - 17 = 2$

7) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6} * \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{6 * 2} + 2 = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 2\sqrt{4 * 3} = 8 + 2 * 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}$

8) $(3 - 2\sqrt{15})^2 = 3^2 - 2 * 3 * 2\sqrt{15} + (2\sqrt{15})^2 = 9 - 12\sqrt{15} + 4 * 15 = 9 - 12\sqrt{15} + 60 = 69 - 12\sqrt{15}$

540. Чему равно значение выражения:
1) $(2 + \sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7}$;
2) $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2}$?

Решение:

1) $(2 + \sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7} = 2^2 + 2 * 2\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7} = 4 + 4\sqrt{7} + 7 - 4\sqrt{7} = 11$

2) $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2} = (\sqrt{6})^2 - 2 * \sqrt{6} * \sqrt{3} + \sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{6 * 3} + 3 + 6\sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{18} + 6\sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{9 * 2} + 6\sqrt{2} = 9 - 2 * 3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9$

541. Найдите значение выражения:
1) $(3 + \sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5}$;
2) $(\sqrt{12} - 2\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{6}$.

Решение:

1) $(3 + \sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5} = 3^2 + 2 * 3\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5} = 9 + 6\sqrt{5} + 5 - 6\sqrt{5} = 14$

2) $(\sqrt{12} - 2\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{6} = (\sqrt{12})^2 - 2 * 2\sqrt{12} * \sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{6} = 12 - 4\sqrt{12 * 2} + 4 * 2 + 8\sqrt{6} = 12 - 4\sqrt{24} + 8 + 8\sqrt{6} = 20 - 4\sqrt{4 * 6} + 8\sqrt{6} = 20 - 4 * 2\sqrt{6} + 8\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 8\sqrt{6} = 20$

542. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $\frac{4}{\sqrt{2}}$;
2) $\frac{12}{\sqrt{6}}$;
3) $\frac{18}{\sqrt{5}}$;
4) $\frac{m}{\sqrt{n}}$;
5) $\frac{a}{b\sqrt{b}}$;
6) $\frac{5}{\sqrt{15}}$;
7) $\frac{7}{\sqrt{7}}$;
8) $\frac{24}{5\sqrt{3}}$.

Решение:

1) $\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 * \sqrt{2}}{\sqrt{2} * \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

2) $\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12 * \sqrt{6}}{\sqrt{6} * \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

3) $\frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18 * \sqrt{5}}{\sqrt{5} * \sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{18\sqrt{5}}{5}$

4) $\frac{m}{\sqrt{n}} = \frac{m * \sqrt{n}}{\sqrt{n} * \sqrt{n}} = \frac{m\sqrt{n}}{(\sqrt{n})^2} = \frac{m\sqrt{n}}{n}$

5) $\frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a * \sqrt{b}}{b\sqrt{b} * \sqrt{b}} = \frac{a * \sqrt{b}}{b(\sqrt{b})^2} = \frac{a * \sqrt{b}}{b * b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

6) $\frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5 * \sqrt{15}}{\sqrt{15} * \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{(\sqrt{15})^2} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

7) $\frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 * \sqrt{7}}{\sqrt{7} * \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}$

8) $\frac{24}{5\sqrt{3}} = \frac{24 * \sqrt{3}}{5\sqrt{3} * \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{5(\sqrt{3})^2} = \frac{24\sqrt{3}}{5 * 3} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$

543. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $\frac{a}{\sqrt{11}}$;
2) $\frac{18}{\sqrt{6}}$;
3) $\frac{5}{\sqrt{10}}$;
4) $\frac{13}{\sqrt{26}}$;
5) $\frac{30}{\sqrt{15}}$;
6) $\frac{2}{3\sqrt{x}}$.

Решение:

1) $\frac{a}{\sqrt{11}} = \frac{a * \sqrt{11}}{\sqrt{11} * \sqrt{11}} = \frac{a\sqrt{11}}{(\sqrt{11})^2} = \frac{a\sqrt{11}}{11}$

2) $\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 * \sqrt{6}}{\sqrt{6} * \sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

3) $\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 * \sqrt{10}}{\sqrt{10} * \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^2} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

4) $\frac{13}{\sqrt{26}} = \frac{13 * \sqrt{26}}{\sqrt{26} * \sqrt{26}} = \frac{13\sqrt{26}}{(\sqrt{26})^2} = \frac{13\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}$

5) $\frac{30}{\sqrt{15}} = \frac{30 * \sqrt{15}}{\sqrt{15} * \sqrt{15}} = \frac{30\sqrt{15}}{(\sqrt{15})^2} = \frac{30\sqrt{15}}{15} = 2\sqrt{15}$

6) $\frac{2}{3\sqrt{x}} = \frac{2 * \sqrt{x}}{3\sqrt{x} * \sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{3(\sqrt{x})^2} = \frac{2\sqrt{x}}{3x}$

544. Разложите на множители выражение:
1) $a^2 - 3$;
2) $4b^2 - 2$;
3) $5 - 6c^2$;
4) a − 9, если a ≥ 0;
5) m − n, если m ≥ 0, n ≥ 0;
6) 16x − 25y, если x ≥ 0, y ≥ 0;
7) $a - 2\sqrt{a} + 1$;
8) $4m - 28\sqrt{mn} + 49n$, если m ≥ 0, n ≥ 0;
9) $b + 6\sqrt{b} + 9$;
10) $3 + 2\sqrt{3c} + c$;
11) $2 + \sqrt{2}$;
12) $6\sqrt{7} - 7$;
13) $a - \sqrt{a}$;
14) $\sqrt{b} + \sqrt{3b}$;
15) $\sqrt{15} - \sqrt{5}$.

Решение:

1) $a^2 - 3 = a^2 - (\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})$

2) $4b^2 - 2 = (2b)^2 - (\sqrt{2})^2 = (2b - \sqrt{2})(2b + \sqrt{2})$

3) $5 - 6c^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}c)^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$

4) $a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$

5) $m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$

6) $16x - 25y = (4\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2 = (4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$

7) $a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2 * \sqrt{a} * 1 + 1^2 = (\sqrt{a} - 1)^2$

8) $4m - 28\sqrt{mn} + 49n = (2\sqrt{m})^2 - 2 * 2\sqrt{m} * 7\sqrt{n} + (7\sqrt{n})^2 = (2\sqrt{m} - 7\sqrt{n})^2$

9) $b + 6\sqrt{b} + 9 = (\sqrt{b})^2 + 2 * 3 * \sqrt{b} + 3^2 = (\sqrt{b} + 3)^2$

10) $3 + 2\sqrt{3c} + c = \sqrt{3} + 2 * \sqrt{3} * \sqrt{c} + \sqrt{c} = (\sqrt{3} + \sqrt{c})^2$

11) $2 + \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$

12) $6\sqrt{7} - 7 = 6\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2 = \sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$

13) $a - \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$

14) $\sqrt{b} + \sqrt{3b} = \sqrt{b} + \sqrt{3} * \sqrt{b} = \sqrt{b}(1 + \sqrt{3})$

15) $\sqrt{15} - \sqrt{5} = \sqrt{5 * 3} - \sqrt{5} = \sqrt{5} * \sqrt{3} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$

139

Ответы к странице 139

545. Разложите на множители выражение:
1) $15 - x^2$;
2) $49x^2 - 2$;
3) $36p - 64q$, если p ≥ 0, q ≥ 0;
4) c − 100, если c ≥ 0;
5) $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2$;
6) $m + 2\sqrt{mn} + n$, если m ≥ 0, n ≥ 0;
7) $a - 4\sqrt{a} + 4$;
8) $5 + \sqrt{5}$;
9) $\sqrt{3p} - p$;
10) $\sqrt{12} + \sqrt{32}$.

Решение:

1) $15 - x^2 = (\sqrt{15})^2 - x^2 = (\sqrt{15} - x)(\sqrt{15} + x)$

2) $49x^2 - 2 = (7x)^2 - \sqrt{2} = (7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$

3) $36p - 64q = (6\sqrt{p})^2 - (8\sqrt{q})^2 = (6\sqrt{p} - 8\sqrt{q})(6\sqrt{p} + 8\sqrt{q})$

4) $c - 100 = (\sqrt{c})^2 - 10^2 = (\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$

5) $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 * \sqrt{a} * 4b + (4b)^2 = (\sqrt{a} - 4b)^2$

6) $m + 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m})^2 + 2 * \sqrt{m} * \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$

7) $a - 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 - 2 * \sqrt{a} * 2 + 2^2 = (\sqrt{a} - 2)^2$

8) $5 + \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$

9) $\sqrt{3p} - p = \sqrt{3} * \sqrt{p} - (\sqrt{p})^2 = \sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$

10) $\sqrt{12} + \sqrt{32} = \sqrt{4 * 3} + \sqrt{16 * 2} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2} = 2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$

546. Сократите дробь:
1) $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}}$;
2) $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2}$;
3) $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3}$;
4) $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$;
5) $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b}$;
6) $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}}$;
7) $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$;
8) $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$;
9) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$;
10) $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}}$;
11) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$;
12) $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}$.

Решение:

1) $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}} = \frac{a^2 - (\sqrt{7})^2}{a + \sqrt{7}} = \frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a + \sqrt{7}} = a - \sqrt{7}$

2) $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2} = \frac{\sqrt{3} - b}{(\sqrt{3})^2 - b^2} = \frac{\sqrt{3} - b}{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)} = \frac{1}{\sqrt{3} + b}$

3) $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3} = \frac{(\sqrt{c})^2 - 3^2}{\sqrt{c} - 3} = \frac{(\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)}{\sqrt{c} - 3} = \sqrt{c} + 3$

4) $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

5) $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b} = \frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2} = \frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})} = \frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$

6) $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}} = \frac{(10a)^2 - (3\sqrt{b})^2}{10a + 3\sqrt{b}} = \frac{(10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})}{10a + 3\sqrt{b}} = 10a - 3\sqrt{b}$

7) $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2 * 3} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} * \sqrt{3} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

8) $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7 * 5} + \sqrt{2 * 5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} * \sqrt{5} + \sqrt{2} * \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \sqrt{5}$

9) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5 * 3} - \sqrt{2 * 3}}{(\sqrt{5})^2 - \sqrt{5 * 2}} = \frac{\sqrt{5} * \sqrt{3} - \sqrt{2} * \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} * \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

10) $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{(\sqrt{13})^2 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} - 1$

11) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 + 2 * \sqrt{a} * \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

12) $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}} = \frac{(2b)^2 - 2 * 2b * \sqrt{c} + (\sqrt{c})^2}{2b - \sqrt{c}} = \frac{(2b - \sqrt{c})^2}{2b - \sqrt{c}} = 2b - \sqrt{c}$

547. Сократите дробь:
1) $\frac{x - 25}{\sqrt{x} - 5}$;
2) $\frac{\sqrt{a} + 2}{a - 4}$;
3) $\frac{a - 3}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$;
4) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;
5) $\frac{23 - \sqrt{23}}{\sqrt{23}}$;
6) $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{28}}{\sqrt{54} - \sqrt{63}}$;
7) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - 2\sqrt{ab} + b}$;
8) $\frac{b - 8\sqrt{b} + 16}{\sqrt{b} - 4}$.

Решение:

1) $\frac{x - 25}{\sqrt{x} - 5} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 5^2}{\sqrt{x} - 5} = \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)}{\sqrt{x} - 5} = \sqrt{x} + 5$

2) $\frac{\sqrt{a} + 2}{a - 4} = \frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{a} - 2}$

3) $\frac{a - 3}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{3}$

4) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2 * 5} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} * \sqrt{5} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5}} = \sqrt{2} + 1$

5) $\frac{23 - \sqrt{23}}{\sqrt{23}} = \frac{(\sqrt{23})^2 - \sqrt{23}}{\sqrt{23}} = \frac{\sqrt{23}(\sqrt{23} - 1)}{\sqrt{23}} = \sqrt{23} - 1$

6) $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{28}}{\sqrt{54} - \sqrt{63}} = \frac{\sqrt{4 * 6} - \sqrt{4 * 7}}{\sqrt{9 * 6} - \sqrt{9 * 7}} = \frac{2\sqrt{6} - 2\sqrt{7}}{3\sqrt{6} - 3\sqrt{7}} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{7})}{3(\sqrt{6} - \sqrt{7})} = \frac{2}{3}$

7) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - 2\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - 2 * \sqrt{a} * \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

8) $\frac{b - 8\sqrt{b} + 16}{\sqrt{b} - 4} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 2 * \sqrt{b} * 4 + 4^2}{\sqrt{b} - 4} = \frac{(\sqrt{b} - 4)^2}{\sqrt{b} - 4} = \sqrt{b} - 4$

548. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{3a^2}$, если a ≥ 0;
2) $\sqrt{5b^2}$, если b ≤ 0;
3) $\sqrt{12a^4}$;
4) $\sqrt{c^5}$.

Решение:

1) $\sqrt{3a^2} = \sqrt{3} * \sqrt{a^2} = a\sqrt{3}$, если a ≥ 0

2) $\sqrt{5b^2} = \sqrt{5} * \sqrt{b^2} = -b\sqrt{5}$, если b ≤ 0

3) $\sqrt{12a^4} = \sqrt{12 * (a^2)^2} = \sqrt{12} * \sqrt{(a^2)^2} = \sqrt{4 * 3} * a^2 = 2\sqrt{3} * a^2 = 2a^2\sqrt{3}$

4) $\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 * c} = \sqrt{(c^2)^2 * c} = \sqrt{(c^2)^2} * \sqrt{c} = c^2\sqrt{c}$

140

Ответы к странице 140

549. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{18x^{12}}$;
2) $\sqrt{y^9}$.

Решение:

1) $\sqrt{18x^{12}} = \sqrt{9 * 2 * (x^6)^2} = \sqrt{9} * \sqrt{2} * \sqrt{(x^6)^2} = 3\sqrt{2}x^6$

2) $\sqrt{y^9} = \sqrt{y^8 * y} = \sqrt{(y^4)^2 * y} = \sqrt{(y^4)^2} * \sqrt{y} = y^4\sqrt{y}$

550. Упростите выражение:
1) $\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{32}$;
2) $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162}$;
3) $0,7\sqrt{300} - 7\sqrt{\frac{3}{49}} + \frac{2}{3}\sqrt{108}$;
4) $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a}$;
5) $\sqrt{a^3b} - \frac{2}{a}\sqrt{a^5b}$, если a > 0;
6) $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}$.

Решение:

1) $\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{32} = \sqrt{49 * 2} - \sqrt{25 * 2} + \sqrt{16 * 2} = 7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

2) $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162} = 3\sqrt{4 * 2} + \sqrt{64 * 2} - \frac{1}{3}\sqrt{81 * 2} = 3 * 2\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - \frac{1}{3} * 9\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$

3) $0,7\sqrt{300} - 7\sqrt{\frac{3}{49}} + \frac{2}{3}\sqrt{108} = 0,7\sqrt{100 * 3} - 7\sqrt{\frac{1}{49} * 3} + \frac{2}{3}\sqrt{36 * 3} = 0,7 * 10\sqrt{3} - 7 * \frac{1}{7}\sqrt{3} + \frac{2}{3} * 6\sqrt{3} = 7\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 * 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

4) $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a} = \sqrt{5a} - 2\sqrt{4 * 5a} + 3\sqrt{16 * 5a} = \sqrt{5a} - 2 * 2\sqrt{5a} + 3 * 4\sqrt{5a} = \sqrt{5a} - 4\sqrt{5a} + 12\sqrt{5a} = 9\sqrt{5a}$

5) $\sqrt{a^3b} - \frac{2}{a}\sqrt{a^5b} = \sqrt{a^2 * ab} - \frac{2}{a}\sqrt{a^4 * ab} = a\sqrt{ab} - \frac{2}{a} * a^2\sqrt{ab} = a\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} = -a\sqrt{ab}$, если a > 0

6) $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c} = \sqrt{c^4 * c} + 4c\sqrt{c^2 * c} - 5c^2\sqrt{c} = c^2\sqrt{c} + 4c * c\sqrt{c} - 5c^2\sqrt{c} = c^2\sqrt{c} + 4c^2\sqrt{c} - 5c^2\sqrt{c} = 0$

551. Упростите выражение:
1) $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75}$;
2) $2,5\sqrt{28b} + \frac{2}{3}\sqrt{63b} - 10\sqrt{0,07b}$;
3) $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}$.

Решение:

1) $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75} = 0,5\sqrt{4 * 3} - 3\sqrt{9 * 3} + 0,4\sqrt{25 * 3} = 0,5 * 2\sqrt{3} - 3 * 3\sqrt{3} + 0,4 * 5\sqrt{3} = \sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$

2) $2,5\sqrt{28b} + \frac{2}{3}\sqrt{63b} - 10\sqrt{0,07b} = 2,5\sqrt{4 * 7b} + \frac{2}{3}\sqrt{9 * 7b} - 10\sqrt{0,01 * 7b} = 2,5 * 2\sqrt{7b} + \frac{2}{3} * 3\sqrt{7b} - 10 * 0,1\sqrt{7b} = 5\sqrt{7b} + 2\sqrt{7b} - \sqrt{7b} = 6\sqrt{7b}$

3) $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9} = \sqrt{81a^6 * a} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^8 * a} = \sqrt{81 * (a^3)^2 * a} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{(a^4)^2 * a} = 9a^3\sqrt{a} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a} * a^4\sqrt{a} = 4a^3\sqrt{a} + 6a^3\sqrt{a} = 10a^3\sqrt{a}$

552. Докажите, что:
1) $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} + 2$;
2) $\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{8} + \sqrt{6}$.

Решение:

1) $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{7 + 4 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 2 * 2\sqrt{7} + 2^2} = \sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2} = |\sqrt{7} + 2| = \sqrt{7} + 2$

2) $\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 6 + 2 * 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{16 * 3} + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{48} + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{8 * 6} + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2} = |\sqrt{8} + \sqrt{6}| = \sqrt{8} + \sqrt{6}$

553. Упростите выражение:
1) $(2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{27} + 2)$;
2) $(\sqrt{5} - 2)^2 - (3 + \sqrt{5})^2$;
3) $\sqrt{\sqrt{17} - 4} * \sqrt{\sqrt{17} + 4}$;
4) $(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2$;
5) $(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}})^2$.

Решение:

1) $(2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{27} + 2) = (2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{9 * 3} + 2) = (2\sqrt{3} - 1)(3\sqrt{3} + 2) = 2\sqrt{3} * 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} * 2 - 1 * 3\sqrt{3} + (-1) * 2 = 6 * 3 + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2 = 18 + \sqrt{3} - 2 = 16 + \sqrt{3}$

2) $(\sqrt{5} - 2)^2 - (3 + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 * 2\sqrt{5} + 2^2) - (3^2 + 3 * 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) = 5 - 4\sqrt{5} + 4 - (9 + 6\sqrt{5} + 5) = 9 - 4\sqrt{5} - (14 + 6\sqrt{5}) = 9 - 4\sqrt{5} - 14 - 6\sqrt{5} = -5 - 10\sqrt{5}$

3) $\sqrt{\sqrt{17} - 4} * \sqrt{\sqrt{17} + 4} = \sqrt{(\sqrt{17} - 4)((\sqrt{17} + 4))} = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \sqrt{17 - 16} = \sqrt{1} = 1$

4) $(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2 = (7 + 4\sqrt{3})(2^2 - 2 * 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (7 + 4\sqrt{3})(4 - 4\sqrt{3} + 3) = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 * 3 = 49 - 48 = 1$

5) $(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}})^2 = (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}})^2 - 2\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} + (\sqrt{6 - 2\sqrt{5}})^2 = 6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})} + 6 - 2\sqrt{5} = 12 - 2\sqrt{6^2 - (2\sqrt{5})^2} = 12 - 2\sqrt{36 - 4 * 5} = 12 - 2\sqrt{36 - 20} = 12 - 2\sqrt{16} = 12 - 2 * 4 = 12 - 8 = 4$

554. Найдите значение выражения:
1) $(3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{8} - 2)$;
2) $(3 - 2\sqrt{7})^2 + (3 + 2\sqrt{7})^2$;
3) $(10 - 4\sqrt{6})(2 + \sqrt{6})^2$;
4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2$.

Решение:

1) $(3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{8} - 2) = (3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{4 * 2} - 2) = (3\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 2) = 3\sqrt{2} * 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} * 2 + 1 * 2\sqrt{2} - 1 * 2 = 6 * 2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = 12 - 4\sqrt{2} - 2 = 10 - 4\sqrt{2}$

2) $(3 - 2\sqrt{7})^2 + (3 + 2\sqrt{7})^2 = 3^2 - 2 * 3 * 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 + 3^2 + 2 * 3 * 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 - 12\sqrt{7} + 4 * 7 + 9 + 12\sqrt{7} + 4 * 7 = 18 + 28 + 28 = 74$

3) $(10 - 4\sqrt{6})(2 + \sqrt{6})^2 = (10 - 4\sqrt{6})(2^2 + 2 * 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) = (10 - 4\sqrt{6})(4 + 4\sqrt{6} + 6) = (10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6}) = 10^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - 16 * 6 = 100 - 96 = 4$

4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{9 - 4\sqrt{2}})^2 + 2\sqrt{9 - 4\sqrt{2}}\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} + (\sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2 = 9 - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{(9 - 4\sqrt{2})(9 + 4\sqrt{2})} + 9 + 4\sqrt{2} = 18 + 2\sqrt{9^2 - (4\sqrt{2})^2} = 18 + 2\sqrt{81 - 16 * 2} = 18 + 2\sqrt{81 - 32} = 18 + 2\sqrt{49} = 18 + 2 * 7 = 18 + 14 = 32$

555. Сократите дробь:
1) $\frac{4a + 4\sqrt{5}}{a^2 - 5}$;
2) $\frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{2a}}{6a - 21}$;
3) $\frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{a - 4b}$, если a > 0, b > 0;
4) $\frac{x^2 - 6y}{x^2 + 6y - x\sqrt{24y}}$;
5) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}$;
6) $\frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}$.

Решение:

1) $\frac{4a + 4\sqrt{5}}{a^2 - 5} = \frac{4(a + \sqrt{5})}{(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})} = \frac{4}{a -\sqrt{5}}$

2) $\frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{2a}}{6a - 21} = \frac{\sqrt{4 * 7} - 2\sqrt{2a}}{3(2a - 7)} = \frac{2\sqrt{7} - 2\sqrt{2a}}{3((\sqrt{2a})^2 - (\sqrt{7})^2)} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})}{3(\sqrt{2a} - \sqrt{7})(\sqrt{2a} + \sqrt{7})} = -\frac{2(\sqrt{2a} - \sqrt{7})}{3(\sqrt{2a} - \sqrt{7})(\sqrt{2a} + \sqrt{7})} = -\frac{2}{3(\sqrt{2a} + \sqrt{7})}$

3) $\frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{a - 4b} = \frac{(\sqrt{a})^2 + 2 * \sqrt{a} * 2\sqrt{b} + (2\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2} = \frac{(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}$, если a > 0, b > 0

4) $\frac{x^2 - 6y}{x^2 + 6y - x\sqrt{24y}} = \frac{x^2 - (\sqrt{6y})^2}{x^2 - x\sqrt{4 * 6y} + (\sqrt{6y})^2} = \frac{(x - \sqrt{6y})(x + \sqrt{6y})}{x^2 - 2x\sqrt{6y} + (\sqrt{6y})^2} = \frac{(x - \sqrt{6y})(x + \sqrt{6y})}{(x - \sqrt{6y})^2} = \frac{x + \sqrt{6y}}{x - \sqrt{6y}}$

5) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2)} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{a}\sqrt{b} + b)} = \frac{1}{a - \sqrt{a}\sqrt{b} + b}$

6) $\frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3} = \frac{\sqrt{m^2 * m} - 27}{\sqrt{m} - 3} = \frac{\sqrt{m^3} - 27}{\sqrt{m} - 3} = \frac{(\sqrt{m})^3 - 3^3}{\sqrt{m} - 3} = \frac{(\sqrt{m} - 3)((\sqrt{m})^2) + 3\sqrt{m} + 3^2)}{\sqrt{m} - 3} = m + 3\sqrt{m} + 9$

556. Сократите дробь:
1) $\frac{a - b}{\sqrt{11b} - \sqrt{11a}}$;
2) $\frac{2a + 10\sqrt{2ab} + 25b}{6a - 75b}$, если a > 0, b > 0;
3) $\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8}$.

Решение:

1) $\frac{a - b}{\sqrt{11b} - \sqrt{11a}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{11} * \sqrt{b} - \sqrt{11} * \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{11}(\sqrt{b} - \sqrt{a})} = -\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{11}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = -\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{11}}$

2) $\frac{2a + 10\sqrt{2ab} + 25b}{6a - 75b} = \frac{(\sqrt{2a})^2 + 10\sqrt{2ab} + (\sqrt{25b})^2}{3(2a - 25b)} = \frac{(\sqrt{2a})^2 + 2 * \sqrt{2a} * 5\sqrt{b} + (5\sqrt{b})^2}{3((\sqrt{2a})^2 - (\sqrt{25b})^2)} = \frac{(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})^2}{3((\sqrt{2a})^2 - (5\sqrt{b})^2)} = \frac{(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})^2}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{2a} + 5\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})}$, если a > 0, b > 0

3) $\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8} = \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a^2 * a} + 8} = \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a^3} + 8} = \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a})^3 + 2^3} = \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a} + 2)((\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} + 2^2)} = \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)} = \frac{1}{\sqrt{a} + 2}$

141

Ответы к странице 141

557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$;
2) $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$;
3) $\frac{15}{\sqrt{15} - \sqrt{12}}$;
4) $\frac{19}{2\sqrt{5} - 1}$;
5) $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$;
6) $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

Решение:

1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 - \sqrt{2}$

2) $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$

3) $\frac{15}{\sqrt{15} - \sqrt{12}} = \frac{15(\sqrt{15} + \sqrt{12})}{(\sqrt{15} - \sqrt{12})(\sqrt{15} + \sqrt{12})} = \frac{15(\sqrt{15} + \sqrt{12})}{(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{12})^2} = \frac{15(\sqrt{15} + \sqrt{12})}{15 - 12} = \frac{15(\sqrt{15} + \sqrt{12})}{3} = 5(\sqrt{15} + \sqrt{12}) = 5(\sqrt{5 * 3} + \sqrt{4 * 3}) = 5(\sqrt{5} * \sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}(\sqrt{5} + 2)$

4) $\frac{19}{2\sqrt{5} - 1} = \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{(2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1)} = \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{(2\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{4 * 5 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{20 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{19} = 2\sqrt{5} + 1$

5) $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{1 * (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$

6) $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2 * \sqrt{3} * 1 + 1^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = 2 + \sqrt{3}$

558. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$;
2) $\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$;
3) $\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$;
4) $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$.

Решение:

1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{1} = 5 + 2\sqrt{5}$

2) $\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 - 2} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \sqrt{10} + \sqrt{2}$

3) $\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

4) $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2^2 - 2 * 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4 - 2} = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

559. Докажите равенство:
1) $\frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} + \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 10$;
2) $\frac{2}{3\sqrt{2} + 4} - \frac{2}{3\sqrt{2} - 4} = -8$;
3) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = 4\sqrt{2}$.

Решение:

1) $\frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} + \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{5 + 2\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6}}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{10}{5^2 - (2\sqrt{6})^2)} = \frac{10}{25 - 4 * 6} = \frac{10}{25 - 24} = \frac{10}{1} = 10$

2) $\frac{2}{3\sqrt{2} + 4} - \frac{2}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{2(3\sqrt{2} - 4) - 2(3\sqrt{2} + 4)}{(3\sqrt{2} + 4)(3\sqrt{2} - 4)} = \frac{6\sqrt{2} - 8 - 6\sqrt{2} - 8}{(3\sqrt{2})^2 - 4^2} = \frac{-16}{9 * 2 - 16} = \frac{-16}{18 - 16} = \frac{-16}{2} = -8$

3) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1 - (2 - 2\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \frac{4\sqrt{2}}{1} = 4\sqrt{2}$

560. Докажите, что значением выражения является рациональное число:
1) $\frac{6}{3 + 2\sqrt{3}} + \frac{6}{3 - 2\sqrt{3}}$;
2) $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{6}}{\sqrt{11} - \sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{6}}{\sqrt{11} + \sqrt{6}}$.

Решение:

1) $\frac{6}{3 + 2\sqrt{3}} + \frac{6}{3 - 2\sqrt{3}} = \frac{6(3 - 2\sqrt{3}) + 6(3 + 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})} = \frac{18 - 12\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3}}{3^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{36}{9 - 4 * 3} = \frac{36}{9 - 12} = \frac{36}{-3} = -12$ − рациональное число

2) $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{6}}{\sqrt{11} - \sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{6}}{\sqrt{11} + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 + (\sqrt{11} - \sqrt{6})^2}{(\sqrt{11} - \sqrt{6})(\sqrt{11} + \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{11})^2 + 2 * \sqrt{11} * \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{11})^2 - 2 * \sqrt{11} * \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{11 + 2\sqrt{66} + 6 + 11 - 2\sqrt{66} + 6}{11 - 6} = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5}$ − рациональное число

561. Упростите выражение:
1) $\frac{a}{\sqrt{a} - 2} - \frac{4\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a} - 2}$;
2) $\frac{\sqrt{m} + 1}{\sqrt{m} - 2} - \frac{\sqrt{m} + 3}{\sqrt{m}}$;
3) $\frac{\sqrt{y} + 4}{\sqrt{xy} + y} - \frac{\sqrt{x} - 4}{x + \sqrt{xy}}$;
4) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{a}{a - 16}$;
5) $\frac{a}{\sqrt{ab} - b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$;
6) $\frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{b}} * \frac{b}{2\sqrt{a} + 2}$;
7) $\frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} : \frac{с - 25}{3с}$;
8) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{\sqrt{a}}{a - 1}$;
9) $(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$;
10) $(\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{12\sqrt{x}}{x - 9}) : \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 3\sqrt{x}}$.

Решение:

1) $\frac{a}{\sqrt{a} - 2} - \frac{4\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a} - 2} = \frac{a - (4\sqrt{a} - 4)}{\sqrt{a} - 2} = \frac{a - 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} - 2} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 2 * 2\sqrt{a} + 2^2}{\sqrt{a} - 2} = \frac{(\sqrt{a} - 2)^2}{\sqrt{a} - 2} = \sqrt{a} - 2$

2) $\frac{\sqrt{m} + 1}{\sqrt{m} - 2} - \frac{\sqrt{m} + 3}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m} + 1) - (\sqrt{m} + 3)(\sqrt{m} - 2)}{\sqrt{m}(\sqrt{m} - 2)} = \frac{m + \sqrt{m} - (m + 3\sqrt{m} - 2\sqrt{m} - 6)}{\sqrt{m}(\sqrt{m} - 2)} = \frac{m + \sqrt{m} - m - 3\sqrt{m} + 2\sqrt{m} + 6}{\sqrt{m}(\sqrt{m} - 2)} = \frac{6}{m - 2\sqrt{m}}$

3) $\frac{\sqrt{y} + 4}{\sqrt{xy} + y} - \frac{\sqrt{x} - 4}{x + \sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y} + 4}{\sqrt{x} * \sqrt{y} + (\sqrt{y})^2} - \frac{\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} * \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} + 4}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{y} + 4) - \sqrt{y}(\sqrt{x} - 4)}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{xy} + 4\sqrt{x} - \sqrt{xy} + 4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{4\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{4(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{4}{\sqrt{xy}}$

4) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{a}{a - 16} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{a}{(\sqrt{a})^2 - 4^2} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{a}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 4) - a}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)} = \frac{a - 4\sqrt{a} - a}{a - 16} = \frac{-4\sqrt{a}}{a - 16} = -\frac{4\sqrt{a}}{a - 16}$

5) $\frac{a}{\sqrt{ab} - b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{a}{\sqrt{b} * \sqrt{a} - (\sqrt{b})^2} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}$

6) $\frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{b}} * \frac{b}{2\sqrt{a} + 2} = \frac{(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}}{\sqrt{b}} * \frac{(\sqrt{b})^2}{2(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{1} * \frac{\sqrt{b}}{2(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a}}{1} * \frac{\sqrt{b}}{2} = \frac{\sqrt{ab}}{2}$

7) $\frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} : \frac{с - 25}{3с} = \frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} * \frac{3с}{с - 25} = \frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} * \frac{3 * (\sqrt{c})^2}{(\sqrt{c})^2 - 5^2} = \frac{\sqrt{c} - 5}{1} * \frac{3\sqrt{c}}{(\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)} = \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c} + 5}$

8) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{\sqrt{a}}{a - 1} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) - a}{\sqrt{a} + 1} * \frac{(\sqrt{a})^2 - 1^2}{\sqrt{a}} = \frac{a + \sqrt{a} - a}{\sqrt{a} + 1} * \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{1} * \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} - 1$

9) $(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} * \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{a - b + b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

10) $(\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{12\sqrt{x}}{x - 9}) : \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 3\sqrt{x}} = (\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{12\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2 - 3^2}) * \frac{x - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3)^2 + 12\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} * \frac{(\sqrt{x})^2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2 * 3\sqrt{x} + 3^2 + 12\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} * \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 6\sqrt{x} + 9 + 12\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 3} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x})^2 + 2 * 3\sqrt{x} + 3^2}{\sqrt{x} + 3} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{\sqrt{x} + 3} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x}$

562. Упростите выражение:
1) $\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a}}$;
2) $\frac{\sqrt{a} + 1}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{ab} - b}$;
3) $\frac{\sqrt{x}}{y - 2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y} - 6}$;
4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : (\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}})$;
5) $(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x - 1}) * \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$;
6) $\frac{a - 64}{\sqrt{a} + 3} * \frac{1}{a + 8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 8}{a - 3\sqrt{a}}$.

Решение:

1) $\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3) - (\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 4)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{a - 3\sqrt{a} - (a + \sqrt{a} - 4\sqrt{a} - 4)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{a - 3\sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{4}{a + \sqrt{a}}$

2) $\frac{\sqrt{a} + 1}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{ab} - b} = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} + 1) - \sqrt{a}(\sqrt{b} + 1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{b} - \sqrt{ab} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = -\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{ab}} = -\sqrt{\frac{1}{ab}}$

3) $\frac{\sqrt{x}}{y - 2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y} - 6} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y} - 2)} : \frac{\sqrt{x}}{3(\sqrt{y} - 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y} - 2)} * \frac{3(\sqrt{y} - 2)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{y}} * \frac{3}{1} = \frac{3}{\sqrt{y}}$

4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : (\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}) = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) + (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \frac{m - n + n}{\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} * \frac{\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{m} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{n}{m}}$

5) $(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x - 1}) * \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}) * \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 - 4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} * \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1 - 4\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)^2} = \sqrt{x}$

6) $\frac{a - 64}{\sqrt{a} + 3} * \frac{1}{a + 8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 8}{a - 3\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 8)(\sqrt{a} + 8)}{\sqrt{a} + 3} * \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 8)} - \frac{\sqrt{a} + 8}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)} = \frac{\sqrt{a} - 8}{\sqrt{a} + 3} * \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 8}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)} = \frac{\sqrt{a} - 8}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)} - \frac{\sqrt{a} + 8}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)} = \frac{(\sqrt{a} - 8)(\sqrt{a} - 3) - (\sqrt{a} + 8)(\sqrt{a} + 3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{a - 8\sqrt{a} - 3\sqrt{a} + 24 - (a + 8\sqrt{a} + 3\sqrt{a} + 24)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{a - 8\sqrt{a} - 3\sqrt{a} + 24 - a - 8\sqrt{a} - 3\sqrt{a} - 24}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{-22\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a - 9)} = -\frac{22}{a - 9}$

142

Ответы к странице 142

563. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) $\sqrt{-m^9}$;
2) $\sqrt{a^4b^{13}}$, если a ≠ 0;
3) $\sqrt{4x^6y}$, если x < 0;
4) $\sqrt{m^7n^7}$, если m ≤ 0, n ≤ 0;
5) $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если y < 0;
6) $\sqrt{64a^2b^{9}}$, если a > 0;
7) $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$, если b < 0;
8) $\sqrt{-m^2n^{2}p^{15}}$, если m > 0, n < 0.

Решение:

1) $\sqrt{-m^9} = \sqrt{(-m)^8 * (-m)} = |-m|^4 * \sqrt{-m} = m^4\sqrt{-m}$

2) $\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{a^4 * b^{12} * b} = \sqrt{(a^2)^2} * \sqrt{(b^6)^2} * \sqrt{b} = a^2b^6\sqrt{b}$, если a ≠ 0

3) $\sqrt{4x^6y} = \sqrt{4 * (x^3)^2 * y} = \sqrt{2^2} * \sqrt{(x^3)^2} * \sqrt{y} = 2 * |x^3| * \sqrt{y} = -2x^3\sqrt{y}$, если x < 0

4) $\sqrt{m^7n^7} = \sqrt{m^6 * m * n^6 * n} = \sqrt{(m^3)^2} * \sqrt{m} * \sqrt{(n^3)^2} * \sqrt{n} = |m^3| * |n^3| * \sqrt{mn} = m^3n^3\sqrt{mn}$, если m ≤ 0, n ≤ 0

5) $\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{9 * 5 * x^2 * x * (y^{7})^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{5} * \sqrt{x^2} * \sqrt{x} * \sqrt{(y^{7})^2} = 3 * |y^7| * \sqrt{5x} = -3y^7\sqrt{5x}$, если y < 0

6) $\sqrt{64a^2b^{9}} = \sqrt{8^2 * a^2 * b^{8} * b} = \sqrt{8^2} * \sqrt{a^2} * \sqrt{(b^4)^2} * \sqrt{b} = 8 * |a| * |b^4| * \sqrt{b} = 8ab^4\sqrt{b}$, если a > 0

7) $\sqrt{242m^{11}b^{18}} = \sqrt{2 * 121 * m^{10} * m * (b^{9})^2} = \sqrt{2} * \sqrt{11^2} * \sqrt{(m^5)^2} * \sqrt{m} * \sqrt{(b^9)^2} = 11 * |m^5| * |b^9| * \sqrt{2m} = -11m^5b^9\sqrt{2m}$, если b < 0

8) $\sqrt{-m^2n^{2}p^{15}} = \sqrt{-1 * m^2 * n^{2} * p^{14} * p} = \sqrt{m^2} * \sqrt{n^2} * \sqrt{(p^7)^2} * \sqrt{-p} = |m^2| * |n^2| * |p^7| * \sqrt{-p} = m^2n^2p^7\sqrt{-p}$, если m > 0, n < 0

564. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{-m^{19}}$;
2) $\sqrt{a^{23}b^{24}}$, если b ≠ 0;
3) $\sqrt{49a^{2}b}$, если a < 0;
4) $\sqrt{a^9b^9}$;
5) $\sqrt{27x^{15}y^{34}}$, если y < 0;
6) $\sqrt{-50m^{6}n^6p^7}$, если m > 0, n > 0.

Решение:

1) $\sqrt{-m^{19}} = \sqrt{-1 * m^{18} * m} = \sqrt{(m^9)^2} * \sqrt{-m} = |m^9| * \sqrt{-m} = -m^9\sqrt{-m}$

2) $\sqrt{a^{23}b^{24}} = \sqrt{a^{22} * a * (b^{12})^2} = \sqrt{(a^{11})^2} * \sqrt{a} * \sqrt{(b^{12})^2} = |a^{11}| * |b^{12}| * \sqrt{a} = a^{11}b^{12}\sqrt{a}$, если b ≠ 0

3) $\sqrt{49a^{2}b} = \sqrt{49 * a^{2} * b} = \sqrt{7^2} * \sqrt{a^2} * \sqrt{b} = 7 * |a| * \sqrt{b} = -7a\sqrt{b}$, если a < 0

4) $\sqrt{a^9b^9} = \sqrt{a^8 * a * b^8 * b} = \sqrt{(a^4)^2} * \sqrt{a} * \sqrt{(b^4)^2} * \sqrt{b} = |a^4| * |b^4| * \sqrt{ab} = a^4b^4\sqrt{ab}$

5) $\sqrt{27x^{15}y^{34}} = \sqrt{9 * 3 * x^{14} * x * (y^{17})^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{3} * \sqrt{(x^7)^2} * \sqrt{x} * \sqrt{(y^{17})^2} = 3 * |x^{7}| * |y^{17}| * \sqrt{3x} = -3x^7y^{17}\sqrt{3x}$, если y < 0

6) $\sqrt{-50m^{6}n^6p^7} = \sqrt{-2 * 25 * (m^{3})^2 * (n^3)^2 * p^6 * p} = \sqrt{5^2} * \sqrt{(m^3)^2} * \sqrt{(n^3)^2} * \sqrt{(p^3)^2} * \sqrt{-2p} = 5 * |m^3| * |n^3| * |p^3| * \sqrt{-2p} = -5m^3n^3p^3\sqrt{-2p}$, если m > 0, n > 0

565. Внесите множитель под знак корня:
1) $a\sqrt{3}$;
2) $b\sqrt{-b}$;
3) $c\sqrt{c^5}$;
4) $m\sqrt{n}$, если m ≥ 0;
5) $xy^2\sqrt{xy}$, если x ≤ 0;
6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$;
7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$;
8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если a ≥ 0.

Решение:

1) $a\sqrt{3} = \sqrt{a^2} * \sqrt{3} = \sqrt{3a^2}$

2) $b\sqrt{-b} = \sqrt{b^2} * \sqrt{-b} = \sqrt{b^2 * (-b)} = \sqrt{-b^3}$

3) $c\sqrt{c^5} = \sqrt{c^2} * \sqrt{c^5} = \sqrt{c^2 * c^5} = \sqrt{c^7}$

4) $m\sqrt{n} = \sqrt{m^2} * \sqrt{n} = \sqrt{m^2n}$, если m ≥ 0

5) $xy^2\sqrt{xy} = -\sqrt{x^2} * \sqrt{(y^2)^2} * \sqrt{xy} = -\sqrt{x^2y^4 * xy} = -\sqrt{x^3y^5}$, если x ≤ 0

6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{(2p)^2} * \sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{4p^2 * (\frac{p}{2})} = \sqrt{2p^2 * p} = \sqrt{2p^3}$

7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{(2p)^2} * \sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{4p^2 * (-\frac{p}{2})} = -\sqrt{2p^2 * (-p)} = -\sqrt{-2p^3}$

8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{(ab^2)^2} * \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a^2b^4 * \frac{a}{b}} = \sqrt{a^2b^3 * a} = \sqrt{a^3b^3}$, если a ≥ 0

566. Внесите множитель под знак корня:
1) $m\sqrt{7}$, если m ≥ 0;
2) $3n\sqrt{6}$, если n ≤ 0;
3) $p\sqrt{p^3}$;
4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если y ≤ 0;
5) $7a\sqrt{\frac{3}{a}}$;
6) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если a ≤ 0, b > 0.

Решение:

1) $m\sqrt{7} = \sqrt{m^2} * \sqrt{7} = \sqrt{7m^2}$, если m ≥ 0

2) $3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2} * \sqrt{6} = -\sqrt{9n^2 * 6} = -\sqrt{54n^2}$, если n ≤ 0

3) $p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2} * \sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 * p^3} = \sqrt{p^5}$

4) $x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2} * \sqrt{x^5y} = -\sqrt{x^8y^2 * x^5y} = -\sqrt{x^{13}y^3}$, если y ≤ 0

5) $7a\sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{(7a)^2} * \sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{49a^2 * \frac{3}{a}} = \sqrt{49a * 3} = \sqrt{147a}$

6) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{(5ab)^2} * \sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{25a^2b^2 * (-\frac{a^7}{5b})} = -\sqrt{-5a^2b * a^7} = -\sqrt{-5a^9b}$, если a ≤ 0, b > 0

567. Докажите тождество:
1) $(\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} - \frac{15\sqrt{a}}{a + 14\sqrt{a} + 49}) : \frac{8\sqrt{a} + 41}{a - 49} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \sqrt{a} - 7$;
2) $\frac{a\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{a\sqrt{a} + 27}) = \sqrt{a}$.

Решение:

1) $(\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} - \frac{15\sqrt{a}}{a + 14\sqrt{a} + 49}) : \frac{8\sqrt{a} + 41}{a - 49} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = (\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} - \frac{15\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 7)^2}) * \frac{a - 49}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{8\sqrt{a}(\sqrt{a} + 7) - 15\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 7)^2} * \frac{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{8a + 56\sqrt{a} - 15\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{8a + 41\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a} + 41)}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{1} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{a - 7\sqrt{a} + 7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{a - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)}{\sqrt{a} + 7} = \sqrt{a} - 7$

2) $\frac{a\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{a\sqrt{a} + 27}) = \frac{(\sqrt{a})^3 + 3^3}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{(\sqrt{a})^3 + 3^3}) = \frac{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)}) = \frac{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3) - (\sqrt{ab} - 9)}{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)} = \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{a - 9 - \sqrt{ab} + 9}{1} = \frac{a - \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a}$

568. Упростите выражение:
1) $(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} - \frac{1}{a - b} * \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}}$;
2) $(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})$.

Решение:

1) $(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} - \frac{1}{a - b} * \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} = (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} * \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} * \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}) * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} * \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

2) $(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}) = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{a - \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{a + b}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a + b} = \sqrt{a}$

143

Ответы к странице 143

569. Упростите выражение:
1) $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$;
2) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$;
3) $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}$.

Решение:

1) $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2 * 1 * \sqrt{2} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1$

2) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{2^2 + 2 * 2 * \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3}$

3) $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{5 + 6 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{30} + 6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 * 6} + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{6}| = \sqrt{5} + \sqrt{6}$

570. Упростите выражение:
1) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$;
2) $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}}$;
3) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$.

Решение:

1) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{7 + 1 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{7} + 1} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 2 * 1 * \sqrt{7} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = |\sqrt{7} + 1| = \sqrt{7} + 1$

2) $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}} = \sqrt{6 + 9 + 6\sqrt{6}} = \sqrt{6 + 6\sqrt{6} + 9} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2 * 3 * \sqrt{6} + 3^2} = \sqrt{(\sqrt{6} + 3)^2} = |\sqrt{6} + 3| = \sqrt{6} + 3$

3) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2 + 5 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{10} + 5} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2 * 5} + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2} = |\sqrt{2} + \sqrt{5}| = \sqrt{2} + \sqrt{5}$

571. Упростите выражение:
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$.

Решение:

$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} = \frac{1(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} + \frac{1(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} + \frac{1(\sqrt{4} - \sqrt{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3})(\sqrt{4} - \sqrt{3})} + \frac{1(\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4})(\sqrt{5} - \sqrt{4})} + ... + \frac{1(\sqrt{100} - \sqrt{99})}{(\sqrt{100} + \sqrt{99})(\sqrt{100} - \sqrt{99})} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} + \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4 - 3} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{5 - 4} + ... + \frac{\sqrt{100} - \sqrt{99}}{100 - 99} = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{4} + ... + \sqrt{100} - \sqrt{99} = -1 + 10 = 9$

572. Докажите, что:
$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{91} + \sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91} - 1}{2}$.

Решение:

$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{91} + \sqrt{89}} = \frac{1(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} + \frac{1(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{1(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} + ... + \frac{1(\sqrt{91} - \sqrt{89})}{(\sqrt{91} + \sqrt{89})(\sqrt{91} - \sqrt{89})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + ... + \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + ... + \sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{91}}{2} = \frac{\sqrt{91} - 1}{2}$

573. Докажите, что:
$\sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} * \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2$.

Решение:

$\sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} * \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}})(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}})} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{2}})^2} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{4 - 2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} * \sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \sqrt{2} * \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} * \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} * \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$

574. Упростите выражение:
1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}}$;
2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}}$.

Решение:

1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2 + \sqrt{8 + 4\sqrt{2} + 1}}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2} + \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \sqrt{10 + 8(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2} + 8} = \sqrt{2(5 + 4\sqrt{2} + 4)} = \sqrt{2} * \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{2} * \sqrt{8 + 4\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} * \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} * (2\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{4} + \sqrt{2} = 2 * 2 + \sqrt{2} = 4 + \sqrt{2}$

2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{12 + \sqrt{16 * 3} + 1}}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2}}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}} = \sqrt{22 + 6(\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3} + 6} = \sqrt{28 + 6\sqrt{3}} = \sqrt{27 + 6\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(3\sqrt{3} + 1)^2} = 3\sqrt{3} + 1$

575. Рабочий должен был изготовлять ежедневно по 12 деталей. Однако он изготовлял ежедневно по 15 деталей, и уже за 5 дней до окончания срока работы ему осталось изготовить 30 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Решение:

Пусть x (дней) − должен был работать рабочий по плану, тогда:
12x (деталей) − должен был изготовить рабочий;
x − 5 (дней) − работал рабочий фактически;
15(x − 5) (деталей) − изготовил рабочий фактически.
Так как, до окончания срока работы рабочему осталось изготовить 30 деталей, можно составить уравнение:
12x − 15(x − 5) = 30
12x − 15x + 75 = 30
−3x = 30 − 75
−3x = −45
x = 15 (дней) − должен был работать рабочий по плану, тогда:
12x = 12 * 15 = 180 (деталей) − должен был изготовить рабочий.
Ответ: 180 деталей

576. При распродаже цену на товар снизили на 20%. На сколько процентов нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной?

Решение:

Пусть x (руб.) − начальная цена товара, тогда:
x − 0,2x = 0,8x (руб.) − цена товара на распродаже;
$\frac{x}{0,8x} = \frac{1}{\frac{8}{10}} = \frac{10}{8} = 1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4} = 1,25$ (раза) − нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной;
(1,25 − 1) * 100% = 0,25 * 100% = на 25% − нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной.
Ответ: на 25%

577. Лодка проплыла 32 км по течению реки за 4 ч, а против течения − за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение:

1) 32 : 4 = 8 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
2) 32 : 8 = 4 (км/ч) − скорость лодки против течения реки;
3) 8 − 4 = 4 (км/ч) − удвоенная скорость течения реки;
4) 4 : 2 = 2 (км/ч) − скорость течения реки;
5) 8 − 2 = 6 (км/ч) − собственная скорость лодки.
Ответ: 6 км/ч − скорость лодки; 2 км/ч − скорость течения реки.

578. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля − в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде?

Решение:

Так как, Оля села в шестой вагон от хвоста поезда, то после вагона в который села Федя и Оля до хвоста поезда осталось
6 − 1 = 5 (вагонов)
Значит:
12 + (6 − 1) = 12 + 5 = 17 (вагонов) − было всего в поезде.
Ответ: 17 вагонов

579. Число a − положительное, а число b − отрицательное. Какое из данных выражений принимает наибольшее значение:
1) $a^2b$;
2) $-a^2b^2$;
3) $-ab^2$;
4) $ab$;
5) $-a^2b$?

Решение:

1) $a^2b < 0$, так как $a^2 > 0$, b < 0;
2) $-a^2b^2 < 0$, так как $-a^2 < 0$, $b^2 > 0$;
3) $-ab^2 < 0$, так как $-a < 0$, $b^2 > 0$;
4) $ab < 0$, так как a > 0, b < 0;
5) $-a^2b > 0$, так как $-a^2 < 0$, $b < 0$.
Ответ: любое положительное число больше отрицательного, а так как только пятое выражение положительное, значит оно принимает наибольшее значение.

144

Ответы к странице 144

№580. Известно, что в некотором классе без двоек учатся не менее 95,5% и не более 96,5% учеников. Какое наименьшее количество учеников может быть в этом классе?

Решение:

100% − 95,5% = 4,5% 
100% − 96,5% = 3,5%
Значит, более 4,5% и менее 3,5% учащихся класса составляют двоечники.
Наименьшее количество учеников в этом классе будет тогда, когда в классе будет всего 1 двоечник.
4,5% =  0,045
$1 : 0,045 = \frac{1000}{45} = \frac{200}{9} = 22\frac{2}{9}$ − количество учеников в классе больше этого числа.
3,5% =  0,035
$1 : 0,035 = \frac{1000}{35} = \frac{200}{7} = 28\frac{4}{7}$ − количество учеников в классе меньше этого числа.
Так как количество учеников в классе больше $22\frac{2}{9}$ и меньше $28\frac{4}{7}$,
значит, наименьшее количество учеников, которое может быть в этом классе - 23.
Ответ: 23 ученика.

147

Ответы к странице 147

§18. Функция y = √x и ее график

Вопросы

1. Какова область определения функции $y = \sqrt{x}$?

Ответ:

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ множество неотрицательных чисел.

2. Какова область значений функции $y = \sqrt{x}$?

Ответ:

Область значений функции $y = \sqrt{x}$ множество неотрицательных чисел.

3. Чему равен нуль функции $y = \sqrt{x}$?

Ответ:

При x = 0 функция равна 0.

4. В какой координатной четверти находится график функции $y = \sqrt{x}$?

Ответ:

График функции $y = \sqrt{x}$ находится в первой координатной четверти.

5. Какая фигура является графиком функции $y = \sqrt{x}$?

Ответ:

Графиком функции $y = \sqrt{x}$ является фигура, равна ветви параболы $y = x^2$.

6. Неотрицательные числа a и b таковы, что a > b. Сравните $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$.

Ответ:

Если a > b, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.

7. Известно, что $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Сравните числа a и b.

Ответ:

Если $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, то a < b.

Упражнения

581. Функция задана формулой $y = \sqrt{x}$. Заполните таблицу.

x 0,01 4 1600
y 9     11 1,5

Решение:

при x = 0,01:
$y = \sqrt{0,01} = 0,1$
при x = 4:
$y = \sqrt{4} = 2$
при y = 9:
$9 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 9^2$
x = 81
при y = 11:
$11 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 11^2$
x = 121
при y = 1,5:
$1,5 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 1,5^2$
x = 2,25
при x = 1600:
$y = \sqrt{1600} = 40$

Ответ:

x 0,01 4 81 121 2,25 1600
y 0,1   2 9   11   1,5    40

582. Функция задана формулой $y = \sqrt{x}$.
1) Чему равно значение функции, если значение аргумента равно:
0,16; 64; 1,44; 3600?
2) При каком значении аргумента значение функции равно:
0,2; 5; 120; −4?

Решение:

1) при x = 0,16:
$y = \sqrt{0,16} = 0,4$
при x = 64:
$y = \sqrt{64} = 8$
при x = 0,16:
$y = \sqrt{1,44} = 1,2$
при x = 3600:
$y = \sqrt{3600} = 60$

Ответ:
x 0,16 64 1,44 3600
y 0,4    8   1,2    60

2) 
при y = 0,2:
$0,2 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 0,2^2$
x = 0,04
при y = 5:
$5 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 5^2$
x = 25
при y = 120:
$120 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 120^2$
x = 14400
при y = 9:
$-4 = \sqrt{x}$
нет значений

Ответ:
x 0,04  25 14400 нет значений
y 0,2    5    120     −4

583. Не выполняя построения, определите, через какие из данных точек проходит график функции $y = \sqrt{x}$:
A(36; 6), B(4; −2), C(0,81; 0,9), D(−1; 1), E(42,25; 6,5).

Решение:

$y = \sqrt{x}$
A(36; 6)
$6 = \sqrt{36}$
6 = 6
график функции $y = \sqrt{x}$ проходит через точку A(36; 6)
B(4; −2)
$-2 = \sqrt{4}$
−2 ≠ 2
график функции $y = \sqrt{x}$ не проходит через точку B(4; −2)
C(0,81; 0,9)
$0,9 = \sqrt{0,81}$
0,9 = 0,9
график функции $y = \sqrt{x}$ проходит через точку C(0,81; 0,9)
D(−1; 1)
$1 = \sqrt{-1}$
не имеет смысла, значит график функции $y = \sqrt{x}$ не проходит через точку D(−1; 1)
E(42,25; 6,5)
$6,5 = \sqrt{42,25}$
6,5 = 6,5
график функции $y = \sqrt{x}$ проходит через точку E(42,25; 6,5)
Ответ: график функции проходит через точки A, C, E.

584. Через какую из данных точек проходит график функции $y = \sqrt{x}$:
1) A(16; 4);
2) B(49; −7);
3) C(3,6; 0,6);
4) D(−36; 6)?

Решение:

$y = \sqrt{x}$
1)
A(16; 4)
$4 = \sqrt{16}$
4 = 4
график функции $y = \sqrt{x}$ проходит через точку A(16; 4)
2)
B(49; −7)
$-7 = \sqrt{49}$
−7 ≠ 7
график функции $y = \sqrt{x}$ не проходит через точку B(49; −7)
3)
C(3,6; 0,6)
$0,6 = \sqrt{3,6}$
$0,6 ≠ \sqrt{3,6}$
график функции $y = \sqrt{x}$ не проходит через точку C(3,6; 0,6)
4)
D(−36; 6)
$6 = \sqrt{-36}$
не имеет смысла, значит график функции $y = \sqrt{x}$ не проходит через точку D(−36; 6)
Ответ: график функции $y = \sqrt{x}$ проходит только через точку A(16; 4)

585. Сравните числа:
1) $\sqrt{86}$ и $\sqrt{78}$;
2) $\sqrt{1,4}$ и $\sqrt{1,6}$;
3) 5 и $\sqrt{26}$;
4) $\sqrt{\frac{6}{7}}$ и 1;
5) −7 и $-\sqrt{48}$;
6) $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$;
7) $\sqrt{41}$ и $2\sqrt{10}$;
8) $0,6\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{1,1}$;
9) $\sqrt{75}$ и $4\sqrt{3}$.

Решение:

1) 86 > 78, значит:
$\sqrt{86} > \sqrt{78}$

2) 1,4 < 1,6, значит:
$\sqrt{1,4} < \sqrt{1,6}$

3) $5 = \sqrt{25}$
25 < 26, значит:
$5 < \sqrt{26}$

4) $1 = \sqrt{1}$
$\sqrt{\frac{6}{7}} < \sqrt{1}$, значит:
$\sqrt{\frac{6}{7}} < 1$

5) $-7 = -\sqrt{49}$
−49 < −48, значит:
$-7 < -\sqrt{48}$

6) $3\sqrt{2} = \sqrt{9 * 2} = \sqrt{18}$
$2\sqrt{3} = \sqrt{4 * 3} = \sqrt{12}$
18 > 12, значит:
$3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$

7) $2\sqrt{10} = \sqrt{4 * 10} = \sqrt{40}$
$\sqrt{41} > \sqrt{40}$, значит:
$\sqrt{41} > 2\sqrt{10}$

8) $0,6\sqrt{3\frac{1}{3}} = \sqrt{0,36 * \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{36}{100} * \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{12}{10}} = \sqrt{1,2}$
$\sqrt{1,2} > \sqrt{1,1}$, значит:
$0,6\sqrt{3\frac{1}{3}} > \sqrt{1,1}$

9) $4\sqrt{3} = \sqrt{16 * 3} = \sqrt{48}$
$\sqrt{75} > \sqrt{48}$, значит:
$\sqrt{75} > 4\sqrt{3}$

148

Ответы к странице 148

586. Сравните числа:
1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$;
2) 9 и $\sqrt{82}$;
3) $\sqrt{33}$ и 6;
4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$;
5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$;
6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Решение:

1) $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$, значит:
$\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$

2) $9 = \sqrt{81}$
$\sqrt{81} < \sqrt{82}$, значит:
$9 < \sqrt{82}$

3) $6 = \sqrt{36}$
$\sqrt{33} < \sqrt{36}$, значит:
$\sqrt{33} < 6$

4) $3\sqrt{5} = \sqrt{9 * 5} = \sqrt{45}$
$\sqrt{45} > \sqrt{42}$, значит:
$3\sqrt{5} > \sqrt{42}$

5) $2\sqrt{7} = \sqrt{4 * 7} = \sqrt{28}$
$\sqrt{30} > \sqrt{28}$, значит:
$\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$

6) $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{49 * \frac{1}{7}} = \sqrt{7}$
$\sqrt{\frac{1}{4} * 20} = \sqrt{5}$
$\sqrt{7} > \sqrt{5}$, значит:
$7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$

587. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой:
1) y = 1;
2) y = 0,8;
3) y = −6;
4) y = 500.

Решение:

1) $y = \sqrt{x}$
y = 1
$1 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 1^2$
x = 1
Ответ: точка пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой имеет координаты (1; 1)

2) $y = \sqrt{x}$
y = 0,8
$0,8 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 0,8^2$
x = 0,64
Ответ: точка пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой имеет координаты (0,64; 0,8)

3) $y = \sqrt{x}$
y = −6
$-6 = \sqrt{x}$
нет решений
Ответ: график функции $y = \sqrt{x}$ и прямая не имеет точек пересечения

4) $y = \sqrt{x}$
y = 500
$500 = \sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^2 = 500^2$
x = 250000
Ответ: точка пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой имеет координаты (250000; 500)

588. Запишите в порядке убывания числа:
$8; \sqrt{62}; 7,9; \sqrt{65}; 8,2$.

Решение:

$8 = \sqrt{64}$
$7,9 = \sqrt{62,41}$
$8,2 = \sqrt{67,24}$
67,24 > 65 > 64 > 62,41 > 62, значит:
$8,2 > \sqrt{65} > 8 > 7,9 > \sqrt{62}$

589. Запишите в порядке возрастания числа:
$\sqrt{38}; 6,1; 6; \sqrt{35}; 5,9$.

Решение:

$6,1 = \sqrt{6,1^2} = \sqrt{37,21}$
$6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$
$5,9 = \sqrt{5,9^2} = \sqrt{34,81}$
34,81 < 35 < 36 < 37,21 < 38, значит:
$5,9 < \sqrt{35} < 6 < 6,1 < \sqrt{38}$

590. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:
1) $\sqrt{2}$;
2) $\sqrt{3}$;
3) $\sqrt{5}$;
4) $\sqrt{7}$;
5) $\sqrt{13}$;
6) $\sqrt{0,98}$;
7) $\sqrt{59}$;
8) $-\sqrt{115}$;
9) $-\sqrt{76,19}$?

Решение:

1) $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$
$1 < \sqrt{2} < 2$
Ответ: между числами 1 и 2

2) $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$
$1 < \sqrt{3} < 2$
Ответ: между числами 1 и 2

3) $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$
$2 < \sqrt{3} < 3$
Ответ: между числами 2 и 3

4) $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$
$2 < \sqrt{7} < 3$
Ответ: между числами 2 и 3

5) $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$
$3 < \sqrt{13} < 4$
Ответ: между числами 3 и 4

6) $\sqrt{0} < \sqrt{0,98} < \sqrt{1}$
$0 < \sqrt{0,98} < 1$
Ответ: между числами 0 и 1

7) $\sqrt{49} < \sqrt{59} < \sqrt{64}$
$7 < \sqrt{59} < 8$
Ответ: между числами 7 и 8

8) $-\sqrt{121} < -\sqrt{115} < -\sqrt{100}$
$-11 < -\sqrt{115} < -10$
Ответ: между числами −11 и −10

9) $-\sqrt{81} < -\sqrt{76,19} < -\sqrt{64}$
$-9 < -\sqrt{76,19} < -8$
Ответ: между числами −9 и −8

591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:
1) $\sqrt{6}$;
2) $\sqrt{19}$;
3) $\sqrt{29}$;
4) $\sqrt{160}$;
5) $-\sqrt{86}$;
6) $-\sqrt{30,5}$?

Решение:

1) $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$
$2 < \sqrt{2} < 3$
Ответ: между числами 2 и 3

2) $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$
$4 < \sqrt{19} < 5$
Ответ: между числами 4 и 5

3) $\sqrt{25} < \sqrt{29} < \sqrt{36}$
$5 < \sqrt{29} < 6$
Ответ: между числами 5 и 6

4) $\sqrt{160}$
$\sqrt{144} < \sqrt{160} < \sqrt{169}$
$12 < \sqrt{160} < 13$
Ответ: между числами 12 и 13

5) $-\sqrt{100} < -\sqrt{86} < -\sqrt{81}$
$-10 < -\sqrt{86} < -9$
Ответ: между числами −10 и −9

6) $-\sqrt{30,5}$
$-\sqrt{36} < -\sqrt{30,5} < -\sqrt{25}$
$-6 < -\sqrt{30,5} < -5$
Ответ: между числами −6 и −5

592. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:
1) 3 и $\sqrt{68}$;
2) $\sqrt{7}$ и $\sqrt{77}$;
3) $-\sqrt{31}$ и −2,3;
4) $-\sqrt{42}$ и 2,8.

Решение:

1) $\sqrt{68} < \sqrt{81}$
$\sqrt{68} < 9$
3 < x < 9
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8.

2) $\sqrt{4} < \sqrt{7}$
$2 < \sqrt{7}$
$\sqrt{77} < \sqrt{81}$
$\sqrt{77} < 9$
2 < x < 9
Ответ: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3) $-\sqrt{31}$ и −2,3
$-\sqrt{31} < -\sqrt{36}$
$-\sqrt{31} < -6$
−6 < x < −2,3
Ответ: −5, −4, −3.

4) $-\sqrt{42}$ и 2,8
$-\sqrt{49} < -\sqrt{42}$
$-7 < -\sqrt{42}$
−7 < x < 2,8
Ответ: −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2.

593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:
1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{13}$;
2) $\sqrt{10}$ и $\sqrt{90}$;
3) $-\sqrt{145}$ и $-\sqrt{47}$.

Решение:

1) $\sqrt{1} < \sqrt{3}$
$1 < \sqrt{3}$
$\sqrt{13} < \sqrt{16}$
$\sqrt{13} < 4$
1 < x < 4
Ответ: 2, 3.

2) $\sqrt{9} < \sqrt{10}$
$3 < \sqrt{10}$
$\sqrt{90} < \sqrt{100}$
$\sqrt{90} < 10$
3 < x < 10
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3) $-\sqrt{169} < -\sqrt{145}$
$-13 < -\sqrt{145}$
$-\sqrt{47} < -\sqrt{36}$
$-\sqrt{47} < -6$
−13 < x < −6
Ответ: −12, −11, −10, −9, −8, −7.

594. При каких значениях x выполняется неравенство:
1) $\sqrt{x} ≥ 2$;
2) $\sqrt{x} < 4$;
3) $6 ≤ \sqrt{x} < 9$?

Решение:

1) $\sqrt{x} ≥ 2$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x ≥ 2^2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x ≥ 4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при x ≥ 4

2) $\sqrt{x} < 4$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x < 4^2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x < 16 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 0 ≤ x < 16

3) $6 ≤ \sqrt{x} < 9$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 6^2 &\\ x < 9^2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 36 &\\ x < 81 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 36 ≤ x < 81

595. При каких значениях x выполняется неравенство:
1) $\sqrt{x} ≤ 8$;
2) $\sqrt{x} > 7$;
3) $10 ≤ \sqrt{x} ≤ 20$?

Решение:

1) $\sqrt{x} ≤ 8$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x ≤ 8^2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x ≤ 64 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 0 ≤ x ≤ 64

2) $\sqrt{x} > 7$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x > 7^2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 0 &\\ x > 49 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при x > 49

3) $10 ≤ \sqrt{x} ≤ 20$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 10^2 &\\ x ≤ 20^2& \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≥ 100 &\\ x ≤ 400 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 100 ≤ x ≤ 400

596. Решите графически уравнение:
1) $\sqrt{x} = x$;
2) $\sqrt{x} = x^2$;
3) $\sqrt{x} = x + 2$;
4) $\sqrt{x} = 0,5x + 0,5$;
5) $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$;
6) $\sqrt{x} = 1,5 - 0,5x$.

Решение:

1) $\sqrt{x} = x$
$y = \sqrt{x}$

y = x


Ответ: x = 0 и x = 1

2) $\sqrt{x} = x^2$
$y = \sqrt{x}$

$y = x^2$


Ответ: x = 0 и x = 1

3) $\sqrt{x} = x + 2$
$\sqrt{x} = x$

$y = x + 2$


Ответ: нет корней

4) $\sqrt{x} = 0,5x + 0,5$
$\sqrt{x} = x$

y = 0,5x + 0,5


Ответ: x = 1

5) $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$
$\sqrt{x} = x$

$y = \frac{8}{x}$


Ответ: x = 4

6) $\sqrt{x} = 1,5 - 0,5x$
$\sqrt{x} = x$

y = 1,5 − 0,5x


Ответ: x = 1

597. Решите графически уравнение:
1) $\sqrt{x} = -x - 1$;
2) $\sqrt{x} = 2 - x$;
3) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$.

Решение:

1) $\sqrt{x} = -x - 1$
$y = \sqrt{x}$

y = −x − 1


Ответ: нет корней

2) $\sqrt{x} = 2 - x$
$y = \sqrt{x}$

y = 2 − x


Ответ: x = 1

3) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$
$y = \sqrt{x}$

$y = \frac{1}{x}$


Ответ: x = 1

149

Ответы к странице 149

598. Упростите выражение:
1) $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$;
2) $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2}$;
3) $\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2}$;
4) $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$.

Решение:

1) $1 = \sqrt{1}$
$\sqrt{1} < \sqrt{2}$
$1 < \sqrt{2}$
тогда:
$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

2) $\sqrt{6} < \sqrt{7}$
тогда:
$\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{7}| = -\sqrt{6} + \sqrt{7} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$

3) $2\sqrt{5} = \sqrt{4 * 5} = \sqrt{20}$
$3 = \sqrt{9}$
$\sqrt{20} > \sqrt{9}$
$2\sqrt{5} > 3$
тогда:
$\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2} = |2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$

4) $2 = \sqrt{4}$
$\sqrt{3} < \sqrt{4}$
$\sqrt{3} < 2$
$3 = \sqrt{9}$
$\sqrt{9} > \sqrt{3}$
$3 > \sqrt{3}$
тогда:
$\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{3} - 2| + |3 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 5 - 2\sqrt{3}$

599. Упростите выражение:
1) $\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2}$;
2) $\sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2}$.

Решение:

1) $4 = \sqrt{16}$
$\sqrt{5} < \sqrt{16}$
$\sqrt{5} < 4$
тогда:
$\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2} = |\sqrt{5} - 4| = 4 - \sqrt{5}$

2) $3 = \sqrt{9}$
$\sqrt{8} < \sqrt{9}$
$\sqrt{8} < 3$
$\sqrt{2} < \sqrt{9}$
$\sqrt{2} < 3$
тогда:
$\sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2} = |\sqrt{8} - 3| - |\sqrt{2} - 3| = 3 - \sqrt{8} - (3 - \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{8} - 3 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{8} = \sqrt{2} - \sqrt{4 * 2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

600. Решите уравнение $\sqrt{x} = -x^2$.

Решение:

$\sqrt{x} = -x^2$
ОДЗ: x ≥ 0
$-x^2 ≥ 0$
$x^2 ≤ 0$
x = 0
Ответ: x = 0

601. Дана функция
$ƒ(x) = \begin{equation*} \begin{cases} \frac{4}{x}, если\;x < 0 &\\ \sqrt{x}, если\;x ≥ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
1) Найдите: ƒ(−8), ƒ(0), ƒ(9).
2) Постройте график данной функции.

Решение:

1)
$ƒ(x) = \begin{equation*} \begin{cases} \frac{4}{x}, если\;x < 0 &\\ \sqrt{x}, если\;x ≥ 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$ƒ(-8) = \frac{4}{-8} = -0,5$
$ƒ(0) = \sqrt{0} = 0$
$ƒ(9) = \sqrt{9} = 3$
2)
$y = \frac{4}{x}$, если x < 0

$y = \sqrt{x}$, если x ≥ 0

602. Дана функция
$ƒ(x) = \begin{equation*} \begin{cases} x^2, если\;x ≤ 1 &\\ \sqrt{x}, если\;x > 1 & \end{cases} \end{equation*}$
1) Найдите: ƒ(−2), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(4).
2) Постройте график данной функции.

Решение:

1)
$ƒ(x) = \begin{equation*} \begin{cases} x^2, если\;x ≤ 1 &\\ \sqrt{x}, если\;x > 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$ƒ(-2) = (-2)^2 = 4$
$ƒ(0) = 0^2 = 0$
$ƒ(1) = 1^2 = 1$
$ƒ(4) = \sqrt{4} = 2$
2)
$y = x^2$, если x ≤ 1

$y = \sqrt{x}$, если x > 1

603. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = \sqrt{-x}$. Постройте график данной функции.

Решение:

$y = \sqrt{-x}$
Область определения:
−x ≥ 0
x ≤ 0
Область значений:
x ≥ 0
Нули функции:
$\sqrt{-x} = 0$
−x = 0
x = 0

604. Постройте график функции $y = \frac{x}{\sqrt{x}}$.

Решение:

$y = \frac{x}{\sqrt{x}}$
Область определения:
x > 0
Область значений:
y > 0
$y = \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$

605. Упростите выражение:
1) $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$;
2) $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$;
3) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$;
4) $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}}$.

Решение:

1) $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{1 + 7 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{1^2 - 2 * 1 * \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |1 - \sqrt{7}| = -1 + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 1$

2) $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3 * 2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

3) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{9 + 3 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{3^2 - 2 * 3 * \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$

4) $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{36 + 2 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{6^2 - 2 * 6 * \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 - \sqrt{2})^2} = |6 - \sqrt{2}| = 6 - \sqrt{2}$

606. Упростите выражение:
1) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$;
2) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$;
3) $\sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$.

Решение:

1) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{4 + 5 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{2^2 - 2 * 2 * \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = -2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2$

2) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5 + 2 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5 * 2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}| = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

3) $\sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = \sqrt{25+ 12 - 20\sqrt{3}} = \sqrt{5^2 - 2 * 5 * 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{(5 - 2\sqrt{3})^2} = |5 - 2\sqrt{3}| = 5 - 2\sqrt{3}$

607. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от значения a?

Решение:

$\sqrt{x} = a - x$
$\sqrt{x} + x = a$
$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x}) = a$
при a = 0:
$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x}) = 0$
$\sqrt{x} = 0$
$x = 0$
или
$1 + \sqrt{x} = 0$
$\sqrt{x} = -1$
при a < 0:
еcли a < 0, то $\sqrt{x} + x < 0$, что невозможно, так как x ≥ 0, поэтому при a < 0 нет корней.
при a > 0:
если a > 0, то уравнение имеет 1 корень.
Ответ:
при a = 0: x = 0;
при a < 0: корней нет;
при a > 0: один корень.

608. Упростите выражение
$\sqrt{(\sqrt{a} + 1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a} - 2)^2 + 8\sqrt{a}}$.

Решение:

$\sqrt{(\sqrt{a} + 1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a} - 2)^2 + 8\sqrt{a}} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} + 1^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a})^2 - 2 * 2\sqrt{a} + 2^2 + 8\sqrt{a}} = \sqrt{a + 2\sqrt{a} + 1 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{a - 4\sqrt{a} + 4 + 8\sqrt{a}} = \sqrt{a - 2\sqrt{a} + 1} + \sqrt{a + 4\sqrt{a} + 4} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} + 1^2} + \sqrt{(\sqrt{a})^2 + 2 * 2\sqrt{a} + 2^2} = \sqrt{(\sqrt{a} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a} + 2)^2} = |\sqrt{a} - 1| + |\sqrt{a} + 2|$
т.к. a ≥ 0, то $\sqrt{a} + 2 > 0$
1)
$\sqrt{a} - 1 ≥ 0$
$\sqrt{a} ≥ 0$ и a ≥ 1
$\sqrt{a} + 2 ≥ 0$
$|\sqrt{a} - 1| + |\sqrt{a} + 2| = \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 2 = 2\sqrt{a} + 1$
2)
если $\sqrt{a} - 1 < 0$, то есть $\sqrt{a} < 1, 0 < a < 1$
$|\sqrt{a} - 1| + |\sqrt{a} + 2| = -\sqrt{a} + 1 + \sqrt{a} + 2 = 3$
Ответ:
при a ≥ 1 выражение равно $2\sqrt{a} + 1$;
при 0 < a < 1 значение выражения равно 3.

609. Упростите выражение
$\sqrt{(\sqrt{a} - 6)^2 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{(\sqrt{a} + 6)^2 - 24\sqrt{a}}$.

Решение:

$\sqrt{(\sqrt{a} - 6)^2 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{(\sqrt{a} + 6)^2 - 24\sqrt{a}} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 - 2 * 6\sqrt{a} + 6^2 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{(\sqrt{a})^2 + 2 * 6\sqrt{a} + 6^2 - 24\sqrt{a}} = \sqrt{a - 12\sqrt{a} + 36 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{a + 12\sqrt{a} + 36 - 24\sqrt{a}} = \sqrt{a + 12\sqrt{a} + 36} - \sqrt{a - 12\sqrt{a} + 36} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + 2 * 6\sqrt{a} + 6^2} - \sqrt{(\sqrt{a})^2 - 2 * 6\sqrt{a} + 6^2} = \sqrt{(\sqrt{a} + 6)^2} - \sqrt{(\sqrt{a} - 6)^2} = |\sqrt{a} + 6| - |\sqrt{a} - 6|$
т.к. a ≥ 0, тогда $\sqrt{a} + 6 > 0$
1)
$\sqrt{a} - 6 ≥ 0$
$\sqrt{a} ≥ 6$
a ≥ 36
$|\sqrt{a} + 6| - |\sqrt{a} - 6| = \sqrt{a} + 6 - \sqrt{a} + 6 = 12$
2)
$\sqrt{a} - 6 < 0$
$\sqrt{a} < 6$
0 < a < 36
$|\sqrt{a} + 6| - |\sqrt{a} - 6| = \sqrt{a} + 6 - (-\sqrt{a} + 6) = \sqrt{a} + 6 + \sqrt{a} - 6 = 2\sqrt{a}$
Ответ:
при a ≥ 36 значение выражения равно 12;
при 0 < a < 36 значение выражения равно $2\sqrt{a}$.

150

Ответы к странице 150

610. В одном контейнере было 90 кг яблок, а в другом − 75 кг. После того как из первого контейнера взяли в 3 раза больше яблок, чем из второго, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором. Сколько килограммов яблок взяли из первого контейнера?

Решение:

Пусть x (кг) − яблок взяли из второго контейнера, тогда:
3x (кг) − яблок взяли из первого контейнера;
90 − 3x (кг) − яблок осталось в первом контейнере;
75 − x (кг) − яблок осталось во втором контейнере.
Так как, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором, можно составить уравнение:
2(90 − 3x) = 75 − x
180 − 6x = 75 − x
−6x + x = 75 − 180
−5x = −105
x = 21 (кг) − яблок взяли из второго контейнера, тогда:
3x = 3 * 21 = 63 (кг) − яблок взяли из первого контейнера.
Ответ: 63 кг

611. От пристани против течения реки отплыла моторная лодка, собственная скорость которой равна 12 км/ч. Через 40 мин после отправления лодки вышел из строя мотор, и лодку течением реки через 2 ч принесло к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость течения реки, тогда:
12 − x (км/ч) − скорость лодки против течения;
40 мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч
$\frac{2}{3}(12 - x)$ (км) − прошла лодка против течения реки;
2x (км) − прошла лодка по течению.
Так как, против течения и против течения лодка прошла одно и то же расстояние, можно составить уравнение:
$\frac{2}{3}(12 - x) = 2x$
$\frac{2}{3} * 12 - \frac{2}{3}x - 2x = 0$ |* 3
2 * 12 − 2x − 6x = 0
24 − 8x = 0
8x = 24
x = 3 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 3 км/ч

612. Докажите тождество:
1) $(\frac{a - 2b}{a^2 + 2ab} - \frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a + 2b}{(2b - a)^2}) : \frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2} = \frac{2b}{a^2}$;
2) $(\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{a^2 + 6a + 9}) * \frac{a^2 - 9}{a + 1} - \frac{a^2 - 9a}{a + 3} = a$.

Решение:

1) $(\frac{a - 2b}{a^2 + 2ab} - \frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a + 2b}{(2b - a)^2}) : \frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{1}{(a - 2b)(a + 2b)} : \frac{a + 2b}{(a - 2b)^2}) : \frac{a(a - 2b)}{(a + 2b)^2} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{1}{(a - 2b)(a + 2b)} * \frac{(a - 2b)^2}{a + 2b}) * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{1}{a + 2b} * \frac{a - 2b}{a + 2b}) * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{a - 2b}{(a + 2b)^2}) * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = \frac{(a - 2b)(a + 2b) - a(a - 2b)}{a(a + 2b)^2} * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = \frac{a^2 - 4b^2 - a^2 + 2ab}{a} * \frac{1}{a(a - 2b)} = \frac{2ab - 4b^2}{a} * \frac{1}{a(a - 2b)} = \frac{2b(a - 2b)}{a} * \frac{1}{a(a - 2b)} = \frac{2b}{a} * \frac{1}{a} = \frac{2b}{a^2}$

2) $(\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{a^2 + 6a + 9}) * \frac{a^2 - 9}{a + 1} - \frac{a^2 - 9a}{a + 3} = (\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{(a + 3)^2}) * \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a(a + 3) - 4a}{(a + 3)^2} * \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a^2 + 6a - 4a}{a + 3} * \frac{a - 3}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a^2 + 2a}{a + 3} * \frac{a - 3}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a(a + 1)}{a + 3} * \frac{a - 3}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a}{a + 3} * \frac{a - 3}{1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a(a - 3)}{a + 3} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a^2 - 6a - a^2 + 9a}{a + 3} = \frac{a^2 + 3a}{a + 3} = \frac{a(a + 3)}{a + 3} = a$

613. Расстояние между двумя городами легковая машина проезжает за 2 ч, а грузовая − за 3 ч. Через какое время после начала движения они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение:

Пусть x (км) − расстояние между городами, тогда:
$\frac{x}{2}$ (км/ч) − скорость легковой машины;
$\frac{x}{3}$ (км/ч) − скорость грузовой машины;
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x + 2x}{6} = \frac{5x}{6}$ (км/ч) − скорость сближения машин;
$x : \frac{5x}{6} = x * \frac{6}{5x} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ (ч) = $1\frac{12}{60}$ (ч) = 1 ч 12 мин − время, через которое встретятся машины.
Ответ: через 1 ч 12 минут

614. Решите уравнение:
1) $x^2 = 0$;
2) $x^2 - 1 = 0$;
3) $x^2 + 5x = 0$;
4) $-3x^2 + 12 = 0$;
5) $5x^2 - 6x = 0$;
6) $0,2x^2 + 2 = 0$;
7) $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$;
8) $x^2 - 2x + 1 = 0$;
9) $9x^2 + 30x + 25 = 0$.

Решение:

1) $x^2 = 0$
x = 0
Ответ: x = 0

2) $x^2 - 1 = 0$
(x − 1)(x + 1) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 1 = 0
x = −1
Ответ: x = −1 и x = 1

3) $x^2 + 5x = 0$
x(x + 5) = 0
x = 0
или
x + 5 = 0
x = −5
Ответ: x = −5 и x = 0

4) $-3x^2 + 12 = 0$
$-3(x^2 - 4) = 0$
$x^2 - 4 = 0$
(x − 2)(x + 2) = 0
x − 2 = 0
x = 2
или
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: x = −2 и x = 2

5) $5x^2 - 6x = 0$
x(5x − 6) = 0
x = 0
или
5x − 6 = 0
5x = 6
$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$
Ответ: x = 0 или $x = 1\frac{1}{5}$

6) $0,2x^2 + 2 = 0$
$0,2x^2 = -2$
$x^2 = -10$ − нет корней
Ответ: нет корней

7) $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$ |* 6
$x^2 - 5x = 0$
x(x − 5) = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
Ответ: x = 0 и x = 5

8) $x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: x = 1

9) $9x^2 + 30x + 25 = 0$
$(3x + 5)^2 = 0$
3x + 5 = 0
3x = −5
$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -1\frac{2}{3}$

№615. Натуральные числа от 1 до 37 записаны в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится нацело на следующее за ними число. Какое число записано на третьем месте, если на первом месте записано число 37, а на втором − 1?

Решение:

37 + 1 = 38, значит на третьем месте будет стоять один из делителей числа 38: это 1, 2, 19 или 38.
Число 1 не подходит, так как оно уже записано на втором месте;
число 38 − не подходит, так как оно больше 37.
Выбор между 19 и 2.
Найдем сумму первых 37 натуральных чисел:
1 + 2 + ... + 37 = (1 + 36) + (2 + 35) + ... + (18 + 19) + 37 = 37 * 19.
Так как числа 37 и 19 простые, значит на 37−ом месте может стоять либо 19, либо 37. Но так как, число 37 стоит на первом месте, значит на 37−ом месте стоит число 19.
Значит, на третьем месте стоит 2.
Ответ: 2

153-154

Ответы к странице 153-154

Задание №4 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Какое из данных утверждений неверно?
А) −5 − целое число;
Б) −5 − рациональное число;
В) −5 − иррациональное число;
Г) −5 − действительное число.

Решение:

Ответ: В) −5 − иррациональное число

2. Какое из чисел является иррациональным?
А) $\sqrt{4}$
Б) $\sqrt{0,4}$
В) $\sqrt{0,04}$
Г) $\sqrt{400}$

Решение:

А) $\sqrt{4} = 2$
Б) $\sqrt{0,4} = 0,632...$
В) $\sqrt{0,04} = 0,2$
Г) $\sqrt{400} = 20$
Ответ: Б) $\sqrt{0,4}$

3. Графиком какой из функций является парабола?
А) y = 2x
Б) $y = x^2$
В) $y = \frac{2}{x}$
Г) $y = \frac{x}{2}$

Решение:

Ответ:
Б) $y = x^2$

4. На каком из рисунков изображен график функции $y = \sqrt{x}$?

Решение:

Ответ: В)

5. Какое из данных выражений не имеет смысла?
А) $\sqrt{2}$
Б) $-\sqrt{2}$
В) $\sqrt{-2}$
Г) $\sqrt{(-2)^2}$

Решение:

Ответ: В) $\sqrt{-2}$

6. Вычислите значение выражения $\sqrt{7x - 3}$ при x = 4.
А) 5
Б) −5
В) 25
Г) −25

Решение:

$\sqrt{7x - 3}$
при x = 4:
$\sqrt{7x - 3} = \sqrt{7 * 4 - 3} = \sqrt{28 - 3} = \sqrt{25} = 5$
Ответ: А) 5

7. Чему равно значение выражения $\sqrt{36 * 0,81}$?
А) 6,9
Б) 54
В) 5,4
Г) 0,54

Решение:

$\sqrt{36 * 0,81} = \sqrt{36} * \sqrt{0,81} = 6 * 0,9 = 5,4$
Ответ: В) 5,4

8. Найдите значение выражения $(\frac{1}{5}\sqrt{10})^2$.
А) 2
Б) 4
В) 2,5
Г) 0,4

Решение:

$(\frac{1}{5}\sqrt{10})^2 = (\frac{1}{5})^2 * (\sqrt{10})^2 = \frac{1}{25} * 10 = \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$
Ответ: Г) 0,4

9. Упростите выражение $\sqrt{9a} - \sqrt{16a} + \sqrt{64a}$.
А) $15\sqrt{a}$
Б) 15a
В) $7\sqrt{a}$
Г) 7a

Решение:

$\sqrt{9a} - \sqrt{16a} + \sqrt{64a} = \sqrt{9} * \sqrt{a} - \sqrt{16} * \sqrt{a} + \sqrt{64} * \sqrt{a} = 3\sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 8\sqrt{a} = 7\sqrt{a}$
Ответ: В) $7\sqrt{a}$

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{12}{\sqrt{2}}$.
А) $\sqrt{2}$
Б) $4\sqrt{2}$
В) $6\sqrt{2}$
Г) $10\sqrt{2}$

Решение:

$\frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12 * \sqrt{2}}{\sqrt{2} * \sqrt{2}} = \frac{12 * \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$
Ответ: В) $6\sqrt{2}$

11. Сократите дробь $\frac{a - 2}{a - 2\sqrt{2a} + 2}$.
А) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}}$
Б) $\frac{a + 2}{a - 2}$
В) 1
Г) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{2}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}$

Решение:

$\frac{a - 2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{2a} + (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{2})(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}}$

12. Упростите выражение $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} + 1)^2 - \sqrt{20}$.
А) 15
Б) 5
В) $10 - \sqrt{5}$
Г) $10 + 5\sqrt{5}$

Решение:

$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} + 1)^2 - \sqrt{20} = 2^2 - ( \sqrt{5})^2 + ( \sqrt{5})^2 + 2 \sqrt{5} + 1^2 - \sqrt{4 * 5} = 4 - 5 + 5 + 2 \sqrt{5} + 1 - 2\sqrt{5} = 5$
Ответ: Б) 5

159

Ответы к странице 159

ГЛАВА 3. Квадратные уравнения

§19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Вопросы

1. Какое уравнение называют линейным?

Ответ:

Уравнения вида ax = b, где x − переменная, a и b − некоторые числа называется линейным уравнением.

2. Какое уравнение называют уравнением первой степени?

Ответ:

Если a ≠ 0, то уравнение ax = b называют уравнением первой степени.

3. Приведите пример линейного уравнения, являющегося уравнением первой степени, и пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени.

Ответ:

Линейные уравнения первой степени:
2x = 5
18x = 3
7x = 0.

Линейные уравнения, которые не являются уравнениями первой степени:
0x = 0
0x = 2
0x = −15.

4. Какое уравнение называют квадратным?

Ответ:

Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где x − переменная, a, b, c − некоторые числа, причем a ≠ 0.

5. Как называют коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

Ответ:

Числa a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения. Число a называют первым или старшим коэффициентом, число b − вторым коэффициентом, число c − свободным членом.

6. Какое квадратное уравнение называют приведенным?

Ответ:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

7. Какое квадратное уравнение называют неполным?

Ответ:

Если в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

8. Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Какие корни имеет уравнение каждого вида?

Ответ:

Существуют три вида неполных квадратных уравнений:
1) при b = c = 0 имеем: $ax^2 = 0$, которое имеет корни:
x = 0;
2) при c = 0 и b ≠ 0 имеем: $ax^2 + bx = 0$, которое имеет корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{b}{a}$;
3) при c = 0 и b ≠ 0 имеем: $ax^2 + bx = 0$.
Если $\frac{c}{a} < 0$, то корни: $x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$, $x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

160

Ответы к странице 160

Упражнения

616. Укажите среди данных уравнений квадратные и назовите, чему равны старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член каждого из них:
1) x = 0;
2) $x^2 = 0$;
3) $x^2 + x = 0$;
4) $x^2 + 1 = 0$;
5) $x^2 - 4x + 2 = 0$;
6) $3x^3 - x^2 + 6 = 0$;
7) $-2x^2 + 7x - 8 = 0$;
8) $x^3 - x - 9 = 0$;
9) $6 - x^2 + 4x = 0$;
10) $-x^2 - 2x + 3 = 0$.

Решение:

Квадратные уравнения:
2) $x^2 = 0$
старший коэффициент: a = 1;
второй коэффициент: b = 0;
свободный член: c = 0.

3) $x^2 + x = 0$
старший коэффициент: a = 1;
второй коэффициент: b = 1;
свободный член: c = 0.

4) $x^2 + 1 = 0$
старший коэффициент: a = 1;
второй коэффициент: b = 0;
свободный член: c = 1.

5) $x^2 - 4x + 2 = 0$
старший коэффициент: a = 1;
второй коэффициент: b = −4;
свободный член: c = 2.

7) $-2x^2 + 7x - 8 = 0$
старший коэффициент: a = −2;
второй коэффициент: b = 7;
свободный член: c = −8.

9) $6 - x^2 + 4x = 0$
старший коэффициент: a = −1;
второй коэффициент: b = 4;
свободный член: c = 6.

10) $-x^2 - 2x + 3 = 0$.
старший коэффициент: a = −1;
второй коэффициент: b = −2;
свободный член: c = 3.

617. Составьте квадратное уравнение, в котором:
1) старший коэффициент равен 6, второй коэффициент равен 7, а свободный член равен 2;
2) старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен −8, а свободный член равен $-\frac{1}{3}$;
3) старший коэффициент равен −0,5, второй коэффициент равен 0, а свободный член равен $2\frac{3}{7}$;
4) старший коэффициент равен 7,2, второй коэффициент равен −2, а свободный член равен 0.

Решение:

1) a = 6; b = 7; c = 2.
$6x^2 + 7x + 2 = 0$

2) $a = 1; b = -8; c = -\frac{1}{3}$.
$x^2 - 8x - \frac{1}{3} = 0$

3) $a = -0,5; b = 0; c = 2\frac{3}{7}$.
$-0,5x^2 + 2\frac{3}{7} = 0$

4) a = 7,2; b = −2; c = 0.
$7,2x^2 - 2x = 0$

618. Составьте квадратное уравнение, в котором:
1) старший коэффициент равен −1, второй коэффициент равен −2, а свободный член равен 1,6;
2) старший коэффициент и свободный член равны 2, а второй коэффициент равен 0.

Решение:

1) a = −1; b = −2; c = 1,6.
$-x^2 - 2x + 1,6 = 0$

2) a = 2; b = 0; c = 2.
$2x^2 + 2 = 0$

619. Представьте данное уравнение в виде $ax^2 + bx + c = 0$, укажите значения коэффициентов a, b и c:
1) $6x(3 - x) = 7 - 2x^2$;
2) x(x + 1) = (x − 3)(7x + 2);
3) $(5x - 1)^2 = (x + 4)(x - 2)$;
4) 4x(x + 8) − (x − 6)(x + 6) = 0.

Решение:

1) $6x(3 - x) = 7 - 2x^2$
$18x - 6x^2 - 7 + 2x^2 = 0$
$-4x^2 + 18x - 7 = 0$
a = −4; b = 18; c = −7.

2) x(x + 1) = (x − 3)(7x + 2)
$x^2 + x = 7x^2 - 21x + 2x - 6$
$x^2 - 7x^2 + x + 21x - 2x + 6 = 0$
$-6x^2 + 20x + 6 = 0$
a = −6; b = 20; c = 6.

3) $(5x - 1)^2 = (x + 4)(x - 2)$
$25x^2 - 10x + 1 = x^2 + 4x - 2x - 8$
$25x^2 - 10x + 1 - x^2 - 4x + 2x + 8 = 0$
$24x^2 - 12x + 9 = 0$
a = 24; b = −12; c = 9.

4) 4x(x + 8) − (x − 6)(x + 6) = 0
$4x^2 + 32x - (x^2 - 36) = 0$
$4x^2 + 32x - x^2 + 36 = 0$
$3x^2 + 32x + 36 = 0$
a = 3; b = 32; c = 36.

620. Представьте данное уравнение в виде $ax^2 + bx + c = 0$, укажите значения коэффициентов a, b и c:
1) x(x + 10) = 8x + 3;
2) $(x + 2)^2 = 2x^2 + 4$.

Решение:

1) x(x + 10) = 8x + 3
$x^2 + 10x - 8x - 3 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
a = 1; b = 2; c = −3.

2) $(x + 2)^2 = 2x^2 + 4$
$(x + 2)^2 = 2x^2 + 4$
$x^2 + 4x + 4 - 2x^2 - 4 = 0$
$-x^2 + 4x = 0$
a = −1; b = 4; c = 0.

621. Укажите, какие из данных уравнений являются приведенными, и преобразуйте неприведенные уравнения в приведенные:
1) $x^2 - 5x + 34 = 0$;
2) $2x^2 + 6x + 8 = 0$;
3) $\frac{1}{3}x^2 + x - 5 = 0$;
4) $16 - 6x + x^2 = 0$;
5) $-x^2 + 8x - 7 = 0$;
6) $-0,2x^2 + 0,8x + 1 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 5x + 34 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

2) $2x^2 + 6x + 8 = 0$ |: 2
$x^2 + 3x + 4 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

3) $\frac{1}{3}x^2 + x - 5 = 0$ |* 3
$x^2 + 3x - 15 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

4) $16 - 6x + x^2 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

5) $-x^2 + 8x - 7 = 0$ |* (−1)
$x^2 - 8x + 7 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

6) $-0,2x^2 + 0,8x + 1 = 0$ |* (−5)
$x^2 - 4x - 5 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

622. Преобразуйте данное квадратное уравнение в приведенное:
1) $\frac{1}{6}x^2 - 2x - 3 = 0$;
2) $-4x^2 + 20x - 16 = 0$;
3) $3x^2 + x + 2 = 0$.

Решение:

1) $\frac{1}{6}x^2 - 2x - 3 = 0$ |* 6
$x^2 - 12x - 18 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

2) $-4x^2 + 20x - 16 = 0$ |: (−4)
$x^2 - 5x + 4 = 0$ − приведенное квадратное уравнение

3) $3x^2 + x + 2 = 0$ |: 3
$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} = 0$ − приведенное квадратное уравнение

161

Ответы к странице 161

623. Какие из чисел 1; 0; −3; 2; −10 являются корнями уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$?

Решение:

$x^2 + 9x - 10 = 0$
при x = 1:
$1^2 + 9 * 1 - 10 = 0$
1 + 9 − 10 = 0
0 = 0
x = 1 − является корнем уравнения
при x = 0:
$0^2 + 9 * 0 - 10 = 0$
0 + 0 − 10 = 0
−10 ≠ 0
x = 0 − не является корнем уравнения
при x = −3:
$(-3)^2 + 9 * (-3) - 10 = 0$
9 − 27 − 10 = 0
−28 ≠ 0
x = −3 − не является корнем уравнения
при x = 2:
$2^2 + 9 * 2 - 10 = 0$
4 + 18 − 10 = 0
12 ≠ 0
x = 2 − не является корнем уравнения
при x = −10:
$(-10)^2 + 9 * (-10) - 10 = 0$
100 − 90 − 10 = 0
0 = 0
x = −10 − является корнем уравнения
Ответ: корнями уравнения являются числа 1 и −10.

624. Докажите, что:
1) число −1 не является корнем уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$;
2) числа $-\frac{1}{3}$ и −3 являются корнями уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$;
3) числа $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ являются корнями уравнения $3x^2 - 6 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 2x + 3 = 0$
при x = −1:
$(-1)^2 - 2 * (-1) + 3 = 0$
1 + 2 + 3 = 0
6 ≠ 0
x = −1 не является корнем уравнения

2) $3x^2 + 10x + 3 = 0$
при $x = -\frac{1}{3}$:
$3 * (-\frac{1}{3})^2 + 10 * (-\frac{1}{3}) + 3 = 0$
$3 * \frac{1}{9} - \frac{10}{3} + 3 = 0$
$\frac{1}{3} - \frac{10}{3} + 3 = 0$
$-\frac{9}{3} + 3 = 0$
−3 + 3 = 0
0 = 0
$x = -\frac{1}{3}$ − является корнем квадратного уравнения.
при x = −3:
$3 * (-3)^2 + 10 * (-3) + 3 = 0$
3 * 9 − 30 + 3 = 0
27 − 30 + 3 = 0
30 − 30 = 0
0 = 0
x = −3 − является корнем квадратного уравнения.

3) $3x^2 - 6 = 0$
при $x = -\sqrt{2}$:
$3 * (-\sqrt{2})^2 - 6 = 0$
3 * 2 − 6 = 0
6 − 6 = 0
0 = 0
$x = -\sqrt{2}$ − является корнем уравнения.
при $x = \sqrt{2}$:
$3 * (\sqrt{2})^2 - 6 = 0$
3 * 2 − 6 = 0
6 − 6 = 0
0 = 0
$x = \sqrt{2}$ − является корнем уравнения.

625. Докажите, что:
1) число −5 является корнем уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$;
2) число 4 не является корнем уравнения $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$.

Решение:

1) $x^2 + 3x - 10 = 0$
при x = −5:
$(-5)^2 + 3 * (-5) - 10 = 0$
25 − 15 − 10 = 0
0 = 0
x = −5 − является корнем уравнения

2) $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$
при x = 4:
$\frac{1}{4} * 4^2 - 4 * 4 = 0$
$\frac{1}{4} * 16 - 16 = 0$
4 − 16 = 0
−12 ≠ 0
x = 4 − не является корнем уравнения

626. Решите уравнение:
1) $5x^2 - 45 = 0$;
2) $x^2 + 8x = 0$;
3) $2x^2 - 10 = 0$;
4) $2x^2 - 10x = 0$;
5) $64x^2 - 9 = 0$;
6) $x^2 + 16 = 0$.

Решение:

1) $5x^2 - 45 = 0$
$5(x^2 - 9) = 0$
$x^2 - 9 = 0$
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3 и x = 3

2) $x^2 + 8x = 0$
x(x + 8) = 0
x = 0
или
x + 8 = 0
x = −8
Ответ: x = −8 и x = 0

3) $2x^2 - 10 = 0$
$2(x^2 - 5) = 0$
$x^2 - (\sqrt{5})^5 = 0$
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$
$x - \sqrt{5} = 0$
$x = \sqrt{5}$
или
$x + \sqrt{5} = 0$
$x = -\sqrt{5}$
Ответ: $x = -\sqrt{5}$ и $x = \sqrt{5}$

4) $2x^2 - 10x = 0$
2x(x − 5) = 0
2x = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
Ответ: x = 0 и x = 5

5) $64x^2 - 9 = 0$
(8x − 3)(8x + 3) = 0
8x − 3 = 0
8x = 3
$x = \frac{3}{8}$
или
8x + 3 = 0
8x = −3
$x = -\frac{3}{8}$
Ответ: $x = -\frac{3}{8}$ и $x = \frac{3}{8}$

6) $x^2 + 16 = 0$
$x^2 = - 16$ − нет корней
Ответ: нет корней

627. Решите уравнение:
1) $x^2 + 7x = 0$;
2) $2x^2 - 11x = 0$;
3) $3x^2 - 6 = 0$;
4) $-8x^2 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7 или x = 0

2) $2x^2 - 11x = 0$
x(2x − 11) = 0
x = 0
или
2x − 11 = 0
2x = 11
x = 5,5
Ответ: x = 0 или x = 5,5

3) $3x^2 - 6 = 0$
$3(x^2 - 2) = 0$
$x^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$
$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$
$x - \sqrt{2} = 0$
$x = \sqrt{2}$
или
$x + \sqrt{2} = 0$
$x = -\sqrt{2}$
Ответ: $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$

4) $-8x^2 = 0$
$x^2 = 0$
x = 0
Ответ: x = 0

628. Решите уравнение:
1) (3x − 1)(x + 4) = −4;
2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$;
3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x$.

Решение:

1) (3x − 1)(x + 4) = −4
$3x^2 - x + 12x - 4 + 4 = 0$
$3x^2 + 11x = 0$
x(3x + 11) = 0
x = 0
или
3x + 11 = 0
3x = −11
$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -3\frac{2}{3}$ или x = 0

2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$
$4x^2 - 4x + 1 - 36 + 6x - 2x = 0$
$4x^2 - 35 = 0$
$4x^2 = 35$
$x^2 = \frac{35}{4}$
$x = \sqrt{\frac{35}{4}}$
$x = \frac{\sqrt{35}}{2}$
или
$x = -\frac{\sqrt{35}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{\sqrt{35}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{35}}{2}$

3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x$
$x^2 + 2x - 3x - 6 - (x^2 - 25) - x^2 + x = 0$
$x^2 - x - 6 - x^2 + 25 - x^2 + x = 0$
$-x^2 + 19 = 0$
$-x^2 = -19$
$x^2 = 19$
$x = \sqrt{19}$
или
$x = -\sqrt{19}$
Ответ: $x = -\sqrt{19}$ и $x = \sqrt{19}$

629. Решите уравнение:
1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21$;
2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x$.

Решение:

1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21$
$9x^2 - 4 + 16x^2 - 40x + 25 - 10x - 21 = 0$
$25x^2 - 50x = 0$
25x(x − 2) = 0
25x = 0
x = 0
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = 0 или x = 2

2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x$
$2x^2 - x + 16x - 8 - (x^2 - 1) - 15x = 0$
$2x^2 + 15x - 8 - x^2 + 1 - 15x = 0$
$x^2 - 7 = 0$
$x^2 = 7$
$x = \sqrt{7}$
или
$x = -\sqrt{7}$
Ответ: $x = -\sqrt{7}$ и $x = \sqrt{7}$

630. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 36 больше меньшего из них.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
x(x + 1) − произведение этих чисел.
Так как, произведение данных чисел на 36 больше меньшего из них, можно составить уравнение:
x(x + 1) − x = 36
$x^2 + x - x = 36$
$x^2 = 36$
x = 6
или
x = −6 − не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
x = 6 − меньшее число;
x + 1 = 6 + 1 = 7 − большее число.
Ответ: 6 и 7

631. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 80 больше большего из них.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
x(x + 1) − произведение этих чисел.
Так как, произведение данных чисел на 80 больше большего из них, можно составить уравнение:
x(x + 1) − (x + 1) = 80
$x^2 + x - x - 1 = 80$
$x^2 - 1 - 80 = 0$
$x^2 - 81 = 0$
(x − 9)(x + 9) = 0
x = 9
или
x + 9 = 0
x = −9 − не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
x = 9 − меньшее число;
x + 1 = 9 + 1 = 10 − большее число.
Ответ: 9 и 10

632. Докажите, что числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Решение:

$x^2 - 4x + 1 = 0$
при $x = 2 - \sqrt{3}$:
$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1 = 0$
$4 - 4\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$
0 = 0
$x = 2 - \sqrt{3}$ − является корнем уравнения.
при $x = 2 + \sqrt{3}$:
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 1 = 0$
$4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$
0 = 0
$x = 2 + \sqrt{3}$ − является корнем уравнения.

633. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x$;
2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x$ |* 6
$x^2 - 8x = 6x$
$x^2 - 8x - 6x = 0$
$x^2 - 14x = 0$
x(x − 14) = 0
x = 0
или
x − 14 = 0
x = 14
Ответ: x = 0 и x = 14

2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2$ |* 10
$2(x^2 - 3) - 5(x^2 - 1) = 20$
$2x^2 - 6 - 5x^2 + 5 - 20 = 0$
$-3x^2 - 21 = 0$
$-3(x^2 + 7) = 0$
$x^2 + 7 = 0$
$x^2 = -7$ − нет корней
Ответ: нет корней

634. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$;
2) $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$.

Решение:

1) $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$ |* 21
$3(x^2 + x) - 7x = 0$
$3x^2 + 3x - 7x = 0$
$3x^2 - 4x = 0$
x(3x − 4) = 0
x = 0
или
3x = 4
$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: x = 0 или $x = 1\frac{1}{3}$

2) $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$ |* 12
$2(x^2 + 1) - 3(x^2 + 2) = -12$
$2x^2 + 2 - 3x^2 - 6 + 12 = 0$
$-x^2 + 8 = 0$
$-(x^2 - 8) = 0$
$x^2 - 8 = 0$
$x^2 - (\sqrt{8})^2 = 0$
$(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) = 0$
$x - \sqrt{8} = 0$
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 * 2}$
$x = 2\sqrt{2}$
или
$x + \sqrt{8} = 0$
$x = -\sqrt{4 * 2}$
$x = -2\sqrt{2}$
Ответ: $x = -2\sqrt{2}$ и $x = 2\sqrt{2}$

635. При каком значении m:
1) число 2 является корнем уравнения $x^2 + mx - 6 = 0$;
2) число −3 является корнем уравнения $2x^2 - 7x + m = 0$;
3) число $\frac{1}{7}$ является корнем уравнения $m^2x^2 + 14x - 3 = 0$?

Решение:

1) $x^2 + mx - 6 = 0$
x = 2
$2^2 + 2m - 6 = 0$
4 + 2m − 6 = 0
2m = 6 − 4
2m = 2
m = 1
Ответ: при m = 1

2) $2x^2 - 7x + m = 0$
x = −3
$2 * (-3)^2 - 7 * (-3) + m = 0$
2 * 9 + 21 + m = 0
18 + 21 + m = 0
39 + m = 0
m = −39
Ответ: при m = −39

3) $m^2x^2 + 14x - 3 = 0$
$x = \frac{1}{7}$
$m^2 * (\frac{1}{7})^2 + 14 * \frac{1}{7} - 3 = 0$
$\frac{1}{49}m^2 + 2 - 3 = 0$
$\frac{1}{49}m^2 - 1 = 0$
$(\frac{1}{7}m - 1)(\frac{1}{7}m + 1) = 0$
$\frac{1}{7}m - 1 = 0$
$\frac{1}{7}m = 1$
m = 7
или
$\frac{1}{7}m + 1 = 0$
$\frac{1}{7}m = -1$
m = −7
Ответ: при m = −7 и m = 7

162

Ответы к странице 162

636. При каком значении n:
1) число 6 является корнем уравнения $x^2 - nx + 3 = 0$;
2) число 0,5 является корнем уравнения $nx^2 - 8x + 10 = 0$?

Решение:

1) $x^2 - nx + 3 = 0$
x = 6
$6^2 - 6n + 3 = 0$
36 − 6n + 3 = 0
39 − 6n = 0
−6n = −39
$n = \frac{39}{6} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$
Ответ: при $n = 6\frac{1}{2}$

2) $nx^2 - 8x + 10 = 0$
x = 0,5
$n * (0,5)^2 - 8 * 0,5 + 10 = 0$
0,25n − 4 + 10 = 0
0,25n + 6 = 0
0,25n = −6
n = −24
Ответ: при n = −24

637. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки:
1) $x^2 - 6x + 8 = 0$;
2) $x^2 + 12x + 20 = 0$;
3) $x^2 + 22x - 23 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 6x + 8 = 0$
$x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$
$(x^2 - 4x) - (2x - 8) = 0$
x(x − 4) − 2(x − 4) = 0
(x − 4)(x − 2) = 0
x − 4 = 0
x = 4
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = 2 и x = 4

2) $x^2 + 12x + 20 = 0$
$x^2 + 10x + 2x + 20 = 0$
$(x^2 + 10x) + (2x + 20) = 0$
x(x + 10) + 2(x + 10) = 0
(x + 10)(x + 2) = 0
x + 10 = 0
x = −10
или
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: x = −2 и x = −10

3) $x^2 + 22x - 23 = 0$
$x^2 - x + 23x - 23 = 0$
$(x^2 - x) + (23x - 23) = 0$
x(x − 1) + 23(x − 1) = 0
(x − 1)(x + 23) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 23 = 0
x = −23
Ответ: x = −23 и x = 1

638. Решите уравнение, выделив в его левой части квадрат двучлена:
1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;
2) $x^2 + 6x - 7 = 0$;
3) $x^2 + 8x + 20 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$
$x^2 - 4x + 4 - 1 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) - 1 = 0$
$(x^2 - 2)^2 - 1 = 0$
$(x^2 - 2)^2 - 1^2 = 0$
(x − 2 − 1)(x − 2 + 1) = 0
x − 2 − 1 = 0
x + 3 = 0
x = −3
или
x − 2 + 1 = 0
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: x = −3 и x = 1

2) $x^2 + 6x - 7 = 0$
$x^2 + 6x + 9 - 16 = 0$
$(x^2 + 6x + 9) - 16 = 0$
$(x + 3)^2 - 16 = 0$
$(x + 3)^2 - 4^2 = 0$
(x + 3 − 4)(x + 3 + 4) = 0
x + 3 − 4 = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 3 + 4 = 0
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7 и x = 1

3) $x^2 + 8x + 20 = 0$
$x^2 + 8x + 16 + 4 = 0$
$(x^2 + 8x + 16) + 4 = 0$
$(x + 4)^2 + 4 = 0$
$(x + 4)^2 = -4$ − нет корней
Ответ: нет корней

639. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители:
1) $x^2 - 10x + 9 = 0$;
2) $x^2 + 2x - 3 = 0$;
3) $x^2 - x - 2 = 0$;
4) $x^2 + 6x + 5 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 10x + 9 = 0$
$x^2 - x - 9x + 9 = 0$
$(x^2 - x) - (9x - 9) = 0$
x(x − 1) − 9(x − 1) = 0
(x − 1)(x − 9) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x − 9 = 0
x = 9
Ответ: x = 1 и x = 9

2) $x^2 + 2x - 3 = 0$
$x^2 - x + 3x - 3 = 0$
$(x^2 - x) + (3x - 3) = 0$
x(x − 1) + 3(x − 1) = 0
(x − 1)(x + 3) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3 и x = 1

3) $x^2 - x - 2 = 0$
$x^2 + x - 2x - 2 = 0$
$(x^2 + x) - (2x + 2) = 0$
x(x + 1) − 2(x + 1) = 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x + 1 = 0
x = −1
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = −1 и x = 2

4) $x^2 + 6x + 5 = 0$
$x^2 + x + 5x + 5 = 0$
$(x^2 + x) + (5x + 5) = 0$
x(x + 1) + 5(x + 1) = 0
(x + 1)(x + 5) = 0
x + 1 = 0
x = −1
или
x + 5 = 0
x = −5
Ответ: x = −5 и x = −1

640. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
$x^2$ − квадрат меньшего числа;
$(x + 1)^2$ − квадрат большего числа.
Так как, сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 1)^2 - 2(x + 1) = 17$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 - 17 = 0$
$2x^2 - 18 = 0$
$2(x^2 - 9) = 0$
$x^2 - 9 = 0$
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Если x = −3 − меньшее число, то:
−3 + 1 = −2 − большее число.
Если x = 3 − меньшее число, то:
3 + 1 = 4 − большее число.
Ответ: −3 и −2 или 3 и 4

641. Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
$x^2$ − квадрат меньшего числа;
$(x + 1)^2$ − квадрат большего числа.
Так как, сумма квадратов данных чисел равна 1, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 1)^2 = 1$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 - 1 = 0$
$2x^2 + 2x = 0$
2x(x + 1) = 0
2x = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
Если x = −1 − меньшее число, то:
−1 + 1 = 0 − большее число.
Если x = 0 − меньшее число, то:
0 + 1 = 1 − большее число.
Ответ: −1 и 0 или 0 и 1

642. При каком значении m не является квадратным уравнение:
1) $(m - 4)x^2 + mx + 7 = 0$;
2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0$;
3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0$?

Решение:

1) $(m - 4)x^2 + mx + 7 = 0$
m − 4 = 0
m = 4
Ответ: при m = 4

2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0$
$m^2 + 8m = 0$
m(m + 8) = 0
m = 0
или
m + 8 = 0
m = −8
Ответ: при m = −8 и m = 0

3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0$
$m^2 - 81 = 0$
(m − 9)(m + 9) = 0
m − 9 = 0
m = 9
или
m + 9 = 0
m = −9
Ответ: при m = −9 и m = 9

643. Каким числом, положительным или отрицательным, является отличный от нуля корень неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$, если:
1) a > 0, b > 0;
2) a < 0, b > 0;
3) a > 0, b < 0;
4) a > 0, b < 0?

Решение:

1) a > 0, b > 0, то $x = -\frac{b}{a} < 0$

2) a < 0, b > 0, то $x = -\frac{b}{a} > 0$

3) a > 0, b < 0, то $x = -\frac{b}{a} > 0$

4) a < 0, b < 0, то $x = -\frac{b}{a} < 0$

644. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:
1) a > 0, c > 0;
2) a < 0, c > 0;
3) a > 0, c < 0;
4) a < 0, c < 0?

Решение:

1) a > 0, c > 0, то $-\frac{c}{a} < 0$
корней нет

2) a < 0, c > 0, то $-\frac{c}{a} > 0$
2 корня

3) a > 0, c < 0, то $-\frac{c}{a} > 0$
2 корня

4) a < 0, c < 0, то $-\frac{c}{a} < 0$
корней нет

645. Каким многочленом можно заменить звездочку в уравнении $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
1) 0 и 4;
2) −1 и 1?

Решение:

1) $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
$3x^2 - 2x + 4 + kx + b = 0$
при x = 0:
$3 * 0^2 - 2 * 0 + 4 + k * 0 + b = 0$
4 + b = 0
b = −4
при x = 4:
$3 * 4^2 - 2 * 4 + 4 + 4k + (-4) = 0$
3 * 16 − 8 + 4 + 4k − 4 = 0
48 − 8 + 4k = 0
40 + 4k = 0
4k = −40
k = −10
Ответ: −10x − 4

2) $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
x = −1
$3 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 4 + k * (-1) + b = 0$
3 * 1 + 2 + 4 − k + b = 0
9 − k + b =0
b − k = −9
x = 1
$3 * 1^2 - 2 * 1 + 4 + k * 1 + b = 0$
3 − 2 + 4 + k + b = 0
5 + k + b = 0
b + k = −5
Составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} b - k = -9 &\\ b + k = 5 & \end{cases} \end{equation*}$
b − k + b + k = −9 + (−5)
2b = −14
b = −7
b − k = −9
−7 − k = −9
−k = −9 + 7
−k = −2
k = 2
Ответ: 2x − 7

646. Каким многочленом можно заменить звездочку в уравнении $x^2 + 5x - 1 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
1) 0; −7;
2) −4; 4?

Решение:

1) $x^2 + 5x - 1 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
x = 0
$0^2 + 5 * 0 - 1 + k * 0 + b = 0$
−1 + b = 0
b = 1
x = −7
$(-7)^2 + 5 * (-7) - 1 + k * (-7) + b = 0$
49 − 35 − 1 − 7k + 1 = 0
−7k = −14
k = 2
Ответ: 2x + 1

2) $x^2 + 5x - 1 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
x = −4
$(-4)^2 + 5 * (-4) - 1 + k * (-4) + b = 0$
16 − 20 − 1 − 4k + b = 0
−5 − 4k + b = 0
b − 4k = 5
x = 4
$4^2 + 5 * 4 - 1 + k * 4 + b = 0$
16 + 20 − 1 + 4k + b = 0
35 + 4k + b = 0
b + 4k = −35
Составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} b - 4k = 5 &\\ b + 4k = -35 & \end{cases} \end{equation*}$
b − 4k + b + 4k = 5 − 35
2b = −30
b = −15
b − 4k = 5
−15 − 4k = 5
−4k = 5 + 15
−4k = 20
k = −5
Ответ: −5x − 15

647. Решите уравнение:
1) $x^2 - 3|x| = 0$;
2) $x^2 + |x| - 2x = 0$;
3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$;
4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 3|x| = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 - 3x = 0$
x(x − 3) = 0
x = 0
или
x − 3 = 0
x = 3
при x < 0:
$x^2 + 3x = 0$
x(x + 3) = 0
x = 0
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3, x = 0 и x = 3.

2) $x^2 + |x| - 2x = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 + x - 2x = 0$
$x^2 - x = 0$
x(x − 1) = 0
x = 0
или
x − 1 = 0
x = 1
при x < 0:
$x^2 - x - 2x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
x(x − 3) = 0
x = 0
или
x − 3 = 0
x = 3 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
Ответ: x = 0 и x = 1.

3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$
x ≠ 0
при x ≥ 0:
$x^2 - \frac{x}{x} = 0$
$x^2 - 1 = 0$
(x − 1)(x + 1) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 1 = 0
x = −1 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
при x < 0:
$x^2 + \frac{x}{x} = 0$
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$ − нет корней.
Ответ: x = 1.

4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$
x ≠ 0
при x ≥ 0:
$x^2 - \frac{2x^2}{x} = 0$
$x^2 - 2x = 0$
x(x − 2) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
x − 2 = 0
x = 2
при x < 0:
$x^2 + \frac{2x^2}{x} = 0$
$x^2 + 2x = 0$
x(x + 2) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: x = −2 и x = 2.

163

Ответы к странице 163

648. Решите уравнение:
1) $x^2 - 7|x| = 0$;
2) $x^2 - 6|x| + x = 0$;
3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 7|x| = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 - 7x = 0$
x(x − 7) = 0
x = 0
или
x − 7 = 0
x = 7
при x < 0:
$x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7, x = 0 и x = 7.

2) $x^2 - 6|x| + x = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 - 6x + x = 0$
$x^2 - 5x = 0$
x(x − 5) = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
при x < 0:
$x^2 + 6x + x = 0$
$x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7, x = 0 и x = 5.

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$
x ≠ 0
при x ≥ 0:
$2x^2 - \frac{3x^2}{x} = 0$
$2x^2 - 3x = 0$
x(2x − 3) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
или
2x − 3 = 0
2x = 3
x = 1,5
при x < 0:
$2x^2 + \frac{3x^2}{x} = 0$
$2x^2 + 3x = 0$
x(2x + 3) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
или
2x + 3 = 0
2x = −3
x = −1,5
Ответ: x = −1,5 и x = 1,5.

649. При каком значении a уравнение $(a - 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$ является:
1) линейным;
2) приведенным квадратным;
3) неполным квадратным;
4) неполным приведенным квадратным?

Решение:

1) Уравнение является линейным, если первый коэффициент равен нулю, тогда:
a − 2 = 0
a = 2
Ответ: при a = 2

2) Уравнение является приведенным квадратным, если первый коэффициент равен 1, тогда:
a − 2 = 1
a = 1 + 2
a = 3
Ответ: при a = 3

3) Уравнение является неполным неприведенным квадратным, если второй коэффициент или свободный член равны нулю, тогда:
а)
2a − 1 = 0
2a = 1
a = 0,5
б)
$a^2 - 4 = 0$
(a − 2)(a + 2) = 0
a − 2 = 0
a = 2 − не является решением, так как уравнение не будет квадратным.
или
a + 2 = 0
a = −2
Ответ: при a = 0,5 и a = −2

4) Уравнение является неполным приведенным квадратным, если первый коэффициент равен 1, а второй или свободный член (или оба) равны нулю, тогда:
a − 2 = 1
a = 1 + 2
a = 3
Подставим значение a в уравнение:
$(3 - 2)x^2 + (2 * 3 - 1)x + 3^2 - 4 = 0$
$x^2 + (6 - 1)x + 9 - 4 = 0$
$x^2 + 5x + 5 = 0$ − не является неполным, значит нет такого значения a при котором уравнение будет неполным приведенным квадратным.
Ответ: нет такого значения a

650. Определите, при каком значении a один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:
1) $x^2 + ax + a - 4 = 0$;
2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0$;
3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0$.

Решение:

1) $x^2 + ax + a - 4 = 0$
x = 0
$0^2 + a * 0 + a - 4 = 0$
a − 4 = 0
a = 4
$x^2 + 4x + 4 - 4 = 0$
$x^2 + 4x = 0$
x(x + 4) = 0
x = 0
или
x + 4 = 0
x = −4
Ответ: при a = 4: x = −4 и x = 0.

2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0$
x = 0
$4 * 0^2 + (a - 8) * 0 + a^2 + a = 0$
$a^2 + a = 0$
a(a + 1) = 0
a = 0
или
a + 1 = 0
a = −1
а)
при a = 0:
$4x^2 + (0 - 8)x + 0^2 + 0 = 0$
$4x^2 - 8x = 0$
4x(x − 2) = 0
x = 0
или
x − 2 = 0
x = 2
б)
при a = −1:
$4x^2 + (-1 - 8)x + (-1)^2 + (-1) = 0$
$4x^2 - 9x + 1 - 1 = 0$
$4x^2 - 9x = 0$
x(4x − 9) = 0
x = 0
или
4x − 9 = 0
4x = 9
x = 2,25
Ответ:
при a = 0: x = 0 и x = 2;
при a = −1: x = 0 и x = 2,25.

3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0$
x = 0
$a * 0^2 + (a + 3) * 0 + a^2 - 3a = 0$
$a^2 - 3a = 0$
a(a − 3) = 0
a = 0 − не является решением, так как уравнение не будет квадратным.
или
a − 3 = 0
a = 3
$3x^2 + (3 + 3)x + 3^2 - 3 * 3 = 0$
$3x^2 + 6x + 9 - 9 = 0$
$3x^2 + 6x = 0$
3x(x + 2) = 0
3x = 0
x = 0
или
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: при a = 3: x = −2 и x = 0.

651. Выполните действия:
1) $\frac{3 - 2a}{2a} - \frac{1 - a^2}{a^2}$;
2) $\frac{a^2 - 6b^2}{3b} + 2b$;
3) $\frac{4}{c^2 - 4c} - \frac{c + 4}{c^2 - 16}$;
4) $\frac{56a^5}{b^4} * \frac{b^2}{14b^5}$;
5) $\frac{72a^3b}{c} : (27a^2b)$;
6) $\frac{4a^2 - 1}{a^2 - 9} : \frac{10a + 5}{a + 3}$.

Решение:

1) $\frac{3 - 2a}{2a} - \frac{1 - a^2}{a^2} = \frac{a(3 - 2a) - 2(1 - a^2)}{2a^2} = \frac{3a - 2a^2 - 2 + 2a^2}{2a^2} = \frac{3a - 2}{2a^2}$

2) $\frac{a^2 - 6b^2}{3b} + 2b = \frac{a^2 - 6b^2 + 2b * 3b}{3b} = \frac{a^2 - 6b^2 + 6b^2}{3b} = \frac{a^2}{3b}$

3) $\frac{4}{c^2 - 4c} - \frac{c + 4}{c^2 - 16} = \frac{4}{c(c - 4)} - \frac{c + 4}{(c - 4)(c + 4)} = \frac{4}{c(c - 4)} - \frac{1}{c - 4} = \frac{4 - c}{c(c - 4)} = -\frac{c - 4}{c(c - 4)} = -\frac{1}{c}$

4) $\frac{56a^5}{b^4} * \frac{b^2}{14b^5} = \frac{4a^5}{b^2} * \frac{1}{b^5} = \frac{4a^5}{b^7}$

5) $\frac{72a^3b}{c} : (27a^2b) = \frac{72a^3b}{c} * \frac{1}{27a^2b} = \frac{8a}{c} * \frac{1}{3} = \frac{8a}{3c}$

6) $\frac{4a^2 - 1}{a^2 - 9} : \frac{10a + 5}{a + 3} = \frac{(2a - 1)(2a + 1)}{(a - 3)(a + 3)} : \frac{5(2a + 1)}{a + 3} = \frac{(2a - 1)(2a + 1)}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a + 3}{5(2a + 1)} = \frac{2a - 1}{a - 3} * \frac{1}{5} = \frac{2a - 1}{5a - 15}$

652. Упростите выражение:
1) $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75}$;
2) $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$;
3) $(5 - \sqrt{2})^2$;
4) $(\sqrt{18} - \sqrt{3})\sqrt{2} + 0,5\sqrt{24}$.

Решение:

1) $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75} = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{16 * 3} + 2\sqrt{25 * 3} = 10\sqrt{3} - 5 * 4\sqrt{3} + 2 * 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 0$

2) $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - \sqrt{4 * 5})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} = \sqrt{5} * \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$

3) $(5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 * 5 * \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

4) $(\sqrt{18} - \sqrt{3})\sqrt{2} + 0,5\sqrt{24} = \sqrt{18} * \sqrt{2} - \sqrt{3} * \sqrt{2} + 0,5\sqrt{4 * 6} = \sqrt{36} - \sqrt{6} + 0,5 * 2 * \sqrt{6} = 6 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 6$

653. Какой из графиков, представленных на рисунке 42, является графиком функции:
1) $y = x^2$;
2) y = 2x;
3) $y = \frac{x}{2}$;
4) $y = \frac{2}{x}$?

Решение:

1) $y = x^2$ − рисунок б;
2) y = 2x − рисунок а;
3) $y = \frac{x}{2}$ − рисунок г;
4) $y = \frac{2}{x}$ − рисунок в.

654. Ученик задумал двузначное число, Если каждую цифру этого числа увеличить на 2, то полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть:
x − цифра единиц первоначального числа;
y − цифра десятков первоначального числа.
Тогда:
10y + x − первоначальное число;
x + 2 − стала цифра единиц;
y + 2 − стала цифра десятков;
10(y + 2) + (x + 2) − стало число.
Так как, полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа, можно составить уравнение:
10(y + 2) + (x + 2) + 13 = 2(10y + x)
10y + 20 + x + 2 + 13 = 20y + 2x
10y + x + 35 − 20y − 2x = 0
−10y − x = −35
10y + x = 35 − первоначальное число, значит:
y = 3
x = 5
Ответ: число 35.

164

Ответы к странице 164

№655. Печатный автомат получает на входе карточку с числами (a; b) и выдает на выходе карточку с числами $(\frac{a + b}{2}; \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}})$. Можно ли с помощью этого автомата из карточки с числами (0,25; 1000) получить карточку с числами (1,25; 250)?

Решение:

Заметим, что произведение чисел на карточке выхода
$\frac{a + b}{2} * \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{a + b}{2} * \frac{2}{\frac{b + a}{ab}} = \frac{a + b}{2} * \frac{2ab}{a + b} = ab$ 
Произведение чисел на карточке входа так же равно аb.
Это означает, что произведение двух чисел, записанных на любой из полученных на выходе карточек, равно
0,25 · 1000 = 250.
Поскольку 1,25 · 250 ≠ 250, то карточку (1,25; 250) получить нельзя.
Ответ: нельзя.

168

Ответы к странице 168

§20. Формула корней квадратного уравнения

Вопросы

1. Значение какого выражения называют дискриминантом квадратного уравнения?

Ответ:

Значение выражения $b^2 - 4ac$ − называют дискриминантом квадратного уравнения.

2. Как зависит количество корней квадратного уравнения от знака дискриминанта?

Ответ:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня.

3. Запишите формулу корней квадратного уравнения.

Ответ:

$x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}$ − формула корней квадратного уравнения

4. Каким алгоритмом удобно пользоваться при решении квадратных уравнений?

Ответ:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:
• найти дискриминант D квадратного уравнения;
• если D < 0, то в ответе записать, что корней нет;
• если D ≥ 0, то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Упражнения

656. Найдите дискриминант и определите количество корней уравнения:
1) $x^2 + 2x - 4 = 0$;
2) $x^2 - 3x + 5 = 0$;
3) $2x^2 - 6x - 3,5 = 0$;
4) $5x^2 - 2x + 0,2 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + 2x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-4) = 4 + 16 = 20 > 0$
уравнение имеет 2 корня

2) $x^2 - 3x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 5 = 9 - 20 = -11 < 0$
уравнение не имеет корней

3) $2x^2 - 6x - 3,5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 2 * (-3,5) = 36 + 28 = 64 > 0$
уравнение имеет 2 корня

4) $5x^2 - 2x + 0,2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 5 * 0,2 = 4 - 4 = 0$
уравнение имеет 1 корень

657. Какое из данных уравнений имеет 2 корня:
1) $x^2 + 4x + 8 = 0$;
2) $3x^2 - 4x - 1 = 0$;
3) $4x^2 - 12x + 9 = 0$;
4) $2x^2 - 9x + 15 = 0$?

Решение:

1)
$x^2 + 4x + 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 8 = 16 - 32 = -16 < 0$
уравнение не имеет корней
2)
$3x^2 - 4x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * (-1) = 16 + 12 = 28 > 0$
уравнение имеет 2 корня
3)
$4x^2 - 12x + 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 4 * 9 = 144 - 16 * 9 = 144 - 144 = 0$
уравнение имеет 1 корень
4)
$2x^2 - 9x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 2 * 15 = 81 - 120 = -39 < 0$
уравнение не имеет корней
Ответ:
уравнение 2) имеет два корня

658. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1) $x^2 - 6x + 4 = 0$;
2) $5x^2 - 10x + 6 = 0$;
3) $3x^2 + 4x - 2 = 0$;
4) $0,04x^2 - 0,4x + 1 = 0$?

Решение:

1)
$x^2 - 6x + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 4 = 36 - 16 = 20 > 0$
уравнение имеет 2 корня
2)
$5x^2 - 10x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 5 * 6 = 100 - 120 = -20 < 0$
уравнение не имеет корней
3)
$3x^2 + 4x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 3 * (-2) = 16 + 24 = 40 > 0$
уравнение имеет 2 корня
4)
$0,04x^2 - 0,4x + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-0,4)^2 - 4 * 0,04 * 1 = 0,16 - 0,16 = 0$
уравнение имеет 1 корень
Ответ:
уравнение 2) не имеет корней

659. Решите уравнение:
1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;
2) $x^2 + 2x - 3 = 0$;
3) $x^2 + 3x - 4 = 0$;
4) $x^2 - 4x - 21 = 0$;
5) $x^2 + x - 56 = 0$;
6) $x^2 - 6x - 7 = 0$;
7) $x^2 - 8x + 12 = 0$;
8) $x^2 + 7x + 6 = 0$;
9) $-x^2 + 6x + 55 = 0$;
10) $2x^2 - 3x - 2 = 0$;
11) $2x^2 - x - 6 = 0$;
12) $3x^2 - 4x - 20 = 0$;
13) $10x^2 - 7x - 3 = 0$;
14) $-5x^2 + 7x - 2 = 0$;
15) $-6x^2 - 7x - 1 = 0$;
16) $3x^2 - 10x + 3 = 0$;
17) $-3x^2 + 7x + 6 = 0$;
18) $x^2 - 4x + 1 = 0$;
19) $2x^2 - x - 4 = 0$;
20) $x^2 - 8x + 20 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: x = 1 и x = 3

2) $x^2 + 2x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: x = −3 и x = 1

3) $x^2 + 3x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: x = −4 и x = 1

4) $x^2 - 4x - 21 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: x = −3 и x = 7

5) $x^2 + x - 56 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: x = −8 и x = 7

6) $x^2 - 6x - 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: x = −1 и x = 7

7) $x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: x = 2 и x = 6

8) $x^2 + 7x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: x = −6 и x = −1

9) $-x^2 + 6x + 55 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * (-1) * 55 = 36 + 220 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{256}}{2 * (-1)} = \frac{-6 + 16}{-2} = \frac{10}{-2} = -5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{256}}{2 * (-1)} = \frac{-6 - 16}{-2} = \frac{-22}{-2} = 11$
Ответ: x = −5 и x = 11

10) $2x^2 - 3x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$
Ответ: x = −0,5 и x = 2

11) $2x^2 - x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
Ответ: x = −1,5 и x = 2

12) $3x^2 - 4x - 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * (-20) = 16 + 240 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{256}}{2 * 3} = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{256}}{2 * 3} = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Ответ: x = −2 и $x = 3\frac{1}{3}$

13) $10x^2 - 7x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 10 * (-3) = 49 + 120 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 * 10} = \frac{7 + 13}{20} = \frac{20}{20} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 * 10} = \frac{7 - 13}{20} = \frac{-6}{20} = \frac{-3}{10} = -0,3$
Ответ: x = −0,3 и x = 1

14) $-5x^2 + 7x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * (-5) * (-2) = 49 - 40 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 * (-5)} = \frac{-7 + 3}{-10} = \frac{-4}{-10} = 0,4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 * (-5)} = \frac{-7 - 3}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1$
Ответ: x = 0,4 и x = 1

15) $-6x^2 - 7x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * (-6) * (-1) = 49 - 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 * (-6)} = \frac{7 + 5}{-12} = \frac{12}{-12} = -1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 * (-6)} = \frac{7 - 5}{-12} = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}$
Ответ: x = −1 и $x = -\frac{1}{6}$

16) $3x^2 - 10x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 * 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 * 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $x = \frac{1}{3}$ и x = 3

17) $-3x^2 + 7x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * (-3) * 6 = 49 + 72 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 * (-3)} = \frac{-7 + 11}{-6} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 * (-3)} = \frac{-7 - 11}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$ и x = 3

18) $x^2 - 4x + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{12}}{2 * 1} = \frac{4 + \sqrt{4 * 3}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = 2 + \sqrt{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{12}}{2 * 1} = \frac{4 - \sqrt{4 * 3}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$
Ответ: $x = 2 - \sqrt{3}$ и $x = 2 + \sqrt{3}$

19) $2x^2 - x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-4) = 1 + 32 = 33 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{33}}{2 * 2} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{33}}{2 * 2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$
Ответ: $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ и $x = \frac{1+ \sqrt{33}}{4}$

20) $x^2 - 8x + 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 20 = 64 - 80 = -16 < 0$
Ответ: нет корней

660. Решите уравнение:
1) $x^2 - 3x + 2 = 0$;
2) $x^2 + 12x - 13 = 0$;
3) $x^2 - 7x + 10 = 0$;
4) $x^2 - x - 72 = 0$;
5) $2x^2 - 5x + 2 = 0$;
6) $2x^2 - 7x - 4 = 0$;
7) $4x^2 - 3x - 1 = 0$;
8) $-2x^2 + x + 15 = 0$;
9) $6x^2 + 7x - 5 = 0$;
10) $18x^2 - 9x - 5 = 0$;
11) $x^2 - 6x + 11 = 0$;
12) $-x^2 - 8x + 12 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: x = 1 и x = 2

2) $x^2 + 12x - 13 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * (-13) = 144 + 52 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13$
Ответ: x = −13 и x = 1

3) $x^2 - 7x + 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: x = 2 и x = 5

4) $x^2 - x - 72 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-72) = 1 + 288 = 289 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 * 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 * 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: x = −8 и x = 9

5) $2x^2 - 5x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
Ответ: x = 0,5 и x = 2

6) $2x^2 - 7x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 * 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 * 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$
Ответ: x = −0,5 и x = 4

7) $4x^2 - 3x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 4 * (-1) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 * 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 * 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $x = -\frac{1}{4}$ и x = 1

8) $-2x^2 + x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * (-2) * 15 = 1 + 120 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 * (-2)} = \frac{-1 + 11}{-4} = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2} = -2,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 * (-2)} = \frac{-1 - 11}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$
Ответ: x = −2,5 и x = 3

9) $6x^2 + 7x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 6 * (-5) = 49 + 120 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 * 6} = \frac{-7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 * 6} = \frac{-7 - 13}{12} = \frac{-20}{12} = \frac{-5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -1\frac{2}{3}$ и $x = \frac{1}{2}$

10) $18x^2 - 9x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 18 * (-5) = 81 + 360 = 441 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{441}}{2 * 18} = \frac{9 + 21}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{441}}{2 * 18} = \frac{9 - 21}{36} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{5}{6}$

11) $x^2 - 6x + 11 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 11 = 36 - 44 = -8 < 0$
Ответ: нет корней

12) $-x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * (-1) * 12 = 64 + 48 = 112 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{112}}{2 * (-1)} = \frac{8 + \sqrt{16 * 7}}{-2} = -\frac{8 + 4\sqrt{7}}{2} = -\frac{2(4 + 2\sqrt{7})}{2} = -4 - 2\sqrt{7}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{112}}{2 * (-1)} = \frac{8 - \sqrt{16 * 7}}{-2} = -\frac{8 - 4\sqrt{7}}{2} = -\frac{2(4 - 2\sqrt{7})}{2} = -4 + 2\sqrt{7}$
Ответ: $x = -4 - 2\sqrt{7}$ и $x = -4 + 2\sqrt{7}$

169

Ответы к странице 169

661. При каких значениях переменной:
1) значения многочленов $6x^2 - 2$ и 5 − x равны;
2) значение двучлена y − 6 равно значению трехчлена $y^2 - 9y + 3$;
3) трехчлены $4m^2 + 4m + 2$ и $2m^2 + 10m + 8$ принимают равные значения?

Решение:

1) $6x^2 - 2 = 5 - x$
$6x^2 - 2 - 5 + x = 0$
$6x^2 + x - 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 6 * (-7) = 1 + 168 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 * 6} = \frac{-1 + 13}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 * 6} = \frac{-1 - 13}{12} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}$
Ответ: при $x = -1\frac{1}{6}$ и x = 1

2) $y - 6 = y^2 - 9y + 3$
$y - 6 - y^2 + 9y - 3 = 0$
$-y^2 + 10y - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * (-1) * (-9) = 100 - 36 = 64 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 * (-1)} = \frac{-10 + 8}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 * (-1)} = \frac{-10 - 8}{-2} = \frac{-18}{-2} = 9$
Ответ: при y = 1 и y = 9

3) $4m^2 + 4m + 2 = 2m^2 + 10m + 8$
$4m^2 + 4m + 2 - 2m^2 - 10m - 8 = 0$
$2m^2 - 6m - 6 = 0$ |: 2
$m^2 - 3m - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-3) = 9 + 12 = 21 > 0$
$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2 * 1} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$
$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$
Ответ: при $m = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$ и $m = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

662. При каких значениях переменной:
1) значение двучлена 4x + 4 равно значению трехчлена $3x^2 + 5x - 10$;
2) значения трехчленов $10p^2 + 10p + 8$ и $3p^2 - 10p + 11$ равны?

Решение:

1) $4x + 4 = 3x^2 + 5x - 10$
$4x + 4 - 3x^2 - 5x + 10 = 0$
$-3x^2 - x + 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * (-3) * 14 = 1 + 168 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{169}}{2 * (-3)} = \frac{1 + 13}{-6} = \frac{14}{-6} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{169}}{2 * (-3)} = \frac{1 - 13}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$
Ответ: при $x = -2\frac{1}{3}$ и x = 2

2) $10p^2 + 10p + 8 = 3p^2 - 10p + 11$
$10p^2 + 10p + 8 - 3p^2 + 10p - 11 = 0$
$7p^2 + 20p - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 * 7 * (-3) = 400 + 84 = 484 > 0$
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 * 7} = \frac{-20 + 22}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 * 7} = \frac{-20 - 22}{14} = \frac{-42}{14} = -3$
Ответ: при p = −3 и $p = \frac{1}{7}$

663. Найдите корни уравнения:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18;
2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$;
3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$;
4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$;
5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x;
6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1).

Решение:

1) (2x − 5)(x + 2) = 18
$2x^2 - 5x + 4x - 10 - 18 = 0$
$2x^2 - x - 28 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-28) = 1 + 224 = 225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 * 2} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 * 2} = \frac{1 - 15}{4} = \frac{-14}{4} = \frac{-7}{2} = -3,5$
Ответ: при x = −3,5 и x = 4

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$
$16x^2 - 24x + 9 + 9x^2 - 1 - 9 = 0$
$25x^2 - 24x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 25 * (-1) = 576 + 100 = 676 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 * 25} = \frac{24 + 26}{50} = \frac{50}{50} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 * 25} = \frac{24 - 26}{50} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$
Ответ: при $x = -\frac{1}{25}$ и x = 1

3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$
$x^2 + 6x + 9 - (4x^2 - 4x + 1) = 16$
$x^2 + 6x + 9 - 4x^2 + 4x - 1 - 16 = 0$
$-3x^2 + 10x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * (-3) * (-8) = 100 - 96 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2 * (-3)} = \frac{-10 + 2}{-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2 * (-3)} = \frac{-10 - 2}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$
Ответ: при $x = 1\frac{1}{3}$ и x = 2

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$
$x^2 - 12x + 36 - 2x^2 - 6x - 30 + 12x = 0$
$-x^2 - 6x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * (-1) * 6 = 36 + 24 = 60 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{60}}{2 * (-1)} = \frac{6 + \sqrt{4 * 15}}{-2} = \frac{6 + 2\sqrt{15}}{-2} = -\frac{2(3 + \sqrt{15})}{2} = -3 - \sqrt{15}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{60}}{2 * (-1)} = \frac{6 - \sqrt{4 * 15}}{-2} = \frac{6 - 2\sqrt{15}}{-2} = -\frac{2(3 - \sqrt{15})}{2} = -3 + \sqrt{15}$
Ответ: при $x = -3 - \sqrt{15}$ и $x = -3 + \sqrt{15}$

5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x
$x^2 + 7x - 8x - 56 - (4x^2 + x - 8x - 2) + 21x = 0$
$x^2 - x - 56 - 4x^2 - x + 8x + 2 + 21x = 0$
$-3x^2 + 27x - 54 = 0$ |: (−3)
$x^2 - 9x + 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: при x = 3 и x = 6

6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1)
$4x^2 - 1 - x + x^2 = 2x^2 + 2x$
$5x^2 - x - 1 - 2x^2 - 2x = 0$
$3x^2 - 3x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 3 * (-1) = 9 + 12 = 21 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2 * 3} = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2 * 3} = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$
Ответ: при $x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

664. Решите уравнение:
1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$;
2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19$;
3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17.

Решение:

1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$
$x^2 - 8x + 16 - 4x + 11 = 0$
$x^2 - 12x + 27 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 27 = 144 - 108 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: при x = 3 и x = 9

2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19$
$x^2 + 10x + 25 + x^2 - 49 - 6x + 19 = 0$
$2x^2 + 4x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 2 * (-5) = 16 + 40 = 56 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{56}}{2 * 2} = \frac{-4 + \sqrt{4 * 14}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2(-2 + \sqrt{14})}{4} = \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{56}}{2 * 2} = \frac{-4 - \sqrt{4 * 14}}{4} = \frac{-4 - 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2(-2 - \sqrt{14})}{4} = \frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$
Ответ: при $x = \frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ и $x = \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$

3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17
$3x^2 - x + 12x - 4 = 2x^2 + 3x + 6x + 9 - 17$
$3x^2 + 11x - 4 = 2x^2 + 9x - 8$
$3x^2 + 11x - 4 - 2x^2 - 9x + 8 = 0$
$x^2 + 2x + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = -12 < 0$
Ответ: нет корней

665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа.

Решение:

Пусть n − искомое натуральное число, тогда:
$n^2$ − квадрат искомого числа.
Так как, квадрат числа на 42 больше самого числа, можно составить уравнение:
$n^2 - n = 42$
$n^2 - n - 42 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{169}}{2 * 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{169}}{2 * 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ − не подходит, так как не является натуральным числом.
Ответ: 7 − искомое натуральное число

666. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 $см^2$, а одна из сторон на 9 см больше другой.

Решение:

Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 9 (см) − длина прямоугольника.
Так как, площадь прямоугольника равна 70 $см^2$, можно составить уравнение:
x(x + 9) = 70
$x^2 + 9x - 70 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * (-70) = 81 + 280 = 361 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ − не подходит, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 5 (см) − ширина прямоугольника;
x + 9 = 5 + 9 = 14 (см) − длина прямоугольника;
P = 2(5 + 14) = 2 * 19 = 38 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 38 см

667. Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 8 − большее число.
Так как, произведение данных чисел равно 84, можно составить уравнение:
x(x + 8) = 84
$x^2 + 8x - 84 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-84) = 64 + 336 = 400 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{400}}{2 * 1} = \frac{-8 + 20}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{400}}{2 * 1} = \frac{-8 - 20}{2} = \frac{-28}{2} = -14$
Если x = 6 − меньшее число, то:
x + 8 = 6 + 8 = 14 − большее число.
Если x = −14 − меньшее число, то:
x + 8 = −14 + 8 = −6 − большее число.
Ответ: 6 и 14; −14 и −6.

668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы, можно составить уравнение:
n(n + 1) − 89 = n + n + 1
$n^2 + n - 89 - 2n - 1 = 0$
$n^2 - n - 90 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-90) = 1 + 360 = 361 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 10 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 10 + 1 = 11 − большее натуральное число.
Ответ: 10 и 11

669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365, можно составить уравнение:
$n^2 + (n + 1)^2 = 365$
$n^2 + n^2 + 2n + 1 - 365 = 0$
$2n^2 + 2n - 364 = 0$ |: 2
$n^2 + n - 182 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-182) = 1 + 728 = 729 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{-1 + 27}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{-1 - 27}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 13 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 13 + 1 = 14 − большее натуральное число.
Ответ: 13 и 14

670. Решите уравнение:
1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$;
2) $x^2 - x(\sqrt{6} - 1) - \sqrt{6} = 0$;
3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$;
4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$.

Решение:

1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{5})^2 - 4 * 2 * (-15) = 5 + 120 = 125 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{125}}{2 * 2} = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{25 * 5}}{4} = \frac{-\sqrt{5} + 5\sqrt{5}}{4} = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{5} - \sqrt{125}}{2 * 2} = \frac{-\sqrt{5} - \sqrt{25 * 5}}{4} = \frac{-\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{4} = \frac{-6\sqrt{5}}{4} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$ и $x = \sqrt{5}$

2) $x^2 - x(\sqrt{6} - 1) - \sqrt{6} = 0$
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{6} - 1)^2 - 4 * 1 * (-\sqrt{6}) = 6 - 2\sqrt{6} + 1 + 4\sqrt{6} = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = (\sqrt{6} + 1)^2 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} - 1 + \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{6} - 1 + \sqrt{6} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} - 1 - \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{6} - 1 - \sqrt{6} - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: x = −1 и $x = \sqrt{6}$

3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$ |* 24
$3(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = -24$
$3x^2 - 12 - 16x - 24 + 24 = 0$
$3x^2 - 16x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 3 * (-12) = 256 + 144 = 400 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{400}}{2 * 3} = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{400}}{2 * 3} = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$ и x = 6

4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$ |* 18
$6(4x^2 + x) - 2(x^2 + 17) = 3(5x - 1)$
$24x^2 + 6x - 2x^2 - 34 = 15x - 3$
$22x^2 + 6x - 34 - 15x + 3 = 0$
$22x^2 - 9x - 31 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 22 * (-31) = 81 + 2728 = 2809 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{2809}}{2 * 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22} = 1\frac{9}{22}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{2809}}{2 * 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$
Ответ: x = −1 и $x = 1\frac{9}{22}$

671. Решите уравнение:
1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0$;
2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$;
3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1$.

Решение:

1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (3\sqrt{2})^2 - 4 * 1 * 4 = 9 * 2 - 16 = 18 - 16 = 2 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 * 1} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 * 1} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$
Ответ: $x = -2\sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$

2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{3} + 2)^2 - 4 * 1 * 2\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + 4 - 8\sqrt{3} = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = (\sqrt{3} - 2)^2 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} - 2}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 - (\sqrt{3} - 2)}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: $x = \sqrt{3}$ и x = 2

3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1$ |* 12
$4(2x^2 + x) - 3(x + 3) = 12(x - 1)$
$8x^2 + 4x - 3x - 9 = 12x - 12$
$8x^2 + x - 9 - 12x + 12 = 0$
$8x^2 - 11x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 8 * 3 = 121 - 96 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 * 8} = \frac{11 + 5}{16} = \frac{16}{16} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 * 8} = \frac{11 - 5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
Ответ: $x = \frac{3}{8}$ и x = 1

672. При каких значениях a число $\frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$?

Решение:

$a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$
$x = \frac{1}{4}$:
$a^2 * (\frac{1}{4})^2 + 4a * \frac{1}{4} - 5 = 0$
$\frac{1}{16}a^2 + a - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * \frac{1}{16} * (-5) = 1 + \frac{5}{4} = 1 + 1,25 = 2,25 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{2,25}}{2 * \frac{1}{16}} = \frac{-1 + 1,5}{\frac{1}{8}} = 0,5 * 8 = 4$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{2,25}}{2 * \frac{1}{16}} = \frac{-1 - 1,5}{\frac{1}{8}} = -2,5 * 8 = -20$
Ответ: при a = −20 и a = 4

170

Ответы к странице 170

673. При каком значении a число 2 является корнем уравнения $x^2 - 0,5ax - 3a^2 = 0$?

Решение:

$x^2 - 0,5ax - 3a^2 = 0$
x = 2:
$2^2 - 0,5 * 2a - 3a^2 = 0$
$-3a^2 - a + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * (-3) * 4 = 1 + 48 = 49 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * (-3)} = \frac{1 + 7}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * (-3)} = \frac{1 - 7}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$
Ответ: при $a = -1\frac{1}{3}$ и a = 1

674. От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоугольника шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата. Площадь оставшейся части листа составляет 40 $см^2$. Какой была длина стороны квадратного листа картона?

Решение:


Пусть x (см) − сторона квадрата, тогда:
$x^2 (см^2)$ − площадь квадрата;
$3x (см^2)$ − площадь отрезанной полоски.
Так как, площадь оставшейся части листа составляет 40 $см^2$, можно составить уравнение:
$x^2 - 3x = 40$
$x^2 - 3x - 40 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 * 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 * 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ − не удовлетворяет условию задачи, так как сторона квадрата не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 8 (см) − сторона квадрата.
Ответ: 8 см

675. От прямоугольного листа бумаги, длина которого равна 18 см, отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшейся части прямоугольника составляет 72 $см^2$. Какой была ширина листа бумаги?

Решение:


Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
$18x (см^2)$ − площадь прямоугольника;
$x^2 (см^2)$ − площадь отрезанного квадрата.
Так как, площадь оставшейся части прямоугольника составляет 72 $см^2$, можно составить уравнение:
$18x - x^2 = 72$
$-x^2 + 18x - 72 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 * (-1) * (-72) = 324 - 288 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{36}}{2 * (-1)} = \frac{-18 + 6}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{36}}{2 * (-1)} = \frac{-18 - 6}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12$
Получается, что сторона листа бумаги может быть либо 6 см, либо 12 см.
Ответ: 6 см или 12 см

676. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см.

Решение:

Пусть x (см) − длина меньшего катета, тогда:
x + 14 (см) − длина большего катета.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$
$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$
$2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$
$2x^2 + 28x - 960 = 0$ |: 2
$x^2 + 14x - 480 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 1 * (-480) = 196 + 1920 = 2116 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{2116}}{2 * 1} = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{2116}}{2 * 1} = \frac{-14 - 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30$ − не удовлетворяет условию задачи, так как длина катета не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 16 (см) − длина меньшего катета, тогда:
x + 14 = 16 + 14 = 30 (см) − длина большего катета.
Ответ: 16 см и 30 см

677. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.

Решение:


Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 (см) − длина прямоугольника.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 31)^2 = 41^2$
$x^2 + x^2 + 62x + 961 = 1681$
$2x^2 + 62x + 961 - 1681 = 0$
$2x^2 + 62x - 720 = 0$ |: 2
$x^2 + 31x - 360 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 * 1 * (-360) = 961 + 1440 = 2401 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 + \sqrt{2401}}{2 * 1} = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 - \sqrt{2401}}{2 * 1} = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$ − не удовлетворяет условию задачи, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 9 (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 = 9 + 31 = 40 (см) − длина прямоугольника.
Ответ: 9 см и 40 см

678. Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего.

Решение:

Пусть 2n − 1 − первое из трех последовательных нечетных натуральных числа, тогда:
2n + 1 − второе число;
2n + 3 − третье число.
Так как, квадрат первого из число на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего, можно составить уравнение:
$(2n - 1)^2 - 33 = 2(2n + 1 + 2n + 3)$
$4n^2 - 4n + 1 - 33 = 2(4n + 4)$
$4n^2 - 4n - 32 = 8n + 8$
$4n^2 - 4n - 8n - 32 - 8 = 0$
$4n^2 - 12n - 40 = 0$ |: 4
$n^2 - 3n - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда при n = 5:
2n − 1 = 2 * 5 − 1 = 10 − 1 = 9 − первое число;
2n + 1 = 2 * 5 + 1 = 10 + 1 = 11 − второе число;
2n + 3 = 2 * 5 + 3 = 10 + 3 = 13 − третье число.
Ответ: 9, 11 и 13.

679. Найдите четыре последовательных четных натуральных числа, если сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвертого чисел.

Решение:

Пусть 2n − первое из четырех последовательных четных натуральных чисел, тогда:
2n + 2 − второе число;
2n + 4 − третье число;
2n + 6 − четвертое число.
Так как, сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвертого чисел, можно составить уравнение:
5(2n + 2n + 4) = (2n + 2)(2n + 6)
$5(4n + 4) = 4n^2 + 4n + 12n + 12$
$20n + 20 = 4n^2 + 16n + 12$
$20n + 20 - 4n^2 - 16n - 12 = 0$
$-4n^2 + 4n + 8 = 0$ |: (−4)
$n^2 - n - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда при n = 2:
2n = 2 * 2 = 4 − первое число;
2n + 2 = 2 * 2 + 2 = 4 + 2 = 6 − второе число;
2n + 4 = 2 * 2 + 4 = 4 + 4 = 8 − третье число;
2n + 6 = 2 * 2 + 6 = 4 + 6 = 10 − четвертое число.
Ответ: 4, 6, 8, 10.

680. Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.

Решение:

$ax^2 + bx + c = 0$
Уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нуля.
Докажем, что:
$D = b^2 - 4ac > 0$, если a и c имеют разные знаки.
$b^2 ≥ 0$ − так как является квадратом числа.
если a и c имеют разные знаки, то их произведение будет отрицательным, зато произведение −4ac будет положительным.
Получается, что $b^2 ≥ 0$ и −4ac > 0, значит и $D = b^2 - 4ac > 0$, а значит уравнение имеет 2 корня.

681. (Старинная индийская задача.)
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Решение:

Пусть x (обезьян) − было всего, тогда:
$(\frac{1}{8}x)^2$ − резвилась в роще.
Зная, что оставшиеся 12 обезьян прыгали по лианам, можно составить уравнение:
$x - (\frac{1}{8}x)^2 = 12$
$-\frac{1}{64}x^2 + x - 12 = 0$ |(−64)
$x^2 - 64x + 768 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 * 1 * 768 = 4096 - 3072 = 1024 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + \sqrt{1024}}{2 * 1} = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - \sqrt{1024}}{2 * 1} = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$
Ответ: было либо 16, либо 48 обезьян.

682. В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд?

Решение:

Пусть x (команд) − участвовало в турнире, тогда:
x − 1 (матч) − сыграла каждая из команд;
так как в одном матче участвует сразу две команды, то:
$\frac{1}{2}x(x - 1)$ (матчей) − было сыграно всего.
Зная, что в футбольном турнире было сыграно всего 36 матчей, можно составить уравнение:
$\frac{1}{2}x(x - 1) = 36$
$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x = 36$ |* 2
$x^2 - x = 72$
$x^2 - x - 72 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-72) = 1 + 288 = 289 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 * 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 * 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ − не удовлетворяет условию задачи, так как количество команд не может быть отрицательным.
Ответ: 9 команд

683. Сколько сторон у многоугольника, если в нем можно провести 90 диагоналей?

Решение:

Пусть x (сторон) − многоугольника, тогда:
(x − 3) диагонали можно провести в многоугольники из каждой вершины;
так как диагональ соединяет сразу две вершины, то:
$\frac{1}{2}x(x - 3)$ (диагоналей) всего можно провести в многоугольнике.
Зная, что всего в многоугольнике можно провести 90 диагоналей, составим уравнение:
$\frac{1}{2}x(x - 3) = 90$ |* 2
x(x − 3) = 180
$x^2 - 3x - 180 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-180) = 9 + 720 = 729 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ − не удовлетворяет условию задачи, так как количество сторон не может быть отрицательным.
Ответ: 15 сторон

684. Решите уравнение:
1) $|x^2 + 7x - 4| = 4$;
2) $5x^2 - 8|x| + 3 = 0$;
3) $x|x| + 6x - 5 = 0$;
4) $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0$;
5) $x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0$;
6) $x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0$.

Решение:

1) $|x^2 + 7x - 4| = 4$
а)
$x^2 + 7x - 4 = 4$
$x^2 + 7x - 4 - 4 = 0$
$x^2 + 7x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
б)
$x^2 + 7x - 4 = -4$
$x^2 + 7x - 4 + 4 = 0$
$x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: −8; −7; 0; 1.

2) $5x^2 - 8|x| + 3 = 0$
а) x ≥ 0
$5x^2 - 8x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 5 * 3 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$
б) x < 0
$5x^2 + 8x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 5 * 3 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -0,6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$
Ответ: −1; −0,6; 0,6; 1.

3) $x|x| + 6x - 5 = 0$
а) x ≥ 0
$x * x + 6x - 5 = 0$
$x^2 + 6x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-5) = 36 + 20 = 56 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{56}}{2 * 1} = \frac{-6 + \sqrt{4 * 14}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{14}}{2} = \frac{2(-3 + \sqrt{14})}{2} = -3 + \sqrt{14}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{56}}{2 * 1} = \frac{-6 - \sqrt{4 * 14}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{14}}{2} = \frac{2(-3 - \sqrt{14})}{2} = -3 - \sqrt{14} < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0.
б) x < 0
$x * (-x) + 6x - 5 = 0$
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * (-1) * (-5) = 36 - 20 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 * (-1)} = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 * (-1)} = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
Ответ: $-3 + \sqrt{14}$

4) $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0$
а) x > 0
$x^2 + \frac{4x^2}{x} - 12 = 0$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x > 0.
б) x < 0
$x^2 + \frac{4x^2}{-x} - 12 = 0$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$
Ответ: −2; 2.

5) $x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0$
$x^2 - 8|x| + 15 = 0$
а) x ≥ 0
$x^2 - 8x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
б) x < 0
$x^2 + 8x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: −5; −3; 3; 5.

6) $x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0$
$x^2 + 4|x| - 12 = 0$
а) x ≥ 0
$x^2 + 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0.
б) x < 0
$x^2 - 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$
Ответ: −2; 2.

171

Ответы к странице 171

685. Решите уравнение:
1) $|x^2 + 10x - 4| = 20$;
2) x|x| + 12x − 45 = 0;
3) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0$;
4) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0$.

Решение:

1) $|x^2 + 10x - 4| = 20$
а)
$x^2 + 10x - 4 = 20$
$x^2 + 10x - 4 - 20 = 0$
$x^2 + 10x - 24 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * (-24) = 100 + 96 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
б)
$x^2 + 10x - 4 = -20$
$x^2 + 10x - 4 + 20 = 0$
$x^2 + 10x + 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: −12; −8; −2; 2.

2) x|x| + 12x − 45 = 0
а) x ≥ 0
x * x +12x − 45 = 0
$x^2 + 12x - 45 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * (-45) = 144 + 180 = 324 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
б) x < 0
x * (−x) + 12x − 45 = 0
$-x^2 + 12x - 45 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * (-1) * (-45) = 144 - 180 = -36 < 0$ − нет корней
Ответ: 3

3) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0$
а) x > 0
$\frac{x^3}{x} - 14x - 15 = 0$
$x^2 - 14x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 1 * (-15) = 196 + 60 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
б) x < 0
$\frac{x^3}{-x} - 14x - 15 = 0$
$-x^2 - 14x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * (-1) * (-15) = 196 - 60 = 136 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{136}}{2 * (-1)} = \frac{14 + \sqrt{4 * 34}}{-2} = \frac{14 + 2\sqrt{34}}{-2} = \frac{2(7 + \sqrt{34})}{-2} = -7 - \sqrt{34}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{136}}{2 * (-1)} = \frac{14 - \sqrt{4 * 34}}{-2} = \frac{14 - 2\sqrt{34}}{-2} = \frac{2(7 - \sqrt{34})}{-2} = -7 + \sqrt{34}$
Ответ: $-7 - \sqrt{34}; -7 + \sqrt{34}; 15$.

4) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0$
$x^2 - 8|x| - 9 = 0$
а) x ≥ 0
$x^2 - 8x - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
б) x < 0
$x^2 + 8x - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: −9; 9.

686. Решите уравнение:
1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x - 8} = \frac{3}{x - 8} + 80$;
2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x - 8} = \frac{3}{x - 8} + 80$
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
$x^2 + 2x + \frac{3}{x - 8} - \frac{3}{x - 8} - 80 = 0$
$x^2 + 2x - 80 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$ − не является корнем
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: −10

2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$
x ≥ 0
$x^2 + 8x - 33 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-33) = 64 + 132 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-8 + 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-8 - 14}{2} = \frac{-22}{2} = -11 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
Ответ: 3

687. Решите уравнение:
1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$;
2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$.

Решение:

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$6x^2 + 5x - \frac{1}{x + 1} - 1 + \frac{1}{x + 1} = 0$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 6 * (-1) = 25 + 24 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 * 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 * 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$ − не является корнем
Ответ: $\frac{1}{6}$

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$
x ≥ 0
$5x^2 - 14x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 5 * (-3) = 196 + 60 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 * 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 * 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -0,2 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
Ответ: 3

688. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $2x^2 + 4x - b = 0$;
2) $3x^2 - bx + 12 = 0$?

Решение:

1) $2x^2 + 4x - b = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 2 * (-b) = 16 + 8b$
16 + 8b = 0
8b = −16
b = −2
Ответ: при b = −2

2) $3x^2 - bx + 12 = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-b)^2 - 4 * 3 * 12 = b^2 - 144$
$b^2 - 144 = 0$
$b^2 = 144$
b = ±12
Ответ: при b = −12 и b = 12

689. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $6x^2 - 18x + b = 0$;
2) $8x^2 + bx + 2 = 0$?

Решение:

1) $6x^2 - 18x + b = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 * 6 * b = 324 - 24b$
324 − 24b = 0
−24b = −324
b = 13,5
Ответ: при b = 13,5

2) $8x^2 + bx + 2 = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 * 8 * 2 = b^2 - 64$
$b^2 - 64 = 0$
$b^2 = 64$
b = ±8
Ответ: при b = −8 и b = 8

690. Докажите, что при любом значении p имеет два корня уравнение:
1) $4x^2 - px - 3 = 0$;
2) $x^2 + px + p - 2 = 0$.

Решение:

1) $4x^2 - px - 3 = 0$
уравнение имеет 2 корня при D > 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 * 4 * (-3) = p^2 + 48 > 0$
$p^2 ≥ 0$, значит $p^2 + 48 > 0$, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении p.

2) $x^2 + px + p - 2 = 0$
уравнение имеет 2 корня при D > 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 * 1 * (p - 2) = p^2 - 4p + 8 = p^2 - 4p + 4 + 4 = (p - 2)^2 + 4$
$(p - 2)^2 ≥ 0$, значит $(p - 2)^2 + 4 > 0$, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении p.

691. Докажите, что при любом значении m не имеет корней уравнение:
1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$;
2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$
уравнение не имеет корней при D < 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 * 1 * (m^2 + 1) = m^2 - 4m^2 - 4 = -3m^2 - 4 < 0$
$m^2 ≥ 0$, значит $-3m^2 ≤ 0$ и $-3m^2 - 4 < 0$, поэтому уравнение не имеет корней при любом значении m.

2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$
уравнение не имеет корней при D < 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 * 1 * (2m^2 + 9) = 4m^2 - 8m^2 - 36 = -4m^2 - 36 < 0$
$m^2 ≥ 0$, значит $-4m^2 ≤ 0$ и $-4m^2 - 36 < 0$, поэтому уравнение не имеет корней при любом значении m.

692. Докажите, что при любом значении b уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ имеет два корня.

Решение:

$x^2 + bx - 7 = 0$.
уравнение имеет 2 корня при D > 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 * 1 * (-7) = b^2 + 28 > 0$
$b^2 ≥ 0$, значит $b^2 + 28 > 0$, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении b.

693. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$;
2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$;
3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$;
4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 * 1 * (2a^2 + a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$
(a + 1)^2 = 0
a + 1 = 0
a = −1
при a = −1:
$D = (-1 + 1)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a + 1) + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{-3a - 1}{2} = \frac{-3 * (-1) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
при a ≠ −1:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a + 1) + \sqrt{(a + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a - 1 + a + 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a + 1) - \sqrt{(a + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a - 1 - a - 1}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = \frac{2(-2a - 1)}{2} = -2a - 1$
Ответ:
при a = −1:
x = 1
при a ≠ −1:
x = −2a − 1; x = −a.

2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (2a + 4)^2 - 4 * 1 * 8a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = (2a - 4)^2$
$(2a - 4)^2 = 0$
2a − 4 = 0
2a = 4
a = 2
при a = 2:
$D = (2 * 2 - 4)^2 = (4 - 4)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 4 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{2a + 4}{2} = \frac{2(a + 2)}{2} = a + 2 = 2 + 2 = 4$
при a ≠ 2:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 4 + \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 1} = \frac{2a + 4 + 2a - 4}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 4 - \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 1} = \frac{2a + 4 - (2a - 4)}{2 * 1} = \frac{2a + 4 - 2a + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Ответ:
при a = 2:
x = 4
при a ≠ 2:
x = 2a; x = 4.

3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24a)^2 - 4 * a^2 * (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2$
$676a^2 = 0$
$a^2 = 0$
a = 0
при a = 0:
$0^2 * x^2 - 24 * 0 * x - 25 = 0$
−25 ≠ 0 − нет корней
при a ≠ 0:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24a + \sqrt{676a^2}}{2a^2} = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24a - \sqrt{676^2}}{2a^2} = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$
Ответ:
при a = 0:
нет корней
при a ≠ 0:
$x = \frac{25}{a}; x = -\frac{1}{a}$.

4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0$
2a − 1 = 0
2a = 1
a = 0,5
при a = 0,5: уравнение будет линейным и будет иметь 1 корень:
$3(2 * 0,5 - 1)x^2 - 2(0,5 + 1)x + 1 = 0$
$3(1 - 1)x^2 - (1 + 2)x + 1 = 0$
−3x + 1 = 0
−3x = −1
$x = \frac{1}{3}$
при a ≠ 0,5: уравнение будет квадратным:
$D = b^2 - 4ac = (-2(a + 1))^2 - 4 * 3(2a - 1) * 1 = 4(a^2 + 2a + 1) - 12(2a - 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = (2a - 4)^2$
$(2a - 4)^2 = 0$
2a − 4 = 0
2a = 4
a = 2
при a = 2:
$D = (2 * 2 - 4)^2 = (4 - 4)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2(a + 1) + \sqrt{0}}{2 * 3(2a - 1)} = \frac{2(a + 1)}{6(2a - 1)} = \frac{2 * (2 + 1)}{6 * (2 * 2 - 1)} = \frac{2 * 3}{6 * (4 - 1)} = \frac{6}{6 * 3} = \frac{1}{3}$
при a ≠ 2:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2(a + 1) + \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 3(2a - 1)} = \frac{2a + 2 + 2a - 4}{6(2a - 1)} = \frac{4a - 2}{6(2a - 1)} = \frac{2(2a - 1)}{6(2a - 1)} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2(a + 1) - \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 3(2a - 1)} = \frac{2a + 2 - (2a - 4)}{6(2a - 1)} = \frac{2a + 2 - 2a + 4}{6(2a - 1)} = \frac{6}{6(2a - 1)} = \frac{1}{2a - 1}$
Ответ:
при a = 0,5:
$x = \frac{1}{3}$
при a = 2:
$x = \frac{1}{3}$
при a ≠ 2:
$x = \frac{1}{3}; x = \frac{1}{2a - 1}$.

694. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$;
2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$;
3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 5))^2 - 4 * 1 * (-3a^2 + 5a) = 4a^2 - 20a + 25 + 12a^2 - 20a = 16a^2 - 40a + 25 = (4a - 5)^2$
$(4a - 5)^2 = 0$
4a − 5 = 0
4a = 5
a = 1,25
при a = 1,25:
$D = (4 * 1,25 - 5)^2 = (5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a - 5 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{2a - 5}{2} = \frac{2 * 1,25 - 5}{2} = \frac{2,5 - 5}{2} = \frac{-2,5}{2} = -1,25$
при a ≠ 1,25:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a - 5 + \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 * 1} = \frac{2a - 5 + 4a - 5}{2} = \frac{6a - 10}{2} = \frac{2(3a - 5)}{2} = 3a - 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a - 5 - \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 * 1} = \frac{2a - 5 - (4a - 5)}{2} = \frac{2a - 5 - 4a + 5}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$
Ответ:
при a = 1,25:
x = −1,25
при a ≠ 1,25:
x = 3a − 5; x = −a.

2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (3a - 4)^2 - 4 * 1 * (-12a) = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a + 4)^2$
$(3a + 4)^2 = 0$
3a + 4 = 0
3a = −4
$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$
при $a = -1\frac{1}{3}$:
$D = (3 * (-\frac{4}{3}) + 4)^2 = (-4 + 4)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a - 4) + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{-3a + 4}{2} = \frac{-3 * (-\frac{4}{3}) + 4}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
при $a ≠ -1\frac{1}{3}$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a - 4) + \sqrt{(3a + 4)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a + 4 + 3a + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a - 4) - \sqrt{(3a + 4)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a + 4 - (3a + 4)}{2} = \frac{-3a + 4 - 3a - 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a$
Ответ:
при $a = -1\frac{1}{3}$:
x = 4
при $a ≠ -1\frac{1}{3}$:
x = −3a; x = 4.

3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$
при a = 0: уравнение будет линейным и будет иметь 1 корень:
$0 * x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$
−x + 1 = 0
−x = −1
x = 1
$D = b^2 - 4ac = (-(a + 1))^2 - 4 * a * 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$
a − 1 = 0
a = 1
при a = 1:
$D = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 + \sqrt{0}}{2a} = \frac{a + 1}{2a} = \frac{1 + 1}{2 * 1} = \frac{2}{2} = 1$
при a ≠ 1:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 + \sqrt{(a - 1)^2}}{2a} = \frac{a + 1 + a - 1}{2a} = \frac{2a}{2a} =1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 - \sqrt{(a - 1)^2}}{2a} = \frac{a + 1 - (a - 1)}{2a} = \frac{a + 1 - a + 1}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$
Ответ:
при a = 0:
x = 1
при a = 1:
x = 1
при a ≠ 1:
$x = 1; x = \frac{1}{a}.$

695. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$;
2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$;
3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$?

Решение:

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$
а)
b = 0:
$0 * x^2 - 6x - 7 = 0$
линейное уравнение, которое имеет 1 корень.
б)
b ≠ 0:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * b * (-7) = 36 + 28b$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
36 + 28b = 0
28b = −36
$b = -\frac{36}{28} = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7}$
Ответ: при b = 0 и $b = -1\frac{2}{7}$

2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$
а)
b + 5 = 0:
b = −5
$(-5 + 5)x^2 - (-5 + 6)x + 3 = 0$
$0 * x^2 - x + 3 = 0$
−x + 3 = 0
линейное уравнение, которое имеет 1 корень.
б)
b ≠ −5
$D = b^2 - 4ac = (-(b + 6))^2 - 4 * (b + 5) * 3 = b^2 + 12b + 36 - 12b - 60 = b^2 - 24$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$b^2 - 24 = 0$
$b^2 = 24$
$b = ±\sqrt{24}$
$b = ±\sqrt{4 * 6}$
$b = ±2\sqrt{6}$
Ответ: при b = −5 и $b = ±2\sqrt{6}$

3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$
а)
b − 4 = 0
b = 4
$(4 - 4)x^2 + (2 * 4 - 8)x + 15 = 0$
$0 * x^2 + (8 - 8)x + 15 = 0$
$0 * x^2 + 0 * x + 15 = 0$
15 ≠ 0 нет корней
б)
b ≠ 4
$D = (2b - 8)^2 - 4 * (b - 4) * 15 = 4b^2 - 32b + 64 - 60b + 240 = 4b^2 - 92b + 304 = 0$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$4b^2 - 92b + 304 = 0$ |:4
$b^2 - 23b + 76 = 0$
$D = (-23)^2 - 4 * 1 * 76 = 529 - 304 = 225$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{23 + 15}{2} = \frac{38}{2} = 19$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{23 - 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$ − не является решением.
Ответ: при b = 19

696. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $bx^2 + x + b = 0$;
2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0$?

Решение:

1) $bx^2 + x + b = 0$
а)
b = 0:
$0 * x^2 + x + 0 = 0$
x = 0 − один корень.
б)
b ≠ 0:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * b * b = 1 - 4b^2$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$1 - 4b^2 = 0$
(1 − 2b)(1 + 2b) = 0
1 − 2b = 0
−2b = −1
b = 0,5
или
1 + 2b = 0
2b = −1
b = −0,5
Ответ: при b = −0,5, b = 0 и b = 0,5.

2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0$
а)
b + 3 = 0
b = −3
$(-3 + 3)x^2 + (-3 + 1)x - 2 = 0$
$0 * x^2 - 2x - 2 = 0$
−2x − 2 = 0
линейное уравнение, которое имеет 1 корень.
б)
b ≠ −3
$D = b^2 - 4ac = (b + 1)^2 - 4 * (b + 3) * (-2) = b^2 + 2b + 1 + 8b + 24 = b^2 + 10b + 25 = (b + 5)^2$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$(b + 5)^2 = 0$
b + 5 = 0
b = −5
Ответ: при b = −5 и b = −3

697. Упростите выражение:
$(\frac{a + b}{a} - \frac{4b}{a + b}) * \frac{a + b}{a - b}$.

Решение:

$(\frac{a + b}{a} - \frac{4b}{a + b}) * \frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{a(a + b)} * \frac{a + b}{a - b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{a} * \frac{1}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} * \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{a} * \frac{1}{a - b} = \frac{a - b}{a}$

698. Найдите значение выражения $\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} * a^{-5}}$ при $a = \frac{1}{3}$.

Решение:

$\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} * a^{-5}} = \frac{a^{-3 * 3}}{a^{-2 + (-5)}} = \frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
при $a = \frac{1}{3}$:
$\frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$

172

Ответы к странице 172

699. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{17}, 3\sqrt{2}$ и 4.

Решение:

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 * 2} = \sqrt{9 * 2} = \sqrt{18}$
$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$
$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}$, тогда:
$4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}$

700. Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5% и 45% никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30−процентным содержанием никеля?

Решение:

Пусть x (т) − сплава 5−и процентного, тогда:
0,05x (т) − никеля в 5−и процентном сплаве;
(120 − x) (т) − сплава 45−и процентного;
0,45(120 − x) (т) − никеля в 45−и процентном сплаве.
Зная, что нужно получить 120 т сплава с 30−процентном содержанием никеля, можно составить уравнение:
0,05x + 0,45(120 − x) = 0,3 * 120
0,05x + 54 − 0,45x = 36
−0,4x = 36 − 54
−0,4x = −18
$x = 18 : \frac{4}{10} = 18 * \frac{5}{2} = 9 * 5 = 45$ (т) − сплава 5−и процентного;
120 − x = 120 − 45 = 75 (т) − сплава 45−и процентного.
Ответ: нужно взять 45 т 5−и процентного и 75 т 45−и процентного сплавов.

701. В книге недостает нескольких листов. На левой странице разворота стоит номер страницы 24, а на правой − номер 53. Сколько листов недостает между этими страницами?

Решение:

1) (53 − 24) − 1 = 29 − 1 = 28 (страниц) − между 24 и 53 страницами;
2) так как на каждом листе по две страницы, то:
28 : 2 = 14 (листов) − между 24 и 53 страницами.
Ответ: 14 листов

702. Решите уравнение, найдите сумму и произведение его корней и сравните их со вторым коэффициентом и свободным членом уравнения:
1) $x^2 - 4x - 12 = 0$;
2) $x^2 + 9x + 14 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_1 + x_2 = 6 + (-2) = 6 - 2 = 4$
$x_1 * x_2 = 6 * (-2) = -12$
Ответ:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 * x_2 = c$

2) $x^2 + 9x + 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * 14 = 81 + 56 = 25$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_1 + x_2 = -2 + (-7) = -2 - 7 = -9$
$x_1 * x_2 = -2 * (-7) = 14$
Ответ:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 * x_2 = c$

703. Заполните таблицу, где a, b и c − коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + x = 0$, а $x_1$ и $x_2$ − его корни.

Уравнение $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ $x_1$ $x_2$ $x_1+ x_2$ $x_1x_2$
$7x^2 - 8x + 1=0$
$6x^2 + 13x - 15=0$

Решение

$7x^2 - 8x + 1=0$
$-\frac{b}{a} = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$
$\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 7 * 1 = 64 - 28 = 36$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 * 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 * 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$x_1 + x_2 = 1 + \frac{1}{7} = 1\frac{1}{7}$
$x_1 * x_2 = 1 * \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$

$6x^2 + 13x - 15=0$
$-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6}$
$\frac{c}{a} = \frac{-15}{6} = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 * 6 * (-15) = 169 + 360 = 529$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{529}}{2 * 6} = \frac{-13 + 23}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{529}}{2 * 6} = \frac{-13 - 23}{12} = \frac{-36}{12} = -3$
$x_1 + x_2 = \frac{5}{6} + (-3) = \frac{5}{6} - 2\frac{6}{6} = -2\frac{1}{6}$
$x_1 * x_2 = \frac{5}{6} * (-3) = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$

Ответ:
Уравнение $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ $x_1$ $x_2$ $x_1+ x_2$ $x_1x_2$
$7x^2 - 8x + 1=0$ $1\frac{1}{7}$ $\frac{1}{7}$ $1$ $\frac{1}{7}$ $1\frac{1}{7}$ $\frac{1}{7}$
$6x^2 + 13x - 15=0$ $-2\frac{1}{6}$ $-2\frac{1}{2}$ $\frac{5}{6}$ $-3$ $-2\frac{1}{6}$ $-2\frac{1}{2}$

№704. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов.

Решение:

Если для окраски кубиков использовано не менее 11 цветов, то найдутся 11 кубиков разного цвета.
Но для окраски могли использовать не более 10 цветов. Если предположить, что количество кубиков каждого из 10 цветов не более 10, то общее количество кубиков не превосходит 10*10 = 100. Получаем противоречие. В этом случае найдется еще хотя бы 1 кубик нужного цвета, а всего 11 кубиков одного цвета.

176

Ответы к странице 176

§21. Теорема Виета

Вопросы

1. Сформулируйте теорему Виета.

Ответ:

Если $x_1$ и $x_2$ − корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$;
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$.

2. Сформулируйте следствие из теоремы Виеты.

Ответ:

Если $x_1$ и $x_2$ − корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$, то:
$x_1 + x_2 = -b$;
$x_1x_2 = c$.

3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Ответ:

Если числа α и β таковы, что $α + β = -\frac{b}{a}$ и $αβ = \frac{c}{a}$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

4. Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

Ответ:

Если числа α и β таковы, что α + β = −b и αβ = c, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$.

Упражнения

705. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 + 5x - 10 = 0$:
1) 5;
2) −5;
3) −10;
4) 10?

Решение:

$x^2 + 5x - 10 = 0$
$x_1 + x_2 = -b = -5$
Ответ: 2) −5

706. Чему равно произведение корней уравнения $x^2 - 14x + 12 = 0$:
1) −14;
2) 14;
3) 12;
4) −12?

Решение:

$x^2 - 14x + 12 = 0$
$x_1x_2 = с = 12$
Ответ: 3) 12

707. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:
1) $x^2 + 6x - 32 = 0$;
2) $x^2 - 10x + 4 = 0$;
3) $2x^2 - 6x + 3 = 0$;
4) $10x^2 + 42x + 25 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + 6x - 32 = 0$
$x_1 + x_2 = -b = -6$
$x_1x_2 = c = -32$
Ответ: −6; −32.

2) $x^2 - 10x + 4 = 0$
$x_1 + x_2 = -b = -(-10) = 10$
$x_1x_2 = c = 4$
Ответ: 10; 4.

3) $2x^2 - 6x + 3 = 0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = -(-3) = 3$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: 3; 1,5.

4) $10x^2 + 42x + 25 = 0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{42}{10} = -4,2$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{25}{10} = 2,5$
Ответ: −4,2; 2,5.

708. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:
1) $x^2 - 12x - 18 = 0$;
2) $x^2 + 2x - 9 = 0$;
3) $3x^2 + 7x + 2 = 0$;
4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 12x - 18 = 0$
$x_1 + x_2 = -b = -(-12) = 12$
$x_1x_2 = c = -18$
Ответ: 12; −18.

2) $x^2 + 2x - 9 = 0$
$x_1 + x_2 = -b = -2$
$x_1x_2 = c = -9$
Ответ: −2; −9.

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$
Ответ: $-2\frac{1}{3}; \frac{2}{3}$.

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{-4} = -2$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{27}{-4} = -6\frac{3}{4}$
Ответ: $-2; -6\frac{3}{4}$.

709. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:
1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;
2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа −7 и 8;
3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;
4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.

Решение:

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$
$x_1 = 2$
$x_2 = 6$
$x_1 + x_2 = -b = -(-8) = 8$
2 + 6 = 8
8 = 8 − верно
$x_1x_2 = с = 12$
2 * 6 = 12
12 = 12 − верно
Ответ: числа 2 и 6 являются корнями уравнения

2) $x^2 + x - 56 = 0$
$x_1 = -7$
$x_2 = 8$
$x_1 + x_2 = -b = -1$
−7 + 8 = −1
1 = −1 − неверно
$x_1x_2 = с = -56$
−7 * 8 = −56
−56 = −56 − верно
Ответ: числа −7 и 8 не являются корнями уравнения

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = 8$
$x_1 + x_2 = -b = -(-13) = 13$
5 + 8 = 13
13 = 13 − верно
$x_1x_2 = с = 42$
5 * 8 = 42
40 = 42 − неверно
Ответ: числа 5 и 8 не являются корнями уравнения

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$
$x_1 = 9$
$x_2 = 11$
$x_1 + x_2 = -b = -(-20) = 20$
9 + 11 = 20
20 = 20 − верно
$x_1x_2 = с = -99$
9 * 11 = −99
99 = −99 − неверно
Ответ: числа 9 и 11 не являются корнями уравнения

177

Ответы к странице 177

710. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:
1) $x^2 + 2x - 3 = 0$ числа 1 и −2;
2) $x^2 + 5x + 6 = 0$ числа −2 и −3.

Решение:

1) $x^2 + 2x - 3 = 0$
$x_1 = 1$
$x_2 = -2$
$x_1 + x_2 = -b = -2$
1 + (−2) = −2
−1 = −2 − неверно
$x_1x_2 = с = -3$
1 * (−2) = −3
−2 = −3 − неверно
Ответ: числа 1 и −2 не являются корнями уравнения

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$
$x_1 = -2$
$x_2 = -3$
$x_1 + x_2 = -b = -5$
−2 + (−3) = −5
−5 = −5 − верно
$x_1x_2 = с = 6$
−2 * (−3) = 6
6 = 6 − верно
Ответ: числа −2 и −3 являются корнями уравнения

711. Найдите коэффициенты b и c уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа:
1) −8 и 6;
2) 4 и 5.

Решение:

1) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -8$
$x_2 = 6$
$x_1 + x_2 = -b$
−8 + 6 = −b
−2 = −b
b = 2
$x_1x_2 = с$
−8 * 6 = c
c = −48
Ответ: b = 2; c = −48.

2) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = 4$
$x_2 = 5$
$x_1 + x_2 = -b$
4 + 5 = −b
9 = −b
b = −9
$x_1x_2 = с$
4 * 5 = c
c = 20
Ответ: b = −9; c = 20.

712. Найдите коэффициенты b и c уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа:
1) −2 и 0,5;
2) −10 и −20.

Решение:

1) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -2$
$x_2 = 0,5$
$x_1 + x_2 = -b$
−2 + 0,5 = −b
−1,5 = −b
b = 1,5
$x_1x_2 = с$
−2 * 0,5 = c
c = −1
Ответ: b = 1,5; c = −1.

2) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -10$
$x_2 = -20$
$x_1 + x_2 = -b$
−10 + (−20) = −b
−30 = −b
b = 30
$x_1x_2 = с$
−10 * (−20) = c
c = 200
Ответ: b = 30; c = 200.

713. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) 2 и 5;
2) $-\frac{1}{3}$ и 2;
3) −0,2 и −10;
4) $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$;
5) 0 и 6;
6) $-\sqrt{7}$ и $\sqrt{7}$.

Решение:

1) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = 2$
$x_2 = 5$
$x_1 + x_2 = -b$
2 + 5 = −b
7 = −b
b = −7
$x_1x_2 = с$
2 * 5 = c
c = 10
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Ответ: $x^2 - 7x + 10 = 0$

2) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -\frac{1}{3}$
$x_2 = 2$
$x_1 + x_2 = -b$
$-\frac{1}{3} + 2 = -b$
$-\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = -b$
$\frac{5}{3} = -b$
$b = -\frac{5}{3}$
$x_1x_2 = с$
$-\frac{1}{3} * 2 = c$
$c = -\frac{2}{3}$
$x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0$ |* 3
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
Ответ: $3x^2 - 5x - 2 = 0$

3) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -0,2$
$x_2 = -10$
$x_1 + x_2 = -b$
−0,2 + (−10) = −b
−10,2 = −b
b = 10,2
$x_1x_2 = с$
−0,2 * (−10) = c
c = 2
$x^2 + 10,2x + 2 = 0$ |* 10
$10x^2 + 102x + 20 = 0$
Ответ: $10x^2 + 102x + 20 = 0$

4) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = 2 - \sqrt{3}$
$x_2 = 2 + \sqrt{3}$
$x_1 + x_2 = -b$
$2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = -b$
$4 = -b$
$b = -4$
$x_1x_2 = с$
$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = c$
$c = 2^2 - (\sqrt{3})^2$
c = 4 − 3
c = 1
$x^2 - 4x + 1 = 0$
Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

5) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = 6$
$x_1 + x_2 = -b$
0 + 6 = −b
6 = −b
b = −6
$x_1x_2 = с$
0 * 6 = c
c = 0
$x^2 - 6x + 0 = 0$
$x^2 - 6x = 0$
Ответ: $x^2 - 6x = 0$

6) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -\sqrt{7}$
$x_2 = \sqrt{7}$
$x_1 + x_2 = -b$
$-\sqrt{7} + \sqrt{7} = -b$
b = 0
$x_1x_2 = с$
$-\sqrt{7} * \sqrt{7} = c$
$c = -\sqrt{49}$
c = −7
$x^2 + 0x - 7 = 0$
$x^2 - 7 = 0$
Ответ: $x^2 - 7 = 0$

714. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) −7 и −8;
2) 5 и −0,4;
3) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$;
4) $5 - \sqrt{10}$ и $5 + \sqrt{10}$;

Решение:

1) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = -7$
$x_2 = -8$
$x_1 + x_2 = -b$
−7 + (−8) = −b
−15 = −b
b = 15
$x_1x_2 = с$
−7 * (−8) = c
c = 56
$x^2 + 15x + 56 = 0$
Ответ: $x^2 + 15x + 56 = 0$

2) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -0,4$
$x_1 + x_2 = -b$
5 + (−0,4) = −b
4,6 = −b
b = −4,6
$x_1x_2 = с$
5 * (−0,4) = c
c = −2
$x^2 - 4,6x - 2 = 0$ |* 10
$10x^2 - 46x - 20 = 0$
Ответ: $10x^2 - 46x - 20 = 0$

3) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{2}{3}$
$x_1 + x_2 = -b$
$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = -b$
$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = -b$
$\frac{7}{6} = -b$
$b = -\frac{7}{6}$
$x_1x_2 = с$
$\frac{1}{2} * \frac{2}{3} = c$
$c = \frac{1}{3}$
$x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = 0$ |* 6
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
Ответ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$

4) $x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = 5 - \sqrt{10}$
$x_2 = 5 + \sqrt{10}$
$x_1 + x_2 = -b$
$5 - \sqrt{10} + 5 + \sqrt{10} = -b$
10 = −b
b = −10
$x_1x_2 = с$
$(5 - \sqrt{10})(5 + \sqrt{10}) = c$
$c = 5^2 - (\sqrt{10})^2$
c = 25 − 10
c = 15
$x^2 - 10x + 15 = 0$
Ответ: $x^2 - 10x + 15 = 0$

715. Число −2 является корнем уравнения $x^2 - 8x + q = 0$. Найдите значение q и второй корень уравнения.

Решение:

$x^2 - 8x + q = 0$
$x_1 = -2$
$x_1 + x_2 = -b$
$-2 + x_2 = -(-8)$
$-2 + x_2 = 8$
$x_2 = 8 + 2$
$x_2 = 10$
$x_1x_2 = c = q$
−2 * 10 = q
q = −20
Ответ: q = −20, $x_2 = 10$.

716. Число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 42 = 0$. Найдите значение p и второй корень уравнения.

Решение:

$x^2 + px - 42 = 0$
$x_1 = 7$
$x_1x_2 = c$
$7x_2 = -42$
$x_2 = -6$
$x_1 + x_2 = -b = -p$
−p = 7 + (−6)
−p = 1
p = −1
Ответ: p = −1, $x_2 = -6$.

717. Число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$. Найдите значение b и второй корень уравнения.

Решение:

$6x^2 - bx + 4 = 0$
$x_1 = \frac{1}{3}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$\frac{1}{3}x_2 = \frac{4}{6}$
$x_2 = \frac{4}{6} : \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{2}{3} * 3$
$x_2 = 2$
$\frac{1}{3} + 2 = -\frac{b}{a}$
$\frac{1}{3} + 2 = -\frac{-b}{6}$ |* 6
2 + 12 = b
b = 14
Ответ: b = 14, $x_2 = 2$.

718. Число −0,2 является корнем уравнения $4x^2 - 5,6x + m = 0$. Найдите значение m и второй корень уравнения.

Решение:

$4x^2 - 5,6x + m = 0$
$x_1 = -0,2$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$-0,2 + x_2 = -\frac{-5,6}{4}$
$-0,2 + x_2 = 1,4$
$x_2 = 1,4 + 0,2$
$x_2 = 1,6$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{a}$
$-0,2 * 1,6 = \frac{m}{4}$
$\frac{m}{4} = -0,32$
m = −0,32 * 4
m = −1,28
Ответ: m = −1,28; $x_2 = 1,6$.

719. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $2x^2 - 7x - 13 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2$.

Решение:

$2x^2 - 7x - 13 = 0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 + x_2 = -\frac{-7}{2}$
$x_1 + x_2 = 3,5$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2 = \frac{-13}{2}$
$x_1x_2 = -6,5$
$x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2 = x_1x_2 - 4(x_1 + x_2) = -6,5 - 4 * 3,5 = -6,5 - 14 = -20,5$
Ответ: −20,5

720. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $5x^2 + 4x - 13 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.

Решение:

$5x^2 + 4x - 13 = 0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 + x_2 = -\frac{4}{5}$
$x_1 + x_2 = -0,8$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2 = \frac{-13}{5}$
$x_1x_2 = -2,6$
$3x_1x_2 - x_1 - x_2 = 3x_1x_2 - (x_1 + x_2) = 3 * (-2,6) - (-0,8) = -7,8 + 0,8 = -7$
Ответ: −7

721. При каком значении b корни уравнения $x^2 + bx - 17 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Решение:

$x^2 + bx - 17 = 0$
$x_1 = -x_2$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1x_2 = -17$
$-x_2x_2 = -17$
$x_2x_2 = 17$
$x_2^2 = 17$
$x_2 = \sqrt{17}$
$x_1 = -\sqrt{17}$
или
$x_2 = -\sqrt{17}$
$x_1 = \sqrt{17}$
$-b = x_1 + x_2 = -\sqrt{17} + \sqrt{17} = 0$
−b = 0
b = 0
Ответ: b = 0, $x_1 = \sqrt{17}, x_2 = -\sqrt{17}$.

722. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:
1) $x^2 - 5x + 4 = 0$;
2) $x^2 + 5x + 4 = 0$;
3) $x^2 - 4x - 5 = 0$;
4) $x^2 + 4x - 5 = 0$;
5) $x^2 - 9x + 20 = 0$;
6) $x^2 - x - 2 = 0$;
7) $x^2 + 2x - 8 = 0$;
8) $x^2 - 3x - 18 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 5x + 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-5) &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 1 &\\ x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 1; 4.

2) $x^2 + 5x + 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -5 &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -1 &\\ x_2 = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −1; −4.

3) $x^2 - 4x - 5 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-4) &\\ x_1x_2 = -5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 &\\ x_1x_2 = -5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 5 &\\ x_2 = -1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 5; −1.

4) $x^2 + 4x - 5 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 &\\ x_1x_2 = 5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -5 &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −5; 1.

5) $x^2 - 9x + 20 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-9) &\\ x_1x_2 = 20 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 9 &\\ x_1x_2 = 20 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 4 &\\ x_2 = 5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 4; 5.

6) $x^2 - x - 2 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-1) &\\ x_1x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 &\\ x_1x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -1 &\\ x_2 = 2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −1; 2.

7) $x^2 + 2x - 8 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 &\\ x_1x_2 = -8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -4 &\\ x_2 = 2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −4; 2.

8) $x^2 - 3x - 18 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-3) &\\ x_1x_2 = -18 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 &\\ x_1x_2 = -18 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -3 &\\ x_2 = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −3; 6.

178

Ответы к странице 178

723. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:
1) $x^2 - 10x + 24 = 0$;
2) $x^2 + 6x + 8 = 0$;
3) $x^2 - 2x - 8 = 0$;
4) $x^2 + x - 12 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 10x + 24 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-10) &\\ x_1x_2 = 24 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 &\\ x_1x_2 = 24 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 4 &\\ x_2 = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 4; 6.

2) $x^2 + 6x + 8 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -6 &\\ x_1x_2 = 8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -4 &\\ x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −4; −2.

3) $x^2 - 2x - 8 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-2) &\\ x_1x_2 = -8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 &\\ x_1x_2 = -8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -2 &\\ x_2 = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −2; 4.

4) $x^2 + x - 12 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 &\\ x_1x_2 = -12 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -4 &\\ x_2 = 3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −4; 3.

724. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие − два отрицательных, а какие − корни разных знаков:
1) $x^2 - 12x + 14 = 0$;
2) $x^2 + 6x - 42 = 0$;
3) $x^2 - 7x - 30 = 0$;
4) $x^2 + 16x + 10 = 0$;
5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$;
6) $x^2 + 20x + 3 = 0$?

Решение:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$
$x_1x_2 = 14 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака;
$x_1 + x_2 = -(-12) = 12 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − положительные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 положительных корня

2) $x^2 + 6x - 42 = 0$
$x_1x_2 = -42 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − имеют разные знаки.
Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$
$x_1x_2 = -30 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − имеют разные знаки.
Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

4) $x^2 + 16x + 10 = 0$
$x_1x_2 = 10 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака.
$x_1 + x_2 = -16 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − отрицательные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 отрицательных корня

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$
$x_1x_2 = 0,1 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака.
$x_1 + x_2 = -(-24) = 24 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − положительные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 положительных корня

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$
$x_1x_2 = 3 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака.
$x_1 + x_2 = -20 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − отрицательные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 отрицательных корня

725. Один из корней уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ на 8 меньше другого. Найдите значение c и корни уравнения.

Решение:

$x^2 - 10x + c = 0$
$x_1 = x_2 - 8$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_2 - 8 + x_2 = -(-10)$
$2x_2 = 10 + 8$
$2x_2 = 18$
$x_2 = 9$
$x_1 = 9 - 8$
$x_1 = 1$
$x_1x_2 = c$
c = 1 * 9 = 9
Ответ: c = 9; $x_1 = 1; x_2 = 9$.

726. Корни уравнения $x^2 + 20x + a = 0$ относятся как 7 : 3. Найдите значение a и корни уравнения.

Решение:

$x^2 + 20x + a = 0$
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{7}{3}$
$x_1 = \frac{7}{3}x_2$
$x_1 + x_2 = -b$
$\frac{7}{3}x_2 + x_2 = -20$
$\frac{10}{3}x_2 = -20$
$x_2 = -20 : \frac{10}{3}$
$x_2 = -20 * \frac{3}{10}$
$x_2 = -2 * 3$
$x_2 = -6$
$x_1 = \frac{7}{3}x_2 = \frac{7}{3} * (-6) = 7 * (-2) = -14$
$x_1x_2 = c = a$
a = −14 * (−6)
a = 84
Ответ: a = 84; $x_1 = -14; x_2 = -6$.

727. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x + m = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 - 5x_2 = 28$. Найдите корни уравнения и значение m.

Решение:

$x^2 - 7x + m = 0$
$2x_1 - 5x_2 = 28$
$2x_1 = 28 + 5x_2$
$x_1 = \frac{28 + 5x_2}{2}$
$x_1 = 14 + 2,5x_2$
$x_1 + x_2 = -b$
$14 + 2,5x_2 + x_2 = -(-7)$
$14 + 3,5x_2 = 7$
$3,5x_2 = 7 - 14$
$3,5x_2 = -7$
$x_2 = -2$
$x_1 = 14 + 2,5x_2$
$x_1 = 14 + 2,5 * (-2)$
$x_1 = 14 - 5$
$x_1 = 9$
$x_1x_2 = c = m$
m = 9 * (−2) = −18
Ответ: m = −18, $x_1 = 9, x_2 = -2.$

728. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 4x + n = 0$ удовлетворяют условию $3x_1 - x_2 = 8$. Найдите корни уравнения и значение n.

Решение:

$x^2 + 4x + n = 0$
$3x_1 - x_2 = 8$
$x_2 = 3x_1 - 8$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + 3x_1 - 8 = -4$
$4x_1 = -4 + 8$
$4x_1 = 4$
$x_1 = 1$
$x_2 = 3x_1 - 8$
$x_2 = 3 * 1 - 8$
$x_2 = -5$
$x_1x_2 = c = n$
n = 1 * (−5)
n = −5
Ответ: n = −5, $x_1 = 1, x_2 = -5.$

729. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:
1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$;
2) $2x^2 + 5x + 3 = 0$;
3) $16x^2 - 23x + 7 = 0$;
4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$.

Решение:

1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{3}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 2,5 &\\ x_1x_2 = 1,5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 1,5 &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 1; 1,5.

2) $2x^2 + 5x + 3 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{3}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -2,5 &\\ x_1x_2 = 1,5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -1,5 &\\ x_2 = -1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −1,5; −1.

3) $16x^2 - 23x + 7 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-23}{16} &\\ x_1x_2 = \frac{7}{16} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} &\\ x_1x_2 = \frac{7}{16} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = \frac{7}{16} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $\frac{7}{16}; 1$.

4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-19}{-8} &\\ x_1x_2 = \frac{27}{-8} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} &\\ x_1x_2 = \frac{27}{-8} = -3\frac{3}{8} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -3\frac{3}{8} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $-3\frac{3}{8}; 1$.

730. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:
1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$;
2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$.

Решение:

1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{11}{7} &\\ x_1x_2 = \frac{-18}{7} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -1\frac{4}{7} &\\ x_1x_2 = -2\frac{4}{7} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -2\frac{4}{7} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $-2\frac{4}{7}; 1$.

2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-5}{9} &\\ x_1x_2 = \frac{-4}{9} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{5}{9} &\\ x_1x_2 = -\frac{4}{9} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -\frac{4}{9} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $-\frac{4}{9}; 1$.

731. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;
2) $x^2_1 + x^2_2$;
3) $(x_1 - x_2)^2$;
4) $x^3_1 + x^3_2$.

Решение:

1) $x^2 - 9x + 6 = 0$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -(-9)$
$x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = 6$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{9}{6} = 1,5$
Ответ: 1,5

2) $x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = 6$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9^2 - 2 * 6 = 81 - 12 = 69$

3) $x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = 6$
$(x_1 - x_2)^2 = x^2_1 - 2x_1x_2 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9^2 - 4 * 6 = 81 - 24 = 57$

4) $x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = 6$
$x^3_1 + x^3_2 = (x_1 + x_2)(x^2_1 - x_1x_2 + x^2_2) = (x_1 + x_2)(x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2 - 3x_1x_2) = 9((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2) = 9 * (9^2 - 3 * 6) = 9 * (81 - 18) = 9 * 63 = 567$

732. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $x^2 + 5x - 16 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) $x^2_1x_2 + x^2_2x_1$;
2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;
3) $|x_2 - x_1|$.

Решение:

1) $x^2 + 5x - 16 = 0$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = -16$
$x^2_1x_2 + x^2_2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2) = -16 * (-5) = 80$

2) $x_1 + x_2 = -5$
$x_1x_2 = -16$
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x^2_2 + x^2_1}{x_1x_2} = \frac{x^2_2 + x^2_1 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x^2_2 + 2x_1x_2 + x^2_1) - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_2 + x_1)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(-5)^2 - 2 * (-16)}{-16} = \frac{25 + 32}{-16} = -\frac{57}{16} = -3\frac{9}{16}$

3) $|x_2 - x_1|$
$(|x_2 - x_1|)^2 = x^2_2 - 2x_2x_1 + x^2_1 = x^2_2 + 2x_2x_1 + x^2_1 - 4x_2x_1 = (x_2 + x_1)^2 - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-5)^2 - 4 * (-16) = 25 + 64 = 89$
$|x_2 - x_1| = \sqrt{89}$

733. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Решение:

$x^2 + 8x - 3 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -8 &\\ x_1x_2 = -3 & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = x_1 - 2$
$y_2 = x_2 - 2$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = x_1 - 2 + x_2 - 2 = x_1 + x_2 - 4 = -8 - 4 = -12$
$y_1y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_2 - 2x_1 + 4 = x_1x_2 - 2(x_2 + x_1) + 4 = -3 - 2 * (-8) + 4 = -3 + 16 + 4 = 17$
$y_1 + y_2 = -b = -12$
b = 12 − второй коэффициент
$y_1y_2 = 17$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 + 12y + 17 = 0$

734. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 4 = 0$.

Решение:

$x^2 - 12x + 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-12) &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 12 &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = x_1 + 3 + x_2 + 3 = x_1 + x_2 + 6 = 12 + 6 = 18$
$y_1y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_2 + 3x_1 + 9 = x_1x_2 + 3(x_2 + x_1) + 9 = 4 + 3 * 12 + 9 = 4 + 36 + 9 = 49$
$y_1 + y_2 = -b = 18$
b = −18 − второй коэффициент
$y_1y_2 = 49$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 - 18y + 49 = 0$

735. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 14x + 9 = 0$.

Решение:

$2x^2 - 14x + 9 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-14}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{9}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 &\\ x_1x_2 = \frac{9}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = \frac{x_1}{3}$
$y_2 = \frac{x_2}{3}$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{7}{3}$
$y_1y_2 = \frac{x_1}{3} * \frac{x_2}{3} = \frac{x_1x_2}{9} = \frac{\frac{9}{2}}{9} = \frac{9}{2} * \frac{1}{9} = \frac{1}{2}$
$y_1 + y_2 = -b = \frac{7}{3}$
$b = -\frac{7}{3}$ − второй коэффициент
$y_1y_2 = \frac{1}{2}$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{1}{2} = 0$ |* 6
$6y^2 - 14y + 3 = 0$

736. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.

Решение:

$2x^2 - 15x + 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-15}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{4}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{15}{2} &\\ x_1x_2 = 2 & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = 2x_1$
$y_2 = 2x_2$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2 * \frac{15}{2} = 15$
$y_1y_2 = 2x_1 * 2x_2 = 4x_1x_2 = 4 * 2 = 8$
$y_1 + y_2 = -b = 15$
$b = -15$ − второй коэффициент
$y_1y_2 = 8$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 - 15y + 8 = 0$

179

Ответы к странице 179

737. Сумма квадратов корней уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$ равна $\frac{46}{9}$. Найдите значение a.

Решение:

$3x^2 + ax - 7 = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = \frac{46}{9}$
$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
$x_1x_2 = -\frac{7}{3}$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{46}{9}$
$(-\frac{a}{3})^2 - 2 * (-\frac{7}{3}) = \frac{46}{9}$
$\frac{a^2}{9} + \frac{14}{3} = \frac{46}{9}$ |* 9
$a^2 + 42 = 46$
$a^2 = 46 - 42$
$a^2 = 4$
a = ±2
Ответ: a = ±2

738. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - ax + 8 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$. Найдите значение a.

Решение:

$x^2 - ax + 8 = 0$
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$
$x_1 + x_2 = -(-a) = a$
$x_1x_2 = 8$
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x^2_1 + x^2_2}{x_1x_2} = \frac{x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{a^2 - 2 * 8}{8} = \frac{5}{2}$
$\frac{a^2 - 16}{8} = \frac{5}{2}$ |* 8
$a^2 - 16 = 5 * 4$
$a^2 - 16 = 20$
$a^2 = 20 + 16$
$a^2 = 36$
a = ±6
Ответ: a = ±6

739. Верно ли утверждение:
1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении a;
2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения a они оба отрицательны?

Решение:

1) $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$
$x_1x_2 = \frac{-a^2 - 1}{7} = -\frac{a^2 + 1}{7}$
$a^2 + 1 > 0$ при любом a, следовательно $\frac{a^2 + 1}{7} > 0$ при любом a, значит $-\frac{a^2 + 1}{7} < 0$ при любом a.
Отсюда $x_1x_2 < 0$, следовательно при любом значении a, уравнение имеет корни разных знаков.
Ответ: верно

2) $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$
$x_1x_2 = a^2 + 4$
$a^2 ≥ 0$ при любом a, значит $a^2 + 4 > 0$ при любом a.
т.к. $x_1x_2 > 0$, значит корни уравнения имеют одинаковые знаки.
$x_1 + x_2 = -6 < 0$, значит оба корня отрицательны.
Ответ: верно

740. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $x^2 + bx + 6 = 0$;
2) $x^2 + bx - 12 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + bx + 6 = 0$
$x_1x_2 = 6$
6 = 1 * 6
6 = 2 * 3
6 = −1 * (−6)
6 = −2 * (−3)
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + 6) = -7$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + 3) = -5$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(-1 + (-6)) = -(-7) = 7$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(-2 + (-3)) = -(-5) = 5$
Ответ: при b = −7; −5; 5; 7.

2) $x^2 + bx - 12 = 0$
$x_1x_2 = -12$
12 = 1 * (−12)
12 = 2 * (−6)
12 = 3 * (−4)
12 = 4 * (−3)
12 = 6 * (−2)
12 = −1 * 12
12 = −2 * 6
12 = −3 * 4
12 = −4 * 3
12 = −6 * 2
12 = −12 * 1
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + (-12)) = 11$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + (-6)) = 4$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(3 + (-4)) = 1$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(4 + (-3)) = -1$
$b_5 = -(x_1 + x_2) = -(6 + (-2)) = -4$
$b_6 = -(x_1 + x_2) = -(12 + (-1)) = -11$
Ответ: при b = −11; −4; −1; 1; 4; 11.

741. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $x^2 + bx + 8 = 0$;
2) $x^2 + bx - 18 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + bx + 8 = 0$
$x_1x_2 = 8$
8 = 1 * 8
8 = 2 * 4
8 = −1 * (−8)
8 = −2 * (−4)
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + 8) = -9$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + 4) = -6$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(-1 + (-8)) = -(-9) = 9$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(-2 + (-4)) = -(-6) = 6$
Ответ: при b = −9; −6; 6; 9.

2) $x^2 + bx - 18 = 0$
$x_1x_2 = -18$
−18 = 1 * (−18)
−18 = 2 * (−9)
−18 = 3 * (−6)
−18 = 6 * (−3)
−18 = 9 * (−2)
−18 = 18 * (−1)
−18 = −2 * 9
−18 = −3 * 6
−18 = −6 * 3
−18 = −9 * 2
−18 = −18 * 1
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + (-18)) = -(-17) = 17$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + (-9)) = -(-7) = 7$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(3 + (-6)) = = -(-3) = 3$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(6 + (-3)) = = -3$
$b_5 = -(x_1 + x_2) = -(9 + (-2)) = -7$
$b_6 = -(x_1 + x_2) = -(18 + (-1)) = -17$
Ответ: при b = −17; −7; −3; 3; 7; 17.

742. Корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$ равны его коэффициентам b и c. Найдите b и c.

Решение:

$x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = b$
$x_2 = c$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} b + c = -b &\\ bc = c & \end{cases} \end{equation*}$
bc = c
bc − c = 0
c(b − 1) = 0
c = 0
или
b − 1 = 0
b = 1
Тогда:
$\begin{equation*} \begin{cases} 2b + c = 0 &\\ c = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2b + 0 = 0 &\\ c = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} b = 0 &\\ c = 0 & \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} 2b + c = 0 &\\ b = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} c = -2b &\\ b = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} c = -2 &\\ b = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: b = c = 0; b = 1 и c = −2.

743. При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равна:
1) 12;
2) 6?

Решение:

1) $x^2 - 4x + a = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = 12$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12$
$x_1x_2 = a$
$x_1 + x_2 = 4$
подставим данные выражения в условие:
$4^2 - 2a = 12$
16 − 2a = 12
−2a = −4
2a = 4
a = 2
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = (-4)^2 - 4 * 1 * 2 = 8 > 0$ имеет 2 корня
Ответ: при a = 2

2) $x^2 - 4x + a = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = 6$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2) - 2x_1x_2 = 6$
$x_1x_2 = a$
$x_1 + x_2 = 4$
подставим данные выражения в условие:
$4^2 - 2a = 6$
16 − 2a = 6
2a = 10
a = 5
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = -4 < 0$ − корней нет
Ответ: таких значений a не существует.

744. При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Решение:

$x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = 9$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9$
$x_1x_2 = -2a$
$x_1 + x_2 = -(a - 1)$
тогда:
$(-(a - 1))^2 - 2 * (-2a) = 9$
$a^2 - 2a + 1 + 4a = 9$
$a^2 + 2a - 8 = 0$
по теореме Виета:
$a_1 = 2$
$a_2 = -4$
если a = 2, то:
$x^2 + (2 - 1)x - 2 * 2 = 0$
$x^2 + x - 4 = 0$
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = 1^2 - 4 * 1 * (-4) = 17 > 0$ − имеет 2 корня
если a = −4, то:
$x^2 + (-4 - 1)x - 2 * (-4) = 0$
$x^2 - 5x + 8 = 0$
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = (-5)^2 - 4 * 1 * 8 = 25 - 32 = -8 < 0$ − корней нет.
Ответ: при a = 2

745. Сократите дробь:
1) $\frac{4a - 16}{a^2 - 16}$;
2) $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b}$;
3) $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25}$;
4) $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4}$;
5) $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n}$;
6) $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4}$.

Решение:

1) $\frac{4a - 16}{a^2 - 16} = \frac{4(a - 4)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{4}{a + 4}$

2) $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b} = \frac{4b^2(3b - 2)}{2 - 3b} = -\frac{4b^2(3b - 2)}{3b - 2} = -4b^2$

3) $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25} = \frac{(c + 5)^2}{5(c + 5)} = \frac{c + 5}{5}$

4) $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4} = \frac{(2 - m)(2 + m)}{(m - 2)^2} = \frac{(2 - m)(2 + m)}{(2 - m)^2} = \frac{2 + m}{2 - m}$

5) $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n} = \frac{n^3(1 - n^2)}{n(n^2 - 1)} = \frac{n^2(1 - n^2)}{n^2 - 1} = -\frac{n^2(1 - n^2)}{1- n^2} = -n^2$

6) $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4} = \frac{2(1 - x^2)}{4(x^2 - 2x + 1)} = \frac{2(1 - x)(1 + x)}{4(x - 1)^2} = \frac{2(1 - x)(1 + x)}{4(1 - x)^2} = \frac{1 + x}{2(1 - x)}$

746. В саду посадили рядами 48 деревьев с одинаковым количество деревьев в каждом ряду. Рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Сколько деревьев посадили в каждом ряду и сколько было рядов?

Решение:

Пусть x (деревьев) − было в каждом ряду, тогда:
x − 8 (рядов) − посадили всего.
Так как, всего в саду посадили 48 деревьев, можно составить уравнение:
x(x − 8) = 48
$x^2 - 8x - 48 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-8) &\\ x_1x_2 = -48 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 &\\ x_1x_2 = -48 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 12 &\\ x_2 = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
$x = -4$ − не удовлетворяет условию задачи, так как количество деревьев не может быть отрицательным, тогда:
x = 12 (деревьев) − было в каждом ряду, тогда:
12 − 8 = 4 (ряда) − посадили всего.
Ответ: 12 деревьев, 4 ряда.

747. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и y = x + 2. Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение:

$y = x^2$ и y = x + 2
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-1) &\\ x_1x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 &\\ x_1x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 2 &\\ x_2 = -1 & \end{cases} \end{equation*}$
$y_1 = x_1 + 2 = 2 + 2 = 4$
$y_2 = x_2 + 2 = -1 + 2 = 1$
Тогда:
$(x_1; y_1) = (2; 4)$ и $(x_2; y_2) = (-1; 1)$ − точки пересечения графиков.

$y = x^2$

y = x + 2

748. В саду 60% деревьев составляют вишни и сливы, из них 30% составляют сливы. Какой процент всех деревьев сада составляют сливы?

Решение:

30% − 0,3
60% − 0,6
0,3 * 0,6 = 0,18 или 18% − всех деревьев сада составляют сливы.
Ответ: 18%

180

Ответы к странице 180

749. Пользуясь методом группировки, разложите на множители многочлен:
1) $x^2 - 7x + 10$;
2) $y^2 + 3y - 4$;
3) $a^2 + 8a + 12$;
4) $x^2 - x - 6$.

Решение:

1) $x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10 = (x^2 - 2x) - (5x - 10) = x(x - 2) - 5(x - 2) = (x - 2)(x - 5)$

2) $y^2 + 3y - 4 = y^2 - y + 4y - 4 = (y^2 - y) + (4y - 4) = y(y - 1) + 4(y - 1) = (y - 1)(y + 4)$

3) $a^2 + 8a + 12 = a^2 + 2a + 6a + 12 = (a^2 + 2a) + (6a + 12) = a(a + 2) + 6(a + 2) = (a + 2)(a + 6)$

4) $x^2 - x - 6 = x^2 + 2x - 3x - 6 = (x^2 + 2x) - (3x + 6) = x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3)$

№750. Вася задумал три цифры: x, y, z. Петя называет три числа: a, b, c. Вася сообщает Пете значение выражения ax + by + cz. Какие числа должен назвать Петя, чтобы по полученной информации определить, какие цифры задумал Вася?

Решение:

Если в качестве a, b и c назвать соответственно числа 100, 10 и 1, то значение выражения ax + by + cz будет равно числу, цифры которого совпадают с теми, что задумал Вася.
Например, Вася говорит, что значение выражения 258, значит он задумал цифры x = 2, y = 5, z = 8.
Ответ: a = 100, b = 10, c = 1. 

181

Ответы к странице 181

Задание №5 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Какое из данных уравнений не является квадратным?
А) $x^2 = 0$;
Б) $x^2 + x = 0$;
В) $x^3 + x = 0$;
Г) $x^2 + x - 2 = 0$.

Решение:

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, тогда:
А) $x^2 = 0$ − квадратное уравнение;
Б) $x^2 + x = 0$ − квадратное уравнение;
В) $x^3 + x = 0$ − не является квадратным;
Г) $x^2 + x - 2 = 0$ − квадратное уравнение.
Ответ: В) $x^3 + x = 0$

2. Решите уравнение $9x - x^2 = 0$.
А) −3; 0; 3
Б) 0; 3
В) −3; 3
Г) 0; 9

Решение:

$9x - x^2 = 0$
x(9 − x) = 0
x = 0
или
9 − x = 0
−x = −9
x = 9
Ответ: Г) 0; 9.

3. Решите уравнение $\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3} = \frac{3 - x}{2}$
А) 0; 5
Б) 5
В) $\sqrt{5}$
Г) $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$

Решение:

$\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3} = \frac{3 - x}{2}$ |* 6
$x^2 - x - 2(x - 2) = 3(3 - x)$
$x^2 - x - 2x + 4 = 9 - 3x$
$x^2 - 3x + 3x + 4 - 9 = 0$
$x^2 - 5 = 0$
$x^2 = 5$
$x = ±\sqrt{5}$
Ответ: Г) $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

4. Какое из данных уравнений не имеет корней?
А) $x^2 - 5x - 2 = 0$
Б) $x^2 - 5x + 2 = 0$
В) $x^2 - 2x + 5 = 0$
Г) $x^2 + 2x - 5 = 0$

Решение:

Уравнение не имеет корней, когда дискриминант меньше нуля.
А)
$x^2 - 5x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 *(-2) = 25 + 8 = 33 > 0$ имеет 2 корня
Б)
$x^2 - 5x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 2 = 25 - 8 = 17 > 0$ имеет 2 корня
В)
$x^2 - 2x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 < 0$ нет корней
Г)
$x^2 + 2x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-5) = 4 + 20 = 24 > 0$ имеет 2 корня
Ответ: В) $x^2 - 2x + 5 = 0$

5. Сколько корней имеет уравнение $6x^2 + 13x + 5 = 0$?
А) два
Б) бесконечно много
В) ни одного
Г) один

Решение:

$6x^2 + 13x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 * 6 * 5 = 169 - 120 = 49 > 0$ имеет 2 корня
Ответ: А) два

6. Найдите корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.
А) 7; −3
Б) −7; 3
В) −7; −3
Г) 3; 7

Решение:

$x^2 + 4x - 21 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: Б) −7; 3.

7. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 - 10x - 12 = 0$?
А) 10
Б) −10
В) −12
Г) 12

Решение:

$x^2 - 10x - 12 = 0$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -(-10)$
$x_1 + x_2 = 10$
Ответ: А) 10

8. Чему равно произведение корней уравнения $3x^2 - 16x + 6 = 0$?
А) 6
Б) 2
В) −16
г) $\frac{16}{3}$

Решение:

$3x^2 - 16x + 6 = 0$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2 = \frac{6}{3} = 2$
Ответ: Б) 2

9. При каких значениях переменной принимают равные значения выражения (3x − 1)(x + 2) и (x − 12)(x − 4)?
А) −12,5; 2
Б) 12,5; −2
В) −25; 4
Г) 25; −4

Решение:

(3x − 1)(x + 2) = (x − 12)(x − 4)
$3x^2 - x + 6x - 2 = x^2 - 12x - 4x + 48$
$3x^2 + 5x - 2 = x^2 - 16x + 48$
$3x^2 + 5x - 2 - x^2 + 16x - 48 = 0$
$2x^2 + 21x - 50 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 * 2 * (-50) = 441 + 400 = 841 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 + \sqrt{841}}{2 * 2} = \frac{-21 + 29}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 - \sqrt{841}}{2 * 2} = \frac{-21 - 29}{4} = \frac{-50}{4} = -12,5$
Ответ: А) −12,5; 2

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$.
А) $x^2 + 6x - 7 = 0$
Б) $x^2 - 6x - 7 = 0$
В) $x^2 + 6x + 7 = 0$
Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

Решение:

$x_1 = 3 - \sqrt{2}$
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x_1 + x_2 = -b$
$-b = 3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6$
b = −6
$x_1x_2 = c$
$c = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$
получим уравнение:
$x^2 - 6x + 7 = 0$
Ответ: Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

11. Решите уравнение x|x| − 9x − 10 = 0.
А) $-1; 10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
В) $-1; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$
Г) −1; 10

Решение:

x|x| − 9x − 10 = 0
1) x ≥ 0
x * x − 9x − 10 = 0
$x^2 - 9x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
2) x < 0
x * (−x) − 9x − 10 = 0
$-x^2 - 9x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * (-1) * (-10) = 81 - 40 = 41 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{41}}{2 * (-1)} = \frac{9 + \sqrt{41}}{-2} = -\frac{9 + \sqrt{41}}{2} = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{41}}{2 * (-1)} = \frac{9 - \sqrt{41}}{-2} = -\frac{9 - \sqrt{41}}{2} = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
Ответ: Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$.

12. Число −5 является корнем уравнения $2x^2 + 9x + c = 0$. Найдите второй корень уравнения и значение c.
А) $x_2 = 0,5, c = -5$
Б) $x_2 = -0,5, c = 5$
В) $x_2 = 9,5, c = 22,5$
Г) $x_2 = 9,5, c = -22,5$

Решение:

$2x^2 + 9x + c = 0$
$x_1 = -5$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$-5 + x_2 = -\frac{9}{2}$
$x_2 = -4,5 + 5$
$x_2 = 0,5$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$-5 * 0,5 = \frac{c}{2}$
$-2,5 = \frac{c}{2}$
с = 2 * (−2,5)
с = −5
Ответ: А) $x_2 = 0,5, c = -5$

184

Ответы к странице 184

§22. Квадратный трехчлен

Вопросы

1. Какой многочлен называют квадратным трехчленом?

Ответ:

Квадратным трехчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где x − переменная, a, b и c − некоторые числа, причем a ≠ 0.

2. Что называют корнем квадратного трехчлена?

Ответ:

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

3. Что называют дискриминантом квадратного трехчлена?

Ответ:

Число $D = b^2 - 4ac$ называют дискриминантом квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$.

4. В каком случае квадратный трехчлен не имеет корней; имеет один корень? Имеет два корня?

Ответ:

Если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.
Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

5. В каком случае квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители?

Ответ:

Если дискриминант квадратного трехчлена неотрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

6. По какой формуле квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители?

Ответ:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

7. В каком случае квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители?

Ответ:

Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Упражнения

751. Найдите корни квадратного трехчлена:
1) $x^2 - x - 12$;
2) $x^2 + 2x - 35$;
3) $3x^2 - 16x + 5$;
4) $16x^2 - 24x + 3$;
5) $4x^2 + 28x + 49$;
6) $3x^2 + 21x - 90$.

Решение:

1) $x^2 - x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: −3; 4.

2) $x^2 + 2x - 35 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: −7; 5.

3) $3x^2 - 16x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 3 * 5 = 256 - 60 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{196}}{2 * 3} = \frac{16 + 14}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{196}}{2 * 3} = \frac{16 - 14}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; 5$.

4) $16x^2 - 24x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 16 * 3 = 576 - 192 = 384 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{384}}{2 * 16} = \frac{24 + \sqrt{64 * 6}}{32} = \frac{24 + 8\sqrt{6}}{32} = \frac{8(3 + \sqrt{6})}{32} = \frac{3 + \sqrt{6}}{4}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{384}}{2 * 16} = \frac{24 - \sqrt{64 * 6}}{32} = \frac{24 - 8\sqrt{6}}{32} = \frac{8(3 - \sqrt{6})}{32} = \frac{3 - \sqrt{6}}{4}$
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{6}}{4}; \frac{3 + \sqrt{6}}{4}$.

5) $4x^2 + 28x + 49 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 * 4 * 49 = 784 - 784 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + \sqrt{0}}{2 * 4} = \frac{-28}{2 * 4} = \frac{-7}{2} = -3,5$
Ответ: −3,5

6) $3x^2 + 21x - 90 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 * 3 * (-90) = 441 + 1080 = 1521 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 + \sqrt{1521}}{2 * 3} = \frac{-21 + 39}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 - \sqrt{1521}}{2 * 3} = \frac{-21 - 39}{6} = \frac{-60}{6} = -10$
Ответ: −10; 3.

185

Ответы к странице 185

752. Можно ли разложить на линейные множители квадратный трехчлен:
1) $x^2 - 12x + 6$;
2) $3x^2 - 8x + 6$;
3) $2a^2 - 8a + 8$;
4) $-6b^2 + b + 12$?

Решение:

1) $x^2 - 12x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 6 = 144 - 24 = 120 > 0$ − значит разложить на линейные множители можно

2) $3x^2 - 8x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 3 * 6 = 64 - 72 = -8 < 0$ − значит разложить на линейные множители можно

3) $2a^2 - 8a + 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 2 * 8 = 64 - 64 = 0$ − значит разложить на линейные множители можно

4) $-6b^2 + b + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * (-6) * 12 = 1 + 288 = 289 > $ − значит разложить на линейные множители можно

753. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен:
1) $x^2 - 7x + 12$;
2) $x^2 + 8x + 15$;
3) $x^2 - 3x - 10$;
4) $-x^2 - 5x - 6$;
5) $-x^2 + x + 2$;
6) $6x^2 - 5x - 1$;
7) $4x^2 + 3x - 22$;
8) $-3a^2 + 8a + 3$;
9) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1$;
10) $-2x^2 - 0,5x + 1,5$;
11) $0,4x^2 - 2x + 2,5$;
12) $-1,2m^2 + 2,6m - 1$.

Решение:

1) $x^2 - 7x + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ:$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$

2) $x^2 + 8x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-8 -2}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x^2 + 8x + 15 = (x - (-5))(x - (-3)) = (x + 5)(x + 3)$
Ответ: $x^2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3)$

3) $x^2 - 3x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$
Ответ: $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$

4) $-x^2 - 5x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * (-1) * (-6) = 25 - 24 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 * (-1)} = \frac{5 + 1}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 * (-1)} = \frac{5 - 1}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$
$-x^2 - 5x - 6 = -(x - (-3))(x - (-2)) = -(x + 3)(x + 2)$
Ответ: $-x^2 - 5x - 6 = -(x + 3)(x + 2)$

5) $-x^2 + x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * (-1) * 2 = 1 + 8 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 * (-1)} = \frac{-1 + 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 * (-1)} = \frac{-1 - 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
$-x^2 + x + 2 = -(x - (-1))(x - 2) = -(x + 1)(x - 2) = (x + 1)(2 - x)$
Ответ: $-x^2 + x + 2 = (x + 1)(2 - x)$

6) $6x^2 - 5x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 6 * (-1) = 25 + 24 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 * 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 * 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$
$6x^2 - 5x - 1 = 6(x - (-\frac{1}{6}))(x - 1) = 6(x + \frac{1}{6})(x - 1) = (6x + 1)(x - 1)$
Ответ: $6x^2 - 5x - 1 = (6x + 1)(x - 1)$

7) $4x^2 + 3x - 22 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 4 * (-22) = 9 + 352 = 361 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{361}}{2 * 4} = \frac{-3 + 19}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{361}}{2 * 4} = \frac{-3 - 19}{8} = \frac{-22}{8} = -\frac{11}{4}$
$4x^2 + 3x - 22 = 4(x - (-\frac{11}{4}))(x - 2) = 4(x + \frac{11}{4})(x - 2) = (4x + 11)(x - 2)$
Ответ: $4x^2 + 3x - 22 = (4x + 11)(x - 2)$

8) $-3a^2 + 8a + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * (-3) * 3 = 64 + 36 = 100 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 * (-3)} = \frac{-8 + 10}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 * (-3)} = \frac{-8 - 10}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$
$-3a^2 + 8a + 3 = -3(a - (-\frac{1}{3}))(a - 3) = -3(a + \frac{1}{3})(a - 3) = (3a + 1)(3 - a)$
Ответ: $-3a^2 + 8a + 3 = (3a + 1)(3 - a)$

9) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-\frac{5}{6})^2 - 4 * \frac{1}{6} * 1 = \frac{25}{36} - \frac{2}{3} = \frac{25 - 24}{36} = \frac{1}{36} > 0$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{5}{6} + \sqrt{\frac{1}{36}}}{2 * \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{5}{6} - \sqrt{\frac{1}{36}}}{2 * \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2$
$\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = \frac{1}{6}(b - 3)(b - 2) = \frac{1}{3}(b - 3) * \frac{1}{2}(b - 2) = (\frac{1}{3}b - 1)(\frac{1}{2}b - 1)$
Ответ: $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = (\frac{1}{3}b - 1)(\frac{1}{2}b - 1)$

10) $-2x^2 - 0,5x + 1,5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-0,5)^2 - 4 * (-2) * 1,5 = 0,25 + 12 = 12,25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,5 + \sqrt{12,25}}{2 * (-2)} = \frac{0,5 + 3,5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,5 - \sqrt{12,25}}{2 * (-2)} = \frac{0,5 - 3,5}{-4} = \frac{3}{4}$
$-2x^2 - 0,5x + 1,5 = -2(x - (-1))(x - \frac{3}{4}) = -2(x + 1)(x - \frac{3}{4}) = (x + 1)(\frac{3}{2} - x) = (x + 1)(1,5 - x)$
Ответ: $-2x^2 - 0,5x + 1,5 = (x + 1)(1,5 - x)$

11) $0,4x^2 - 2x + 2,5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 0,4 * 2,5 = 4 - 4 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{0}}{2 * 0,4} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$
$0,4x^2 - 2x + 2,5 = 0,4(x - 2,5)(x - 2,5) = 0,4(x - 2,5)^2$
Ответ: $0,4x^2 - 2x + 2,5 = 0,4(x - 2,5)^2$

12) $-1,2m^2 + 2,6m - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2,6^2 - 4 * (-1,2) * (-1) = 6,76 - 4,8 = 1,96 > 0$
$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2,6 + \sqrt{1,96}}{2 * (-1,2)} = \frac{-2,6 + 1,4}{-2,4} = \frac{-1,2}{-2,4} = 0,5$
$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2,6 - \sqrt{1,96}}{2 * (-1,2)} = \frac{-2,6 - 1,4}{-2,4} = \frac{-4}{2,4} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$
$-1,2m^2 + 2,6m - 1 = 0 = -1,2(m - 0,5)(m - \frac{5}{3}) = (m - 0,5)(\frac{12}{10} * \frac{5}{3} -1,2m) = (m - 0,5)(\frac{6}{5} * \frac{5}{3} -1,2m) = (m - 0,5)(2 -1,2m)$
Ответ: $-1,2m^2 + 2,6m - 1 = (m - 0,5)(2 -1,2m)$

754. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен:
1) $x^2 - 3x - 18$;
2) $x^2 + 5x - 14$;
3) $-x^2 + 3x + 4$;
4) $5x^2 + 8x - 4$;
5) $2a^2 - 3a + 1$;
6) $4b^2 - 11b - 3$;
7) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3$;
8) $0,3m^2 - 3m + 7,5$;
9) $x^2 - 2x - 2$.

Решение:

1) $x^2 - 3x - 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x - (-3)) = (x - 6)(x + 3)$
Ответ:$x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)$

2) $x^2 + 5x - 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$
Ответ: $x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x + 7)$

3) $-x^2 + 3x + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * (-1) * 4 = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 * (-1)} = \frac{-3 + 5}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 * (-1)} = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$
$-x^2 + 3x + 4 = -(x - (-1))(x - 4) = (x + 1)(4 - x)$
Ответ: $-x^2 + 3x + 4 = (x + 1)(4 - x)$

4) $5x^2 + 8x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 5 * (-4) = 64 + 80 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 * 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = 0,4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 * 5} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
$5x^2 + 8x - 4 = 5(x - 0,4)(x - (-2)) = (5x - 2)(x + 2)$
Ответ: $5x^2 + 8x - 4 = (5x - 2)(x + 2)$

5) $2a^2 - 3a + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 + 8 = 1 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$2a^2 - 3a + 1 = 2(a - 1)(a - 0,5) = (a - 1)(2a - 1)$
Ответ: $2a^2 - 3a + 1 = (a - 1)(2a - 1)$

6) $4b^2 - 11b - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 4 * (-3) = 121 + 48 = 169 > 0$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 * 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 * 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
$4b^2 - 11b - 3 = 4(b - 3)(b - (-\frac{1}{4})) = 4(b - 3)(b + \frac{1}{4}) = (b - 3)(4b + 1)$
Ответ: $4b^2 - 11b - 3 = (b - 3)(4b + 1)$

7) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * (-\frac{1}{4}) * (-3) = 4 - 3 = 1 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{1}}{2 * (-\frac{1}{4})} = \frac{2 + 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{-\frac{1}{2}} = -6$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{1}}{2 * (-\frac{1}{4})} = \frac{2 - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$
$-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = -\frac{1}{4}(x - (-6))(x - (-2)) = -\frac{1}{4}(x + 6)(x + 2)$
Ответ: $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = -\frac{1}{4}(x + 6)(x + 2)$

8) $0,3m^2 - 3m + 7,5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 0,3 * 7,5 = 9 - 9 = 0$
$m = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{0}}{2 * 0,3} = \frac{3}{0,6} = \frac{30}{6} = 5$
$0,3m^2 - 3m + 7,5 = 0,3(m - 5)(m - 5) = 0,3(m - 5)^2$
Ответ: $0,3m^2 - 3m + 7,5 = 0,3(m - 5)^2$

9) $x^2 - 2x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{12}}{2 * 1} = \frac{2 + \sqrt{4 * 3}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{2} = 1 + \sqrt{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{12}}{2 * 1} = \frac{2 - \sqrt{4 * 3}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{2} = 1 - \sqrt{3}$
$x^2 - 2x - 2 = (x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3})) = (x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$
Ответ:$x^2 - 2x - 2 = (x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$

755. Сократите дробь:
1) $\frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$;
2) $\frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24}$;
3) $\frac{3x - 15}{x^2 - x - 20}$;
4) $\frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6}$;
5) $\frac{x^2 - 7x +12}{x^2 - 3x}$;
6) $\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$
$x^2 + x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$
$\frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{x + 3} = x - 2$
Ответ: x − 2

2) $\frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24}$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * 24 = 100 + 96 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x^2 - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4)$
$\frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24} = \frac{x - 4}{(x - 6)(x - 4)} = \frac{1}{x - 6}$
Ответ: $\frac{1}{x - 6}$

3) $\frac{3x - 15}{x^2 - x - 20}$
$x^2 - x - 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$
$\frac{3x - 15}{x^2 - x - 20} = \frac{3(x - 5)}{(x - 5)(x + 4)} = \frac{3}{x + 4}$
Ответ: $\frac{3}{x + 4}$

4) $\frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6}$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$
$\frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6} = \frac{(x - 2)(x - 1)}{6(x - 1)} = \frac{x - 2}{6}$
Ответ: $\frac{x - 2}{6}$

5) $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x^2 - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)$
$\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x} = \frac{(x - 4)(x - 3)}{x(x - 3)} = \frac{x - 4}{x}$
Ответ: $\frac{x - 4}{x}$

6) $\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8}$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$
$\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8} = \frac{x(x + 4)}{(x - 2)(x + 4)} = \frac{x}{x - 2}$
Ответ: $\frac{x}{x - 2}$

756. Сократите дробь:
1) $\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$;
2) $\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18}$;
3) $\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x^2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)$
$\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x - 1)}{x - 5} = x - 1$
Ответ: x − 1

2) $\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18}$
$x^2 + 3x - 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
$x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$
$\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{2(x + 6)}{(x - 3)(x + 6)} = \frac{2}{x - 3}$
Ответ: $\frac{2}{x - 3}$

3) $\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$
$x^2 + 9x + 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * 14 = 81 + 56 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x^2 + 9x + 14 = (x - (-2))(x - (-7)) = (x + 2)(x + 7)$
$\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x} = \frac{(x + 2)(x + 7)}{x(x + 7)} = \frac{x + 2}{x}$
Ответ: $\frac{x + 2}{x}$

757. Сократите дробь:
1) $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$;
2) $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$;
3) $\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12}$;
4) $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$;
5) $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$;
6) $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$.

Решение:

1) $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$
$2a^2 - 9a - 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 2 * (-18) = 81 + 144 = 251 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{251}}{2 * 2} = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{251}}{2 * 2} = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
$2a^2 - 9a - 18 = 2(a - 6)(a - (-1,5)) = (a - 6)(2a + 3)$
$\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18} = \frac{(2a - 3)(2a + 3)}{(a - 6)(2a + 3)} = \frac{2a - 3}{a - 6}$
Ответ: $\frac{2a - 3}{a - 6}$

2) $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$
$2b^2 - 7b + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * 3 = 49 + 24 = 25 > 0$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$2b^2 - 7b + 3 = 2(b - 3)(b - 0,5) = (b - 3)(2b - 1)$
$\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1} = \frac{(b - 3)(2b - 1)}{(2b - 1)^2} = \frac{b - 3}{2b - 1}$
Ответ: $\frac{b - 3}{2b - 1}$

3) $\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12}$
$c^2 - 5c - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49 > 0$
$c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$c^2 - 5c - 6 = (c - 6)(c - (-1)) = (c - 6)(c + 1)$
$c^2 - 8c + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 12 = 64 + 48 = 16 > 0$
$c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$c^2 - 8c + 12 = (c - 6)(c - 2)$
$\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12} = \frac{(c - 6)(c + 1)}{(c - 6)(c - 2)} = \frac{c + 1}{c - 2}$
Ответ: $\frac{c + 1}{c - 2}$

4) $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$
$m^2 + 9m - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121 > 0$
$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
$m^2 + 9m - 10 = (m - 1)(m - (-10)) = (m - 1)(m + 10)$
$\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10} = \frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m + 10)} = \frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$
Ответ: $\frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$

5) $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$
$32 - 4x - x^2 = -x^2 - 4x + 32 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * (-1) * 32 = 16 + 128 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{144}}{2 * (-1)} = \frac{4 + 12}{-2} = \frac{16}{-2} = -8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{144}}{2 * (-1)} = \frac{4 - 12}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$
$-x^2 - 4x + 32 = -(x - (-8))(x - 4) = -(x + 8)(x - 4)$
$\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2} = -\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x + 8)(x - 4)} = -\frac{x + 4}{x + 8}$
Ответ: $-\frac{x + 4}{x + 8}$

6) $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$
$4n^2 - 9n + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 4 * 2 = 81 - 32 = 49 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$4n^2 - 9n + 2 = 4(n - 2)(n - \frac{1}{4}) = (n - 2)(4n - 1)$
$2 + 9n - 5n^2 = -5n^2 + 9n + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * (-5) * 2 = 81 + 40 = 121 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 * (-5)} = \frac{-9 + 11}{-10} = \frac{2}{-10} = -0,2$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 * (-5)} = \frac{-9 - 11}{-10} = \frac{-20}{-10} = 2$
$-5n^2 + 9n + 2 = -5(n - (-0,2))(n - 2) = -5(n + 0,2)(n - 2) = -(5n + 1)(n - 2)$
$\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2} = \frac{(n - 2)(4n - 1)}{-(5n + 1)(n - 2)} = -\frac{4n - 1}{5n + 1} = \frac{1 - 4n}{5n + 1}$
Ответ: $\frac{1 - 4n}{5n + 1}$

758. Сократите дробь:
1) $\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$;
2) $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$;
3) $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$;
4) $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$.

Решение:

1) $\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$
$4x^2 + x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} =\frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$
$4x^2 + x - 3 = 4(x - \frac{3}{4})(x - (-1)) = (4x - 3)(x + 1)$
$\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1} = \frac{(4x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x - 3}{x - 1}$
Ответ: $\frac{4x - 3}{x - 1}$

2) $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$
$2y^2 + 3y - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$
$2y^2 + 3y - 5 = 2(y - 1)(y - (-2,5)) = 2(y - 1)(y + 2,5) = (y - 1)(2y + 5)$
$\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1} = \frac{(y - 1)(2y + 5)}{(y - 1)^2} = \frac{2y + 5}{y - 1}$
Ответ: $\frac{2y + 5}{y - 1}$

3) $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$
$a^2 + 5a + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$a^2 + 5a + 4 = (a - (-1))(a - (-4)) = (a + 1)(a + 4)$
$a^2 - a - 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$a^2 - a - 20 = (a - 5)(a - (-4)) = (a - 5)(a + 4)$
$\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20} = \frac{(a + 1)(a + 4)}{(a - 5)(a + 4)} = \frac{a + 1}{a - 5}$
Ответ: $\frac{a + 1}{a - 5}$

4) $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$
$3 + 20b - 7b^2 = -7b^2 + 20b + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 * (-7) * 3 = 400 + 84 = 484 > 0$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 * (-7)} = \frac{-20 + 22}{-14} = \frac{2}{-14} = -\frac{1}{7}$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 * (-7)} = \frac{-20 - 22}{-14} = \frac{-42}{-14} = 3$
$-7b^2 + 20b + 3 = -7(b - (-\frac{1}{7}))(b - 3) = -7(b + \frac{1}{7})(b - 3) = (7b + 1)(3 - b)$
$7b^2 - 6b - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 7 * (-1) = 36 + 28 = 64 > 0$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 * 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 * 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$
$7b^2 - 6b - 1 = 7(b - 1)(b - (-\frac{1}{7})) = 7(b - 1)(b + \frac{1}{7}) = (b - 1)(7b + 1)$
$\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1} = \frac{(7b + 1)(3 - b)}{(b - 1)(7b + 1)} = \frac{3 - b}{b - 1}$
Ответ: $\frac{3 - b}{b - 1}$

759. При каком значении b разложение на линейные множители трехчлена:
1) $2x^2 - 5x + b$ содержит множитель (x − 3);
2) $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель (x + 1);
3) $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель (3x − 2)?

Решение:

1) $2x^2 - 5x + b = 2(x - 3)(x - x_2)$
$x_1 = 3$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = 2,5$
$3 + x_2 = 2,5$
$x_2 = 2,5 - 3$
$x_2 = -0,5$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b}{a} = \frac{b}{2}$
$\frac{b}{2} = 3 * (-0,5)$
$\frac{b}{2} = -1,5$
b = −1,5 * 2
b = −3
Ответ: при b = −3

2) $-4x^2 + bx + 2 = -4(x + 1)(x - x_2)$
$x_1 = -1$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{-4} = -0,5$
$-1 * x_2 = -0,5$
$x_2 = 0,5$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{b}{-4} = \frac{b}{4}$
$\frac{b}{4} = -1 + 0,5$
$\frac{b}{4} = -0,5$
b = −0,5 * 4
b = −2
Ответ: при b = −2

3) $3x^2 - 4x + b = 3(x - x_1)(x - x_2)$
$3x - 3x_1 = 3x - 2$
$3x - 3x_1 - 3x = -2$
$-3x_1 = -2$
$x_1 = \frac{2}{3}$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$
$\frac{2}{3} + x_2 = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{4}{3} - \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{2}{3}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b}{3}$
$\frac{b}{3} = \frac{2}{3} * \frac{2}{3}$
$\frac{b}{3} = \frac{4}{9}$ |* 9
3b = 4
$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: при $b = 1\frac{1}{3}$

186

Ответы к странице 186

760. При каком значении a разложение на линейные множители трехчлена:
1) $2x^2 - 7x + a$ содержит множитель (x − 4);
2) $4x^2 - ax + 6$ содержит множитель (2x + 1).

Решение:

1) $2x^2 - 7x + a = 2(x - 4)(x - x_2)$
$x_1 = 4$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = 3,5$
$4 + x_2 = 3,5$
$x_2 = 3,5 - 4$
$x_2 = -0,5$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{a}{2}$
$\frac{a}{2} = 4 * (-0,5)$
$\frac{a}{2} = -2$
a = −4
Ответ: при a = −4

2) $4x^2 - ax + 6 = 4(x - x_1)(x - x_2) = 2 * 2(x - x_1)(x - x_2) = 2 * (2x - 2x_1) * (x - x_2)$
$2x - 2x_1 = 2x + 1$
$-2x_1 = 1$
$x_1 = -0,5$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$
$-0,5 * x_2 = 1,5$
$x_2 = -\frac{1,5}{0,5}$
$x_2 = -\frac{15}{5}$
$x_2 = -3$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-a}{4} = \frac{a}{4}$
$\frac{a}{4} = -0,5 + (-3)$
$\frac{a}{4} = -3,5$
a = −3,5 * 4
a = −14
Ответ: при a = −14

761. Упростите выражение:
1) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} * \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}$;
2) $\frac{b - 4}{b^3 - b} : (\frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1})$;
3) $(\frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9}) : \frac{с^2 + 3c}{(2c - 6)^2}$;
4) $(\frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4}) * \frac{4m - 16}{2m - 3}$.

Решение:

1) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} * \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}$
$2a^2 - 5a + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$2a^2 - 5a + 2 = 2(a - 2)(a - 0,5) = (a - 2)(2a - 1)$
тогда:
$\frac{9a^2 - 4}{(a - 2)(2a - 1)} * \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a} = \frac{(3a - 2)(3a + 2)}{2a - 1} * \frac{1}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a} = \frac{3a - 2}{2a - 1} + \frac{a - 1}{1 - 2a} = \frac{3a - 2}{2a - 1} - \frac{a - 1}{2a - 1} = \frac{3a - 2 - (a - 1)}{2a - 1} = \frac{3a - 2 - a + 1}{2a - 1} = \frac{2a - 1}{2a - 1} = 1$

2) $\frac{b - 4}{b^3 - b} : (\frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1})$
$2b^2 + 3b + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 > 0$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$2b^2 + 3b + 1 = 2(b - (-0,5))(b - (-1)) = 2(b + 0,5)(b + 1) = (2b + 1)(b + 1)$
тогда:
$\frac{b - 4}{b^3 - b} : (\frac{b - 1}{(2b + 1)(b + 1)} - \frac{1}{b^2 - 1}) = \frac{b - 4}{b(b^2 - 1)} : (\frac{b - 1}{(2b + 1)(b + 1)} - \frac{1}{(b - 1)(b + 1)}) = \frac{b - 4}{b(b^2 - 1)} : \frac{(b - 1)^2 - (2b + 1)}{(2b + 1)(b - 1)(b + 1)} = \frac{b - 4}{b(b^2 - 1)} : \frac{b^2 - 2b + 1 - 2b - 1}{(2b + 1)(b^2 - 1)} = \frac{b - 4}{b(b^2 - 1)} : \frac{b^2 - 4b}{(2b + 1)(b^2 - 1)} = \frac{b - 4}{b(b^2 - 1)} : \frac{b(b - 4)}{(2b + 1)(b^2 - 1)} = \frac{b - 4}{b(b^2 - 1)} * \frac{(2b + 1)(b^2 - 1)}{b(b - 4)} = \frac{1}{b} * \frac{2b + 1}{b} = \frac{2b + 1}{b^2}$

3) $(\frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9}) : \frac{с^2 + 3c}{(2c - 6)^2}$
$c^2 - c - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$c^2 - c - 6 = (c - 3)(c - (-2)) = (c - 3)(c + 2)$
тогда:
$(\frac{c + 2}{(c - 3)(c + 2)} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9}) : \frac{с^2 + 3c}{(2c - 6)^2} = (\frac{1}{c - 3} - \frac{2c}{(c - 3)^2}) : \frac{с^2 + 3c}{(2c - 6)^2} = \frac{c - 3 - 2c}{(c - 3)^2} : \frac{c(c + 3)}{(2(c - 3))^2} = \frac{-c - 3}{(c - 3)^2} * \frac{4(c - 3)^2}{c(c + 3)} = \frac{-(c + 3)}{1} * \frac{4}{c(c + 3)} = -\frac{4}{c}$

4) $(\frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4}) * \frac{4m - 16}{2m - 3}$
$m^2 - 3m - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$m^2 - 3m - 4 = (m - 4)(m - (-1)) = (m - 4)(m + 1)$
тогда:
$(\frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{(m - 4)(m + 1)}) * \frac{4m - 16}{2m - 3} = \frac{3(m + 1) + 2m(m - 4) + 4m - 6}{(m - 4)(m + 1)} * \frac{4(m - 4)}{2m - 3} = \frac{3m + 3 + 2m^2 - 8m + 4m - 6}{m + 1} * \frac{4}{2m - 3} = \frac{2m^2 - m - 3}{m + 1} * \frac{4}{2m - 3}$
$2m^2 - m - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25 > 0$
$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$
$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$2m^2 - m - 3 = 2(m - 1,5)(m - (-1)) = (2m - 3)(m + 1)$
тогда:
$\frac{(2m - 3)(m + 1)}{m + 1} * \frac{4}{2m - 3} = 4$

762. Докажите, что при всех допустимых значениях a значение выражения не зависит от значения переменной:
1) $\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a + 6}{5a - 2} + \frac{9a - 8}{1 - 2a}$;
2) $(\frac{2a}{a + 3} + \frac{1}{a - 1} - \frac{4}{a^2 + 2a - 3}) : \frac{2a + 1}{a + 3}$.

Решение:

1) $\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a + 6}{5a - 2} + \frac{9a - 8}{1 - 2a}$
$10a^2 - 9a + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 10 * 2 = 81 - 80 = 1 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 * 10} = \frac{9 + 1}{20} = \frac{10}{20} = 0,5$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 * 10} = \frac{9 - 1}{20} = \frac{8}{20} = 0,4$
$10a^2 - 9a + 2 = 10(a - 0,5)(a - 0,4) = 2(a - 0,5) * 5(a - 0,4) = (2a - 1)(5a - 2)$
тогда:
$\frac{25a^2 - 36}{(2a - 1)(5a - 2)} : \frac{5a + 6}{5a - 2} + \frac{9a - 8}{1 - 2a} = \frac{(5a - 6)(5a + 6)}{(2a - 1)(5a - 2)} * \frac{5a - 2}{5a + 6} + \frac{9a - 8}{1 - 2a} = \frac{5a - 6}{2a - 1} + \frac{9a - 8}{1 - 2a} = \frac{5a - 6}{2a - 1